Transformimet e valëve (ose transformimet diskrete të valëve) përdoren kryesisht për analizën e sinjaleve jo-stacionare dhe për shumë probleme të këtij lloji janë më efikase se transformimi Furier.

Transformimi Furier e zbërthen sinjalin në komponentë në formë sinusi dhe kosinusi, d.m.th. funksionet e lokalizuara në hapësirën Fourier; përkundrazi, transformimi i valëzimit mund të shprehet me transformimin integral (1.40), ku simboli i mohimit do të thotë konjugacion kompleks dhe është një funksion. Funksioni mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, por duhet të kënaqet rregulla të caktuara.

Siç mund ta shihni, transformimi i valëve është në fakt një grup i pafund transformime të ndryshme në varësi të funksionit të vlerësimit që përdoret për llogaritjen e tij. Ju mund të përdorni valëza ortogonale për të zhvilluar një transformim diskret të valëzimit dhe valë valësh jo-ortagonale për të zhvilluar një të vazhdueshme. Këto dy lloje transformimesh kanë vetitë e mëposhtme:

1. Transformimi i valëzuar diskrete kthen një vektor të dhënash me të njëjtën gjatësi si hyrja. Zakonisht, edhe në këtë vektor, shumë të dhëna janë pothuajse zero. Kjo korrespondon me faktin se ai zbërthehet në një grup valësh (funksionesh) që janë ortogonale me përkthimin dhe shkallëzimin e tyre paralel. Prandaj, ne zbërthejmë një sinjal të ngjashëm në të njëjtin ose numër më i vogël koeficientët e spektrit të valëve, që është numri i pikave të të dhënave të sinjalit. Një spektër i ngjashëm valëzues është i zbatueshëm për përpunimin dhe kompresimin e sinjalit, për shembull, pasi këtu nuk marrim ndonjë informacion të tepërt.

2. Transformimi i valetë vale të vazhdueshme, nga ana tjetër, kthen një grup një dimension më të madh se të dhënat hyrëse. Për të dhënat njëdimensionale, marrim një imazh të planit kohë-frekuencë. Ju mund të gjurmoni lehtësisht ndryshimin në frekuencat e sinjalit gjatë kohëzgjatjes së sinjalit dhe ta krahasoni këtë spektër me spektrat e sinjaleve të tjera. Meqenëse këtu përdoret një grup valësh jo ortogonale, të dhënat janë shumë të ndërlidhura dhe kanë shumë tepricë. Kjo ndihmon për të parë rezultatin në një formë më afër perceptimit njerëzor.

Transformimi i valëzuar diskrete

Transformimi i valëzimit diskret (DWT) është një zbatim i një transformimi valëzues duke përdorur një grup diskrete të shkallëve dhe përkthimeve të valëve që i binden disa rregullave specifike. Me fjalë të tjera, ky transformim zbërthen sinjalin në një grup reciprokisht ortogonal valësh, i cili është ndryshimi kryesor nga transformimi i valëve vale të vazhdueshme (CWT), ose zbatimi i tij për seritë kohore diskrete, ndonjëherë i quajtur transformimi i valëve të vazhdueshme në kohë diskrete (DT -CWT).

Siç u tregua më parë, një valë valësh mund të ndërtohet nga një funksion i shkallës që përshkruan vetitë e tij të shkallëzueshmërisë. Kufizimi që funksioni i shkallës duhet të jetë ortogonal me të tijën transformime diskrete, nënkupton disa kufizime matematikore për to, të cilat përmenden kudo, d.m.th. ekuacioni homotetik

ku është faktori i shkallës (zakonisht i zgjedhur si 2).

Për më tepër, zona nën funksion duhet të normalizohet dhe funksioni i shkallëzimit duhet të jetë ortogonal me përkthimet e tij numerike, d.m.th.

Pas prezantimit të disa kushte shtesë(sepse kufizimet e mësipërme nuk çojnë në e vetmja zgjidhje) mund të merret rezultati i të gjitha këtyre ekuacioneve, d.m.th. një grup i kufizuar koeficientësh që përcaktojnë funksionin e shkallëzimit si dhe valëzimin. Vala e valës merret nga funksioni i shkallëzimit si ku është një numër i plotë çift. Më pas grupi i valëve formon një bazë ortogonale, të cilën e përdorim për të zbërthyer sinjalin. Duhet të theksohet se zakonisht disa koeficientë do të jenë jo zero, gjë që thjeshton llogaritjet.

Në fig. 2.1 tregon disa funksione të shkallëzimit dhe valëzimet. Familja më e famshme e valëve ortonormale është familja Daubechies. Valët e tij zakonisht shënohen me numrin e koeficientëve jozero, kështu që zakonisht flasim për valë valët Daubechies 4, Daubechies 6 (4 dhe 6 do të thotë rend i valëzimit), etj. Përafërsisht, me rritjen e numrit të koeficientëve, funksionet e valëve bëhen më të buta. Një tjetër nga valët e përmendura - valëzimi më i thjeshtë Haara që përdor valë katrore si një funksion shkallëzues.

Funksioni i shkallëzimit Haar dhe valëzimi (majtas) dhe komponentët e tyre të frekuencës (djathtas)

Funksioni dhe valëzimi i shkallëzimit Daubechies 4 (majtas) dhe përbërësit e tyre të frekuencës (djathtas)

Funksioni i shkallëzimit të Daubechies 20 dhe valëzimi (majtas) dhe komponentët e tyre të frekuencës (djathtas). 2.1

Dallimi kryesor i transformimit të valëzimit është zbërthimi i të dhënave jo nga sinusoidet (si për transformimin Fourier), por nga funksione të tjera të quajtura gjeneratorë të valëve. Funksionet e formimit të valëve, në kontrast me sinusoidet pafundësisht lëkundëse, janë të lokalizuara në një zonë të kufizuar të argumentit të tyre, dhe larg tij ato janë të barabarta me zero ose të papërfillshme. Një shembull i një funksioni të tillë, i quajtur "kapelë meksikane", është paraqitur në Fig. 2.2.

Figura 2.2 Krahasimi i funksionit sinusoid dhe wavelet

Tema Transformimet e valëve.

Ligjërata 6-8

funksionet e shkallëzimit. Transformimi i valëzimit ortogonal, i vazhdueshëm dhe diskret.

Probleme të vlerësimit dhe të përafrimit. Transformimet e valëve dydimensionale dhe shumëdimensionale dhe përpunimi i imazhit (heqja e zhurmës, përpunimi i imazheve raster).

Paraqitje në shumë shkallë të sipërfaqeve për analizën e valëve. Kompresimi i valëve të sinjaleve, imazheve, imazheve video.

Transformimi i valëve të sinjaleve është një përgjithësim i analizës spektrale, një përfaqësues tipik i së cilës është transformimi klasik Furier. Termi "wavelet" (valëzimi) në përkthim nga anglishtja do të thotë "valë e vogël (e shkurtër)". Valët janë një emër i përgjithësuar për familjet e funksioneve matematikore të një forme të caktuar, të cilat janë lokale në kohë dhe frekuencë, dhe në të cilat të gjitha funksionet merren nga një bazë (gjeneruese) me anë të zhvendosjeve dhe shtrirjeve të tij përgjatë boshtit kohor. Transformimet e valëve marrin në konsideratë funksionet e analizuara të kohës në terma të lëkundjeve të lokalizuara në kohë dhe frekuencë. Si rregull, transformimet e valëve (WT) ndahen në diskrete (DWT) dhe të vazhdueshme (CWT).

DWT përdoret për transformimin dhe kodimin e sinjalit, CWT për analizën e sinjalit. Transformimet e valëve janë aktualisht duke u adoptuar për një shumëllojshmëri të gjerë aplikimesh, duke zëvendësuar shpesh transformimin konvencional të Furierit. Kjo shihet në shumë fusha, duke përfshirë dinamikën molekulare, mekanikën kuantike, astrofizikën, gjeofizikën, optikën, grafikën kompjuterike dhe përpunimin e imazheve, analizën e ADN-së, kërkimin e proteinave, kërkimin e klimës, përpunimin e sinjalit të përgjithshëm dhe njohjen e të folurit.

Analiza e valëve është një lloj i veçantë i transformimit linear të sinjaleve dhe të dhënave fizike. Baza e eigenfunksioneve, sipas të cilave kryhet zbërthimi i valëve të sinjaleve, ka shumë veti dhe aftësi specifike. Funksionet valëzuese të bazës bëjnë të mundur fokusimin në disa veçori lokale të proceseve të analizuara që nuk mund të zbulohen duke përdorur transformimet tradicionale të Fourierit dhe Laplace. Procese të tilla në gjeofizikë përfshijnë fusha të parametrave të ndryshëm fizikë të mediave natyrore. Para së gjithash, kjo ka të bëjë me fushat e temperaturës, presionit, profileve të gjurmëve sizmike dhe sasive të tjera fizike.

Valët kanë formën e paketave me valë të shkurtra me vlerë mesatare zero, të lokalizuara përgjatë boshtit të argumenteve (ndryshore të pavarura), të pandryshueshme në zhvendosje dhe lineare ndaj operacionit të shkallëzimit (ngjeshje/zgjerim). Për sa i përket lokalizimit në kohë dhe paraqitje të frekuencës, valët zënë një pozicion të ndërmjetëm midis funksioneve harmonike të lokalizuara në frekuencë dhe funksionit Dirac të lokalizuar në kohë.

