Raspršenje na statistički neravnoj površini s proizvoljnim korelacijskim svojstvima. Uređaj za određivanje parametara eksponencijalne kosinusne korelacijske funkcije

RASPRŠANJE STATISTIČKI HRAPAVOM POVRŠINOM S PROIZVOLJNIM KORELACIJSKIM SVOJSTVIMA

V. V. Akhiyarov

MSTU im. N.E. Bauman

Anotacija. R Razmatra se rješenje problema raspršenja na statistički neravnoj površini Monte Carlo metodom. Algoritam za formiranje ansambla površina sa traženim korelacijske osobine. Dane su indikatrise raspršenja za površine s Gaussovom i eksponencijalnom korelacijskom funkcijom, kao i za višeskalnu površinu.

Ključne riječi:raspršenje radio valova, Monte Carlo metoda.

sažetak. T on rješenje od raspršivanje statistički hrapavom površinomkorištenjemMonte- Razmatra se Carlo metoda. Formiranje prikazana je tehnika statistički hrapavih površina sa zadanom korelacijskom funkcijom.Indikatori rasipanjaza površine sa Prikazane su Gaussove i eksponencijalne korelacijske funkcije, kao i za višeskalnu površinu.

ključne riječi:raspršenje radio valova, Monte-Carlo simulacije.

U pravilu se problem raspršenja na statistički neravnoj površini rješava metodama statističke radiofizike (metoda malih poremećaja, metoda tangentne ravnine itd.). U ovom slučaju pretpostavlja se da su neravnine glatke i ravne, što odgovara Gaussovoj korelacijskoj funkciji površine raspršenja. Ova idealizacija je zgodna, alinije uvijek opravdano, jeru stvarnim uvjetima priroda nepravilnosti može biti proizvoljna. Zatotrenutno, za rješavanje problema raspršenja, mMonte Carlo metoda, koja se sastoji u numeričkom rješavanju problema difrakcije na skupu slučajnih površina i statističkoj obradi dobivenih realizacija polja raspršenih valova. U usporedbi s metodama statističke radiofizike, ovaj pristup je univerzalniji, jer ne nameće stroga ograničenja na statističke karakteristike površine raspršenja.

U ovom radu, zbog jednostavnosti, površinske nepravilnosti se smatraju cilindričnim s generatorima paralelnim s osi Y (vidi sliku 1). Statističke karakteristike takve površine su standardna devijacija (RMS)su odnosu na srednju razinu, korelacijski intervalli korelacijske funkcije.

Sl. 1. Problem geometrije.

Svaka moguća implementacija površine raspršenja može se promatrati kao izlazni proces filtra s impulsnim odzivom, koji je povezan s izrazom:

. (1)

Ako je ulaz filtra bijeli šum s matematičkim očekivanjem i Sjeverni Kazahstan s, tada je funkcija nasumičnih visina određena konvolucijskim integralom:

. (2)

U području prostornih frekvencija, konvolucija (2) odgovara umnošku spektra impulsnog odziva i bijelog šuma. Stoga je prikladno oblikovati funkciju pomoću Fourierove transformacije.

Razmotrimo algoritam za rješavanje problema difrakcije na slučajnoj idealno vodljivoj površini s horizontalnom polarizacijom upadnog polja (TE polarizacija).Za izračun površinske gustoće struje koristi se skalarna Fredholmova integralna jednadžba prve vrste [ , ]:

, (3)

gdje je željena gustoća površinske električne struje, je upadno polje na površini raspršenja, je Hankelova funkcija druge vrste nultog reda,x i x¢ su točke promatranja i integracije, su valna impedancija slobodnog prostora, – valni broj.

U dalekoj zoni raspršeno polje određeno je izrazom [ , ]:

, (4)

gdje qs– kut rasipanja(vidi sl. 1).

Ograničiti područje izračuna na interval integracije polje izvora je modelirano valnim snopom:

, (5)

gdje qja – upadni kut (od vertikale),

, (6)

i parametar godabire se prema uvjetima:

, . (7)

Rješenje difrakcijskog problema za skup ploha raspršenja omogućuje određivanjekoeficijent raspršenja:

, (8)

kao i koeficijenti koherentnog i nekoherentno raspršenje:

, (9.a)

. (9.b)

gdje * – složena konjugacija,je disperzija fluktuacija raspršenog polja:

.

Razmotrimo rezultate rješavanja problema raspršenja za skupove površina s Gaussovom

(10)

I to eksponencijalno

(11)

korelacijske funkcije.

Treba primijetiti da uporaba Gaussove krivulje (10) daje zadovoljavajuće slaganje s eksperimentom kada se izračunava raspršeno polje samo u blizini zrcalnih kutova. Korištenje eksponencijalne korelacijske funkcije u nekim slučajevima omogućuje bolje slaganje između eksperimentalnih i teoretskih rezultata.

Pretpostavlja se da su visine neravnina raspršnih površina male (na skali valne duljine), tj. Rayleighov kriterij je ispunjen:

, (12)

gdje x– visina pojedine nepravilnosti.

Na slici 2. prikazane su indikatrise raspršenja na površini s Gaussovom korelacijskom funkcijom za upadni kut (smjer zračenja je ovdje i dolje na svim slikama prikazan strelicom). Svaka veličina površine formirana je iz vrijednosti slučajnih visina , RMS nepravilnosti , intervala korelacije , usrednjavanje je provedeno po realizacijama raspršenog polja ( Ovdje i dalje pretpostavljamo da je mjerna jedinicaD, s i lje valna duljina elektromagnetskog vala.

sl.2. Indikatrise raspršenja na površini s Gaussovom

Sa slike je vidljivo da je raspršenje u zrcalni smjer zbog koherentne komponente , a oblik indikatrise nekoherentnog raspršenja je blizak Gaussovom.

