Per ripristinare il segnale continuo originale da un segnale campionato con piccole distorsioni (errori), è necessario scegliere razionalmente il passo di campionamento. Pertanto, quando si converte un segnale analogico in uno discreto, si pone necessariamente la questione della dimensione della fase di campionamento. Non è difficile comprendere intuitivamente la seguente idea. Se segnale analogico ha uno spettro a bassa frequenza limitato da alcune frequenze superiori F e, (cioè la funzione tu(t) ha la forma di una curva che varia in modo graduale, senza brusche variazioni di ampiezza), quindi è improbabile che questa funzione possa cambiare significativamente in ampiezza in un certo piccolo intervallo di tempo di campionamento. È abbastanza ovvio che l'accuratezza del ripristino di un segnale analogico dalla sequenza dei suoi campioni dipende dalla dimensione dell'intervallo di campionamento. Più è breve, meno la funzione u(t) differirà dalla curva liscia che passa per i punti di riferimento. Tuttavia, con una diminuzione dell'intervallo di campionamento, la complessità e il volume delle apparecchiature di elaborazione aumentano in modo significativo. Con un intervallo di campionamento sufficientemente ampio, la probabilità di distorsione o perdita di informazioni aumenta quando viene ripristinato il segnale analogico.

Il valore ottimo dell'intervallo di discretizzazione è stabilito dal teorema di Kotelnikov (altri nomi sono il teorema di campionamento, il teorema di K. Shannon, il teorema di X. Nyquist: il teorema fu scoperto dapprima in matematica da O. Cauchy, e poi descritto nuovamente da D. Carson e R. Hartley), da lui dimostrato nel 1933. Il teorema di VA Kotelnikov è di grande importanza teorica e pratica: consente di campionare correttamente il segnale analogico e determina il modo ottimale per ripristinarlo all'estremità ricevente dal valori di riferimento.

Fig.14.1. Rappresentazione della densità spettrale

Secondo una delle interpretazioni più famose e semplici del teorema di Kotelnikov, un segnale arbitrario u(t) il cui spettro è limitato da una certa frequenza F e può - essere completamente ripristinato dalla sequenza dei loro valori di riferimento che seguono un intervallo di tempo

Intervallo e frequenza di campionamento F e(1) in ingegneria radiofonica è spesso indicato rispettivamente come intervallo e frequenza di Nyquist. Analiticamente, il teorema di Kotelnikov è rappresentato dalla serie

(2)

dove k è il numero del campione; - valore del segnale ai punti di riferimento; - frequenza superiore dello spettro del segnale.

Per dimostrare il teorema di Kotelnikov, si consideri un segnale continuo arbitrario u(t), la cui densità spettrale è concentrata nella banda di frequenza (linea continua in Fig. 14.1).

Integriamo mentalmente il grafico della densità spettrale simmetricamente ai valori che si ripetono con un periodo (linee tratteggiate in Fig. 14.1). Espandi la funzione periodica così ottenuta in una serie di Fourier, sostituendola nella formula

discussione T per s, frequencynai (formalmente) P sul K. Quindi

(3)

Supponendo che nel rapporto

il periodo è e scriviamo l'intervallo di campionamento

(4)

Usiamo la formula della trasformata di Fourier inversa e rappresentiamo il segnale continuo originale nella forma seguente:

(5)

Allo stesso modo, scriviamo il valore del segnale discretizzato per un riferimento temporale k-esimo. Perché il tempo , poi

Confrontando questa espressione con la formula per C k , notiamo che Tenuto conto di questa relazione, la funzione spettrale (3), dopo semplici trasformazioni, assumerà la forma:

Quindi facciamo quanto segue: sostituiamo l'espressione nel rapporto, cambiamo l'ordine di integrazione e somma, rappresentiamo il rapporto come e calcoliamo l'integrale.

Di conseguenza, otteniamo la seguente formula:

Da questa relazione ne consegue che funzione continua u(t) è infatti determinato dalla totalità dei suoi valori discreti dell'ampiezza agli istanti di riferimento del tempo, il che dimostra il teorema di Kotelnikov.

I segnali più semplici del modulo ortogonali tra loro sull'intervallo di tempo -,, sono chiamate funzioni di campionamento, funzioni di base o funzioni di Kotelnikov. Programma k-esimo La funzione di Kotelnikov è mostrata in Fig. 2. Ciascuna delle funzioni di base S K (T) spostato rispetto alla funzione simile più vicina S k-1 (T) o S k+1 (T) all'intervallo di campionamento. Un'analisi elementare della formula (10) e del grafico di fig. 14.3 mostra che il segnale S K (T) riflessa

Riso. 14.2. Programma funzione di base Kotelnikova

Fig.14.3. Approssimazione di un segnale continuo dalla serie di Kotelnikov mediante la funzione sinx/x, che caratterizza anche l'inviluppo della densità spettrale impulso rettangolare.

Rappresentazione (più precisamente, approssimazione) di un dato segnale continuo u(t) della serie di Kotelnikov (2) è illustrata dai diagrammi delle Figg. 14.3. grafico (qui, per semplicità, le funzioni di base sono mostrate senza argomento T vengono tracciati i primi quattro termini della serie, corrispondenti ai conteggi dei segnali ai tempi 0, 2 e 3, presi secondo il teorema di Kotelnikov. Quando si sommano questi termini della serie in qualsiasi punto temporale di riferimento kDt, un segnale continuo viene approssimato in modo assolutamente esatto, indipendentemente dal numero di campioni selezionati. Nell'intervallo tra una lettura e l'altra, il segnale u(t) viene approssimato quanto più accuratamente vengono sommati i termini della serie di Kotelnikov (2).

Stimiamo la possibilità di applicare il teorema di Kotelnikov a segnale a impulsi u(t) di durata finita T X. Come è noto, tali segnali hanno teoricamente un infinito un'ampia gamma. Tuttavia, in pratica, ci si può limitare a una frequenza superiore F in oltre il quale lo spettro contiene una frazione di energia trascurabilmente piccola rispetto all'energia dell'intero segnale originale. Nell'ingegneria radio, un tale criterio è il contenuto del 90% della potenza media del segnale all'interno dello spettro. In questo caso, il segnale u(t) con durata T X con la frequenza limite superiore dello spettro F in può essere rappresentato da una serie di Kotelnikov con un certo, numero limitato letture

(10)

Ecco il numero di conteggi.

Fig.14.4. Rappresentazione di un impulso rettangolare per campioni.

