Coniugazione di operatori nello spazio euclideo. Operatori lineari negli spazi euclidei

Sia S uno spazio euclideo e la sua complessificazione. Introduciamo il prodotto scalare in S con la formula:

È necessario verificare la correttezza di questa definizione. L'additività rispetto al primo argomento con un secondo fisso è ovvia. Per verificare la linearità rispetto al primo argomento è sufficiente assicurarsi che sia possibile rimuovere il fattore complesso dal primo argomento. Il calcolo corrispondente non è difficile, ma piuttosto ingombrante. Esattamente:

La simmetria con l'involuzione è ovvia: quando si scambiano i luoghi, la parte reale del prodotto scalare non cambia e la parte immaginaria cambia segno al contrario.

Infine, se. Così, la complessificazione dello spazio euclideo S diventa uno spazio unitario.

Si noti inoltre che il prodotto scalare di una coppia di vettori e il prodotto scalare di una coppia di vettori complessi ad essi coniugati sono complessi coniugati. Ciò deriva direttamente dalla definizione di prodotto scalare in.

2. Operatori nello spazio euclideo e loro continuazione alla complessificazione.

Nello spazio euclideo, l'operatore aggiunto è definito per un operatore dalla stessa formula per ogni x e y, come in uno spazio unitario. La dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità dell'operatore aggiunto non differisce in alcun modo da prove simili per uno spazio unitario. La matrice degli operatori nella base ortonormale viene semplicemente trasposta con la matrice degli operatori.Quando gli operatori mutuamente coniugati vengono continuati da S a, rimangono coniugati.

Veramente,

3. Operatori normali nello spazio euclideo.

Un operatore normale in uno spazio euclideo S rimane normale sotto la sua continuazione alla complessificazione dello spazio S. Pertanto, S ha una base ortonormale di autovettori che diagonalizzano la matrice dell'operatore A.

Per autovalori reali si possono prendere autovettori reali, cioè giacenti in S. Infatti, le coordinate degli autovettori rispetto alla base sono determinate da equazioni lineari omogenee con coefficienti reali nel caso in cui l'autovalore sia reale.

Gli autovalori complessi appaiono in coppie di coniugati con la stessa molteplicità. Avendo scelto una base ortonormale tra gli autovettori appartenenti a qualche autovalore at, la base degli autovettori per l'autovalore può essere presa dai vettori coniugati ai vettori della base degli autovalori per X. Tale base sarà ortonormale. Ora allunghiamo un sottospazio complesso bidimensionale per ogni coppia di vettori e coniugati.

Tutti questi sottospazi sono invarianti, ortogonali tra loro e ad autovettori reali corrispondenti ad autovalori reali.

Lo spazio complesso attraversato da vettori e coincide ovviamente con il sottospazio complesso attraversato dai vettori Reali u e y, e, quindi, è la complessificazione del sottospazio reale attraversato da.

perché nello spazio euclideo S il prodotto scalare è simmetrico.

Da questa uguaglianza segue che, cioè, anche i vettori e e v sono ortogonali. Ricordiamo ora che il vettore è normalizzato, cioè in considerazione dell'ortogonalità di u e. Pertanto, in modo che i vettori u e v non siano normalizzati, ma si normalizzino dopo aver moltiplicato per

Quindi, per un operatore normale che agisce in uno spazio euclideo S, esiste una base ortonormale composta da autovettori appartenenti ad autovalori reali e moltiplicata per parti reali e immaginarie degli autovettori appartenenti ad autovalori complessi. I sottospazi unidimensionali attraversati da autovettori reali e i sottospazi bidimensionali attraversati da componenti di autovettori complessi sono invarianti, per cui la matrice degli operatori nella base costruita è quasi diagonale e composta da blocchi diagonali del primo e del secondo ordine. I blocchi del primo ordine sono autovalori reali. Troviamo blocchi del secondo ordine. Sia E un autovettore appartenente all'autovalore. Quindi

Esattamente le stesse relazioni rimangono dopo che i vettori sono stati moltiplicati per Quindi, i blocchi del secondo ordine hanno la forma

Si noti inoltre che questi blocchi compaiono dal sottospazio attraversato dagli autovettori coniugati appartenenti agli autovalori coniugati, per cui insieme al blocco scritto utilizzando l'autovalore, non è necessario includere il blocco corrispondente all'autovalore

