matrice unitaria ortogonale multilineare
Calcolo delle determinanti del 2° e 3° ordine.
Otteniamo formule per il calcolo delle determinanti del secondo e terzo ordine. Per definizione, quando
Quando eliminiamo la prima riga e una colonna, otteniamo quindi una matrice contenente un elemento
Sostituendo questi valori nella parte destra, otteniamo la formula per il calcolo del determinante del secondo ordine
Il determinante del secondo ordine è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale principale e il prodotto degli elementi sulla diagonale secondaria (Fig. 2.1).
Per il determinante di terzo ordine abbiamo
Quando eliminiamo la prima riga e una colonna, otteniamo i determinanti delle matrici quadrate del secondo ordine:
Scriviamo questi determinanti del secondo ordine secondo la formula (2.2) e otteniamo una formula per calcolare il determinante del terzo ordine
Il determinante (2.3) è la somma di sei termini, ciascuno dei quali è il prodotto di tre elementi del determinante in diverse righe e diverse colonne. Inoltre, tre termini sono presi con un segno più e gli altri tre con un segno meno.
Per memorizzare la formula (2.3) si usa la regola dei triangoli: si devono sommare tre prodotti di tre elementi sulla diagonale principale e ai vertici di due triangoli con il lato parallelo alla diagonale principale (Fig. 2.2, a), e sottrarre tre prodotti degli elementi alle diagonali secondarie e ai vertici di due triangoli di lato parallelo alla diagonale secondaria (Fig. 2.2.6).
È inoltre possibile utilizzare lo schema di calcolo mostrato in Fig. 2.3 (Regola di Sarrus): assegnare la prima e la seconda colonna a destra della matrice, calcolare i prodotti degli elementi su ciascuna delle sei righe indicate, quindi trovare la somma algebrica di questi prodotti, mentre il prodotto degli elementi su le linee parallele alla diagonale principale sono prese con un segno più e il prodotto di elementi su linee parallele alla diagonale secondaria è con un segno meno (secondo la notazione in Fig. 2.3).
Calcolo dei determinanti d'ordine N>3.
Abbiamo quindi ottenuto formule per il calcolo delle determinanti del secondo e del terzo ordine. Possiamo continuare i calcoli usando la formula (2.1) per e ottenere formule per il calcolo delle determinanti della quarta, quinta, ecc. ordini. Pertanto, la definizione induttiva ci consente di calcolare il determinante di qualsiasi ordine. Un'altra cosa è che le formule saranno ingombranti e scomode per i calcoli pratici. Pertanto, i determinanti di ordine superiore (quarto o più), di regola, vengono calcolati in base alle proprietà dei determinanti.
Esempio 2.1. Calcola determinanti
Decisione. Con le formule (2.2) e (2.3) troviamo;
La formula per espandere il determinante per gli elementi di una riga (colonna)
Sia data una matrice di ordine quadrato.
Il minore aggiuntivo di un elemento è il determinante della matrice d'ordine ottenuta dalla matrice per eliminazione i-esima riga e j-esima colonna.
Il complemento algebrico di un elemento di matrice è il minore complementare di questo elemento, moltiplicato per
Teorema 2.1 Formula per l'espansione del determinante in elementi di riga (colonna). Il determinante della matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi stringa arbitraria(colonna) sul loro addizioni algebriche:
(espansione nella i-esima riga);
(espansione nella j-esima colonna).
Osservazioni 2.1.
1. La dimostrazione della formula viene effettuata con il metodo dell'induzione matematica.
2. Nella definizione induttiva (2.1) viene effettivamente utilizzata la formula per espandere il determinante in funzione degli elementi della prima riga.
