2.1. Spettri di segnali periodici

Un segnale periodico (corrente o tensione) è chiamato questo tipo di azione quando la forma d'onda viene ripetuta dopo un certo intervallo di tempo T, che è chiamato un periodo. La forma più semplice di segnale periodico è un segnale armonico o sinusoidale, caratterizzato da ampiezza, periodo e fase iniziale. Tutti gli altri segnali saranno disarmonico o non sinusoidale... Si può dimostrare, e la pratica lo dimostra, che se il segnale di ingresso dell'alimentatore è periodico, anche tutte le altre correnti e tensioni in ciascun ramo (segnali di uscita) saranno periodiche. In questo caso, le forme d'onda nei diversi rami differiranno l'una dall'altra.

Esiste una tecnica generale per studiare i segnali disarmonici periodici (influenze in ingresso e loro reazioni) in un circuito elettrico, che si basa sulla scomposizione dei segnali in una serie di Fourier. Questa tecnica consiste nel fatto che è sempre possibile selezionare un numero di segnali armonici (cioè sinusoidali) con tali ampiezze, frequenze e fasi iniziali, la cui somma algebrica delle ordinate in ogni istante di tempo è uguale all'ordinata di segnale non sinusoidale indagato. Quindi, ad esempio, la tensione tu in fig. 2.1. può essere sostituita dalla somma delle sollecitazioni e, poiché in ogni istante si verifica l'identica uguaglianza: ... Ciascuno dei termini è una sinusoide, la cui frequenza di oscillazione è associata al periodo T relazioni intere.

Per l'esempio in esame, abbiamo il periodo della prima armonica coincidente con il periodo del segnale non armonicoT 1 = T, e il periodo della seconda armonica è la metà della dimensioneT 2 = T/ 2, cioè i valori istantanei delle armoniche vanno scritti come:

Qui, le ampiezze delle oscillazioni armoniche sono uguali tra loro ( ), e le fasi iniziali sono uguali a zero.

Riso. 2.1. Un esempio di aggiunta della prima e della seconda armonica

segnale disarmonico

In ingegneria elettrica, la componente armonica, il cui periodo è uguale al periodo del segnale non armonico, è chiamata il primo o di base armonica del segnale. Tutti gli altri componenti sono chiamati componenti armoniche superiori. Un'armonica, la cui frequenza è k volte maggiore della prima armonica (e il periodo, rispettivamente, è k volte minore), si chiama

k - esimo armonico. Si distingue anche il valore medio della funzione per il periodo, che viene chiamato nullo armonico. Nel caso generale, la serie di Fourier si scrive come la somma di un numero infinito di componenti armoniche di frequenze diverse:

(2.1)

dove k è il numero dell'armonica; - frequenza angolare della k - esima armonica;

1 = ω = 2 π / T- frequenza angolare della prima armonica; - armonico zero.

Per segnali di forme d'onda comuni, l'espansione in serie di Fourier può essere trovata in letteratura. La tabella 2 mostra le scomposizioni per otto forme d'onda di segnali periodici. Si noti che le scomposizioni riportate nella tabella 2 avranno luogo se si sceglie l'origine del sistema di coordinate come indicato nelle figure a sinistra; quando l'origine dell'ora viene modificata T le fasi iniziali delle armoniche cambieranno, mentre le ampiezze delle armoniche rimarranno le stesse. A seconda del tipo di segnale in esame, V va inteso o come un valore misurato in volt, se si tratta di un segnale in tensione, o come un valore misurato in ampere, se si tratta di un segnale in corrente.

Espansione in serie di Fourier di funzioni periodiche

Tavolo 2

Programma F(T)	Serie di funzioni di FourierF(T)	Nota
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,2,3,4,5
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,2,3,4,5
		S = 1,2,3,4, ..
		k = 1,2,4,6, ..

I segnali 7 e 8 sono formati da una sinusoide mediante circuiti che utilizzano elementi di gate.

L'insieme delle componenti armoniche che formano un segnale non sinusoidale è chiamato spettro di questo segnale non armonico. Da questo insieme di armoniche sono isolate e distinte ampiezza e fase gamma. Uno spettro di ampiezza è un insieme di ampiezze di tutte le armoniche, che di solito è rappresentato da un diagramma come un insieme di linee verticali, le cui lunghezze sono proporzionali (su una scala selezionata) ai valori di ampiezza delle componenti armoniche e il posto sull'asse orizzontale è determinato dalla frequenza (numero armonico) di questo componente. Gli spettri di fase sono considerati allo stesso modo come un insieme di fasi iniziali di tutte le armoniche; sono anche disegnati in scala come un insieme di linee verticali.

Va notato che le fasi iniziali nell'ingegneria elettrica sono generalmente misurate nell'intervallo da –180 0 a +180 0. Gli spettri costituiti da righe separate sono chiamati lineare o discreto... Le linee spettrali sono in lontananza F a parte dove F- intervallo di frequenza uguale alla frequenza della prima armonica F Pertanto, gli spettri discreti dei segnali periodici hanno componenti spettrali con frequenze multiple - F, 2F, 3F, 4F, 5F eccetera.

