Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Problemi më tipik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i konsistencës së një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Në këtë artikull do të japim konceptin e renditjes së matricës dhe do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij. Për të kuptuar më mirë materialin, do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve.
Navigimi i faqes.
Përcaktimi i rangut të një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë.
Përpara se të shprehni përkufizimin e rangut të një matrice, duhet të keni një kuptim të mirë të konceptit të një minori, dhe gjetja e minoreve të një matrice nënkupton aftësinë për të llogaritur përcaktuesin. Pra, nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë të kujtoni teorinë e artikullit, metodat për gjetjen e përcaktuesit të një matrice dhe vetitë e përcaktorit.
Le të marrim një matricë A të renditjes. Le të jetë k një numër natyror që nuk e kalon më të voglin e numrave m dhe n, d.m.th. 
.
Përkufizimi.
Rendi i vogël kth matrica A është përcaktues i një matrice katrore të rendit, e përbërë nga elementë të matricës A, të cilat janë të vendosura në k rreshta dhe k kolona të parazgjedhura, dhe renditja e elementeve të matricës A është ruajtur.
Me fjalë të tjera, nëse në matricën A fshijmë (p–k) rreshtat dhe (n–k) kolonat, dhe nga elementët e mbetur krijojmë një matricë, duke ruajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktorja e matrica që rezulton është një minor i rendit k të matricës A.
Le të shohim përkufizimin e një minoreje matrice duke përdorur një shembull.
Merrni parasysh matricën 
.
Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A, atëherë zgjedhja jonë korrespondon me një minore të rendit të parë 
. Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne kaluam rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica A, dhe krijuam një përcaktues nga elementi i mbetur. Nëse zgjedhim rreshtin e parë dhe kolonën e tretë të matricës A, atëherë marrim një minor 
.
Le të ilustrojmë procedurën për marrjen e të miturve të konsideruar të rendit të parë 
Dhe 
.
Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.
Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje kemi një të mitur të rendit të dytë 
. Ky minor gjithashtu mund të kompozohet duke fshirë rreshtin e tretë, kolonën e parë dhe të dytë nga matrica A.
Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është .
Le të ilustrojmë ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të dytë 
Dhe 
.
Në mënyrë të ngjashme, minoret e rendit të tretë të matricës A mund të gjenden. Meqenëse ka vetëm tre rreshta në matricën A, ne i zgjedhim të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para të këtyre rreshtave, marrim një minor të rendit të tretë 
Mund të ndërtohet gjithashtu duke kryqëzuar kolonën e fundit të matricës A.
Një tjetër i vogël i rendit të tretë është 
fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A.
Këtu është një foto që tregon ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të tretë 
Dhe 
.
Për një matricë të dhënë A nuk ka minore të rendit më të lartë se e treta, pasi .
Sa minore të rendit kth ka një matricë A e rendit ?
Numri i të miturve të rendit k mund të llogaritet si , ku 
Dhe 
- numri i kombinimeve përkatësisht nga p në k dhe nga n në k.
Si mund të ndërtojmë të gjitha minoret e rendit k të matricës A të rendit p me n?
Do të na duhen shumë numra rreshtash matricë dhe shumë numra kolonash. Ne shkruajmë gjithçka kombinimet e p elementeve nga k(ato do të korrespondojnë me rreshtat e zgjedhur të matricës A kur ndërtohet një minor i rendit k). Secilit kombinim të numrave të rreshtave shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjitha kombinimet e n elementeve të k numrave të kolonave. Këto grupe kombinimesh të numrave të rreshtave dhe numrave të kolonave të matricës A do të ndihmojnë për të kompozuar të gjitha minoret e rendit k.
Le ta shohim me një shembull.
Shembull.
Gjeni të gjitha minoret e rendit të dytë të matricës.
Zgjidhje.
Meqenëse rendi i matricës origjinale është 3 me 3, totali i të miturve të rendit të dytë do të jetë 
.
Le të shkruajmë të gjitha kombinimet e numrave nga 3 deri në 2 rreshta të matricës A: 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3. Të gjitha kombinimet e numrave të kolonave 3 deri në 2 janë 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3.
Le të marrim rreshtat e parë dhe të dytë të matricës A. Duke zgjedhur kolonën e parë dhe të dytë, kolonën e parë dhe të tretë, kolonën e dytë dhe të tretë për këto rreshta, marrim përkatësisht minoret. 
Për rreshtat e parë dhe të tretë, me një zgjedhje të ngjashme të kolonave, kemi 
Mbetet për të shtuar kolonat e parë dhe të dytë, të parë dhe të tretë, të dytë dhe të tretë në rreshtat e dytë dhe të tretë: 
Pra, të nëntë të miturit e rendit të dytë të matricës A janë gjetur.
Tani mund të vazhdojmë me përcaktimin e renditjes së matricës.
Përkufizimi.
Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit jozero të matricës.
Rangu i matricës A shënohet si Rank(A). Ju gjithashtu mund të gjeni emërtimet Rg(A) ose Rang(A).
Nga përkufizimet e renditjes së matricës dhe matricës minore, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe grada e një matrice jozero nuk është më pak se një.
Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit.
Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është mënyra e regjistrimit të të miturve. Kjo metodë bazohet në përcaktimin e rangut të matricës.
Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A të rendit .
Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi zgjidhjen e këtij problemi duke numëruar të miturit.
Nëse ka të paktën një element të matricës që është i ndryshëm nga zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).
Më pas shikojmë të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo-zero të rendit të dytë, atëherë vazhdojmë të numërojmë minoret e rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.
Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë përveç zeros, atëherë renditja e matricës është të paktën tre, dhe kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të katërt.
Vini re se rangu i matricës nuk mund të kalojë më të voglin e numrave p dhe n.
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
.
Zgjidhje.
Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.
Minoren e rendit të dytë 
është e ndryshme nga zero, prandaj, rangu i matricës A është të paktën dy. Kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë. Totali i tyre 
gjërat. 
Të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.
Përgjigje:
Renditja (A) = 2 .
Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve.
Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.
