Operatori lineari coniugati e simmetrici nello spazio euclideo. Operatori lineari negli spazi euclidei

25.04.2019 Consigli

Consideriamo uno spazio euclideo a dimensione. Sia dato un operatore lineare arbitrario.

Definizione 10. Un operatore lineare è detto operatore trasposto per un operatore se per qualsiasi vettore e da:

. (106)

L'esistenza e l'unicità di un operatore trasposto si stabiliscono esattamente come nel § 8 per l'operatore aggiunto in uno spazio unitario.

L'operatore trasposto ha le seguenti proprietà:

2. ,

3. (- numero reale),

Introduciamo una serie di definizioni.

Definizione 11. Un operatore lineare si dice normale se

Definizione 12. Un operatore lineare si dice simmetrico se

Definizione 13. Un operatore simmetrico si dice non negativo se per ogni vettore da

Definizione 14. Un operatore simmetrico si dice definito positivo se per qualsiasi vettore da

Definizione 15. Un operatore lineare si dice antisimmetrico se

Un operatore lineare arbitrario può sempre essere rappresentato, e, inoltre, in modo univoco, nella forma

dove è un operatore simmetrico ed è un operatore antisimmetrico.

Infatti, dalla (107) segue

Da (107) e (108) segue

. (109)

Viceversa, le formule (109) definiscono sempre un operatore simmetrico e uno antisimmetrico, per i quali vale l'uguaglianza (107).

E sono chiamati i componenti simmetrici e antisimmetrici dell'operatore.

Definizione 16. Un operatore si dice ortogonale se conserva la metrica dello spazio, cioè se per qualsiasi vettore da

. (110)

L'uguaglianza (110) in virtù della (106) può essere riscritta come segue: ... Ciò implica:

Viceversa, (111) implica (110) (per vettori arbitrari). Da (111) segue:, i.e.

Chiameremo l'operatore ortogonale l'operatore del primo tipo, se, e il secondo tipo, se.

Gli operatori simmetrici, antisimmetrici e ortogonali sono tipi particolari dell'operatore normale.

Consideriamo una base ortonormale arbitraria in un dato spazio euclideo. Lascia che una matrice corrisponda a un operatore lineare in questa base (qui sono tutti numeri reali). Il lettore mostrerà facilmente che l'operatore trasposto corrisponde nella stessa base alla matrice trasposta, dove ... Ne segue che in base ortonormale la matrice normale corrisponde all'operatore normale, la matrice simmetrica corrisponde all'operatore simmetrico, la matrice antisimmetrica corrisponde all'operatore antisimmetrico e, infine, la matrice ortogonale corrisponde all'operatore ortogonale operatore.

Analogamente a come è stato fatto nel § 8 per l'operatore aggiunto, qui si stabilisce la seguente proposizione:

Se un sottospazio в è invariante rispetto a un operatore lineare, allora il complemento ortogonale a в è invariante rispetto all'operatore.

Per studiare gli operatori lineari nello spazio euclideo, estenderemo lo spazio euclideo ad uno spazio unitario. Effettueremo questa estensione come segue:

1. I vettori da saranno chiamati vettori reali.

2. Introduciamo in considerazione i vettori "complessi", dove e sono vettori reali, es.

3. Le operazioni di addizione di vettori complessi e di moltiplicazione per un numero complesso sono definite in modo naturale. Quindi la raccolta di tutti i vettori complessi forma uno spazio vettoriale -dimensionale sul campo dei numeri complessi, contenente come parte.

4. Nella metrica hermitiana si introduce in modo tale che in essa coincida con la metrica euclidea ivi disponibile. Il lettore può facilmente verificare che la metrica hermitiana desiderata è definita come segue:

Se tu, allora

Supponendo in questo caso e, avremo:

Se scegliamo una base reale, cioè una base in, allora sarà una raccolta di tutti i vettori con complessi e - con coordinate reali in questa base.

Qualsiasi operatore lineare a può essere esteso in modo univoco a un operatore lineare a:

Tra tutti gli operatori lineari in, gli operatori risultanti da tale estensione da operatori in sono caratterizzati dall'essere tradotti in. Tali operatori saranno chiamati reali.

In una base reale, gli operatori reali sono definiti da matrici reali, cioè matrici con elementi reali.

L'operatore reale mappa vettori coniugati complessi e di nuovo vettori coniugati complessi

Per un operatore reale, l'equazione secolare ha coefficienti reali, quindi sai come con una radice della molteplicità-esima, ha anche una radice della molteplicità-esima. Da esso segue:, cioè, i numeri caratteristici coniugati corrispondono agli autovettori coniugati.

Il sottospazio bidimensionale ha una base reale: ... Il piano in questa base sarà chiamato piano invariante dell'operatore corrispondente a una coppia di numeri caratteristici. Lascia stare.

Allora, come è facile intuire,

Consideriamo un operatore reale di una struttura semplice con numeri caratteristici:

dove sono i numeri reali, e.

Allora gli autovettori corrispondenti a questi numeri caratteristici possono essere scelti in modo che

formano una base nello spazio euclideo. in cui

(114)

In base (113), l'operatore corrisponde alla matrice quasi diagonale reale

. (115)

Quindi, per ogni operatore di una struttura semplice nello spazio euclideo, esiste una base in cui l'operatore corrisponde a una matrice della forma (115). Quindi segue che qualsiasi matrice reale di struttura semplice è reale-simile a una matrice canonica della forma (115):

L'operatore trasposto per at dopo l'espansione diventa l'operatore coniugato per at. Di conseguenza, gli operatori normale, simmetrico, antisimmetrico, ortogonale in dopo l'estensione diventano, rispettivamente, gli operatori normali, hermitiani, moltiplicati per gli operatori reali unitari hermitiani in.

