Podsjetimo prvo da je slučajna varijabla R je ravnomerno raspoređeno u intervalu (0,1), tada su njegovo matematičko očekivanje i varijansa jednaki (vidi Poglavlje XII, § 1, napomena 3):
M(R)= 1/2, (*)
D(R)= 1/2. (**)
Hajde da napravimo sumu P nezavisne slučajne varijable ravnomjerno raspoređene u intervalu (0,1) R j(j=1, 2, ...,n):
Da bismo normalizirali ovaj zbir, prvo ćemo pronaći njegovo matematičko očekivanje i varijansu.
Poznato je da je matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako zbiru matematičkih očekivanja termina. Iznos (***) sadrži P termini, od kojih je matematičko očekivanje svakog zbog (*) jednako 1/2; prema tome, matematičko očekivanje sume ( *** )
Poznato je da je varijansa zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka zbiru varijansi članova. Iznos (***) sadrži n nezavisni članovi, od kojih je disperzija svakog, na osnovu (**), jednaka 1/12; dakle varijansa sume (***)
Otuda standardna devijacija sume (***)
Normalizirajmo iznos koji se razmatra, za koji oduzimamo matematičko očekivanje i podijelimo rezultat sa standardnom devijacijom:
Na osnovu središnje granične teoreme, kada p→∞ distribucija ove normalizovane slučajne varijable teži normalnoj sa parametrima a= 0 i σ=1. U finalu P distribucija je približno normalna. Konkretno, kada P= 12 dobijamo prilično dobru i pogodnu aproksimaciju za proračune
Pravilo. Da odigramo moguću vrijednost x i normalna slučajna varijabla X sa parametrima a=0 i σ=1, potrebno je da dodate 12 nezavisnih slučajnih brojeva i od dobijenog zbroja oduzmete 6:
primjer, a) Pustite 100 mogućih vrijednosti normalne vrijednosti X sa parametrima a=0 i σ=1; b) procijeniti parametre odigrane vrijednosti.
Rješenje. a) Odaberimo 12 nasumičnih brojeva iz prvog reda tabele *), saberimo ih i oduzmimo 6 od rezultirajućeg zbira; na kraju imamo
x i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.
Slično, odabirom prvih 12 brojeva iz svakog sljedećeg reda tabele, naći ćemo preostale moguće vrijednosti X.
b) Nakon izvršenih proračuna dobijamo tražene procjene:
Zadovoljavajuće ocjene: A* blizu nule, σ* se malo razlikuje od jedinice.
Komentar. Ako želite igrati moguću vrijednost z i, normalna slučajna varijabla Z sa matematickim ocekivanjem A i standardnu devijaciju σ , zatim, odigravši prema pravilu ovog stava moguću vrijednost xi, pronađite željenu moguću vrijednost koristeći formulu
z i =σx i +a.
Ova formula se dobija iz relacije ( z i -a)/σ=x i.
Zadaci
1. Pustite 6 vrijednosti diskretne slučajne varijable X,čiji je zakon raspodjele dat u obliku tabele
| X | 3,2 | ||
| str | 0,18 | 0,24 | 0,58 |
Bilješka. Da budemo sigurni, pretpostavimo da su odabrani slučajni brojevi: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Rep. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.
2. Igrajte 4 pokušaja, svaki sa vjerovatnoćom da se dogodi neki događaj A jednako 0,52.
Bilješka. Da budemo sigurni, pretpostavimo da su odabrani slučajni brojevi: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.
Rep. A, , .
3. Date su vjerovatnoće tri događaja koji čine kompletnu grupu: R(A 1)=0,20, R(A 2)=0,32, R(A 3)= 0,48. Igrajte 6 izazova, u svakom od kojih se pojavljuje jedan od datih događaja.
Bilješka. Da bismo bili sigurni, pretpostavimo da su odabrani slučajni brojevi: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.
Rep. A 3,A 1 ,A 2 ,A 2 ,A 3,A 2 .
4. Događaji A i B nezavisni i saradnički. Igrajte 5 izazova, svaki sa vjerovatnoćom da se dogodi neki događaj A je jednako 0,5 i događaji IN- 0,8.