Teorema di Kotelnikov (teorema del campione)

Problema di campionamento del segnale spettro limitato ampiamente trattato in letteratura e si basa sul teorema di Kotelnikov (il teorema di Nyquist-Shannon, o il teorema del campionamento). Si ritiene che le prime opere fondamentali in quest'area siano state opera di V. A. Kotelnikov “On larghezza di banda“etere” e filo nelle telecomunicazioni” (1933) e l'articolo di C. Shannon “Comunicazione in presenza di rumore” (1949). L'articolo di K. Shannon è stato scritto sulla base del lavoro di E. T. Uttaker "Functions rappresentate dall'estensione della teoria dell'interpolazione" (1915). Il problema di rappresentare una funzione per valori separati e ripristinarla con l'aiuto dell'interpolazione iniziò a essere risolto nel XVIII secolo. nelle opere di O. Cauchy, P.-S. Laplace, ecc., e successivamente descritto di nuovo da D. Carson e R. Hartley.

Per ripristinare il segnale continuo originale da quello campionato con piccoli errori, è necessario scegliere razionalmente la fase di campionamento. Pertanto, quando si converte un segnale analogico in uno discreto, si pone necessariamente la questione della dimensione della fase di campionamento. In. Intuitivamente, non è difficile comprendere la seguente idea ragionevole. Se un segnale analogico ha uno spettro a bassa frequenza limitato da una frequenza superiore FB(cioè funzione tu(t) ha la forma di una curva che cambia dolcemente senza bruschi cambiamenti di ampiezza), quindi è improbabile che in un piccolo intervallo di tempo di campionamento In questa funzione può variare significativamente in ampiezza.

L'accuratezza del ripristino di un segnale analogico dai suoi campioni dipende dall'intervallo di campionamento In. Più è breve, meno la funzione sarà diversa. tu(t) dalla curva passante per i punti di riferimento. Tuttavia, man mano che l'intervallo diminuisce In la complessità e il volume delle apparecchiature di elaborazione aumentano in modo significativo. In ampio intervallo discretizzazione In la probabilità di distorsione o perdita di informazioni aumenta quando viene ripristinato il segnale analogico.

Viene impostato il valore ottimale dell'intervallo di campionamento Il teorema di Kotelnikov. Secondo una delle interpretazioni più famose e semplici di questo teorema segnale arbitrario u(t), il cui spettro è limitato ad una certa frequenza FB, può essere completamente recuperato dalla sequenza dei suoi valori di riferimento, segue con intervallo di tempo

Intervallo di campionamento In e frequenza F d = F n nella teoria della comunicazione sono talvolta chiamati rispettivamente intervallo e la frequenza di Nyquist.

Analiticamente, il teorema di Kotelnikov è rappresentato dalla serie

dove K- numero di riferimento; u(kAt) - valori di segnale continui tu(t) nei punti di riferimento; co in = 2nF n = k/A - frequenza superiore dello spettro del segnale.

Per dimostrare il teorema, consideriamo il segnale analogico u(f), la cui densità spettrale 5(co) è concentrata nella banda -oo in t su co, la frequenza co t = co in su In e P sul K. Quindi

Riso. 6.2. Rappresentazione della densità spettrale mediante una funzione periodica

Assumendo nella formula (2.21) il periodo 2co in e l'intervallo di discretizzazione In= l/co p, otteniamo

Usando trasformazione inversa Fourier (2.30), scriviamo il segnale come

Allo stesso modo, scriviamo per alcuni il valore del segnale discretizzato k-vo conto alla rovescia. Nella misura in cui t = kAt = kn/ con dentro, quindi

Confrontando questa formula con la formula (6.4), notiamo che Ck = Atu(kAt). DA Tenendo conto di questa relazione, la funzione spettrale (6.3) dopo le trasformazioni assume la forma

Sostituiamo la relazione (6.6) nella formula (6.5), cambiamo l'ordine di integrazione e somma e rappresentiamo n/a =

Da questa formula segue che la funzione continua tu(t)è realmente determinato dalla totalità dei suoi valori discreti dell'ampiezza nei punti di riferimento nel tempo t = kAt, che dimostra il teorema di Kotelnikov. Segnali

vengono chiamati ortogonali sull'intervallo [-°°, +°°]. funzioni di conteggio o Funzioni di Kotelnikov. Programma K- La funzione di Kotelnikov è mostrata in Fig. 6.3. Ciascuna delle funzioni s k (t) spostato rispetto al più vicino s k,(?) o s k + l (t) per intervallo di campionamento In. Analisi delle formule

(6.7) e il grafico di fig. 6.3 mostra che il segnale s k (t) riflesso dalla funzione sinx/xy che caratterizza l'inviluppo della densità spettrale di un impulso rettangolare.

Riso. 6.3.

Rappresentazione del segnale tu(t) la serie di Kotelnikov (6.3) è illustrata dai diagrammi di fig. 6.4. I primi quattro termini della serie sono tracciati sul grafico, corrispondenti alle letture del segnale agli istanti 0, A, 2A e ZD?, presi secondo il teorema di Kotelnikov. Quando si sommano questi termini della serie in qualsiasi momento di riferimento kat il segnale continuo viene ripristinato in modo assolutamente accurato indipendentemente dal numero di campioni selezionati. Nell'intervallo tra le letture, il segnale tu(t) viene ripristinato quanto più accuratamente si sommano i termini della serie (6.3). Si noti che non sarebbe del tutto corretto collegare campioni di segnali discreti sul grafico con linee rette, poiché quando si ripristina un segnale continuo da uno discreto, vengono utilizzate funzioni di interpolazione più complesse.

In pratica, questo teorema è di grande importanza. Ad esempio, la maggior parte dei segnali audio possono essere considerati segnali a banda limitata con un certo grado di precisione. Il loro spettro è inferiore a 20 kHz. Ciò significa che durante il campionamento a una frequenza di almeno 40 kHz, possiamo ripristinare più o meno accuratamente il segnale audio analogico originale dai suoi campioni digitali.

Riso. 6.4.

Esempio 6.1

Segnale accompagnamento sonoro in canale televisivo limitato dalla frequenza superiore /„ = 12 kHz. Definiamo un intervallo In tra i campioni, necessari per la riproduzione senza distorsioni del segnale campionato. Soluzione

Determina l'intervallo di campionamento: In\u003d 1 / (2 / in) \u003d 1 / (2 12 -10 ') ~ 42 10 6 s.

Successivamente, molti vari modi approssimazioni di segnali a spettro limitato generalizzando il teorema di campionamento:

• per funzioni le cui letture vengono effettuate in tempi arbitrari;
• per funzioni multidimensionali (ad esempio, per segnali televisivi);
• per funzioni che prendono letture sia della funzione stessa che della sua derivata.