È facile mostrare che per un operatore normale in uno spazio euclideo, si può scegliere una base canonica - una base ortonormale (113) per la quale valgono le uguaglianze (114). Pertanto, una matrice normale reale è sempre reale e ortogonale simile a una matrice della forma (115):

(117)

Tutti i numeri caratteristici di un operatore simmetrico nello spazio euclideo sono reali, poiché dopo l'estensione questo operatore diventa hermitiano. Per l'operatore simmetrico, nelle formule dovrebbe essere impostato (114). Quindi otteniamo:

Un operatore simmetrico nello spazio euclideo ha sempre un sistema ortonormale di autovettori con numeri caratteristici reali. Pertanto, una vera matrice simmetrica è sempre reale e ortogonalmente simile alla matrice diagonale

Tutti i numeri caratteristici di un operatore antisimmetrico nello spazio euclideo sono puramente immaginari (dopo l'estensione, questo operatore è uguale al prodotto dell'operatore hermitiano). Per un operatore antisimmetrico nelle formule (114), si dovrebbe impostare:

dopo di che queste formule prendono la forma

(120)

Essendo un operatore normale, la base (113) può essere considerata ortonormale. Pertanto, qualsiasi matrice antisimmetrica reale è reale e ortogonale simile alla matrice antisimmetrica canonica:

... (124)): dalle uguaglianze parallele al vettore. Abbiamo dimostrato il teorema di Eulero - D'Alembert:

Il movimento finito arbitrario nello spazio euclideo tridimensionale è un movimento elicoidale attorno a un asse fisso.

220400 Algebra e Geometria Tolstikov A.V.

Lezioni 15. Operatori lineari negli spazi euclidei

Piano

1. Operatori coniugati negli spazi euclidei e loro proprietà.

2. Operatori autoaggiunti.

3. Matrici ortogonali e loro proprietà.

4. Operatori ortogonali e loro proprietà.

1. Corso di Geometria Analitica e Algebra Lineare. Mosca: Nauka, 1984.

2. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Elementi di algebra lineare e geometria analitica. 1997.

3. Voevodin V.V. Algebra lineare .. M .: Nauka 1980.

4. Raccolta di compiti per gli istituti tecnici. Algebra lineare e fondamenti dell'analisi matematica. ed. Efimova A.V., Demidovich B.P .. M .: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra lineare in domande e problemi. Mosca: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Algebra lineare. Mosca: Nauka, 1980.

1. Operatori coniugati negli spazi euclidei e loro proprietà. lascia stare E- Spazio euclideo sul campo dei numeri reali R , su cui il prodotto scalare di vettori ( un ,B ), un ,B Î e.

Definizione 1. Operatore lineare UN * spazio euclideo E chiamato coniugare operatore lineare UN * spazio E se per qualsiasi vettore un ,B Î E la condizione è soddisfatta:

(Aa ,B ) = (un ,A * b ). (1)

Lemma 1.Se il prodotto di una data stringaU a qualsiasi colonnaY è uguale a zero, quindi la stringaU è zero. Se il prodotto di qualsiasi stringaX T su una data colonnaU uguale a zero, quindi la colonnanullo.

Prova. lascia stare tu= (tu 1 , tu 2 ,…,tu n), sì= (sì 1 , sì 2 ,…,y n)T... Per l'ipotesi del teorema, per qualsiasi numero sì 1 , sì 2 ,…,y n tu sì= (tu 1 , tu 2 ,…,tu n)(sì 1 , sì 2 ,…,y n)T = tu 1 sì 1 + tu 2 sì 2 +…+u n y n= 0. Se tutti i numeri sì 1 , sì 2 ,…,y n sono uguali a 0, tranne y j, che = 1, quindi da questo otteniamo che tu j (io = 1,2,…,n). Ecco perchè tu= 0. Analogamente si dimostra la seconda affermazione del teorema.

Teorema 1.lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - base dello spazio euclideoE, UN - matrice di operatori lineari UN sulla base v, G = (g ij) - matrice grammo base v. Se per un operatore lineareUN esiste un operatore aggiuntoUN *, quindi l'uguaglianza

A t G = G A *. (2)

Prova. lascia stare X e sì colonne coordinate vettoriali un ,B Î E sulla base v, UN e UN * matrici di operatori lineari UN e UN * sulla base v... Quindi

(Aa , B ) =(v(ASCIA), vY) = (ASCIA) T GY, (un ,A * b ) = X T G A * Y.(3)

Quindi, usando la formula (1), otteniamo l'uguaglianza ( ASCIA) T GY= X T G A * Y, valido per qualsiasi vettore colonna X e Y. Poiché i vettori un ,B arbitrario, allora per il Lemma 1 si ottiene A t G = G A *.

Teorema 2.Se la basev = (v 1 , v 2 ,…, v n) spazio euclideoE ortonormale, allora matriceUn * operatore lineare aggiuntoUN * è trasposto in matriceOperatore UN ;

In = UN *. (4)

Prova. Poiché la matrice di Gram della base ortonormale è unità, G = E, quindi (4) segue da (2) .

Corollario 1. Per qualsiasi operatoreUN equa uguaglianza (UN * ) * = UN .

Prova. Con la formula (4) per matrici di operatori lineari ( UN * ) * e UN in base ortonormale abbiamo ( UN *) * = (In)T = UN... Ecco perchè ( UN * ) * = UN .

Corollario 2. Per qualsiasi operatoreUN , B equa uguaglianza (AB ) * = B * A * .

Prova. Per la formula (4) per le matrici degli operatori lineari UN ,B e UN * , B * in base ortonormale abbiamo ( AB) * = (AB)T = B t A t = B * UN*. Ecco perchè ( AB ) * = B * A * .

Corollario 3. Autovalori di operatori lineariUN eUN * incontro.