Esempio 2.2. Trova il determinante di una matrice
Decisione. Espandiamo il determinante lungo la 3a riga:
Ora espandiamo il determinante del terzo ordine nell'ultima colonna:
Il determinante del secondo ordine è calcolato dalla formula (2.2):
Determinante della matrice triangolare
Applichiamo la formula di espansione per trovare il determinante della matrice triangolare superiore
Espandiamo il determinante dell'ultima riga (dell'n-esima riga):
dove è il minore complementare dell'elemento. Denota. Quindi. Si noti che quando si elimina l'ultima riga e l'ultima colonna del determinante, otteniamo il determinante della matrice triangolare superiore della stessa forma del, ma (n-1)-esimo ordine. Espandendo il determinante lungo l'ultima riga ((n-1)esima riga), otteniamo. Continuando allo stesso modo e tenendo conto di ciò, arriviamo alla formula.e. il determinante della matrice triangolare superiore è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Osservazioni 2.2
1. Il determinante di una matrice triangolare inferiore è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
2. Il determinante della matrice identità è 1.
3. Il determinante di una matrice di tipo triangolare sarà chiamato determinante di tipo triangolare. Come mostrato sopra, il determinante di una forma triangolare (il determinante di una matrice triangolare superiore o inferiore, in particolare diagonale) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Proprietà di base dei determinanti (determinanti)
1. Per qualsiasi matrice quadrata, ad es. la trasposizione non cambia il determinante. Segue da questa proprietà che le colonne e le righe di un determinante sono "uguali": qualsiasi proprietà che è vera per le colonne sarà vera per le righe.
2. Se una delle colonne del determinante è zero (tutti gli elementi della colonna sono uguali a zero), allora il determinante zero:.
3. Quando due colonne vengono scambiate, il determinante cambia segno nel segno opposto (proprietà antisimmetria):
4. Se il determinante ha due colonne identiche, allora è uguale a zero:
5. Se il determinante ha due colonne proporzionali, allora è uguale a zero:
6. Quando si moltiplicano tutti gli elementi di una colonna del determinante per un numero, il determinante viene moltiplicato per questo numero:
7. Se j-esima colonna determinante è rappresentato come la somma di due colonne, quindi il determinante è uguale alla somma di due determinanti, in cui le j-esima colonne sono e, rispettivamente, e le restanti colonne sono le stesse:
8. Il determinante è lineare in ogni colonna:
9. Il determinante non cambia se gli elementi corrispondenti di un'altra colonna vengono aggiunti agli elementi di una colonna, moltiplicati per lo stesso numero:
10. La somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi colonna del determinante e dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un'altra colonna è uguale a zero:
Osservazioni 2.3
1. La prima proprietà del determinante è dimostrata per induzione. Le dimostrazioni delle restanti proprietà vengono eseguite utilizzando la formula per espandere il determinante sugli elementi della colonna. Ad esempio, per dimostrare la seconda proprietà, è sufficiente espandere il determinante sugli elementi della colonna zero (supponiamo che la j-esima colonna sia zero, cioè):
Per provare la proprietà 10, bisogna leggere la formula per l'espansione del determinante da destra a sinistra, ovvero la somma dei prodotti degli elementi della i-esima colonna per i complementi algebrici degli elementi della j-esima colonna è rappresentata come un'espansione nella j-esima colonna del determinante
che ha gli elementi corrispondenti della i-esima colonna al posto degli elementi j-ro della colonna. Secondo la quarta proprietà, tale determinante è uguale a zero.
2. Dalla prima proprietà segue che tutte le proprietà 2-10 formulate per le colonne del determinante saranno valide anche per le sue righe.
3. Secondo le formule per espandere il determinante degli elementi della riga (colonna) e della proprietà 10, concludiamo che
4. Sia una matrice quadrata. Una matrice quadrata dello stesso ordine si dice associata rispetto a se ciascuno dei suoi elementi è uguale al complemento algebrico dell'elemento di matrice. In altre parole, per trovare la matrice associata, si dovrebbe:
a) sostituire ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico, ottenendo così una matrice;
b) trovare la matrice associata trasponendo la matrice.
Dalle formule (2.4) segue che, dove è la matrice identità dello stesso ordine di.
Esempio 2.5. Trova il determinante di una matrice diagonale a blocchi, dove è una matrice quadrata arbitraria, è una matrice unitaria ed è una matrice zero dell'ordine corrispondente, è una matrice trasposta.