Teoria e valëve nuk është një teori fizike themelore, por ajo ofron një mjet të përshtatshëm dhe efikas për zgjidhjen e shumë problemeve praktike. Fusha kryesore e aplikimit të transformimeve të valëve është analiza dhe përpunimi i sinjaleve dhe funksioneve që janë jo-stacionare në kohë ose johomogjene në hapësirë, kur rezultatet e analizës duhet të përmbajnë jo vetëm përgjigjen e frekuencës së sinjalit (shpërndarja e sinjalit energji mbi komponentët e frekuencës), por edhe informacione për koordinatat lokale në të cilat janë vetë grupe të caktuara të komponentëve të frekuencës ose në të cilat ndryshim i shpejtë komponentët e frekuencës së sinjalit. Krahasuar me zbërthimin e sinjaleve në seritë Fourier, valët janë në gjendje të përfaqësojnë tiparet lokale të sinjaleve me saktësi shumë më të lartë, deri në ndërprerje të llojit të parë (kërcimet). Ndryshe nga transformimet Fourier, transformimi i valëve të sinjaleve njëdimensionale siguron një fshirje dydimensionale, ndërsa frekuenca dhe koordinata konsiderohen si variabla të pavarur, gjë që bën të mundur analizimin e sinjaleve në dy hapësira njëherësh.

Një nga idetë kryesore dhe veçanërisht të frytshme të paraqitjes së valëve të sinjaleve në nivele të ndryshme dekompozimi (zbërthimi) është ndarja e funksioneve të përafrimit të sinjalit në dy grupe: të përafërta - të përafërta, me dinamikë kohore mjaft të ngadaltë të ndryshimeve dhe detajimi - me lokale. dhe dinamika e shpejtë e ndryshimeve kundrejt dinamikës së qetë të sfondit, me fragmentimin dhe detajimin e tyre të mëvonshëm në nivele të tjera të dekompozimit të sinjalit. Kjo është e mundur si në domenin e kohës ashtu edhe në frekuencën e përfaqësimit të sinjalit me valë.

Historia e analizës spektrale shkon prapa tek I. Bernoulli, Euler dhe Fourier, të cilët i pari ndërtuan teorinë e zgjerimit të funksioneve në seri trigonometrike. Megjithatë, ky dekompozim u përdor për një kohë të gjatë si një teknikë matematikore dhe nuk u shoqërua me asnjë koncept fizik. Paraqitjet spektrale u përdorën dhe u zhvilluan nga një rreth relativisht i ngushtë fizikantësh teorikë. Megjithatë, që nga vitet 1920, për shkak të zhvillimit të shpejtë të inxhinierisë radio dhe akustikës, zgjerimet spektrale kanë fituar një kuptim fizik dhe përdorim praktik. Analiza harmonike është bërë mjeti kryesor për analizimin e proceseve reale fizike, dhe transformimi Furier është bërë baza matematikore për analizën. Transformimi Furier zbërthen një proces arbitrar në elementar dridhjet harmonike Me frekuenca të ndryshme, dhe të gjitha vetitë dhe formulat e nevojshme shprehen duke përdorur një funksion bazë exp(jt) ose dy funksione reale sin(t) dhe cos(t). Lëkundjet harmonike janë të përhapura në natyrë, dhe për këtë arsye kuptimi i transformimit Furier është intuitiv, pavarësisht nga analitika matematikore.

Transformimi i Furierit ka një numër karakteristikash të jashtëzakonshme. Fusha e përkufizimit të transformimit është hapësira L 2 e funksioneve të integrueshme katrore dhe shumë procese fizike në natyrë mund të konsiderohen si funksione që i përkasin kësaj hapësire. Për të aplikuar transformimin, janë zhvilluar procedura efikase llogaritëse si transformimi i shpejtë i Furierit (FFT). Këto procedura përfshihen në të gjitha paketat e programeve matematikore të aplikuara dhe zbatohen në harduer në procesorët e sinjalit.

U zbulua gjithashtu se funksionet mund të zgjerohen jo vetëm për sa i përket sinuseve dhe kosinuseve, por edhe për sa i përket sistemeve të tjera të bazës ortogonale, për shembull, polinomet Lezhandre dhe Chebyshev, funksionet Laguerre dhe Hermite. Sidoqoftë, ato morën aplikim praktik vetëm në dekadat e fundit të shekullit të 20-të për shkak të zhvillimit të teknologjisë kompjuterike dhe metodave për sintetizimin e sistemeve dixhitale lineare të përpunimit të të dhënave. Direkt për qëllime të analizës spektrale, funksione të tilla ortogonale nuk kanë gjetur zbatim të gjerë për shkak të vështirësive në interpretimin e rezultateve të marra. Për të njëjtat arsye, funksionet e tipit "valë katrore" të Walsh, Rademacher etj nuk janë zhvilluar në analizën spektrale.

Studime teorike sistemet bazëçoi në krijimin e teorisë së analizës spektrale të përgjithësuar, e cila bëri të mundur vlerësimin e kufijve të zbatimit praktik të analizës spektrale Fourier, krijoi metoda dhe kritere për sintezën e sistemeve me bazë ortogonale. Kjo ilustrohet nga teoria e valëve të funksioneve bazë, e cila është zhvilluar në mënyrë aktive që nga fillimi i viteve 1980. Për shkak të transparencës së interpretimit fizik të rezultateve të analizës, të ngjashme me qasjen e "frekuencës" në transformimin Furier, baza ortogonale e valëve është bërë një mjet popullor dhe efektiv për analizimin e sinjaleve dhe imazheve në akustikë, sizmikë, mjekësi dhe të tjera. fushat e shkencës dhe teknologjisë.

Analiza e valëve është një lloj analize spektrale në të cilën roli i lëkundjeve të thjeshta luhet nga një lloj i veçantë funksioni i quajtur valë valësh. funksioni bazë wavelet është një lëkundje "e shkurtër", por jo vetëm. Koncepti i frekuencës së analizës spektrale zëvendësohet këtu nga shkalla, dhe për të mbuluar të gjithë boshtin kohor me "valë të shkurtra", futet një zhvendosje e funksioneve në kohë. Baza e valëve janë funksione të tipit ((t-b)/a), ku b është zhvendosja dhe është shkalla. Funksioni (t) duhet të ketë sipërfaqe zero dhe, akoma më mirë, momentet e para, të dyta dhe të tjera të barabarta me zero. Transformimi Furier i funksioneve të tilla është i barabartë me zero në =0 dhe ka formën e një filtri brezpass. Me vlera të ndryshme të parametrit të shkallëzimit "a", ky do të jetë një grup filtrash brezkalimi. Familjet wavelet në kohë ose domeni i frekuencës përdoren për të paraqitur sinjale dhe funksionojnë si mbivendosje të valëve në nivele të ndryshme të shkallës së zbërthimit (zbërthimit) të sinjaleve.

Përmendja e parë e funksioneve të tilla (të cilat nuk u quajtën valë) u shfaq në veprat e Haar në fillim të shekullit të kaluar. Wavelet Haar është një valë e shkurtër katrore në intervalin , e paraqitur në Fig. 1.1.1. Sidoqoftë, teorikisht është më interesant, pasi nuk është një funksion vazhdimisht i diferencueshëm dhe ka "bishta" të gjata në domenin e frekuencës. Në vitet 1930, fizikani Paul Levy, ndërsa studionte lëvizjen Brownian, zbuloi se baza Haar ishte më e mirë se baza Fourier për studimin e detajeve të lëvizjes Brownian.

Termi "valë", si koncept, u ​​prezantua në artikullin e tyre nga J. Morlet dhe A. Grossman (J. Morlet, A. Grossman), botuar në vitin 1984. Ata studiuan sinjalet sizmike duke përdorur bazën, të cilën e quajtën vale. . Një kontribut i rëndësishëm në teorinë e valëve u dha nga Guppilaude, Grossman dhe Morlet, të cilët formuluan themelet e CWT, Ingrid Daubechies, e cila zhvilloi valët ortogonale (1988), Natalie Delpra, e cila krijoi interpretimin e frekuencës kohë të CWT (1991) , dhe shume te tjere. Formalizimi matematik i valëve në veprat e këtyre dhe autorëve të tjerë çoi në krijimin e bazave teorike të analizës së valëve, të quajtura analiza me shumë rezolucion (shkallë të shumëfishtë).

Aktualisht, paketat speciale të zgjerimit të valëve janë të pranishme në sistemet kryesore të matematikës kompjuterike (Matlab, Mathematica, Mathcad, etj.), dhe transformimet e valëzimeve dhe analiza e valëzimeve përdoren në shumë fusha të shkencës dhe teknologjisë për një sërë detyrash. Shumë studiues e quajnë analizën e valëve një "mikroskop matematik" për të studiuar me saktësi përbërjen e brendshme dhe strukturat e sinjaleve dhe funksioneve johomogjene.