4. Operatori autoaggiunti nello spazio euclideo.

Un operatore normale nello spazio euclideo è autoaggiunto se e solo se tutti i suoi autovalori sono reali. Infatti, un operatore autoaggiunto in uno spazio euclideo rimane autoaggiunto anche in una complessificazione. Pertanto, esiste una base ortonormale nello stesso spazio euclideo, in cui la sua matrice è diagonale. In termini di matrici, ciò significa che per ogni reale matrice simmetrica Ed esiste una matrice ortogonale C tale che sia diagonale. Questa circostanza è stata chiarita nel cap. V in relazione alla trasformazione ortogonale della forma quadratica nella forma canonica. La stretta connessione tra la teoria degli operatori autoaggiunti nello spazio euclideo con la teoria delle forme quadratiche si vede chiaramente dal fatto che il prodotto scalare è espresso in termini di coordinate di un vettore in una base ortonormale in forma quadratica forma con una matrice uguale alla matrice dell'operatore M nella stessa base, e con una trasformazione ortogonale delle coordinate, l'operatore matrice e la matrice di forma quadratica si trasformano nello stesso modo:

perché per una matrice ortogonale

Per gli operatori autoaggiunti in uno spazio euclideo, valgono le stesse proprietà osservate per gli operatori autoaggiunti in uno spazio unitario, e le loro dimostrazioni non sono diverse da quelle nel caso di uno spazio unitario.

Pertanto, ci limiteremo ad elencarli.

Un operatore autoaggiunto è definito positivo se e solo se i suoi autovalori sono positivi.

Una radice quadrata definita positiva può essere estratta da un operatore definito positivo autoaggiunto.

Qualsiasi operatore non degenere può essere rappresentato come un prodotto di un operatore autoaggiunto definito positivo e uno ortogonale, come in uno, giusto? e in un ordine diverso.

Un operatore di proiezione ortogonale è un operatore idempotente autoaggiunto e, viceversa, un operatore idempotente autoaggiunto è un operatore di proiezione ortogonale.

5. Operatori ortogonali.

Un operatore ortogonale ha una matrice ortogonale in qualsiasi base ortonormale. Poiché l'operatore ortogonale è normale, esiste una base ortonormale in cui la matrice dell'operatore è diagonale a blocchi ed è costituita da numeri reali sulla diagonale e blocchi del tipo di ortogonalità di tale matrice, ne consegue che in ogni blocco di il secondo ordine (Questo si vede anche dal fatto che l'operatore ortogonale diventa unitario man mano che si procede alla complessificazione, e quindi tutti i suoi autovalori sono modulo 1.)

Puoi mettere. Un operatore su un piano con una matrice è un operatore di rotazione di un piano di un angolo.

Un operatore ortogonale si dice propriamente ortogonale se il determinante della sua matrice è uguale a 1; se il determinante è -1, allora l'operatore è detto impropriamente ortogonale. L'ordine dei vettori di base può essere scelto in modo tale che la diagonale sia seguita prima da 1, poi da -1 e infine da blocchi del secondo ordine. Se l'operatore è propriamente ortogonale, il numero di elementi diagonali pari a -1 è pari. Una matrice del secondo ordine è considerata come un blocco del secondo ordine che significa geometricamente la rotazione del piano di.

Quindi, l'azione dell'operatore ortogonale proprio significa geometricamente quanto segue. Lo spazio è diviso in una somma ortogonale di sottospazi, uno dei quali è attraversato dagli autovettori appartenenti all'autovalore 1, che è il sottospazio dei vettori fissi, e diversi sottospazi bidimensionali, ciascuno dei quali ruota di un angolo (generalmente parlando , piani diversi ad angoli diversi).

Nel caso di un operatore impropriamente ortogonale, c'è un altro vettore base, che viene trasformato in quello opposto sotto l'azione dell'operatore.

LEZIONE 9

Operatori in spazi euclidei

Gli operatori lineari che agiscono negli spazi euclidei hanno una serie di proprietà speciali che sono molto importanti per le applicazioni dell'algebra lineare in varie aree tematiche. Ci soffermeremo solo sulle questioni principali di questa teoria, in particolare, studieremo la teoria degli operatori lineari esclusivamente in spazi reali con basi ortonormali, cioè nello spazio. Inoltre, gli operatori saranno considerati trasformazioni, cioè studieremo gli operatori
.

Operatore coniugato ... Considera il concetto di operatore abbinato all'operatore agendo nello spazio euclideo
.

Definizione 9.1. lascia stare
- qualche operatore lineare. Operatore
chiamatocollegato all'operatore , Se
la condizione è soddisfatta

. (9.1)

Teorema 9.1. Per qualsiasi operatore lineare
esiste un unico operatore aggiunto
che è anche lineare.

Prova. 1) Lascia che l'operatore esiste, dimostriamo la sua unicità. Per fare ciò, supponiamo che questo operatore non sia l'unico, ovvero che esistano, ad esempio, due operatori e soddisfacente Definizione 9.1. Allora, per la formula (9.1), abbiamo:

,
, (9.2)

da dove otteniamo

Per il fatto che nella Definizione 9.1 (nella formula (9.1)) il vettore
è arbitrario, poniamo l'uguaglianza (9.3)

,

.