Decisione. Espandiamo il determinante dell'ultima colonna. Poiché in questa colonna tutti gli elementi sono zero, tranne l'ultimo, uguale a 1, otteniamo un determinante della stessa forma dell'originale, ma di ordine minore. Espandendo il determinante risultante nell'ultima colonna, ne riduciamo l'ordine. Proseguendo allo stesso modo otteniamo il determinante della matrice. Quindi,
Metodi per calcolare le determinanti dell'n-esimo ordine.
Sia dato un insieme ordinato n elementi. Qualsiasi posizione n vengono chiamati gli elementi in un ordine particolare permutazione da questi elementi.
Poiché ogni elemento è determinato dal suo numero, lo diremo dato n numeri naturali.
Numero di diverse permutazioni da n numeri è uguale a n!
Se in qualche permutazione di n numero di numeri io sta davanti j, ma io > j, cioè il numero più grande viene prima di quello più piccolo, quindi dicono che la coppia io, jè inversione.
Esempio 1 Determina il numero di inversioni in una permutazione (1, 5, 4, 3, 2)
Decisione.
I numeri 5 e 4, 5 e 3, 5 e 2, 4 e 3, 4 e 2, 3 e 2 formano inversioni. Numero totale ci sono 6 inversioni in questa permutazione.
La permutazione è chiamata Anche, se il numero totale di inversioni in esso è pari, altrimenti viene chiamato strano. Nell'esempio sopra, viene data una permutazione pari.
Si dia qualche permutazione..., io, …, j, … (*) . Una trasformazione in cui i numeri io e j cambia posto, e il resto resta al suo posto, si chiama trasposizione. Dopo la trasposizione dei numeri io e j in permutazione (*) ci sarà un cambiamento... j, …, io, …, dove tutti gli elementi tranne io e j, è rimasto al suo posto.
Da qualsiasi permutazione di n numeri, puoi passare a qualsiasi altra permutazione di questi numeri con l'aiuto di diverse trasposizioni.
Ogni trasposizione cambia la parità della permutazione.
In n ≥ 2 il numero di permutazioni pari e dispari di n i numeri sono uguali e uguali.
Lascia stare Mè un insieme ordinato di n elementi. Qualsiasi trasformazione biiettiva di un insieme M chiamata sostituzionenesimo grado.
Le sostituzioni sono scritte in questo modo: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> e tutto ik diverso.
Sostituzione chiamata Anche, se entrambe le sue stringhe (permutazioni) hanno la stessa parità, cioè entrambe sono pari o entrambe sono dispari. Altrimenti sostituzione chiamata strano.
In n ≥ 2 numero di permutazioni pari e dispari nth gradi uguali e uguali.
Il determinante della matrice quadrata A del secondo ordine A= è il numero uguale a = a11a22–a12a21.
Viene anche chiamato il determinante di una matrice determinante. Per il determinante della matrice A si usa la seguente notazione: det A, ΔA.
determinante quadrato matrici A= 
terzo ordine chiamare un numero uguale a │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11
Ogni termine della somma algebrica a destra dell'ultima formula è il prodotto degli elementi della matrice, presi uno e uno solo da ogni colonna e da ogni riga. Per determinare il segno del prodotto è utile conoscere la regola (si chiama regola del triangolo), schematicamente rappresentata in Fig. 1:
«+» «-»
https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.
Decisione.
Sia A una matrice di ordine n-esimo con elementi complessi:
A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .
Il determinante dell'n-esimo ordine, o il determinante della matrice quadrata A=(aij) per n>1, è la somma algebrica di tutti i possibili prodotti della forma (1) , e il prodotto (1) è preso con un segno "+" se la sostituzione corrispondente (2) pari e con un segno "-" se la sostituzione è dispari.
Minore Mij elemento aij determinante è il determinante ottenuto dall'originale cancellando io-esima riga e j- colonna.
Addizione algebrica MAij elemento aij il determinante è chiamato numero MAij=(–1) io+ jMij, dove Mij – elemento minore aij.
Proprietà del qualificatore
1. Il determinante non cambia quando si sostituiscono tutte le righe con le colonne corrispondenti (il determinante non cambia durante la trasposizione).
