Korištenje Wienerovih filtara. Optimalni Wienerov filter

Rezultati obnove za defokusirane slike

Prilikom defokusiranja, sustav za izobličenje dobro se aproksimira cilindričnom funkcijom širenja točke (PSF) radijusa r.

Cilindrični PSF

U nastavku su rezultati obnova triju prave defokusirane slike istog predmeta (stranice knjige). Snimanje je obavljeno bez stativa s udaljenosti od približno 50 cm.Stupanj defokusiranja leće ručno se povećavao od kadra do kadra. Parametri Wienerovog filtra r i omjer signal-šum (SNR) ručno su odabrani kako bi se osigurala najbolja vizualna kvaliteta rekonstrukcije. Kako bi se kompenzirali rubni efekti, svjetlina slike postupno se smanjuje na rubovima.

Slika A

Rezultat restauracije slike A. r = 53, SNR = 5200

Slika B

Rezultat restauracije slike B. r = 66, SNR = 4400

Slika C

Rezultat restauracije slike C. r = 102, SNR = 7100

Vidi se da je čak i uz značajno defokusiranje čitljivost teksta gotovo
potpuno obnovljena.

Rezultati vraćanja zamućenih slika registarskih pločica

Do zamućenja slike dolazi kada se fotoaparat i subjekt pomiču jedan u odnosu na drugog tijekom ekspozicije. Razmotrimo samo slučaj kada se fotografirani objekt kreće linearno u odnosu na stacionarnu kameru. U ovom slučaju, distorzirajući sustav je dobro aproksimiran PSF-om u obliku segmenta, koji je usmjeren duž kretanja objekta. Takav PSF je određen s dva parametra: L duljinom i THETA kutom zamućenja.

PSF s linearnim podmazivanjem

Ispod je iskrivljena slika dva osobni automobili, dobiven s nedovoljno kratkom ekspozicijom, što je dovelo do pojave primjetne zamućenosti.

Iskrivljena slika dva automobila

Ispod su rezultati obnove registarskih pločica oba automobila pomoću Wiener filtera. Vrijednosti parametara L, THETA i SNR odabrane su na način da osiguraju najbolju vizualnu kvalitetu rekonstrukcije registarske pločice automobila.

Rezultat restauracije registarske pločice svijetlog automobila. L = 78, THETA = 15, SNR = 300

Rezultat vraćanja registarske pločice tamnog automobila. L=125, THETA=0, SNR=700

Može se vidjeti da je čak i uz značajno zamućenje moguće vratiti čitljivost brojeva
automobili.

Algoritam filtriranja implementiran je u C++ OpenCV kao konzolna aplikacija.
Izvorni kodovi se mogu pronaći na poveznicama ispod.

Književnost

1. R.C. Gonzalez, R.E. šume. Osnove digitalne slike. 1987. godine.
2. JE. Gruzman, V.S. Kirichuk, V.P. Kosykh, G.I. Peretjagin, A.A. Spector. Digitalna obrada slike u informacijski sustavi. 2000.

Inverzno filtriranje ima nisku otpornost na šum jer ova metoda ne uzima u obzir šum promatrane slike. Znatno manje osjetljiv na smetnje i singularnosti uzrokovane nulama prijenosne funkcije distorzirajućeg sustava, Wiener filter, jer tijekom njegove sinteze, uz vrstu PSF-a, koristi se podatak o spektralnim gustoćama snage slike i šuma.

Spektralna gustoća signala određena je relacijom:

gdje je auto korelacijska funkcija.

Međusobna spektralna gustoća signala određena je relacijom:

, (14)

gdje je funkcija unakrsne korelacije.

Prilikom konstruiranja Wienerovog filtra, zadatak je minimizirati standardno odstupanje obrađene slike od objekta:

gdje je matematičko očekivanje. Preuređivanjem ovih izraza može se pokazati da je minimum postignut kada je prijenosna funkcija dana sljedećim izrazom:

.

Daljnja analiza pokazuje da bi se restauracija slike, čije je formiranje opisano izrazom, trebala provesti pomoću sljedećeg OPF-a pretvarača rekonstrukcije:

Ako na slici nema šuma, tada je spektralna gustoća funkcije šuma jednaka 0 i izraz, koji se naziva Wienerov filtar, pretvara se u regularni inverzni filtar.