Poiché il prodotto scalare soddisfa l'assioma di non degenerazione, dall'ultima uguaglianza si ha

da cui, per l'arbitrarietà del vettore segue che
e si dimostra l'unicità dell'operatore aggiunto.

2) Dimostriamo la linearità dell'operatore aggiunto. Usando la definizione (9.1) e le proprietà del prodotto scalare, si ottiene:

,
e

un)
;

Il confronto delle formule a) e b) implica la linearità dell'operatore aggiunto , ovvero:

.

3) Dimostriamo ora l'esistenza dell'operatore aggiunto. Ripariamo nello spazio
base canonica
e scrivi i vettori
e
nella forma delle loro espansioni in base canonica:

;
. (9.4)

Considera il calcolo dei lati sinistro e destro (9.1):

;

.

Confrontando le ultime due uguaglianze tenendo conto della (9.1), si ottiene:

. (9.5)

Quindi, se la matrice dell'operatore ha la forma

,

allora la matrice dell'operatore aggiunto ha la forma

. (9.6)

Dalla (9.6) segue che la matrice dell'operatore aggiunto in qualsiasi base ortonormale
si trova per trasposizione della matrice degli operatori , che dimostra l'esistenza dell'operatore aggiunto.

Dimostriamo un teorema sulle proprietà dell'operatore coniugato a un operatore lineare.

Teorema 9.2. Sono valide le seguenti proprietà dell'operatore aggiunto :
e

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Prova. Dimostriamo la prima relazione. lascia stare È un operatore lineare arbitrario. Per l'operatore coniugato il coniugato sarà l'operatore ... Quindi:

L'ultima uguaglianza vale per qualsiasi vettore , questo è,

,

da cui segue la dimostrazione della prima proprietà.

Dimostriamo la seconda relazione. Per fare ciò, considera la seguente catena di trasformazioni:

Il confronto dei lati sinistro e destro dell'uguaglianza (9.8) implica la dimostrazione della seconda proprietà.

Il resto delle proprietà sono dimostrate in modo simile.

Operatori autoaggiunti ... Nelle applicazioni Grande importanza avere operatori autoaggiunti .

Definizione 9.2. Operatore lineare
chiamatoautoaggiunto , Se
.

Dalla definizione segue che per un operatore autoaggiunto la relazione

. (9.9)

Poiché la matrice dell'operatore aggiunto è uguale alla matrice trasposta dell'operatore , allora per un operatore autoaggiunto gli elementi di matrice soddisfano l'uguaglianza
, questo è gli elementi della matrice di un operatore autoaggiunto che sono simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali a... Tale matrice è chiamata simmetrico ... Per questo motivo gli operatori autoaggiunti
chiamato spesso simmetrico .

Gli operatori autoaggiunti hanno una serie di proprietà facili da dimostrare utilizzando la definizione e le proprietà dell'operatore aggiunto.

1. Singolo operatore è autoaggiunto.

Prova. Ovviamente,

.

2. La somma degli operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto.

Prova. Se
e
, poi

.

3. Una composizione di operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto se e solo se questi operatori sono commutativi.

Prova. Ricordiamo che gli operatori sono detti commutativi se

,

,

dove - operatore nullo. Se
,
, poi

,

cos'è uguale? se e solo se gli operatori sono commutativi.

4. Operatore inverso all'operatore autoaggiunto non degenere
anche operatore autoaggiunto.

Prova. Infatti, se
, poi

.

5. Se È un operatore autoaggiunto, quindi il prodotto di questo operatore per un numero reale
è un operatore autoaggiunto.

Prova. Dalla terza proprietà (9.7), abbiamo:

.

Teorema 9.3. Autovettori di un operatore autoaggiunto agendo nello spazio
corrispondenti a coppie di autovalori differenti sono reciprocamente ortogonali.

:
e
, e
... Poiché l'operatore è autoaggiunto, allora
... Pertanto, rispettivamente a sinistra e a destra, abbiamo:

;

.

Da dove in vigore
noi abbiamo:
.

Il seguente importante teorema è vero per gli operatori autoaggiunti.

Teorema 9.4. Tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto
reale e diverso.

Prova. V caso generale la dimostrazione del teorema è piuttosto macchinosa. Per questo motivo, presentiamo una dimostrazione per il caso dell'operatore
... Quindi, sia dato qualche operatore lineare
con matrice ... Allora l'equazione caratteristica di questo operatore ha la forma:

.

Espandendo il determinante, si ottiene l'equazione caratteristica:

Troviamo la soluzione di questa equazione con la nota formula:

.