Esempio 2.1. Trova l'ampiezza e lo spettro di fase per un segnale rettangolare quando le durate dei segnali positivo e negativo sono uguali e il valore medio della funzione nel periodo è zero

tu(T) = V per 0<T<T/2

tu(T) = -V per T/2<T<T

Per segnalazioni di forme semplici e di uso frequente si consiglia di trovare una soluzione tramite tabelle.

Riso. 2.2. Spettro di ampiezza lineare di un segnale rettangolare

Dallo sviluppo in serie di Fourier di un segnale rettangolare (vedi Tabelle 2 - 1), segue che la serie armonica contiene solo armoniche dispari, mentre le ampiezze delle armoniche decrescono in proporzione al numero armonico. Lo spettro della linea di ampiezza delle armoniche è mostrato in Fig. 2.2. Quando si traccia, si presume che l'ampiezza della prima armonica (qui la tensione) sia uguale a un volt: B; quindi l'ampiezza della terza armonica sarà B, la quinta - B, ecc. Le fasi iniziali di tutte le armoniche del segnale sono uguali a zero, quindi lo spettro delle fasi ha solo ordinate zero.

Il problema è stato risolto.

Esempio 2.2.Trovare l'ampiezza e lo spettro di fase per la tensione che cambia secondo la legge: a - T/4<T<T/4; tu(T) = 0 per T/4<T<3/4T... Tale segnale è formato da una sinusoide eliminando (in un circuito che utilizza elementi di porta) la parte negativa del segnale armonico.

a) b)

Riso. 2.3. Spettro lineare del segnale di raddrizzamento a semionda: a) ampiezza; b) fase

Per un segnale di raddrizzamento a semionda di una tensione sinusoidale (vedi Tabelle 2 - 8), la serie di Fourier contiene una componente costante (armonica zero), la prima armonica, e quindi un insieme di sole armoniche pari, le cui ampiezze diminuiscono rapidamente con numero armonico crescente. Se, ad esempio, poniamo il valore V = 100 B, quindi, moltiplicando ciascun termine per un fattore comune 2V / , troviamo(2.2)

Gli spettri di ampiezza e fase di questo segnale sono mostrati in Fig. 2.3a, b.

Il problema è stato risolto.

In accordo con la teoria della serie di Fourier, l'esatta uguaglianza di un segnale inarmonico alla somma delle armoniche avviene solo per un numero infinitamente grande di armoniche. Il calcolo delle componenti armoniche su un computer consente di analizzare qualsiasi numero di armoniche, che è determinato dallo scopo del calcolo, dall'accuratezza e dalla forma dell'azione non armonica. Se la durata del segnaleT indipendentemente dalla sua forma, molto meno del periodo T, quindi le ampiezze delle armoniche diminuiranno lentamente, e per una descrizione più completa del segnale, è necessario prendere in considerazione un gran numero di termini della serie. Questa caratteristica può essere rintracciata per i segnali presentati nella tabella 2 - 5 e 6, se la condizione τ <<T... Se un segnale disarmonico è di forma prossima ad una sinusoide (ad esempio i segnali 2 e 3 in Tabella 2), allora le armoniche diminuiscono rapidamente, e per una descrizione accurata del segnale è sufficiente limitarsi a tre-cinque armoniche della serie.

5. Circuiti elettrici lineari nel modo delle influenze periodiche non armoniche. Teoria dei circuiti elettrici

5. Circuiti elettrici lineari nel modo delle influenze periodiche non armoniche

5.1. Segnali periodici non armonici

Quando si trasmettono informazioni attraverso canali di comunicazione nel processo di conversione dei segnali in vari dispositivi, di norma vengono utilizzate oscillazioni non armoniche, poiché le oscillazioni puramente armoniche non possono essere portatrici di informazioni. Per trasmettere messaggi, le oscillazioni armoniche vengono modulate in ampiezza - modulazione di ampiezza (AM), frequenza - modulazione di frequenza (FM) o fase - fase di modulazione (PM), oppure utilizzare segnali a impulsi modulati in ampiezza - modulazione di ampiezza-impulso (AIM), larghezza - modulazione di larghezza di impulso (PWM), posizione temporale - modulazione di tempo di impulso (PWM). Ci sono altri segnali più complessi formati secondo leggi speciali. Una caratteristica distintiva di questi segnali è un carattere non armonico complesso. Le correnti e le tensioni generate in vari dispositivi impulsivi e digitali (19. Segnali e circuiti discreti) hanno una forma non sinusoidale, i segnali armonici che passano attraverso vari dispositivi non lineari (11. Circuiti elettrici non lineari sotto influenze armoniche) acquisiscono un valore non -carattere sinusoidale, ecc. Tutto ciò porta alla necessità di sviluppare metodi speciali per l'analisi e la sintesi di circuiti elettrici sotto l'influenza di correnti e tensioni periodiche non sinusoidali e non periodiche. Questi metodi si basano su rappresentazioni spettrali di azioni non sinusoidali basate su uno sviluppo in serie o integrale di Fourier.