Një metodë e tillë është metodë e vogël e skajit.
Le të merremi me koncepti i skajit të vogël.
Thuhet se një M ok i vogël i rendit (k+1) të matricës A kufizohet me një të vogël M të rendit k të matricës A nëse matrica që i korrespondon minorit M ok "përmban" matricën që i korrespondon minorit. M .
Me fjalë të tjera, matrica që i korrespondon minorit kufitar M merret nga matrica që i përgjigjet minorit kufitar M ok duke fshirë elementët e një rreshti dhe një kolone.
Për shembull, merrni parasysh matricën 
dhe të marrë një të vogël të rendit të dytë. Le të shkruajmë të gjithë të miturit në kufi: 
Metoda e kufirit të minoreve justifikohet nga teorema e mëposhtme (e paraqesim formulimin e saj pa prova).
Teorema.
Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorin e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k+1) të matricës A janë të barabarta me zero.
Kështu, për të gjetur gradën e një matrice nuk është e nevojshme të kalojmë nëpër të gjithë të miturit që janë mjaftueshëm në kufi. Numri i minoreve që kufizojnë minorin e rendit kth të një matrice A të rendit , gjendet me formulën 
. Vini re se nuk ka më shumë minore që kufizojnë minorin e rendit k-të të matricës A sesa ka (k + 1) minore të renditjes së matricës A. Prandaj, në shumicën e rasteve, përdorimi i metodës së kufirit të të miturve është më fitimprurës sesa thjesht numërimi i të gjithë të miturve.
Le të kalojmë në gjetjen e renditjes së matricës duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi këtë metodë.
Nëse matrica A është jozero, atëherë si minor i rendit të parë marrim çdo element të matricës A që është i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minore kufitare jo zero (rendi i saj është dy), atëherë ne vazhdojmë të marrim parasysh të miturat e saj kufitare. Nëse të gjitha janë zero, atëherë Rank(A) = 2. Nëse të paktën një minor kufitar është jo zero (rendi i tij është tre), atëherë ne i konsiderojmë minoret kufitare të tij. Dhe kështu me radhë. Si rezultat, Rank(A) = k nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero, ose Rank(A) = min(p, n) nëse ka një jo- zero minor që kufizohet me një minor të rendit (min( p, n) – 1) .
Le të shohim metodën e kufirit të të miturve për të gjetur gradën e një matrice duke përdorur një shembull.
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
me metodën e kufirit të të miturve.
Zgjidhje.
Meqenëse elementi a 1 1 i matricës A është jozero, ne e marrim atë si një minor të rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare që është e ndryshme nga zero: 
Gjendet një skaj i vogël i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi (të tyre 
gjërat): 
Të gjithë të miturit që kufizojnë minorin e rendit të dytë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy.
Përgjigje:
Renditja (A) = 2 .
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
duke përdorur të mitur në kufi.
Zgjidhje.
Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 1 të matricës A. I mituri rrethues i rendit të dytë 
jo e barabartë me zero. Ky i mitur kufizohet me një të mitur të rendit të tretë 
. Meqenëse nuk është e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë të vogël kufitare për të, rangu i matricës A është i barabartë me tre.
Përgjigje:
Renditja (A) = 3 .
Gjetja e renditjes duke përdorur transformimet elementare të matricës (metoda Gauss).
Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice.
Transformimet e mëposhtme të matricës quhen elementare:
- riorganizimi i rreshtave (ose kolonave) të një matrice;
- duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k, të ndryshëm nga zero;
- duke u shtuar elementeve të një rreshti (kolone) elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër arbitrar k.
Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, nëse B merret nga A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin "~", domethënë shkruhet A ~ B.
Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të fundëm transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B) .
Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga vetitë e përcaktorit të matricës:
- Kur riorganizoni rreshtat (ose kolonat) e një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur rreshtat (kolonat) riorganizohen, ajo mbetet e barabartë me zero.
- Kur shumëzoni të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k të ndryshëm nga zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale të shumëzuar me k. Nëse përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero, atëherë pasi të keni shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone me numrin k, përcaktori i matricës që rezulton gjithashtu do të jetë i barabartë me zero.
- Shtimi i elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar të një matrice elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër të caktuar k, nuk ndryshon përcaktuesin e saj.
Thelbi i metodës së transformimeve elementare konsiston në zvogëlimin e matricës, gradën e së cilës duhet ta gjejmë në një trapezoidale (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.
Pse po bëhet kjo? Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo zero. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhen transformime elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.
Ne japim ilustrime të matricave, njëra prej të cilave duhet të merret pas transformimeve. Pamja e tyre varet nga rendi i matricës.
Këto ilustrime janë shabllone në të cilat ne do të transformojmë matricën A.
Le të përshkruajmë algoritmi i metodës.
Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A jozero të rendit (p mund të jetë e barabartë me n).
Kështu që, . Le të shumëzojmë të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës A me . Në këtë rast, marrim një matricë ekuivalente, duke e treguar atë A (1): 
Elementeve të rreshtit të dytë të matricës rezultuese A (1) shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të tretë u shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Le të marrim një matricë ekuivalente, ta shënojmë A (2): 
Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese të vendosura në rreshta nga e dyta në p-th janë të barabarta me zero, atëherë rangu i kësaj matrice është i barabartë me një, dhe, rrjedhimisht, rangu i matricës origjinale është i barabartë tek një.
Nëse në rreshtat nga e dyta në p-të ka të paktën një element jozero, atëherë vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës A (2) të shënuar në figurë. 
Nëse , atëherë ne i riorganizojmë rreshtat dhe (ose) kolonat e matricës A (2) në mënyrë që elementi "i ri" të bëhet jo zero.
Për të punuar me konceptin e renditjes matricore, do të na duhen informacione nga tema "Komplementet algjebrike dhe minoret. Llojet e minoreve dhe komplementet algjebrike". Para së gjithash, kjo ka të bëjë me termin "matricë e vogël", pasi ne do të përcaktojmë gradën e matricës pikërisht përmes të miturve.