Rezultati proračuna za skup površina s eksponencijalnom korelacijskom funkcijom prikazani su na sl.3. Početni podaci su isti kao u prethodnom slučaju: , , , , . Usporedba rezultata prikazanih na sl. 2. i sl. 3. pokazuje da amplituda koherentne komponente u oba slučaja ostaje približno konstantna, a povećanje raspršenja u spekularnom smjeru uz eksponencijalnu korelaciju posljedica je doprinosa nekoherentnog raspršenja.

sl.3. Indikatrise raspršenja na površini s eksponencijalom

korelacijska funkcija za i .

puna linija– , točkasta linija – , točkice – .

, (13)

gdje a je proizvoljan neparan broj, .

Na slici 4 prikazani su rezultati proračuna po formuli (13) za i na intervalu . Vidi se da je povećano područje slično cijeloj funkciji, tj. oblik plohe se ne mijenja bez obzira smatramo li je blizu ili izdaleka. Treba napomenuti da dana funkcija je kontinuirana i ne može se razlikovati ni u jednoj točki.

sl.4. Weierstrassova funkcija.

Za formiranje ansambla realizacija višerazmjernih ploha potrebno je izračunati korelacijsku funkciju izraza (13). Za izračune su odabrane sljedeće vrijednosti: , , i , dok se u formuli (13) možemo ograničiti na četiri člana niza.

Slika 5 prikazuje moguću implementaciju površine raspršenja u više razmjera s RMS vrijednošću, Slika 6 prikazuje normaliziranu korelacijsku funkciju (puna krivulja - izvorna funkcija, krugovi su proračuni za ansambl realizacija). Vidi se da se izvorna funkcija i rezultati simulacije praktički podudaraju.

sl.5. Moguća izvedba plohe rasipanja.

sl.6. Normalizirana korelacijska funkcija.

Puna linija je početni podatak, kružići su rezultat simulacije.

Zatim su napravljeni izračuni koeficijenata raspršenja za skup višerazmjernih površina pod upadnim kutovima (Sl. 7.a) i (Sl. 7.b). Budući da su nepravilnosti male na ljestvici valnih duljina, opaža se intenzivno koherentno raspršenje u zrcalnom smjeru.

sl.7. Indikatrise raspršenja za i

i različiti upadni kutovi: a - ; b - .

Puna linija – , isprekidana linija – , točkice – .

sl.8. Braggovo raspršenje na površini s više skala.

Indikatorije nekoherentnog raspršenja imaju karakterističnu značajku u obliku dva vrha pomaknuta u odnosu na smjer zrcala (na sl. 7 označeni su brojevima 1 i 2). Poznato je da je m Mehanizam raspršenja na površini s više skala je Braggov, a budući da je izvorna Weierstrassova funkcija (13) dobivena zbrajanjem periodičnih funkcija pri različitim vrijednostiman, treba pretpostaviti da odgovara intenzivnom nekoherentnom raspršenju. Slika 8 prikazuje geometriju problema koristeći sljedeću notaciju: g1, g2, K 1 i K 2 su odstupanja od smjera zrcala i odgovarajućih valnih vektora,Kje valni vektor u smjeru zrcalnog raspršenja:

. (14)

Vektor je određen relacijom: , formula za određivanje njegovog modula dana je u : , tada kada dobijemo . Nadalje, koristeći (14), možemo odrediti kutove raspršenja g 1 i g 2 . Najlakši način da to učinite je za slučaj: , što približno odgovara rezultatima prikazanim na slici 7.a.

Osim toga, na postoji još jedan vrh, označen brojem 3 na slici 7.b. Budući da je njegova amplituda manja od amplitude vrhova 1 i 2, može se pretpostaviti da odgovara slučaju , tj. raspršenje višeg reda.

Treba napomenuti da su indikatrise raspršenja slične onima prikazanima na slici 7.a eksperimentalno uočene u optičkom području. Eksperimentalni uzorci raspršnih površina stvoreni su umjetnim putem: staklena ploča je presvučena fotorezistom, osvijetljena laserom, a zatim je na dobivenu speckle strukturu nanesena tanka metalna prevlaka. Tijekom pokusa pod upadnim kutom dobivene su fazne funkcije raspršenja s tri vrha: središnjim i dva simetrična u odnosu na smjer raspršenja unazad. Simetrični vrhovi imali su manju amplitudu, a njihovo odstupanje od smjera bilo je unutar .

Rezultati prikazani u ovom radu pokazuju da je Monte Carlo metoda učinkovit alat za numeričko rješavanje problema raspršenja radiovalova, a njezina uporaba praktički ne nameće ograničenja na statističke karakteristike površine.

Književnost

1. Bas F.G., Fuks I.M. Raspršenje valova na statistički neravnoj površini. M.: Znanost. 1972. godine.

2. Levin B.R. Teorijske osnove statističkog radiotehnike. Knjiga prva. M.: Sov. Radio. 1969.

3. Wagner R.I., Song J., Chew W.C. Monte Carlo simulacija elektromagnetskog raspršenja s dvodimenzionalnih nasumičnih hrapavih površina //IEEE Trans. 1997. V. AP-45. Ne. 2. Str. 235–245.

4. Axline R.M., Fung Adrian K. Numeričko izračunavanje raspršenja sa savršeno vodljive slučajne površine // IEEE Trans. 1978.v. AP-26. Ne. 3. Str. 482–488.

5. Fung A.K., Chen M.F. Numerička simulacija raspršenja s jednostavnih i složenih slučajnih površina // J. Opt. soc. Am. A. 1985. V. 2. Br. 12. P.2274–2284.

6. Toporkov J.V., Awadallah R.S., Brown G.S. Pitanja povezana s upotrebom upadnog polja nalik Gaussovom za raspršenje pod niskim kutom padanja // J. Opt. soc. Am. A. 1999. V. 16. Br. 1. Str. 176-187.

7. Dwight L. J., Sun X. Raspršenje s fraktalno valovite površine // J. Opt. soc. Am. A. 1990. V. 7. Br. 6. Str. 1131-1139.

