Cerca un complemento algebrico. Complemento algebrico

determinante per elementi di riga o colonna

Ulteriori proprietà sono legate ai concetti di complemento minore e complemento algebrico

Definizione. Minore l'elemento è chiamato determinante composto da elementi lasciati dopo la cancellazioneio-esimo deflusso eJesima colonna, all'intersezione della quale si trova questo elemento. Minore dell'elemento determinante n-esimo ordine è di ordine ( n- 1). Lo indicheremo con.

Esempio 1. lascia stare , poi .

Questo minore si ottiene da A cancellando la seconda riga e la terza colonna.

Definizione. Complemento algebrico l'elemento è chiamato minore corrispondente moltiplicato per nat. , doveio–Il numero di linea eJ-colonna all'intersezione della quale si trova questo elemento.

VІІІ. (Decomposizione del determinante dagli elementi di una certa stringa). Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una certa riga per i corrispondenti complementi algebrici.

.

Esempio 2. Lascia, allora

.

Esempio 3. Troviamo il determinante della matrice espandendolo negli elementi della prima riga.

Formalmente, questo teorema e altre proprietà dei determinanti sono applicabili finora solo per determinanti di matrici non superiori al terzo ordine, poiché non abbiamo considerato altri determinanti. La seguente definizione estenderà queste proprietà a determinanti di qualsiasi ordine.

Definizione. determinante matrici UN di ordine n è un numero calcolato applicando successivamente il teorema di scomposizione e altre proprietà dei determinanti.

È possibile verificare che il risultato dei calcoli non dipenda dalla sequenza in cui e per quali righe e colonne vengono applicate le proprietà di cui sopra. Il determinante si trova inequivocabilmente con l'aiuto di questa definizione.

Sebbene questa definizione non contenga una formula esplicita per trovare il determinante, consente di trovarlo riducendolo a determinanti di matrici di ordine inferiore. Tali definizioni sono chiamate ricorrente.

Esempio 4. Calcola il determinante:.

Sebbene il teorema di decomposizione possa essere applicato a qualsiasi riga o colonna di una data matrice, la scomposizione su una colonna contenente il maggior numero possibile di zeri richiede meno calcolo.

Poiché la matrice non ha elementi nulli, li otteniamo utilizzando la proprietà 7). Moltiplica la prima riga in sequenza per i numeri (–5), (–3) e (–2) e aggiungila alla 2a, 3a e 4a riga e ottieni:

Espandi il determinante risultante nella prima colonna e otteniamo:

(tiriamo dalla 1a riga (–4), dalla 2a - (–2), dalla 3a - (–1) secondo la proprietà 4)

(poiché il determinante contiene due colonne proporzionali).

§ 1.3. Alcuni tipi di matrici e loro determinanti

Definizione. mq matrice con zero elementi sotto o sopra la diagonale principale(= 0 per io J, o = 0 per io J) chiamatotriangolare .

Continuiamo a parlare di azioni con matrici. Vale a dire: nel corso dello studio di questa lezione, imparerai come trovare la matrice inversa. Imparare. Anche se la matematica è stretta.

Cos'è una matrice inversa? Qui puoi tracciare un'analogia con i numeri reciproci: considera, ad esempio, il numero ottimista 5 e il suo inverso. Il prodotto di questi numeri è uguale a uno:. Con le matrici, tutto è simile! Il prodotto di una matrice per la sua matrice inversa è - matrice identità, che è l'analogo matriciale di un'unità numerica. Tuttavia, per prima cosa, risolveremo un importante problema pratico, ovvero impareremo come trovare questa matrice molto inversa.

Cosa devi sapere ed essere in grado di fare per trovare la matrice inversa? Devi essere in grado di decidere determinanti... Devi capire di cosa si tratta matrice ed essere in grado di eseguire alcune azioni con loro.

Esistono due metodi principali per trovare l'inversa di una matrice:
usando complementi algebrici e usando trasformazioni elementari.

Oggi esploreremo il primo modo più semplice.