Il discriminante è:

Il primo termine, ovviamente, è sempre positivo, e il secondo è positivo, poiché
... Pertanto, le radici dell'equazione caratteristica sono reali e diverse.

Teorema 9.5. lascia stare
È un operatore autoaggiunto. Poi nello spazio
si può scegliere una base ortonormale

in modo che la matrice di operatori in questa base era diagonale.

Prova. Per il Teorema 9.4, tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto sono reali e differenti, e quindi, per il Teorema 9.3, gli autovettori di un operatore autoaggiunto sono mutuamente ortogonali. Il sistema degli autovettori può ovviamente essere normalizzato. Ma poi questi vettori formano la base dello spazio
, in cui l'operatore è un operatore di una struttura semplice, cioè ha una matrice diagonale.

Operatori ortogonali e loro proprietà, interpretazione geometrica ... Considera la definizione e le proprietà di un'importante classe di operatori che agiscono nello spazio
.

Definizione 9.3. Operatore agendo nello spazio
è chiamatoortogonale se conserva il prodotto scalare, cioè

.(9.10)

Dalla definizione segue che l'operatore ortogonale conserva le norme (lunghezze) dei vettori e gli angoli tra di essi .

Lemma 9.1. Operatore

.

Prova. lascia stare

,

da cui abbiamo:
... supponendo
, noi abbiamo:

.

lascia stare
... Poi abbiamo:

.

È ovvio che l'operatore ortogonale è non degenere cioè, la sua matrice è matrice inversa.

Teorema 9.6 (sulle proprietà degli operatori ortogonali). Operatori ortogonali
hanno le seguenti proprietà:

1)l'operatore dell'unità è ortogonale;

2)anche la composizione degli operatori ortogonali è un operatore ortogonale;

3)anche l'operatore inverso all'operatore ortogonale è ortogonale;

4)Se
È un operatore ortogonale, allora l'operatore
è ortogonale se e solo se
.

Prova. 1. La dimostrazione di questa proprietà è quasi ovvia:

.

2. Lascia
e
- operatori ortogonali. Quindi:

3. Lascia operatore ortogonale. Tener conto di
:

.

4. Lascia - operatore ortogonale. Quindi

.

Teorema 9.7 (criterio per l'ortogonalità di un operatore). Operatore agendo nello spazio
, è ortogonale se e solo se mappa almeno una base ortonormale su una base ortonormale.

Prova. lascia stare
- operatore ortogonale. Quindi, preservando il prodotto scalare, trasforma la base ortonormale in base ortonormale.

Ora lascia che l'operatore
traduce la base ortonormale

in una nuova base ortonormale

.

Quindi

.

.

Considera le proprietà della matrice dell'operatore ortogonale.

Teorema 9.8. Sistema di vettori colonna (righe) della matrice dell'operatore ortogonale
in qualsiasi base ortonormale

è ortonormale.

Prova. lascia stare
- qualche operatore ortogonale e
- alcune basi ortonormali. Per il Teorema 9.9, il sistema di immagini dei vettori di base è esso stesso ortonormale, cioè
... Pertanto, per le colonne della matrice dell'operatore

,

(come vettori dello spazio aritmetico
) noi abbiamo:

. (9.11)

Una proprietà simile è valida anche per le righe della matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Matrice di operatori ortogonali
in qualsiasi base ortonormale soddisfa la condizione

. (9.13)

Prova. lascia stare
- operatore ortogonale. Poiché le matrici degli operatori e sono legati dalle relazioni

,

da cui per la matrice degli operatori otteniamo (9.11).

Viceversa, valga la relazione (9.11). Quindi
, da cui segue che l'operatore è ortogonale.

Definizione 9.4. Matrice per cui la proprietà è soddisfatta(9.13),chiamato ortogonale.

Ecco alcuni teoremi sulle proprietà dell'operatore ortogonale.

Teorema 9.10. Autovalori dell'operatore ortogonale nello spazio
sono uguali
.

Prova. lascia stare
... Quindi

Poiché per definizione
, poi
.

Teorema 9.11. Determinante di una matrice ortogonale è uguale a

.

Prova. Per una matrice ortogonale, l'uguaglianza
... Ecco perchè
... Quindi

.

Sia l'operatore lineare UN agisce nello spazio euclideo E n e trasforma questo spazio in se stesso.

Introdurre definizione: operatore UN* chiamiamo l'operatore coniugato UN se per due vettori qualsiasi x, y da Е n l'uguaglianza dei prodotti scalari della forma è soddisfatta:

(Ascia, sì) = (x, A * y)

Ancora definizione: un operatore lineare si dice autoaggiunto se è uguale al suo operatore aggiunto, cioè l'uguaglianza è vera:

(Ascia, sì) = (x, ay)

o, in particolare ( Ascia, x) = (x, Ax).

