Regresijska i korelacijska analiza - statističke metode istraživanja. Ovo su najčešći načini da se pokaže kako parametar ovisi o jednoj ili više neovisnih varijabli.
U nastavku ćemo na konkretnim praktičnim primjerima razmotriti ove dvije analize koje su vrlo popularne među ekonomistima. Također ćemo dati primjer dobivanja rezultata kada se kombiniraju.
Regresijska analiza u Excelu
Pokazuje učinak nekih vrijednosti (neovisno, neovisno) na ovisnu varijablu. Na primjer, kako broj ekonomski aktivnog stanovništva ovisi o broju poduzeća, veličini plaća i drugim parametrima. Ili: kako strane investicije, cijene energije itd. utječu na razinu BDP-a.
Rezultat analize omogućuje vam određivanje prioriteta. I na temelju glavnih čimbenika predvidjeti, planirati razvoj prioritetnih područja, donijeti upravljačke odluke.
Regresija se događa:
- linearni (y = a + bx);
- parabolični (y = a + bx + cx 2);
- eksponencijalni (y = a * exp (bx));
- snaga (y = a * x ^ b);
- hiperbolički (y = b / x + a);
- logaritamski (y = b * 1n (x) + a);
- eksponencijalni (y = a * b ^ x).
Pogledajmo primjer izgradnje regresijskog modela u Excelu i interpretacije rezultata. Uzmimo tip linearne regresije.
Zadatak. U 6 poduzeća analizirana je prosječna mjesečna plaća i broj zaposlenih koji su dali otkaz. Potrebno je utvrditi ovisnost broja zaposlenih koji su dali otkaz o prosječnoj plaći.
Model linearne regresije je sljedeći:
Y = a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.
Gdje je a - koeficijenti regresije, x - utjecajne varijable, k - broj faktora.
U našem primjeru, Y je pokazatelj zaposlenika koji su dali otkaz. Faktor utjecaja su plaće (x).
Excel ima ugrađene funkcije koje možete koristiti za izračunavanje parametara modela linearne regresije. Ali dodatak Analysis Package to će učiniti brže.
Aktiviramo moćan analitički alat:
Nakon aktivacije, dodatak će biti dostupan na kartici "Podaci".
Idemo sada izravno na regresijsku analizu.
Prije svega obratite pozornost na R-kvadrat i koeficijente.
R-kvadrat je koeficijent determinacije. U našem primjeru - 0,755, odnosno 75,5%. To znači da izračunati parametri modela 75,5% objašnjavaju odnos između proučavanih parametara. Što je veći koeficijent determinacije, to je model bolji. Dobro - iznad 0,8. Loše - manje od 0,5 (takva se analiza teško može smatrati razumnom). U našem primjeru - "nije loše".
Koeficijent 64,1428 pokazuje koliki će biti Y ako su sve varijable u modelu koji se razmatra jednake 0. Odnosno, na vrijednost analiziranog parametra utječu i drugi čimbenici koji nisu opisani u modelu.
Koeficijent -0,16285 pokazuje težinu varijable X prema Y. To jest, prosječna mjesečna plaća unutar ovog modela utječe na broj ljudi koji odustaju s težinom od -0,16285 (ovo je mali stupanj utjecaja). Znak "-" označava negativan utjecaj: što je veća plaća, to je manje onih koji odustaju. Što je pošteno.
Analiza korelacije u Excelu
Korelacijska analiza pomaže utvrditi postoji li veza između pokazatelja u jednom ili dva uzorka. Na primjer, između vremena rada stroja i troškova popravaka, cijene opreme i trajanja rada, visine i težine djece itd.
Ako postoji veza, onda dovodi li povećanje jednog parametra do povećanja (pozitivna korelacija) ili smanjenja (negativna) u drugom. Korelacijska analiza pomaže analitičaru odrediti može li vrijednost jednog pokazatelja predvidjeti moguću vrijednost drugog.