Stimiamo la possibilità di applicare il teorema di Kotelnikov a un segnale pulsato tu(t) durata finita T pag. Tali segnali hanno teoricamente uno spettro infinitamente ampio. Tuttavia, puoi sempre limitarti alla frequenza superiore F B, oltre la quale lo spettro contiene una piccola frazione di energia rispetto all'energia dell'intero segnale. Nella teoria della comunicazione, un tale criterio è il contenuto del 90% della potenza media del segnale entro i confini dello spettro. In questo caso, il segnale tu(t) durata TI con la frequenza limite superiore dello spettro FB può essere rappresentato da una serie Kotelnikov con un numero limitato di campioni

Qui L r = TJAt- numero di conteggi.

Esempio 6.2

Rappresentiamo un impulso di tensione rettangolare di ampiezza unitaria e durata tn nella serie di Kotelnikov per due casi: lo spettro della funzione di approssimazione è limitato dai valori della frequenza superiore F Bl = 1/(2m u) e F d2 = 1/min.

Soluzione

Per il primo caso, l'intervallo di campionamento In\u003d 1 / (2F B) \u003d me, quindi, l'impulso sarà rappresentato solo da due valori di riferimento: all'inizio e alla fine dell'impulso. Sostituendo nella formula (6.8) i valori dell'ampiezza e della durata dell'impulso, scriviamo il modello matematico della funzione di approssimazione:

Nel secondo caso, l'impulso è discretizzato da tre campioni uguali prelevati nei momenti t = 0, t (1/2 e t e, cioè all'inizio, al centro e alla fine dell'impulso. Quindi

Diagrammi temporali di funzioni approssimative tu 2 (t) e tu 3 (t) e i membri della serie di Kotelnikov che li formano sono mostrati nelle Figg. 6.5.

Riso. 6.5. Rappresentazione di un impulso rettangolare per campioni:

ma- Due; 6 - tre

Esempio b.3

Determiniamo la frequenza di campionamento minima secondo Kotelnikov, alla quale il segnale armonico u(t) = cos(2 nF 0 t +

Soluzione

Quando si sceglie un intervallo di campionamento A = 1/(2F B), dove FB- frequenza limite superiore dello spettro, segnale continuo tu(t) può essere ripristinato dalle letture (Fig. 6.6, ma). Se il rapporto di frequenza F0 u = = cos (knF 0 /F B + %).

Nel caso limite, quando la frequenza del segnale F0 tende a campionare FB a sinistra, cioè F 0 = lim ( Fn- p), su ogni periodo del segnale originale dovrebbe

ma vengono effettuate due letture.

Il ripristino della funzione dipende dalla fase dei campioni di segnale rispetto ai campioni. Se il massimo della sinusoide cade nel mezzo dell'intervallo tra le letture, l'errore è il più grande, ma se è sulla lettura, allora è il più piccolo.

Riso. 6.6.

ma - a F 0 in due conteggi

È ovvio che i campioni possono cadere valori nulli sinusoidi, valori estremi o intermedi. Poiché la fase dei campioni rispetto alla sinusoide campionata è a priori sconosciuta, dopo che il segnale è stato ripristinato dal filtro, la sinusoide potrebbe non essere vista. In questo esempio, la massima precisione nella ricostruzione di una sinusoide sarà quando entrambi i campioni vengono prelevati ai suoi valori massimi. L'oscillazione all'ingresso del filtro passa basso ha una forma a dente di sega della stessa frequenza della frequenza della sinusoide (linee tratteggiate in Fig. 6.6, B).

Se le letture non vengono eseguite abbastanza spesso e le condizioni del teorema di Kotelnikov vengono violate, il recupero unico segnale armonico impossibile. In questi casi è possibile tracciare un numero infinito di curve attraverso gli istanti di tempo di riferimento, le cui densità spettrali sono diverse da zero al di fuori della banda -Fn F Si può sostenere che l'errore nella ricostruzione della sinusoide ad una frequenza di campionamento di 2F 0 può essere del 100%. Questo da solo è sufficiente per confermare la correttezza delle conclusioni di cui sopra.

Esempio 6.4

Segnale continuo discretizzato secondo il teorema di Kotelnikov tu(t) ha due letture sull'asse del tempo (Fig. 6.7). Calcoliamo il valore istantaneo del segnale originale al momento t = 1 µs.

Riso. 6.7.

Soluzione

Secondo la fig. 6.7 determiniamo che l'intervallo di campionamento = 210 (, e la frequenza superiore dello spettro del segnale originale co in = a/In= 1,57-10 f> s -1 . Secondo la formula

(6.8) la serie di Kotelnikov in questo caso assume la forma

Da questa relazione si ricava il valore istantaneo del segnale analogico in quel momento T= 1 µs: tu (t= 1 µs) = 22,3 V.

Di seguito verrà formulato e dimostrato il teorema di Kotelnikov (teorema di riferimento), il teorema fondamentale per i sistemi di elaborazione dei segnali digitali, le telecomunicazioni e la teoria della comunicazione. Il teorema è stato formulato e dimostrato dall'accademico sovietico V. A. Kotelnikov negli anni '30 del XX secolo. L'essenza del teorema è che invece di trasmettere un segnale analogico continuo, puoi trasmettere il corrispondente segnale discreto.

Enunciato del teorema: un segnale continuo il cui spettro non contiene frequenze maggiori di fm può essere rappresentato univocamente dai suoi valori istantanei (campioni) separati da intervalli di tempo uguali, la cui lunghezza non deve superare 1/2fm.

In altre parole, il periodo di campionamento dovrebbe essere almeno due volte inferiore al periodo della componente di frequenza più alta dello spettro del segnale continuo, cioè per ogni periodo della componente di frequenza più alta dovrebbe tenere conto almeno due letture (campioni). Pertanto, la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza più alta nello spettro del segnale continuo. Il segnale discreto ricevuto può essere trasmesso attraverso qualsiasi linea di comunicazione e il segnale analogico originale può essere ripristinato in modo inequivocabile da esso da un filtro passa basso sul lato ricevitore.

D'altra parte, un segnale continuo può avere uno spettro di frequenze infinito, ma poiché le armoniche di questo segnale possono diminuire monotonicamente in ampiezza con un aumento del numero armonico, lo spettro di un tale segnale può essere considerato limitato con un certo grado di precisione .