8. O'Donnell K.A., Mendez E.R. Eksperimentalna studija raspršenja s karakteriziranih slučajnih površina // J. Opt. soc. Am. A. 1987. V. 4. Br. 7. Str. 1194-1205.

Regresijska i korelacijska analiza - statističke metode istraživanja. Ovo su najčešći načini za prikaz ovisnosti parametra o jednoj ili više neovisnih varijabli.

U nastavku o određenim praktični primjeri Razmotrimo ove dvije vrlo popularne analize među ekonomistima. Također ćemo dati primjer dobivanja rezultata kada se oni kombiniraju.

Regresijska analiza u Excelu

Prikazuje utjecaj nekih vrijednosti (nezavisnih, neovisnih) na zavisnu varijablu. Primjerice, kako broj ekonomski aktivnog stanovništva ovisi o broju poduzeća, plaćama i drugim parametrima. Ili: kako strana ulaganja, cijene energenata i sl. utječu na razinu BDP-a.

Rezultat analize omogućuje vam određivanje prioriteta. I na temelju glavnih čimbenika, predvidjeti, planirati razvoj prioritetna područja donositi menadžerske odluke.

Regresija se događa:

• linearno (y = a + bx);
• parabolični (y = a + bx + cx 2);
• eksponencijalni (y = a * exp(bx));
• snaga (y = a*x^b);
• hiperbolički (y = b/x + a);
• logaritamski (y = b * 1n(x) + a);
• eksponencijalni (y = a * b^x).

Razmotrite primjer konstrukcije regresijski model u Excelu i tumačenje rezultata. Idemo uzeti linearni tip regresija.

Zadatak. Kod 6 poduzeća prosječna mj plaća te broj umirovljenih djelatnika. Potrebno je utvrditi ovisnost broja umirovljenih radnika o prosječnoj plaći.

Model Linearna regresija ima sljedeći oblik:

Y \u003d a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.

Gdje su a regresijski koeficijenti, x su utjecajne varijable, a k je broj faktora.

U našem primjeru, Y je pokazatelj broja radnika koji su napustili posao. Faktor utjecaja je plaća (x).

Excel ima ugrađene funkcije koje se mogu koristiti za izračunavanje parametara modela linearne regresije. Ali dodatak Analysis ToolPak to će učiniti brže.

Aktivirajte moćan analitički alat:

Nakon aktivacije, dodatak će biti dostupan na kartici Podaci.

Sada ćemo se izravno pozabaviti regresijskom analizom.

Prije svega, obraćamo pozornost na R-kvadrat i koeficijente.

R-kvadrat je koeficijent determinacije. U našem primjeru to je 0,755, odnosno 75,5%. To znači da izračunati parametri modela objašnjavaju odnos između proučavanih parametara za 75,5%. Što je veći koeficijent determinacije, to je model bolji. Dobro - iznad 0,8. Loše - manje od 0,5 (takva se analiza teško može smatrati razumnom). U našem primjeru - "nije loše".

Koeficijent 64,1428 pokazuje koliki će biti Y ako su sve varijable u modelu koji se razmatra jednake 0. Odnosno, drugi faktori koji nisu opisani u modelu također utječu na vrijednost analiziranog parametra.

Koeficijent -0,16285 pokazuje težinu varijable X na Y. Odnosno, prosječna mjesečna plaća unutar ovog modela utječe na broj onih koji su odustali s težinom od -0,16285 (ovo je mali stupanj utjecaja). Znak “-” označava negativan utjecaj: što je veća plaća, to manje odustaje. Što je pošteno.



Korelacijska analiza u Excelu

Korelacijska analiza pomaže utvrditi postoji li odnos između pokazatelja u jednom ili dva uzorka. Na primjer, između vremena rada stroja i troškova popravaka, cijene opreme i trajanja rada, visine i težine djece itd.

Ako postoji odnos, tada dovodi li povećanje jednog parametra do povećanja (pozitivna korelacija) ili do smanjenja (negativna) drugog. Korelacijska analiza pomaže analitičaru da utvrdi je li moguće predvidjeti prema vrijednosti jednog pokazatelja moguće značenje još.

Koeficijent korelacije označava se r. Varira od +1 do -1. Klasifikacija korelacija za različitim područjima bit će drugačije. S vrijednošću koeficijenta 0 linearna ovisnost ne postoji između uzoraka.

Pogledajmo kako koristiti Excel alati pronaći koeficijent korelacije.

Funkcija CORREL koristi se za pronalaženje uparenih koeficijenata.

Zadatak: Utvrditi postoji li odnos između radnog vremena tokarilica i trošak njegovog održavanja.

Postavite kursor u bilo koju ćeliju i pritisnite gumb fx.

1. U kategoriji "Statistika" odaberite funkciju CORREL.
2. Argument "Niz 1" - prvi raspon vrijednosti - vrijeme stroja: A2: A14.
3. Argument "Niz 2" - drugi raspon vrijednosti - trošak popravka: B2:B14. Pritisnite OK.

Da biste odredili vrstu veze, morate pogledati apsolutni broj koeficijent (svako polje aktivnosti ima svoju ljestvicu).

Za korelacijska analiza nekoliko parametara (više od 2), prikladnije je koristiti "Analizu podataka" (dodatak "Paket analize"). Na popisu trebate odabrati korelaciju i označiti niz. Svi.

Rezultirajući koeficijenti bit će prikazani u korelacijskoj matrici. Kao ova:

Korelacijska-regresijska analiza

U praksi se ove dvije tehnike često koriste zajedno.

Primjer:

Sada su vidljivi podaci regresijske analize.

