Determinante di una matrice simmetrica di ordine n. Permutazioni e sostituzioni

28.04.2019 Televisori (Smart TV)

Per più preciso e definizione complessa e per parlare di determinanti di ordine maggiore del terzo bisogna ricordare qualcos'altro. A noi interessa il termine sostituzione, non tanto la definizione quanto il modo di calcolarla.

La seguente voce è accettata per la sostituzione:
, cioè. coppie di numeri scritti in una colonna, e in modo che i numeri superiori vadano in sequenza (in genere, le colonne possono essere scambiate).

Le sostituzioni possono essere pari e dispari. Per scoprirlo è data sostituzione dispari o pari, devi prestare attenzione alla seconda riga, o meglio all'ordine dei numeri in essa contenuti. È necessario contare il numero di coppie di numeri nella seconda riga, in modo che il numero a sinistra sia maggiore del numero a destra (). Se il numero di tali coppie è dispari, anche la sostituzione è detta dispari e, di conseguenza, se il numero di tali coppie è pari, anche la sostituzione è detta pari.

Esempio:
1)

4 sta a sinistra di 3, a sinistra di 1, a sinistra di 2 - queste sono già tre coppie "errate".
3 è a sinistra di 1 e 2 - altre due coppie.
Ci sono 5 coppie in totale, ad es. questa è una sostituzione strana.
2)

Notare che i numeri sulla prima riga non sono ordinati. Eseguiremo una permutazione delle colonne.

Considera i numeri nella seconda riga.
3 è a sinistra di 2 e 1 - due coppie,
2 è a sinistra di 1 - una coppia,
5 è a sinistra di 4 e 1 - due coppie,
4 è a sinistra di 1 - una coppia.
Ci sono 6 coppie in totale - la sostituzione è pari.

Definizione 2(per gli studenti di specialità matematiche, rivelando tutta l'essenza del concetto in definizione):

Il determinante di ordine n-esimo corrispondente alla matrice
,
è detta somma algebrica dei termini, così composta: i termini sono tutti i prodotti di elementi di matrice presi uno da ogni riga e da ogni colonna, e il termine si prende con segno più se i suoi indici costituiscono una sostituzione pari, e con segno meno nel caso opposto.
Commento: Spieghiamo questa definizione usando l'esempio di un determinante del terzo ordine, per il quale è già nota la formula di calcolo.
.
1) "somma algebrica dei termini" -. E sì, infatti, ci sono sei termini qui.
2) "i termini sono tutti i tipi di prodotti di elementi di matrice, presi uno da ogni riga e ogni colonna" - considera, ad esempio, un termine. Il suo primo fattore è preso dalla seconda riga, il secondo dalla prima e il terzo dalla terza. È lo stesso con le colonne: la prima è il fattore della prima colonna, la seconda della terza e l'ultima della seconda.
3) “e il termine si assume con segno più se i suoi indici costituiscono una sostituzione pari, e con segno meno - nel caso opposto” - si considerino, ad esempio, i termini (con segno più) e (con segno segno meno).

Componiamo le permutazioni in modo che la prima riga contenga i numeri di riga dei fattori e la seconda i numeri di colonna.
Per un termine: (la prima colonna è l'indice del primo fattore, ecc.)
Per il termine:.
Determiniamo la parità di queste permutazioni:
a) - gli elementi della prima riga sono in ordine. La seconda riga contiene coppie non in ordine:
2 a sinistra di 1 - una coppia,
3 a sinistra di 1 - una coppia.
Ci sono due coppie in totale, ad es. il numero di coppie è pari, il che significa che la permutazione è pari, il che significa che il termine deve essere incluso nella somma con un segno più (come realmente è).
b) - gli elementi della prima riga sono in ordine. La seconda riga contiene coppie non in ordine:
2 a sinistra di 1 - una coppia.
In totale, il numero di coppie di numeri che stanno in modo tale che il più grande sia a sinistra di quello più piccolo è 1 pz., Ad es. è dispari, il che significa che la permutazione è detta dispari, e il termine corrispondente deve essere incluso nella somma con il segno meno (sì, lo è).
Esempio("Raccolta di problemi in algebra" a cura di AI Kostrikin, n. 1001):

Scopri quali delle seguenti opere sono incluse nell'espressione espansa dei determinanti degli ordini corrispondenti e con quali segni.
un)
Prestiamo attenzione alla parte della definizione “uno per riga e per colonna”. Tutti i primi indici di fattori sono diversi da 1 a 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Tutti i secondi indici di fattori sono diversi da 1 a 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Conclusione: questo prodotto è incluso nell'espressione espansa del determinante del sesto ordine.