L'accuratezza della riproduzione di un segnale continuo è in gran parte determinata dalle caratteristiche del filtro passa-basso e non pregiudica la correttezza del teorema di Kotelnikov in questo caso. Inoltre, l'accuratezza della riproduzione di un segnale continuo è determinata dal numero di livelli di quantizzazione nel processo di ottenimento delle letture. Tuttavia, se scegliamo il numero di livelli di quantizzazione in base a gamma dinamica e la sensibilità di un particolare sistema, allora la fedeltà della riproduzione continua del segnale non sarà degradata dal processo di acquisizione. Questa affermazione, in particolare, può essere in una certa misura vera quando il livello di rumore presente nel segnale originale è maggiore della fase di quantizzazione. In questo caso, non ha senso aumentare il numero dei livelli di quantizzazione, poiché ciò non comporterà un aumento della precisione nell'ottenimento delle letture.

Il teorema di Kotelnikov determina anche che il segnale continuo e il corrispondente segnale discreto ottenuto secondo le regole di cui sopra contengono le stesse informazioni, quindi la rappresentazione di uno di questi due segnali dall'altro è uno a uno.

Iniziamo la dimostrazione del teorema considerando un segnale continuo ausiliario astratto, rappresentato da una sequenza infinita di impulsi con un certo periodo di ripetizione (Fig. 1). Il segnale continuo investigato e il suo spettro sono mostrati in fico. 2. Lo scopo di introdurre un segnale ausiliario: mostrare che dopo alcune trasformazioni esso e il segnale discreto ottenuto secondo il teorema di Kotelnikov contengono la stessa informazione.

Inoltre, per ripristinare il segnale continuo originale dal segnale ottenuto moltiplicando i segnali originale e ausiliario, è necessario far passare il segnale ricevuto attraverso un filtro passa-basso che sopprimerà tutte le frequenze al di sopra di fm. Tuttavia, questo approccio richiede una spiegazione per un segnale discreto. Il fatto è che all'uscita del DAC non si forma una sequenza di impulsi di larghezza infinitamente piccola, ma un segnale a gradini. Ciò è dovuto al principio stesso del DAC. Se esaminiamo lo spettro del segnale ricevuto all'uscita del DAC, risulta che è piuttosto fortemente distorto rispetto allo spettro del segnale ricevuto nella dimostrazione del teorema. Ciò può essere spiegato dal fatto che il segnale all'uscita del DAC è una convoluzione del segnale ottenuto nella dimostrazione del teorema e il segnale sotto forma di impulso rettangolare con una durata corrispondente alla durata del periodo di campionamento . Ancora, secondo la teoria del calcolo operazionale, l'immagine della convoluzione degli originali di due funzioni è uguale al prodotto delle loro immagini.

Il segnale ottenuto all'uscita del DAC e il suo spettro sono mostrati in Fig. 5. La linea tratteggiata segna lo spettro di un impulso rettangolare. Le porzioni duplicate dello spettro sono mostrate non moltiplicate per una funzione della forma sin(x)/x. Lo spettro di qualsiasi impulso rettangolare è dato da una funzione come sin(x)/x. Per ripristinare in questo caso un segnale originale continuo, è necessario calcolare la risposta all'impulso del filtro passa-basso in modo tale che dopo aver applicato questo filtro nello spettro del segnale ricevuto, l'operazione di divisione per una funzione opportunamente selezionata della forma sin (x) / x viene eseguita anche.

Poiché in casi pratici non è possibile ottenere l'esatta risposta all'impulso calcolata del filtro, può verificarsi un roll-off dello spettro di risposta all'impulso nella regione della frequenza di taglio del filtro. La larghezza della rampa dipende dal tipo di filtro analogico utilizzato. Ad esempio, quando si utilizza un filtro di Bessel, la larghezza della pendenza è piuttosto significativa e quando si utilizza un filtro Chebyshev, la larghezza della pendenza è molto più piccola, ma il filtro Chebyshev presenta una serie di altri svantaggi, discussi nel capitolo " Utilizzo di filtri digitali”. A causa della pendenza nella regione della frequenza di taglio, una parte dello spettro in prossimità della frequenza di taglio non viene utilizzata e quindi viene utilizzato un filtro con una frequenza di taglio maggiore di fm per l'ampiezza della pendenza.

In conclusione, va notato che il segnale ausiliario considerato nella dimostrazione del teorema di Kotelnikov è puramente astratto e non può esistere in natura, poiché è impossibile ottenere un'ampiezza di impulso infinitamente piccola. Tuttavia, alcune semplificazioni possono essere fatte sulla base del fatto seguente. Qualsiasi sistema lineare ha una velocità finita, cioè funziona in un intervallo di tempo finito. Se questo schema elettrico, quindi la velocità, di regola, è determinata dai valori delle capacità incluse nel circuito. Se un impulso avente un'ampiezza unitaria e la cui lunghezza è molto inferiore al limite inferiore dell'intervallo di tempo del funzionamento del circuito viene applicato all'ingresso di un tale sistema, allora questo impulso sarà percepito allo stesso modo di uno ideale (cioè avente una larghezza infinitesimale e un'area unitaria). Pertanto, in casi pratici, si ha un'approssimazione del segnale ausiliario utilizzato nella dimostrazione del teorema.

Elaborazione del segnale digitale(DSP, DSP - Elaborazione del segnale digitale inglese) - conversione dei segnali presentati in forma digitale.

Qualsiasi segnale continuo (analogico) può essere sottoposto a campionamento temporale e quantizzazione di livello (digitalizzazione), ovvero può essere rappresentato in forma digitale. Se la frequenza di campionamento del segnale non è inferiore al doppio frequenza più alta nello spettro del segnale (cioè ), allora il segnale discreto risultante è equivalente al segnale dei minimi quadrati (LSM) (vedi: teorema di Kotelnikov).

Con aiuto algoritmi matematici viene convertito in un altro segnale avente le proprietà richieste. Il processo di conversione dei segnali è chiamato filtraggio e il dispositivo che esegue il filtraggio è chiamato filtro. Dal momento che i campioni di segnale provengono da velocità costante, il filtro deve avere il tempo di elaborare il campione corrente prima che arrivi quello successivo (più spesso, prima che arrivi il successivo). n conta, dove n — ritardo filter), ovvero elaborare il segnale in tempo reale. Per l'elaborazione del segnale (filtraggio) in tempo reale vengono utilizzati dispositivi informatici speciali: processori di segnali digitali.

Tutto ciò è pienamente applicabile non solo ai segnali continui, ma anche a quelli discontinui, nonché ai segnali registrati su dispositivi di memoria. IN ultimo caso la velocità di elaborazione non è importante, poiché i dati non andranno persi durante l'elaborazione lenta.

Ci sono metodi di elaborazione del segnale in temporale(Inglese) dominio del tempo) e dentro frequenza(Inglese) dominio della frequenza) la zona. L'equivalenza delle trasformazioni tempo-frequenza è determinata in modo univoco attraverso la trasformata di Fourier.