Plan predavanja:

1. Determinističke i slučajne funkcije.

2. Osnovne vjerojatnosne karakteristike slučajnih procesa.

8.1. Determinističke i slučajne funkcije

Do sada se proučavalo ponašanje ACS-a pod određenim vremenskim utjecajima upravljanja i poremećaja (funkcija koraka, funkcija impulsa, harmonijsko djelovanje, itd.). Pod tim uvjetima, stanje sustava može se točno predvidjeti za bilo koje vrijeme unaprijed. Sustav je potpuno determiniran i u tom smislu se naziva determinističkim.

Međutim, u mnogim je slučajevima priroda utjecaja takva da se ne može uzeti u obzir određena funkcija vrijeme. Utjecaj može poprimiti različite slučajne vrijednosti tijekom vremena. U takvim slučajevima možemo samo procijeniti vjerojatnost pojave jednog ili drugog oblika utjecaja u jednom ili drugom trenutku. To se događa jer je sama priroda stvarne kontrole ili uznemirujuće radnje takva da njezina vrijednost u svakom trenutku vremena i proces njezine promjene tijekom vremena ovise o nizu različitih veličina koje nasumično mogu se međusobno kombinirati.

Strogo optimalno ponašanje sustava u prisutnosti slučajnih utjecaja nije izvedivo. Međutim, možemo govoriti o najvjerojatnijem približavanju jednom ili drugom optimumu. Obično je potrebno napraviti kompromis.

Slučajna funkcija razlikuje se od regularne po tome što ne možemo reći da će imati određenu vrijednost u određenom trenutku. Možemo govoriti samo o vjerojatnosti da u ovom trenutku t=t vrijednost funkcije x(t) leži između vrijednosti x i x+x. Pojam slučajne funkcije je generalizirani pojam i mi, u biti, ne možemo govoriti o vrijednosti funkcije u određenom trenutku. Međutim, u konkretno promatranoj krivulji slučajnog procesa te vrijednosti postoje. Konkretno, promatrana krivulja slučajnog procesa naziva se realizacija slučajne funkcije. Implementacije mogu imati i određene vrijednosti i određene izvedenice (Slika 8.1). Mnogo različitih implementacija i generalizirano konceptom "slučajne funkcije".

Riža. 8.1. Odvojene implementacije slučajne funkcije vremena

Ako se graf obitelji realizacija slučajne funkcije presječe vertikalna linija, tada dobivamo slučajnu varijablu x(t i) za za ovaj trenutak vrijeme t i.

8.2. Glavne vjerojatnosne karakteristike

slučajni procesi

8.2.1. funkcija distribucije i gustoća vjerojatnosti

Za karakterizaciju slučajne funkcije koriste se funkcije distribucije vjerojatnosti i gustoće vjerojatnosti.

Pod, ispod funkcija distribucije vjerojatnosti, koji se često naziva integralni zakon distribucije, razumijeva vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti.

Derivacija funkcije distribucije vjerojatnosti naziva se gustoća vjerojatnosti ili diferencijalni zakon distribucije.

Jednodimenzionalna funkcija distribucije vjerojatnosti odnosi se samo na bilo koji dio slučajne funkcije:

Pokazuje vjerojatnost da trenutna vrijednost slučajne funkcije x(t) u to vrijeme t=t1 manje od navedene vrijednosti x 1 .

Prema tome, jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti p 1 (x 1 ,t 1) je derivacija integralne distribucije vjerojatnosti F 1 (x 1 ,t 1) i izgleda ovako:

. (8.2)

Vrijednost izražava vjerojatnost da će slučajna funkcija x(t) u to vrijeme t=t1 je u intervalu od x prije .

Razmotrite sada sve moguće parove vrijednosti X, primljeno u dvije različite vremenske točke: t1 i t2. Dvodimenzionalna distribucija vjerojatnosti ima oblik:

Bivarijatna distribucija vjerojatnosti odnosi se na dva proizvoljna odjeljka x(t1), x(t2) slučajna funkcija i izražava vjerojatnost da u trenutku vremena t1 slučajna funkcija x(t) manje x 1, i trenutno t2- manje x 2 . Odgovarajuća dvodimenzionalna gustoća vjerojatnosti ima oblik

. (8.4)

Neke vrste slučajnih procesa u potpunosti karakteriziraju jednodimenzionalne ili dvodimenzionalne gustoće vjerojatnosti. Na primjer, takozvani čisto slučajni proces ili " bijeli šum»u potpunosti karakterizira jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti.

Vrijednosti x(t) u ovom procesu, uzeti u različitim vremenskim točkama t1, t2,... potpuno neovisni jedni o drugima. Vjerojatnost slučajnosti događaja, koja se sastoji u pronalasku x(t) između x 1 i u trenutku t=t1 i između x2 i u trenutku t=t2 jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od tih događaja. Zato

tj. Sve gustoće vjerojatnosti određene su jednodimenzionalnim gustoćama.

Primjer procesa koji je u potpunosti karakteriziran dvodimenzionalnom gustoćom vjerojatnosti je Markovljev slučajni proces. Ovo je proces za koji je vjerojatnost pronalaženja x(t) u danom intervalu (x n, x n + dx n) u trenutku t=tn, ovisi samo o stanju u prethodnom trenutku t n-1 au drugim je vremenima potpuno neovisan o državi, tj. iz dublje pozadine.

Stacionarni slučajni proces je analog stabilnog procesa u determinističkom sustavu. Statistička priroda stacionarnog procesa je nepromijenjena u vremenu.

U strogom smislu, stacionarni slučajni proces je proces u kojem funkcije raspodjele svih redova ne ovise o položaju ishodišta vremena, tj.

Iz ovih odnosa proizlazi da jednodimenzionalna funkcija distribucije i gustoća vjerojatnosti stacionarnog procesa uopće ne ovise o vremenu, tj.