Prova. Poiché i polinomi caratteristici delle matrici e coincidono, gli autovalori degli operatori lineari, che sono le radici dell'equazione caratteristica, coincidono .

Teorema 3. Per qualsiasi operatore lineareUN spazio euclideoE esiste un unico operatore lineare aggiuntoUN * .

Prova. lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) base ortonormale dello spazio euclideo E, UN - operatore lineare con matrice UN sulla base v... considerare in E operatore lineare B con matrice In rispetto a una data base. Operatore B ce n'è solo uno. I membri di destra delle uguaglianze (3) sono uguali: ( ASCIA) T GY = X T G A * Y. Pertanto, la sinistra ( Aa , B ) = (un ,Bb ). Pertanto, l'operatore B - coniugato per l'operatore UN .

2. Operatori autoaggiunti.

Definizione 1. Operatore lineare UN spazio euclideo E chiamato autoaggiunto o simmetrico, Se UN = UN * , cioè. per qualsiasi vettore di due un ,B Î E la condizione è soddisfatta:

(Aa , B ) = (un ,Ab ). (1)

Teorema 1. Operatore lineareUN spazio euclideoE è autoaggiunto se e solo se la matriceUn operatore lineareUN matrice simmetrica in base ortogonale, cioè. UN = UN * .

Operatori lineari autoaggiunti
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§ 5. Operatori lineari autoaggiunti
nello spazio euclideo .

1. Il concetto di operatore coniugato. Considereremo operatori lineari in uno spazio euclideo di dimensione finita V. Definizione 1. Un operatore A * da L (V, V) si dice coniugato a un operatore lineare A se per ogni xey da V la relazione

(Ax, y) = (x, A * y). (5.51)

È facile verificare che l'operatore A*, coniugato ad un operatore lineare A, è esso stesso un operatore lineare. Ciò segue dall'ovvia relazione

che è valido per qualsiasi elemento x, y 1, y 2 e qualsiasi numero complesso α e .

Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 5.12. Ogni operatore lineare A ha un unico operatore aggiunto.

Prova. Ovviamente, il prodotto scalare (Ax, y) è una forma sesquilineare (vedi Cap. 4, § 3, punto 1 e la definizione di una forma sesquilineare). Per il Teorema 5.11, esiste un unico operatore lineare A * tale che questa forma può essere rappresentata nella forma (x, A * y). Quindi, (Ax, y) = x, A * y.
Di conseguenza, l'operatore A * è coniugato all'operatore A. L'unicità dell'operatore A * deriva dall'unicità della rappresentazione dell'operatore sesquilineare nella forma E.44). Il teorema è dimostrato.

Nel seguito, il simbolo A * indicherà l'operatore coniugato all'operatore A.
Nota le seguenti proprietà degli operatori coniugati:

Le dimostrazioni delle proprietà 1°-4° sono elementari, e le lasciamo al lettore. Diamo una dimostrazione della proprietà 5°. Per la definizione di prodotto di operatori vale la relazione (AB) x = A (Bx). Usando questa uguaglianza e la definizione dell'operatore aggiunto, otteniamo la seguente catena di relazioni:

((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y) . ..

Quindi, ((AB) x, y) = (x, (B * A *) y). In altre parole, l'operatore B * A * è coniugato all'operatore AB. La validità della proprietà 5° è stabilita.

Commento. Il concetto di operatore coniugato per uno spazio reale viene introdotto in modo del tutto simile. Le conclusioni di questa sottosezione e le proprietà degli operatori coniugati sono valide anche per questo caso (in questo caso, la proprietà 3° è formulata come segue: (λА) * = λА *).

2. Operatori autoaggiunti. Proprietà di base.
Definizione 2. Un operatore lineare A da L (V, V) si dice autoaggiunto se l'uguaglianza

A * = A.

Un operatore autoaggiunto in uno spazio reale è definito in modo simile.
L'esempio più semplice di operatore autoaggiunto è l'operatore identità I (vedi proprietà 1° degli operatori aggiunti nella sottosezione precedente).
Gli operatori autoaggiunti possono essere utilizzati per ottenere una rappresentazione speciale di operatori lineari arbitrari. Vale a dire, la seguente affermazione è vera.

Teorema 5.13... Sia A un operatore lineare agente in uno spazio euclideo complesso V. Allora vale la seguente rappresentazione: A = A R + ioА Io dove UN R e A Sono operatori autoaggiunti chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria dell'operatore A.

Prova. Secondo le proprietà di 2°, 3° e 4° degli operatori coniugati (si veda il punto precedente di questa sezione), gli operatori UN R = (LA + LA *) / 2 e LA io = (LA - LA *) / 2i- autoaggiunto.

Ovviamente, A = A R + ioА I Il teorema è dimostrato.

Nel prossimo teorema vengono chiarite le condizioni per l'autoaggiunzione di un prodotto di operatori autoaggiunti. Diremo che gli operatori A e B commutano se AB = BA.

Teorema 5.14. Affinché il prodotto AB degli operatori autoaggiunti A e B sia un operatore autoaggiunto, è necessario e sufficiente che essi commutino.
Prova... Poiché A e B sono operatori autoaggiunti, allora, per la proprietà 5° degli operatori coniugati (vedi punto 1 di questa sezione), valgono le seguenti relazioni:
(AB) * = B * A * = BA (5,52)

Pertanto, se AB = BA, poi ( AB) * = AB, cioè. l'operatore AB è autoaggiunto. Se AB è un operatore autoaggiunto, allora AB = (AB) *, e quindi, in base alla (5.52), AB = BA. Il teorema è dimostrato.
Nei teoremi successivi vengono stabilite alcune importanti proprietà degli operatori autoaggiunti.
Teorema 5.15. Se l'operatore A è autoaggiunto, allora per any NS ϵ V prodotto scalare (Ah, x)- numero reale.
Prova. La validità dell'enunciato del teorema segue dalla seguente proprietà del prodotto scalare nello spazio euclideo complesso e la definizione di operatore autoaggiunto (Ricorda che se un numero complesso è uguale al suo coniugato, allora
questo numero è reale.)