È noto dall'analisi matematica che la funzione periodica non armonica f (t) soddisfare le condizioni di Dirichlet può essere espansa in una serie di Fourier:
(5.1)
dove un k,bk - coefficienti di espansione determinati dalle equazioni
(5.2)

La grandezza rappresenta la media sul valore di periodo della funzione f (t) e si chiama componente costante.

Negli studi teorici, invece della formula (5.1), ne viene solitamente utilizzata un'altra, basata sulla sostituzione della variabile indipendente:
(5.3)
dove
(5.4)

L'equazione (5.3) è la forma trigonometrica della serie di Fourier. Quando si analizzano le catene, è spesso più conveniente utilizzare la forma complessa della serie di Fourier, che può essere ottenuta dalla (5.3) utilizzando le formule di Eulero:
(5.5)

Sostituendo la (5.5) nell'equazione (5.3), dopo semplici trasformazioni, si ottiene la forma complessa della serie di Fourier:
(5.6)
dove UN K - ampiezza complessa K th armonico:
(5.7)
dove - ampiezza; - fase iniziale K th armonico.

Sostituendo i valori un k e b k da (5.4) a (5.7), si ottiene:
(5.8)

Set di ampiezze 0,5 un k = 0,5UN –K in espansione (5.6), contrapposta alle corrispondenti frequenze positive e negative, forma una simmetria rispetto all'asse delle coordinate (a causa dell'uniformità dei coefficienti un k) spettro di ampiezza di linea.

Insieme di ordinate K = – –K da (5.7) incluso nell'espansione (5.6) e differito rispetto alle corrispondenti frequenze positive e negative, forma un simmetrico rispetto all'origine dell'asse delle coordinate (a causa della disparità dei coefficienti b k)spettro di fase lineare.

L'espansione (5.3) può essere rappresentata in un'altra forma. Considerando che un k = un k cos K e b k= un k peccato K, quindi dopo la sostituzione in (5.3) otteniamo:
(5.9)

Se consideriamo la componente costante a 0/2 come l'armonica zero con la fase iniziale 0 = 0, allora l'espansione (5.9) assume la forma
(5.10)

Nel caso particolare in cui la funzione F(a) è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (Fig.5.1, un), nell'espansione (5.3) appariranno solo le armoniche pari (coseno):

(5.11)

e con simmetria F(a) rispetto all'origine (Fig.5.1, B) armoniche dispari
(5.12)

Quando si sposta l'origine della funzione F(a) il suo spettro di ampiezza non cambia, ma cambia solo lo spettro di fase. Infatti, spostiamo la funzione F(a) lungo l'asse temporale a sinistra di T 0 e denota.

Allora l'espansione (5.9) assume la forma
(5.13)

Esempio. Espandere le oscillazioni rettangolari in una serie di Fourier (Fig.5.1, B). Considerando che F(a) è simmetrica rispetto all'origine, solo le armoniche sinusoidali (5.12) rimangono in espansione (5.3), dove b kè determinato secondo (5.4):

sostituzione b k in (5.12), otteniamo uno sviluppo in una serie di Fourier:
(5.14)

Avanti, muoviamoci F(a) p / 2 a sinistra (vedi Fig.5.1, un). Allora, secondo la (5.13), otteniamo

(5.15)

Cioè abbiamo ottenuto un'espansione in componenti del coseno, come dovrebbe essere per un segnale simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

In alcuni casi, quando la funzione periodica F(a) è dato graficamente e ha una forma complessa, la sua espansione in una serie di Fourier può essere eseguita graficamente in modo analitico. La sua essenza sta nel fatto che il periodo del segnale T(fig.5.2) è suddiviso in m intervalli uguali e i punti di interruzione F(a) non deve cadere nel mezzo delle sezioni frazionate; determinare il valore del segnale F(un n) al centro di ogni sezione della scissione.

Trova i coefficienti di espansione un k e b k sostituendo l'integrale in (5.2) con la somma finita
(5.16)

L'equazione (5.16) è facilmente programmabile e durante il calcolo un k e b k, è possibile utilizzare un computer.

5.2. RMS, valore medio e potenza di un segnale periodico non armonico

Per chiarezza, assumiamo che F(T) ha il significato della corrente io(T). Quindi il valore effettivo della corrente periodica non armonica è determinato secondo (3.5), dove io(T) è determinato dall'equazione (5.10):
(5.17)

Sostituendo questo valore corrente nella (3.5), dopo l'integrazione si ottiene
(5.18)

cioè il valore effettivo della corrente periodica non armonica io completamente determinato dai valori effettivi delle sue armoniche io k e non dipende dalle loro fasi iniziali K.

In modo simile, troviamo il valore effettivo della tensione periodica non sinusoidale:
(5.19)

Il valore medio della corrente è determinato secondo l'espressione generale (3.9). Inoltre, di solito prendono il valore medio io(T) in valore assoluto
(5.20)

Allo stesso modo, è determinato tu mer (2).

Dal punto di vista della teoria dei circuiti, sono di grande interesse la potenza attiva media di un segnale disarmonico e la sua distribuzione tra le singole armoniche.

