Să aruncăm o privire la unul dintre subiecte majoreîn informatică - . LA curiculumul scolar se dezvăluie mai degrabă „modest”, cel mai probabil din cauza lipsei de ore alocate acestuia. Cunoștințe pe această temă, în special pe traducerea sistemelor numerice, sunteți condiție prealabilă pentru promovarea cu succes a examenului și admiterea la universitățile din facultățile relevante. De mai jos detaliat concepte precum sisteme de numere poziționale și nepoziționale, sunt date exemple ale acestor sisteme de numere, reguli pentru conversia numerelor zecimale întregi, fracțiilor zecimale regulate și numerelor zecimale mixte în orice alt sistem de numere, conversia numerelor din orice sistem de numere în zecimal, conversia din sistemele de numere octale și hexazecimale în sistemul de numere binar sunt prezentat. La examene în în număr mare există sarcini pe această temă. Capacitatea de a le rezolva este una dintre cerințele solicitanților. În curând: Pentru fiecare subiect al secțiunii, pe lângă materialul teoretic detaliat, aproape toate opțiuni posibile sarcini pentru auto-studiu. În plus, veți avea posibilitatea de a descărca fișiere gata făcute din serviciul de partajare a fișierelor complet gratuit. soluții detaliate la aceste sarcini, ilustrând diferite căi obținerea răspunsului corect.
sisteme de numere poziționale.
Sisteme numerice non-poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre nu depinde de localizarea acesteia în număr.
Sistemele de numere non-poziționale includ, de exemplu, Roman, unde în loc de numere - scrisori.
| eu | 1 unu) |
| V | 5 (cinci) |
| X | 10 (zece) |
| L | 50 (cincizeci) |
| C | 100 (o sută) |
| D | 500 (cinci sute) |
| M | 1000 (o mie) |
Aici, litera V reprezintă 5, indiferent de locația sa. Cu toate acestea, merită menționat faptul că, deși sistemul numeral roman este un exemplu clasic de sistem numeral nepozițional, acesta nu este complet nepozițional, deoarece. din el se scade numărul mai mic înainte de cel mai mare:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
sisteme de numere poziționale.
Sisteme numerice poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre depinde de localizarea acesteia în număr.
De exemplu, dacă vorbim de zecimală sistem de numere, apoi în numărul 700 numărul 7 înseamnă „șapte sute”, dar aceeași cifră din numărul 71 înseamnă „șapte zeci”, iar în numărul 7020 - „șapte mii”.
Fiecare sistem de numere poziționale are propriul baza. Baza este un număr natural mai mare sau egal cu doi. Este egal cu numărul de cifre utilizate în acest sistem de numere.
- De exemplu:
- Binar- sistem de numere pozițional cu baza 2.
- Cuaternar- sistem de numere pozițional cu baza 4.
- cinci ori- sistem de numere pozițional cu baza 5.
- octal- sistem de numere pozițional cu baza 8.
- hexazecimal- sistem de numere pozițional cu baza 16.
Pentru a rezolva cu succes probleme la tema „Sisteme numerice”, studentul trebuie să cunoască pe de rost corespondența numerelor binare, zecimale, octale și hexazecimale până la 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Este util să știm cum se obțin numerele în aceste sisteme numerice. Puteți ghici că în octal, hexazecimal, ternar și altele sisteme de numere poziționale totul se întâmplă similar cu sistemul zecimal cunoscut nouă:
Se adaugă unul la număr și se obține un număr nou. Dacă locul unităților devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1 și așa mai departe.
Această „tranziție a unuia” este tocmai cea care îi sperie pe majoritatea studenților. De fapt, totul este destul de simplu. Are loc o tranziție dacă cifra unităților devine egală cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1. Mulți, amintindu-și vechiul sistem zecimal bun, se confundă instantaneu în descărcare și în această tranziție, deoarece zecimile zecimale și, de exemplu, zecile binare sunt lucruri diferite.
Prin urmare, studenții plini de resurse au „metodele lor” (în mod surprinzător... funcționează) atunci când completează, de exemplu, tabele de adevăr, primele coloane (valori ale variabilelor) dintre care, de fapt, sunt umplute cu numere binare în ordine crescătoare. .