Kako se spektralna gustoća snage izvorne slike smanjuje, funkcija prijenosa Wienerovog filtra teži nuli. Za slike je to tipično na visokim frekvencijama.

Na frekvencijama koje odgovaraju nulama prijenosne funkcije formacijskog sustava, prijenosna funkcija Wienerovog filtra također je nula. Time je riješen problem singularnosti filtra za rekonstrukciju.

Riža. 1. Primjeri filtara

Primjeri rekonstrukcije pokazuju da je Wienerov filter mnogo bolji u potiskivanju šuma. Oscilirajući šum u rezultatima rekonstrukcije slike uzrokovan je rubnim efektima. Očito je njegova razina znatno niža nego kod inverznog filtriranja, ali Wienerov filtar samo djelomično kompenzira rubne efekte koji kvalitetu rekonstrukcije čine nezadovoljavajućom. Kompenzacija rubnih učinaka radi se posebno. Međutim, ove metode nisu optimalne i ne pružaju uvijek učinkovitu kompenzaciju izobličenja i istodobno se rješavaju rubnih učinaka.

Koncepti optimalne linearne procjene temeljni su za svako razmatranje adaptivni filtri. Proces adaptivnog filtriranja uključuje dvije faze procjene: 1) procjenu željenog izlaza filtra i 2) procjenu težine filtra potrebnih za postizanje gore navedenog cilja. Drugi od ova dva stupnja je neophodan zbog činjenice da u slučaju adaptivnog filtriranja karakteristike ulaznog signala nisu a priori poznate.

Najčešće korištena vrsta adaptivne filtarske strukture je ona koja koristi arhitekturu konačnog impulsnog odziva (FIR). Ovi filtri moraju konvergirati prema rješenju pomoću optimalnog nerekurzivnog procjenitelja, s rješenjem danim Wiener–Hopfovom jednadžbom.

Sinteza FIR i IIR estimatora značajno ovisi o definiciji troškovne funkcije prema kojoj kvalitetu estimacije karakterizira razlika između izlaznog signala estimatora i pravog parametra koji se procjenjuje:

Ovdje e(n)– pogreška procjene; x(n) – slučajna vrijednost, koju je potrebno procijeniti i koja može biti deterministička, a procjena se provodi pomoću našeg sustava procjene, te

oni. x(n) – linearna funkcija sekvence ulaznog signala y(n) i set utega filtera h(n). Opaženi niz signala y(n) V opći pogled može se prikazati kao izvorni niz x(n), izobličen adaptivnim bijelim šumom v(n) s disperzijom σ v 2:

. (5.26)

Najčešće korištena metoda za optimalnu procjenu je metoda najmanjih kvadrata (LSM). Srednja kvadratna pogreška definirana je kao

Minimizira se u odnosu na težinske koeficijente procjenitelja kako bi se dobila optimalna procjena korištenjem kriterija najmanjih kvadrata. Treba napomenuti da se može koristiti više od samo opisane troškovne funkcije. Alternativne funkcije bile bi apsolutna veličina pogreške i funkcija nelinearnog praga. Ova se funkcija pogreške koristi kada postoji prihvatljiv raspon pogreške (tj. postoji određena prihvatljiva pogreška). Kada se koristi kriterij najmanjeg srednjeg kvadrata, male pogreške doprinose manje od velikih pogrešaka (za razliku od kriterija apsolutna vrijednost pogreške, što daje jednaku težinu svim pogreškama).

Riža. 5.9. Generalizirani nerekurzivni filtar ili estimator.