Metodat wavelet të përpunimit dhe analizës së sinjalit nuk duhet të konsiderohen si një teknologji e re universale për zgjidhjen e ndonjë problemi. Aftësitë e valëve nuk janë zbuluar ende plotësisht, por kjo nuk do të thotë se zhvillimi i tyre do të çojë në një zëvendësim të plotë të mjeteve tradicionale të përpunimit dhe analizimit të informacionit, të mirëpërcaktuara dhe të testuara me kohë. Wavelets bëjnë të mundur zgjerimin e bazës instrumentale të teknologjive të informacionit për përpunimin e të dhënave.

Analitika e transformimeve të sinjalit të valëve përcaktohet nga baza matematikore e zbërthimit të sinjalit, e cila është e ngjashme me transformimet e Furierit. Tipari kryesor dallues i transformimeve të valëve është një bazë e re për zbërthimin e sinjaleve - funksionet e valëve. Vetitë e valëve janë thelbësisht të rëndësishme si për vetë mundësinë e zbërthimit të sinjaleve për sa i përket funksioneve të valëve të njësive, ashtu edhe për veprimet e qëllimshme në spektrat e valëve të valëve, duke përfshirë rindërtimin e mëvonshëm të sinjaleve nga spektrat e valëve të përpunuara.

Valët mund të jenë ortogonale, gjysmë ortogonale, biortogonale. Funksionet e valëve mund të jenë simetrike, asimetrike dhe asimetrike, me dhe pa një domen kompakt përkufizimi, dhe gjithashtu kanë shkallë të ndryshme të butësisë. Disa funksione kanë një shprehje analitike, të tjerët kanë një algoritëm të shpejtë për llogaritjen e transformimit të valëzimit. Në praktikë, do të ishte e dëshirueshme që të kishte valëza simetrike dhe asimetrike ortogonale, por valë të tilla ideale nuk ekzistojnë. Zbatimi më i madh është gjetur nga valët biortogonale.

Funksionet bazë të transformimeve të valëve mund të jenë më së shumti funksione të ndryshme me një bartës kompakt - sinusoidë të moduluar nga impulse, funksione me kërcime në nivel, etj. Ato ofrojnë shfaqje dhe analizë të mirë të sinjaleve me veçori lokale, duke përfshirë kërcimet, ndërprerjet dhe vlerat e pjerrëta.

Do të ishte e dëshirueshme që të kishte një transformim të tillë të valëve të sinjaleve, i cili do të siguronte ekuivalencë të plotë informative të spektrit të valëve të sinjaleve me paraqitjen e përkohshme dhe zbërthimin e paqartë - rindërtimin e sinjaleve. Megjithatë, kjo është e mundur vetëm kur përdoren valëzimet ortogonale dhe biortogonale. Për një analizë cilësore të sinjaleve dhe veçorive lokale në sinjale, mund të përdoret një gamë më e gjerë funksionesh valësh, të cilat, megjithëse nuk ofrojnë rindërtim të sinjalit, bëjnë të mundur vlerësimin e përmbajtjes së informacionit të sinjaleve dhe dinamikës së ndryshimeve në këtë informacion. .

Përkufizimi i valëve. Valët përfshijnë funksione të lokalizuara që ndërtohen nga një valë valësh e vetme prind (t) (ose nga çdo ndryshore tjetër e pavarur) nga operacionet e zhvendosjes në argumentin (b) dhe ndryshim i madh(a):

 ab (t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L 2 (R).

ku faktori (1/) siguron që norma e funksioneve të jetë e pavarur nga numri i shkallës "a".

Transformimi vale i vazhdueshëm i sinjalit s(t)L 2 (R), i cili përdoret për analizën cilësore të kohës-frekuencës, korrespondon në kuptim me transformimin Furier me zëvendësimin e bazës harmonike exp(-jt) me valëzimi ((tb)/a ):

С(a, b) = s(t),  ab (t) = (1/)s(t)((tb)/a) dt, (a, b)R, a 0.

Spektri i shkallës kohore të valëzimit C(a,b), në ndryshim nga spektri Furier, është një funksion i dy argumenteve: shkalla e valëzimit "a" (në njësitë reciproke të frekuencës) dhe zhvendosja kohore e valëzimit përgjatë sinjali "b" (në njësi kohore), ndërsa parametrat "a" dhe "b" mund të marrin çdo vlerë brenda fushës së përcaktimit të tyre.

Oriz. 24.1.1. Valët Mhat dhe Vala.

Në fig. 24.1.1 Janë dhënë shembuj të valëve më të thjeshta jo ortogonale të llojeve çift (Mhat) dhe tek (Valë).

Për metodat sasiore të analizës, çdo funksion i lokalizuar (t) mund të përdoret si bazë valësh, nëse ka funksione binjake  # (t) për to, të tilla që familjet ( ab (t)) dhe (  ab ( t) ) mund të formojnë baza të çiftuara të hapësirës së funksionit L 2 (R). Valët e përcaktuara në këtë mënyrë na lejojnë të paraqesim çdo funksion arbitrar në hapësirën L 2 (R) si një seri:

s(t) = С(a,b)  ab (t), (a, b)I,

ku koeficientët C(a,b) janë projeksionet e sinjalit në bazën valëzuese të hapësirës:

С(a,b) = s(t),  ab (t) =s(t) ab (t) dt.

Nëse valëzimi (t) ka vetinë e ortogonalitetit, atëherë   (t) ≡ (t) dhe baza e valëzimit është ortogonale. Një valë valësh mund të jetë jo ortogonale, por nëse ka një binjak, dhe çifti ((t),   (t)) bën të mundur formimin e familjeve ( mk (t)) dhe (  zp (t )), duke përmbushur kushtin e biortogonalitetit në numrat e plotë I:

 mk (t),   zp (t) =  mz  kp , m,k,z,p О I,

atëherë është e mundur zbërthimi i sinjaleve në seri valësh me formulën e rindërtimit të anasjelltë.

Vetitë e valëzimit ,

Lokalizimi. Vala duhet të jetë e vazhdueshme, e integrueshme, të ketë një mbështetje kompakte dhe të jetë e lokalizuar si në kohë (në hapësirë) ashtu edhe në frekuencë. Nëse valëzimi ngushtohet në hapësirë, atëherë frekuenca e tij "mesatare" rritet, spektri i valëzimit lëviz në një rajon më shumë frekuencave të larta dhe zgjerohet. Ky proces duhet të jetë linear - ngushtimi i valëzimit përgjysmë duhet të rrisë frekuencën e tij "mesatare" dhe gjerësinë e spektrit gjithashtu me një faktor prej dy.

Mesatarja zero , d.m.th. përmbushja e kushtit për momentin zero:

i cili siguron amplifikimin zero të komponentit konstant të sinjaleve, vlerën zero të spektrit të frekuencës së valës në =0 dhe lokalizimin e spektrit të valëve në formën e një filtri brezkalimi me qendër në një frekuencë të caktuar (dominuese)  0 .

Kufizimi. Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm:

||(t)|| 2 =|(t)| 2dt< 

Baza e vetëngjashmërisë ose vetëngjashmëri. Forma e të gjitha valëve bazë  ab (t) duhet të jetë e ngjashme me valën mëmë (t), d.m.th. duhet të mbetet e njëjtë gjatë ndërrimeve dhe shkallëzimit (shtrirje/ngjeshje), të ketë të njëjtin numër lëkundjesh.

Transformimi i hartës . Rezultati i transformimit të valëzimit të një serie (sinjali) numerike njëdimensionale është grup dydimensional vlerat e koeficientëve С(a,b). Shpërndarja e këtyre vlerave në hapësirë ​​(a, b) - shkalla kohore, lokalizimi kohor, jep informacion në lidhje me ndryshimin në kohë të kontributit relativ të përbërësve të valëve të shkallëve të ndryshme në sinjal dhe quhet spektri i koeficientët e transformimit të valëve, spektri i shkallës-kohë (frekuenca-kohë), ose thjesht spektri i valëve.

Spektri C(a,b) i një sinjali njëdimensional është një sipërfaqe në hapësirën tredimensionale. Metodat e vizualizimit të spektrit mund të jenë shumë të ndryshme. Mënyra më e zakonshme është projeksioni në një aeroplan. ab me izolinat (izonivelet), gjë që bën të mundur gjurmimin e ndryshimeve të koeficientëve në shkallë të ndryshme kohore, si dhe zbulimin e modelit të ekstremeve lokale të këtyre sipërfaqeve ("kodra" dhe "kodra"), të ashtuquajturat " skelet” (skelet) i strukturës së procesit të analizuar. Në gamë të gjerë shkallët zbatojnë koordinatat logaritmike (log a, b). Një shembull i spektrit valëzues të sinjalit më të thjeshtë kur ai zbërthehet nga valëzimi Mhat është paraqitur në fig. 24.1.2.

Oriz. 24.1.2. Sinjali, valëzimi Mhat - seksionet e spektrit dhe shkallës së spektrit.

Sipas seksioneve vertikale (seksione prerëse b) spektri i valëve pasqyron përbërjen përbërëse të sinjalit (nga një grup i caktuar valësh) në çdo moment aktual. Nga kuptimi i transformimit, si produkt skalar i një sinjali me një valë, është e qartë se vlerat e koeficientëve në çdo pikë aktuale kohore përgjatë seksioneve të shkallës janë sa më të mëdha, aq më i fortë është korrelacioni midis valëzimit të një shkallë të caktuar dhe sjelljen e sinjalit në afërsi të kësaj pike. Prandaj, seksionet kryq për parametrin "a" demonstrojnë ndryshime në sinjalin e komponentit të një shkalle të caktuar "a" me kalimin e kohës.