A 1 =AB, radi sigurnosti, uzmite nasumične brojeve: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.
Rep. A 1 ,A 2 ,A 2 ,A 1 ,A 3.
5. Događaji A, B, C nezavisni i saradnički. Igrajte 4 testa u svakom od kojih su date vjerovatnoće nastanka događaja: R(A)= 0,4, R(IN)= 0,6, R(WITH)= 0,5.
Bilješka. Sastavite kompletnu grupu događaja: za sigurnost pretpostavite da su odabrani slučajni brojevi: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.
Odgovor A 1 ,A 8,A 4,A 4.
6. Događaji A I IN zavisne i kooperativne. Igrajte 4 testa, od kojih svaki ima date vjerovatnoće: R(A)=0,7, R(IN)=0,6, R(AB)=0,4.
Bilješka. Kreirajte kompletnu grupu događaja: A 1 =AB, radi sigurnosti, uzmite nasumične brojeve: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.
Rep. A 1 , A 2 , A 4 , A 3 .
7. Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, koji je raspoređen prema eksponencijalnom zakonu i specificiran funkcijom raspodjele F(X)= 1 - e -10 x .
Bilješka. Da budemo sigurni, pretpostavimo da su odabrani slučajni brojevi: 0,67; 0,79; 0.91.
Rep. 0,04; 0,02; 0,009.
8. Pustite 4 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (6,14).
Bilješka. Radi određenosti, pretpostavimo da su odabrani slučajni brojevi: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.
Rep. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.
9. Pronađite eksplicitne formule za reprodukciju kontinuirane slučajne varijable koristeći metodu superpozicije X, datu funkciju distribucije
F(x)=1- (1/3)(2e- 2 x +e -3 x:), 0<X<∞.
Rep. x= - (1/2)1p r 2 ako r 1 < 2/3; X= - (1/3)1p r 2 ako r 1 ≥2/3.
10. Pronađite eksplicitnu formulu za reprodukciju kontinuirane slučajne varijable X, data gustina vjerovatnoće f(X)=b/(1 +sjekira) 2 u intervalu 0≤ x≤1/(b-a); izvan ovog intervala f(x)=0.
Rep. x i= - r i/(b - ar i).
11. Pustite 2 moguće vrijednosti normalne slučajne varijable sa parametrima: a) A=0, σ =1; b) A =2, σ =3.
Bilješka. Radi sigurnosti, prihvatite nasumične brojeve (broj stotinki je naveden ispod; na primjer, broj 74 odgovara slučajnom broju r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.
Rep. A) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.
Poglavlje dvadeset drugo
Neka je potrebno igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti (i=1, 2, ..., n), znajući funkciju raspodjele F(x).
Teorema. Ako je slučajni broj, tada je moguća vrijednost reprodukovane kontinuirane slučajne varijable X sa datom funkcijom distribucije F (x), koja odgovara , korijen jednadžbe.
Pravilo 1. Da biste pronašli moguću vrijednost, kontinuirana slučajna varijabla X, znajući njenu funkciju distribucije F (x), potrebno je odabrati slučajni broj, izjednačiti njegovu funkciju raspodjele i riješiti rezultirajuću jednadžbu.
Napomena 1. Ako ovu jednačinu nije moguće riješiti eksplicitno, onda pribjegavajte grafičkim ili numeričkim metodama.
Primjer 1. Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređene u intervalu (2, 10).
Rješenje: Napišimo funkciju distribucije vrijednosti X, ravnomjerno raspoređenu u intervalu (a, b): .
Prema uslovu, a=2, b=10, dakle, .
Koristeći pravilo 1, napisat ćemo jednačinu za pronalaženje mogućih vrijednosti, za koju ćemo izjednačiti funkciju distribucije sa slučajnim brojem:
Odavde .
Odaberimo 3 nasumična broja, na primjer, . Zamenimo ove brojeve u jednačinu rešenu u odnosu na ; Kao rezultat, dobijamo odgovarajuće moguće vrijednosti X: ; ; .
Primjer 2. Kontinuirana slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom raspodjele (parametar je poznat) (x > 0). Moramo pronaći eksplicitnu formulu za igranje mogućih vrijednosti X.