L'elaborazione del segnale nel dominio del tempo è ampiamente utilizzata nella moderna oscillografia elettronica e negli oscilloscopi digitali. Gli analizzatori di spettro digitali vengono utilizzati per rappresentare i segnali nel dominio della frequenza. Per studiare gli aspetti matematici dell'elaborazione del segnale, vengono utilizzati pacchetti di espansione (il più delle volte sotto il nome di elaborazione del segnale) dei sistemi informatici. Matematica MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple, ecc.

IN l'anno scorso Quando si elaborano segnali e immagini, viene ampiamente utilizzata una nuova base matematica per rappresentare i segnali con l'aiuto di "onde corte": le wavelet. Può essere utilizzato per elaborare segnali non stazionari, segnali con discontinuità e altre caratteristiche e segnali sotto forma di burst.

Elaborazione digitale del segnale: alcuni concetti di base.

Le quantità fisiche, a meno che non si scenda al livello quantistico, cambiano continuamente. ma elaborazione digitale l'elaborazione del segnale funziona esclusivamente con valori discreti e la discrezione si manifesta in due modi: quando quantizzata nel tempo e quando quantizzata nell'ampiezza del segnale. Questa apparente complicazione è pienamente giustificata dal fatto che possiamo usare il digitale macchine informatiche, eliminando completamente il problema dell'instabilità dei parametri, che è così doloroso durante l'elaborazione dell'analogico. Un vantaggio altrettanto importante è che il costo dell'elaborazione digitale è basso e continua a diminuire, anche con tipologie di elaborazione molto complesse. Questo ti permette di creare sistemi efficienti elaborazione del segnale a un costo ragionevole. Quanto è accettabile un tale cambiamento? Porta a una perdita di precisione?

Un segnale discreto si ottiene da un segnale analogico mediante un'operazione di campionamento - prelievo di campioni (misurazione) dopo un intervallo di tempo T. In linea di principio, l'elaborazione digitale è possibile anche con campionamento irregolare nel tempo, ma questo argomento è molto meno sviluppato matematicamente e, a quanto pare , non è di così grande interesse pratico. Con questa operazione sembra possibile perdere le informazioni contenute nei valori del segnale negli intervalli tra i campioni. Le condizioni in cui è possibile ripristinare un segnale analogico da un segnale digitale da esso ricevuto, cioè la conservazione di tutte le informazioni originariamente contenute nel segnale, sono espresse dal teorema di Nyquist-Whittaker-Kotelnikov-Shannon (a seconda di preferenze dell'autore, ci sono tutte le possibili combinazioni di questi nomi). Ciò richiede che la larghezza di banda del segnale di ingresso sia almeno due volte più stretta della frequenza di campionamento, cioè f c = 1/2f d . (Spesso viene data una formulazione particolare che è corretta per segnali la cui banda di frequenza parte da frequenza zero - "in modo che non siano presenti frequenze maggiori della metà della frequenza di campionamento").

Se tali frequenze sono presenti, si verifica l'effetto di mascheramento della frequenza (sostituzione). Una sua manifestazione visiva può fungere da illusione, spesso manifestata nel cinema: un filatoio inizia improvvisamente a ruotare nella direzione opposta. Qui la frequenza dei fotogrammi è analoga alla frequenza di campionamento e quando la ruota compie più di mezzo giro tra fotogrammi successivi, sembra girare nella direzione opposta e a una velocità diversa. Per la frequenza f, le frequenze (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f), ecc. sono mascherate sotto di essa. Viene utilizzato anche il termine "alias", da alias. La mancata considerazione di questo effetto può portare a errori grossolani: ad esempio, in uno studio condotto in un laboratorio serio, è stato riscontrato che l'elettroencefalogramma in tutti i pazienti, a differenza dei soggetti sani, aveva frequenze di 22 e 28 hertz. Tuttavia, notando che la frequenza di campionamento in questo studioè stata presa come 128 Hz, vediamo che queste frequenze sono "fantasmi", generando interferenze a frequenze di 100 e 150 Hz - la seconda e la terza armonica della frequenza di rete (la loro fonte potrebbe essere, ad esempio, dispositivi non lineari nel circuiti di alimentazione delle apparecchiature, come raddrizzatori e trasformatori). La loro registrazione esclusivamente nei pazienti è dovuta al fatto che in condizioni ospedaliere, rispetto al laboratorio universitario, dove è stato registrato l'EEG di soggetti sani, il livello di interferenza è significativamente più alto.

La lotta all'effetto di mascheramento in frequenza (anti-aliasing) porta alla necessità di prefiltrare il segnale, escludendo le frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento, e per l'imperfezione dei filtri reali, la frequenza di taglio viene scelta ovviamente inferiore alla teoricamente richiesto uno, di regola, da tre a quattro volte inferiore alla frequenza di campionamento. Questa imperfezione non è generata dall'incapacità degli ingegneri elettrici, ma è di natura fondamentale. Il fatto è che un segnale con una banda di frequenza limitata, in linea di principio, non può essere di lunghezza finita e, se è finito nel tempo, contiene una larghezza di banda infinita. (Questa limitazione è quantificata da una relazione di incertezza relativa alla lunghezza dell'impulso e alla sua banda di frequenza: un impulso infinitamente corto contiene tutte le possibili frequenze "sul nascere" e una sinusoide rigorosamente monofrequenza deve estendersi da meno a più infinito.) Pertanto, un eccesso avrà anche un filtro di alta qualità grande tempo stabilimento, e "ideale" è generalmente infinito.

(IP) - MI progettato per convertire un valore misurato in un altro valore o un segnale di informazioni di misura, conveniente per l'elaborazione, la memorizzazione, ulteriori trasformazioni, indicazione o trasmissione.

Per posizione nel circuito di misura, primario e intermedio trasduttori di misura.

Primario , chiamato anche sensore,— è il trasduttore di misura che è direttamente influenzato dal valore misurato.

Riposo trasduttori di misura chiamato intermedio. Si trovano dopo il primario trasduttore di misura e può eseguire diverse operazioni di conversione del segnale di misura.

Di norma, questi includono:

Modifica del tipo fisico di una quantità;

Trasformazione in scala (lineare o non lineare);

Trasformazione scala-tempo;

Conversione da analogico a digitale;

Conversione da digitale ad analogico;

Trasformazione funzionale (qualsiasi operazioni matematiche oltre i valori di magnitudine).

Va tenuto presente che questa classificazione è piuttosto condizionale. Primo, in un SI possono esserci diversi primari (ad esempio, una termocoppia in un circuito di un termometro termoelettrico). In secondo luogo, la specificità delle misurazioni analitiche porta anche a una violazione del principio di classificazione specificato.