Rangu i matricësështë rendi maksimal i të miturve të tij, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero.
Matricat ekuivalente- matricat, radhët e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Le të shpjegojmë më në detaje. Supozoni se midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që është i ndryshëm nga zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se dy janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 2 ose, për shembull, midis të miturve të rendit të dhjetë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se 10 janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 10.
Rangu i matricës $A$ shënohet si më poshtë: $\rang A$ ose $r(A)$. Rangu i matricës zero $O$ supozohet të jetë zero, $\rang O=0$. Më lejoni t'ju kujtoj se për të formuar një matricë minore ju duhet të kaloni rreshta dhe kolona, por është e pamundur të kaloni më shumë rreshta dhe kolona sesa përmban vetë matrica. Për shembull, nëse matrica $F$ ka madhësi $5\herë 4$ (d.m.th. përmban 5 rreshta dhe 4 kolona), atëherë rendi maksimal i minoreve të saj është katër. Nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit të pestë, pasi ata do të kërkojnë 5 kolona (dhe ne kemi vetëm 4). Kjo do të thotë se rangu i matricës $F$ nuk mund të jetë më shumë se katër, d.m.th. $\ranga F≤4$.
Në formë më të përgjithshme, sa më sipër do të thotë se nëse një matricë përmban rreshta $m$ dhe kolona $n$, atëherë rangu i saj nuk mund të kalojë më të voglin prej $m$ dhe $n$, d.m.th. $\ranga A≤\min(m,n)$.
Në parim, nga vetë përkufizimi i gradës rrjedh metoda e gjetjes së saj. Procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, mund të përfaqësohet skematikisht si më poshtë:
Më lejoni ta shpjegoj këtë diagram në më shumë detaje. Le të fillojmë të arsyetojmë që në fillim, d.m.th. nga minoret e rendit të parë të ndonjë matrice $A$.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të parë (d.m.th., elementët e matricës $A$) janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=0$. Nëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=1$. Nëse midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 2$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të tretë.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=2$. Nëse midis të miturve të rendit të tretë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të katërt janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=3$. Nëse midis të miturve të rendit të katërt ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 4$. Ne kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të pestë e kështu me radhë.
Çfarë na pret në fund të kësaj procedure? Është e mundur që midis minoreve të rendit kth të ketë të paktën një që është i ndryshëm nga zero, dhe të gjitha minoret e rendit (k+1) të jenë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se k është rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, d.m.th. grada do të jetë e barabartë me k. Mund të ketë një situatë të ndryshme: midis të miturve të rendit kth do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero, por nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit (k+1). Në këtë rast, rangu i matricës është gjithashtu i barabartë me k. Shkurtimisht, rendi i minorit të fundit jozero të përbërë do të jetë i barabartë me gradën e matricës.
Le të kalojmë te shembujt në të cilët procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, do të ilustrohet qartë. Më lejoni të theksoj edhe një herë se në shembujt e kësaj teme do të fillojmë të gjejmë renditjen e matricave duke përdorur vetëm përkufizimin e renditjes. Metoda të tjera (llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të minoreve, llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e transformimeve elementare) diskutohen në temat e mëposhtme.
Meqë ra fjala, nuk është aspak e nevojshme të fillohet procedura për gjetjen e gradës me të mitur të rendit më të vogël, siç është bërë në shembujt nr.1 dhe nr.2. Mund të kaloni menjëherë te të miturit e urdhrave më të lartë (shih shembullin nr. 3).
Shembulli nr. 1
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \djathtas)$.
Kjo matricë ka madhësi $3\herë 5$, d.m.th. përmban tre rreshta dhe pesë kolona. Nga numrat 3 dhe 5, minimumi është 3, prandaj rangu i matricës $A$ nuk është më shumë se 3, d.m.th. $\ranga A≤ 3$. Dhe kjo pabarazi është e dukshme, pasi ne nuk do të jemi më në gjendje të formojmë të mitur të rendit të katërt - ata kërkojnë 4 rreshta, dhe ne kemi vetëm 3. Le të kalojmë drejtpërdrejt në procesin e gjetjes së renditjes së një matrice të caktuar.
Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th. midis elementeve të matricës $A$) ka ato jo zero. Për shembull, 5, -3, 2, 7. Në përgjithësi, ne nuk jemi të interesuar për numrin total të elementeve jozero. Ekziston të paktën një element jo zero - dhe kjo është e mjaftueshme. Meqenëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një jozero, ne konkludojmë se $\ rang A≥ 1$ dhe vazhdojmë të kontrollojmë të miturit e rendit të dytë.
Le të fillojmë të eksplorojmë të miturit e rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 1, Nr. 2 dhe kolonave Nr. 1, Nr. 4 ka elemente të minorit të mëposhtëm: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|. Për këtë përcaktor, të gjithë elementët e kolonës së dytë janë të barabartë me zero, prandaj vetë përcaktorja është e barabartë me zero, d.m.th. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (shih vetinë nr. 3 në temën e vetive të përcaktorëve). Ose thjesht mund ta llogarisni këtë përcaktor duke përdorur formulën nr. 1 nga seksioni për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë:
$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Minorja e parë e rendit të dytë që testuam doli të ishte e barabartë me zero. Çfarë do të thotë kjo? Për nevojën për të kontrolluar më tej të miturit e rendit të dytë. Ose të gjithë do të rezultojnë të jenë zero (dhe atëherë renditja do të jetë e barabartë me 1), ose midis tyre do të ketë të paktën një minor që është i ndryshëm nga zero. Le të përpiqemi të bëjmë një zgjedhje më të mirë duke shkruar një minor të rendit të dytë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2 dhe kolonave nr. 1 dhe nr. 5: $\left|\begin( grup)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|$. Le të gjejmë vlerën e kësaj minoreje të rendit të dytë:
$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Ky minor nuk është i barabartë me zero. Përfundim: në mesin e të miturve të rendit të dytë ka të paktën një jozero. Prandaj $\ rang A≥ 2$. Duhet të kalojmë në studimin e të miturve të rendit të tretë.