Koeficijent korelacije označava se s r. Varira od +1 do -1. Klasifikacija korelacija za različita područja bit će različita. Kada je koeficijent 0, nema linearnog odnosa između uzoraka.
Pogledajmo kako koristiti Excel alate za pronalaženje koeficijenta korelacije.
Za pronalaženje uparenih koeficijenata koristi se CORREL funkcija.
Cilj: Utvrditi postoji li veza između vremena rada tokarilice i troškova njezina održavanja.
Stavljamo kursor u bilo koju ćeliju i pritisnemo tipku fx.
- U kategoriji "Statistički" odaberite funkciju CORREL.
- Argument niza 1 - prvi raspon vrijednosti - vrijeme rada stroja: A2: A14.
- Argument niza 2 - drugi raspon vrijednosti - cijena popravka: B2: B14. Kliknite OK.
Da biste odredili vrstu veze, trebate pogledati apsolutni broj koeficijenta (svako područje aktivnosti ima svoju ljestvicu).
Za korelacijske analize nekoliko parametara (više od 2) prikladnije je koristiti analizu podataka (dodatak paketa analize). Na popisu morate odabrati korelaciju i odrediti niz. Sve.
Dobiveni koeficijenti bit će prikazani u korelacijskoj matrici. Kao ovo:
Korelacijsko-regresijska analiza
U praksi se ove dvije tehnike često koriste zajedno.
Primjer:
Sada su vidljivi i regresijski podaci.
Izgradnja linearne regresije, procjena njezinih parametara i njihove važnosti može se izvesti puno brže korištenjem Excel paketa za analizu (Regression). Razmotrimo tumačenje rezultata dobivenih u općem slučaju ( k objašnjavajuće varijable) prema primjeru 3.6.
U stolu regresijska statistika dane su vrijednosti:
Višestruko R - koeficijent višestruke korelacije;
R- kvadrat- koeficijent odlučnosti R 2 ;
Normalizirano R - kvadrat- prilagođen R 2 ispravljeno za broj stupnjeva slobode;
Standardna pogreška- standardna pogreška regresije S;
Zapažanja - broj zapažanja n.
U stolu ANOVA daju se:
1. Stupac df - broj stupnjeva slobode, jednak
za niz Regresija df = k;
za niz Ostatakdf = n – k – 1;
za niz Ukupnodf = n– 1.
2. Stupac SS - zbroj kvadrata odstupanja jednak
za niz Regresija ;
za niz Ostatak ;
za niz Ukupno .
3. Stupac MS varijance određene formulom MS = SS/df:
za niz Regresija- faktorijalna varijansa;
za niz Ostatak- zaostala varijansa.
4. Stupac F - izračunata vrijednost F-kriterij izračunat po formuli
F = MS(regresija)/ MS(ostatak).
5. Stupac Značaj F - vrijednost razine značajnosti koja odgovara izračunatoj F-statistika .
Značaj F= FDIST ( F- statistika, df(regresija), df(ostatak)).
Ako je značaj F < стандартного уровня значимости, то R 2 je statistički značajno.
| Koeficijenti | Standardna pogreška | t-statistika | P-vrijednost | donjih 95% | Top 95% | |
| Y | 65,92 | 11,74 | 5,61 | 0,00080 | 38,16 | 93,68 |
| x | 0,107 | 0,014 | 7,32 | 0,00016 | 0,0728 | 0,142 |
Ova tablica pokazuje:
1. Izgledi- vrijednosti koeficijenta a, b.
2. Standardna pogreška–Standardne greške regresijskih koeficijenata S a, S b.
3. t- statistika- izračunate vrijednosti t - kriteriji izračunati po formuli:
t-statistika = koeficijenti / standardna pogreška.
4.R-vrijednost (značaj t) Odgovara li vrijednost razine značajnosti izračunatoj t- statistika.
R-vrijednost = TDIST(t-statistika, df(ostatak)).
Ako R-značenje< стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.