Un operatore autoaggiunto ha alcune proprietà. Ecco qui alcuni di loro:

Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali (nessuna dimostrazione);

Gli autovettori di un operatore autoaggiunto sono ortogonali. Infatti, se x 1 e x 2 Sono autovettori, e 1 e 2 sono i loro autovalori, allora: Ascia 1 =  1 X; Ascia 2 =  2 X; (Ascia 1, x 2) = (x 1, Ascia 2), o 1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Poiché  1 e  2 sono diversi, quindi ( x 1, x 2) = 0, come richiesto.

Nello spazio euclideo esiste una base ortonormale degli autovettori dell'operatore autoaggiunto UN... Cioè, la matrice di un operatore autoaggiunto può sempre essere ridotta a una forma diagonale in una base ortonormale composta dagli autovettori dell'operatore autoaggiunto.

uno in più definizione: chiamiamo un operatore autoaggiunto che agisce nello spazio euclideo simmetrico operatore. Considera la matrice di un operatore simmetrico. Dimostriamo l'affermazione: perché un operatore sia simmetrico è necessario e sufficiente che la sua matrice sia simmetrica in base ortonormale.

lascia stare UN – operatore simmetrico, cioè.:

(Ascia, sì) = (x, ay)

Se UNÈ la matrice dell'operatore A, e X e sì- alcuni vettori, quindi scriviamo:

coordinate X e sì in qualche base ortonormale

Quindi: ( x, y) = X T Y = Y T X e abbiamo ( Ascia, sì) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, ay) = X T (A) = X T A,

quelli. X T A T Y = X T A Y. Per arbitrario matrici colonna X, Y questa uguaglianza è possibile solo per AT = A, il che significa che la matrice A è simmetrica.

Considera alcuni esempi di operatori lineari

Operatore design. Sia richiesto di trovare la matrice di un operatore lineare che proietta uno spazio tridimensionale sull'asse delle coordinate e 1 in base e 1 , e 2 , e 3 ... La matrice di un operatore lineare è una matrice le cui colonne devono contenere le immagini dei vettori di base e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Queste immagini sono ovviamente: ae 1 = (1,0,0)

ae 2 = (0,0,0)

ae 3 = (0,0,0)

Pertanto, in base e 1 , e 2 , e 3 la matrice dell'operatore lineare richiesto avrà la forma:

Troviamo il kernel di questo operatore. Secondo la definizione, il kernel è un insieme di vettori NS per cui AX = 0. Or

Cioè, il nucleo dell'operatore è l'insieme dei vettori che giacciono nel piano e 1 , e 2 ... La dimensione del kernel è n - rangA = 2.

L'insieme delle immagini di questo operatore è, ovviamente, l'insieme dei vettori collineari e 1 ... La dimensione dello spazio delle immagini è uguale al rango dell'operatore lineare ed è uguale a 1 , che è inferiore alla dimensione dello spazio di preimmagine. Cioè, l'operatore UN- degenerare. Anche la matrice A è degenere.

Un altro esempio: trova la matrice dell'operatore lineare operante nello spazio V 3 (la base io, J, K) trasformazione lineare - simmetria rispetto all'origine.

Abbiamo: Ai = -i

Cioè, la matrice richiesta

Considera una trasformazione lineare - simmetria rispetto al piano sì = X.

Aj = io(1,0,0)

Ak = K (0,0,1)

La matrice degli operatori sarà:

Un altro esempio è la già familiare matrice che collega le coordinate di un vettore quando gli assi delle coordinate vengono ruotati. Chiamiamo l'operatore che esegue la rotazione degli assi coordinati: l'operatore di rotazione. Supponiamo di girare di un angolo :

Ai'= Cos io+ peccato J

Aj'= -Sin io+ cos J

Matrice dell'operatore di rotazione:

Ai ‘ Aj ‘

Ricordiamo le formule per trasformare le coordinate di un punto quando si cambia la base - cambiando le coordinate sul piano quando si cambia la base:

NS Queste formule possono essere visualizzate in due modi. In precedenza, abbiamo considerato queste formule in modo che il punto si fermi, il sistema di coordinate ruoti. Ma può anche essere considerato in modo che il sistema di coordinate rimanga lo stesso e il punto si sposti dalla posizione M * alla posizione M. Le coordinate del punto M e M * sono definite nello stesso sistema di coordinate.