(8.7)

Funkcije distribucije i gustoća vjerojatnosti drugog reda za stacionarni slučajni proces s istim x 1 i x2 ostaju nepromijenjeni ako razlika između razmatranih trenutaka vremena konstantno:

(8.8)

Za procjenu točnosti linearnog ACS-a pri rješavanju mnogih primijenjenih zadataka dovoljno je poznavati prva dva momenta procesa: matematičko očekivanje i korelacijsku funkciju. Ove karakteristike su neslučajne funkcije ili količine i rezultat su vjerojatnosti prosjeka razne funkcije slučajni procesi.

Svojstva stohastičkih procesa određena prva dva momenta proučavaju se pomoću teorije korelacije. Osim korelacijske analize temeljene na izravnom razmatranju slučajni signali u vremenu, postoji i metoda koja se temelji na razmatranju frekvencijskih komponenti slučajnih signala, spektralna analiza. Korelativni i spektralne analizeširoko se koristi u inženjerskoj praksi.

8.2.2. Matematičko očekivanje, varijanca

i korelacijske funkcije slučajnog procesa

Poznavajući jednodimenzionalnu distribuciju vjerojatnosti, može se odrediti matematičko očekivanje m(t) slučajna funkcija x(t) ili jednodimenzionalni moment prvog reda:

(8.9)

gdje P 1 (x, t) - gustoća vjerojatnosti, x(t) - slučajna funkcija.

matematičko očekivanje ili prosječna (preko zadane) vrijednost slučajne funkcije x(t) nazvao aritmetička sredina beskonačnog skupa realizacija, tj. ovo je takva neslučajna funkcija m x (t), oko kojeg se grupiraju sve realizacije danog slučajnog procesa i koji je potpuno određen jednodimenzionalnim zakonom raspodjele.

Razlika nazvao centrirana slučajna funkcija.

Matematičko očekivanje centrirane slučajne funkcije identično je jednako nuli:

.

U nastavku ćemo razmatrati samo centrirane slučajne funkcije i krug iznad x ide dolje.

U praksi se matematičko očekivanje može odrediti iz realizacija. Ovo popravlja vrijednost argumenta t. Zatim na t=t1 vrijednost realizacija x 1 (t 1), x 2 (t 1),..., x N (t 1) je normalna slučajna varijabla. Očekivana vrijednost nasumična varijabla pronaći kao aritmetičku sredinu:

(8.10)

gdje ja = 1, 2,..., n- fiksna vremenska vrijednost; = 1, 2,…, N- broj provedbe.

Na temelju izračuna napravljenih za razne t=t i , možete napraviti grafikon m x (t i).

Prosječna vrijednost ne karakterizira u potpunosti slučajni proces. Uz jednake prosječne vrijednosti, procesi mogu imati različita odstupanja. Stoga se za karakterizaciju slučajnog procesa uvodi koncept disperzije.

disperzija slučajna funkcija x(t) naziva se funkcija neslučajnog i nenegativnog argumenta t, predstavljanje srednja vrijednost kvadrata razlike između slučajne funkcije i njezine prosjek, ili srednja vrijednost kvadrata odstupanja slučajne funkcije od njezine srednje vrijednosti.

Ona karakterizira intenzitet odstupanja u odnosu na srednju vrijednost i, kao i matematičko očekivanje, određena je jednodimenzionalnim zakonom raspodjele. Dimenzija varijance jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable. Varijanca regularne funkcije je nula.

Standardna devijacija jednaka je kvadratnom korijenu varijance:

. (8.12)

Uvedeni koncepti ilustrirani su na sl. 8.2. Matematičko očekivanje slučajnog procesa x(t) predstavlja određenu prosječnu krivulju, oko koje se nalaze sve moguće pojedinačne realizacije ovog procesa, a varijanca D x (t) ili standardna devijacija karakterizira raspršenost individualnih moguće implementacije oko ove prosječne krivulje. NA opći slučaj standardna se devijacija mijenja tijekom vremena. Navedene karakteristike m(t) i D(t) za svaku datu točku u vremenu postavljeni su prosjeci.

Riža. 8.2. Promjena srednje vrijednosti i individualne realizacije

slučajni proces:

a - s jakom vezom između vrijednosti slučajne funkcije;

b - sa slabom vezom

Prilikom obrade rezultata testa, varijanca slučajne funkcije izračunava se iz implementacija pomoću formule

. (8.13)

Za slučajnu funkciju jednodimenzionalna distribucija vjerojatnosti i karakteristike dobivene na njoj (matematičko očekivanje i varijanca) još nisu dostatne za procjenu slučajnog procesa u vremenu.

Potrebno je uspostaviti odnos između vrijednosti slučajnog procesa u različitim vremenskim točkama. Na sl. 8.2 prikazuje implementaciju dviju slučajnih funkcija koje imaju jednaka matematička očekivanja i varijance, ali se međusobno razlikuju po karakteru. Ako je slučajna funkcija (vidi sl. 8.2, a) za neke t poprimilo gornju vrijednost m(t), tada se može tvrditi da će najbliža vrijednost implementacije slučajne funkcije proći iznad m(t). U drugom slučaju (sl. 8.2, b) ovo možda nije. To znači da se razlika između slučajnih funkcija koje se razmatraju očituje u prirodi odnosa između vrijednosti slučajne funkcije za različite argumente t1 i t2.

znajući dvodimenzionalna funkcija distribucija p 2 (x 1 ,t 1 ;x 2 ,t 2), moguće je odrediti ne samo matematičko očekivanje m x (t) i disperzija D(t), ali i moment drugog reda, koji karakterizira odnos između vrijednosti slučajne funkcije u različitim točkama vremena.

Matematičko očekivanje umnoška vrijednosti centrirane slučajne funkcije uzeto u dva vremena t 1 i t 2 naziva se korelacija ili autokorelacijska funkcija:

U ovom izrazu P 2 (x 1, t 1; x 2, t 2) određuje vjerojatnost da u to vrijeme t1 vrijednost slučajnog procesa je unutar , i u trenutku vremena t2-unutar .