Rješenje: Koristeći pravilo, pišemo jednačinu.
Hajde da riješimo ovu jednačinu za: , ili .
Slučajni broj je sadržan u intervalu (0, 1); dakle, broj je takođe slučajan i pripada intervalu (0,1). Drugim riječima, vrijednosti R i 1-R su jednako raspoređene. Stoga, da biste ga pronašli, možete koristiti jednostavniju formulu.
Napomena 2. Poznato je da .
Posebno, .
Iz toga slijedi da ako je gustina vjerovatnoće poznata, onda da se igra X, umjesto jednačina, može se riješiti jednačina .
Pravilo 2. Da bi se pronašla moguća vrijednost kontinuirane slučajne varijable X, znajući njenu gustinu vjerovatnoće, potrebno je odabrati slučajni broj i za njega riješiti jednačinu ili jednačinu, gdje je a najmanja konačna moguća vrijednost X.
Primjer 3. Zadana je gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X u intervalu; izvan ovog intervala. Moramo pronaći eksplicitnu formulu za igranje mogućih vrijednosti X.
Rješenje: Zapišimo jednačinu u skladu s pravilom 2.
Nakon izvođenja integracije i rješavanja rezultirajuće kvadratne jednadžbe za , konačno ćemo ga dobiti.
18.7 Približna igra normalne slučajne varijable
Podsjetimo prvo da ako je slučajna varijabla R ravnomjerno raspoređena u intervalu (0, 1), tada su njeno matematičko očekivanje i varijansa jednaki: M(R)=1/2, D(R)=1/12.
Hajde da sastavimo zbir n nezavisnih, ravnomerno raspoređenih slučajnih varijabli u intervalu (0, 1): .
Da bismo normalizirali ovaj zbir, prvo ćemo pronaći njegovo matematičko očekivanje i varijansu.
Poznato je da je matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako zbiru matematičkih očekivanja termina. Zbir sadrži n članova, od kojih je matematičko očekivanje svakog od njih, zbog M(R) = 1/2, jednako 1/2; dakle, matematičko očekivanje sume
Poznato je da je varijansa zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka zbiru varijansi članova. Zbir sadrži n nezavisnih članova, od kojih je varijansa svakog, zbog D(R) = 1/12, jednaka 1/12; dakle, varijansa sume
Otuda standardna devijacija sume
Hajde da normalizujemo iznos koji se razmatra, za koji oduzimamo matematičko očekivanje i podelimo rezultat sa standardnom devijacijom: .
Na osnovu centralne granične teoreme, distribucija ove normalizovane slučajne varijable teži normalnoj sa parametrima a = 0 i . Za konačno n, raspodjela je približno normalna. Konkretno, za n=12 dobijamo prilično dobru i pogodnu aproksimaciju za proračune.
Procjene su zadovoljavajuće: blizu nule, malo drugačije od jedinice.
Spisak korištenih izvora
1. Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. – M.: Viša škola, 2001.
2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Math statistics. – M.: Viša škola, 2001.
3. Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. – M.: Viša škola, 2001.
4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. – M.:FORUM:INFRA-M, 2003.
5. Agapov G.I. Knjiga zadataka o teoriji vjerovatnoće. – M.: Viša škola, 1994.
6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. – M.: INFRA-M, 2001.
7. Ventzel E.S. Teorija vjerovatnoće. – M.: Viša škola, 2001.
Definicija 24.1.Slučajni brojevi imenovati moguće vrijednosti r kontinuirana slučajna varijabla R, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (0; 1).
1. Reprodukcija diskretne slučajne varijable.
Pretpostavimo da želimo igrati diskretnu slučajnu varijablu X, odnosno dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti, poznavajući zakon raspodjele X:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r p .
Razmotrite slučajnu varijablu ravnomjerno raspoređenu u (0, 1) R i podijeliti interval (0, 1) tačkama sa koordinatama R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r p-1 uključeno P parcijalni intervali čije su dužine jednake vjerovatnoćama sa istim indeksima.