Nëse zgjedhim kolonën nr. 2 ose kolonën nr. 4 për të formuar minore të rendit të tretë, atëherë minore të tilla do të jenë të barabarta me zero (pasi ato do të përmbajnë një kolonë zero). Mbetet të kontrollohet vetëm një minor i rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e kolonave nr.1, nr.3, nr.5 dhe rreshtave nr.1, nr.2, nr.3. Le ta shkruajmë këtë minor dhe të gjejmë vlerën e tij:
$$ \majtas|\fillimi(grupi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \djathtas|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Pra, të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Minorja e fundit jo zero që përpiluam ishte e rendit të dytë. Përfundim: rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 2. Prandaj, $\rang A=2$.
Përgjigju: $\rang A=2$.
Shembulli nr. 2
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas)$.
Ne kemi një matricë katrore të rendit të katërt. Le të vërejmë menjëherë se rangu i kësaj matrice nuk e kalon 4, d.m.th. $\ranga A≤ 4$. Le të fillojmë të gjejmë gradën e matricës.
Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th., midis elementeve të matricës $A$) ekziston të paktën një që nuk është e barabartë me zero, prandaj $\rangu A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 2, Nr. 3 dhe kolonave Nr. 1 dhe Nr. 2, marrim minoren vijuese të rendit të dytë: $\left| \fillim(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|$. Le ta llogarisim:
$$\majtas| \fillimi(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|=0-10=-10. $$
Ndër të miturit e rendit të dytë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, kështu që $\ rang A≥ 2$.
Le të kalojmë tek të miturit e rendit të tretë. Le të gjejmë, për shembull, një të mitur, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 3, nr. 4 dhe kolonave nr. 1, nr. 2, nr. 4:
$$\majtas | \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=105-105=0. $$
Meqenëse kjo minorenë e rendit të tretë doli të jetë e barabartë me zero, është e nevojshme të hetohet një tjetër minorene e rendit të tretë. Ose të gjithë do të jenë të barabartë me zero (atëherë grada do të jetë e barabartë me 2), ose midis tyre do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero (atëherë do të fillojmë të studiojmë të miturit e rendit të katërt). Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr.2, nr.3, nr.4 dhe kolonave nr.2, nr.3, nr.4:
$$\majtas| \fillim(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas|=-28. $$
Ndër të miturit e rendit të tretë ka të paktën një jozero, kështu që $\ranga A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
Çdo minor i rendit të katërt ndodhet në kryqëzimin e katër rreshtave dhe katër kolonave të matricës $A$. Me fjalë të tjera, minori i rendit të katërt është përcaktuesi i matricës $A$, pasi kjo matricë përmban 4 rreshta dhe 4 kolona. Përcaktori i kësaj matrice është llogaritur në shembullin nr. 2 të temës "Zbërthimi i rendit të përcaktorit në një rresht (kolona)", kështu që le të marrim vetëm rezultatin e përfunduar.
$$\majtas| \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \fund (array)\djathtas|=86. $$
Pra, minorja e rendit të katërt nuk është e barabartë me zero. Nuk mund të formojmë më të mitur të rendit të pestë. Përfundim: rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 4. Rezultati: $\rang A=4$.
Përgjigju: $\rang A=4$.
Shembulli nr. 3
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas)$.
Le të vërejmë menjëherë se kjo matricë përmban 3 rreshta dhe 4 kolona, kështu që $\rang A≤ 3$. Në shembujt e mëparshëm, ne filluam procesin e gjetjes së gradës duke marrë parasysh të miturit e rendit më të vogël (të parë). Këtu do të përpiqemi të kontrollojmë menjëherë të miturit e rendit më të lartë të mundshëm. Për matricën $A$ këto janë minoret e rendit të tretë. Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit shtrihen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2, nr. 3 dhe kolonave nr. 2, nr. 3, nr. 4:
$$\majtas| \fillim(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas|=-8-60-20=-88. $$
Pra, rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, është 3. Prandaj, rangu i matricës është 3, d.m.th. $\rang A=3$.
Përgjigju: $\rang A=3$.
Në përgjithësi, gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit është, në rastin e përgjithshëm, një detyrë mjaft e vështirë. Për shembull, një matricë relativisht e vogël me madhësi $5\herë 4$ ka 60 minorenë të rendit të dytë. Dhe edhe nëse 59 prej tyre janë të barabarta me zero, atëherë minori i 60-të mund të rezultojë të jetë jo zero. Atëherë do t'ju duhet të studioni të miturit e rendit të tretë, nga të cilët kjo matricë ka 40 copë. Zakonisht ata përpiqen të përdorin metoda më pak të vështira, siç është metoda e kufirit të të miturve ose metoda e transformimeve ekuivalente.
Ne gjithashtu do të shqyrtojmë një zbatim të rëndësishëm praktik të temës: studimi i një sistemi ekuacionesh lineare për konsistencë.
Cila është rangu i një matrice?
Epigrafi humoristik i artikullit përmban një sasi të madhe të së vërtetës. Ne zakonisht e lidhim fjalën "gradë" me një lloj hierarkie, më shpesh me një shkallë karriere. Sa më shumë njohuri, përvojë, aftësi, lidhje etj. të ketë njeriu. – aq më i lartë është pozicioni i tij dhe diapazoni i mundësive. Në aspektin e të rinjve, grada i referohet shkallës së përgjithshme të "pjerrësisë".
Dhe vëllezërit tanë matematikorë jetojnë me të njëjtat parime. Le të bëjmë një shëtitje disa të rastësishme matricat zero:
Le të mendojmë për këtë, nëse në matricë të gjitha zero, atëherë për çfarë rangu mund të flasim? Të gjithë janë të njohur me shprehjen informale "zero totale". Në shoqërinë e matricave gjithçka është saktësisht e njëjtë:
Renditja e matricës zeroçdo madhësi është e barabartë me zero.
shënim : Matrica zero shënohet me shkronjën greke "theta"
Për të kuptuar më mirë gradën e matricës, në vijim do të përdor materiale për të ndihmuar gjeometria analitike. Konsideroni zero vektoriale hapësira jonë tredimensionale, e cila nuk përcakton një drejtim specifik dhe është e padobishme për ndërtim baza afine. Nga pikëpamja algjebrike, koordinatat e këtij vektori shkruhen në matricë"një nga tre" dhe logjike (në kuptimin gjeometrik të treguar) supozojmë se rangu i kësaj matrice është zero.