Ako su argumenti korelacijske funkcije međusobno jednaki (t 1 \u003d t 2 \u003d t), zatim

(8.15)

tj. korelacijska funkcija za isti odsječak jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata slučajne funkcije. Za centriranu funkciju x(t) na t 1 \u003d t 2 \u003d t imat će

tj. Korelacijska funkcija jednaka je varijanci slučajne funkcije.

Za karakterizaciju statističkog odnosa različitih slučajnih funkcija koje djeluju na isti sustav koriste se koncepti zajedničke distribucije vjerojatnosti i funkcije unakrsne korelacije. Za funkcije f(t) a zajednička funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik

a znači vjerojatnost da u trenutku t=t1 značenje f(t1) manje f, i u trenutku vremena t=t2 vrijednost je manja. Gustoća zglobova vjerojatnosti

. (8.17)

Sukladno tome, funkcija unakrsne korelacije dviju nasumično centriranih funkcija f a matematičko očekivanje umnoška ovih funkcija uzetih u različitim vremenima naziva se:

slučajne značajke nazvao korelirani ako njihova unakrsna korelacijska funkcija nije identična nula, i nekorelirano kada je jednak nuli.

8.3. Stacionarni slučajni procesi.

Ergodička hipoteza

Plan predavanja:

1. Stacionarni slučajni procesi.

2. Ergodički slučajni procesi.

8.3.1. Stacionarni slučajni procesi

Prema stupnju ovisnosti svojih statističkih karakteristika o vremenu različiti se slučajni procesi dijele na stacionarni i nestacionarno.

Najjednostavnije se provodi analiza slučajnih procesa čije statističke karakteristike ne ovise o trenutnom vremenu. Takvi se procesi nazivaju stacionarni.

Realni fizikalni procesi se u većoj ili manjoj mjeri približavaju stacionarnim procesima. Mnogi od njih, kao što je toplinski šum, mogu se smatrati stacionarnim s velikom točnošću. Stacionarne vibracije također uključuju oscilacije zrakoplova u odnosu na stalan vodoravni let, buku u radio elektronička oprema, nagib broda itd.

Na mnoge nestacionarne procese primjenjuju se rezultati dobiveni proučavanjem stacionarnih procesa. U praksi se analiziraju samo segmenti ostvarenja koji imaju konačno trajanje, a ako se proučavani procesi malo razlikuju od stacionarnih na tim segmentima vremena, onda se na njih može primijeniti teorija stacionarnih procesa.

Razlikujemo stacionarnost u užem i širem smislu.

Stacionar u užem smislu pozvati proces x(t), ako n-dimenzionalna gustoća vjerojatnosti za bilo koji n ovisi samo o veličini intervala t 2 - t 1 ,...,t n - t 1 i ne ovisi o položaju ovih intervala u području promjene argumenta t.

Stacionarni u širem smislu pozvati proces x(t),čije je matematičko očekivanje konstantno:

i korelacijske funkcije R x (t 1 ,t 2) ovisi samo o razlici ; u ovom slučaju je označena korelacijska funkcija

Prilikom istraživanja pitanja ovisnost ili neovisnost dva ili više odjeljaka slučajnih procesa poznavanje samo matematičkog očekivanja i varijance r.p. nedovoljno.

Za određivanje odnosa između različitih slučajnih procesa koristi se koncept korelacijske funkcije - analog koncepta kovarijance slučajnih varijabli (vidi T.8)

Korelacija (kovarijanca, autokovarijanca, autokorelacija) funkcija slučajnog procesa
nazvao neslučajna funkcija dva argumenta

jednak je korelacijskom momentu odgovarajućih presjeka
i
:

ili (uzimajući u obzir notaciju centrirane slučajne funkcije
) imamo

Ovdje su glavne svojstva korelacijske funkcije
slučajni proces
.

1. Korelacijska funkcija za iste vrijednosti argumenata jednaka je varijanci s.p.

Stvarno,

Dokazano svojstvo omogućuje nam izračunavanje m.r. i korelacijske funkcije, što su glavne karakteristike slučajnog procesa, nema potrebe izračunavati varijancu.

2. Korelacijska funkcija se ne mijenja s obzirom na promjenu argumenata, tj. je simetrična funkcija s obzirom na svoje argumente: .

Ovo svojstvo je izravno izvedeno iz definicije korelacijske funkcije.

3. Ako se neslučajna funkcija doda slučajnom procesu, tada se funkcija korelacije ne mijenja, tj. ako
, onda. Drugim riječima

je periodična funkcija u odnosu na bilo koju neslučajnu funkciju.

Doista, iz lanca rezoniranja

slijedi da . Iz ovoga dobivamo traženo svojstvo 3.

4. Modul korelacijske funkcije ne prelazi umnožak efektivne vrijednosti, tj.

Dokaz svojstva 4. provodi se na isti način kao u točki 12.2. (Teorem 12..2), uzimajući u obzir prvo svojstvo korelacijske funkcije s.p.
.

5. Pri množenju r.p.
na neslučajni množitelj
njegova korelacijska funkcija pomnožit će se umnoškom
, tj. ako
, onda

5.1. Normalizirana korelacijska funkcija

Uz korelacijsku funkciju, r.p. smatra također normalizirana korelacijska funkcija(ili autokorelacijafunkcija)
definiran jednakošću

.

Posljedica. Na temelju svojstva 1 imamo jednakost

.

Po vlastitom značenju
sličan koeficijentu korelacije za r.v., ali nije konstantna vrijednost, već ovisi o argumentima i .

Nabrojimo svojstva normalizirane korelacijske funkcije:

1.

2.

3.
.

Primjer 4 Neka s.p. određuje se formulom, tj.
r.v.,

raspoređeni prema normalnom zakonu sa

Pronađite korelacijske i normalizirane funkcije slučajnog procesa

Riješenje. Po definiciji, imamo

oni.
Dakle, uzimajući u obzir definiciju normalizirane korelacijske funkcije i rezultate rješavanja prethodnih primjera, dobivamo
=1, tj.
.