Teorema 24.1. Ako se svakom nasumičnom broju koji padne u interval dodijeli moguća vrijednost, tada će vrijednost koja se igra ima dati zakon raspodjele:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r p .
Dokaz.
Moguće vrijednosti rezultirajuće slučajne varijable poklapaju se sa skupom X 1 , X 2 ,… x n, pošto je broj intervala jednak P, i kada je pogođen r j u intervalu, slučajna varijabla može uzeti samo jednu od vrijednosti X 1 , X 2 ,… x n.
Jer R je ravnomjerno raspoređena, tada je vjerovatnoća da padne u svaki interval jednaka njegovoj dužini, što znači da svaka vrijednost odgovara vjerovatnoći p i. Dakle, slučajna varijabla koja se igra ima dati zakon raspodjele.
Primjer. Pustite 10 vrijednosti diskretne slučajne varijable X, čiji zakon raspodjele ima oblik: X 2 3 6 8
R 0,1 0,3 0,5 0,1
Rješenje. Podijelimo interval (0, 1) na parcijalne intervale: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Zapišimo 10 brojeva iz tabele slučajnih brojeva: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Prvi i sedmi broj leže na intervalu D 1, stoga je u ovim slučajevima slučajna varijabla koja se igra poprimila vrijednost X 1 = 2; treći, četvrti, osmi i deseti broj su upali u interval D 2, što odgovara X 2 = 3; drugi, peti, šesti i deveti broj su bili u intervalu D 3 - u ovom slučaju X = x 3 = 6; U posljednjem intervalu nije bilo brojeva. Dakle, moguće vrijednosti su se odigrale X su: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.
2. Glumljenje suprotnih događaja.
Neka bude potrebno odigrati testove, u svakom od njih po jedan događaj A pojavljuje se sa poznatom vjerovatnoćom R. Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X, uzimajući vrijednost 1 (ako je događaj A dogodilo) sa vjerovatnoćom R i 0 (ako A nije se dogodilo) sa vjerovatnoćom q = 1 – str. Zatim ćemo igrati ovu slučajnu varijablu kao što je predloženo u prethodnom paragrafu.
Primjer. Igrajte 10 izazova, svaki sa događajem A pojavljuje se sa vjerovatnoćom 0,3.
Rješenje. Za slučajnu varijablu X sa zakonom raspodele X 1 0
R 0,3 0,7
dobijamo intervale D 1 – (0; 0,3) i D 2 – (0,3; 1). Koristimo isti uzorak slučajnih brojeva kao u prethodnom primjeru, za koji brojevi br. 1, 3 i 7 spadaju u interval D 1, a ostali - u interval D 2. Stoga možemo pretpostaviti da je događaj A dogodio se u prvom, trećem i sedmom ispitivanju, ali se nije dogodio u preostalim ispitivanjima.
3. Odigravanje kompletne grupe događaja.
Ako događaji A 1 , A 2 , …, A str, čije su vjerovatnoće jednake R 1 , R 2 ,… r p, formiraju kompletnu grupu, a zatim za igru (tj. modeliranje slijeda njihovog pojavljivanja u nizu testova) možete igrati diskretnu slučajnu varijablu X sa zakonom raspodele X 1 2 … P, učinivši to na isti način kao u tački 1. U isto vrijeme vjerujemo da
r r 1 R 2 … r p
Ako X poprima vrednost x i = i, tada se u ovom testu dogodio događaj A i.
4. Igranje kontinuirane slučajne varijable.
a) Metoda inverznih funkcija.
Pretpostavimo da želimo igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, odnosno dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i = 1, 2, …, n), znajući funkciju distribucije F(x).
Teorema 24.2. Ako r i je slučajni broj, zatim moguća vrijednost x i igrao kontinuiranu slučajnu varijablu X sa datom funkcijom distribucije F(x), odgovarajući r i, je korijen jednadžbe
F(x i) = r i. (24.1)
Dokaz.