Potenza attiva media di un segnale periodico non sinusoidale
(5.21)
dove
(5.22)

K- sfasamento tra corrente e tensione K th armonico.

Sostituendo i valori io(T) e tu(T) dalla (5.22) nell'equazione (5.21), dopo l'integrazione si ottiene:
(5.23)
cioè, la potenza attiva media di un segnale periodico non armonico su un periodo è uguale alla somma delle potenze delle singole armoniche. La formula (5.23) è una delle forme del ben noto Uguaglianze di Parseval.

Allo stesso modo, troviamo la potenza reattiva
(5.24)
e piena potenza
(5.25)

Va sottolineato che, a differenza dei segnali armonici, per i segnali non armonici
(5.26)

La grandezza P isc = porta il nome potere di distorsione e caratterizza il grado di differenza nelle forme della corrente io(T) e tensione tu(T).

Oltre al potere di distorsione, i segnali periodici non armonici sono caratterizzati anche da una serie di coefficienti:potenza, k m = P / S; forme K f = U / U cf (2); ampiezze K a = U m / U; distorsioni k e = U 1 / U; armoniche k r = e così via.

Per segnale sinusoidale K f = / 21,11; K a = 1,41; K u = 1; K r = 0.

5.3. Spettri di segnali periodici non armonici

Si consideri la sequenza di impulsi rettangolari mostrata in Fig. 5.3, un... I segnali di questa forma sono ampiamente utilizzati nell'ingegneria radiofonica e nelle telecomunicazioni: telegrafia, sistemi di trasmissione digitale, sistemi di comunicazione multicanale con divisione temporale dei canali, vari dispositivi digitali e a impulsi, ecc. (vedi cap. 19). La sequenza degli impulsi è caratterizzata dai seguenti parametri di base: ampiezza dell'impulso UN e e può dare un senso sia alla tensione che alla corrente. ">, la sua durata T e e il periodo successivo T... Rapporto periodo T alla durata T e ho chiamato ciclo di lavoro ed è indicato con q = T / t e... In genere, i valori del ciclo di lavoro variano da diverse unità (in apparecchiature di misurazione, dispositivi per la trasmissione discreta e l'elaborazione delle informazioni), fino a diverse centinaia o migliaia (nei radar).

Per trovare lo spettro di una sequenza di impulsi rettangolari, usiamo la serie di Fourier in forma complessa (5.6). Ampiezza complessa K-esima armonica è uguale secondo (5.8) dopo il ritorno alla variabile originale T.

(5.27)

Sostituendo il valore UN K nell'equazione (5.6), otteniamo uno sviluppo in una serie di Fourier:
(5.28)

Nella fig. 5.4 mostra lo spettro delle ampiezze complesse per Q= 2 e Q= 4. Come si può vedere dalla figura, lo spettro di una sequenza di impulsi rettangolari è uno spettro discreto con un inviluppo (linea tratteggiata in Fig. 5.4), che è descritto dalla funzione
(5.29)
chiamata funzione di conteggio (vedi cap. 19). Il numero di righe spettrali tra l'origine lungo l'asse delle frequenze e il primo zero dell'inviluppo è Q- 1. Componente costante del segnale (valore medio) , e il valore effettivo UN=, cioè maggiore è il duty cycle, minore è il livello della componente costante e il valore effettivo del segnale. Con l'aumento del ciclo di lavoro Q il numero di componenti discreti aumenta - lo spettro diventa più denso (vedi Fig. 5.4, B), e l'ampiezza delle armoniche diminuisce più lentamente. Va sottolineato che, in accordo con (5.27), lo spettro della sequenza considerata di impulsi rettangolari è reale.

Dallo spettro delle ampiezze complesse (5.27), si può distinguere l'ampiezza un k = |UN K| e spettro di fase K= argomento UN K mostrato in Fig. 5,5 per il caso Q= 4. Dalle figure si può vedere che lo spettro di ampiezza è pari e lo spettro di fase è una funzione dispari della frequenza. Inoltre, le fasi delle singole armoniche assumono valore zero tra i nodi, dove il seno è positivo, oppure ±, dove il seno è negativo (Fig.5.5, B)

In base alla formula (5.28), otteniamo la forma trigonometrica dello sviluppo nella serie di Fourier in armoniche pari (confronta con (5.15)):
(5.30)

Quando la sequenza di impulsi viene spostata lungo l'asse del tempo (Fig.5.2, B) in accordo con (5.13), il suo spettro di ampiezza rimarrà lo stesso e lo spettro di fase cambierà:
(5.31)

Nel caso in cui la sequenza periodica abbia una forma bipolare (vedi Fig. 5.1), non ci sarà una componente costante nello spettro (confrontare (5.30) e (5.31) con (5.14) e (5.15)).

Allo stesso modo, si può studiare la composizione spettrale di segnali periodici non armonici di forma diversa. La tabella 5.1 mostra l'espansione di Fourier di alcuni dei segnali più comuni.