V Tutto quanto sopra ci consente di affrontare il prossimo compito che i programmatori che si occupano di grafica su un computer devono risolvere. Lascia che sia necessario sullo schermo del computer per ruotare una figura piatta (ad esempio un triangolo) rispetto al punto O 'con coordinate (a, b) di un angolo . La rotazione delle coordinate è descritta dalle formule:

Il trasferimento parallelo fornisce relazioni:

Per risolvere tale problema si usa solitamente un metodo artificiale: si introducono le cosiddette coordinate “omogenee” di un punto sul piano XOY: (x, y, 1). Quindi la matrice che esegue il trasferimento parallelo può essere scritta:

Veramente:

E la matrice di rotazione:

Il problema in esame può essere risolto in tre passaggi:

1° passo: traslazione parallela al vettore (-а, -b) per allineare il centro di rotazione con l'origine:

2° passo: svolta per angolo :

3° passo: trasferimento parallelo al vettore A (a, b) per riportare il centro di rotazione nella posizione precedente:

La trasformazione lineare desiderata in forma matriciale sarà simile a:

(**)

In questa sezione, mostriamo come le definizioni ei risultati delle sezioni precedenti riportino al caso degli spazi euclidei reali.

1. Osservazioni generali.

Consideriamo uno spazio euclideo reale a dimensione arbitraria V e un operatore A che agisce in V.

Il concetto di operatore lineare per il caso di spazio lineare reale è formulato in completa analogia con il corrispondente concetto di spazio complesso.

Definizione 1. Un operatore A si dice lineare se per qualsiasi elemento di qualsiasi numero reale a e P l'uguaglianza

In completa analogia con uno spazio complesso, viene introdotto il concetto di autovalore e autovettore di un operatore.

È importante notare che gli autovalori sono le radici dell'equazione caratteristica dell'operatore.

L'affermazione inversa nel caso reale è vera solo se la radice corrispondente dell'equazione caratteristica è reale. Solo in questo caso la radice indicata sarà un autovalore dell'operatore lineare considerato.

A questo proposito, è naturale distinguere alcune classi di operatori lineari in uno spazio euclideo reale, tutte le cui radici delle equazioni caratteristiche sono reali.

Nel Teorema 5.16 dimostrato sopra, è stato stabilito che tutti gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. Inoltre, il concetto di operatore autoaggiunto giocato ruolo importante nelle conclusioni del § 6 di questo capitolo sulle forme quadratiche. È quindi naturale trasferire il concetto di operatore autoaggiunto al caso di uno spazio reale.

Introduciamo innanzitutto il concetto di operatore A coniugato ad un operatore A. Vale a dire, un operatore A si dice coniugato ad A se per ogni xey da V l'uguaglianza

Il Teorema 5.12 sull'esistenza e l'unicità dell'operatore aggiunto può essere riportato senza difficoltà al caso di uno spazio reale.

Ricordiamo che la dimostrazione del Teorema 5.12 si basa sul concetto di forma sesquilineare. Nel caso reale, invece della forma sesquilineare, si dovrebbe usare la forma bilineare

Al riguardo, al comma 2, § 4, cap. 5, si fa un'osservazione corrispondente.

Ricordiamo a questo proposito la definizione di forma bilineare in qualsiasi reale, non necessariamente euclidea spazio lineare Sia B una funzione che assegna ad ogni coppia ordinata di vettori un numero reale

Definizione 2. Una funzione è detta forma bilineare definita su se per qualsiasi vettore da e qualsiasi numero reale X le relazioni

Un ruolo importante in questa sezione sarà svolto da una speciale rappresentazione della forma bilineare nella forma

dove A è un operatore lineare. Il teorema corrispondente (Teorema 5.11) su una rappresentazione simile di una forma sesquilineare in uno spazio complesso si basava sulle conclusioni del lemma nel § 4 di questo capitolo su una rappresentazione speciale di una forma lineare. Alla fine di questa sottosezione, è stato notato che questo lemma è vero anche in uno spazio reale. Notiamo solo che nella dimostrazione del lemma, la scelta degli elementi deve essere fatta non secondo la formula (5.41), ma usando la formula dove è una data forma lineare nello spazio reale.

Nel § 6 di questo capitolo sono state introdotte le forme hermitiane. Una forma hermitiana è una forma sesquilineare in uno spazio complesso, caratterizzata da una relazione (una barra su B significa che viene preso il valore complesso coniugato per B).

Nel caso di uno spazio reale, le forme bilineari simmetriche sono analoghe alle forme hermitiane. Questa forma è caratterizzata dal rapporto

Una forma bilineare definita su uno spazio lineare è detta antisimmetrica se per qualsiasi vettore della relazione è soddisfatta Ovviamente, per ogni forma bilineare della funzione

sono, rispettivamente, forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Da allora otteniamo la seguente dichiarazione:

Qualsiasi forma bilineare può essere rappresentata come la somma di una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.

È facile vedere che una tale rappresentazione è unica.