U nerekurzivnom estimatoru, procjena x(n) definiran je kao konačni linearni polinom y(n):

, (5.28)

Gdje h k su pojedinačne težine u strukturi nerekurzivnog FIR filtra prikazanog na sl. 5.9. Izraz (5.28) može se prepisati u matrično-vektorskoj notaciji:

I ,

A superskript T označava transpoziciju matrice. Zatim korijen srednje kvadratne funkcije pogreške poprima oblik

Ovaj izraz opisuje standardnu ​​kvadratnu površinu pogreške s jednim jedinim minimumom. Diferencijacija (5.30) po daje

. (5.31)

i pod pretpostavkom da je (5.31) jednako nuli, imamo

(5.32)

Uz pretpostavku da vektor težine i vektor signala Y(n) nisu u korelaciji, dobivamo

Uvjeti matematičkog očekivanja uključeni u (5.33) mogu se definirati na sljedeći način:

P= E(x(n)Y(n)) – unakrsna korelacija između ulaznog signala i procijenjenog parametra;

R= E(Y(n)Y T (n))– autokorelacijska matrica niza ulaznog signala.

Tada se (5.33) može prepisati kao

P T =H T opt R. (5.34)

Jednadžba (5.34) je dobro poznata Wiener-Hopfova jednadžba, koja daje optimalno (najmanjih kvadrata) Wienerovo rješenje za H.

Adaptivna obrada

signale

2012/13 akademska godina

Optimalno

Wiener filter

Izv. Shchetinin Yu.I.

Novosibirsko državno tehničko sveučilište

Odjel za sustave za prikupljanje i obradu podataka

Fakultet automatike i računarstva

Odjel za sustave za prikupljanje i obradu podataka

Wiener filter

Svrha predavanja je razmatranje Wienerovog filtra. Zadatak je dobiti prijenosnu funkciju filtra koja osigurava najbolje filtriranje korisnog signala, prema kriteriju minimalne srednje kvadratne pogreške, kada je izložen aditivnom slučajnom šumu. Adaptivni filtri, koji su glavni sadržaj ovog kolegija, mogu se smatrati aproksimativnom, za praksu jednostavnijom implementacijom linearnog optimalnog Wienerovog filtra.

Problem su prva neovisno riješila dva znanstvenika:

Američki znanstvenik i matematičar N. Wiener, koji je objavio rezultat 1949. u članku “The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications”, J. Wiley, New York, SAD, 1949. Ali sam rezultat bio je dobiveno ranije 1942. u MIT Radiation Laboratory Reportu.

Stoga se odgovarajući optimalni filtri nazivaju Wiener–Kolmogorovljevi filtri. I ovo se ime pojavljuje u mnogim publikacijama. Ali češće se koristi naziv "Wiener filteri". Očito su razlozi za ovu terminologiju činjenica da je članak A. Kolmogorova teorijski rad znanstvenik – matematika. Pokazalo se nedostupnim inženjerima praktičarima. Osim toga, ruski je manje zastupljen od engleskog. Stoga su rezultati rada N. Wienera poznatiji i razumljiviji, iako je objavljen kasnije.

Opći pogled na Wiener filter prikazan je dolje na slici.

Referentni unos

Zadatak je filtrirati signal y(k), izobličen aditivnim šumom n1(k). Filter prima dva signala: x k- (buka, smetnje) i g k - (zbroj korisnog signala i šuma). U ovom slučaju iznos g k sadrži dvije komponente – korisni signal s(k), koji nije u korelaciji s x k i komponenta buke n1(k), korelirano (statistički međusobno povezano) sa x k. Wienerov filter mora imati takav funkcija sustava(frekvencijski odziv), koji daje procjenu koreliranog dijela signala (šuma) na izlazu g k. Ovaj se rezultat oduzima od g k i izlaz (greška) filtra e k - Ovo najbolja procjena koristan signal. Dakle, Wienerov filtar daje optimalnu procjenu korisnog signala pomiješanog s aditivnim šumom, prema kriteriju minimalne srednje kvadratne pogreške min M(e 2 (k)). Niža vrijednost srednje kvadratne pogreške nego u Wienerovom filtru ne može se dobiti ni u jednom linearnom filtru.

U slučajevima kada se na ulazu sustava automatska kontrola(vidi sl. 9.16) postoji koristan signal i smetnja koji su stacionarni i međusobno korelirani slučajni procesi S jednaka nuli prosječne vrijednosti, optimalna impulsna prijelazna funkcija sustava koja zadovoljava uvjet fizičke izvedivosti i osigurava minimalnu srednju kvadratnu pogrešku mora zadovoljiti sljedeću integralnu jednadžbu:

gdje je korelacijska funkcija ukupnog ulaznog signala unakrsna korelacijska funkcija reproduciranog izlaznog signala i ukupnog ulaznog signala

Jednadžbu (9.124) je dobio N. Wiener 1949. godine i naziva se Wiener-Hopfova integralna jednadžba.