5.2. Unakrsna korelacijska funkcija slučajnog procesa

Za određivanje stupnja ovisnosti odjeljci dva stohastička procesa koriste funkciju korelacije veze ili funkciju uzajamne korelacije.

Funkcija međusobne korelacije dvaju slučajnih procesa
i
naziva se neslučajna funkcija
dva nezavisna argumenta i , koji za svaki par vrijednosti i jednak je korelacijskom momentu dvaju presjeka
i

Dva s.p.
i
nazvao nekorelirano ako je njihova međusobna korelacijska funkcija identički jednaka nuli, tj. ako za bilo koji i javlja se
Ako za bilo koji i bit će
, zatim slučajni procesi
i
nazvao korelirani(ili srodni).

Razmotrimo svojstva funkcije unakrsne korelacije, koja su izravno izvedena iz njene definicije i svojstava korelacijskog momenta (vidi 12.2):

1. Istodobnom permutacijom indeksa i argumenata ne mijenja se funkcija međusobne korelacije, tj.

2. Modul funkcije uzajamne korelacije dvaju slučajnih procesa ne prelazi umnožak njihovih standardnih odstupanja, tj.

3. Korelacijska funkcija se neće promijeniti ako slučajni procesi
i
dodajte značajke koje nisu slučajne
i
odnosno, tj
, gdje respektivno
i

4. Neslučajni množitelji
može se izvaditi iz predznaka korelacije, odnosno ako
i onda

5. Ako
, onda.

6. Ako slučajni procesi
i
nekorelirano, tada je korelacijska funkcija njihovog zbroja jednaka zbroju njihovih korelacijskih funkcija, tj.

Za procjenu stupnja ovisnosti presjeka dvaju s.p. također koristiti normalizirana funkcija unakrsne korelacije
definiran jednakošću:

Funkcija
ima ista svojstva kao funkcija
, ali svojstvo 2

zamjenjuje se sljedećom dvostrukom nejednakošću
, tj. modul normalizirane unakrsne korelacijske funkcije ne prelazi jedinicu.

Primjer 5 Nađite funkciju međusobne korelacije dvaju s.p.
i
, gdje
slučajna varijabla, dok

Riješenje. Jer,.

savez sovjetskih saaashchishpai RESPUBLIK država-: nntsy compo dk pdm isot: no ss open SCRIPT INVENTION i SSSR 1977.(54) informatika koristi se u istraživačkim procesima u zadatku PODJELA VAROSINUSA Xia u regiju, može biti vanin automat C:.80;,3 dshsh 4 006 6 Svrha izuma je proširenje funkcionalnost određivanjem niza nekoreliranih diskretnih vrijednosti slučajnog procesa koji se proučava. Cilj se postiže uvođenjem generatora takta, analogno-digitalnih i digitalno-analognih pretvarača, prvog i drugog ključa, brojača i jedinice za usporedbu u poznati uređaj.Novi blokovi i odgovarajući funkcionalne veze omogućuju određivanje nekoreliranih diskretnih vrijednosti procesa koji se proučava, tj. sintetizirati niz nekoreliranih slučajnih varijabli, 1 ili, 4 Izum se odnosi na područje računalne tehnologije i može se koristiti u proučavanju slučajnih procesa u zadacima automatska kontrola identifikacija itd. Svrha izuma je proširiti funkcionalne mogućnosti određivanjem slijeda nekoreliranih diskretnih vrijednosti slučajnog procesa koji se proučava. Crtež prikazuje blok dijagram uređaja. potenciranje, blok množenja 7, blok dijeljenja 8, blok usporedbe 9, digitalno-analogni pretvarač 10, brojač 11, prvi cl 1 och 12, analogno-digitalni pretvarač 13, drugi ključ 14, generator takta 15, izlaz 1 b nekorelirane vrijednosti slučajnog procesa Uređaj radi na sljedeći način: ograničavajuće pojačalo 1 pretvara slučajni proces koji se proučava u signal znaka. U bloku 2 prosječnog broja raskrižja mjeri se prosječni broj prijelaza nulte razine, koji se točno podudara s parametrom prigušenja b do faktora razmjernosti: pr potencijalno-kosinusna korelacijska funkcija (ECCF), aproksimirajuća korelacijska funkcija predznaka slučajnog procesa koji se proučava. Signal predznaka podvrgava se eksponencijalnom izglađivanju u bloku. 3, a korelator 4 određuje korelacijski moment signala na izlazu bloka eksponencijalnog izglađivanja 3. Poznato je da je izlazni signal ovako uključenog 1)relatora p proporcionalan prvom koeficijentu proširenje korelacijske funkcije u Laguerreov niz iz argumentac, gdje je parametar prigušenja eksponencijalnog filtra za izglađivanje. U računskom bloku 5 prema signalu iz bloka 2 i korelatora 4 procjenjuje se koeficijent koji određuje frekvenciju osciliranja korelacijske funkcije prema formuli: izračun vrijednosti / dizanjem 9 na potenciju 0,05. Ovaj signal se dovodi na prvi ulaz bloka množenja 1, čiji drugi ulaz prima procjenu parametra F iz izlaza prosječnog broja križanja bloka 2. U bloku množenja 7 izračunavate opis od M, koji se primjenjuje na ulaz bloka dijeljenja 8, gdje se provodi dijeljenje konstantne vrijednosti jednake 0, b 1, u skladu s odgovorom 1 sgvii s formulom c = O, b 1 / K / 3. Byggislepnse vrijednost intervala korelacije ots ZK 1 M dovodi se na prvi ulaz bloka za usporedbu 9. Iz informacijskog ulaza uređaja, slučajni proces koji se proučava preko analogno-digitalnog pretvarača 13 dovodi se na kontrolni ulaz prve tipke 12, dok analogni napon, koji odgovara vrijednosti iz izlaza bloka dijeljenja 8 dovodi se na prvi ulaz bloka usporedbe 9. Drugi ulaz jedinice za usporedbu 9 prima s izlaza digitalno-analognog pretvarača 1 O analogni napon koji odgovara trenutnom vremenu slučajnog događaja n 1 procesa t, . U isto vrijeme, brojanje trenutnog "vremena t., provodi se na brojaču 11, koji očitava periodični slijed sinkronizirajućih impulsa. Postavka 1 se računa na svoj ulaz za brojanje ulaza ulaza drugog ključ 14. otvorena druga tipka 14. Tipka 14 otvara tal.,sa ako postoji slučajni proces na ulazu uređaja koji se istražuje, ako postoji napon koji odgovara slučajnom procesu na prvom ulazu kzpo-.a 1, otvara se i sifroimpulsi koji dolaze na njegov drugi ulaz dolaze na ulaz brojača 11. Budući da je period ponavljanja impulsa: z konstantan i poznat, broj očitanih impulsa daje informaciju o trenutnom vremenu slučajnog procesa. Izlaz brojača 11 spojen je na ulaz digitalno-analognog pretvarača, s čijeg izlaza analitičar E. Efimova M. Khadanich Skladatelj S. Patrusheva Tehnički direktor A. Tyasodpisnoe 73/52 Tiraž 671 VNIIPI of the Država za izume i 113035, Moskva, Zh, Raushs ., d. 4/5 tvrtka za proizvodnju i tisak, Uzhgorod, ul. Projicirani, 4 log napon koji odgovara trenutnom vremenu dovodi se na drugi ulaz jedinice za usporedbu 9 i uspoređuje se s analognom vrijednošću. Ako je ispunjen uvjet = 1, signal iz izlaza jednakosti jedinice za usporedbu otvara prvi ključ 12, a trenutna nekorelirana vrijednost slučajnog procesa u digitalnom obliku šalje se na izlaz 16 uređaja i istovremeno na ulaz nulte postavke brojača 11 da ga resetira. Formula izuma5 Uređaj za određivanje parametara eksponencijalno-kosinusne korelacijske funkcije prema ed.slučajnom procesu, dodatno uključuje generator znanstveno-frekvencijskih impulsa, analogno-digitalni pretvarač, digitalno-analogni pretvarač, prvi ključ, drugi ključ, brojač i jedinica za usporedbu, čiji je izlaz jednakosti povezan s upravljačkim ulazom prvog ključa, čiji je informacijski ulaz povezan s izlazom analogno-digitalni pretvarač, čiji je ulaz informacijski ulaz uređaja i povezan je s upravljačkim ulazom drugog ključa, čiji je informacijski ulaz povezan s izlazom generatora takta, izlaz drugog ključa povezan je s brojanjem ulaz brojača, čiji je izlaz spojen na ulaz digitalno-analognog pretvarača, čiji je izlaz povezan s prvim informacijskim ulazima jedinice za usporedbu, drugi informacijski ulaz koji je povezan s izlazom blok dijeljenja, izlaz prvog ključa povezan je s ulazom nulte postavke brojača i izlaz je nekorelirane vrijednosti slučajnog procesa uređaja.