3 a sinistra di 2, 1 - due coppie,
2 a sinistra di 1 - una coppia,
6 a sinistra di 5, 4 - due coppie,
5 a sinistra di 4 - una coppia.
Ci sono 6 coppie in totale, ad es. la permutazione è pari e il termine è incluso nel record esteso del determinante con un segno più.

B)
Tutti i primi indici di fattori sono diversi da 1 a 5 (3, 1, 5, 4, 2). Tutti i secondi indici di fattori sono diversi da 1 a 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Conclusione: questo prodotto è incluso nell'espressione espansa del determinante del 5° ordine.
Determiniamo il segno di questo termine, per questo componiamo una permutazione degli indici dei fattori:

Riorganizziamo le colonne in modo che i numeri nella prima riga vadano in ordine dal più piccolo al più grande.

3 a sinistra di 1, 2 - due coppie.
4 a sinistra di 1, 2 - due coppie,
5 a sinistra di 2 - una coppia.
Ci sono 5 coppie in totale, ad es. la permutazione è dispari e il termine è incluso nel record ampliato del determinante con un segno meno.
v) - prestiamo attenzione al primo e al sesto fattore: e. Sono entrambi presi dalla 4° colonna, il che significa che questo prodotto non può essere incluso nell'espressione espansa del determinante del 7° ordine.

Consideriamo una matrice quadrata del secondo ordine

Definizione... determinante matrice quadrata del secondo ordine si chiama numero uguale a un 11 un 22 -un 12 un 21 e denotare con un simbolo, cioè

Il determinante di una matrice è anche chiamato determinante... Notazione matriciale determinante UN: |UN|, Δ, det A, det (a ij).

Consideriamo ora la matrice quadrata del terzo ordine

Quando si calcola il determinante del terzo ordine, è utile conoscere la regola del triangolo: con un segno più ci sono prodotti di terzine di numeri situati sulla diagonale principale della matrice e ai vertici dei triangoli con una base parallela a questa diagonale e un vertice nell'angolo opposto della matrice. Con il segno meno si hanno le triple dalla seconda diagonale e dai triangoli costruiti rispetto a questa diagonale. Il diagramma seguente mostra questa regola. Nel diagramma, il blu (a sinistra) segna gli elementi le cui opere sono dotate di un segno più e in rosso (a destra) - con un segno meno.

Adesso diamo una definizione.

Definizione... Il determinante di una matrice quadrata del terzo ordine è il numero

Definizione... Il minore di qualsiasi elemento del determinante è il determinante ottenuto da quello dato cancellando quella riga e quella colonna a cui appartiene dato elemento... elemento minore un ik denota mik.

Definizione... elemento minore un 21 il determinante del terzo ordine della matrice è il determinante del secondo ordine

Definizione un ik determinante si dice suo minore, preso con un segno (-1) io + k.

Complemento algebrico di un elemento un ik denota un ik... Per definizione

La regola per determinare il segno di un complemento algebrico (usando l'esempio di un determinante del terzo ordine):

Esempio... Complemento algebrico di un elemento un 21è un

Teorema di decomposizione... Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) per i loro complementi algebrici.

Proprietà determinanti

Il determinante non cambierà se tutte le sue righe vengono sostituite con le colonne corrispondenti.
Quando due colonne (righe) vengono riordinate, il determinante cambia segno.
Determinante con due colonne identiche(in stringhe) è zero.
Il fattore comune agli elementi di una determinata colonna (riga) può essere spostato al di fuori del segno determinante.
Il determinante con due colonne proporzionali (righe) è zero.
Il determinante è uguale a zero se tutti gli elementi di qualche colonna (riga) sono uguali a zero.
Il determinante non cambierà se gli elementi corrispondenti di un'altra colonna (riga) vengono aggiunti agli elementi di una certa colonna (riga), dopo aver moltiplicato per lo stesso fattore.