Tabella 5.1

	Tipi di segnale	Espansione in serie di Fourier
1
2
3
4
5
6

5.4. Calcolo di circuiti con influenze periodiche non armoniche

Il principio di sovrapposizione è alla base del calcolo dei circuiti elettrici lineari sotto l'influenza di segnali periodici non armonici. La sua essenza in relazione alle influenze non armoniche è scomporre un segnale periodico disarmonico in una delle forme della serie di Fourier (vedi 5.1. Segnali periodici non armonici. Espansione della serie di Fourier) e determinare separatamente la risposta della catena da ciascuna armonica. La reazione risultante si trova per sovrapposizione (sovrapposizione) delle reazioni parziali risultanti. Pertanto, il calcolo dei circuiti sotto influenze periodiche non armoniche include il compito di analizzare la composizione spettrale del segnale (la sua espansione in una serie di Fourier), il calcolo del circuito da ciascuna componente armonica e il compito di sintesi, come risultato di quale viene determinato il segnale di uscita risultante in funzione del tempo (frequenza) o della sua efficacia (valore di picco).

Quando si risolve il problema dell'analisi, viene solitamente utilizzata la forma trigonometrica (5.3) o complessa (5.6) della serie di Fourier con un numero limitato di termini di espansione, il che porta a qualche errore nell'approssimazione del segnale vero. Coefficienti di espansione un k e b k in (5.3) o un k e K in (5.6) sono determinati utilizzando le equazioni (5.4), (5.7) e (5.8). In questo caso, il segnale di ingresso F a) deve essere specificato analiticamente. Se il segnale viene specificato graficamente, ad esempio sotto forma di oscillogramma, per trovare i coefficienti di espansione un k e b k può essere utilizzato il metodo grafico-analitico (vedi (5.16)).

Il calcolo del circuito dalle singole armoniche viene solitamente eseguito utilizzando un metodo simbolico. Va tenuto presente che su K th armonica reattanza induttiva X L(K) = kL e resistenza capacitiva X Do(K) = 1/(kС), cioè su K th armonica reattanza induttiva in K volte di più, e il capacitivo in K volte inferiore rispetto alla prima armonica. Ciò, in particolare, spiega il fatto che le armoniche elevate nella capacità sono più pronunciate e nell'induttanza sono più deboli rispetto alla tensione applicata loro. Resistenza attiva R alle basse e medie frequenze può essere considerato indipendente dalla frequenza.

Dopo aver determinato le correnti e le tensioni desiderate dalle singole armoniche mediante il metodo di sovrapposizione, viene trovata la risposta del circuito risultante a un effetto periodico disarmonico. In questo caso, o il valore istantaneo del segnale risultante viene determinato in base al calcolo delle ampiezze e delle fasi delle singole armoniche o della sua ampiezza o dei valori effettivi secondo le equazioni (5.18), (5.19). Quando si determina la risposta risultante, si deve ricordare che in accordo con la rappresentazione delle oscillazioni periodiche non armoniche sul piano complesso, i vettori di diverse armoniche ruotano con diverse frequenze angolari.

Esempio. Al circuito mostrato in fig. 5.6, tensione applicata tu(T) sotto forma di impulsi rettangolari con un periodo di ripetizione T= 2T e e ampiezza UN u = 1B (vedi Fig.5.3, B). Determinare i valori istantanei ed effettivi della tensione ai capi del condensatore.

L'espansione di questa tensione in una serie di Fourier è determinata dalla formula (5.31). Limitiamoci ai primi tre termini di espansione (5.31): la k-esima armonica è uno stato di un circuito elettrico costituito da elementi reattivi di vario tipo, in cui lo sfasamento tra la corrente di ingresso e la tensione applicata K-x armoniche è zero. Il fenomeno della risonanza può essere utilizzato per isolare le singole armoniche da un segnale periodico non sinusoidale. Va sottolineato che una risonanza di corrente a una frequenza e una risonanza di tensione a un'altra possono essere ottenute contemporaneamente in un circuito.

Esempio. Per il circuito mostrato in fig. 5.7, per un dato 1, l 1 trova valore C 1 e C 2, alla quale si verificano simultaneamente la risonanza di tensione alla 1a armonica e la risonanza di corrente alla 5a armonica.

Dalla condizione di risonanza della tensione, troviamo che la reattanza di ingresso del circuito alla prima armonica dovrebbe essere zero:
(5.32)

e al quinto - infinito (la conduttanza reattiva in ingresso alla quinta armonica dovrebbe essere uguale a zero):
(5.33)

Dalle condizioni (5.32) e (5.33) troviamo il valore desiderato delle capacità:

Descrizioni generali

Il matematico francese Fourier (J.B.J. Fourier 1768-1830) proclamò un'ipotesi piuttosto audace per il suo tempo. Secondo questa ipotesi, non esiste funzione che non possa essere espansa in una serie trigonometrica. Sfortunatamente, tuttavia, un'idea del genere non fu presa sul serio all'epoca. E questo è naturale. Lo stesso Fourier non è stato in grado di fornire prove convincenti ed è molto difficile credere intuitivamente all'ipotesi di Fourier. È particolarmente difficile immaginare il fatto che quando si aggiungono funzioni semplici, come quelle trigonometriche, vengono riprodotte funzioni completamente diverse da esse. Ma se assumiamo che l'ipotesi di Fourier sia corretta, allora un segnale periodico di qualsiasi forma può essere scomposto in sinusoidi di frequenze diverse, o viceversa, mediante l'opportuna aggiunta di sinusoidi con frequenze diverse, è possibile sintetizzare un segnale di qualsiasi forma. Pertanto, se questa teoria è corretta, il suo ruolo nell'elaborazione del segnale può essere molto ampio. In questo capitolo cercheremo innanzitutto di illustrare la correttezza della congettura di Fourier.