Le misurazioni analitiche sono una trasformazione del valore misurato, che è un parametro informativo dell'ambiente analizzato (parametro informativo— parametro che contiene informazioni sul valore misurato), e confrontandolo con una misura.

Di solito vengono eseguiti utilizzando una combinazione trasduttori di misura, che include i seguenti tipi trasduttori di misura:

IP1: trasduttore di misura composizione del tipo - composizione, che fornisce trasformazioni su larga scala del campione analizzato. Il campione è caratterizzato da un parametro informativo DA(il contenuto della componente misurata) e una combinazione di parametri non informativi Cn, che includono il contenuto di componenti non rilevabili (interferenti) e parametri termodinamici ambiente analizzato. Quando si passa attraverso PS1, si verificano i processi di pulizia, asciugatura, modifica della temperatura e della pressione della miscela ai valori richiesti e, dopo queste trasformazioni del mezzo analizzato, la selezione della sua quantità richiesta. IP1 è solitamente chiamato unità di campionamento e preparazione del campione;

IP2: trasduttore di misura composizione del tipo - una proprietà che fornisce la conversione del valore misurato C nell'una o nell'altra proprietà fisica e chimica, conveniente per la successiva misurazione e registrazione. In molti casi questa trasformazione avviene in due fasi: ottenere un prodotto intermedio in una fase liquida o solida contenente il componente Ynpom(C), e poi convertirlo in una proprietà F (Ynpom).

IP3: trasduttore di misura proprietà del tipo - segnale di uscita, che fornisce la conversione del valore misurato in uscita segnale di misura w. Solitamente questa conversione viene effettuata anche in due fasi: in un segnale intermedio Wnp (F) e quindi al segnale di uscita W(Wnpom). Allo stesso tempo, la trasformazione wnpom in wÈ la trasformazione di una grandezza elettrica in un'altra.

Dopo aver ricevuto i segnali in uscita dall'oggetto analizzato con l'aiuto di un set di trasduttori di misura, il valore misurato viene confrontato con la misura utilizzando la dipendenza dalla calibrazione e vengono generati i valori stimati C* del valore misurato C.

Questo set di trasduttori di misura non rientra nella classificazione di cui sopra, poiché il valore misurato influisce direttamente non solo sul primo trasduttore di misura del circuito di misura, ma anche sul loro set, inclusi IP1, IP2 e il primo trasduttore del gruppo IP3. In questo caso solo il secondo convertitore del gruppo IP3 è intermedio. Ne consegue che negli strumenti analitici il ruolo di trasduttore di misura primario è svolto da un insieme di trasduttori di misura, che in modo sequenziale, in più fasi, converte il valore misurato in un segnale di misura.

Gli strumenti di misura includono misure, trasduttori di misura, strumenti di misura, impianti di misura e sistemi di misura delle informazioni. misurare chiamato uno strumento di misura progettato per riprodurre valore impostato quantità fisica.

Trasduttore di misura- si tratta di uno strumento di misura progettato per generare un segnale di informazione di misura in una forma conveniente per la trasmissione, ulteriore trasformazione, elaborazione e memorizzazione, ma non suscettibile di percezione diretta da parte dell'osservatore. Viene chiamato il trasduttore di misura a cui viene applicato il valore misurato trasduttore di misura primario.

A seconda della natura delle grandezze convertite, si distinguono i seguenti tipi di trasduttori di misura:

Convertitori di grandezze elettriche in elettriche (partitori di tensione, trasformatori di misura);

Convertitori di grandezze magnetiche in elettriche (bobine di misura);

Convertitori di grandezze non elettriche in elettriche (termiche ed estensimetri, reostati, capacitive).

A seconda del tipo di segnali di ingresso e di uscita, i trasduttori di misura si distinguono:

- convertitori analogici , che hanno segnali analogici in ingresso e in uscita;

- analogico-convertitori digitali avere un segnale analogico in ingresso e un segnale digitale (codificato) in uscita;

- digitale-convertitori analogici che hanno un ingresso digitale e un'uscita analogica.

I trasduttori di misura primari, posti direttamente sull'oggetto di studio e lontani dal luogo di elaborazione, visualizzazione e registrazione delle informazioni di misura, sono chiamati sensori.

Strumenti di misura- uno strumento di misura atto a generare un segnale di informazione di misura in una forma accessibile alla percezione diretta da parte di un osservatore.

Di fenomeni fisici, che sta alla base del lavoro, gli strumenti di misura possono essere suddivisi in strumenti di misura elettrici (elettromeccanici, elettrotermici, elettrochimici, ecc.) e dispositivi elettronici. A seconda del loro scopo, sono suddivisi in strumenti per misurare grandezze fisiche elettriche e non elettriche (magnetiche, termiche, chimiche, ecc.), Secondo il metodo di presentazione dei risultati - nell'indicazione e nella registrazione. A seconda della registrazione del valore misurato - strumenti di misura analogici e digitali.

Impianti di misura- una serie di strumenti di misura, compresi misure, strumenti di misura e trasduttori, dispositivi ausiliari, unito schema generale, che può essere utilizzato per misurare una o più grandezze fisiche.

Campo di misura- l'intervallo di valori della quantità misurata, per la quale sono normalizzati gli errori consentiti dello strumento di misura. È limitato ai valori più grandi e più piccoli.

L'intervallo di valori della scala, limitato dall'iniziale e valori finali si chiamano scale campo di indicazione.

Nella decomposizione canonica di Kotelnikov, l'intervallo di discretizzazione processo casualeè determinato dal suo intervallo di correlazione, dal valore massimo della densità spettrale e dal valore della densità spettrale a frequenza zero.

L'intervallo di campionamento è maggiore o uguale all'intervallo di correlazione del processo.

Dalla teoria classica dei segnali, è noto che i valori dei campioni prelevati attraverso l'intervallo di Kotelnikov non sono correlati tra loro se lo spettro del segnale nella banda di frequenza che occupa è uniforme (rumore bianco). Tuttavia, in pratica, vengono utilizzati principalmente segnali il cui spettro non è uniforme, quindi la correlazione tra i campioni non è uguale a zero. In questo caso, il grado di correlazione aumenta all'aumentare della frequenza di campionamento. Un tipico esempio di tali segnali è il parlato, in cui la correlazione tra campioni adiacenti è sufficientemente ampia mentre si osserva il teorema di Kotelnikov nel processo di campionamento.

Il concetto è spesso usato intervallo di correlazione" o " tempo di correlazione", che è inteso come il valore dello spostamento temporale, al di sopra del quale la correlazione può essere trascurata nelle condizioni di un particolare esperimento. Solitamente, l'intervallo di correlazione è definito come .