5... Donjih 95% i gornjih 95%- donja i gornja granica 95% intervala povjerenja za koeficijente teorijske linearne regresijske jednadžbe.
| POVLAČENJE PREOSTALO | ||
| Promatranje | Predviđeno y | Ostaje e |
| 72,70 | -29,70 | |
| 82,91 | -20,91 | |
| 94,53 | -4,53 | |
| 105,72 | 5,27 | |
| 117,56 | 12,44 | |
| 129,70 | 19,29 | |
| 144,22 | 20,77 | |
| 166,49 | 24,50 | |
| 268,13 | -27,13 |
U stolu POVLAČENJE PREOSTALO naznačeno:
u koloni Promatranje- broj promatranja;
u koloni Predviđeno y - izračunate vrijednosti zavisne varijable;
u koloni Ostaci e - razlika između promatrane i izračunate vrijednosti zavisne varijable.
Primjer 3.6. Postoje podaci (uobičajene jedinice) o troškovima hrane y i dohodak po glavi stanovnika x za devet grupa obitelji:
| x | |||||||||
| y |
Koristeći rezultate Excel paketa analize (Regresija) analizirajmo ovisnost troškova hrane o visini dohotka po stanovniku.
Uobičajeno je rezultate regresijske analize pisati u obliku:
gdje su standardne pogreške regresijskih koeficijenata naznačene u zagradama.
Regresijski koeficijenti a = 65,92 i b= 0,107. Smjer komunikacije između y i x određuje predznak koeficijenta regresije b= 0,107, tj. veza je izravna i pozitivna. Koeficijent b= 0,107 pokazuje da s povećanjem dohotka po stanovniku za 1 konv. jedinice troškovi hrane rastu za 0,107 konv. jedinice
Procijenimo značaj koeficijenata dobivenog modela. Značaj koeficijenata ( a, b) provjerava t-test:
P-vrijednost ( a) = 0,00080 < 0,01 < 0,05
P-vrijednost ( b) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,
dakle, koeficijenti ( a, b) značajni su na razini od 1%, a još više na razini značajnosti od 5%. Dakle, koeficijenti regresije su značajni i model je adekvatan izvornim podacima.
Rezultati procjene regresije su kompatibilni ne samo s dobivenim vrijednostima regresijskih koeficijenata, već i s nekim njihovim skupom (interval pouzdanosti). S vjerojatnošću od 95%, intervali povjerenja za koeficijente su (38,16 - 93,68) za a i (0,0728 - 0,142) for b.
Kvaliteta modela ocjenjuje se koeficijentom determinacije R 2 .
Veličina R 2 = 0,884 znači da se 88,4% varijacije (rasprostiranja) u izdacima za hranu može objasniti faktorom dohotka po glavi stanovnika.
Značaj R 2 provjerava F- test: značaj F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, R 2 je značajan na razini od 1%, a još više na razini značajnosti od 5%.
U slučaju uparene linearne regresije koeficijent korelacije se može definirati kao 
... Dobivena vrijednost koeficijenta korelacije pokazuje da je odnos između izdataka za hranu i dohotka po stanovniku vrlo blizak.
Za teritorije regije daju se podaci za 200X godinu.
| Broj regije | Prosječni egzistencijalni minimum po stanovniku po danu jednog radno sposobnog radnika, rubalja, x | Prosječna dnevna plaća, rublje, god |
|---|---|---|
| 1 | 78 | 133 |
| 2 | 82 | 148 |
| 3 | 87 | 134 |
| 4 | 79 | 154 |
| 5 | 89 | 162 |
| 6 | 106 | 195 |
| 7 | 67 | 139 |
| 8 | 88 | 158 |
| 9 | 73 | 152 |
| 10 | 87 | 162 |
| 11 | 76 | 159 |
| 12 | 115 | 173 |
Vježba:
1. Izgradite korelacijsko polje i formulirajte hipotezu o obliku odnosa.
2. Izračunajte parametre jednadžbe linearne regresije
4. Koristeći prosječni (opći) koeficijent elastičnosti, dajte usporednu ocjenu jačine odnosa između faktora i rezultata.
7. Izračunajte predviđenu vrijednost rezultata ako se predviđena vrijednost faktora poveća za 10% od njegove prosječne razine. Odredite prediktivni interval pouzdanosti za razinu značajnosti.