2. Quando due righe (colonne) vengono scambiate, il determinante cambia segno.
3. Il determinante con due righe (colonne) identiche (proporzionali) è uguale a zero.
4. Il fattore comune a tutti gli elementi di una riga (colonna) può essere estratto dal segno del determinante.
5. Il determinante non cambia se gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) vengono aggiunti agli elementi di una determinata riga (colonna) moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero.
6. Se tutti gli elementi di una riga (colonna) del determinante sono uguali a zero, allora è uguale a zero.
7. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di ogni riga (colonna) e dei loro complementi algebrici (la proprietà dell'espansione del determinante in una riga (colonna)).
Considerane alcuni modi per calcolare i determinanti degli ordini n .
1. Se almeno una riga (o colonna) nell'ennesimo determinante di ordine è composta da zeri, allora il determinante è uguale a zero.
2. Lascia che una stringa contenga elementi diversi da zero nel determinante di ordine n-esimo. Il calcolo del determinante dell'n-esimo ordine può essere ridotto in questo caso al calcolo del determinante dell'ordine n-1. Infatti, utilizzando le proprietà del determinante, è possibile creare tutti gli elementi di qualsiasi riga, tranne uno, zero, e quindi espandere il determinante lungo la riga specificata. Ad esempio, riorganizziamo le righe e le colonne del determinante in modo che siano a posto a11 era un elemento diverso da zero.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">
Si noti che la riorganizzazione di righe (o colonne) è facoltativa. Puoi ottenere zeri in qualsiasi riga (o colonna) del determinante.
Non esiste un metodo generale per calcolare le determinanti dell'ordine n, fatta eccezione per il calcolo del determinante di un dato ordine direttamente per definizione. Al determinante di questo o quello tipo speciale applicare vari metodi calcoli che portano a determinanti più semplici.
3. Portiamolo a una forma triangolare. Usando le proprietà del determinante, lo portiamo alla cosiddetta forma triangolare, quando tutti gli elementi su un lato della diagonale principale sono uguali a zero. Il determinante triangolare risultante è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Se è più conveniente ottenere zeri su un lato della diagonale secondaria, sarà uguale al prodotto degli elementi della diagonale secondaria, preso con un segno https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.
Esempio 3 Calcola determinante per espansione di riga
https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">
Esempio 4 Calcola il determinante del quarto ordine
https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.
2a via(calcolo del determinante espandendolo lungo la retta):
Calcoliamo questo determinante per espansione di riga, prima trasformandolo in modo che in alcune delle sue righe tutti gli elementi tranne uno tornino a zero. Per fare ciò, aggiungi la prima riga del determinante alla terza. Quindi moltiplichiamo la terza colonna per (-5) e la aggiungiamo alla quarta colonna. Espandiamo il determinante trasformato lungo la terza riga. La minore di terzo ordine è ridotta a forma triangolare rispetto alla diagonale principale.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">
Decisione.
Sottraiamo il secondo dalla prima riga, il terzo dalla seconda e così via, e infine l'ultima riga dalla penultima (l'ultima riga rimane invariata).
https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">
Il primo determinante nella somma è triangolare rispetto alla diagonale principale, quindi è uguale al prodotto degli elementi diagonali, cioè (n–1)n. Trasformiamo il secondo determinante nella somma sommando l'ultima riga a tutto righe precedenti determinante. Il determinante ottenuto da questa trasformazione sarà triangolare rispetto alla diagonale principale, quindi sarà uguale al prodotto degli elementi diagonali, ovvero nn-1:
=(n–1)n+ 
(n–1)n + nn-1.
4. Calcolo del determinante mediante il teorema di Laplace. Se selezioniamo k righe (o colonne) (1£k£n-1) nel determinante, allora il determinante è uguale alla somma dei prodotti di tutti i minori del k-esimo ordine situati nelle k righe (o colonne) selezionate e loro complementi algebrici.