Commento... Se in un determinante tutti gli elementi di una certa colonna (riga) sono uguali alle somme di due termini, allora tale determinante è uguale alla somma di due determinanti corrispondenti.

Ad esempio,

determinanti n-esimo ordine

Considera una matrice quadrata n-esimo ordine

Il concetto di determinante di questa matrice o determinante n l'ordine è introdotto induttivamente, assumendo che sia già stata introdotta la nozione di determinante d'ordine n-1 corrispondente alla matrice quadrata (n-1) esimo ordine.

La definizione di minore di un elemento di matrice e il suo complemento algebrico valgono per determinanti di qualsiasi ordine.

Definizione... Determinante dell'ordine n corrispondente alla matrice UN n-esimo ordine, è chiamato un numero uguale a (M 1k- elemento minore un 1k) e indicato da uno dei simboli

Quindi per definizione

Questa formula esprime la regola per comporre il determinante d'ordine n dagli elementi della prima riga della matrice corrispondente e dai complementi algebrici di questi elementi, che è il determinante dell'ordine n-1 preso con segni adeguati.

Per un determinante di qualsiasi ordine, tutte le proprietà ei teoremi ottenuti e dimostrati per un determinante del terzo ordine sono vere.

Formuliamo il teorema principale:

Teorema [Teorema di sostituzione]... Qualunque sia il numero di linea io (io = 1,2, ..., n), per il determinante n ordine, vale la seguente formula

chiamato l'espansione di questo determinante in io linea.

Poiché la proprietà 1 dei determinanti è vera, il determinante può anche essere espanso sulla colonna:

Esempi di

Calcoliamo il seguente determinante:

Sottrai la seconda riga dalla prima e dalla terza. Dopo di che aggiungiamo il primo al terzo e togliamo dal terzo fattore comune:

Ora alla seconda riga aggiungiamo la terza, moltiplicata per 7, e alla quarta aggiungiamo la terza, moltiplicata per 2. Quindi togliamo il fattore comune dalla quarta riga:

Espandiamo il determinante lungo la seconda colonna (i segni indicano il valore (-1) io + j con una tonalità minore). Nota che c'è solo un elemento diverso da zero nella colonna; quindi, nell'espansione rimarrà solo un determinante del terzo ordine. Infine, estraiamo la risposta utilizzando la formula per il determinante del terzo ordine.

Diamo qualche altro esempio per determinanti di ordini diversi.

Consideriamo una tavola quadrata A.

Definizione. Il determinante di ordine n-esimo è il numero ottenuto dagli elementi di questa tabella secondo la seguente regola:

1 Il determinante di ordine n è uguale alla somma algebrica n! membri.

Ogni membro è il prodotto di n elementi presi uno alla volta da ogni riga e da ogni colonna della tabella.

2 Il termine si assume con segno più se le permutazioni formate dal primo e secondo indice degli elementi compresi in prodotti della stessa parità (sia pari che dispari) e con segno meno nel caso opposto.

Il determinante è indicato dal simbolo:

o brevemente det A = (determinante A)

Secondo la definizione = -.

La regola per il calcolo del determinante del terzo ordine:

Minori e Complementi Algebrici

Sia dato un determinante dell'ordine n-esimo (n> 1)

Definizione 1. Il minore di un elemento del determinante di ordine n-esimo è il determinante dell'ordine (n-1)-esimo ottenuto da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna, all'intersezione delle quali si trova l'elemento dato .

Ad esempio:

Definizione 2... Il complemento algebrico di un elemento è il numero

Proprietà di base dei determinanti di ordine n

1. Informazioni sull'equivalenza di righe e colonne.

Il valore del determinante di ordine n non cambia se le sue righe vengono sostituite con le colonne corrispondenti.

2. Se vengono scambiate due righe (colonne) dei determinanti, il determinante cambierà il segno nell'opposto.

= k

Se tutti gli elementi di qualsiasi riga (o colonna) del determinante hanno un fattore comune, allora questo fattore comune può essere tolto dal segno del determinante.

4. Il valore del determinante è uguale a zero se tutti gli elementi di una qualsiasi delle sue righe sono zero (o colonna).

5. Il determinante con due stringhe proporzionali è 0.

Ad esempio:

6. Il valore del determinante non cambierà se ai suoi elementi di una qualsiasi linea aggiungiamo i corrispondenti elementi di un'altra linea, moltiplicati per lo stesso numero.