De exemplu, să aruncăm o privire la introducerea numerelor sistem octal: Adăugăm 1 la primul număr (0), obținem 1. Apoi adăugăm 1 la 1, obținem 2 etc. până la 7. Dacă adunăm unu la 7, obținem un număr egal cu baza sistemului numeric, adică. 8. Apoi trebuie să măriți cifra zecilor cu una (obținem un octal zece - 10). Urmează, evident, numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
reguli pentru conversia de la un sistem numeric la altul.
1 Convertiți numere zecimale întregi în orice alt sistem de numere.
Numărul trebuie împărțit la noua baza de numere. Primul rest al diviziunii este prima cifră cel mai puțin semnificativă a noului număr. Dacă câtul împărțirii este mai mic sau egal cu noua bază, atunci acesta (coeficientul) trebuie împărțit din nou la noua bază. Împărțirea trebuie continuată până când obținem coeficientul mai mic decât noua bază. Aceasta este cea mai mare cifră a noului număr (trebuie să vă amintiți că, de exemplu, în sistemul hexazecimal, literele urmează după 9, adică dacă aveți 11 în rest, trebuie să îl scrieți ca B).
Exemplu („împărțire prin colț”): Să traducem numărul 173 10 în sistem octal socoteala.
Astfel, 173 10 \u003d 255 8
2 Conversia fracțiilor zecimale corecte în orice alt sistem numeric.
Numărul trebuie înmulțit cu noua bază a sistemului numeric. Cifra care a trecut în partea întreagă este cea mai mare cifră a părții fracționale a noului număr. pentru a obține următoarea cifră, partea fracțională a produsului rezultat trebuie din nou înmulțită cu noua bază a sistemului numeric până când are loc tranziția la partea întreagă. Continuăm înmulțirea până când partea fracțională devine egală cu zero, sau până ajungem la precizia specificată în problemă („... calculați cu o precizie de, de exemplu, două zecimale”).
Exemplu: Să traducem numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.
Comentariu metodic la lecție
Obiectivele profesorului: Să arate elevilor metode de integrare a cunoștințelor din diverse surse, să creeze condiții pentru munca productivă în grup.
Obiectivele elevului: Să se familiarizeze cu istoria apariției sistemelor numerice, să învețe principiile construirii diverselor sisteme de numere și domeniile lor de utilizare, să dobândească abilitățile necesare lucru in echipa cu diverse surse de informare.
La o lecție de matematică în clasa a V-a, în timp ce finalizau o temă legată de descompunerea numerelor cu mai multe cifre în cifre, elevii aveau întrebări: „De ce numărăm după zeci? De ce nu poate fi considerat diferit? Există și alte moduri de a număra? Profesorului i s-a cerut să găsească răspunsuri la aceste întrebări prin căutarea, analizarea și rezumarea informațiilor pe această temă în cursul săptămânii, lucrând în grupuri mici formate din elevii clasei după bunul plac. Rezultatele acestei lucrări ar trebui să fie oficializate și prezentate la lecția de matematică într-o săptămână. La sfârșitul lecției, clasa a fost împărțită în următoarele grupuri creative:
- sisteme de numere ( concepte generale) - 5 persoane
- Sistem binar - 7 persoane (aceasta întrebare a fost solicitată cel mai mare interes)
- Sistem hexazecimal - 5 persoane
- Sistem zecimal - 5 persoane
- Alte sisteme de numere - 3 persoane
- Transferarea lor de la un sistem la altul - 5 persoane.
În urma activității de căutare a elevilor, s-a obținut următoarea lecție:
„Numerele nu conduc lumea, ci arată cum este condusă lumea”
(I-In Goethe)
Grupuri de studenți au prezentat rezultatele cercetării și lucrărilor analitice.
I - Concepte generale
Sistemul de numere este un set de metode de desemnare a numerelor - un limbaj al cărui alfabet este simboluri (numerele) și sintaxă - o regulă care permite cuiva să formuleze o înregistrare numerică fără ambiguitate.
Un număr este o entitate abstractă care descrie o cantitate
O cifră este un caracter folosit pentru a scrie numere. Numerele sunt diferite, cele mai frecvente sunt cifrele arabe; numere romane mai puțin obișnuite (pot fi văzute pe cadranul ceasului sau în denumirea secolului)
Baza este numărul de cifre utilizate în sistemul numeric.