Përbërësit e valëve të sinjalit në seksionet e spektrit të tij nuk kanë asnjë lidhje me sinusoidet dhe, si rregull, përfaqësohen nga sinjale të një forme mjaft komplekse dhe jo gjithmonë të qartë, gjë që mund ta bëjë të vështirë vizualizimin dhe kuptimin e tyre.

Funksionet wavelet . Zgjedhja e valëzimit analizues përcaktohet nga informacioni që duhet të nxirret nga sinjali. Duke marrë parasysh veçoritë karakteristike të valëve të ndryshme në hapësirën kohore dhe të frekuencës, është e mundur të identifikohen disa veçori dhe veçori në sinjalet e analizuara që janë të padukshme në grafikët e sinjalit, veçanërisht në prani të zhurmës. Në këtë rast, problemi i rindërtimit të sinjalit mund të mos shtrohet, gjë që zgjeron familjen e funksioneve të zakonshme të valëve të përdorura, duke përfshirë ato jo-ortogonale. Për më tepër, valëzimi mund të projektohet drejtpërdrejt për atë tipar lokal në sinjal, i cili do të nxirret ose zbulohet, nëse forma e tij dihet apriori.

Kur analizohen sinjalet sipas valëve të një lloji të barabartë (simetrik ose afër simetrikut), sinjalet harmonike zakonisht korrespondojnë me breza të shndritshëm horizontale të majave dhe kufijve të valëve në frekuencat dominuese të valëve që përkojnë me frekuencën e harmonikëve të sinjalit. Shkeljet e butësisë së sinjaleve fiksohen me vija vertikale, majat në sinjale theksohen nga maksimumi, dhe kufijtë janë minimumi i koeficientëve të valëve. Përkundrazi, valët e tipit tek reagojnë më ashpër ndaj kërcimeve dhe ndryshimeve të shpejta të sinjaleve, duke i shënuar ato me maksimum ose minimum, në varësi të shenjës së diferencialeve. Sa më të theksuara të jenë tiparet e sinjaleve, aq më të forta dalin në spektrogram.

Për të ndërtuar valë të tilla, shpesh përdoren derivatet Gaussian, të cilët kanë lokalizimin më të mirë si në domenin e kohës ashtu edhe në atë të frekuencës. Në formë të përgjithshme, ekuacioni bazë i valëzimit është:

 n (x) = (-1) n +1 d n /dx n , n ≥ 1, (24.1.1)

valetë valëzuese llogaritet me derivatin e parë (n=1) dhe tregohet në fig. 24.1.3 në fushën e kohës dhe frekuencës për tre vlera të faktorëve të shkallëzimit "a". Forma e valëzimit i referohet funksioneve tek dhe, në përputhje me rrethanat, spektri i valëzimit është imagjinar. Ekuacioni wavelet sipas (24.1.1) me normë njësi:

Oriz. 24.1.3. Vala valëzuese.

Në fig. 24.1.4 tregon një shembull të përdorimit të valëve për të analizuar dy sinjale të të njëjtit lloj, njëri prej të cilëve është i ndërlikuar nga zhurma me fuqi në nivelin e fuqisë së vetë sinjalit. Siç vijon nga figura, modeli i shkallës së konturit në kohë të koeficientëve të valëzimit, si dhe seksioni kryq i tij në vlera të mëdha Shkalla e faktorëve "a" rregullon me shumë saktësi dhe besim pozicionin e majës së sinjalit të informacionit duke ndryshuar shenjën e koeficientëve C (a, b).

valëzimi MNAT (Mexican hat - Mexican hat) llogaritet nga derivati ​​i dytë (n=2) dhe është paraqitur në fig. 24.1.5. Vala është simetrike, spektri i valëzimit përfaqësohet vetëm nga pjesa reale dhe është i lokalizuar mirë në frekuencë, zero dhe momentet e para të valës janë të barabarta me zero. Përdoret për të analizuar sinjale komplekse. Ekuacioni i valëzimit sipas (24.1.1):

Oriz. 24.1.5. Wavelet MHAT.

Në fig. 24.1.6 tregon një shembull të përdorimit të valëve për të analizuar një sinjal kompleks y(t). Modeli i sinjalit formohet nga shuma e sinjaleve strukturë të ndryshme. Sinjalet y1-y2 janë funksione Gaussian të niveleve të ndryshme të shkallës, sinjali y3 është një impuls drejtkëndor, sinjali y4 jepet si një prirje me një vlerë diferenciale konstante. Në grafikun e konturit të koeficientëve të valëve, mund të shihet përzgjedhja e të tre strukturave kryesore të sinjalit me përjashtimin e plotë të trendit. Kufijtë e kërcimeve të një strukture drejtkëndëshe dallohen veçanërisht qartë. Në të djathtë në figurë, është paraqitur një pamje e plotë tre-dimensionale e transformimit të valëzimit.

Wavelet përdoret gjerësisht në versionin dydimensional për analizën e fushave izotropike. Mbi bazën e tij, është gjithashtu e mundur të ndërtohet një bazë jo-izotropike dy-dimensionale me selektivitet të mirë këndor kur shtohet në ndërrime dhe shkallëzohet valëzimi i rrotullimit të tij.

Oriz. 24.1.7.

Me një rritje të numrit të derivatit të funksionit (24.1.1), domeni kohor i përkufizimit të valëzimit rritet paksa me një rritje të konsiderueshme të frekuencës dominuese të valëzimit dhe shkallës së lokalizimit të saj në domenin e frekuencës. Valët e rendit të n-të bëjnë të mundur analizimin e strukturave më të imta të sinjalit me frekuencë të lartë duke shtypur komponentët me frekuencë të ulët. Një shembull i një valetë në lidhje me derivatin e tetë është paraqitur në fig. 24.1.7.

Pasoja praktike e rritjes së shkallës së lokalizimit të valëve në domenin e frekuencës shihet qartë në Fig. 24.1.8 në shembullin e transformimit të të njëjtit funksion si në fig. 24.1.6. Krahasimi i figurave tregon një rritje të ndjeshme të ndjeshmërisë së valëzimit ndaj komponentëve me frekuencë të lartë të sinjalit në faktorë të shkallës së vogël.

Vetitë e transformimit të valëve

Rezultatet e transformimit të valëzimit, si produkt skalar i valëzimit dhe funksionit të sinjalit, përmbajnë informacion të kombinuar rreth sinjalit të analizuar dhe vetë valëzimit. Marrja e informacionit objektiv në lidhje me sinjalin bazohet në vetitë e transformimit të valëzimit, të përbashkëta për valët e të gjitha llojeve. Le të shqyrtojmë kryesoret e këtyre pronave. Për të treguar funksionimin e transformimit të valëzimit të funksioneve arbitrare s(t), do të përdorim indeksin TW.

Lineariteti .

TW[·s 1 (t)+·s 2 (t)] = ·TW+·TW. (24.2.1)

Invarianca e prerjes . Zhvendosja e sinjalit në kohë me t 0 çon në një zhvendosje të spektrit të valëve gjithashtu me t 0:

TW = C(a, b-t o). (24.2.2)

Invarianca e shkallëzimit . Shtrirja (ngjeshja) e sinjalit çon në ngjeshje (shtrirje) të spektrit të valëve të sinjalit:

TW = (1/a o) C(a/a o,b/a o). (24.2.3)

Diferencimi .

d n (TW)/dt n = TW. (24.2.4)

TW = (-1)n s(t) dt. (24.2.5)

Nëse valëzimi analizues jepet me një formulë, atëherë mund të jetë shumë i dobishëm për analizën e sinjalit. Karakteristikat e rendit të lartë ose variacionet në shkallë të vogël të sinjalit s(t) mund të analizohen duke diferencuar numrin e kërkuar të herëve ose valëzimin ose vetë sinjalin.

Një analog i teoremës së Parsevalit për valët ortogonale dhe biortogonale.

s 1 (t) s 2 *(t) \u003d C   a -2 C (a, b) C * (a, b) da db. (24.2.6)

Nga kjo rrjedh se energjia e sinjalit mund të llogaritet në terma të koeficientëve të transformimit të valëve.

Përkufizimet dhe vetitë e transformimit të valëve të vazhdueshme njëdimensionale përgjithësohen në rastet shumëdimensionale dhe diskrete.

24.3. Transformimi i valëve të sinjaleve të thjeshta.

Transformimi i valëzimit, i cili kryhet gjatë analizimit të sinjaleve për të identifikuar çdo veçori në to dhe vendndodhjen e tyre pa rindërtim të kundërt, lejon përdorimin e çdo lloji të valëve, si ortogonale ashtu edhe jo ortogonale. Më shpesh, valët simetrike përdoren për këto qëllime. Më poshtë janë rezultatet e aplikimit të valëzimit Mhat për të analizuar forma të thjeshta valore. Llogaritjet kryhen me valëzimin (24.1.3) sipas formulës:

с(a,b) =s(t)(t,a,b), (24.3.1)

ku mbledhja kryhet në zgjidhjen e këndit të ndikimit (mbi rajonin e besimit) me një hap t = b = a = 1. Meqenëse funksioni i shkallëzimit nuk përdoret në zgjerim të vazhdueshëm, numërimi i vlerave ​​"a" fillon nga 1, dhe seria e koeficientëve c( 0,b) lihet zero dhe përcakton sfondin zero të grafikëve të kontureve të spektrit.