Teorema 5.16. Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali.
Prova. Sia λ l'autovalore dell'operatore autoaggiunto A. Per definizione dell'autovalore dell'operatore A (vedi Definizione 2 del § 3 di questo capitolo) esiste un vettore diverso da zero x
tale che Ax = λx. Da questa relazione segue che il prodotto scalare reale (in virtù del Teorema 5.15) (Ax, x) può essere rappresentato come 2)

( 2) Ricorda che il simbolo || x || denota la norma dell'elemento x.)

Da || x || e (Ax, x) sono reali, allora, ovviamente, anche λ è un numero reale. Il teorema è dimostrato.

Il prossimo teorema chiarisce la proprietà di ortogonalità degli autovettori di un operatore autoaggiunto.
Teorema 5.17. Se A è un operatore autoaggiunto, allora gli autovettori corrispondenti ai diversi autovalori di questo operatore sono ortogonali.

Prova. Siano λ 1 e λ 2 diversi autovalori (λ 1 ≠ λ 2) dell'operatore autoaggiunto A, a x 1 e x 2, rispettivamente, i corrispondenti autovettori. Allora valgono le seguenti relazioni: Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Pertanto, i prodotti scalari (Ax 1, x 2) e (x 1, Ax 2) sono rispettivamente uguali alle seguenti espressioni 3):

3) Poiché gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali, allora

Poiché l'operatore A è autoaggiunto, i prodotti scalari (Ax 1, x 2) e (x 1, Ax 2) sono uguali, e quindi dalle ultime relazioni per sottrazione si ottiene l'uguaglianza

Poiché λ 1 ≠ λ 2, dall'ultima uguaglianza segue che il prodotto scalare (x 1 * x 2) si annulla, cioè ortogonalità degli autovettori x 1 e x 2 Il teorema è dimostrato.

3. Norma di un operatore lineare. Sia A un operatore lineare che mappa lo spazio euclideo V nello stesso spazio. Introduciamo il concetto di norma dell'operatore A.
Definizione 3... La norma || UN || l'operatore lineare A è il numero definito dalla relazione 1)

1) Ricordiamo che questo implica che è una funzione continua x, che sul chiuso || x || = 1 raggiunge il valore massimo finale.

La definizione della norma di un operatore lineare implica la seguente disuguaglianza ovvia:

(per la dimostrazione basta usare la relazione Ax =

Dalla relazione E.54) segue che se || A || = О, allora l'operatore A è zero.

La norma di un operatore autoaggiunto A può essere determinata in un altro modo. Vale a dire, l'affermazione è vera:

Se A è un operatore autoaggiunto, allora la norma sopra introdotta || A || l'operatore A è uguale a

Prova. Per qualsiasi x da V, vale la disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky (vedi sottosezione 2 del § 3 del cap. 4)

Da essa e dalla disuguaglianza (5.54) si ottiene la seguente disuguaglianza:

Quindi il numero

soddisfa la relazione

Nota che dall'uguaglianza

e la definizione del numero μ (vedi 5.56)) segue la seguente disuguaglianza:

Passiamo ora alla seguente identità ovvia:

(in questa identità il simbolo Re (Ax, y) denota la parte reale del numero complesso (Ax, y), l'identità stessa segue facilmente dalle proprietà del prodotto scalare, cfr. Paragrafo 1, Paragrafo 3, Capitolo 4). Prendendo a sinistra e a destra
parte di questa identità modulo, utilizzando la proprietà modulo della somma e della disuguaglianza E.58), si ottengono le seguenti relazioni 1):

1 ) Abbiamo usato la definizione della norma di un elemento in uno spazio euclideo complesso.

Quindi, per || x || = || e || = 1 otteniamo la disuguaglianza

Impostazione in questa disuguaglianza (ovviamente, || y || = 1) e tenendo conto che il numero (Ax, Ax) = || Ax || 2 è reale (quindi, otteniamo

Quindi, secondo la disuguaglianza (5.53), troviamo

Per completare la dimostrazione, resta da confrontare la disuguaglianza risultante con la disuguaglianza (5.57) e utilizzare la definizione del numero µ (vedi 5.56)).

4. Ulteriori proprietà degli operatori autoaggiunti. In questa sottosezione, dimostriamo una serie di importanti proprietà degli operatori lineari relative al concetto di norma. Innanzitutto, stabiliamo una condizione necessaria e sufficiente per l'autoaggiunzione di un operatore. Dimostriamo il seguente teorema.
Teorema 5.18. Affinché l'operatore lineare A sia autoaggiunto, è necessario e sufficiente che 2)

2 ) Il simbolo Im (Ax, x) denota la parte immaginaria di un numero complesso (Ax, x). L'uguaglianza Im (Ax, x) = 0 significa che il numero (Ax, x) è reale.

Prova. Per il Teorema 5.13, un operatore lineare arbitrario A può essere rappresentato nella forma

operatori autoaggiunti. Ecco perchè

inoltre, secondo il Teorema 5.15, per ogni x i numeri e sono reali. Di conseguenza, questi numeri sono rispettivamente uguali alle parti reale e immaginaria del numero complesso (Ax, x):

Supponiamo che A sia un operatore autoaggiunto. Per il Teorema 5.15, in questo caso (Ax, x) è un numero reale,
e quindi Im (Ax, x) = 0. La necessità della condizione del teorema è dimostrata.

Dimostriamo la sufficienza della condizione del teorema.