Tani le të shohim disa jo zero vektorët e kolonës Dhe vektorët e rreshtave:
Çdo shembull ka të paktën një element jo zero, dhe kjo është diçka!
Rangu i çdo vektori të rreshtit jozero (vektori i kolonës) është i barabartë me një
Dhe në përgjithësi - nëse në matricë madhësi arbitrare ka të paktën një element jo zero, pastaj renditja e tij jo më pak njësi.
Vektorët e rreshtave algjebrikë dhe vektorët e kolonave janë në një masë abstrakte, kështu që le të kthehemi përsëri te shoqërimi gjeometrik. Jo zero vektoriale vendos një drejtim shumë të caktuar në hapësirë dhe është i përshtatshëm për ndërtim bazë, prandaj rangu i matricës do të konsiderohet i barabartë me një.
Informacion teorik : në algjebër lineare, një vektor është një element i një hapësire vektoriale (të përcaktuar me 8 aksioma), i cili, në veçanti, mund të përfaqësojë një rresht (ose kolonë) të renditur të numrave realë me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër real të përcaktuar. për ata. Informacion më të detajuar rreth vektorëve mund të gjenden në artikull Transformimet lineare.
varur në mënyrë lineare(të shprehura përmes njëri-tjetrit). Nga pikëpamja gjeometrike, rreshti i dytë përmban koordinatat e vektorit kolinear 
, e cila nuk e avancoi fare çështjen në ndërtim bazë tredimensionale, duke qenë në këtë kuptim i tepërt. Kështu, grada e kësaj matrice është gjithashtu e barabartë me një.
Le të rishkruajmë koordinatat e vektorëve në kolona ( transpozoni matricën):
Çfarë ka ndryshuar për sa i përket gradës? Asgjë. Kolonat janë proporcionale, që do të thotë se grada është e barabartë me një. Nga rruga, vini re se të tre linjat janë gjithashtu proporcionale. Ato mund të identifikohen me koordinatat tre vektorët kolinearë të rrafshit, prej të cilëve vetem nje e dobishme për ndërtimin e një baze "të sheshtë". Dhe kjo është plotësisht në përputhje me ndjenjën tonë gjeometrike të renditjes.
Një deklaratë e rëndësishme rrjedh nga shembulli i mësipërm:
Rangu i matricës në rreshta është i barabartë me gradën e matricës në kolona. Unë tashmë e përmenda këtë pak në mësimin për efektivitetin metodat për llogaritjen e përcaktorit.
shënim : varësia lineare e rreshtave nënkupton varësinë lineare të kolonave (dhe anasjelltas). Por për të kursyer kohë dhe jashtë zakonit, pothuajse gjithmonë do të flas për varësinë lineare të vargjeve.
Le të vazhdojmë të trajnojmë kafshën tonë të dashur. Le të shtojmë koordinatat e një vektori tjetër kolinear në matricën në rreshtin e tretë 
:
A na ndihmoi ai në ndërtimin e një baze tredimensionale? Sigurisht që jo. Të tre vektorët ecin përpara dhe mbrapa përgjatë së njëjtës rrugë, dhe rangu i matricës është i barabartë me një. Ju mund të merrni sa më shumë vektorë kolinearë që të doni, të themi, 100, t'i vendosni koordinatat e tyre në një matricë "njëqind nga tre", dhe renditja e një rrokaqiell të tillë do të mbetet ende një.
Le të njihemi me matricën, rreshtat e së cilës i pavarur në mënyrë lineare. Një çift vektorësh jo-kolinearë është i përshtatshëm për të ndërtuar një bazë tredimensionale. Renditja e kësaj matrice është dy.
Cila është rangu i matricës? Linjat nuk duken të jenë proporcionale... pra, në teori, ato janë tre. Sidoqoftë, rangu i kësaj matrice është gjithashtu dy. Shtova dy rreshtat e parë dhe shkruajta rezultatin në fund, d.m.th. shprehur në mënyrë lineare rreshti i tretë përmes dy të parëve. Gjeometrikisht, rreshtat e matricës korrespondojnë me koordinatat e tre vektorët koplanarë, dhe në mesin e këtyre tre ka një palë shokë jo-kolinearë.
Siç mund ta shihni, varësia lineare në matricën e konsideruar nuk është e dukshme, dhe sot do të mësojmë se si ta nxjerrim atë në të hapur.
Unë mendoj se shumë njerëz mund të marrin me mend se cila është shkalla e një matrice!
Konsideroni një matricë rreshtat e së cilës i pavarur në mënyrë lineare. Formohen vektorët baza afine, dhe rangu i kësaj matrice është tre.
Siç e dini, çdo vektor i katërt, i pestë, i dhjetë i hapësirës tre-dimensionale do të shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve bazë. Prandaj, nëse shtoni ndonjë numër rreshtash në një matricë, atëherë renditja e saj do të jetë ende e barabartë me tre.
Arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për matrica me madhësi më të mëdha (natyrisht, pa ndonjë kuptim gjeometrik).
Përkufizimi : Rangu i një matrice është numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur. Ose: Rangu i një matrice është numri maksimal i kolonave lineare të pavarura. Po, numri i tyre është gjithmonë i njëjtë.
Një udhëzim praktik i rëndësishëm rrjedh gjithashtu nga sa më sipër: rangu i matricës nuk e kalon dimensionin e saj minimal. Për shembull, në matricë 
katër rreshta dhe pesë kolona. Dimensioni minimal është katër, prandaj, renditja e kësaj matrice me siguri nuk do të kalojë 4.