Riješenje:
Riješimo ovaj problem koristeći Excel.
1. Uspoređujući dostupne podatke x i y, na primjer, rangirajući ih uzlaznim redoslijedom faktora x, može se uočiti prisutnost izravne veze između znakova, kada povećanje prosječnog egzistencijalnog minimuma po stanovniku povećava prosječni dnevni plaća. Na temelju toga možemo pretpostaviti da je veza između obilježja izravna i da se može opisati jednadžbom ravne linije. Isti zaključak potvrđuje se i na temelju grafičke analize.
Za izgradnju korelacijskog polja možete koristiti PPP Excel. Unesite početne podatke redom: prvo x, zatim y.
Odaberite područje ćelija koje sadrže podatke.
Zatim odaberite: Insert / Scatter chart / Scatter with marker kao što je prikazano na slici 1.
Slika 1. Iscrtavanje korelacijskog polja
Analiza korelacijskog polja pokazuje prisutnost ovisnosti bliske pravoj liniji, budući da se točke nalaze praktički u ravnoj liniji.
2. Za izračunavanje parametara jednadžbe linearne regresije
upotrijebimo ugrađenu statističku funkciju LINEST.
Za ovo:
1) Otvorite postojeću datoteku koja sadrži analizirane podatke;
2) Odaberite područje prazne ćelije veličine 5 × 2 (5 redaka, 2 stupca) za prikaz rezultata statistike regresije.
3) Aktivirajte Čarobnjak za funkcije: u glavnom izborniku odaberite Formule / Funkcija umetanja.
4) U prozoru Kategorija ti uzimaš Statistički, u prozoru funkcija - LINEST... Kliknite gumb u redu kao što je prikazano na slici 2;
Slika 2 Dijaloški okvir Čarobnjaka za funkcije
5) Ispunite argumente funkcije:
Poznate vrijednosti za
Poznate vrijednosti x
Konstantno- Booleova vrijednost koja ukazuje na prisutnost ili odsutnost presjeka u jednadžbi; ako je Constant = 1, tada se slobodni termin izračunava na uobičajen način, ako je Constant = 0, tada je slobodni termin 0;
Statistika- Booleova vrijednost koja pokazuje hoće li se prikazati dodatne informacije o regresijskoj analizi ili ne. Ako je Statistika = 1, tada se prikazuju dodatne informacije, ako je Statistika = 0, tada se prikazuju samo procjene parametara jednadžbe.
Kliknite gumb u redu;
Slika 3. Dijaloški okvir argumenta funkcije LINEST
6) Prvi element završne tablice pojavit će se u gornjoj lijevoj ćeliji odabranog područja. Za proširenje cijele tablice pritisnite tipku
Dodatna statistika regresije bit će prikazana redoslijedom prikazanim na sljedećem dijagramu:
| Vrijednost koeficijenta b | Vrijednost koeficijenta a |
| Standardna pogreška b | Standardna pogreška a |
| Standardna pogreška y | |
| F-statistika | |
| Regresijski zbroj kvadrata
|
Slika 4 Rezultat izračuna funkcije LINEST
Dobili smo jednadžbu regresije:
Zaključujemo: S povećanjem prosječnog životnog minimuma po stanovniku za 1 rublju. prosječna dnevna plaća raste u prosjeku za 0,92 rublja.
To znači da se 52% varijacije u plaćama (y) objašnjava varijacijom faktora x - prosječnog egzistencijalnog minimuma po stanovniku, a 48% - djelovanjem drugih čimbenika koji nisu uključeni u model.
Prema izračunatom koeficijentu determinacije može se izračunati koeficijent korelacije: 
.
Veza je ocijenjena bliskom.