Dimostreremo il seguente teorema sulle forme bilineari simmetriche (questo teorema è analogo al Teorema 5.25 sulle forme hermitiani).

Teorema 5.33. Affinché la forma bilineare data su tutti i possibili vettori xey dello spazio euclideo reale V sia simmetrica, è necessario e sufficiente che l'operatore lineare A che compare nella rappresentazione (5.113) sia autoaggiunto.

Prova. Se A è un operatore autoaggiunto, allora usando le proprietà del prodotto scalare si ottiene

Quindi vale la relazione (5.114), cioè la forma bilineare è simmetrica.

Se la forma è simmetrica, valgono le seguenti relazioni:

Di conseguenza, l'operatore A è autoaggiunto. Il teorema è dimostrato.

Introduciamo il concetto di matrice di un operatore lineare A, Sia qualche base in uno spazio lineare reale -dimensionale. Mettiamo

Allora, come in caso complesso, è facile dimostrare che se allora. Per le componenti del vettore vale la seguente rappresentazione

La matrice è chiamata la matrice dell'operatore lineare A nella base

Analogamente a come è stato fatto nel § 2 di questo capitolo, si può dimostrare che la quantità non dipende dalla scelta della base e, quindi, il determinante dell'operatore A è correttamente introdotto.

L'equazione caratteristica corrispondente all'operatore A è chiamata equazione; il polinomio a sinistra di questa equazione è chiamato polinomio caratteristico dell'operatore A.

Dimostriamo ora un teorema sulle radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto in uno spazio euclideo reale.

Teorema 5.34. Tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore lineare autoaggiunto A nello spazio euclideo sono reali.

Prova. Sia la radice dell'equazione caratteristica

operatore autoaggiunto A.

Fissiamo alcune basi in V e indichiamo con - gli elementi della matrice dell'operatore A in questa base (nota che sono numeri reali).

Cercheremo una soluzione diversa da zero per il seguente sistema di equazioni lineari omogenee rispetto a

Poiché il determinante del sistema (5.116) è (ricordiamo che il determinante della matrice di trasformazione lineare non dipende dalla scelta della base e, secondo (5.115), questo determinante è zero), allora il sistema (5.116) di equazioni lineari omogenee ha soluzione diversa da zero

Sostituendo questa soluzione nei membri destro e sinistro del sistema (5.116), tenendo conto che e quindi separando le parti reale e immaginaria delle relazioni ottenute, troviamo che gli insiemi dei numeri reali soddisfano prossimo sistema equazioni:

Consideriamo in questa base i vettori x e y con coordinate, rispettivamente. Allora le relazioni (5.117) possono essere riscritte come

Moltiplichiamo scalarmente la prima delle relazioni ottenute per y e la seconda per x. Ovviamente otteniamo le uguaglianze

Poiché l'operatore A è autoaggiunto, quindi, sottraendo le relazioni (5.118), si ottiene l'uguaglianza

Ma (se allora, quindi, la soluzione sarebbe zero, mentre per costruzione questa soluzione è diversa da zero). Pertanto, come è la parte immaginaria della radice dell'equazione caratteristica (5.115), allora, ovviamente, è un numero reale. Il teorema è dimostrato.

Come nel caso complesso, l'operatore autoaggiunto soddisfa l'affermazione di esistenza base ortonormale costituito dagli autovettori di questo operatore (analogo del Teorema 5.21). Dimostriamo questa affermazione.

Teorema 5.35. Ogni operatore lineare autoaggiunto A che agisce in uno spazio euclideo reale n-dimensionale V ha una base ortonormale degli autovettori.

Prova. Sii reale autovalore operatore A, ed è l'autovettore dell'unità corrispondente a questo autovalore

Indichiamo con il sottospazio -dimensionale dello spazio ortogonale a V. Ovviamente, è il sottospazio invariante dello spazio V (cioè, se allora). Infatti, sia allora Poiché l'operatore A è autoaggiunto - l'autovalore di A, otteniamo

220400 Algebra e Geometria Tolstikov A.V.

Lezioni 15. Operatori lineari negli spazi euclidei

Piano

1. Operatori coniugati negli spazi euclidei e loro proprietà.

2. Operatori autoaggiunti.

3. Matrici ortogonali e loro proprietà.

4. Operatori ortogonali e loro proprietà.

1. Corso di Geometria Analitica e Algebra Lineare. Mosca: Nauka, 1984.

2. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Elementi di algebra lineare e geometria analitica. 1997.

3. Voevodin V.V. Algebra lineare .. M .: Nauka 1980.

4. Raccolta di compiti per gli istituti tecnici. Algebra lineare e fondamenti analisi matematica... ed. Efimova A.V., Demidovich B.P .. M .: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra lineare in domande e problemi. Mosca: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Algebra lineare. Mosca: Nauka, 1980.