Emërtimet: në teorinë dhe praktikën botërore nuk ka asnjë standard të pranuar përgjithësisht për përcaktimin e gradës së një matrice më shpesh: - siç thonë ata, një anglez shkruan një gjë, një gjerman tjetër; Prandaj, bazuar në shakanë e famshme për ferrin amerikan dhe rus, le të shënojmë gradën e matricës me një fjalë amtare. Për shembull: . Dhe nëse matrica është "pa emër", nga e cila ka shumë, atëherë thjesht mund të shkruani .
Si të gjeni gradën e një matrice duke përdorur të mitur?
Nëse gjyshja ime kishte një kolonë të pestë në matricën e saj, atëherë ajo do të duhej të llogariste një tjetër të vogël të rendit të 4-të ("blu", "mjedër" + kolona e 5-të).
konkluzioni: rendi maksimal i një minoreje jo zero është tre, që do të thotë .
Ndoshta jo të gjithë e kanë kuptuar plotësisht këtë frazë: një minor i rendit të katërt është i barabartë me zero, por në mesin e të miturve të rendit të tretë ka pasur një jozero - prandaj rendi maksimal jo zero e vogël dhe është e barabartë me tre.
Shtrohet pyetja, pse të mos llogarisim menjëherë përcaktorin? Epo, së pari, në shumicën e detyrave matrica nuk është katrore, dhe së dyti, edhe nëse merrni një vlerë jo zero, detyra ka shumë të ngjarë të refuzohet, pasi zakonisht përfshin një zgjidhje standarde "nga poshtë-lart". Dhe në shembullin e konsideruar, përcaktori zero i rendit të 4-të na lejon të deklarojmë se rangu i matricës është vetëm më pak se katër.
Më duhet ta pranoj, problemin që kam analizuar vetë e kam gjetur për të shpjeguar më mirë metodën e kufirit të të miturve. Në praktikën reale, gjithçka është më e thjeshtë:
Shembulli 2
Gjeni rangun e një matrice duke përdorur metodën e minorave të skajeve 
Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.
Kur funksionon më shpejt algoritmi? Le të kthehemi në të njëjtën matricë katër nga katër. 
. Natyrisht, zgjidhja do të jetë më e shkurtra në rastin e "mirës" të mitur në qoshe:
Dhe, nëse , atëherë , përndryshe - .
Mendimi nuk është aspak hipotetik - ka shumë shembuj ku e gjithë çështja kufizohet vetëm tek të miturit këndorë.
Megjithatë, në disa raste, një metodë tjetër është më efektive dhe e preferueshme:
Si të gjeni rangun e një matrice duke përdorur metodën Gaussian?
Paragrafi është i destinuar për lexuesit që tashmë janë njohur me të Metoda Gaussian dhe pak a shumë i zunë duart mbi të.
Nga pikëpamja teknike, metoda nuk është e re:
1) duke përdorur transformimet elementare, ne e zvogëlojmë matricën në një formë hap pas hapi;
2) grada e matricës është e barabartë me numrin e rreshtave.
Është absolutisht e qartë se përdorimi i metodës Gaussian nuk e ndryshon rangimin e matricës, dhe thelbi këtu është jashtëzakonisht i thjeshtë: sipas algoritmit, gjatë transformimeve elementare, të gjitha rreshtat e panevojshme proporcionale (të varura linearisht) identifikohen dhe hiqen, duke rezultuar në një "mbetje të thatë" - numrin maksimal të rreshtave linearisht të pavarur.
Le të transformojmë matricën e vjetër të njohur me koordinatat e tre vektorëve kolinearë: 
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë.
(2) Linjat zero janë hequr.
Kështu, ka mbetur një rresht, pra . Eshtë e panevojshme të thuhet se kjo është shumë më e shpejtë se llogaritja e nëntë zero të miturve të rendit të dytë dhe vetëm atëherë nxjerrja e një përfundimi.
Ju kujtoj këtë në vetvete matricë algjebrike asgjë nuk mund të ndryshohet, dhe transformimet bëhen vetëm për qëllimin e përcaktimit të gradës! Meqë ra fjala, le të ndalemi edhe një herë në pyetjen, pse jo? Matrica e burimit 
mbart informacion që është thelbësisht i ndryshëm nga informacioni i matricës dhe rreshtit. Në disa modele matematikore (pa ekzagjerim), ndryshimi në një numër mund të jetë çështje jete dhe vdekjeje. ...Më kujtuan mësuesit e matematikës të shkollave fillore dhe të mesme që pa mëshirë ulnin notat me 1-2 pikë për pasaktësinë më të vogël apo devijimin nga algoritmi. Dhe ishte tmerrësisht zhgënjyese kur, në vend të një "A" të garantuar në dukje, doli "i mirë" ose edhe më keq. Kuptimi erdhi shumë më vonë - si tjetër t'i besoni satelitëve, kokave bërthamore dhe termocentraleve një personi? Por mos u shqetësoni, unë nuk punoj në këto fusha =)
Le të kalojmë në detyra më kuptimplote, ku ndër të tjera do të njihemi me teknika të rëndësishme llogaritëse Metoda e Gausit:
Shembulli 3
Gjeni gradën e një matrice duke përdorur transformimet elementare 
Zgjidhje: jepet një matricë "katër nga pesë", që do të thotë se renditja e saj sigurisht nuk është më shumë se 4.
Në kolonën e parë, nuk ka 1 ose –1, prandaj, kërkohen veprime shtesë për të marrë të paktën një njësi. Gjatë gjithë ekzistencës së sitit, më është bërë vazhdimisht pyetja: "A është e mundur të riorganizoni kolonat gjatë transformimeve elementare?" Këtu, ne riorganizuam kolonën e parë dhe të dytë, dhe gjithçka është në rregull! Në shumicën e detyrave ku përdoret Metoda Gaussian, kolonat me të vërtetë mund të riorganizohen. POR NUK DUHET. Dhe çështja nuk është as në konfuzion të mundshëm me variablat, çështja është se në kursin klasik të matematikës së lartë ky veprim tradicionalisht nuk merret parasysh, kështu që një tundje e tillë do të shikohet SHUMË shtrembër (apo edhe e detyruar të ribëjë gjithçka).