Sia Im (Ax, x) = (A I x, x) = 0. Ne segue che ||A I || = 0, ovvero A I = 0. Pertanto, A = A R, dove A R è un operatore autoaggiunto.
Il teorema è dimostrato.
Le seguenti affermazioni chiariscono alcune proprietà degli autovalori degli operatori autoaggiunti.

Lemma. Qualsiasi autovalore X di un operatore autoaggiunto lineare arbitrario A nello spazio euclideo è uguale al prodotto scalare (Ax, x), dove x è un vettore, soddisfacente
che soddisfa la condizione || x || = 1:

Prova. Poiché è un autovalore dell'operatore A, esiste un vettore z diverso da zero tale che

Impostazione x = z / || z || (ovviamente, || x || = 1), riscriviamo 5.60) come segue: Ax = λ x, || x || = 1. Da ciò otteniamo le relazioni cioè, 5.59) avviene. Il lemma è dimostrato.
Conseguenza. Sia A un operatore autoaggiunto e un qualsiasi autovalore di questo operatore. Lascia che oltre

Sono valide le seguenti disuguaglianze:

Osservazione 1. Poiché il prodotto scalare (Ax, x) è una funzione continua di x, allora sul chiuso || x || = 1 questa funzione è limitata e raggiunge i suoi limiti esatti m e M.
Osservazione 2... Secondo il Teorema 5.16, gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. Pertanto, le disuguaglianze 5.62) hanno senso.
Prova del corollario. Poiché ogni autovalore soddisfa la relazione (5.59), allora, ovviamente, ogni autovalore giace tra le facce esatte m ed M del prodotto scalare (Ax, x). Pertanto, le disuguaglianze (5.62) sono valide.
Dimostreremo che i numeri m e M definiti dalle relazioni (5.61) sono, rispettivamente, gli autovalori più piccolo e più grande dell'operatore autoaggiunto A. Innanzitutto, verificheremo la validità della seguente asserzione.

Teorema 5.19. Sia A un operatore autoaggiunto e, inoltre, (Ax, x) ≥ 0 per ogni x. Quindi la norma || A || è uguale al più grande autovalore di questo operatore 1)

1 ) Poiché esistono un numero finito di autovalori e sono reali, è possibile specificare il più grande di essi.

Prova. Abbiamo già notato (vedi la dichiarazione della sezione precedente) che

Poiché (Ax, x) ≥ 0, allora Secondo l'Osservazione 1 di questa sottosezione, per alcuni

Passando alla definizione della norma e utilizzando le uguaglianze appena scritte, si ottengono le relazioni 2)

Quindi, o, in altre parole, è l'autovalore dell'operatore A. Il fatto che sia l'autovalore più grande segue dal corollario appena stabilito al lemma di questa sottosezione. Il teorema è dimostrato.

Dimostriamo ora che i numeri m e M (vedi 5.61)) sono gli autovalori più piccolo e più grande dell'operatore autoaggiunto A.

Teorema 5.20. Sia A un operatore autoaggiunto, e m e M facce esatte (Ax, x) sull'insieme || x || = 1. Questi numeri rappresentano gli autovalori più piccolo e più grande dell'operatore A.
Prova... Ovviamente, è sufficiente dimostrare che i numeri m e M sono gli autovalori dell'operatore A. Quindi le disuguaglianze 5.62) implicano immediatamente che m e M sono rispettivamente l'autovalore più piccolo e il più grande.
Dimostriamo prima che M è un autovalore. Per questo, si consideri l'operatore autoaggiunto B = A - mI. Perché

allora l'operatore В soddisfa le condizioni del Teorema 5.19, e quindi la norma || В || di questo operatore è uguale al più grande autovalore. Dall'altro lato,

Quindi, (M - m) è il più grande autovalore dell'operatore B. Pertanto, esiste un vettore diverso da zero x 0 tale che

Perché

Sostituendo questa espressione Bx 0 nel membro sinistro dell'uguaglianza (5.63), si ottiene, dopo semplici trasformazioni, la relazione Ax 0 = Mx 0 - Quindi, M è l'autovalore dell'operatore A. Verifichiamo ora che il numero m è anche l'autovalore dell'operatore A.
Consideriamo un operatore autoaggiunto B = -A. È ovvio che

Secondo la prova appena effettuata, il numero - m rappresenta l'autovalore dell'operatore B. Poiché B = -A, allora m sarà l'autovalore dell'operatore A. Il teorema è dimostrato.

Il prossimo teorema chiarisce un'importante proprietà degli autovettori di un operatore autoaggiunto.

Teorema 5.21. Ogni operatore lineare autoaggiunto A che agisce in n spazio euclideo V, esiste n autovettori ortogonali e unitari linearmente indipendenti.

Prova... lascia stare 1 è il massimo autovalore dell'operatore

Indichiamo con e 1 l'autovettore corrispondente a λ 1 e che soddisfa la condizione || e 1 || = 1 (la possibilità di sceglierlo segue dalla dimostrazione del lemma in questa sottosezione).
Indichiamo con V 1 il sottospazio (n - 1) -dimensionale dello spazio V ortogonale a e 1 Ovviamente V 1 è un sottospazio invariante dell'operatore A (cioè, se x ϵ V 1, allora Ax ϵ V 1. Infatti , sia x ϵ V 1 (cioè (x, e 1 = 0). Allora 1)

1 ) Abbiamo usato la proprietà autoaggiunta dell'operatore (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) e il fatto che e 1 - vettore dell'operatore:

Quindi Ax è un elemento di V 1 , e quindi V 1 è il sottospazio invariante dell'operatore A. Questo ci dà il diritto di considerare l'operatore A nel sottospazio V 1 ... In questo sottospazio, A sarà un operatore autoaggiunto. Pertanto, esiste un autovalore massimo A 2 di questo operatore, che può essere trovato utilizzando la relazione 1 )