4. Pomoću prosječnog (općeg) koeficijenta elastičnosti određujemo jačinu utjecaja faktora na rezultat.
Za jednadžbu ravne linije prosječni (opći) koeficijent elastičnosti određuje se formulom:
Pronađite prosječne vrijednosti odabirom područja ćelija s x vrijednostima i odaberite Formule / AutoSum / Prosjek, i učinite isto s vrijednostima y.
Slika 5 Izračun srednjih vrijednosti funkcije i argumenta
Dakle, ako se prosječni egzistencijalni minimum po stanovniku promijeni za 1% njegove prosječne vrijednosti, prosječna dnevna plaća će se promijeniti u prosjeku za 0,51%.
Korištenje alata za analizu podataka Regresija Možeš ga dobiti:
- rezultate regresijske statistike,
- rezultate analize varijance,
- rezultate intervala povjerenja,
- ostatke i grafikone za uklapanje regresijske linije,
- reziduali i normalna vjerojatnost.
Postupak je sljedeći:
1) provjerite pristup Paket analize... U glavnom izborniku odaberite redom: Datoteka / Opcije / Dodaci.
2) U padajućem izborniku Kontrolirati odaberite stavku Excel dodaci i pritisnite tipku Ići.
3) U prozoru Dodaci potvrdite okvir Paket analize a zatim kliknite u redu.
Ako Paket analize nije na popisu polja Dostupni dodaci, pritisni gumb Pregled tražiti.
Ako se pojavi poruka da paket za analizu nije instaliran na vašem računalu, kliknite Da da ga instalirate.
4) U glavnom izborniku uzastopno odaberite: Podaci / Analiza podataka / Alati za analizu / Regresija a zatim kliknite u redu.
5) Dovršite dijaloški okvir parametara za unos i izlaz podataka:
Ulazni raspon Y- raspon koji sadrži podatke efektivnog atributa;
Interval unosa X- raspon koji sadrži podatke atributa faktora;
Oznake- potvrdni okvir koji pokazuje sadrži li prvi red nazive stupaca ili ne;
Konstanta - nula- zastavicu koja označava prisutnost ili odsutnost presjeka u jednadžbi;
Izlazni interval- dovoljno je naznačiti gornju lijevu ćeliju budućeg raspona;
6) Novi radni list - možete postaviti proizvoljan naziv za novi list.
Zatim pritisnite gumb u redu.
Slika 6 Dijaloški okvir za unos parametara alata Regresija
Rezultati regresijske analize za podatke zadatka prikazani su na slici 7.
Slika 7 Rezultat primjene regresijskog alata
5. Procijenimo kvalitetu jednadžbi pomoću prosječne pogreške aproksimacije. Poslužimo se rezultatima regresijske analize prikazane na slici 8.
Slika 8 Rezultat korištenja alata za regresiju "Residual output".
Sastavimo novu tablicu kao što je prikazano na slici 9. U stupcu C izračunavamo relativnu pogrešku aproksimacije po formuli:
Slika 9. Izračun prosječne pogreške aproksimacije
Prosječna pogreška aproksimacije izračunava se po formuli:
Kvaliteta izrađenog modela ocjenjuje se dobrom, jer ne prelazi 8 - 10%.
6. Iz tablice sa statistikom regresije (slika 4) ispisujemo stvarnu vrijednost Fisherovog F-testa: 
Ukoliko 
na razini značajnosti od 5% može se zaključiti da je regresijska jednadžba značajna (odnos je dokazan).
8. Procjena statističke značajnosti parametara regresije izvršit će se korištenjem Studentove t-statistike i izračunavanjem intervala povjerenja za svaki od pokazatelja.
Postavili smo hipotezu H 0 o statistički beznačajnoj razlici pokazatelja od nule:
.
za broj stupnjeva slobode
Slika 7 prikazuje stvarne vrijednosti t-statistike:
T-test za koeficijent korelacije može se izračunati na dva načina:
Metoda I:
gdje 
- slučajna pogreška koeficijenta korelacije.
Podatke za izračun uzimamo iz tablice na slici 7.