Pika e dytë ka të bëjë me numrat. Ndërsa merrni vendimin tuaj, është e dobishme të përdorni rregullin e përgjithshëm të mëposhtëm: transformimet elementare duhet, nëse është e mundur, të zvogëlojnë numrat e matricës. Në fund të fundit, është shumë më e lehtë të punosh me një, dy, tre sesa, për shembull, me 23, 45 dhe 97. Dhe veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një në kolonën e parë, por edhe eliminimin e numrave 7 dhe 11.
Fillimisht zgjidhja e plotë, pastaj komentet: 
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3. Dhe te grumbulli: rreshti i parë u shtua në rreshtin e 4-të, shumëzuar me –1.
(2) Tre rreshtat e fundit janë proporcionale. Linjat e 3-të dhe të 4-të u hoqën, rreshti i dytë u zhvendos në vendin e parë.
(3) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –3.
Matrica e reduktuar në formë shkalle ka dy rreshta.
Përgjigju:
Tani është radha juaj të torturoni matricën katër nga katër:
Shembulli 4
Gjeni gradën e një matrice duke përdorur metodën Gaussian 
Ju kujtoj se Metoda Gaussian nuk nënkupton ngurtësi të paqartë, dhe vendimi juaj ka shumë të ngjarë të ndryshojë nga vendimi im. Një shembull i shkurtër i një detyre në fund të mësimit.
Cila metodë duhet të përdor për të gjetur gradën e një matrice?
Në praktikë, shpesh nuk thuhet fare se cila metodë duhet përdorur për të gjetur gradën. Në një situatë të tillë, kushti duhet të analizohet - për disa matrica është më racionale të zgjidhet përmes të miturve, ndërsa për të tjera është shumë më fitimprurëse të aplikohen transformimet elementare:
Shembulli 5
Gjeni gradën e një matrice 
Zgjidhje: metoda e parë disi zhduket menjëherë =)
Pak më lart, unë këshillova të mos prekni kolonat e matricës, por kur ka një kolonë zero, ose kolona proporcionale / përputhëse, atëherë ia vlen të amputohet: 
(1) Kolona e pestë është zero, hiqeni atë nga matrica. Kështu, grada e matricës nuk është më shumë se katër. Rreshti i parë është shumëzuar me –1. Kjo është një tjetër veçori e veçantë e metodës Gauss, e cila e kthen veprimin e mëposhtëm në një shëtitje të këndshme:
(2) Në të gjitha rreshtat, duke filluar nga e dyta, u shtua rreshti i parë.
(3) Rreshti i parë u shumëzua me –1, rreshti i tretë u nda me 2, rreshti i katërt u nda me 3. Rreshti i dytë u shtua në rreshtin e pestë, shumëzuar me –1.
(4) Rreshtit të pestë iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –2.
(5) Dy rreshtat e fundit janë proporcionalë, i pesti fshihet.
Rezultati është 4 rreshta.
Përgjigju:
Ndërtesa standarde pesëkatëshe për studim të pavarur:
Shembulli 6
Gjeni gradën e një matrice
Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.
Duhet të theksohet se shprehja "gradë matricë" nuk shihet aq shpesh në praktikë, dhe në shumicën e problemeve mund të bëni pa të fare. Por ka një detyrë ku koncepti në fjalë është personazhi kryesor, dhe ne do ta përfundojmë artikullin me këtë aplikim praktik:
Si të studiojmë një sistem ekuacionesh lineare për konsistencë?
Shpesh, përveç zgjidhjes sistemet e ekuacioneve lineare sipas kushtit, fillimisht kërkohet të ekzaminohet për përputhshmëri, pra të vërtetohet se ekziston fare ndonjë zgjidhje. Një rol kyç në një verifikim të tillë luan Teorema Kronecker-Capelli, të cilin do ta formuloj në formën e nevojshme:
Nëse renditet matricat e sistemit e barabartë me gradën sistemi i matricës së zgjeruar, atëherë sistemi është konsistent dhe nëse ky numër përkon me numrin e të panjohurave, atëherë zgjidhja është unike.
Kështu, për të studiuar sistemin për pajtueshmërinë, është e nevojshme të kontrolloni barazinë 
, Ku - matrica e sistemit(kujtoni terminologjinë nga mësimi Metoda e Gausit), A - matrica e zgjeruar e sistemit(d.m.th. një matricë me koeficientët e variablave + një kolonë me terma të lirë).
“Nëse doni të mësoni të notoni, atëherë futuni me guxim në ujë dhe nëse doni të mësoni për të zgjidhur problemet, Kjo zgjidhin ato.»
D. Polya (1887-1985)
(Matematikan. Ka dhënë një kontribut të madh në popullarizimin e matematikës. Shkroi disa libra se si të zgjidhen problemet dhe si të mësohet zgjidhjen e problemeve.)
Merrni parasysh matricën
Le të theksojmë në të k-rreshta Dhe k-kolona (k≤(min(m,n))). Nga elementët e vendosur në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura, ne do të përpilojmë një përcaktues kth urdhëroj. Të gjithë përcaktorët e tillë quhen të miturit e kësaj matrice.
Le të shqyrtojmë të gjitha minoret e mundshme të matricës A, të ndryshme nga zero.
Rangu i matricës Aështë rendi më i madh i minorit jozero të kësaj matrice.
Nëse të gjithë elementët e një matrice janë të barabartë me zero, atëherë grada e kësaj matrice merret e barabartë me zero.
Një i mitur, rendi i të cilit përcakton gradën e matricës quhet bazë.
Një matricë mund të ketë disa minore bazë.
Rangu i matricës A shënohet me r(A). Nëse r(A)=r(B), pastaj matricat A Dhe NË quhen ekuivalente. Ata shkruajne A̴∼B.
Karakteristikat e renditjes së matricës:
- Kur një matricë transpozohet, rangu i saj nuk ndryshon.
- Nëse fshini rreshtin zero (kolona) nga matrica, rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
- Rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare të matricës.