Exemple de numere în diferite sisteme numerice:
11001 2 – număr binar
221 3 - un număr din sistemul numeric ternar
31 8 - număr în sistemul de numere octale
25 10 - număr în sistemul numeric zecimal
În cărțile vechi de aritmetică, pe lângă 4 operații aritmetice, este menționată și a cincea - numerotarea. Numerotarea (calculul) a fost una dintre primele probleme întâlnite în construcția aritmeticii.
Există multe moduri de a scrie numere folosind numere. Aceste metode pot fi împărțite în trei grupuri:
- sisteme de numere poziționale
- sisteme de numere mixte
- sisteme de numere non-poziționale
Bancnotele sunt un exemplu de sistem de numere mixte. Acum, în Rusia se folosesc monede și bancnote cu următoarele valori nominale: 1 copecă, 5 copeici, 10 copeici, 50 de copeici, 1 rublă, 2 ruble, 5 ruble, 10 ruble, 50 de ruble, 100 de ruble, 500 de ruble, 1000 de ruble, 5000 ruble. Pentru a obține o anumită sumă în ruble, trebuie să utilizați o anumită cantitate de bancnote de diferite denominații. Să presupunem că cumpărăm un aspirator care costă 6379 de ruble. Pentru a plăti achiziția, veți avea nevoie de 6 bancnote de 1000 de ruble, 3 bancnote de 100 de ruble, 1 bancnotă de cincizeci de ruble, două zeci, o bancnotă de cinci ruble și două monede de 2 ruble. Dacă notăm numărul de bancnote și monede, începând de la 100 de ruble și terminând cu un copeck, înlocuind valorile care lipsesc cu zerouri, atunci vom obține un număr prezentat într-un sistem de numere mixt: în cazul nostru, 603121200000.
În sistemele de numere nepoziționale, valoarea unui număr nu depinde de poziția cifrelor în intrarea numărului. Dacă am amesteca numerele din numărul 603121200000, atunci nu am putea înțelege cât costă aspiratorul; în nu sistem pozițional Numerele pot fi rearanjate fără a modifica suma. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul roman. Astfel de sisteme sunt construite pe principiul aditivității (adăugarea în engleză - sumă). Echivalentul cantitativ al unui număr este definit ca suma cifrelor. De exemplu:
În sistemele de numere poziționale, ordinea cifrelor în intrarea numărului este întotdeauna importantă. (25 și 52 sunt numere diferite)
Orice sistem de numere destinat utilizării practice trebuie să ofere:
- capacitatea de a reprezenta un număr într-un interval dat de numere
- neechivocitatea reprezentării
- concizie și ușurință în scriere
- ușurința de a stăpâni sistemul, precum și simplitatea și comoditatea de a-l opera
II - Sistemul de numere binar
Sistemul de numere binar este un sistem de numere pozițional cu baza 2. În acest sistem de numere, numerele naturale sunt scrise folosind două simboluri: 1 și 0. Cifra sistem binar- un pic. Opt cifre este un octet.
Sistemul de numere binare a fost inventat de matematicieni și filozofi încă din secolele XVII-XIX. Remarcabilul matematician Leibniz spunea: „Calculul cu ajutorul doi... este principalul pentru știință și generează noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple începuturi, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot. ” Mai târziu, sistemul binar a fost uitat și abia în 1936-1938 inginerul și matematicianul american Claude Shannon a găsit o utilizare remarcabilă a sistemului binar în proiectarea circuitelor electronice.
Sistemul binar este folosit în dispozitivele digitale deoarece este cel mai simplu.
Avantajele sistemului binar:
- Cu cât sunt mai puține valori în sistem, cu atât este mai ușor de realizat elemente individuale operand pe aceste valori. Două cifre sunt ușor de reprezentat fenomene fizice: există curent - nu există curent; inducţie camp magnetic mai mare decât valoarea pragului sau nu etc.
- Cu cât un element are mai puține stări, cu atât este mai mare imunitatea la zgomot și cu atât poate funcționa mai repede.
- Aritmetica binară este destul de simplă.
- Este posibil să se utilizeze aparatul logic pentru a efectua operații pe biți
Pentru a converti din binar în zecimal, se folosește un tabel cu puteri de 2.
III - Sistemul numeric hexazecimal
LA timp modern Sistemul de numere sexagesimal este folosit pentru a măsura timpul, unghiurile.
În reprezentarea timpului se folosesc trei poziții: ore, minute, secunde, deoarece pentru fiecare poziție trebuie să folosim 60 de cifre, și avem doar 10, apoi două cifre zecimale (00, 01, ...) sunt folosite pentru fiecare. poziție sexagesimală, pozițiile sunt separate prin două puncte. h:m:s.