1. Operatori coniugati negli spazi euclidei e loro proprietà. lascia stare E- Spazio euclideo sul campo dei numeri reali R , su cui il prodotto scalare di vettori ( un ,B ), un ,B Î e.

Definizione 1. Operatore lineare UN * spazio euclideo E chiamato coniugare operatore lineare UN * spazio E se per qualsiasi vettore un ,B Î E la condizione è soddisfatta:

(Aa ,B ) = (un ,A * b ). (1)

Lemma 1.Se il prodotto di una data stringaU a qualsiasi colonnaY è uguale a zero, quindi la stringaU è zero. Se il prodotto di qualsiasi stringaX T Su data colonna U uguale a zero, quindi la colonnanullo.

Prova. lascia stare tu= (tu 1 , tu 2 ,…,tu n), sì= (sì 1 , sì 2 ,…,y n)T... Per l'ipotesi del teorema, per qualsiasi numero sì 1 , sì 2 ,…,y n tu sì= (tu 1 , tu 2 ,…,tu n)(sì 1 , sì 2 ,…,y n)T = tu 1 sì 1 + tu 2 sì 2 +…+u n y n= 0. Se tutti i numeri sì 1 , sì 2 ,…,y n sono uguali a 0, tranne y j, che = 1, quindi da questo otteniamo che tu j (io = 1,2,…,n). Ecco perchè tu= 0. Analogamente si dimostra la seconda affermazione del teorema.

Teorema 1.lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - base dello spazio euclideoE, UN - matrice di operatori lineari UN sulla base v, G = (g ij) - matrice grammo base v. Se per un operatore lineareUN esiste un operatore aggiuntoUN *, quindi l'uguaglianza

A t G = G A *. (2)

Prova. lascia stare X e sì colonne coordinate vettoriali un ,B Î E sulla base v, UN e UN * matrici di operatori lineari UN e UN * sulla base v... Quindi

(Aa , B ) =(v(ASCIA), vY) = (ASCIA) T GY, (un ,A * b ) = X T G A * Y.(3)

Quindi, usando la formula (1), otteniamo l'uguaglianza ( ASCIA) T GY= X T G A * Y, valido per qualsiasi vettore colonna X e Y. Poiché i vettori un ,B arbitrario, allora per il Lemma 1 si ottiene A t G = G A *.

Teorema 2.Se la basev = (v 1 , v 2 ,…, v n) spazio euclideoE ortonormale, allora matriceUn * operatore lineare aggiuntoUN * è trasposto in matriceOperatore UN ;

In = UN *. (4)

Prova. Poiché la matrice di Gram della base ortonormale è unità, G = E, quindi (4) segue da (2) . 

Corollario 1. Per qualsiasi operatoreUN equa uguaglianza (UN * ) * = UN .

Prova. Con la formula (4) per matrici di operatori lineari ( UN * ) * e UN in base ortonormale abbiamo ( UN *) * = (In)T = UN... Ecco perchè ( UN * ) * = UN .

Corollario 2. Per qualsiasi operatoreUN , B equa uguaglianza (AB ) * = B * A * .

Prova. Per la formula (4) per le matrici degli operatori lineari UN ,B e UN * , B * in base ortonormale abbiamo ( AB) * = (AB)T = B t A t = B * UN*. Ecco perchè ( AB ) * = B * A * .

Corollario 3. Autovalori di operatori lineariUN eUN * incontro.

Prova. Poiché i polinomi caratteristici delle matrici e coincidono, gli autovalori degli operatori lineari, che sono le radici dell'equazione caratteristica, coincidono . 

Teorema 3. Per qualsiasi operatore lineareUN spazio euclideoE esiste un unico operatore lineare aggiuntoUN * .

Prova. lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) base ortonormale dello spazio euclideo E, UN - operatore lineare con matrice UN sulla base v... considerare in E operatore lineare B con matrice In rispetto a una data base. Operatore B ce n'è solo uno. I membri di destra delle uguaglianze (3) sono uguali: ( ASCIA) T GY = X T G A * Y. Pertanto, la sinistra ( Aa , B ) = (un ,Bb ). Pertanto, l'operatore B - coniugato per l'operatore UN . 

2. Operatori autoaggiunti.

Definizione 1. Operatore lineare UN spazio euclideo E chiamato autoaggiunto o simmetrico, Se UN = UN * , cioè. per qualsiasi vettore di due un ,B Î E la condizione è soddisfatta:

(Aa , B ) = (un ,Ab ). (1)

Teorema 1. Operatore lineareUN spazio euclideoE è autoaggiunto se e solo se la matriceUn operatore lineareUN matrice simmetrica in base ortogonale, cioè. UN = UN * .