Impulset Kronecker (pozitive dhe negative), spektri i valëve të impulseve dhe seksionet kryq të spektrit në tre vlera të parametrit "a" janë paraqitur në Fig. 24.3.1. Gama e ngjyrave të spektrit këtu dhe në të ardhmen korrespondon me gamën natyrale të ngjyrave nga e kuqja (vlera të mëdha) në vjollcë (vlera të vogla të koeficientëve).

Oriz. 24.3.1. Transformimi i impulseve të Kronecker.

Nga seksionet e spektrit mund të shihet se konvolucioni i pulseve të vetme me valë të shkallëve të ndryshme përsërit formën e valëve, siç duhet të jetë në operacionin e konvolucionit. Në përputhje me rrethanat, linjat e ekstremeve maksimale në seksione ("kreshtat" dhe "luginat", në varësi të polaritetit) përcaktojnë pozicionin kohor të pulseve, dhe ekstremet anësore të polaritetit të kundërt formojnë lobe karakteristike në konin e këndit të ndikim, i cili është i theksuar mirë.

Oriz. 24.3.2. Transformimi i funksioneve të Laplace.

Një karakter i ngjashëm i spektrit ruhet gjithashtu për çdo inhomogjenitet lokal në sinjale në formën e majave (Fig. 24.3.2) me një zhvendosje në maksimumet (minimumet) e koeficientëve с(a,b) nga vlerat a=1 në rajonin e vlerave të mëdha "a" (në varësi të gjerësisë efektive të pikut).

Oriz. 24.3.3. Transformimi i funksioneve Gaussian.

Në fig. 24.3.3 tregon spektrin e funksioneve Gaussian. Kur rrafshohen majat e inhomogjeniteteve të majave, zbutet edhe forma e koneve të ngjyrave, por linjat "kreshtë" ("lugina") rregullojnë me mjaft saktësi pozicionin e qendrave të inhomogjeniteteve lokale në boshtin kohor.

Oriz. 24.3.4. Transformimi i diferencës së vlerës konstante të funksioneve.

Në fig. 24.3.4 tregon spektrat e dy dallimeve të ndryshme të pjerrësisë në vlerat konstante të funksionit. Qendrat e pikave fiksohen nga kryqëzimi zero i vlerave të koeficientëve c(a,b), dhe pjerrësia e pikave reflektohet kryesisht në vlerat e funksionit c(a,b) në vlera të vogla të parametrit "a".

Në ndërprerjet e funksioneve, spektrogramet rregullojnë me siguri vendin e thyerjeve me maksimum (minimum) të vlerave të koeficientëve c(a,b), siç tregohet në Fig. 24.3.5. Kur zhurma aplikohet në funksione të tilla, bëhet e pamundur të përcaktohet me saktësi vendndodhja e thyerjeve në seksionet e shkallës në vlera të vogla të parametrit "a", megjithatë, në vlera të mëdha të parametrit "a", kjo mundësi mbetet. , natyrisht, me një ulje të saktësisë së lokalizimit.

Oriz. 24.3.5. Transformimi i ngërçeve të funksioneve.

Efekti i zhurmës në sinjalet e tjera lokale ka karakter të ngjashëm (Fig. 24.3.1-24.3.4). Nëse tiparet spektrale të sinjaleve shtrihen në gamën e vlerave të parametrit "a", atëherë është e mundur të identifikohen këto sinjale dhe vendi i tyre në boshtin kohor.

Oriz. 24.3.6. Shndërrimi i funksioneve harmonike.

Ndarja e funksioneve harmonike në boshtin e shkallës së spektrit, duke përfshirë mbivendosjen e proceseve të zhurmës së fortë, tregohet në shembujt në Fig. 24.3.6. Shembulli i dhënë është thjesht ilustrativ, pasi është i përshtatshëm për t'u përdorur analiza spektrale dhe filtrat e brezit të frekuencës. Megjithatë, për sinjalet lokale, siç janë harmonikat e moduluara, spektrat e valëve tregojnë mjaft mirë vendin e lokalizimit të tyre në boshtin e kohës.

Oriz. 24.3.7. Ndryshimi i fazës së një sinjali harmonik.

Në fig. 24.3.7 tregon një shembull të një tipari tjetër karakteristik të një sinjali harmonik - një ndryshim në fazën e tij me 180 o, i cili është i fiksuar mirë në të gjitha shkallët e valëve, dhe, për këtë arsye, përcaktohet mjaft lehtë edhe në prani të sinjaleve të zhurmës së fortë.

Kur sinjalet sinusoidale mbivendosen mbi trendin, transformimi i valëzimit në shkallë të mëdha lejon që dikush të identifikojë me mjaft besim tiparet karakteristike të trendit. Një shembull i theksimit të thyerjeve të trendit është paraqitur në fig. 24.3.8.

Oriz. 24.3.8. Transformimi i shumës së tre sinjaleve.

Forma e valëzimit (çift ose tek), frekuenca mbizotëruese dhe shkalla e lokalizimit të saj ndikojnë ndjeshëm në spektrat e valëve të sinjaleve të analizuara dhe mundësinë e identifikimit të veçorive të saj lokale. Figurat e mëposhtme tregojnë spektrat krahasues të sinjaleve të thjeshta kur valëzimet Valë (tek, Fig. 24.1.3), Mhat (çift, Fig. 24.1.5) dhe valëzimi nga derivati ​​i 8-të i Gausit (Fig. 24.3.9-24.3. 16) përdoren ), i cili është gjithashtu i barabartë dhe ka një frekuencë dominuese 4 herë më të lartë se valëzimi Mhat.

Oriz. 24.3.9. Impulset Kronecker.

Oriz. 24.3.10. Majat e Laplace.

Oriz. 24.3.11. Funksionet Gaussian.

Oriz. 24.3.12. Kërcime të ftohta.

Oriz. 24.3.13. Kërcimet e lëmuara.

Oriz. 24.3.14. Ndërprerjet e funksionit

Oriz. 24.3.15. Kërcimet fazore të harmonikave.

Oriz. 24.3.16. Shuma e dy sinusoideve të moduluara.

Kur analizoni sinjale arbitrare, përdorimi i valëve të llojeve të ndryshme bën të mundur rritjen e besueshmërisë së identifikimit të veçorive lokale të sinjaleve.

Parimi i transformimit të valëve. Funksionet e bazës harmonike të transformimit Furier janë jashtëzakonisht të lokalizuara në domenin e frekuencës (deri në funksionet e impulsit Dirac në T) dhe jo të lokalizuara në domenin kohor (të përcaktuara gjatë gjithë intervalit kohor nga - në). E kundërta e tyre është funksionet bazë të momentit të tipit Kronecker, të cilat janë jashtëzakonisht të lokalizuara në domenin e kohës dhe "të paqarta" në të gjithë diapazonin e frekuencës. Valët në aspektin e lokalizimit në këto dy paraqitje mund të konsiderohen si funksione që zënë një pozicion të ndërmjetëm midis funksioneve harmonike dhe impulseve. Ato duhet të lokalizohen si në domenin kohor ashtu edhe në domenin e frekuencës së përfaqësimit. Megjithatë, gjatë projektimit të funksioneve të tilla, në mënyrë të pashmangshme do të hasim parimin e pasigurisë që lidhet me vlerat efektive të kohëzgjatjes së funksioneve dhe gjerësinë e spektrit të tyre. Sa më saktë të lokalizojmë pozicionin kohor të një funksioni, aq më i gjerë do të bëhet spektri i tij dhe anasjelltas, gjë që shihet qartë në Fig. 1.1.5.

Një tipar dallues i analizës së valëve është se ajo mund të përdorë familje funksionesh që zbatojnë variante të ndryshme të lidhjes së pasigurisë. Prandaj, studiuesi ka mundësinë e një zgjedhjeje fleksibël midis tyre dhe përdorimin e atyre funksioneve të valëve që zgjidhin në mënyrë më efektive detyrat.

Baza valëzuese e hapësirës L 2 (R), R(-,), është e përshtatshme për t'u ndërtuar nga funksione të fundme që i përkasin të njëjtës hapësirë, të cilat duhet të priren në zero në pafundësi. Sa më shpejt që këto funksione të priren në zero, aq më i përshtatshëm është përdorimi i tyre si bazë transformimi në analizë sinjale reale. Le të supozojmë se një funksion i tillë është psi - një funksion t, i barabartë me zero jashtë një intervali të fundëm dhe që ka një vlerë mesatare zero mbi intervalin e detyrës. Kjo e fundit është e nevojshme për të specifikuar lokalizimin e spektrit të valëve në domenin e frekuencës. Mbi bazën e këtij funksioni, ne ndërtojmë një bazë në hapësirën L 2 (R) duke përdorur transformimet e shkallëzimit të ndryshores së pavarur.