Na temelju rješenja jednadžbe (9.124), N. Wiener je predložio opću formulu za pronalaženje implementabilne optimalne frekvencijske prijenosne funkcije (optimalni Wienerov filtar)

gdje je međusobna spektralna gustoća reproduciranog izlaznog signala i ukupnog ulaznog signala i

Treba primijetiti da u (9.125) donja granica vanjskog integrala mora biti jednaka nuli.

Ako ne postoji korelacija između upravljačkog signala i buke, tada pri primjeni (9.125) treba uzeti u obzir da

Na temelju opća formula(9.125) kao posebni slučajevi mogu se dobiti izrazi za optimalne frekvencijske prijenosne funkcije sustava (optimalni filtri) koji u prisutnosti smetnji provode reprodukciju korisnog signala, statističku anticipaciju (predikciju), diferencijaciju i druge linearne transformacije. upravljačkog signala u skladu s (9.107).

Na primjer, ako razmotrimo problem reprodukcije korisnog signala u prisutnosti smetnji, tada operator transformacije tada

U ovom slučaju (9.125) može se prikazati u jednostavnijem obliku:

Da bismo pronašli brojnik izraza (9.128), rastavljamo na jednostavne razlomke:

gdje su polovi smješteni u gornjoj poluravnini; - stupovi smješteni u donjoj poluravnini; - nule.

Zatim, odbacujući članove koji imaju polove u donjoj poluravnini, dobivamo

gdje su koeficijenti određeni formulom

Formule (9.129) i (9.131) odnose se na slučaj kada relacija nema više polova.

Ako ovaj omjer ima više polova, tada metoda određivanja ostaje ista, ali će formule za rastavljanje na jednostavne frakcije biti drugačije.

Poseban, ali vrlo važan i raširen u praksi je slučaj kada je smetnja bijeli šum spektralne gustoće, a spektralna gustoća upravljačkog signala opisana je frakcijsko-racionalnom funkcijom

gdje poredak premašuje red

Korisno je zapamtiti da se u ovom slučaju optimalna prijenosna funkcija frekvencije može definirati na sljedeći način:

Primjer 9.7. Uvjeti su postavljeni kao u primjeru 9.6. Odredite optimalnu frekvencijsku prijenosnu funkciju sustava.

Budući da je spektralna gustoća smetnje

te spektralna gustoća korisnog signala

tada se može odrediti optimalna prijenosna funkcija frekvencije

Zamjena u izraz za vrijednost

koji se nalazi u primjeru 9.6, dobivamo

Budući da (vidi primjer 9.6)

tada je drugi imaginarni član jednak nuli i stoga je optimalna frekvencijska prijenosna funkcija sustava

Nađeni izraz za, kao što se i očekivalo, u potpunosti se podudara s rezultatom dobivenim u primjeru 9.6.

Temeljni rezultati N. Wienera dobiveni su za slučaj kada je ulaz linearni sustav primjenjuju se stacionarni slučajni utjecaji s nultim prosječnim vrijednostima (centrirani slučajni procesi).

Kao rezultat daljnji razvoj i generalizacija metoda sinteze dinamički sustavi pod slučajnim utjecajima, na primjer, metode sinteze razvijene su pod slučajnim utjecajima primijenjene u različite točke sustavi; metode sinteze s istovremenim utjecajem na sustav regularnih i slučajnih signala; metode za sintezu sustava s ograničenim trajanjem prijelaznog procesa (s "konačnom memorijom"); metode za sintezu sustava koji sadrže slučajne parametre; metode za sintezu sustava s nestacionarnim slučajnim

utjecaji; metode sinteze nelinearnih sustava, uključujući korištenje digitalnih računala itd.

U U zadnje vrijeme pri proračunu sustava pod utjecajem slučajnih (uključujući nestacionarne) procesa, teorija optimalnih filtara koju su razvili R. Kalman i R. Bucy našla je široku primjenu,