1 ) Il simbolo denota l'ortogonalità dei vettori e 1 ed e 2

Inoltre, puoi specificare un vettore tale che

Passando ulteriormente al sottospazio (n - 2) -dimensionale V 2, ortogonale ai vettori e 1 ed e 2, e ripetendo il ragionamento di cui sopra, costruiamo un autovettore ez, || ez || = 1, ortogonale a e 1 ed e 2. Argomentando ulteriormente nello stesso modo, troviamo successivamente n autovettori mutuamente ortogonali e 1, e 2, ..., e n che soddisfano la condizione
Osservazione 1. In futuro, concordiamo di numerare gli autovalori di un operatore autoaggiunto in ordine decrescente, tenendo conto di autovalori ripetuti, cioè multipli. in cui

e i corrispondenti autovettori е 1, е 2, ..., е n possono essere considerati mutuamente ortogonali e soddisfano la condizione

Così,

Osservazione 2... Gli argomenti nella dimostrazione del teorema implicano la relazione

Questo rapporto può anche essere scritto come

arco lineare di vettori е 1, е 2, ..., е m. La validità dell'osservazione deriva dal fatto che (x, x) = || x || 2, e quindi

e la norma dell'elemento x / || x || è uguale a 1.

lascia stare ∑ m è l'insieme di tutti i sottospazi m-dimensionali di V. Vale la seguente importante proprietà minimax degli autovalori.
Teorema 5.22. Sia A un operatore autoaggiunto e sono i suoi autovalori, numerati nell'ordine indicato nell'Osservazione 1. Allora

LEZIONE 9

Operatori in spazi euclidei

Gli operatori lineari che agiscono negli spazi euclidei hanno una serie di proprietà speciali che sono molto importanti per le applicazioni dell'algebra lineare in varie aree tematiche. Ci soffermeremo solo sulle questioni principali di questa teoria, in particolare, studieremo la teoria degli operatori lineari esclusivamente in spazi reali con basi ortonormali, cioè nello spazio. Inoltre, gli operatori saranno considerati trasformazioni, cioè studieremo gli operatori
.

Operatore coniugato ... Considera il concetto di operatore abbinato all'operatore agendo nello spazio euclideo
.

Definizione 9.1. lascia stare
- qualche operatore lineare. Operatore
chiamatocollegato all'operatore , Se
la condizione è soddisfatta

. (9.1)

Teorema 9.1. Per qualsiasi operatore lineare
esiste un unico operatore aggiunto
che è anche lineare.

Prova. 1) Lascia che l'operatore esiste, dimostriamo la sua unicità. Per fare ciò, supponiamo che questo operatore non sia l'unico, ovvero che esistano, ad esempio, due operatori e soddisfacente Definizione 9.1. Allora, per la formula (9.1), abbiamo:

,
, (9.2)

da dove otteniamo

Per il fatto che nella Definizione 9.1 (nella formula (9.1)) il vettore
è arbitrario, poniamo l'uguaglianza (9.3)

Poiché il prodotto scalare soddisfa l'assioma di non degenerazione, dall'ultima uguaglianza si ha

da cui, per l'arbitrarietà del vettore segue che
e si dimostra l'unicità dell'operatore aggiunto.

2) Dimostriamo la linearità dell'operatore aggiunto. Usando la definizione (9.1) e le proprietà del prodotto scalare, si ottiene:

,
e

un)
;

Il confronto delle formule a) e b) implica la linearità dell'operatore aggiunto , ovvero:

3) Dimostriamo ora l'esistenza dell'operatore aggiunto. Ripariamo nello spazio
base canonica
e scrivi i vettori
e
nella forma delle loro espansioni in base canonica:

;
. (9.4)

Considera il calcolo dei lati sinistro e destro (9.1):

;

Confrontando le ultime due uguaglianze tenendo conto della (9.1), si ottiene:

. (9.5)

Quindi, se la matrice dell'operatore ha la forma

allora la matrice dell'operatore aggiunto ha la forma

. (9.6)

Dalla (9.6) segue che la matrice dell'operatore aggiunto in qualsiasi base ortonormale
si trova per trasposizione della matrice degli operatori , che dimostra l'esistenza dell'operatore aggiunto.

Dimostriamo un teorema sulle proprietà dell'operatore coniugato a un operatore lineare.

Teorema 9.2. Sono valide le seguenti proprietà dell'operatore aggiunto :
e

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Prova. Dimostriamo la prima relazione. lascia stare È un operatore lineare arbitrario. Per l'operatore coniugato il coniugato sarà l'operatore ... Quindi:

L'ultima uguaglianza vale per qualsiasi vettore , questo è,

da cui segue la dimostrazione della prima proprietà.

Dimostriamo la seconda relazione. Per fare ciò, considera la seguente catena di trasformazioni:

Il confronto dei lati sinistro e destro dell'uguaglianza (9.8) implica la dimostrazione della seconda proprietà.

Il resto delle proprietà sono dimostrate in modo simile.

Operatori autoaggiunti ... Le applicazioni sono di grande importanza operatori autoaggiunti .

Definizione 9.2. Operatore lineare
chiamatoautoaggiunto , Se
.

Dalla definizione segue che per un operatore autoaggiunto la relazione

. (9.9)

Poiché la matrice dell'operatore aggiunto è uguale alla matrice trasposta dell'operatore , allora per un operatore autoaggiunto gli elementi di matrice soddisfano l'uguaglianza
, questo è gli elementi della matrice di un operatore autoaggiunto che sono simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali a... Tale matrice è chiamata simmetrico ... Per questo motivo gli operatori autoaggiunti
chiamato spesso simmetrico .