Cominciamo con il più terribile e incomprensibile. Tener conto di quadrato matrice. La matrice inversa può essere trovata dalla seguente formula:

Dove è il determinante della matrice, è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

Il concetto di matrice inversa esiste solo per matrici quadrate, matrici "due per due", "tre per tre", ecc.

designazioni: Come probabilmente avrai già notato, l'inverso della matrice è indicato da un apice

Iniziamo con il caso più semplice: una matrice due per due. Molto spesso, ovviamente, è richiesto "tre per tre", ma, tuttavia, consiglio vivamente di studiare un compito più semplice per padroneggiare il principio generale della soluzione.

Esempio:

Trova l'inversa di una matrice

Noi decidiamo. La sequenza delle azioni può essere convenientemente suddivisa in punti.

1) Innanzitutto, trova il determinante della matrice.

Se la tua comprensione di questa azione non è abbastanza buona, leggi il materiale Come si calcola il determinante?

Importante! Nel caso in cui il determinante della matrice sia ZERO- matrice inversa NON ESISTE.

Nell'esempio in esame, come si è scoperto, il che significa che tutto è in ordine.

2) Trova la matrice dei minori.

Per risolvere il nostro problema non è necessario sapere cos'è un minore, si consiglia comunque di leggere l'articolo Come calcolare il determinante.

La matrice dei minori ha le stesse dimensioni della matrice, cioè in in questo caso.
La questione è piccola, resta da trovare quattro numeri e metterli al posto degli asterischi.

Torna alla nostra matrice
Esaminiamo prima l'elemento in alto a sinistra:

Come trovarlo? minore?
E questo è fatto in questo modo: PENSAMENTE cancella la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

Il numero rimanente è minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice dei minori:

Considera il seguente elemento di matrice:

Cancelliamo mentalmente la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

Quello che rimane è il minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice:

Allo stesso modo, consideriamo gli elementi della seconda riga e troviamo i loro minori:


Pronto.

È semplice. Nella matrice dei minori, è necessario SEGNI DI CAMBIAMENTO due numeri:

Questi sono i numeri che ho cerchiato!

- una matrice di complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

Ed è solo...

4) Trovare la matrice trasposta dei complementi algebrici.

- matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

5) Rispondi.

Ricordando la nostra formula
Si trova tutto!

Quindi l'inversa della matrice è:

La risposta è meglio lasciarla così com'è. NON NECESSARIO dividi ogni elemento della matrice per 2, poiché ottieni numeri frazionari. Questa sfumatura è discussa in modo più dettagliato nello stesso articolo. Operazioni con le matrici.

Come posso verificare la soluzione?

È necessario eseguire la moltiplicazione matriciale o

Visita medica:

Il già citato matrice identitàÈ una matrice con quelli accesi? diagonale principale e zeri altrove.

Quindi, l'inverso è corretto.

Se esegui un'azione, il risultato sarà anche la matrice identità. Questo è uno dei pochi casi in cui la moltiplicazione matriciale è permutabile, maggiori informazioni possono essere trovate nell'articolo Proprietà delle operazioni su matrici. Espressioni di matrice... Si noti inoltre che durante il controllo, la costante (frazione) viene portata avanti ed elaborata alla fine, dopo la moltiplicazione della matrice. Questa è una tecnica standard.

Passiamo a un caso più comune in pratica: la matrice "tre per tre":

Esempio:

Trova l'inversa di una matrice

L'algoritmo è esattamente lo stesso del caso due per due.

Troviamo la matrice inversa con la formula:, dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

1) Trovare il determinante della matrice.

Ecco svelato il determinante in prima linea.

Inoltre, non dimenticarlo, il che significa che va tutto bene... la matrice inversa esiste.

2) Trova la matrice dei minori.

La matrice dei minori ha una dimensione "tre per tre" e dobbiamo trovare nove numeri.

Entrerò in un paio di dettagli minori in dettaglio:

Considera il seguente elemento di matrice:

PENSAMENTE barrare la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

I restanti quattro numeri sono scritti nel determinante "due per due"

Questo qualificatore è "due per due" e è il minore di questo elemento... Deve essere calcolato:


Ecco, il minore viene trovato, lo scriviamo nella nostra matrice dei minori:

Come avrai intuito, ci sono nove determinanti due per due da calcolare. Il processo, ovviamente, è tetro, ma il caso non è il più difficile, può essere peggio.