Funksioni i ndryshimit të ndryshores së pavarur të frekuencës në paraqitjen spektrale të sinjaleve shfaqet në paraqitjen e kohës duke shtrirë/kompresuar sinjalin. Për një bazë valëzimi, kjo mund të bëhet nga një funksion si (t) =>(a m t), a = konst, m = 0, 1, …, M, d.m.th. me anë të një operacioni linear shtrirjeje/ngjeshjeje, i cili siguron vetëngjashmërinë e funksionit në shkallë të ndryshme përfaqësimi. Sidoqoftë, lokaliteti i funksionit(t) në boshtin e kohës kërkon një variabël shtesë të pavarur të zhvendosjeve të njëpasnjëshme të funksionit(t) përgjatë boshtit, si p.sh.(t) =>(t+k), në mbulojnë të gjithë boshtin numerik të hapësirës R(-, ). Duke marrë parasysh të dyja kushtet njëkohësisht, struktura e funksionit bazë mund të merret si më poshtë:

(t) => (a m t+k). (1.1.10)

Për të thjeshtuar llogaritjet e mëtejshme, vlerat e variablave m dhe k do të merren si numra të plotë. Kur reduktojmë funksionin (1.1.10) në normën e njësisë, marrim:

 mk (t) = a m/2 (a m t+k). (1.1.11)

Nëse familja e funksioneve  mk (t) plotëson kushtin e ortogonalitetit:

 nk (t), lm (t)= nk (t) * lm (t) dt = nl  km , (1.1.12)

atëherë familja  mk (t) mund të përdoret si bazë ortonormale e hapësirës L 2 (R). Një funksion arbitrar i kësaj hapësire mund të zgjerohet në një seri për sa i përket bazës  mk (t):

s(t) =S mk  mk (t), (1.1.13)

ku koeficientët S m k janë projeksionet e sinjalit mbi një bazë të re ortogonale të funksioneve, si në transformimin Furier, përcaktohen nga produkti skalar

S mk = s(t),  mk (t) =s(t) mk (t) dt, (1.1.14)

ndërsa seria konvergjon në mënyrë uniforme:

||s(t) –S mk  mk (t),|| = 0.

Kur plotësohen këto kushte, funksioni i transformimit të bazës (t) quhet valë valësh ortogonale.

Shembulli më i thjeshtë i një sistemi ortogonal të funksioneve të këtij lloji janë funksionet Haar. Funksioni bazë Haar përcaktohet nga relacioni

(t) = (1.1.15)

Është e lehtë të kontrollohet se për a = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1,2, ..., çdo dy funksione të marra duke përdorur këtë valë valësh bazë nga shkallëzimi dhe përkthimet kanë normë njësi dhe ortogonale. Në fig. 1.1.6 jep shembuj të funksioneve për tre vlerat e para të m dhe b me kombinimet e tyre të ndryshme, ku dallohet qartë ortogonaliteti i funksioneve.

Oriz. 1.1.6. Funksionet Haar

Spektri i valëve , ndryshe nga transformimi i Furierit, është dydimensional dhe përcakton një sipërfaqe dydimensionale në hapësirën e ndryshoreve m dhe k. Në paraqitjen grafike, parametri i shtrirjes/ngjeshjes së spektrit m paraqitet përgjatë boshtit të abshisës dhe parametri i lokalizimit k përgjatë boshtit të ordinatave është boshti i ndryshores së pavarur të sinjalit. Matematika e procesit të zbërthimit të valëve të një sinjali në një formë të thjeshtuar do të shqyrtohet duke përdorur shembullin e zbërthimit të një sinjali s(t) nga një valetë Haar me tre funksione valëzuese sekuenciale në shkallë m me parametrin a=2, ndërsa sinjali Vetë s(t) formohet duke përmbledhur të njëjtat funksione valësh me të njëjtën amplitudë me zhvendosje të ndryshme nga zero, siç tregohet në Fig. 1.1.7.

Oriz. 1.1.7. Produktet me pika të sinjalit me valëza.

Për vlerën fillestare të faktorit të shkallëzimit m, përcaktohet funksioni i valëzimit (1(t) në figurën 1.1.7), dhe produkti skalar i sinjalit me valën1(t), s(t+ k)me argumentin e zhvendosjes k . Për qartësi, rezultatet e llogaritjes së produkteve skalare në Fig. 1.1.7 janë ndërtuar në qendrat e funksioneve të valëzimit (d.m.th., në argumentin k nga zero me një zhvendosje për gjysmën e gjatësisë së funksionit të valëzimit). Siç pritej, vlerat maksimale të produktit skalar shënohen aty ku lokalizohet i njëjti funksion valëzues.

Pas ndërtimit të vijës së parë të shkallës së zbërthimit, shkalla e funksionit të valëzimit ndryshon (2 në Fig. 1.1.7) dhe bëhet llogaritja e vijës së shkallës së dytë të spektrit, e kështu me radhë.

Siç shihet në fig. 1.1.7, sa më saktë që tipari lokal i sinjalit të përputhet me funksionin përkatës të valëzimit, aq më efektive është zgjedhja e kësaj veçorie në vijën e shkallës përkatëse të spektrit të valëzimit. Mund të shihet se për një valë valësh Haar shumë të ngjeshur, një tipar lokal i mirëpërcaktuar është një kërcim sinjali dhe dallohet jo vetëm kërcimi i funksionit, por edhe drejtimi i kërcimit.

Në fig. 1.1.8 tregon një shembull të një shfaqjeje grafike të sipërfaqes së valëzimit të një procesi fizik real /4/. Lloji i sipërfaqes përcakton ndryshimet në kohë të përbërësve spektralë të shkallëve të ndryshme dhe quhet spektri kohë-frekuencë. Sipërfaqja përshkruhet në figura, si rregull, në formën e izolimeve ose ngjyrave të kushtëzuara. Një shkallë logaritmike mund të përdoret për të zgjeruar gamën e shkallëve.

Transformimi i vazhdueshëm i valëzimit

Vetitë e transformimit të valëzimit

Kërkesat e valëve

Për të zbatuar transformimin e valëzimit, funksionet e valëzimit duhet të plotësojnë kriteret e mëposhtme:

1. Vala duhet të ketë një energji të fundme:

2. Nëse transformimi i Furierit është për, d.m.th.

atëherë duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:

Ky kusht quhet kushti i pranueshmërisë dhe prej tij rrjedh se valëzimi me një komponent të frekuencës zero duhet të plotësojë kushtin ose, në një rast tjetër, valëzimi duhet të ketë një mesatare të barabartë me zero.

3. Kriter shtesëështë paraqitur për valët komplekse, përkatësisht, se për to transformimi Furier duhet të jetë njëkohësisht real dhe duhet të ulet për frekuenca negative.

4. Lokalizimi: valëzimi duhet të jetë i vazhdueshëm, i integrueshëm, të ketë një mbështetje kompakte dhe të jetë i lokalizuar si në kohë (në hapësirë) ashtu edhe në frekuencë. Nëse valëzimi ngushtohet në hapësirë, atëherë frekuenca mesatare e saj rritet, spektri i valëve lëviz në rajonin e frekuencave më të larta dhe zgjerohet. Ky proces duhet të jetë linear - ngushtimi i valëzimit përgjysmë duhet të rrisë frekuencën mesatare dhe gjerësinë spektrale të tij gjithashtu me një faktor prej dy.

1. Lineariteti

2. Invarianca e prerjes

Zhvendosja e sinjalit në kohë me t0 çon në një zhvendosje të spektrit të valëve gjithashtu me t0.

3. Invarianca nën shkallëzim

Shtrirja (ngjeshja) e sinjalit çon në ngjeshje (shtrirje) të spektrit të valëve të sinjalit.

4. Diferencimi

Nga kjo rrjedh se nuk ka dallim nëse duhet të diferencohet funksioni apo valëzimi analizues. Nëse valëzimi analizues jepet me një formulë, atëherë mund të jetë shumë i dobishëm për analizën e sinjalit. Kjo veçori është veçanërisht e dobishme nëse sinjali jepet si një seri diskrete.

Transformimi i valëzimit për një sinjal të vazhdueshëm në lidhje me funksionin e valëzimit përcaktohet si më poshtë:

ku do të thotë konjugati kompleks për, parametri korrespondon me zhvendosjen e kohës dhe quhet parametri i pozicionit, parametri specifikon shkallëzimin dhe quhet parametri i shtrirjes.

funksioni i peshës.

Mund të përcaktojmë një funksion të normalizuar si më poshtë

që nënkupton zhvendosjen e kohës me b dhe shkallëzimin e kohës me a. Atëherë formula e transformimit të valëzimit do të ndryshojë në

Sinjali origjinal mund të rikthehet duke përdorur formulën e transformimit të anasjelltë

Në rastin diskrete, parametrat e shkallëzimit a dhe zhvendosja b përfaqësohen nga vlera diskrete:

Pastaj valëzimi analizues ka formën e mëposhtme:

ku m dhe n janë numra të plotë.

Në këtë rast, për një sinjal të vazhdueshëm, transformimi i valëzuar diskrete dhe i tij transformim i anasjelltë do të shkruhet në formulat e mëposhtme:

Sasitë njihen gjithashtu si koeficientë valëzues.

ka një konstante normalizimi.