Zahtjev

3853239, 24.10.1984

ZRAKOPLOVNE INŽENJERIJE RED LENJINA I ORDEN OKTOBARSKE REVOLUCIJE PROF. N. E. ŽUKOVSKI

BURBA ALEKSANDAR ALEKSEJEVIČ, MONSIK VLADISLAV BORISOVIČ, OPARIŠEV VALERIJE VLADIMIROVIČ

IPC / oznake

Kod veze

Uređaj za određivanje parametara eksponencijalne kosinusne korelacijske funkcije

Povezani patenti

S atmosferom, au slijepoj komori ugrađena je opruga.Na sl. Slika 1 prikazuje pneumatsku jedinicu za usporedbu; na sl. 2 - dijagram bloka pri izvođenju čvora ograničenja u obliku prigušnice; 20 na SL. 3 - dijagram bloka kada je čvor ograničenja izrađen u obliku spoja jednomembranskog elementa s prigušnicom; na sl. 4 - restrikcijski sklop u obliku elementa s jednom membranom s povratnim ventilom; sa slijepim 30 R, m, do opskrbnog tlaka. Ako je Pr) P 2, tada membrana elementa 1 ...

Generator brzine protoka 9 ONOmera, izravno na inverziju drugog okidača 42, povezan je 1, redom, s y-, ranjavajućim ulazima tipki 35 i 36, čiji su ulazi povezani i peti su ulazi jedinica za usporedbu, koja je povezana s izlazom drugog regulatora 1 koncentracije monomera u osovini, a izlazi ključeva 35 c 36 povezani su u odnosu na pero ulaz trećeg 39 i četvrtog 40 elementa za usporedbu, čiji su drugi ulazi povezani sa šestim ulazima bloka za usporedbu, koji je povezan s ulazom povratnog senzora protoka otapala 22, 5 tipki s ulazom drugog elementa ILI 28. 55 Glavni elementi automatski uređaj...

Doveden na zdzhn,) na 1, ulazi kroz strujni krug 2 (i u prisutnosti nd ss drugi ulaz potencijala razlučivanja) u linearni analogno-digitalni pretvarač Gel 3 i izravno u analogno-digitalni kvadrator 11, Pri svakom startu, proizveden od strane Izlaz i 1 metak ( Ohm schcm 1 I cf 113 nsni 51, pretvarač 3 prsob) razumjeti Napon u proporciji) os broj i 1 pu 1013 (faktor pronorcipalnosti K). i) januli se pojavljuju na izlazu kvadratora 11, dio KOJI PROPORCIONALNO KBDDRDT) NsNR 5 Isto 1131 I Unsled) cm 010 sl) Yay proces. i mogu proći kroz te krugove samo kada okidač 16 n 1 hoda u jednom položaju . 11 sličnosti...