Esempio 6 Calcola determinante
https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">
ATTIVITÀ INDIVIDUALE #2
"CALCOLO DEI DETERMINANTI D'ORDINE N-ESIMO"
opzione 1
Calcola determinanti
https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src="> 
opzione 2
Calcola determinanti
Per più preciso e definizione complessa e per parlare di determinanti di ordine maggiori del terzo bisogna ricordare qualcos'altro. Ci interessa il termine sostituzione, non tanto nella definizione quanto nel modo in cui viene calcolato.
La voce accettata per la sostituzione è:
, cioè. coppie di numeri scritti in una colonna, e in modo tale che i numeri superiori vadano in sequenza (in generale, le colonne possono essere scambiate).
Le sostituzioni sono pari o dispari. Per scoprirlo è data sostituzione dispari o pari, devi prestare attenzione alla seconda riga, o meglio all'ordine dei numeri in essa contenuti. È necessario contare il numero di coppie di numeri nella seconda riga, in modo tale che sia il numero a sinistra più numero, in piedi a destra (). Se il numero di tali coppie è dispari, la permutazione è chiamata dispari e, di conseguenza, se il numero di tali coppie è pari, la permutazione è chiamata pari.
Esempio:
1)
4 è a sinistra di 3, a sinistra di 1, a sinistra di 2 - queste sono già tre coppie "sbagliate".
3 è a sinistra di 1 e 2 sono altre due coppie.
Totale 5 paia, cioè questa è una strana permutazione.
2)
Nota che i numeri nella prima riga non sono in ordine. Scambiamo le colonne. 
Considera i numeri della seconda riga.
3 è a sinistra di 2 e 1 - due coppie,
2 è a sinistra di 1 - una coppia,
5 è a sinistra di 4 e 1 - due coppie,
4 sta a sinistra di 1 - una coppia.
Ci sono 6 coppie in totale - la sostituzione è pari.
Definizione 2(per studenti di specialità matematiche, rivelando tutta l'essenza del concetto in fase di definizione):
Determinante dell'ennesimo ordine corrispondente alla matrice 
,
si chiama somma algebrica dei termini, così composta: i termini sono tutti prodotti possibili degli elementi della matrice, presi uno ad uno da ogni riga e da ogni colonna, e il termine si assume con il segno più se i suoi indici costituiscono una permutazione pari e con un segno meno nel caso opposto.
Commento: Spieghiamo questa definizione usando l'esempio di un determinante del terzo ordine, per il quale è già nota la formula di calcolo.
.
1) "somma algebrica di termini" -. E sì, in effetti, ci sono sei termini.
2) "i termini sono tutti i possibili prodotti di elementi di matrice, presi uno ad uno da ogni riga e da ogni colonna" - si consideri, ad esempio, il termine. Il suo primo moltiplicatore è preso dalla seconda riga, il secondo dalla prima e il terzo dalla terza. Lo stesso con le colonne: il primo moltiplicatore dalla prima colonna, il secondo dalla terza e l'ultimo dalla seconda.
3) “inoltre il termine si prende con il segno più se i suoi indici costituiscono una sostituzione pari, e con il segno meno - altrimenti” - si considerino, ad esempio, i termini (con segno più) e (con segno meno ).
Componiamo le permutazioni in modo che la prima riga contenga i numeri delle righe dei fattori e la seconda i numeri delle colonne.
Per il termine: (la prima colonna è l'indice del primo fattore, ecc.)
Per il termine: .
Definiamo la parità di queste permutazioni:
a) - gli elementi della prima riga sono in ordine. La seconda riga contiene coppie fuori ordine:
2 a sinistra di 1 - una coppia,
3 a sinistra di 1 - una coppia.
Totale due coppie, cioè il numero di coppie è pari, quindi la permutazione è pari, il che significa che la somma deve essere inclusa nella somma con un segno più (come in realtà è).
b) - gli elementi della prima riga sono in ordine. La seconda riga contiene coppie fuori ordine:
2 a sinistra di 1 - una coppia.
In totale, il numero di coppie di numeri che stanno in modo tale che quello più grande sia a sinistra di quello più piccolo è 1, cioè dispari, il che significa che la permutazione si chiama dispari e il termine corrispondente deve essere incluso nella somma con un segno meno (sì, lo è).