Gli operatori autoaggiunti hanno una serie di proprietà facili da dimostrare utilizzando la definizione e le proprietà dell'operatore aggiunto.

1. Singolo operatore è autoaggiunto.

Prova. Ovviamente,

2. La somma degli operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto.

Prova. Se
e
, poi

3. Una composizione di operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto se e solo se questi operatori sono commutativi.

Prova. Ricordiamo che gli operatori sono detti commutativi se

dove - operatore nullo. Se
,
, poi

cos'è uguale? se e solo se gli operatori sono commutativi.

4. Operatore inverso all'operatore autoaggiunto non degenere
anche un operatore autoaggiunto.

Prova. Infatti, se
, poi

5. Se È un operatore autoaggiunto, quindi il prodotto di questo operatore per un numero reale
è un operatore autoaggiunto.

Prova. Dalla terza proprietà (9.7), abbiamo:

Teorema 9.3. Autovettori di un operatore autoaggiunto agendo nello spazio
corrispondenti a coppie di autovalori differenti sono reciprocamente ortogonali.

:
e
, e
... Poiché l'operatore è autoaggiunto, allora
... Pertanto, rispettivamente a sinistra e a destra, abbiamo:

;

Da dove in vigore
noi abbiamo:
.

Il seguente importante teorema è vero per gli operatori autoaggiunti.

Teorema 9.4. Tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto
reale e diverso.

Prova. Nel caso generale, la dimostrazione del teorema è piuttosto macchinosa. Per questo motivo, presentiamo una dimostrazione per il caso dell'operatore
... Quindi, sia dato qualche operatore lineare
con matrice ... Allora l'equazione caratteristica di questo operatore ha la forma:

Espandendo il determinante, si ottiene l'equazione caratteristica:

Troviamo la soluzione di questa equazione con la nota formula:

Il discriminante è:

Il primo termine, ovviamente, è sempre positivo, e il secondo è positivo, poiché
... Pertanto, le radici dell'equazione caratteristica sono reali e diverse.

Teorema 9.5. lascia stare
È un operatore autoaggiunto. Poi nello spazio
si può scegliere una base ortonormale

in modo che la matrice di operatori in questa base era diagonale.

Prova. Per il Teorema 9.4, tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto sono reali e differenti, e quindi, per il Teorema 9.3, gli autovettori di un operatore autoaggiunto sono mutuamente ortogonali. Il sistema degli autovettori può ovviamente essere normalizzato. Ma poi questi vettori formano la base dello spazio
, in cui l'operatore è un operatore di una struttura semplice, cioè ha una matrice diagonale.

Operatori ortogonali e loro proprietà, interpretazione geometrica ... Considera la definizione e le proprietà di un'importante classe di operatori che agiscono nello spazio
.

Definizione 9.3. Operatore agendo nello spazio
è chiamatoortogonale se conserva il prodotto scalare, cioè

.(9.10)

Dalla definizione segue che l'operatore ortogonale conserva le norme (lunghezze) dei vettori e gli angoli tra di essi .

Lemma 9.1. Operatore

.

Prova. lascia stare

da cui abbiamo:
... supponendo
, noi abbiamo:

lascia stare
... Poi abbiamo:

È ovvio che l'operatore ortogonale è non degenere cioè, la sua matrice è matrice inversa.

Teorema 9.6 (sulle proprietà degli operatori ortogonali). Operatori ortogonali
hanno le seguenti proprietà:

1)l'operatore dell'unità è ortogonale;

2)anche la composizione degli operatori ortogonali è un operatore ortogonale;

3)anche l'operatore inverso all'operatore ortogonale è ortogonale;

4)Se
È un operatore ortogonale, allora l'operatore
è ortogonale se e solo se
.

Prova. 1. La dimostrazione di questa proprietà è quasi ovvia:

2. Lascia
e
- operatori ortogonali. Quindi:

3. Lascia operatore ortogonale. Tener conto di
:

4. Lascia - operatore ortogonale. Quindi

Teorema 9.7 (criterio per l'ortogonalità di un operatore). Operatore agendo nello spazio
, è ortogonale se e solo se mappa almeno una base ortonormale su una base ortonormale.

Prova. lascia stare
- operatore ortogonale. Quindi, preservando il prodotto scalare, trasforma la base ortonormale in base ortonormale.

Ora lascia che l'operatore
traduce la base ortonormale

in una nuova base ortonormale

Quindi

Considera le proprietà della matrice dell'operatore ortogonale.

Teorema 9.8. Sistema di vettori colonna (righe) della matrice dell'operatore ortogonale
in qualsiasi base ortonormale

è ortonormale.

Prova. lascia stare
- qualche operatore ortogonale e
- alcune basi ortonormali. Per il Teorema 9.9, il sistema di immagini dei vettori di base è esso stesso ortonormale, cioè
... Pertanto, per le colonne della matrice dell'operatore

(come vettori dello spazio aritmetico
) noi abbiamo:

. (9.11)

Una proprietà simile è valida anche per le righe della matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Matrice di operatori ortogonali
in qualsiasi base ortonormale soddisfa la condizione

. (9.13)

Prova. lascia stare
- operatore ortogonale. Poiché le matrici degli operatori e sono legati dalle relazioni

da cui per la matrice degli operatori otteniamo (9.11).

Viceversa, valga la relazione (9.11). Quindi
, da cui segue che l'operatore è ortogonale.

Definizione 9.4. Matrice per cui la proprietà è soddisfatta(9.13),chiamato ortogonale.

Ecco alcuni teoremi sulle proprietà dell'operatore ortogonale.

Teorema 9.10. Autovalori dell'operatore ortogonale nello spazio
sono uguali
.

Prova. lascia stare
... Quindi

Poiché per definizione
, poi
.