Considera la funzione

f (t) = peccato T - peccato 2t

Serie trigonometriche semplici

La funzione è la somma di funzioni trigonometriche, in altre parole, si presenta come una serie trigonometrica di due termini. Aggiungi un termine e crea una nuova serie di tre termini

Aggiungendo ancora alcuni termini, otteniamo una nuova serie trigonometrica di dieci termini:

I coefficienti di questa serie trigonometrica sono indicati come B K , dove k - numeri interi. Se osservi attentamente l'ultimo rapporto, puoi vedere che i coefficienti possono essere descritti dalla seguente espressione:

Allora la funzione f (t) può essere rappresentata come segue:

Probabilità B K - queste sono le ampiezze delle sinusoidi con frequenza angolare A. In altre parole, impostano l'ampiezza delle componenti di frequenza.

Considerando il caso in cui l'apice aè uguale a 10, cioè M = 10. Aumentando il valore m fino a 100, otteniamo la funzione f (t).

Questa funzione, essendo una serie trigonometrica, ha una forma simile a un segnale a dente di sega. E sembra che l'ipotesi di Fourier sia del tutto corretta in relazione ai segnali fisici di cui abbiamo a che fare. Inoltre, in questo esempio, la forma d'onda non è uniforme, ma include punti di interruzione. E il fatto che la funzione sia riproducibile anche nei punti di interruzione sembra promettente.

Ci sono infatti molti fenomeni nel mondo fisico che possono essere rappresentati come la somma di vibrazioni di varie frequenze. La luce è un tipico esempio di questi fenomeni. È la somma delle onde elettromagnetiche con una lunghezza d'onda da 8000 a 4000 angstrom (dal rosso al viola). Naturalmente sai che se la luce bianca viene fatta passare attraverso un prisma, appare uno spettro di sette colori puri. Questo perché l'indice di rifrazione del vetro da cui è composto il prisma cambia con la lunghezza dell'onda elettromagnetica. Questa è proprio la prova che la luce bianca è la somma di onde luminose di diversa lunghezza. Quindi, facendo passare la luce attraverso un prisma e ottenendo il suo spettro, possiamo analizzare le proprietà della luce esaminando le combinazioni di colori. Allo stesso modo, scomponendo il segnale ricevuto in diverse componenti di frequenza, possiamo scoprire come si è originato il segnale originale, quale percorso ha seguito o, infine, a quale influenza esterna è stato sottoposto. In breve, possiamo ottenere informazioni per chiarire l'origine del segnale.

Questo metodo di analisi è chiamato analisi spettrale o Analisi di Fourier.

Consideriamo il seguente sistema di funzioni ortonormali:

Funzione f (t) può essere ampliato in termini di questo sistema di funzioni sul segmento [-π, π] come segue:

Coefficienti α K,β k, come mostrato in precedenza, può essere espresso in termini di prodotti scalari:

In generale, la funzione f (t) può essere rappresentato come segue:

Coefficienti α 0 , α K, k si chiama coefficienti di Fourier, e si chiama una rappresentazione simile di una funzione espansione in una serie di Fourier. Questo è a volte indicato come valido espansione in una serie di Fourier e coefficienti - coefficienti di Fourier reali. Il termine "reale" viene introdotto per distinguere l'espansione presentata dall'espansione di Fourier in forma complessa.

Come accennato in precedenza, una funzione arbitraria può essere espansa in termini di un sistema di funzioni ortogonali, anche se le funzioni di questo sistema non sono rappresentate come una serie trigonometrica. Di solito, un'espansione in serie di Fourier significa un'espansione in serie trigonometrica. Se i coefficienti di Fourier sono espressi in termini di α 0 , α K, k otteniamo:

Poiché per k = 0 costo= 1, allora la costante uno 0/2 esprime la visione generale del coefficiente un k in K= 0.

In relazione (5.1), l'oscillazione del periodo più grande, rappresentato dalla somma cos t e peccato t, si chiama oscillazione della frequenza fondamentale o prima armonica. Un'oscillazione con un periodo pari alla metà del periodo principale è chiamata la seconda armonico. Viene chiamata un'oscillazione con un periodo pari a 1/3 del periodo principale terza armonica eccetera. Come si può vedere dalla relazione (5.1) un 0 è una costante che esprime la media della funzione f (t)... Se la funzione f (t) rappresenta un segnale elettrico, quindi uno 0 rappresenta la sua componente costante. Di conseguenza, tutti gli altri coefficienti di Fourier esprimono le sue componenti variabili.