Bene, per consolidare, trovando un altro minore nelle immagini:

Prova a calcolare tu stesso il resto dei minori.

Risultato finale:
- la matrice dei minori dei corrispondenti elementi della matrice.

Il fatto che tutti i minorenni siano risultati negativi è pura coincidenza.

3) Trova la matrice dei complementi algebrici.

Nella matrice dei minori è necessario SEGNI DI CAMBIAMENTO rigorosamente per i seguenti elementi:

In questo caso:

Non consideriamo di trovare la matrice inversa per la matrice "quattro per quattro", poiché tale compito può essere dato solo da un insegnante sadico (in modo che lo studente calcoli un determinante "quattro per quattro" e 16 determinanti "tre per tre" ). Nella mia pratica, ho incontrato solo uno di questi casi e il cliente del test ha pagato abbastanza caro il mio tormento =).

In un certo numero di libri di testo, manuali, puoi trovare un approccio leggermente diverso per trovare la matrice inversa, tuttavia, consiglio di utilizzare l'algoritmo di soluzione sopra. Come mai? Perché la probabilità di confondersi nei calcoli e nei segni è molto minore.

Miji minore elemento un ij determinante n -esimo ordine è chiamato il determinante dell'ordine ( n-1 ), ottenuto dal determinante dato cancellando la riga e la colonna in cui si trova questo elemento ( io -esima riga e J esima colonna).

Complemento algebrico elemento un ij dato dall'espressione:

Determinanti dell'ordine n>3 si calcolano utilizzando il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi di riga o di colonna:

Teorema. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga o colonna per i complementi algebrici corrispondenti a questi elementi, ad es.

Esempio.

Calcola il determinante espandendolo per elementi di riga o colonna:

Soluzione

1. Se in una riga o in una colonna è presente un solo elemento diverso da zero, non è necessario trasformare il determinante. Altrimenti, prima di applicare il teorema di scomposizione per il determinante, lo trasformiamo utilizzando la seguente proprietà: se agli elementi di una riga (colonna) vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna), moltiplicati per un fattore arbitrario, allora il il valore del determinante non cambierà.

Sottrai gli elementi corrispondenti della riga 2 dagli elementi della riga 3.

Dagli elementi nella colonna 4, sottrai gli elementi corrispondenti nella colonna 3, moltiplicati per 2.

Espandendo il determinante in termini di elementi della terza linea

2. Il determinante del terzo ordine ottenuto può essere calcolato con la regola dei triangoli o con la regola di Sarrus (vedi sopra). Tuttavia, gli elementi del determinante sono numeri piuttosto grandi, quindi espandiamo il determinante, avendolo precedentemente trasformato:

Dagli elementi della seconda riga, sottrai gli elementi corrispondenti della prima riga, moltiplicati per 3.

Sottrai gli elementi corrispondenti della terza riga dagli elementi della prima riga.

Agli elementi della riga 1, aggiungi i corrispondenti elementi della riga 2

Il determinante della stringa null è 0.

Quindi i determinanti dell'ordine n>3 calcolato:

· Trasformazione del determinante in forma triangolare utilizzando le proprietà dei determinanti;

· Scomposizione del determinante in termini o elementi di colonna, abbassandone l'ordine.

Il rango della matrice.

Il rango di una matrice è un'importante caratteristica numerica. Il problema più tipico che richiede di trovare il rango di una matrice è verificare la consistenza di un sistema di equazioni algebriche lineari.

Prendiamo una matrice UN ordine P X n ... lascia stare K - qualche numero naturale che non superi il più piccolo dei numeri P e n , questo è,

Minore del 4° ordine matrici UN si chiama determinante di una matrice quadrata di ordine K X K composto da elementi di matrice UN che sono nella preselezionata K linee e K colonne e la disposizione degli elementi della matrice UN persiste.

Considera la matrice:

Scriviamo alcuni minori del primo ordine di questa matrice. Ad esempio, se selezioniamo la terza riga e la seconda colonna della matrice UN , allora la nostra scelta corrisponde al det minore del primo ordine (-4) = - 4. In altre parole, per ottenere questo minore, abbiamo cancellato la prima e la seconda riga, nonché la prima, la terza e la quarta colonna della matrice UN , e un determinante è stato fatto dall'elemento rimanente.

Pertanto, i minori del primo ordine della matrice sono gli elementi della matrice stessa.

Mostriamo diversi minori di secondo ordine. Seleziona due righe e due colonne. Ad esempio, prendiamo la prima e la seconda riga e la terza e la quarta colonna. Con questa scelta abbiamo una minore del secondo ordine
.

Un altro minore del secondo ordine della matrice UNè minorenne

Allo stesso modo si trovano i minori del terzo ordine della matrice UN ... Poiché nella matrice UN solo tre righe, quindi selezionale tutte. Se selezioniamo le prime tre colonne per queste righe, otteniamo un minore di terzo ordine:

Un altro minore di terzo ordine è:

Per una data matrice UN non esistono minori di ordine superiore al terzo, poiché

Quanti sono i minorenni K -Oh ordine della matrice UN ordine P X n ? Molto!

Il numero di minorenni d'ordine K può essere calcolato con la formula:

Per il rango della matrice si dice ordine massimo di un minore non nullo di una matrice.

Classificazione matrice UN indicato come suonato (A). Dalle definizioni del rango di una matrice e di un minore di una matrice, possiamo concludere che il rango di una matrice zero è zero e il rango di una matrice diversa da zero è almeno uno.

Quindi, il primo metodo per trovare il rango di una matrice è metodo della forza bruta ... Questo metodo si basa sulla determinazione del rango della matrice.

Supponiamo di dover trovare il rango della matrice UN ordine P X n .

Se c'è almeno un elemento della matrice diverso da zero, il rango della matrice è almeno uguale a uno (poiché esiste un minore del primo ordine che non è uguale a zero).

Successivamente, iteriamo sui minori di secondo ordine. Se tutti i minori del secondo ordine sono uguali a zero, il rango della matrice è uguale a uno. Se c'è almeno un minore di secondo ordine diverso da zero, allora passiamo all'enumerazione dei minori di terzo ordine e il rango della matrice è almeno due.

Allo stesso modo, se tutti i minori del terzo ordine sono zero, il rango della matrice è due. Se c'è almeno un minore di terzo ordine diverso da zero, il rango della matrice è almeno tre e passiamo ai minori di quarto ordine.

Nota che il rango della matrice non può superare il più piccolo dei numeri P e n .

Esempio.

Trova il rango della matrice
.

Soluzione.

1. Poiché la matrice è diversa da zero, il suo rango è almeno uno.

2. Uno dei minori di secondo grado
è diverso da zero, quindi, il rango della matrice UN almeno due.

3. Minori di terzo ordine

Tutti i minori di terzo ordine sono zero. Pertanto, il rango della matrice è due.

suonò (LA) = 2.

Esistono altri metodi per trovare il rango di una matrice che consentono di ottenere il risultato con meno lavoro di calcolo.

Uno di questi metodi è confinante con il metodo minore ... Con questo metodo, i calcoli sono alquanto ridotti, eppure sono piuttosto macchinosi.

C'è un altro modo per trovare il rango di una matrice: usando le trasformazioni elementari (metodo di Gauss).

Le seguenti trasformazioni di matrice sono chiamate elementare :

· Permutazione di righe (o colonne) della matrice;

Moltiplicazione di tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) della matrice per un numero arbitrario K diverso da zero;

Sommando agli elementi di una riga (colonna) gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) della matrice, moltiplicati per un numero arbitrario K.

La matrice B si dice equivalente alla matrice A, Se V ottenuto da UN utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari. L'equivalenza delle matrici è indicata dal simbolo « ~ » , cioè è scritto A ~ B.

Trovare il rango di una matrice utilizzando trasformazioni di matrici elementari si basa sull'affermazione: se la matrice V ottenuto da matrice UN usando un numero finito di trasformazioni elementari, allora R ang (A) = squillo (B) , cioè. i ranghi delle matrici equivalenti sono .

L'essenza del metodo delle trasformazioni elementari è ridurre la matrice, il cui rango è necessario trovare, a una trapezoidale (in un caso particolare, a una triangolare superiore) usando le trasformazioni elementari.

Il rango di matrici di questo tipo è molto facile da trovare. È uguale al numero di righe contenenti almeno un elemento diverso da zero. E poiché il rango della matrice non cambia durante le trasformazioni elementari, il valore risultante sarà il rango della matrice originale.

Esempio.

Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova il rango della matrice

.

Soluzione.

1. Scambiamo la prima e la seconda riga della matrice UN dal momento che l'elemento un 11 = 0 ed elemento un 21 diverso da zero:

~

Nella matrice risultante, l'elemento è uguale a uno. In caso contrario, era necessario moltiplicare gli elementi della prima riga per. Facciamo zero tutti gli elementi della prima colonna, tranne la prima. La seconda riga contiene già zero e aggiungi la prima moltiplicata per 2 alla terza riga:

L'elemento nella matrice risultante è diverso da zero. Moltiplichiamo gli elementi della seconda riga per

La seconda colonna della matrice risultante ha la forma desiderata, poiché l'elemento è già uguale a zero.

Perché , un , quindi scambieremo la terza e la quarta colonna e moltiplicheremo la terza riga della matrice risultante per:

La matrice originale è ridotta a trapezoidale, il suo rango è uguale al numero di righe contenenti almeno un elemento diverso da zero. Ci sono tre di queste righe, quindi il rango della matrice originale è tre. R angolo (A) = 3.

matrice inversa.

Facciamo una matrice UN .

Per la matrice inversa alla matrice A si chiama matrice A -1 tale che LA -1 LA = LA LA -1 = MI .

Una matrice inversa può esistere solo per una matrice quadrata. Inoltre, è esso stesso della stessa dimensione della matrice originale.

Affinché una matrice quadrata abbia un inverso, deve essere non degenere (es. Δ ≠0 ). Questa condizione è sufficiente anche per l'esistenza A -1 alla matrice UN ... Quindi, qualsiasi matrice non degenere ha un inverso e, inoltre, uno unico.

Algoritmo per trovare la matrice inversa usando l'esempio di una matrice UN :

1. Trovare il determinante della matrice. Se Δ ≠0 , quindi la matrice A -1 esiste.

2. Componiamo la matrice В dei complementi algebrici degli elementi della matrice originale UN ... Quelli. nella matrice V elemento io - oh linea e J - la colonna esima sarà il complemento algebrico un ij elemento un ij la matrice originaria.

3. Trasponi la matrice V e prendi B T .

4. Trova la matrice inversa moltiplicando la matrice risultante B T dal numero .

Esempio.

Per una data matrice, trova l'inversa e verifica:

Soluzione

Usiamo l'algoritmo precedentemente descritto per trovare la matrice inversa.

1. Per conoscere l'esistenza della matrice inversa è necessario calcolare il determinante della matrice data. Usiamo la regola del triangolo:

La matrice non è degenerata, quindi è reversibile.

Troviamo i complementi algebrici di tutti gli elementi della matrice:

Dalle addizioni algebriche trovate, viene compilata una matrice:

e trasposto

Dividendo ogni elemento della matrice risultante per il determinante, otteniamo la matrice inversa a quella originale:

La verifica si effettua moltiplicando la matrice risultante per quella originaria. Se l'inverso viene trovato correttamente, la moltiplicazione risulta nella matrice identità.

Per trovare la matrice inversa per una data, puoi usare il metodo di Gauss (ovviamente, devi prima assicurarti che la matrice sia reversibile), la cui considerazione lascio per lavori indipendenti.