Teorema 9.11. Determinante di una matrice ortogonale è uguale a

Prova. Per una matrice ortogonale, l'uguaglianza
... Ecco perchè
... Quindi

Sia l'operatore lineare UN agisce nello spazio euclideo E n e trasforma questo spazio in se stesso.

Introdurre definizione: operatore UN* chiamiamo l'operatore coniugato UN se per due vettori qualsiasi x, y da Е n l'uguaglianza dei prodotti scalari della forma è soddisfatta:

(Ascia, sì) = (x, A * y)

Ancora definizione: un operatore lineare si dice autoaggiunto se è uguale al suo operatore aggiunto, cioè l'uguaglianza è vera:

(Ascia, sì) = (x, ay)

o, in particolare ( Ascia, x) = (x, Ax).

Un operatore autoaggiunto ha alcune proprietà. Ecco qui alcuni di loro:

Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali (nessuna dimostrazione);

Gli autovettori di un operatore autoaggiunto sono ortogonali. Infatti, se x 1 e x 2 Sono autovettori, e 1 e 2 sono i loro autovalori, allora: Ascia 1 =  1 X; Ascia 2 =  2 X; (Ascia 1, x 2) = (x 1, Ascia 2), o 1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Poiché  1 e  2 sono diversi, quindi ( x 1, x 2) = 0, come richiesto.

Nello spazio euclideo esiste una base ortonormale degli autovettori dell'operatore autoaggiunto UN... Cioè, la matrice di un operatore autoaggiunto può sempre essere ridotta a una forma diagonale in una base ortonormale composta dagli autovettori dell'operatore autoaggiunto.

uno in più definizione: chiamiamo un operatore autoaggiunto che agisce nello spazio euclideo simmetrico operatore. Considera la matrice di un operatore simmetrico. Dimostriamo l'affermazione: perché un operatore sia simmetrico è necessario e sufficiente che la sua matrice sia simmetrica in base ortonormale.

lascia stare UN- operatore simmetrico, ovvero:

(Ascia, sì) = (x, ay)

Se UNÈ la matrice dell'operatore A, e X e sì- alcuni vettori, quindi scriviamo:

coordinate X e sì in qualche base ortonormale

Quindi: ( x, y) = X T Y = Y T X e abbiamo ( Ascia, sì) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, ay) = X T (A) = X T A,

quelli. X T A T Y = X T A Y. Per matrici colonnari arbitrarie X, Y, questa uguaglianza è possibile solo quando AT = A, il che significa che la matrice A è simmetrica.

Considera alcuni esempi di operatori lineari

Operatore design. Sia richiesto di trovare la matrice di un operatore lineare che proietta uno spazio tridimensionale sull'asse delle coordinate e 1 in base e 1 , e 2 , e 3 ... La matrice di un operatore lineare è una matrice le cui colonne devono contenere le immagini dei vettori di base e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Queste immagini sono ovviamente: ae 1 = (1,0,0)

ae 2 = (0,0,0)

ae 3 = (0,0,0)

Pertanto, in base e 1 , e 2 , e 3 la matrice dell'operatore lineare richiesto avrà la forma:

Troviamo il kernel di questo operatore. Secondo la definizione, il kernel è un insieme di vettori NS per cui AX = 0. Or

Cioè, il nucleo dell'operatore è l'insieme dei vettori che giacciono nel piano e 1 , e 2 ... La dimensione del kernel è n - rangA = 2.

L'insieme delle immagini di questo operatore è, ovviamente, l'insieme dei vettori collineari e 1 ... La dimensione dello spazio delle immagini è uguale al rango dell'operatore lineare ed è uguale a 1 , che è inferiore alla dimensione dello spazio di preimmagine. Cioè, l'operatore UN- degenerare. Anche la matrice A è degenere.

Un altro esempio: trova la matrice dell'operatore lineare operante nello spazio V 3 (la base io, J, K) trasformazione lineare - simmetria rispetto all'origine.

Abbiamo: Ai = -i

Cioè, la matrice richiesta

Considera una trasformazione lineare - simmetria rispetto al piano sì = X.

Aj = io(1,0,0)

Ak = K (0,0,1)

La matrice degli operatori sarà:

Un altro esempio è la già familiare matrice che collega le coordinate di un vettore quando gli assi delle coordinate vengono ruotati. Chiamiamo l'operatore che esegue la rotazione degli assi coordinati: l'operatore di rotazione. Supponiamo di girare di un angolo :

Ai'= Cos io+ peccato J

Aj'= -Sin io+ cos J

Matrice dell'operatore di rotazione:

Ai ‘ Aj ‘

Ricordiamo le formule per trasformare le coordinate di un punto quando si cambia la base - cambiando le coordinate sul piano quando si cambia la base:

NS Queste formule possono essere visualizzate in due modi. In precedenza, abbiamo considerato queste formule in modo che il punto si fermi, il sistema di coordinate ruoti. Ma può anche essere considerato in modo che il sistema di coordinate rimanga lo stesso e il punto si sposti dalla posizione M * alla posizione M. Le coordinate del punto M e M * sono definite nello stesso sistema di coordinate.

V Tutto quanto sopra ci consente di affrontare il prossimo compito che i programmatori che si occupano di grafica su un computer devono risolvere. Lascia che sia necessario sullo schermo del computer per ruotare una figura piatta (ad esempio un triangolo) rispetto al punto O 'con coordinate (a, b) di un angolo . La rotazione delle coordinate è descritta dalle formule:

Il trasferimento parallelo fornisce relazioni:

Per risolvere tale problema si usa solitamente un metodo artificiale: si introducono le cosiddette coordinate “omogenee” di un punto sul piano XOY: (x, y, 1). Quindi la matrice che esegue il trasferimento parallelo può essere scritta: