Prema jednakosti (13.5), korelaciona funkcija odziva nelinearnog uređaja može se izraziti na sljedeći način u smislu funkcije prijelaza ovog uređaja:

Dvostruki integral jednak je, kao što se vidi iz poređenja sa jednakošću (4.25), zajedničkoj karakterističnoj funkciji veličina zapisanih kao funkcija kompleksnih varijabli. dakle,

Izraz (13.40) je glavna formula za analizu slučajnih efekata na nelinearne uređaje pomoću metode transformacije. Ostatak ovog poglavlja posvećen je evaluaciji ovog izraza za razne vrste uređaja i razne vrste uticaja na njih.

U mnogim problemima uticaj koji se primenjuje na sistemski ulaz je zbir korisnog signala i šuma:

gdje su funkcije uzorka statistički nezavisnih probabilističkih procesa. U takvim slučajevima, zajednička karakteristična funkcija utjecaja jednaka je umnošku karakterističnih funkcija signala i šuma, a jednakost (13.40) uzima

gdje - zajednička karakteristična funkcija veličina - zajednička karakteristična funkcija veličina i

Gausov šum na ulazu. Ako je šum na ulazu uređaja uzorkovana funkcija stvarnog Gaussovog probabilistički proces sa nultim matematičkim očekivanjem, onda, prema jednakosti (8.23),

gdje Funkcija korelacijskog odgovora u ovom slučaju ima oblik

Ako se funkcije iz i funkcije iz sada mogu predstaviti kao proizvodi funkcija iz ili kao sume takvih proizvoda, tada se dvostruki integral u posljednjem izrazu može izračunati kao proizvod integrala. Činjenica da se eksponencijalna funkcija može predstaviti kroz proizvode funkcija i slijedi iz njenog proširenja u niz stepena

Stoga se korelacijska funkcija odziva nelinearnog uređaja kada se Gaussov šum primjenjuje na njegov ulaz može napisati

Sinusoidni signali.

Pretpostavimo sada da je signal na ulazu uređaja modulirana sinusoida, tj

gdje je funkcija uzorka niskofrekventnog probabilističkog procesa (tj. onoga čija je spektralna gustina različita od nule samo u frekvencijskom rasponu koji je susjedan nultoj frekvenciji i uska u poređenju sa i gdje je slučajna varijabla raspoređena jednoliko u intervalu i ne ovisi o modulirajućeg signala i od šuma Karakteristična funkcija takvog signala je jednaka

Proširujući eksponencijal na Jacobi-Anger formulu [izraz (13.20)], dobijamo

Zbog

gdje to dobijamo za amplitudno modulirani sinusoidni signal

Korelaciona funkcija odziva nelinearnog uređaja kada se na njegov ulaz primjenjuju sinusni signal i Gausov šum sada se može naći zamjenom (13.47) u (13.45). Definirajmo funkciju

gdje i korelacijske funkcije

gdje se usrednjavanje vrši preko modulirajućeg signala; tada će korelaciona funkcija odgovora biti jednaka

Ako su i modulirajući signal i šum stacionarni, tada izraz (13.50) poprima oblik

Ako je ulazni signal nemoduliran sinusni val

jer su u ovom slučaju koeficijenti konstantni i jednaki jedan drugom.

Komponente signala i šuma na izlazu.

Razmotrimo sada slučaj kada ulazni šum ima oblik modulirane sinusoide. U ovom slučaju, korelaciona funkcija na izlazu je data izrazom (13.52). Proširimo ovaj izraz na sljedeći način:

Pogledajmo njegove pojedinačne komponente. Prvi član odgovara konstantnoj komponenti na izlazu uređaja. Sledeća grupa pojmova odgovara periodičnom delu odziva i uglavnom je posledica interakcije ulaznog signala sa samim sobom. Preostali članovi odgovaraju slučajnim fluktuacijama u odzivu, odnosno šumu na izlazu. Oni iz

ovi preostali termini za koje su uglavnom posledica interakcije ulaznog šuma sa samim sobom, i oni za koje je interakcija signala i šuma na ulazu.

Zamislimo odgovor nelinearnog uređaja kao zbir prosječne vrijednosti, periodičnih komponenti i slučajne komponente:

Tada se funkcija korelacionog odgovora može zapisati kao

gde Upoređujući jednakosti (13.53) i (13.55), vidimo da se prosečna vrednost odgovora i amplituda njegovih periodičnih komponenti mogu izraziti direktno kroz koeficijente

Pored toga, korelaciona funkcija slučajnog dijela odgovora može se zapisati kao

gdje stavljamo po definiciji u skladu sa (13.50)

Treba napomenuti da su, strogo govoreći, svi ovi pojmovi funkcije procesa koji modulira ulazni signal.

Rješenje pitanja koji od pojmova u (13.62) određuju korisni izlazni signal ovisi, naravno, o namjeni nelinearnog uređaja. Ako se, na primjer, uređaj koristi kao detektor, tada je koristan niskofrekventni dio izlaznog signala. U ovom slučaju, korisni signal odgovara dijelu korelacione funkcije, definisana jednakošću

S druge strane, ako se uređaj koristi kao nelinearno pojačalo, onda

jer je u ovom slučaju korisna komponenta signala koncentrisana oko noseće frekvencije ulaznog signala

U ranim fazama razvoja radiotehnike postavlja se pitanje izbora najbolji signali za određene specifične aplikacije nije bio vrlo oštar. To je bilo zbog, s jedne strane, relativno jednostavne strukture prenesene poruke(telegrafski paketi, radio emitovanje); sa drugim, praktična implementacija signale složenog oblika u kombinaciji sa opremom za njihovo kodiranje, modulaciju i inverzna konverzija ispostavilo se da je poruka teška za implementaciju.

Trenutno se situacija radikalno promijenila. U modernom radioelektronskih kompleksa izbor signala diktira prvenstveno ne tehnička pogodnost njihovog generisanja, konverzije i prijema, već mogućnost optimalno rešenje zadaci predviđeni prilikom projektovanja sistema. Da biste razumjeli kako se javlja potreba za signalima sa posebno odabranim svojstvima, razmotrite sljedeći primjer.

Poređenje vremenski pomaknutih signala.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji ​​rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje udaljenosti do pjesme. Ovdje su informacije o objektu mjerenja sadržane u vrijednosti - vremenskom kašnjenju između sondiranog i primljenog signala. Oblici sondiranja i primljenih signala su isti za bilo koje kašnjenje.

Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala namijenjenog za mjerenje dometa može izgledati kao što je prikazano na sl. 3.3.

Sistem se sastoji od skupa elemenata koji odlažu "referencu" prenijeti signal za neke fiksne periode

Rice. 3.3. Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Odgođeni signali, zajedno sa primljenim signalom, dovode se do uređaja za upoređivanje, koji rade po principu: izlazni signal se pojavljuje samo ako su obje ulazne oscilacije “kopije” jedna druge. Znajući broj kanala u kojem se navedeni događaj javlja, možete izmjeriti kašnjenje, a time i domet do cilja.

Takav uređaj će raditi točnije, što se signal i njegova "kopija", pomaknuta u vremenu, više razlikuju jedni od drugih.

Tako smo stekli kvalitativnu „ideju“ o tome koji se signali mogu smatrati „dobrim“ za datu aplikaciju.

Pređimo na tačnu matematičku formulaciju postavljenog problema i pokažimo da je ovaj niz pitanja direktno povezan sa teorijom energetskih spektra signala.

Autokorelaciona funkcija signala.

Da bi se kvantifikovao stepen razlike između signala i njegove kopije sa vremenskim pomeranjem, uobičajeno je da se uvede autokorelaciona funkcija (ACF) signala jednaka skalarnom proizvodu signala i kopije:

U nastavku ćemo pretpostaviti da ispitivani signal ima pulsni karakter lokalizovan u vremenu, tako da integral oblika (3.15) svakako postoji.

Odmah je jasno da kada autokorelacija funkcija postane jednaka energiji signala:

Među najjednostavnijim svojstvima ACF-a je njegov paritet:

Zaista, ako izvršimo promjenu varijabli u integralu (3.15), onda

Konačno, važno svojstvo autokorelacijske funkcije je sljedeće: za bilo koju vrijednost vremenskog pomaka, ACF modul ne prelazi energiju signala:

Ova činjenica direktno proizilazi iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky (vidi Poglavlje 1):

Dakle, ACF je predstavljen simetričnom krivom sa centralnim maksimumom, koji je uvijek pozitivan. Štoviše, ovisno o vrsti signala, autokorelacija može imati ili monotono opadajuću ili oscilirajuću karakteristiku.

Primjer 3.3. Pronađite ACF pravokutnog video impulsa.

Na sl. 3.4a prikazuje pravougaoni video puls amplitude U i trajanja. Ovdje je također prikazana njegova “kopija” pomjerena u vremenu prema kašnjenju za . Integral (3.15) se izračunava u u ovom slučaju jednostavno zasnovano na grafičkoj konstrukciji. Zaista, proizvod i i je različit od nule samo unutar vremenskog intervala kada se uoči preklapanje signala. Od sl. 3.4, jasno je da je ovaj vremenski interval jednak ako pomak ne prelazi trajanje impulsa. Dakle, za signal koji se razmatra

Grafikon takve funkcije je trokut prikazan na sl. 3.4, b. Širina osnove trokuta je dvostruko veća od trajanja impulsa.

Rice. 3.4. Pronalaženje ACF-a pravokutnog video impulsa

Primjer 3.4. Pronađite ACF pravokutnog radio impulsa.

Razmotrit ćemo radio signal u obliku

Znajući unaprijed da je ACF paran, izračunavamo integral (3.15), postavljajući . Gde

gde lako stižemo

Naravno, kada vrijednost postane jednaka energiji ovog impulsa (vidi primjer 1.9). Formula (3.21) opisuje ACF pravokutnog radio impulsa za sve pomake koji se nalaze unutar Ako apsolutna vrijednost pomaka premašuje trajanje impulsa, tada će funkcija autokorelacije identično nestati.

Primjer 3.5. Odredite ACF sekvence pravokutnih video impulsa.

U radaru se široko koriste signali, koji su paketi impulsa istog oblika, koji slijede jedan za drugim u istom vremenskom intervalu. Za detekciju takvog praska, kao i za mjerenje njegovih parametara, na primjer, njegove pozicije u vremenu, kreiraju se uređaji koji implementiraju hardverske algoritme za izračunavanje ACF-a.

Rice. 3.5. ACF paketa od tri identična video impulsa: a - paket impulsa; b - ACF graf

Na sl. 3.5c prikazuje paket koji se sastoji od tri identična pravougaona video impulsa. Ovdje je također prikazana njena autokorelacija, izračunata po formuli (3.15) (slika 3.5, b).

Jasno se vidi da se maksimalni ACF postiže pri. Međutim, ako je kašnjenje višekratnik perioda sekvence (u našem slučaju at), uočavaju se bočni režnjevi ACF, uporedive po visini sa glavnim režnjem. Stoga se može govoriti o određenoj nesavršenosti korelacione strukture ovog signala.

Autokorelacija funkcija beskonačno proširenog signala.

Ako je potrebno uzeti u obzir periodične sekvence vremenski neograničenog trajanja, onda se pristup proučavanju korelacijskih svojstava signala mora donekle modificirati.

Pretpostavićemo da je takav niz dobijen iz nekog vremenski lokalizovanog, odnosno impulsnog signala, kada trajanje potonjeg teži beskonačnosti. Da bismo izbjegli divergenciju rezultirajućih izraza, ionski ACF definiramo kao prosječnu vrijednost skalarnog proizvoda signala i njegove kopije:

Ovim pristupom, funkcija autokorelacije postaje jednaka prosječnoj međusobnoj snazi ​​ova dva signala.

Na primjer, ako želite pronaći ACF za kosinusni val neograničen u vremenu, možete koristiti formulu (3.21) dobijenu za radio puls trajanja, a zatim ići na granicu uzimajući u obzir definiciju (3.22). Kao rezultat dobijamo

Ovaj ACF je sam po sebi periodična funkcija; njegova vrijednost na je jednaka

Odnos energetskog spektra signala i njegove autokorelacione funkcije.

Prilikom proučavanja materijala u ovom poglavlju, čitalac može pomisliti da metode korelacione analize deluju kao neke posebne tehnike koje nemaju veze sa principima spektralnih dekompozicija. Međutim, nije. Lako je pokazati da postoji bliska veza između ACF-a i energetskog spektra signala.

Zaista, u skladu s formulom (3.15), ACF je skalarni proizvod: ovdje simbol označava vremenski pomaknutu kopiju signala i ,

Okrenuvši se generaliziranoj Rayleigh formuli (2.42), možemo napisati jednakost

Spektralna gustina vremenski pomaknutog signala

Tako dolazimo do rezultata:

Kvadrat modula spektralne gustine, kao što je poznato, je energetski spektar signal. Dakle, energetski spektar i funkcija autokorelacije povezani su Fourierovom transformacijom:

Jasno je da postoji i inverzni odnos:

Ovi rezultati su fundamentalno važni iz dva razloga. Prvo, pokazalo se da je moguće procijeniti svojstva korelacije signala na osnovu distribucije njihove energije po spektru. Što je širi opseg frekvencije signala, to je uži glavni režanj autokorelacijske funkcije i savršeniji je signal u smislu mogućnosti precizno merenje u trenutku kada je počelo.

Drugo, formule (3.24) i (3.26) ukazuju na način eksperimentalnog određivanja energetskog spektra. Često je zgodnije prvo dobiti funkciju autokorelacije, a zatim, koristeći Fourierovu transformaciju, pronaći energetski spektar signala. Ova tehnika je postala široko rasprostranjena kada se proučavaju svojstva signala pomoću računara velike brzine u realnom vremenu.

Iz toga slijedi da je interval korelacije

ispada da je manji što je vrh viši granična frekvencija spektar signala.

Ograničenja nametnuta obliku autokorelacione funkcije signala.

Pronađena veza između autokorelacione funkcije i energetskog spektra omogućava da se uspostavi zanimljiv i na prvi pogled neočigledan kriterijum za postojanje signala sa datim korelacionim svojstvima. Činjenica je da energetski spektar bilo kog signala, po definiciji, mora biti pozitivan [vidi. formula (3.25)]. Ovo stanje neće biti ispunjen ni za jedan izbor ACF-a. Na primjer, ako uzmemo

i onda izračunajte odgovarajuću Fourierovu transformaciju

Ova izmjenična funkcija ne može predstavljati energetski spektar bilo kojeg signala.

Rayleigh i Rice distribucije ne karakteriziraju u potpunosti bledenje signala. Konkretno, oni ne daju ideju o tome kako se proces slabljenja signala odvija tokom vremena. Pretpostavimo da se proces razmatra u dvije vremenske tačke t I t+t, gdje je t kašnjenje. Onda statistička povezanost fading je dato korelacionom funkcijom, koja je definisana na sledeći način.

Pretpostavimo da je proces koji se razmatra stacionaran. To znači da njegovi statistički parametri, kao što su srednja vrijednost, varijansa i unakrsna korelacija, ne ovise o vremenu t. Za uskopojasni proces (2.3.37) dobijamo korelacione funkcije u obliku

Hajde da uvedemo korelacione funkcije kvadraturnih signala:

Sada transformiramo izraz (2.3.61) u oblik

Za dalju transformaciju (2.3.63) koristićemo trigonometrijske relacije.

(2.3.64)

Kao rezultat dobijamo to

S obzirom da je proces stacionaran, funkcija korelacije ne bi trebala ovisiti o vremenu. Ovaj zahtjev se može ispuniti ako su drugi i četvrti član u (2.3.65) jednaki nuli, što je zauzvrat moguće ako korelacijske funkcije kvadraturnih signala zadovoljavaju sljedeće odnose:

Dakle, korelaciona funkcija stacionarne normale uskopojasni signal jednak

Pokažimo da je korelaciona funkcija neparna funkcija od t. Za ovo vodimo računa o tome

Zamijenimo (2.3.68) u drugu formulu u (2.3.66) i nađemo da

. (2.3.69)

Dakle, unakrsna korelaciona funkcija kvadraturnih signala je neparna. Iz ovoga proizilazi važan rezultat: u istom trenutku, kvadraturni signali nisu u korelaciji, tj. .

Razmotrimo sada korelaciju kompleksne amplitude

Po definiciji korelacione funkcije možemo to napisati

. (2.3.71)

Funkcija je kompleksna i ima svojstvo simetrije, tj.

. (2.3.72)

Zamijenimo (2.3.70) u (2.3.71) i uzmemo u obzir (2.3.62). Tada (2.3.71) poprima oblik

Ako uzmemo u obzir (2.3.66), onda je ova formula značajno pojednostavljena:

Korelaciona funkcija (2.3.67) uskopojasnog signala i korelaciona funkcija (2.3.74) njegove kompleksne amplitude su međusobno povezane. Ova veza se lako otkriva iz poređenja (2.3.67) i (2.3.74). Kao rezultat ćemo imati

Svojstva korelacije signala usko su povezana sa njegovim spektralnim svojstvima. Konkretno, spektralna gustina snage se nalazi korištenjem Fourierove transformacije korelacijske funkcije i jednaka je

. (2.3.76)

Pokažimo da je to realna funkcija, dok je korelaciona funkcija kompleksna. Da bismo to uradili, uzimamo kompleksni konjugat iz izraza (2.3.76) i uzimamo u obzir svojstvo simetrije (2.3.72) korelacione funkcije. Kao rezultat dobijamo to

Upoređujući (2.3.77) sa (2.3.76) imamo to . Ovo dokazuje da je kompleksni amplitudski spektar realna funkcija.

U nastavku će biti pokazano da je spektar kompleksne amplitude signala koji opisuje fading u višeputnom kanalu čak i pravi funkciju frekvencije, tj. . Tada korelaciona funkcija postaje važeća. Da bismo to dokazali, zapisujemo korelaciju kao inverznu Fourierovu transformaciju spektralne gustine snage u obliku

. (2.3.78)

Uzmimo kompleksnu konjugaciju izraza (2.3.78) i uzmimo u obzir parnost funkcije. Shvatili smo to

Upoređujući (2.3.79) sa (2.3.78) imamo to . Ovo dokazuje da je korelaciona funkcija kompleksne amplitude sa realnim spektrom u obliku parne funkcije realna funkcija.

Uzimajući u obzir realnost korelacione funkcije, iz (2.3.74) nalazimo da

. (2.3.80)

Koristeći (2.3.75), dobijamo korelacione funkcije uskopojasnog signala u obliku

Sada postavimo zadatak da u eksplicitnom obliku pronađemo spektar i korelacijske funkcije koje opisuju slabljenje signala u višeputnom kanalu. Razmotrite ponovo dva momenta u vremenu t I t+t. Ako za vrijeme t predajnik, prijemnik i reflektori ne promijene svoju lokaciju i zadrže svoje parametre, tada se ukupan signal u prijemniku ne mijenja. Da bi došlo do bledenja signala, neophodno je međusobno kretanje predajnika, prijemnika i (ili) reflektora. Samo u ovom slučaju dolazi do promjene amplituda i faza signala koji se zbrajaju na ulazu prijemne antene. Što se ovo kretanje brže dešava, to brže bledi signal i, prema tome, njegov spektar bi trebao biti širi.

Pretpostavićemo da se prijemnik kreće brzinom v, a predajnik ostaje nepomičan. Ako antena predajnika emituje harmonijski signal određene frekvencije f, tada zbog Doplerovog efekta prijemnik registruje signal druge frekvencije. Razlika između ovih frekvencija naziva se Doplerov pomak frekvencije. Da biste pronašli vrijednost pomaka frekvencije, razmotrite Sl. 2.16, koji prikazuje predajnik, prijemnik, talasni vektor k ravni talas i vektor v brzina prijemnika.

Rice. 2.16. Ka određivanju Doplerovog pomaka frekvencije

Zapisujemo jednačinu ravnomjernog kretanja prijemnika u obliku

Tada će faza primljenog signala biti funkcija vremena

gdje je q ugao između vektora brzine i valnog vektora.

Trenutna frekvencija je definirana kao derivacija faze. Dakle, diferencirajući (2.3.83) i uzimajući u obzir da je talasni broj , imaćemo

. (2.3.84)

Kod ravnomjernog kretanja prijemnika, kao što slijedi iz (2.3.84), pomak frekvencije je jednak

Na primjer, pretpostavimo da je brzina v=72 km/h = 20 m/s, frekvencija predajnika f=900 MHz, i ugao q=0. Talasna dužina l i frekvencija f povezane brzinom svetlosti With odnos With=fl. Odavde imamo da je l= c/f=0,33 m. Sada iz (2.3.85) nalazimo da je Doplerov pomak frekvencije f d=60 Hz.

Doplerov pomak frekvencije (2.3.85) prihvata i pozitivne i negativne vrijednosti, u zavisnosti od ugla q između vektora brzine i talasnog vektora. Veličina Doplerovog pomaka ne prelazi maksimalna vrijednost, jednako f max=v/l. Formula (2.3.85) može se prikladno predstaviti u obliku

. (2.3.86)

Kada postoji mnogo reflektora, prirodno je pretpostaviti da su ravnomjerno smješteni oko prijemnika, na primjer, u krug, kao što je prikazano na sl. 2.17. Ovaj model reflektora naziva se Clark model.

Rice. 2.17. Položaj reflektora u Clark modelu

Spektralna gustina snage u slučaju Clarkovog modela određena je na sljedeći način. Odaberimo frekvencijski interval df d blizu frekvencije f d. Primljena snaga sadržana u ovom intervalu jednaka je . Ova snaga je zbog Doplerovog pomaka frekvencije (2.3.86). Disipirana snaga povezana s kutnim razmakom d q, je jednako , gdje je ugaona gustina disipirane snage. Imajte na umu da isti Doplerov pomak f d posmatrano za reflektore sa ugaonim koordinatama ±q. To implicira sljedeću jednakost ovlasti

Pretpostavit ćemo da je ukupna disipirana snaga jednaka jedinici i da je ravnomjerno raspoređena u intervalu.

Rice. 2.18. Jakes Doplerov spektar za f max=10 Hz

Za određivanje korelacijske funkcije (2.3.71) kompleksne amplitude potrebno je izraz (2.3.90) dobiven za spektralnu gustinu snage zamijeniti u (2.3.78). Kao rezultat dobijamo to

Modul korelacione funkcije (2.3.91) kompleksne amplitude za dva maksimalne frekvencije Dopler f max=10 Hz (puna kriva) i f max=30 Hz (isprekidana kriva) prikazani su na Sl. 2.19. Ako procijenimo vrijeme korelacije zatamnjenja signala u kanalu na nivou od 0,5, onda je ono jednako . Ovo daje 24ms za f max=10 Hz i 8 ms za f max=30 Hz.

Rice. 2.19. Korelacijski funkcijski modul za f max=10 i 30 Hz (puna i tačkasta krivulja,
odnosno).

IN opšti slučaj Doplerov spektar se može razlikovati od Jakesovog spektra (2.3.90). Raspon vrijednosti D f d, u kojem se značajno razlikuje od nule naziva se Doplerovo rasipanje u kanalu. Pošto je to povezano sa Fourierovom transformacijom, onda vrijeme koherencije t coh kanal je vrijednost t coh"1/D f d, koji karakterizira brzinu promjene svojstava kanala.

Prilikom izvođenja (2.3.90) i (2.3.91) pretpostavljeno je da je prosječna snaga raspršenog signala jednaka jedinici. Ovo također slijedi iz (2.3.91) i (2.3.71), budući da

Koeficijent korelacije jednak omjeru korelacijske funkcije prema prosječnoj snazi. Dakle, u ovom slučaju izraz (2.3.91) daje i koeficijent korelacije.

Iz (2.3.81) nalazimo korelacione funkcije uskopojasnog signala jednaku

U praksi, svojstva korelacije takvih slučajnih varijabli kao što je amplituda A i trenutnu snagu P=A 2. Ove količine se obično bilježe, na primjer, na izlazu linearnog ili kvadratnog detektora. Njihova korelaciona svojstva su na određeni način povezana sa svojstvima korelacije kompleksne amplitude Z(t).

Trenutni koeficijent korelacije snage povezan je sa kompleksnim koeficijentom amplitudske korelacije jednostavnom relacijom oblika:

. (2.3.94)

Dajemo dokaz ove formule. Na osnovu definicije koeficijenta korelacije možemo to napisati

, (2.3.95)

gdje je funkcija korelacije snaga.

Pretpostavimo da ne postoji deterministička komponenta signala i amplitude A ima Rayleighovu distribuciju. Onda<P>=<A 2 >=2σ 2 . Količina uključena u (2.3.95) . Koristeći Rayleighov zakon raspodjele, nalazimo to

. (2.3.96)

Uzimajući u obzir (2.3.96), nalazimo funkciju korelacije snaga iz (2.3.95) koristeći jednostavne algebarske transformacije. Shvatili smo to

. (2.3.97)

Takođe možemo izraziti funkciju korelacije snaga u terminima kvadraturnih komponenti u obliku

Izvodeći množenje i usrednjavanje na desnoj strani jednakosti (2.3.98), dobijamo članove koji predstavljaju sledeće momente četvrtog reda:

Dakle, moramo izračunati momente četvrtog reda. Uzmimo u obzir da su kvadraturne komponente I I Q su Gaussove slučajne varijable sa nultom srednjom vrednošću i identičnom varijansom σ 2 i koriste dobro poznato pravilo za otključavanje momenata četvrtog reda. Prema njemu, ako ih ima četiri slučajne varijable a, b, c, And d, tada vrijedi sljedeća formula:

Primjenjujući ovo pravilo, izračunavamo momente četvrtog reda u (2.3.99). Kao rezultat ćemo imati

(2.3.101)

Ako uzmemo u obzir (2.3.96), (2.3.66) i (2.3.74), onda se (2.3.98) može zapisati kao

Sada je potrebno uzeti u obzir i to . Kao rezultat, dobijamo sljedeći izraz za funkciju korelacije snage:

Upoređujući rezultujuću formulu sa (2.3.97), uvjerili smo se u valjanost (2.3.94).

Za model kanala Clark, otkrili smo da je koeficijent korelacije određen (2.3.91). Uzimajući u obzir (2.3.94), koeficijent korelacije snage u slučaju Clarkovog modela će biti jednak

. (2.3.104)

Korelaciona svojstva amplitude A se istražuju korištenjem mnogo složenijeg matematičkog aparata i ovdje se ne razmatraju. Međutim, treba napomenuti da je koeficijent amplitudske korelacije A zadovoljava sljedeću približnu jednakost.

2.6. Korelaciono-spektralna analiza determinističkih signala. Radio kola i signale. dio I

2.6. Korelaciono-spektralna analiza determinističkih signala

U mnogim radiotehničkim problemima, često postoji potreba da se uporedi signal i njegova kopija, pomaknuta za neko vrijeme. Konkretno, ova situacija se javlja kod radara, gdje impuls reflektiran od mete stiže na ulaz prijemnika sa vremenskim zakašnjenjem. Poređenje ovih signala međusobno, tj. Uspostavljanje njihovog odnosa tokom obrade omogućava određivanje parametara kretanja cilja.

Da bi se kvantifikovao odnos između signala i njegove kopije sa vremenskim pomakom, uvodi se karakteristika

, (2.57)

Što se zove autokorelacione funkcije(AKF).

Da bismo objasnili fizičko značenje ACF-a, dajemo primjer gdje je signal pravokutni impuls s trajanjem i amplitudom. Na sl. 2.9 prikazuje puls, njegovu kopiju pomaknutu za vremenski interval i proizvod . Očigledno, integracija proizvoda daje vrijednost površine pulsa, što je proizvod . Ova vrijednost, kada je fiksna, može biti predstavljena točkom u koordinatama. Prilikom promjene dobićemo graf autokorelacijske funkcije.

Naći ćemo analitički izraz. Jer

onda zamenivši ovaj izraz u (2.57), dobijamo

. (2.58)

Ako pomaknete signal ulijevo, onda je pomoću sličnih proračuna to lako pokazati

. (2.59)

Tada kombinujući (2.58) i (2.59) dobijamo

. (2.60)

Iz razmatranog primjera mogu se izvući sljedeći važni zaključci koji se odnose na signale: slobodnoj formi:

1. Funkcija autokorelacije neperiodičnih signala opada s rastom (ne nužno monotono za druge vrste signala). Očigledno, ACF takođe teži nuli.

2. ACF dostiže svoju maksimalnu vrijednost na . U ovom slučaju, jednaka je energiji signala. Dakle, ACF je energije karakteristika signala. Kao što se i očekivalo, signal i njegova kopija su u potpunosti korelirani (međusobno povezani).

3. Iz poređenja (2.58) i (2.59) slijedi da je ACF ravnomjerna funkcija argument, tj.

.

Važna karakteristika signala je interval korelacije. Interval korelacije se podrazumijeva kao vremenski interval, kada se pomakne za koji signal i njegova kopija postaju nekorelirani.

Matematički, interval korelacije je određen sljedećim izrazom

,

ili pošto je parna funkcija

. (2.61)

Na sl. Slika 2.10 prikazuje ACF proizvoljnog valnog oblika. Ako izgradite pravougaonik s površinom jednakom površini ispod krive za pozitivne vrijednosti (desna grana krivulje), čija je jedna strana jednaka , tada će druga strana odgovarati .

Nađimo interval korelacije za pravougaoni impuls. Zamjenom (2.58) u (2.60) nakon jednostavnih transformacija, dobivamo:

,

kako slijedi iz Sl. 2.9.

Po analogiji sa autokorelacionom funkcijom, procjenjuje se stepen povezanosti dva signala unakrsne korelacijske funkcije(VKF)

. (2.62)

Nađimo funkciju unakrsne korelacije dva signala: pravokutnog impulsa s amplitudom i trajanjem

I trokutasti puls iste amplitude i trajanja

Koristeći (2.61) i posebno izračunavajući integrale za i , dobijamo:

Grafički dijagrami koji ilustruju proračune VCF-a prikazani su na Sl. 2.11

Evo isprekidane linije prikazana je početna (na ) pozicija trokutastog impulsa.

At izraz (2.61) se transformiše u (2.57). Iz toga slijedi da je ACF poseban slučaj CCF-a sa potpuno podudarnim signalima.

Zabilježimo glavna svojstva VKF-a.

1. Baš kao i funkcija autokorelacije, VCF je opadajuća funkcija argumenta. Kada VKF teži nuli.

2. Vrijednosti unakrsne korelacijske funkcije na proizvoljno su vrijednosti uzajamna energija(energija interakcije) signali i .

3. Kada funkcija unakrsne korelacije (za razliku od autokorelacijske funkcije) ne dosegne uvijek maksimum.

4. Ako su signali opisani parnim funkcijama vremena, tada je i CCF paran. Ako je barem jedan od signala opisan neparnom funkcijom, tada je i CCF neparan. Prvu tvrdnju je lako dokazati ako izračunate CCF dva pravokutna impulsa suprotnog polariteta

I

Unakrsna korelaciona funkcija takvih signala

, (2.63)

je parna funkcija argumenta.

Što se tiče druge tvrdnje, razmatrani primjer izračunavanja CCF pravokutnih i trokutastih impulsa to dokazuje.

U nekim primijenjeni problemi radio inženjeri koriste normalizovani ACF

, (2.64)

i normalizovani VKF

, (2.65)

gdje su i intrinzične energije signala i . Kada je vrijednost normalizirane VKF pozvao koeficijent unakrsne korelacije. Ako , zatim koeficijent unakrsne korelacije

.

Očigledno, vrijednosti se kreću od -1 do +1. Ako uporedimo (2.65) sa (1.32), možemo provjeriti da koeficijent unakrsne korelacije odgovara vrijednosti kosinusa ugla između vektora iu geometrijskom prikazu signala.

Izračunajmo koeficijent unakrsne korelacije za primjere o kojima smo gore govorili. Pošto je energija pravougaonog impulsnog signala

i trouglasti puls

tada će koeficijent unakrsne korelacije u skladu sa (2.62) i (2.65) biti jednak . Što se tiče drugog primjera, za dva pravokutna impulsa iste amplitude i trajanja, ali suprotnog polariteta, .

Eksperimentalno, ACF i VCF se mogu dobiti pomoću uređaja strukturna šema koji je prikazan na sl. 2.12

Prilikom uklanjanja ACF-a, signal se prima na jednom od ulaza množenja, a isti signal se prima na drugom, ali sa zakašnjenjem. Proporcionalni signal proizvoda , prolazi kroz operaciju integracije. Na izlazu integratora stvara se napon koji je proporcionalan ACF vrijednosti pri fiksnoj . Promjenom vremena kašnjenja, možete izgraditi ACF signala.

Da bi se eksperimentalno konstruisao VCF, signal se dovodi na jedan od ulaza množenja, a signal se dovodi do uređaja za odlaganje (dolazna kola su prikazana isprekidanim linijama). Inače uređaj radi isti put. Imajte na umu da se opisani uređaj zove korelator i široko se koristi u raznim radio sistemima za prijem i obradu signala.

Do sada smo radili korelacione analize neperiodičnih signala koji imaju konačnu energiju. Istovremeno, potreba za takvom analizom često se javlja za periodične signale, koji teoretski imaju beskonačnu energiju, ali konačnu prosječnu snagu. U ovom slučaju, ACF i CCF se izračunavaju usrednjavanjem tokom perioda i imaju značenje prosječne snage (ili vlastite ili uzajamne). Dakle, ACF periodičnog signala je:

, (2.66)

i međukorelacijskom funkcijom dva periodična signala s više perioda:

, (2.67)

gdje je najveća vrijednost perioda.

Nađimo funkciju autokorelacije harmonijski signal

,

gdje je kružna frekvencija i početna faza.

Zamjenom ovog izraza u (2.66) i izračunavanjem integrala koristeći poznatu trigonometrijsku relaciju:

.

Iz razmatranog primjera možemo izvući sljedeće zaključke, koji vrijede za svaki periodični signal.

1. ACF periodičnog signala je periodična funkcija sa istim periodom.

2. ACF periodičnog signala je parna funkcija argumenta.

3. Kada vrijednost predstavlja prosječnu snagu koja se oslobađa pri otporu od 1 ohma i ima dimenziju.

4. ACF periodičnog signala ne sadrži informacije o početnoj fazi signala.

Takođe treba napomenuti da je interval korelacije periodičnog signala.

Sada izračunajmo funkciju unakrsne korelacije dva harmonijska signala istu frekvenciju, ali se razlikuju po amplitudama i početnim fazama

i .

Funkcije korelacije signala koriste se za integralne kvantitativne procjene oblika signala i stepena njihove međusobne sličnosti.

Autokorelacijske funkcije (ACF) signala (korelacione funkcije, CF). Primijenjeno na determinističkih signala sa konačnom energijom, ACF je kvantitativna integralna karakteristika oblika signala i predstavlja integral proizvoda dvije kopije signala s(t), pomjerenih jedna u odnosu na drugu za vrijeme t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Kao što slijedi iz ovog izraza, ACF je skalarni proizvod signala i njegove kopije u funkcionalna zavisnost od vrijednosti varijable pomaka t. Prema tome, ACF ima fizičku dimenziju energije, a pri t = 0 vrijednost ACF je direktno jednaka energiji signala:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

ACF funkcija je kontinuirana i ravnomjerna. Ovo posljednje je lako provjeriti zamjenom varijable t = t-t u izrazu (2.25):

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2,25")

Uzimajući u obzir paritet, grafički prikaz ACF-a se proizvodi samo za pozitivne vrijednosti t. U praksi se signali obično specificiraju u intervalu pozitivnih vrijednosti argumenata od 0-T. Znak +t u izrazu (2.25) znači da kako se vrijednosti t povećavaju, kopija signala s(t+t) se pomiče ulijevo duž t ose i prelazi 0, što zahtijeva odgovarajuće proširenje signal u područje negativnih vrijednosti argumenta. A kako je u proračunima interval za specificiranje t po pravilu mnogo manji od intervala za specificiranje signala, praktičnije je kopiju signala pomjeriti ulijevo duž ose argumenta, tj. koristeći funkciju s(t-t) umjesto s(t+t) u izrazu (2.25).

Kako se povećava vrijednost pomaka t za konačne signale, privremeno preklapanje signala sa njegovom kopijom se smanjuje i skalarni proizvod teži nuli.

Primjer. Na intervalu (0,T) pravokutni impuls sa amplitudna vrijednost, jednako A. Izračunajte autokorelacione funkcije impulsa.

Kada se kopija impulsa pomakne duž t ose udesno, na 0≤t≤T signali se preklapaju u intervalu od t do T. Točkasti proizvod:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Prilikom pomjeranja kopije pulsa ulijevo, na -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

Na |t| > T signal i njegova kopija nemaju presečne tačke i skalarni proizvod signala je nula (signal i njegova pomerena kopija postaju ortogonalni).

Sumirajući proračune, možemo napisati:

B s (t) = .

U slučaju periodičnih signala, ACF se izračunava za jedan period T, sa usrednjavanjem skalarnog proizvoda i njegove pomerene kopije unutar perioda:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

Kod t=0, vrijednost ACF u ovom slučaju nije jednaka energiji, već prosječnoj snazi ​​signala unutar intervala T. ACF periodičnih signala je također periodična funkcija sa istim periodom T. Za jednotonski harmonijski signal, to je očigledno. Prva maksimalna ACF vrijednost će odgovarati t=0. Kada se kopija signala pomakne za četvrtinu perioda u odnosu na original, funkcije integranda postaju ortogonalne jedna prema drugoj (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) i daju null vrijednost AKF. Kada se pomakne za t=T/2, kopija signala postaje suprotno smjeru od samog signala i skalarni proizvod dostiže minimalna vrijednost. Daljnjim povećanjem pomaka počinje obrnuti proces povećanja vrijednosti skalarnog proizvoda, prelazeći nulu pri t=3T/2 i ponavljajući maksimalnu vrijednost pri t=T=2p/w o (cos w o t-2p kopije º cos w o t signala). Sličan proces se odvija za periodične signale proizvoljnog oblika (slika 2.11).

Imajte na umu da dobijeni rezultat ne zavisi od početna faza harmonijski signal, koji je tipičan za sve periodične signale i jedno je od svojstava ACF-a.

Za signale date u određenom intervalu, ACF se izračunava uz normalizaciju na dužinu intervala:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Autokorelacija signala može se procijeniti i funkcijom koeficijenata autokorelacije, koji se izračunavaju pomoću formule (na osnovu centriranih signala):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Funkcija unakrsne korelacije (CCF) signala (cross-correlation function, CCF) pokazuje i stepen sličnosti u obliku dva signala i njihov međusobnog dogovora jedan u odnosu na drugi duž koordinata (nezavisna varijabla), za koje se koristi ista formula (2.25) kao i za ACF, ali ispod integrala postoji proizvod dva različita signala, od kojih je jedan pomaknut za vrijeme t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

Prilikom zamjene varijable t = t-t u formuli (2.4.3) dobijamo:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Rice. 2.12. Signali i VKF

Iz toga slijedi da uvjet parnosti nije zadovoljen za CCF, a CCF vrijednosti ne moraju imati maksimum na t = 0. To se jasno može vidjeti na Sl. 2.12, gdje su data dva identična signala sa centrima u tačkama 0,5 i 1,5. Proračun po formuli (2.27) sa postepenim povećanjem t vrijednosti znači uzastopne pomake signala s2(t) ulijevo duž vremenske ose (za svaku vrijednost s1(t), vrijednosti s2(t+ t) uzimaju se za množenje integrala).

Pri t=0 signali su ortogonalni i vrijednost B 12 (t)=0. Maksimum B 12 (t) će se uočiti kada se signal s2(t) pomakne ulijevo za vrijednost t=1, pri čemu su signali s1(t) i s2(t+t) potpuno kombinovani. Prilikom izračunavanja vrijednosti B 21 (-t), sličan proces se izvodi uzastopnim pomicanjem signala s1(t) udesno duž vremenske ose uz postupno povećanje negativnih vrijednosti t, a prema tome i vrijednosti B 21 (-t) su zrcalni (u odnosu na osu t=0) prikaz vrijednosti B 12 (t), i obrnuto. Na sl. 2.13 ovo se može jasno vidjeti.

Rice. 2.13. Signali i VKF

Dakle, izračunati puna forma VCF numerička osa t mora uključivati ​​negativne vrijednosti, a promjena predznaka t u formuli (2.27) je ekvivalentna preuređivanju signala.

Za periodične signale koncept CCF se obično ne primjenjuje, s izuzetkom signala sa istim periodom, na primjer, ulaznih i izlaznih signala sistema kada se proučavaju karakteristike sistema.

Funkcija koeficijenata unakrsne korelacije dva signala izračunava se po formuli (na osnovu centriranih signala):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Vrijednost koeficijenata unakrsne korelacije može varirati od -1 do 1.