Shfaqja e të lira kamera dixhitaleçoi në faktin se një pjesë e konsiderueshme e banorëve të planetit tonë, pavarësisht nga mosha dhe gjinia, fituan zakonin për të kapur çdo hap të tyre dhe për të vendosur imazhet që rezultojnë në shfaqje publike në në rrjetet sociale. Përveç kësaj, nëse më parë një arkiv fotografish familjare vendosej në një album, sot ai përbëhet nga qindra fotografi. Për të lehtësuar ruajtjen dhe transmetimin e tyre përmes rrjeteve, kërkohet një reduktim i peshës së imazhit dixhital. Për këtë qëllim, përdoren metoda të bazuara në algoritme të ndryshme, duke përfshirë transformimin e valëve. Çfarë është ajo, artikulli ynë do të tregojë.

Çfarë është një imazh dixhital

Informacioni vizual në një kompjuter paraqitet në formën e numrave. duke folur gjuhë e thjeshtë, një foto e marrë nga një pajisje dixhitale është një tabelë, në qelizat e së cilës futen vlerat e ngjyrave të secilit prej pikselëve të saj. Nëse po flasim në lidhje me një imazh pikturë njëngjyrëshe, ato zëvendësohen nga vlerat e shkëlqimit nga segmenti, ku 0 përdoret për të treguar të zezën dhe 1 është e bardhë. Pjesa tjetër e nuancave janë dhënë numrat thyesorë, por është e papërshtatshme të punosh me ta, kështu që diapazoni zgjerohet dhe vlerat zgjidhen nga segmenti midis 0 dhe 255. Pse nga kjo? Gjithçka është e thjeshtë! Me një zgjedhje të tillë në paraqitje binare duhet saktësisht 1 bajt për të koduar ndriçimin e çdo piksel. Natyrisht, ruajtja edhe e një imazhi të vogël kërkon mjaft memorie. Për shembull, një foto 256 x 256 pixel do të marrë 8 KB.

Disa fjalë për metodat e kompresimit të imazhit

Me siguri të gjithë i kanë parë fotot Cilesi e keqe, ku ka shtrembërime në formën e drejtkëndëshave me të njëjtën ngjyrë, të cilat zakonisht quhen artefakte. Ato rezultojnë nga i ashtuquajturi kompresim me humbje. Kjo ju lejon të zvogëloni ndjeshëm peshën e imazhit, por në mënyrë të pashmangshme ndikon në cilësinë e tij.

Humbjet përfshijnë:

• JPEG. Në ky momentështë një nga algoritmet më të njohura. Ai bazohet në aplikimin e transformimit të kosinusit diskret. Me drejtësi, duhet të theksohet se ka variante të JPEG që kryejnë kompresim pa humbje. Këto përfshijnë JPEG pa humbje dhe JPEG-LS.
• JPEG 2000. Algoritmi përdoret në platformat mobile dhe bazohet në përdorimin e një transformimi të valëzuar diskrete.
• Algoritmi i ngjeshjes fraktale. Në disa raste, ju lejon të merrni imazhe me cilësi të shkëlqyer edhe me kompresim të lartë. Megjithatë, për shkak të problemeve të patentimit, kjo metodë vazhdon të jetë ekzotike.

Kompresimi pa humbje kryhet duke përdorur algoritme:

• RLE (përdoret si metoda kryesore në Formatet TIFF, BMP, TGA).
• LZW (përdoret në formatin GIF).
• LZ-Huffman (përdoret për formatin PNG).

Transformimi Furier

Para se të vazhdohet me shqyrtimin e valëve, ka kuptim të studiohet funksioni i lidhur me to, i cili përshkruan koeficientët në zbërthimin e informacionit fillestar në përbërës elementarë, d.m.th., lëkundjet harmonike me frekuenca të ndryshme. Me fjalë të tjera, transformimi Fourier është një mjet unik që lidh botët diskrete dhe të vazhdueshme.

Duket kështu:

Formula e përmbysjes shkruhet si më poshtë:

Çfarë është një valë valësh

Pas këtij emri qëndron funksioni matematikor, i cili ju lejon të analizoni komponentët e ndryshëm të frekuencës së të dhënave në studim. Grafiku i tij është një lëkundje e ngjashme me valën, amplituda e së cilës zvogëlohet në 0 larg origjinës. V rast i përgjithshëm me interes janë koeficientët e valëve të përcaktuara nga transformimi integral i sinjalit.

Spektrogramet e valëve ndryshojnë nga spektrat konvencionale të Furierit në atë që bashkojnë spektrin karakteristika të ndryshme sinjalet me komponentin e tyre kohor.

Transformimi i valëzimit

Kjo metodë e konvertimit të një sinjali (funksioni) ju lejon ta përktheni atë nga koha në paraqitjen e frekuencës së kohës.

Në mënyrë që transformimi i valëzimit të jetë i mundur, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme për funksionin përkatës të valëzimit:

• Nëse për ndonjë funksion ψ (t) transformimi i Furierit ka formën

atëherë duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:

Për më tepër:

• valëzimi duhet të ketë energji të fundme;
• duhet të jetë i integrueshëm, i vazhdueshëm dhe të ketë mbështetje kompakte;
• wavelet duhet të lokalizohet si në frekuencë ashtu edhe në kohë (në hapësirë).

Llojet

Një transformim vale i vazhdueshëm përdoret për sinjalet përkatëse. Shumë më interesant është homologu i tij diskret. Në fund të fundit, mund të përdoret për të përpunuar informacionin në kompjuterë. Megjithatë, kjo ngre një problem që lidhet me faktin se formulat për DWT diskrete nuk mund të merren nga diskretimi i thjeshtë i formulave DWT përkatëse.

Zgjidhja e këtij problemi u gjet nga I. Daubechies, i cili ishte në gjendje të zgjidhte një metodë që lejon që dikush të ndërtojë një seri valësh të tilla ortogonale, secila prej të cilave përcaktohet nga një numër i kufizuar koeficientësh. u krijuan më vonë algoritme të shpejta, për shembull algoritmi i Mull-it. Kur përdoret për dekompozim ose për restaurim, kërkohet të kryhen rreth operacione cN, ku N është gjatësia e kampionit dhe c është numri i koeficientëve.

Wavelet Haara

Për të gjetur një model të caktuar midis të dhënave të tij, dhe akoma më mirë, nëse këto janë vargje të gjata zero. Këtu mund të jetë i dobishëm algoritmi i transformimit të valëve. Sidoqoftë, le të vazhdojmë shqyrtimin e metodës me radhë.

Së pari ju duhet të mbani mend se në fotografi, shkëlqimi i pikselëve fqinjë, si rregull, ndryshon me një sasi të vogël. Edhe nëse imazhet reale përmbajnë zona me ndryshime të mprehta dhe të kundërta të ndriçimit, ato zënë vetëm një pjesë të vogël të imazhit. Si shembull, le të marrim imazhin e njohur të testit të Lenna në shkallë gri. Nëse marrim matricën e shkëlqimit të pikselëve të saj, atëherë një pjesë e rreshtit të parë do të duket si një sekuencë e numrave 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156.

Për të marrë zero, mund të aplikoni të ashtuquajturën metodë delta në të. Për ta bërë këtë, ruhet vetëm numri i parë, dhe për pjesën tjetër, vetëm dallimet e secilit numër nga ai i mëparshmi merren me shenjën "+" ose "-".

Rezultati është një sekuencë: 154,1,1,1,0,0,1,-2.

Disavantazhi i kodimit delta është jolokaliteti i tij. Me fjalë të tjera, është e pamundur të marrësh vetëm një pjesë të sekuencës dhe të zbulosh se cilat ndriçime janë të koduara në të, nëse të gjitha vlerat para tij nuk janë deshifruar.

Për të kapërcyer këtë pengesë, numrat ndahen në çifte dhe për secilin ata gjejnë gjysmën e shumës (rev. a) dhe gjysmëdiferencën (rev. d), pra për (154.155), (156.157), (157.157), (158.156) kemi (154.5, 0.5),(156.5,0.5),(157,0.0),(157,-1.0). Në këtë rast, në çdo kohë mund të gjeni vlerën e të dy numrave në çift.

Në rastin e përgjithshëm, për transformimin e valëzuar diskrete të sinjalit S, kemi:

Të tillë metodë diskrete rrjedh nga rasti i vazhdueshëm i transformimit të valëve Haar dhe përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme të përpunimit dhe ngjeshjes së informacionit.

Kompresimi

Siç u përmend tashmë, një nga fushat e aplikimit të transformimit të valëve është algoritmi jpeg 2000. Kompresimi duke përdorur metodën Haar bazohet në përkthimin e një vektori prej dy pikselësh X dhe Y në një vektor (X + Y)/2 dhe (X - Y)/2. Për ta bërë këtë, thjesht shumëzoni vektorin origjinal me matricën e mëposhtme.

Nëse ka më shumë pika, atëherë merret një matricë më e madhe, përgjatë diagonales së së cilës ndodhen matricat H. Kështu, vektori origjinal, pavarësisht nga gjatësia e tij, përpunohet në çifte.

Filtrat

"Gjysmë-shumat" që rezultojnë janë vlerat mesatare të shkëlqimit në çifte pikselësh. Kjo do të thotë, vlerat kur konvertohen në një imazh duhet të japin një kopje të tij, të reduktuar me 2 herë. Në këtë rast, gjysma e shumave mesatarizojnë shkëlqimet, d.m.th., "filtroni" shpërthimet e rastësishme të vlerave të tyre dhe luajnë rolin e filtrave të frekuencës.