7. Se gli elementi di qualsiasi riga i del determinante sono presentati come una somma di due termini, allora il determinante è uguale alla somma di due determinanti, in cui tutte le righe tranne la i-esima sono le stesse del determinante dato , e la i-esima riga di un determinante è costituita dai primi termini e la seconda dal secondo.

8. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti di tutti gli elementi di una qualsiasi delle sue rette per i loro complementi algebrici.

9. La somma dei prodotti di tutti gli elementi di una certa riga del determinante per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra riga è uguale a zero.

Ad esempio:

Teorema di Laplace

Teorema. Supponiamo che k righe (o k colonne) siano scelte arbitrariamente in un determinante d di ordine n, 1. Allora la somma dei prodotti di tutti i minori del k-esimo ordine contenuti nelle righe selezionate dai loro complementi algebrici è uguale al determinante d .

Conseguenza... Un caso speciale del teorema di Laplace è l'espansione del determinante in termini di una riga o di una colonna. Ti permette di rappresentare il determinante di una matrice quadrata come la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi delle sue righe o colonne per i loro complementi algebrici.

Sia una matrice quadrata di dimensioni. Sia dato anche un numero di riga i o un numero di colonna j della matrice A. Quindi il determinante A può essere calcolato con le seguenti formule:

Scomposizione sulla i-esima riga:

Decomposizione sulla j-esima riga:

dove è il complemento algebrico al minore che si trova nella riga i e nella colonna j.

L'affermazione è un caso speciale del teorema di Laplace. Basta mettere k uguale a 1 e scegliere la fila, quindi gli elementi stessi saranno i minori situati in questa riga.

Esempi di soluzione indipendente.

1. Trova x dalle equazioni e verifica sostituendo la radice nel determinante.

un); B)

Metodi per il calcolo dei determinanti dell'ordine n-esimo.

Lascia che un insieme ordinato n elementi. Qualsiasi posizione n elementi in un certo ordine si chiama riarrangiamento di questi elementi.

Poiché ogni elemento è determinato dal suo numero, diremo che dato n numeri naturali.

Il numero di diverse permutazioni da n numeri è uguale a n!

Se in qualche permutazione da n numeri numero io sta davanti J, ma io > J, cioè. Di più costa prima di quella inferiore, poi dicono che la coppia io, Jè inversione.

Esempio 1. Determinare il numero di inversioni nella permutazione (1, 5, 4, 3, 2)

Soluzione.

I numeri 5 e 4, 5 e 3, 5 e 2, 4 e 3, 4 e 2, 3 e 2 formano le inversioni. Il numero totale di inversioni in questa permutazione è 6.

La permutazione si chiama Anche, Se numero totale le inversioni in esso è pari, altrimenti si chiama strano... Nell'esempio sopra, viene data una permutazione pari.

Sia data qualche permutazione ..., io, …, J, … (*) ... Conversione in quali numeri io e J cambia posto, e gli altri restano al loro posto, chiamati trasposizione... Dopo la trasposizione dei numeri io e J in permutazione (*) ottieni una permutazione ..., J, …, io, ..., dove tutti gli elementi tranne io e J rimasti al loro posto.

Da qualsiasi permutazione da n numeri, puoi andare a qualsiasi altra permutazione di questi numeri usando diverse trasposizioni.

Qualsiasi trasposizione cambia la parità della permutazione.

A n ≥ 2 il numero di permutazioni pari e dispari da n i numeri sono uguali e uguali.

Permettere mÈ un insieme ordinato di n elementi. Qualsiasi trasformazione biunivoca di un insieme m chiamato sostituzionen-esimo grado.

Le sostituzioni sono scritte come segue: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif "width =" 27 "height =" 19 "> e tutto ik sono diversi.

Sostituzione chiamato Anche se entrambe le sue linee (permutazioni) hanno la stessa parità, cioè entrambe sono pari o entrambe sono dispari. Altrimenti sostituzione chiamato strano.

A n ≥ 2 il numero di sostituzioni pari e dispari nquesto il grado è uguale e uguale.

Il determinante di una matrice quadrata A del secondo ordine A = è un numero uguale a = a11a22-a12a21.