Esempio("Raccolta di problemi in algebra", a cura di A.I. Kostrikin, n. 1001):
Scopri quali dei seguenti prodotti sono inclusi nell'espressione estesa dei determinanti degli ordini corrispondenti e con quali segni.
un) 
Notare la parte "uno da ogni riga e ogni colonna" della definizione. Tutti i primi indici di fattori sono diversi da 1 a 6(1, 2, 3, 4, 5, 6). Tutti i secondi indici di fattori sono diversi da 1 a 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Conclusione: questo prodotto è incluso nell'espressione espansa del determinante di 6° ordine. 
3 a sinistra di 2, 1 - due coppie,
2 a sinistra di 1 - una coppia,
6 a sinistra di 5, 4 - due coppie,
5 a sinistra di 4 - una coppia.
Totale 6 paia, cioè la permutazione è pari e il termine è incluso nella notazione espansa del determinante con un segno più.
b)
Tutti i primi indici dei fattori sono diversi da 1 a 5(3, 1, 5, 4, 2). Tutti i secondi indici di fattori sono diversi da 1 a 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Conclusione: questo prodotto è incluso nell'espressione espansa del determinante di 5° ordine.
Determiniamo il segno di questo termine, per questo componiamo una permutazione degli indici dei fattori: 
Riordina le colonne in modo che i numeri nella prima riga siano in ordine dal più piccolo al più grande. 
3 a sinistra di 1, 2 - due coppie.
4 a sinistra di 1, 2 - due coppie,
5 a sinistra di 2 - una coppia.
Totale 5 paia, cioè la permutazione è dispari e il termine è incluso nella notazione espansa del determinante con il segno meno.
in) 
- prestiamo attenzione al primo e al sesto fattore: e . Sono entrambi presi dalla 4a colonna, il che significa che questo prodotto non può essere incluso nell'espressione espansa del determinante di 7° ordine.
.
. Ha 4 inversioni in 
. Ma questo numero è ovviamente uguale a k. Quindi, (-1)k sarà un membro del determinante trasposto. Poiché abbiamo preso qualsiasi termine del determinante dato, e il numero di termini nei determinanti dati e trasposti è lo stesso, la loro uguaglianza segue da qui. Dalla proprietà dimostrata segue che tutto ciò che sarà dimostrato per le righe del determinante sarà vero anche per le sue colonne.
. Pertanto, il fattore l può essere estratto da tutti i termini del determinante.
= 
= 0.
+ (-1)s 
.
. (8)
, dove gk e k vanno da 2 a N. Il segno di questo termine nel determinante D è determinato dalla parità della sostituzione s = 
.Dunque, D è una somma algebrica di termini della forma 
hanno la stessa parità. Quindi, S = M 11. Dal A11 =(-1)1+1× M 11 = M 11, quindi D = A11×A11.
(9)
. Ovviamente, D2 = (-1)k-1xD1 = (-1)p+k-2xD = (-1)p+kxD. Per Lemma 1, D2 = Arca×M Rk. Quindi D = Arca×
(-1)r+k × M Pk = Arca×Arco.
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + aa(abbiamo usato il Lemma 2).
. Secondo il teorema precedente
.
. Espandiamo il determinante ottenuto con gli elementi della seconda riga. Inoltre, i prodotti di tutti gli elementi di questa riga e dei loro complementi algebrici, ad eccezione dell'elemento 1, sono uguali a zero. Per ottenere un complemento algebrico per l'elemento 1, è necessario barrare la riga e la colonna in cui si trova questo elemento, ovvero la seconda riga e la seconda colonna. Il segno del complemento algebrico determina (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Quindi D = + . Abbiamo il determinante del 3° ordine. Questo determinante può essere calcolato utilizzando diagonali e triangoli, ma può essere ridotto a un determinante del secondo ordine. Moltiplichiamo Prima colonna 1) per (-4) e aggiungi alla seconda colonna, 2) moltiplicalo per 2 e aggiungi alla terza colonna. Lo capiamo
(M 1k- elemento minore un 1k) e indicato da uno dei simboli