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Data di creazione della pagina: 2017-10-12

Complemento algebrico- il concetto di algebra delle matrici; applicato all'elemento aij della matrice quadrata A, si ottiene moltiplicando il minore dell'elemento aij per (1) i + j; è indicato con Аij: Aij = (1) i + jMij, dove Mij è il minore dell'elemento aij della matrice A =, i.e. identificatore ... ... Dizionario di economia e matematica

complemento algebrico- Il concetto di algebra delle matrici; applicato all'elemento aij della matrice quadrata A, si ottiene moltiplicando il minore dell'elemento aij per (1) i + j; è indicato con Аij: Aij = (1) i + jMij, dove Mij è il minore dell'elemento aij della matrice A =, i.e. determinante della matrice, ... ... Guida tecnica per traduttori

Complemento algebrico- vedi art. Determinante... Grande Enciclopedia Sovietica

SUPPLEMENTO ALGEBRICO- per un minore M, un numero uguale a dove M è un minore di ordine k, collocato in righe con numeri e colonne con numeri di qualche matrice quadrata di Ordine n; determinante della matrice di ordine n k ottenuto dalla matrice A barrando le righe e le colonne del minore M; ... ... Enciclopedia della matematica

aggiunta- Il Wikizionario contiene un articolo "addizione". L'aggiunta può significare ... Wikipedia

AGGIUNTA- l'operazione, tra l'altro, mette in corrispondenza di un sottoinsieme M del dato insieme X un altro sottoinsieme in modo che se Mi N sono noti, allora l'insieme X può essere ripristinato in un modo o nell'altro A seconda di quale struttura l'insieme X è dotato di, ... ... Enciclopedia della matematica

DETERMINANTE- o determinante, in matematica, la registrazione dei numeri sotto forma di tabella quadrata, in base alla quale viene posto un altro numero (il valore del determinante). Molto spesso, il concetto di determinante indica sia il significato del determinante che la forma della sua registrazione. ... ... Enciclopedia di Collier

Teorema di Laplace- Per un teorema della teoria della probabilità, vedere l'articolo Teorema locale di Moivre Laplace. Il teorema di Laplace è uno dei teoremi dell'algebra lineare. Prende il nome dal matematico francese Pierre Simon Laplace (1749 1827), a cui è attribuita la formulazione ... ... Wikipedia

matrice di Kirchhoff- (Matrice laplaciana) una delle rappresentazioni grafiche che utilizzano una matrice. La matrice di Kirchhoff viene utilizzata per contare gli alberi di copertura di un dato grafo (teorema dell'albero della matrice) e viene utilizzata anche nella teoria dei grafi spettrali. Contenuti 1 ... ... Wikipedia

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libri

• Matematica discreta, A.V. Chashkin. 352 pagine Il libro di testo è composto da 17 capitoli sulle principali sezioni della matematica discreta: analisi combinatoria, teoria dei grafi, funzioni booleane, complessità computazionale e teoria dei codici. Contiene...

Definizione. Se nel determinante dell'n-esimo ordine scegliamo arbitrariamente k righe e k colonne, allora gli elementi all'intersezione delle righe e delle colonne indicate formano una matrice quadrata di ordine k. Il determinante di tale matrice quadrata è chiamato kth ordine minore .

È indicato con M k. Se k = 1, allora il minore del primo ordine è un elemento del determinante.

Gli elementi all'intersezione delle rimanenti (n-k) righe e (n-k) colonne formano una matrice quadrata di ordine (n-k). Il determinante di tale matrice è chiamato minore, aggiuntivo al M minore k. È indicato con M n-k.

Il complemento algebrico del minore M k lo chiameremo minore aggiuntivo preso con segno “+” o “-” a seconda che la somma dei numeri di tutte le righe e colonne in cui si trova il minore M k sia pari o dispari.

Se k = 1, allora il complemento algebrico dell'elemento un ik calcolato dalla formula

UN ik = (- 1) i + k m io, dove M ik- ordine minore (n-1).

Teorema... Il prodotto di un minore di ordine k-esimo per il suo complemento algebrico è uguale alla somma di un certo numero di termini nel determinante D n.

Prova

1. Considera un caso particolare. Lascia che il minore M k occupi l'angolo in alto a sinistra del determinante, cioè si trova nelle righe numerate 1, 2, ..., k, quindi il minore M nk occuperà le righe k + 1, k + 2, . .., n.