Il determinante di una matrice è anche chiamato determinante... Per il determinante della matrice A si usa la seguente notazione: det A, ΔA.

determinante quadrato matrici A = terzo ordineè chiamato un numero uguale a = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 ‑ a13a22a31 ‑ a21a12a33 ‑ a32a23a11

Ciascun termine della somma algebrica a destra dell'ultima formula è il prodotto di elementi di matrice presi uno e uno solo da ciascuna colonna e da ciascuna riga. Per determinare il segno del prodotto, è utile conoscere la regola (si chiama regola del triangolo), schematicamente mostrata in Fig. 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif "width =" 73 "height =" 75 src = ">.

Soluzione.

Sia A una matrice di ordine n con elementi complessi:

А = https: //pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif "width =" 112 "height =" 27 src = "> (1) ..gif "larghezza =" 111 "altezza =" 51 "> (2) .

Il determinante dell'n-esimo ordine, o il determinante della matrice quadrata A = (aij) per n> 1, è la somma algebrica di tutti i possibili prodotti della forma (1) , e il lavoro (1) si assume con il segno "+" se la sostituzione corrispondente (2) pari e con segno "-" se la sostituzione è dispari.

M . minoreij elemento aij determinante è il determinante ottenuto dall'originale cancellando io la linea e J- esima colonna.

Complemento algebrico UNij elemento aij determinante è il numero UNij=(–1) io+ Jmij, dove mij – elemento minore aij.

Proprietà determinanti

1. Il determinante non cambia quando si sostituiscono tutte le righe con le colonne corrispondenti (il determinante non cambia quando viene trasposto).

2. Alla permutazione di due righe (colonne), il determinante cambia segno.

3. Il determinante con due righe (proporzionali) identiche (colonne) è uguale a zero.

4. Il fattore comune a tutti gli elementi di una riga (colonna) può essere estratto oltre il segno del determinante.

5. Il determinante non cambierà se gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) vengono aggiunti agli elementi di una certa riga (colonna), moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero.

6. Se tutti gli elementi di una riga (colonna) del determinante sono uguali a zero, allora è uguale a zero.

7. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) per i loro complementi algebrici (proprietà di scomposizione del determinante in una riga (colonna)).

Prendi in considerazione alcuni metodi per il calcolo delle determinanti dell'ordine n .

1. Se almeno una riga (o colonna) in un determinante dell'ordine n-esimo è composta da zeri, allora il determinante è uguale a zero.

2. Lascia che una stringa nel determinante di ordine n contenga elementi diversi da zero. Il calcolo del determinante dell'ordine n-esimo può essere ridotto in questo caso al calcolo del determinante dell'ordine n-1. Infatti, usando le proprietà del determinante, puoi rendere tutti gli elementi di una stringa, tranne uno, zero, e quindi espandere il determinante lungo la stringa specificata. Ad esempio, riordiniamo le righe e le colonne del determinante in modo che a posto a11 c'era un elemento diverso da zero.

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Si noti che non è necessario riorganizzare le righe (o le colonne). Puoi ottenere zeri in qualsiasi riga (o colonna) del qualificatore.

Non esiste un metodo generale per calcolare i determinanti di ordine n, eccetto per calcolare i determinanti di un dato ordine direttamente per definizione. Al determinante di questo o quello tipo speciale applicare metodi diversi calcoli che portano a determinanti più semplici.

3. Portiamolo a una forma triangolare. Usando le proprietà del determinante, lo portiamo alla cosiddetta forma triangolare, quando tutti gli elementi su un lato della diagonale principale sono uguali a zero. Il determinante triangolare risultante è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Se è più conveniente ottenere zeri su un lato della diagonale laterale, allora sarà uguale al prodotto degli elementi della diagonale laterale, preso con il segno https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif "larghezza =" 49 "altezza = "37">.

Esempio 3. Calcola determinante per espansione di stringhe

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Esempio 4. Calcola il determinante di quarto ordine

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2° modo(calcolando il determinante espandendolo lungo la stringa):

Calcoliamo questo determinante espandendo lungo la retta, avendolo preventivamente trasformato in modo che in alcune sue rette scompaiano tutti gli elementi tranne uno. Per fare ciò, aggiungi la prima riga del determinante alla terza. Quindi moltiplica la terza colonna per (-5) e aggiungi alla quarta colonna. Espandiamo il determinante trasformato lungo la terza linea. Il terzo ordine minore è ridotto ad una forma triangolare rispetto alla diagonale principale.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif "larghezza =" 202 "altezza =" 121 src = ">

Soluzione.