Se l'intervallo di correlazione zero, il processo casuale viene chiamato non correlato o rumore bianco. In caso contrario, il processo casuale è correlato. A titolo di esempio, in fig. La Figura 4.1 mostra un esempio di un processo casuale correlato (in alto) e non correlato (in basso). I processi reali sono tutti correlati perché hanno una potenza limitata e quindi una larghezza di banda limitata.

Tuttavia, in un certo intervallo di tempo (frequenze), possono essere approssimativamente considerati non correlati.

Tempo di campionamento Δτ = τ k + 1- τ K(o la frequenza corrispondente

Discretizzazione del segnale Δφ = 1/Δτ);

Tempo di campionamento del segnale convertitori primari oppure viene selezionata la frequenza di campionamento del segnale corrispondente in base ai requisiti per l'errore di misurazione, tenendo conto del fatto che la frequenza di campionamento del segnale è determinata dall'intervallo di frequenza richiesto del segnale misurato e dai limiti delle caratteristiche di ampiezza-frequenza dei convertitori primari .

Dovrebbe essere almeno due o tre volte la frequenza massima possibile intervallo di frequenze segnale misurato (per misure dinamiche). Fine del modulo.

APCS è costruito secondo una gerarchia a tre livelli:

• il livello inferiore è il livello della strumentazione e degli attuatori;
• livello medio - il livello dei controller e delle apparecchiature di comunicazione
• livello superiore — il livello dei server e delle stazioni operatore

A causa degli elevati requisiti di affidabilità del sistema di controllo nell'industria chimica, tutti i livelli dei sistemi di controllo di processo automatizzati sono ridondanti. Per garantire una trasmissione dati ininterrotta tra sottosistemi e livelli gerarchici, vengono utilizzati canali di trasmissione dati altamente affidabili e resistenti al rumore. Attualmente, la fibra ottica si è dimostrata valida per questi scopi. rete ad anello Ethernet industriale.

L'elaborazione delle informazioni viene eseguita nel modulo processore centrale del controller, che garantisce un'elevata affidabilità del sistema di controllo e garantisce l'esecuzione di tutti gli algoritmi necessari, che si basa su un principio modulare che consente sostituzione rapida moduli guasti.

Visualizzare informazioni sulle modalità di controllo dell'impianto e gestirlo meccanismi esecutivi viene effettuato da una postazione automatizzata dell'operatore (AWP), implementata su 2 computer industriali identici in standby "caldo" con pacchetto installato imaging in sala operatoria Sistemi Windows xp.

Tutti veri segnali continui sono funzioni regolari del tempo. I salti di valori non sono praticamente osservati in essi. Pertanto, tali segnali possono essere rappresentati da una sequenza dei loro valori rilevati con un determinato intervallo di tempo. Viene chiamato il valore del segnale in un momento fisso conto alla rovescia .

Questa figura mostra segnale continuo e suoi campioni con diversi step temporali. Con un piccolo passo (Fig. b), la sequenza di letture descrive accuratamente il segnale e con un passo grande (Fig. c), è impossibile ripristinare la forma del segnale dalle letture, poiché i suoi caratteristici punti estremi vengono persi.

Con quale frequenza devono essere prelevati i campioni in modo che possano ripristinare completamente il segnale?

La risposta a questa domanda è data dal teorema dimostrato nel 1933 dall'accademico sovietico VA Kotelnikov. e porta il suo nome.

Secondo questo teorema qualsiasi segnale continuo a spettro finito (avente valore massimo) possono essere rappresentati come campioni discreti, la cui frequenza di campionamento deve essere scelta almeno il doppio del valore massimo dello spettro del segnale: trasmetterlo sulla linea di comunicazione, quindi ripristinare il segnale analogico originario.

Il teorema di Kotelnikov è la base per il campionamento di segnali continui nel tempo, poiché, in primo luogo, dimostra che un segnale continuo può essere sostituito dai suoi valori discreti e, in secondo luogo, fornisce una regola per calcolare il passo di campionamento - . Con questa fase di campionamento, la serie di Kotelnikov fornisce un'accurata rappresentazione temporale di un segnale complesso.

Significato fisico del teorema di Kotelnikov.

Il teorema di Kotelnikov afferma che se si vuole trasmettere un segnale continuo con uno spettro limitato su un canale di comunicazione, allora è possibile non trasmetterne tutti i valori: basta solo trasmetterlo valori istantanei(conta) attraverso l'intervallo . Poiché il segnale è completamente determinato da questi valori, può essere recuperato da essi all'estremità ricevente del sistema di comunicazione. Per fare ciò, è sufficiente collegare le letture di una curva liscia. Ciò può essere spiegato dal fatto che il segnale tra i campioni può cambiare solo senza intoppi, poiché le frequenze danno più alte cambiamento rapido, sono assenti nel segnale. Dopotutto, le letture vengono eseguite abbastanza spesso e più spesso, più è alto frequenza massima.

Applicazione pratica del teorema di Kotelnikov.

Campionamento il segnale viene eseguito in modo molto semplice: periodicamente per un breve periodo dopo un intervallo, il circuito dalla sorgente del segnale al carico viene chiuso con una chiave: otteniamo letture. Inoltre, queste letture, dopo essere passate attraverso il canale di comunicazione, vengono inviate all'ingresso di un filtro passa basso (LPF) ideale con una frequenza di trasmissione superiore. L'uscita del filtro è il segnale continuo originale.

Schema strutturale sistemi di comunicazione utilizzando il teorema di Kotelnikov.

Sul lato trasmittente, a volte vengono prelevati campioni di segnale. Inoltre, le letture vengono trasmesse in qualsiasi modo attraverso il canale di comunicazione. Un LPF ideale all'estremità ricevente ripristina il segnale originale.

La frequenza di ripetizione dell'impulso, detta anche frequenza discretizzazione , è determinato dal teorema di Kotelnikov:

.

Ad esempio, la frequenza di campionamento per un segnale vocale (telefonico) che ha il valore massimo dello spettro del segnale , sarà uguale a . Secondo le raccomandazioni della CCITT e corrispondentemente, .

Il teorema di Kotelnikov nelle telecomunicazioni multicanale.

Trasferibilità invece di segnali continui di una sequenza di impulsi (conteggi), consente la separazione temporale dei canali. Il fatto è che durante la trasmissione a impulsi, il periodo di ripetizione dell'impulso è solitamente molto maggiore della loro durata, ovvero gli impulsi hanno un ciclo di lavoro ampio - con un ciclo di lavoro ampio, rimane uno spazio tra gli impulsi di un segnale, da cui gli impulsi da è possibile posizionare altri segnali. Questo metodo è chiamato separazione temporanea . Già implementato sistemi multicanale trasmissioni con suddivisione temporale dei canali per 12, 15, 30, 120, 480, 1920 segnali vocali.