Nella fig. 5.2 mostra il segnale e la sua espansione nella serie di Fourier: in una componente costante e armoniche di varie frequenze. Nel dominio del tempo, dove la variabile è il tempo, il segnale è espresso dalla funzione f (t), e nel dominio della frequenza, dove la variabile è frequenza, il segnale è rappresentato dai coefficienti di Fourier (ak, bk).

La prima armonica è una funzione periodica con un periodo 2 . Anche altre armoniche hanno un periodo multiplo di 2 π . Sulla base di ciò, quando si forma un segnale dai componenti della serie di Fourier, si ottiene naturalmente una funzione periodica con un periodo 2 . E se è così, allora l'espansione in una serie di Fourier è, in senso stretto, un modo di rappresentare funzioni periodiche.

Espandiamo un segnale di tipo frequente in una serie di Fourier. Ad esempio, si consideri la curva a dente di sega precedentemente menzionata (Figura 5.3). Segnale di questa forma sul segmento - π < t < I è espresso dalla funzione f ( T)= T, quindi i coefficienti di Fourier possono essere espressi come segue:

Esempio 1.

Espansione in serie di Fourier di un segnale a dente di sega

f (t) = t,

un) Sequenza di impulsi rettangolari .

Fig 2. Sequenza di impulsi rettangolari.

Questo segnale è una funzione pari e per la sua rappresentazione è comodo da usare seno coseno Serie di Fourier:

. (17)

La durata degli impulsi e il periodo della loro ripetizione sono inclusi nella formula risultante sotto forma di un rapporto, che viene chiamato ciclo di lavoro a treno di impulsi :.

. (18)

Il valore del termine costante della serie, tenendo conto corrisponde a:

.

La rappresentazione di una sequenza di impulsi rettangolari sotto forma di serie di Fourier è:

. (19)

Il grafico della funzione è a forma di lobo. L'asse orizzontale è graduato in numeri armonici e in frequenze.

Fig 3. Rappresentazione di una sequenza di impulsi rettangolari

sotto forma di serie di Fourier.

Larghezza del petalo, misurato nel numero di armoniche, è uguale al duty cycle (per, abbiamo, se). Ciò implica un'importante proprietà dello spettro di una sequenza di impulsi rettangolari - in esso non ci sono armoniche con numeri multipli del duty cycle ... La distanza di frequenza tra armoniche adiacenti è uguale alla frequenza di ripetizione dell'impulso. La larghezza dei lobi, misurata in unità di frequenza, è uguale a, ad es. è inversamente proporzionale alla durata del segnale. Possiamo concludere: più breve è l'impulso, più ampio è lo spettro .

b) Segnale a dente di sega .

Fig 4. Segnale a dente di sega.

Il segnale a dente di sega all'interno del periodo è descritto da una funzione lineare

, . (20)

Questo segnale è una funzione dispari, quindi la sua serie di Fourier in forma seno-coseno contiene solo componenti seno:

La serie di Fourier del segnale a dente di sega è:

Per gli spettri dei segnali rettangolari e a dente di sega, è caratteristico che le ampiezze delle armoniche con un aumento del loro numero diminuire proporzionalmente .

v) Treno di impulsi triangolari .

La serie di Fourier è:

Fig 5. Sequenza di impulsi triangolari.

Come si vede, a differenza di una sequenza di impulsi rettangolari ea dente di sega, per un segnale periodico triangolare, le ampiezze delle armoniche diminuiscono in proporzione alla seconda potenza dei numeri armonici. Ciò è dovuto al fatto che la velocità di decadimento dello spettro dipende da il grado di morbidezza del segnale.

Lezione numero 3. Trasformata di Fourier.

Proprietà della trasformata di Fourier.

Forme di notazione della serie di Fourier. Il segnale si chiama periodico, se la sua forma si ripete ciclicamente nel tempo Segnale periodico tu (t) in forma generale si scrive come segue:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2,…

Ecco il periodo T del segnale. I segnali periodici possono essere semplici o complessi.

Per la rappresentazione matematica di segnali periodici con un periodo T viene spesso utilizzata la serie (2.2), in cui vengono scelte oscillazioni armoniche (sinusoidale e coseno) di frequenze multiple come funzioni di base

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

dove w 1 = 2p / T è la frequenza angolare fondamentale della sequenza

funzioni. Con le funzioni di base armonica, dalla serie (2.2) si ottiene la serie di Fourier (Jean Fourier è un matematico e fisico francese del XIX secolo).

Le funzioni armoniche della forma (2.3) nella serie di Fourier hanno i seguenti vantaggi: 1) semplice descrizione matematica; 2) invarianza alle trasformazioni lineari, cioè se un'oscillazione armonica agisce all'ingresso di un circuito lineare, allora alla sua uscita ci sarà anche un'oscillazione armonica, che differisce dall'ingresso solo per ampiezza e fase iniziale; 3) come un segnale, le funzioni armoniche sono periodiche e hanno durata infinita; 4) la tecnica per generare funzioni armoniche è abbastanza semplice.