Me transformime elementare nënkuptojmë:
- Rirregullimi i rreshtave të matricës;
- Shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;
- Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve përkatës të një rreshti tjetër, të shumëzuar me një numër arbitrar.
Gjatë llogaritjes së renditjes së një matrice, mund të përdoren transformimet elementare, metoda e reduktimit të matricës në një formë hap pas hapi dhe metoda e kufirit të të miturve.
Metoda për reduktimin e një matrice në një shkallë Ideja është që me ndihmën e transformimeve elementare kjo matricë të reduktohet në një matricë hapash.
Matrica quhet shkeli , nëse në secilën prej rreshtave të tij elementi i parë jozero është djathtas se ai i mëparshmi (d.m.th., merren hapat, lartësia e çdo hapi duhet të jetë e barabartë me një).
Shembuj të matricave të hapave:
Shembuj të matricave jo-echelon:
SHEMBULL: Gjeni gradën e matricës:
ZGJIDHJE:
Le ta reduktojmë këtë matricë në një matricë hapash duke përdorur transformime elementare.
1. Ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë.
2. Marrim zero nën një në kolonën e parë.
Duke shtuar rreshtin e parë të shumëzuar me (-3) në rreshtin e dytë, rreshtin e parë të shumëzuar me (-5) në rreshtin e tretë dhe rreshtin e parë të shumëzuar me (-3) në rreshtin e katërt, marrim
Për ta bërë më të qartë se ku tjetër duhet të merrni zero, le të vizatojmë hapat në matricë. (Matrica do të hapet nëse ka zero kudo nën hapa)
3. Duke shtuar rreshtin e tretë të shumëzuar me (-1) në rreshtin e tretë dhe rreshtin e dytë të shumëzuar me (-1) në rreshtin e katërt, marrim zero nën hapat në kolonën e dytë.
Nëse i vizatojmë përsëri hapat, do të shohim që matrica është e shkallëzuar.
Grada e saj është r=3(numri i rreshtave të matricës së hapit, në secilën prej të cilave të paktën një element është i ndryshëm nga zero). Prandaj, rangu i kësaj matrice r=3.
Zgjidhja mund të shkruhet si kjo:
(Numrat romakë tregojnë numrat e rreshtave)
Përgjigje: r=3.
Rendi i vogël k+1, që përmban një të vogël të rendit k thirrur në kufi me të miturën.
Metoda e vogël kufitare bazohet në faktin se rangu i një matrice të caktuar është i barabartë me rendin e një minori të kësaj matrice që është jo zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabartë me zero.
Një numër r quhet rangu i matricës A nëse:
1) në matricën A ka një minor të rendit r, i ndryshëm nga zero;
2) të gjitha minoret e rendit (r+1) dhe më të larta, nëse ekzistojnë, janë të barabarta me zero.
Përndryshe, rangu i një matrice është rendi minor më i lartë përveç zeros.
Emërtimet: rangA, r A ose r.
Nga përkufizimi rezulton se r është një numër i plotë pozitiv. Për një matricë zero, rangu konsiderohet të jetë zero.
Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur renditja e matricës. Në këtë rast, zgjidhja ruhet në format Word dhe Excel. shih zgjidhje shembull.
Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës, klikoni Next.
Përkufizimi . Le të jepet një matricë e rangut r. Çdo minor i një matrice që është i ndryshëm nga zero dhe ka rend r quhet bazë, dhe rreshtat dhe kolonat e përbërësve të saj quhen rreshta dhe kolona bazë.
Sipas këtij përkufizimi, një matricë A mund të ketë disa minore bazë.
Rangu i matricës së identitetit E është n (numri i rreshtave).
Shembulli 1. Duke pasur parasysh dy matrica, 
dhe të miturit e tyre 
, 
. Cila prej tyre mund të merret si bazë?
Zgjidhje. Minor M 1 =0, kështu që nuk mund të jetë bazë për asnjë nga matricat. Minor M 2 =-9≠0 dhe ka rend 2, që do të thotë se mund të merret si bazë e matricave A ose / dhe B, me kusht që ato të kenë renditje të barabarta me 2. Meqenëse detB=0 (si përcaktor me dy kolona proporcionale), atëherë rangB=2 dhe M 2 mund të merren si bazë minore e matricës B. Rangu i matricës A është 3, për faktin se detA=-27≠ 0 dhe, si rrjedhim, rendi bazë minor i kësaj matrice duhet të jetë i barabartë me 3, domethënë M 2 nuk është bazë për matricën A. Vini re se matrica A ka një bazë të vetme minore, të barabartë me përcaktorin e matricës A.
Teorema (në lidhje me bazën minore).
Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) bazë të saj.
Pasojat nga teorema.
- Çdo matricë (r+1) kolonë (rresht) e rangut r është e varur në mënyrë lineare.
- Nëse renditja e një matrice është më e vogël se numri i rreshtave (kolonave) të saj, atëherë rreshtat (kolonat) e saj varen në mënyrë lineare. Nëse rangA është e barabartë me numrin e rreshtave (kolonave) të tij, atëherë rreshtat (kolonat) janë linearisht të pavarura.
- Përcaktori i një matrice A është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse rreshtat (kolonat) e saj janë të varura në mënyrë lineare.
- Nëse shtoni një rresht (kolona) në një rresht (kolona) të një matrice, të shumëzuar me ndonjë numër tjetër përveç zeros, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
- Nëse kaloni një rresht (kolona) në një matricë, e cila është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
- Rangu i një matrice është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) të saj linearisht të pavarur.
- Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur është i njëjtë me numrin maksimal të kolonave linearisht të pavarura.
Shembulli 2. Gjeni gradën e një matrice 
.
Zgjidhje.
Bazuar në përkufizimin e renditjes së matricës, ne do të kërkojmë një minor të rendit më të lartë, të ndryshëm nga zero. Së pari, le ta transformojmë matricën në një formë më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e parë të matricës me (-2) dhe shtoni atë në të dytin, pastaj shumëzojeni atë me (-1) dhe shtoni atë në të tretën.