Calcoliamo il complemento algebrico al minore M k. A-priorità,

UN n-k = (- 1) s m n-k, dove s = (1 + 2 + ... + k) + (1 + 2 + ... + k) = 2 (1 + 2 + ... + k), quindi

(-1) s= 1 e A n-k = m n-k... Noi abbiamo

m K UN n-k = m K m n-k. (*)

Prendiamo un termine minore arbitrario M k

, (1)

dove s è il numero di inversioni nella sostituzione

e un termine minore arbitrario M n-k

dove s * è il numero di inversioni nella sostituzione

(4)

Moltiplicando (1) e (3), otteniamo

Il prodotto è costituito da n elementi situati in diverse righe e colonne del determinante D. Pertanto, questo prodotto è un membro del determinante D. Il segno del prodotto (5) è determinato dalla somma delle inversioni nelle sostituzioni (2) e (4), e il segno del prodotto simile nel determinante D è determinato dal numero di inversioni sk nella sostituzione

Ovviamente, s k = s + s *.

Quindi, tornando all'uguaglianza (*), si ottiene che il prodotto M K UN n-kè costituito solo dai membri del determinante.

2. Sia il M . minore K situato sulle righe numerate io 1, io 2, ..., io k e nelle colonne con i numeri j 1, j 2, ..., j k, Inoltre io 1< i 2 < ...< i k e j 1< j 2 < ...< j k .

Usando le proprietà dei determinanti, con l'aiuto delle trasposizioni, sposta il minore nell'angolo in alto a sinistra. Otteniamo un determinante D ¢ in cui il minore M K occupa l'angolo in alto a sinistra, e un ulteriore M minore ¢ n-kè l'angolo in basso a destra, quindi, come dimostrato al punto 1, otteniamo che il prodotto M K M n-kè la somma di un certo numero di elementi del determinante D presi con il proprio segno. Ma D ¢ si ottiene da D usando ( io 1 -1) + (i 2 -2) + ... + (i k -k) = (i 1 + i 2 + ... + i k) - (1 + 2 + ... + k) trasposizioni di stringhe e ( j 1 -1) + (j 2 -2) + ... + (j k -k) = (j 1 + j 2 + ... + j k) - (1 + 2 + ... + k) trasposizioni di colonna. Cioè, tutto è stato fatto

(i 1 + i 2 + ... + ik) - (1 + 2 + ... + k) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - (1 + 2 + ... + k ) = (i 1 + i 2 + ... + ik) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - 2 (1 + 2 + ... + k) = s-2 (1 + 2 + ... + k). Pertanto, i termini dei determinanti D e D ¢ differiscono nel segno (-1) s-2 (1 + 2 + ... + k) = (- 1) s, quindi, il prodotto (-1) s M K M n-k sarà costituito da un certo numero di membri del determinante D, presi con gli stessi segni che hanno in questo determinante.

Teorema di Laplace... Se, nel determinante di ordine n, scegliamo arbitrariamente k righe (o k colonne) 1 £ k £ n-1, allora la somma dei prodotti di tutti i minori di k-esimo ordine contenuti nelle righe selezionate dai loro complementi algebrici è uguale al determinante D.

Prova

Scegliamo arbitrariamente le linee io 1, io 2, ..., io k e dimostralo

In precedenza è stato dimostrato che tutti gli elementi a sinistra dell'uguaglianza sono contenuti come termini nel determinante D. Mostriamo che ogni termine del determinante D cade in uno solo dei termini. In effetti, qualsiasi t s ha la forma t s =... se in questo prodotto segniamo i fattori con i primi indici io 1, io 2, ..., io k e componi il loro prodotto, puoi notare che il prodotto risultante appartiene al k-esimo ordine minore. Di conseguenza, i restanti termini presi dalle restanti n-k righe e n-k colonne formano un elemento appartenente al minore addizionale, e tenendo conto del segno, al complemento algebrico, quindi, ogni t s cade in uno solo dei prodotti, il che dimostra il teorema.

Conseguenza(teorema sullo sviluppo di un determinante in una riga) . La somma dei prodotti degli elementi di una certa riga del determinante per i corrispondenti complementi algebrici è uguale al determinante.

(Dimostrazione come esercizio.)

Teorema... La somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga del determinante per i corrispondenti complementi algebrici agli elementi della j-esima riga (i¹j) è uguale a 0.