Metoda II:
Stvarne t-statističke vrijednosti su superiornije od tabličnih vrijednosti:
Stoga se hipoteza H 0 odbacuje, odnosno regresijski parametri i koeficijent korelacije nisu nasumično različiti od nule, već su statistički značajni.
Interval pouzdanosti za parametar a definiran je kao
Za parametar a, granice od 95% kao što je prikazano na slici 7 bile su:
Interval pouzdanosti za koeficijent regresije definiran je kao
Za koeficijent regresije b, granice od 95% kao što je prikazano na slici 7 bile su:
Analiza gornje i donje granice intervala povjerenja dovodi do zaključka da s vjerojatnošću 
parametri a i b, koji su unutar navedenih granica, ne uzimaju nulte vrijednosti, tj. nisu statistički značajne i materijalno se razlikuju od nule.
7. Dobivene procjene regresijske jednadžbe omogućuju nam je korištenje za predviđanje. Ako je prognozirana vrijednost egzistencijalnog minimuma:
Tada će predviđena vrijednost egzistencijalnog minimuma biti:
Pogrešku prognoze izračunavamo pomoću formule:
gdje 
Također izračunavamo varijancu koristeći PPP Excel. Za ovo:
1) Aktivirajte Čarobnjak za funkcije: u glavnom izborniku odaberite Formule / Funkcija umetanja.
3) Popunite raspon koji sadrži numeričke podatke faktorskog atributa. Kliknite na u redu.
Slika 10. Izračun varijance
Primljeno je vrijednost varijance 
Za izračunavanje preostale varijance po stupnju slobode koristimo rezultate ANOVA kao što je prikazano na slici 7.
Intervali povjerenja za predviđanje pojedinačnih vrijednosti y at s vjerojatnošću od 0,95 određeni su izrazom:
Interval je dovoljno širok, prvenstveno zbog malog volumena promatranja. U cjelini, ispunjena prognoza prosječne mjesečne plaće pokazala se pouzdanom.
Uvjet zadatka preuzet je iz: Radionica iz ekonometrije: Udžbenik. dodatak / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko i drugi; Ed. I.I. Elisejeva. - M .: Financije i statistika, 2003. - 192 str.: ilustr.
MS Excel vam omogućuje da većinu posla obavite vrlo brzo pri izradi jednadžbe linearne regresije. Važno je razumjeti kako interpretirati dobivene rezultate. Da biste izgradili regresijski model, odaberite stavku Usluga \ Analiza podataka \ Regresija (u Excelu 2007 ovaj način se nalazi u odjeljku Podaci / Analiza podataka / Regresija). Zatim kopirajte dobivene rezultate u blok za analizu.
V Excel postoji još brži i prikladniji način za crtanje linearne regresije (pa čak i osnovne vrste nelinearnih regresija, kao što je objašnjeno u nastavku). To se može učiniti na sljedeći način:
1) odaberite stupce s podacima x i Y(moraju biti tim redoslijedom!);
2) poziv Čarobnjak za karte i odaberite u grupi Vrsta – Točka i odmah pritisnite Spreman;
3) bez ispuštanja odabira s dijagrama, odaberite prikazanu stavku glavnog izbornika Dijagram, u kojem biste trebali odabrati stavku Dodajte liniju trenda;
4) u dijaloškom okviru koji se pojavi Linija trenda u kartici Vrsta Odaberi Linearni;
5) u kartici Mogućnosti prekidač se može aktivirati Prikaži jednadžbu u grafikonu, što će vam omogućiti da vidite jednadžbu linearne regresije (4.4), u kojoj će se izračunati koeficijenti (4.5).
6) U istoj kartici možete aktivirati prekidač Postavite aproksimacijski pouzdanost (R ^ 2) na dijagram... Ova veličina je kvadrat koeficijenta korelacije (4.3) i pokazuje koliko dobro izračunata jednadžba opisuje eksperimentalnu ovisnost. Ako R 2 je blizu jedinice, tada teorijska regresijska jednadžba dobro opisuje eksperimentalnu ovisnost (teorija se dobro slaže s eksperimentom), a ako R 2 je blizu nuli, onda ova jednadžba nije prikladna za opisivanje eksperimentalne ovisnosti (teorija se ne slaže s eksperimentom).