Sottraiamo la seconda dalla prima riga, la terza dalla seconda, ecc., infine, dalla penultima (l'ultima riga rimane invariata).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif "larghezza =" 445 "altezza =" 126 src = ">

Il primo determinante della somma è triangolare rispetto alla diagonale principale, quindi è uguale al prodotto degli elementi diagonali, cioè (n – 1) n. Trasformiamo il secondo determinante nella somma aggiungendo l'ultima riga a tutti righe precedenti determinante. Il determinante ottenuto con questa trasformazione sarà triangolare rispetto alla diagonale principale, quindi sarà uguale al prodotto degli elementi diagonali, cioè nn-1:

= (n – 1) n + (n – 1) n + nn-1.

4. Calcolo del determinante mediante il teorema di Laplace. Se selezioniamo k righe (o colonne) (1 £ k £ n-1) nel determinante, allora il determinante è uguale alla somma dei prodotti di tutti i minori di k-esimo ordine situati nelle k righe (o colonne) selezionate dai loro complementi algebrici.

Esempio 6. Calcola determinante

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif "width =" 538 "height =" 209 src = ">

LAVORO INDIVIDUALE #2

"CALCOLO DEI DEFINITORI DI N-ORDINI"

opzione 1

Calcola determinanti

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Sulla base dei concetti di determinanti di secondo e terzo ordine, si può analogamente introdurre il concetto di determinante di ordine n. I determinanti di ordine superiore al terzo sono calcolati, di regola, utilizzando le proprietà dei determinanti formulate nella Sezione 1.3., Che sono valide per determinanti di qualsiasi ordine.

Usando la proprietà dei determinanti numero 9 0, introduciamo la definizione di determinante del 4° ordine:

Esempio 2. Calcolare utilizzando una scomposizione appropriata.

In modo analogo viene introdotto il concetto di determinante di 5°, 6°, ecc. ordine. Da qui il determinante di ordine n:

Tutte le proprietà dei determinanti del 2° e 3° ordine, considerate in precedenza, sono valide anche per i determinanti dell'ennesimo ordine.

Considera i principali metodi per calcolare i determinanti n esimo ordine.

Commento: Prima di applicare questo metodo, è utile, usando le proprietà di base dei determinanti, azzerare tutti tranne uno degli elementi di una sua riga o colonna. (Metodo efficiente di ordinamento verso il basso)

Metodo di riduzione triangolare consiste in una tale trasformazione del determinante, quando tutti i suoi elementi giacenti su un lato della diagonale principale diventano uguali a zero. In questo caso, il determinante è uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale.

Esempio 3. Calcola per riduzione triangolare.

Esempio 4. Valutare utilizzando un metodo di riduzione degli ordini efficace

Soluzione: per la proprietà 4 0 dei determinanti della prima riga, togliamo il fattore 10, quindi moltiplichiamo in sequenza la seconda riga per 2, per 2, per 1 e aggiungiamo, rispettivamente, alla prima, alla terza e alla quarta righe (proprietà 8 0).

Il determinante risultante può essere scomposto negli elementi della prima colonna. Sarà ridotto a un determinante del terzo ordine, calcolato secondo la regola di Sarrus (triangolo).

Esempio 5. Calcola il determinante per riduzione triangolare.

Esempio 3. Calcola utilizzando le relazioni di ricorrenza.

Lezione 4. Matrice inversa. Il rango della matrice.

1. Il concetto di matrice inversa

Definizione 1. Piazza si chiama una matrice A di ordine n non degenerato, se è determinante | UN| 0. Nel caso in cui | UN| = 0, si chiama la matrice A degenerare.

Solo per le matrici quadrate non degeneri A viene introdotto il concetto di matrice inversa A-1.

Definizione 2 . La matrice A -1 si chiama inversione per una matrice quadrata non degenere A, se A -1 A = AA -1 = E, dove E è la matrice identità di ordine n.

Definizione 3 . Matrice chiamato Allegata, i suoi elementi sono complementi algebrici matrice trasposta
.