Tani le të shohim se çfarë tregojnë dallimet. Ata "zgjedhin" "shpërthimet" ndërpikselë, duke eliminuar përbërësin konstant, d.m.th., "filtroni" vlerat me frekuenca të ulëta.

Edhe nga transformimi i mësipërm i valëve Haar për dummies, bëhet e qartë se është një palë filtrash që ndajnë sinjalin në dy komponentë: me frekuencë të lartë dhe me frekuencë të ulët. Për të marrë sinjalin origjinal, thjesht rikombinoni këta komponentë.

Shembull

Le të themi se duam të kompresojmë një portret fotografik (imazhi testues i Lenna-s). Konsideroni një shembull të një transformimi valëzues të matricës së saj të ndriçimit të pikselit. Komponenti me frekuencë të lartë të imazhit është përgjegjës për shfaqjen e detajeve të imta dhe përshkruan zhurmën. Sa i përket frekuencës së ulët, ajo mbart informacion në lidhje me formën e fytyrës dhe ndryshime të buta në shkëlqim.

Veçoritë e perceptimit njerëzor të fotografive janë të tilla që është më e rëndësishme komponenti i fundit. Kjo do të thotë se kur kompresohet pjesë e caktuar të dhënat me frekuencë të lartë mund të hidhen poshtë. Për më tepër, ai ka vlera më të vogla dhe është i koduar më kompakt.

Për të rritur raportin e kompresimit, mund të aplikoni transformimin Haar shumë herë në të dhënat me frekuencë të ulët.

Zbatim në vargje dydimensionale

Siç u tha tashmë, imazh dixhital në një kompjuter ato përfaqësohen si një matricë e intensiteteve të pikselëve të tij. Kështu, ne duhet të jemi të interesuar në transformimin dydimensional të valëzimit Haar. Për ta zbatuar atë, ju vetëm duhet të kryeni transformimin e tij njëdimensional për çdo rresht dhe çdo kolonë të matricës së intensitetit të pikselit të imazhit.

Vlerat afër zeros mund të hidhen pa dëmtime të konsiderueshme në modelin e deshifruar. Ky proces njihet si kuantizimi. Dhe është në këtë fazë që disa informacione humbasin. Nga rruga, numri i koeficientëve zero mund të ndryshohet, duke rregulluar kështu raportin e kompresimit.

Të gjitha veprimet e përshkruara çojnë në faktin se është marrë një matricë që përmban nje numer i madh i 0. Duhet të shkruhet rresht pas rreshti në skedar teksti dhe ngjesh me ndonjë arkivues.

Dekodimi

Shndërrimi i kundërt në një imazh kryhet sipas algoritmit të mëposhtëm:

• arkivi është i zbërthyer;
• zbatohet transformimi i kundërt Haar;
• matrica e deshifruar shndërrohet në imazh.

Përfitimet mbi JPEG

Kur merret parasysh algoritmi Grupi i Përbashkët i Ekspertëve Fotografik thuhej se bazohej në DCT. Një transformim i tillë kryhet bllok pas blloku (8 x 8 piksele). Si rezultat, nëse kompresimi është i fortë, atëherë një strukturë blloku bëhet e dukshme në imazhin e rindërtuar. Me kompresimin e valëve, nuk ka një problem të tillë. Megjithatë, mund të shfaqet një lloj tjetër shtrembërimi, i cili ka pamjen e valëzimeve përreth kufij të mprehtë. Besohet se artefakte të tilla janë mesatarisht më pak të dukshme se "katroret" që krijohen gjatë aplikimit të algoritmit JPEG.

Tani e dini se çfarë janë valët, çfarë janë dhe çfarë zbatimi praktik kanë gjetur në fushën e përpunimit dhe kompresimit të imazhit dixhital.

Në praktikë, DTWS duhet të zbatohet për sinjalet me gjatësi të kufizuar. Kështu, ai duhet të modifikohet në mënyrë që të merret një sekuencë koeficientësh me të njëjtën gjatësi nga një sinjal me gjatësi të caktuar. Transformimi që rezulton quhet transformimi i valëzuar diskrete (DWT).

Së pari, ne përshkruajmë DWT në formën e matricës, dhe më pas në bazë të bankave të filtrit, e cila përdoret më shpesh në përpunimin e sinjalit.

Në të dyja rastet, supozojmë se baza funksionon dhe
të përcaktuara në mënyrë kompakte. Kjo automatikisht garanton që sekuencat janë të fundme. dhe . Më tej, supozoni se sinjali që do të konvertohet ka gjatësi
.

1. Përshkrimi i matricës dwt

Shënoni me vektor sekuencë me gjatësi të fundme për disa . Ky vektor shndërrohet në vektor
, që përmban sekuencat
dhe
, çdo gjysmë gjatësi. Transformimi mund të shkruhet si shumëzim matricë
, ku matrica
- katror dhe përbëhet nga zero dhe elementë shumëzuar me
. Për shkak të pronave marrë në seksionin 2.3, matrica
është ortonormale dhe matrica e saj e kundërt është e barabartë me atë të transpozuar. Si ilustrim, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Le të marrim një filtër të gjatësisë
, një sekuencë gjatësie
, por si vlera fillestare -
. Sekuenca merrni nga sipas formulës (2.35), ku
. Atëherë operacioni i shumëzimit matricë-vektor do të paraqitet si

. (2.52)

Transformimi i kundërt është shumëzimi
te matrica e anasjelltë
:

. (2.53)

Kështu, shprehja (2.51) është një hap DWT. DWT e plotë duhet të shumëzojë në mënyrë të përsëritur gjysmën e sipërme të vektorit
në një matricë katrore
, madhësia e së cilës
. Kjo procedurë mund të përsëritet d herë derisa gjatësia e vektorit të jetë 1.

Në rreshtin e katërt dhe të tetë të matricës (2.51) sekuenca i zhvendosur në mënyrë rrethore: koeficientët që janë jashtë matricës në të djathtë vendosen në të njëjtin rresht në të majtë. Kjo do të thotë që DWT ka saktësisht një periudhë gjatësi N Sinjali DTWS të fituara me vazhdimësi periodike të pafundme . Pra, DWT, kur përcaktohet në këtë mënyrë, përdor periodicitetin e sinjalit, si në rastin e DFT.

Përshkrimi i matricës së DWT është i shkurtër dhe i qartë. Megjithatë, në përpunimin e sinjalit, DWT përshkruhet më shpesh duke përdorur një diagram bllok të ngjashëm me atë të një sistemi analize-sinteze (shih Figurën 1.1).

1. Përshkrimi i dwt me anë të blloqeve të filtrit

Duke marrë parasysh transformimet e nën-bandës në Kapitullin 1, ne interpretuam barazitë e ngjashme me (2.45) dhe (2.46) si filtrim të ndjekur nga decimation me një faktor prej dy. Meqenëse në këtë rast ka dy filtra dhe , atëherë banka e filtrit është me dy breza dhe mund të përshkruhet siç tregohet në Fig. 2.5.

Filtrat F dhe E do të thotë filtrim me filtra dhe
, respektivisht. Në degën e poshtme të qarkut kryhet filtrimi me kalim të ulët. Rezultati është një përafrim i sinjalit, një nënbandë me frekuencë të ulët (LF) pa detaje. Një nën brez me frekuencë të lartë (HF) është caktuar në krye të qarkut. Vini re se gjatë përpunimit të sinjaleve, konstante
nxirret gjithmonë nga banka e filtrit dhe sinjali shumëzohet me 2 (shih Figurën 3.2, Kapitulli 3).

Pra, qarku në Fig. 2.5 ndan sinjalin e nivelit
për sinjale me dy nivele
. Më tej, transformimi i valëzimit fitohet duke aplikuar në mënyrë rekursive këtë skemë në pjesën LF. Kur kryeni një transformim valetë të një imazhi, çdo përsëritje e algoritmit kryhet fillimisht në rreshtat, pastaj në kolonat e figurës (ndërtohet e ashtuquajtura piramida Mallat). Në kodekët video ADV6xx, përdoret një piramidë e modifikuar Mallat, kur në çdo përsëritje nuk kryhet domosdoshmërisht një transformim si në rreshta ashtu edhe në kolona. Është krijuar për më shumë kontabilitet të plotë perceptimi vizual i njeriut.

Transformimi që rezulton është i ngjashëm me (2.51). Megjithatë, ka disa dallime. Gjatë filtrimit të një sinjali me gjatësi të kufizuar, përballemi me problemin e vazhdimit të tij në kufi. Ekzekutimi i matricës së DWT është ekuivalent me vazhdimin periodik të sinjalit në kufi. Ky lloj vazhdimi është i detyrueshëm për filtrat ortogonalë. Në rastin e filtrave biortogonalë, shfaqen disa mundësi të tjera për shkak të simetrisë së karakteristikave të tyre. Kjo çështje do të diskutohet më në detaje në Kapitullin 3.

Qarku që kryen DWT mund të përfaqësohet gjithashtu siç tregohet në figurën 2.6. Këtu, filtrimi rekurziv dhe decimimi zëvendësohen nga një operacion filtrimi dhe një operacion decimation për nën-band. Përcaktimi i filtrave përsëritës dhe është më e lehtë për t'u dhënë në domenin e frekuencës.