È noto dal corso di matematica che per l'espansione di un segnale periodico in una serie in funzioni armoniche (2.3), è necessario soddisfare le condizioni di Dirichlet. Ma tutti i segnali periodici reali soddisfano queste condizioni e possono essere rappresentati come una serie di Fourier, che può essere scritta in una delle seguenti forme:

u (t) = A 0/2 + (A 'mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

dove i coefficienti

A 0 =

Un mn ”= (2.5)

u (t) = LA 0/2 + (2.6)

A mn = (2.7)

o in forma complessa

u (t) = (2.8)

Cn = (2.9)

Segue dalla (2.4) - (2.9) che, nel caso generale, il segnale periodico u (t) contiene una componente costante A 0/2 e un insieme di oscillazioni armoniche della frequenza fondamentale w 1 = 2pf 1 e le sue armoniche con frequenze wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Ciascuna delle armoniche

oscillazioni della serie di Fourier è caratterizzata dall'ampiezza e dalla fase iniziale y n .nn

Diagramma spettrale e spettro di un segnale periodico. Se un segnale viene presentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, allora si dice che decomposizione spettrale segnale.

diagramma spettrale segnale è solitamente chiamato una rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier di questo segnale. Distinguere tra diagrammi di ampiezza e di fase. Nella fig. 2.6 su una certa scala lungo l'asse orizzontale vengono tracciati i valori delle frequenze armoniche, lungo l'asse verticale - le loro ampiezze A mn e fasi y n. Inoltre, le ampiezze delle armoniche possono assumere solo valori positivi, le fasi - valori sia positivi che negativi nell'intervallo -p £ y n £ p

Spettro del segnaleè un insieme di componenti armoniche con valori specifici di frequenze, ampiezze e fasi iniziali, che insieme formano un segnale. Nelle applicazioni tecniche, in pratica, i diagrammi spettrali vengono chiamati più brevemente - spettro di ampiezza, spettro di fase. Molto spesso sono interessati al diagramma spettrale di ampiezza. Può essere utilizzato per stimare la percentuale di armoniche nello spettro.

Esempio 2.3. Espandere una sequenza periodica di impulsi video rettangolari in una serie di Fourier Con parametri conosciuti (U m, T, t z), anche "Relativo al punto t = 0. Costruisci un diagramma spettrale di ampiezze e fasi a U m = 2B, T = 20 ms, S = T / t e = 2 e 8.

Un dato segnale periodico su un intervallo di un periodo può essere scritto come

u (t) =

Per rappresentare questo segnale, usiamo la forma di scrittura della serie di Fourier v forma (2.4). Poiché il segnale è pari, nell'espansione rimarranno solo le componenti del coseno.

Riso. 2.6. Diagrammi spettrali di un segnale periodico:

a - ampiezza; B- fase

L'integrale di una funzione dispari su un periodo è uguale a zero. Usando le formule (2.5), troviamo i coefficienti

permettendo di scrivere la serie di Fourier:

Per costruire diagrammi spettrali per dati numerici specifici, impostiamo i = 0, 1, 2, 3, ... e calcoliamo i coefficienti armonici. I risultati del calcolo delle prime otto componenti dello spettro sono riassunti nella tabella. 2.1. Nella serie (2.4) A "mn = 0 e secondo (2.7) A mn = | A 'mn |, la frequenza fondamentale f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Hz, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314 rad/s . Lo spettro di ampiezza in Fig.

2.7 è costruito per tale n, al quale un mn più del 5% del valore massimo.

Dall'esempio 2.3 riportato segue che con un aumento del duty cycle, il numero di componenti spettrali aumenta e le loro ampiezze diminuiscono. Si dice che un tale segnale abbia uno spettro ricco. Va notato che per molti segnali utilizzati nella pratica non è necessario calcolare le ampiezze e le fasi delle armoniche utilizzando le formule fornite in precedenza.

Tabella 2.1. Ampiezza delle componenti della serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi rettangolari

Riso. 2.7. Diagrammi spettrali di una sequenza periodica di impulsi: un-con duty cycle S-2; - b-quando duty cycle S = 8

Nei libri di riferimento matematici ci sono tabelle di scomposizione del segnale nella serie di Fourier. Una di queste tabelle è riportata in appendice (Tabella A.2).

Sorge spesso la domanda: quante componenti spettrali (armoniche) prendere per rappresentare un segnale reale come una serie di Fourier? Dopotutto, la serie è, in senso stretto, infinita. Non si può qui dare una risposta univoca. Tutto dipende dalla forma del segnale e dall'accuratezza della sua rappresentazione da parte della serie di Fourier. Cambio del segnale più fluido - meno armoniche richieste. Se il segnale presenta salti (discontinuità), è necessario sommare più armoniche per ottenere lo stesso errore. Tuttavia, in molti casi, ad esempio in telegrafia, si ritiene che tre armoniche siano sufficienti anche per la trasmissione di impulsi rettangolari con bordi ripidi.