Nel 1933 V. A. Kotelnikov dimostrò un teorema, che è una delle disposizioni fondamentali dell'ingegneria radiofonica teorica. Questo teorema stabilisce la possibilità di una ricostruzione arbitrariamente accurata dei valori istantanei di un segnale a spettro limitato sulla base di valori di riferimento (campioni) prelevati ad intervalli regolari.

Costruzione di una base ortonormale.

Come mostrato, due segnali a spettro limitato appartenenti alla famiglia

sono ortogonali. Con un'opportuna scelta del fattore di ampiezza A, è possibile garantire che la norma di ciascuno di questi segnali diventi unità. Di conseguenza, verrà costruita una base ortonormale, che consente di espandere un segnale arbitrario con uno spettro limitato in una serie di Fourier generalizzata.

Basta considerare solo la funzione

poiché la norma di qualsiasi segnale è la stessa indipendentemente dallo spostamento temporale. Nella misura in cui

funzioni e sarà ortonormale se

Una gamma infinita di funzionalità

costituisce la base di Kotelnikov in spazio lineare segnali a bassa frequenza con spettri delimitati sopra da un valore.Una singola funzione è chiamata funzione di riferimento.

serie Kotelnikov. Se è un segnale arbitrario, la cui densità spettrale è diversa da zero solo nella banda di frequenza - , allora può essere espanso in una serie di Fourier generalizzata secondo la base di Kotelnikov:

Come è noto, i coefficienti rad sono i prodotti scalari del segnale scomposto e della funzione di riferimento:

Un modo conveniente per calcolare questi coefficienti è utilizzare la formula di Rayleigh generalizzata. È facile verificare che la funzione di riferimento all'interno dell'intervallo abbia una densità spettrale pari a . Questo può essere visto da un confronto delle formule (5.3) e (5.13). Allora, se è lo spettro del segnale studiato, allora

Valore dentro parentesi graffe non è altro che il valore istantaneo del segnale del punto di riferimento

In questo modo,

da cui segue l'espressione della serie Kotelnikov:

Sulla base dell'ultima uguaglianza, è consuetudine formulare il teorema di Kotelnikov come segue: un segnale arbitrario il cui spettro non contiene frequenze superiori a Hz può essere completamente ripristinato se sono noti i valori di riferimento di questo segnale, presi a intervalli

Esempio 5.1. Segnale dato

Scegliendo un certo intervallo fisso tra i campioni, abbiamo l'opportunità di ripristinare in modo univoco qualsiasi segnale dai campioni, il cui spettro non contiene componenti a frequenze superiori frequenza di taglio

Se quindi il teorema di Kotelnikov è applicabile al segnale armonico considerato; valori di riferimento (campioni) di un dato segnale

Nel caso limite, quando la frequenza tende a sinistra, cioè

Ci devono essere esattamente due campioni per ogni periodo del segnale armonico.

Se, tuttavia, le condizioni del teorema di Kotelnikov vengono violate e i campioni di tempo non vengono prelevati abbastanza spesso, il ripristino inequivocabile del segnale originale è fondamentalmente impossibile. Attraverso i punti di riferimento è possibile tracciare un innumerevole insieme di curve le cui densità spettrali sono diverse da zero al di fuori della banda -

Riso. 5.2. Implementazione hardware della sintesi del segnale secondo la serie Kotelnikov

Implementazione hardware della sintesi del segnale rappresentata dalla serie Kotelnikov.

Una caratteristica importante del teorema di Kotel'nikov è la sua natura costruttiva; non solo indica la possibilità di scomporre il segnale nella serie corrispondente, ma determina anche il metodo per ripristinare un segnale continuo dato dai suoi valori di riferimento (Fig. 5.2).

Sia presente un insieme di generatori che creano funzioni di riferimento ai terminali di uscita. I generatori sono controllati - l'ampiezza dei loro segnali è proporzionale ai valori di riferimento Se combiniamo le oscillazioni alle uscite alimentandole al sommatore, allora i valori istantanei del segnale sintetizzato s (t) possono essere presi da l'output del sommatore secondo la formula (5.18).

Esempio 5.2. Un impulso video rettangolare con ampiezza e durata unitaria non appartiene ai segnali a spettro limitato. Tuttavia, il modulo della sua densità spettrale piuttosto rapidamente (secondo la legge) diminuisce con l'aumentare della frequenza.

La descrizione di un tale segnale con due letture all'inizio e alla fine dell'impulso significherà sostituire l'oscillazione originale con un segnale con uno spettro limitato dall'alto dalla frequenza Modello matematico questo segnale è:

Se, invece, l'impulso è descritto da tre letture equidistanti, allora si arriva ad un segnale approssimativo contenente frequenze fino a

Naturalmente, con un aumento del numero di termini presi in considerazione, cioè con una diminuzione dell'intervallo di tempo tra i campioni, l'accuratezza dell'approssimazione aumenterà.

Valutazione dell'errore derivante dall'approssimazione di un segnale arbitrario mediante la serie di Kotelnikov.

Se è un segnale arbitrario, allora può essere rappresentato dalla somma k, che comprende un segnale con uno spettro, un valore limitato, e un segnale di errore di approssimazione con uno spettro che, nel caso generale, occupa una banda di frequenza infinita.

Gli spettri di questi segnali non si sovrappongono, quindi i segnali sono ortogonali e le loro energie, cioè i quadrati delle norme, si sommano:

Come misura dell'errore di approssimazione, si può prendere una distanza pari alla norma del segnale di errore. Se è lo spettro di energia del segnale, quindi dal teorema di Rayleigh

Esempio 5.3. Viene fornito un impulso video esponenziale, caratterizzato da spettro energetico e norma

La durata effettiva di questo impulso (vedi Cap. 2)

Lo spettro del segnale considerato è illimitato. Pertanto, dovresti prima sottoporre il segnale a un filtro passa basso facendolo passare attraverso un filtro passa basso (LPF). Il valore della frequenza della banda passante superiore del filtro deve essere scelto in base alla frequenza con cui il segnale viene campionato all'uscita del filtro passa basso. Assumiamo che durante il tempo i conteggi siano misurati con un intervallo di . Secondo il teorema di Kotelnikov, ciò significa che .

Il segnale dall'uscita del filtro passa basso viene ripristinato esattamente in base ai suoi valori di riferimento. Tuttavia, rispetto all'impulso video originale, un errore è inevitabile. In questo caso, la norma del segnale di errore