Kao rezultat izvođenja opisanih radnji, dobit ćete dijagram s regresijskim grafom i njegovom jednadžbom.
§4.3. Glavne vrste nelinearne regresije
Parabolička i polinomska regresija.
Parabolični ovisnost količine Y na vrijednost NS naziva se ovisnost izražena kvadratnom funkcijom (parabola 2. reda):
Ova se jednadžba zove jednadžba paraboličke regresije Y na NS... Mogućnosti a, b, s se zovu koeficijenti paraboličke regresije... Izračunavanje koeficijenata paraboličke regresije uvijek je glomazno pa se za izračune preporučuje korištenje računala.
Jednadžba (4.8) paraboličke regresije poseban je slučaj općenitije regresije koja se naziva polinom. Polinom ovisnost količine Y na vrijednost NS naziva se ovisnost izražena polinomom n-ti red:
gdje su brojevi i ja (i=0,1,…, n) se zovu koeficijenti polinomske regresije.
Regresija snage.
Eksponencijalno ovisnost količine Y na vrijednost NS ovisnost oblika naziva se:
Ova se jednadžba zove jednadžba regresije snage Y na NS... Mogućnosti a i b se zovu koeficijenti regresije snage.
ln = ln a+b ln x. (4.11)
Ova jednadžba opisuje ravnu liniju u ravnini s logaritamskim koordinatnim osi ln x i ln. Prema tome, kriterij za primjenjivost regresije stupnja je zahtjev da točke logaritama empirijskih podataka ln x i i ln i bili najbliži pravoj liniji (4.11).
Eksponencijalna regresija.
Indikativno(ili eksponencijalna) ovisnošću količine Y na vrijednost NS ovisnost oblika naziva se:
(ili ). (4.12)
Ova se jednadžba zove eksponencijalnu jednadžbu(ili eksponencijalna) regresija Y na NS... Mogućnosti a(ili k) i b se zovu eksponencijalna(ili eksponencijalna) regresije.
Ako uzmemo logaritam obje strane jednadžbe regresije moći, dobit ćemo jednadžbu
ln = x ln a+ In b(ili ln = k x+ In b). (4.13)
Ova jednadžba opisuje linearnu ovisnost logaritma jedne veličine ln o drugoj veličini x... Stoga je kriterij za primjenjivost regresije snage zahtjev da empirijski podaci ukazuju na istu količinu x i a logaritmi druge veličine ln i bili najbliži pravoj liniji (4.13).
Logaritamska regresija.
Logaritamski ovisnost količine Y na vrijednost NS ovisnost oblika naziva se:
=a+b ln x. (4.14)
Ova se jednadžba zove logaritamska regresijska jednadžba Y na NS... Mogućnosti a i b se zovu koeficijenti logaritamske regresije.
Hiperbolička regresija.
Hiperbolični ovisnost količine Y na vrijednost NS ovisnost oblika naziva se:
Ova se jednadžba zove jednadžba hiperboličke regresije Y na NS... Mogućnosti a i b se zovu koeficijenti hiperboličke regresije a određuju se metodom najmanjih kvadrata. Primjena ove metode dovodi do formula:
U formulama (4.16-4.17) zbrajanje se vrši preko indeksa i od jednog do broja opažanja n.
Nažalost u Excel ne postoji funkcija koja izračunava koeficijente hiperboličke regresije. U slučajevima kada nije unaprijed poznato da su mjerene veličine povezane obrnuto proporcionalno, preporuča se da se umjesto jednadžbe hiperboličke regresije traži jednadžba regresije snage, kao u Excel postoji procedura za njegovo pronalaženje. Ako se između izmjerenih vrijednosti pretpostavi hiperbolička ovisnost, tada će se koeficijenti njezine regresije morati izračunati pomoću pomoćnih proračunskih tablica i operacija zbrajanja pomoću formula (4.16-4.17).