Jer F(x) monotono raste u intervalu od 0 do 1, tada postoji (i jedinstvena) vrijednost argumenta x i, pri čemu funkcija distribucije uzima vrijednost r i. To znači da jednačina (24.1) ima jedinstveno rješenje: x i= F -1 (r i), Gdje F-1 - funkcija inverzna od F. Dokažimo da je korijen jednadžbe (24.1) moguća vrijednost slučajne varijable koja se razmatra X. Pretpostavimo prvo to x i je moguća vrijednost neke slučajne varijable x, i dokazujemo da je vjerovatnoća da x padne u interval ( s, d) je jednako F(d) – F(c). Zaista, zbog monotonosti F(x) i to F(x i) = r i. Onda
Dakle, vjerovatnoća da x padne u interval ( c, d) jednak je prirastu funkcije distribucije F(x) na ovom intervalu, dakle, x = X.
Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (5; 8).
F(x) = , odnosno potrebno je riješiti jednačinu.Izaberemo 3 slučajna broja: 0,23; 0,09 i 0,56 i zamijenite ih u ovu jednačinu. Hajde da dobijemo odgovarajuće moguće vrednosti X:
b) Metoda superpozicije.
Ako se funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra može predstaviti kao linearna kombinacija dvije funkcije distribucije:
onda, od kada X®¥ F(x) ® 1.
Hajde da uvedemo pomoćnu diskretnu slučajnu varijablu Z sa zakonom raspodele
Z 12 . Odaberimo 2 nezavisna slučajna broja r 1 i r 2 i igrajte moguće
p C 1 C 2
značenje Z po broju r 1 (vidi tačku 1). Ako Z= 1, onda tražimo željenu moguću vrijednost X iz jednačine, i ako Z= 2, tada rješavamo jednačinu .
Može se dokazati da je u ovom slučaju funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra jednaka datoj funkciji distribucije.
c) Približna igra normalne slučajne varijable.
Od za R, jednoliko raspoređen u (0, 1), zatim za zbir P nezavisne, ravnomerno raspoređene slučajne varijable u intervalu (0,1). Zatim, na osnovu središnje granične teoreme, normalizirana slučajna varijabla na P® ¥ će imati distribuciju blisku normalnoj, sa parametrima A= 0 i s =1. Konkretno, prilično dobra aproksimacija se dobija kada P = 12:
Dakle, da se odigra moguća vrijednost normalizirane normalne slučajne varijable X, trebate dodati 12 nezavisnih nasumičnih brojeva i od zbroja oduzeti 6.
Od svih slučajnih varijabli, najlakša za igranje (model) je ravnomjerno raspoređena varijabla. Pogledajmo kako se to radi.
Uzmimo neki uređaj čiji će izlaz vjerovatno sadržavati brojeve 0 ili 1; pojavljivanje jednog ili drugog broja mora biti nasumično. Takav uređaj može biti bačeni novčić, kocka (parno - 0, neparno - 1) ili specijalni generator koji se bazira na brojanju broja radioaktivnih raspada ili rafala radiošuma u određenom vremenu (parno ili neparno).
Zapišimo y kao binarni razlomak i zamijenimo uzastopne znamenke brojevima koje proizvede generator: na primjer, . Budući da prva cifra može sadržavati 0 ili 1 sa jednakom vjerovatnoćom, ovaj broj će jednako vjerovatno ležati u lijevoj ili desnoj polovini segmenta. Pošto su u drugoj cifri 0 i 1 takođe jednako verovatni, broj leži sa jednakom verovatnoćom u svakoj polovini ovih polovina, itd. To znači da binarni razlomak sa slučajnim znamenkama zaista poprima bilo koju vrednost na intervalu sa jednakom verovatnoćom
Strogo govoreći, može se igrati samo konačan broj cifara k. Stoga distribucija neće biti u potpunosti potrebna; matematičko očekivanje će biti manje od 1/2 za vrijednost (jer je vrijednost moguća, ali vrijednost je nemoguća). Da biste spriječili da ovaj faktor utiče na vas, trebali biste uzeti višecifrene brojeve; Istina, u metodi statističkog testiranja, tačnost odgovora obično ne prelazi 0,1% -103, a uslov daje da je na savremenim računarima premašena sa velikom marginom.
Pseudoslučajni brojevi. Stvarni generatori slučajnih brojeva nisu oslobođeni sistematskih grešaka: asimetrija novčića, nulti pomak, itd. Stoga se kvalitet brojeva koje proizvode provjerava posebnim testovima. Najjednostavniji test je izračunavanje učestalosti pojavljivanja nule za svaku cifru; ako je frekvencija primjetno drugačija od 1/2, onda postoji sistematska greška, a ako je preblizu 1/2, onda brojevi nisu slučajni - postoji neka vrsta uzorka. Složeniji testovi su izračunavanje koeficijenata korelacije uzastopnih brojeva
ili grupe cifara unutar broja; ovi koeficijenti bi trebali biti blizu nule.
Ako niz brojeva zadovoljava ove testove, onda se može koristiti u proračunima pomoću metode statističkog testa, a da se ne zanima za njegovo porijeklo.
Razvijeni su algoritmi za konstruisanje takvih sekvenci; oni su simbolički napisani ponavljajućim formulama
Takvi brojevi se nazivaju pseudoslučajni i izračunavaju se na računaru. To je obično praktičnije nego korištenje posebnih generatora. Ali svaki algoritam ima svoj ograničeni broj termina sekvence koji se mogu koristiti u proračunima; s većim brojem pojmova gubi se slučajna priroda brojeva, na primjer, otkriva se periodičnost.
Prvi algoritam za dobijanje pseudoslučajnih brojeva predložio je Neumann. Uzmimo broj od cifara (da budemo precizni, decimalni) i kvadriramo ga. Ostavićemo srednje cifre kvadrata, odbacujući poslednju i (ili) prvu. Dobijeni broj ponovo kvadriramo, itd. Vrijednosti se dobijaju množenjem ovih brojeva sa Na primjer, postavimo i izaberemo početni broj 46; onda dobijamo
Ali raspodjela Neumannovih brojeva nije dovoljno ujednačena (vrijednosti preovlađuju, što se jasno vidi u datom primjeru), a sada se rijetko koriste.
Najčešći algoritam koji se sada koristi je jednostavan i dobar algoritam povezan s odabirom razlomka proizvoda
gdje je A vrlo velika konstanta (kovrdžava zagrada označava razlomački dio broja). Kvalitet pseudoslučajnih brojeva snažno zavisi od izbora vrednosti A: ovaj broj u binarnom zapisu mora biti dovoljno „slučajan“ iako njegovu poslednju znamenku treba uzeti kao jednu. Vrijednost ima mali utjecaj na kvalitetu sekvence, ali je primjećeno da neke vrijednosti ne uspijevaju.
Koristeći eksperimente i teorijsku analizu, proučavane su i preporučene sljedeće vrijednosti: za BESM-4; za BESM-6. Za neke američke računare ovi brojevi su preporučeni i povezani su sa brojem cifara u mantisi i redosledom broja, tako da su različiti za svaki tip računara.
Napomena 1. U principu, formule kao što je (54) mogu dati vrlo duge dobre nizove ako su napisane u jednom ponavljajućem obliku i sva množenja se izvode bez zaokruživanja. Konvencionalno zaokruživanje na kompjuteru degradira kvalitet pseudoslučajnih brojeva, ali su ipak članovi niza obično prikladni.
Napomena 2. Kvalitet sekvence se poboljšava ako se male slučajne smetnje uvedu u algoritam (54); na primjer, nakon normalizacije broja, korisno je poslati binarni redoslijed broja do posljednjih binarnih znamenki njegove mantise
Strogo govoreći, obrazac pseudoslučajnih brojeva trebao bi biti nevidljiv u odnosu na potrebnu određenu primjenu. Stoga se u jednostavnim ili dobro formuliranim problemima mogu koristiti sekvence ne baš dobre kvalitete, ali su potrebne posebne provjere.
Slučajna distribucija. Da biste igrali slučajnu varijablu s neujednačenom distribucijom, možete koristiti formulu (52). Igrajmo y i odredimo iz jednakosti
Ako se integral uzme u svom konačnom obliku i formula je jednostavna, onda je ovo najpovoljnija metoda. Za neke važne distribucije – Gaussovu, Poissonovu – nisu uzeti odgovarajući integrali i razvijene su posebne metode sviranja.