Luați în considerare acțiunile din sistemul numeric sexagesimal pentru două sarcini:
- Tortul trebuie copt la cuptor timp de 45 de minute. Câte secunde va dura?
- Trebuie să coaceți 10 plăcinte. Cât timp va dura?
Pentru a efectua calcule în sistemul numeric sexagesimal, trebuie să cunoașteți tabelele de adunare și înmulțire a numerelor sexagesimale. Fiecare tabelă este foarte mare, are dimensiunea de 60 * 60, abia ne-am amintit de tabelul obișnuit al înmulțirii și ne va fi mult mai greu să învățăm tabelul sexagesimal. Cum să fii? Puteți rezolva aceste probleme în sistemul numeric zecimal și apoi traduceți rezultatul în sexagesimal.
45 minute=0*3600+45*60+0=2700 secunde
2700*10=27000 secunde vor fi necesare pentru a coace 10 plăcinte.
27000/60=450 (reziduu 0)
450/60=7 (restul 30)
7/60=0 (restul 7) S-a dovedit 07:30:00
IV - Sistemul de numere zecimale
Reprezentarea numerelor folosind cifre arabe este cel mai comun sistem de numere pozițional, este numit „sistem de numere zecimale”. Se numește zecimal deoarece folosește zece cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sistemul de numere zecimale este cel mai mult realizare celebră matematică indiană (595). Sistemul de bază 10 a pătruns pe rutele caravanelor din India către multe zone din Orientul Mijlociu. Treptat, acest sistem a început să fie folosit din ce în ce mai pe scară largă în lumea arabă, deși alte sisteme au rămas în uz în același timp. „Cartea Abacului” a lui Leonardo din Pisa (1202) a fost una dintre sursele pătrunderii sistemului de numerotare indo-arabă în Europa de Vest. Această carte a fost o lucrare grandioasă pentru acele vremuri; în formă tipărită, a constat din 460 de pagini. Autorul său este cunoscut și sub numele de Fibonacci. Cartea sa a reprezentat enciclopedia matematică a timpului său. Sistemul zecimal a devenit larg răspândit și recunoscut în Europa abia în perioada Renașterii.
V - Alte sisteme numerice
Sistem de numere hexazecimale - pentru a scrie numere sunt folosite următoarele caractere: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binar sistem zecimal socoteala. Într-un astfel de sistem, fiecare cifră zecimală este codificată o anumită combinație cifre binare. Denumirea fiecărei cifre zecimale se numește tetradă. Exemplu:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrade)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Sistem de numere în cinci ori - Primii matematicieni puteau număra doar pe degetele unei mâini, iar dacă ar fi mai multe obiecte, ar spune așa: „cinci + unu”, etc. Uneori, numărul 20 a fost luat ca bază - numărul degetelor de la mâini și de la picioare. Din cele 307 sisteme numerice ale popoarelor primitive americane, 146 erau zecimale, 106 erau quinare și zecimale. Într-o formă mai caracteristică, sistemul de bază 20 a existat printre mayașii din Mexic și printre celții din Europa.
VI - Transfer de la un sistem la altul
Sistemele numerice sunt legate? Este posibil să traduci un număr dintr-un sistem în altul? Există două reguli principale pentru transferul de la un sistem la altul:
Translația de la oricare altul la sistemul zecimal se efectuează după formulele:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Conversia unui număr dintr-un sistem zecimal într-un sistem cu orice bază se realizează conform algoritmului:
25 10 convertiți în număr binar
25/2=12 (restul 1)
12/2=6 (restul 0)
6/2=3 (restul 0)
3/2=1 (restul 1)
1/2=0 (restul 1) Am primit numărul 11001 2
25 10 convertiți în număr ternar
25/3=8 (restul 1)
8/3=2 (restul 2)
2/3=0 (restul 2) Primit 221 3
25 10 convertiți în număr octal
25/8=3 (restul 1)
3/8=0 (restul 3) Am primit 31 8
După prezentarea rezultatelor muncii grupurilor creative, toate sistemele numerice au fost evaluate după criteriile indicate la început, iar toată lumea a ajuns la concluzia că, ca urmare a dezvoltării istorice a matematicii, cel mai convenabil sistem (zecimal) a devenit cea mai comună. În același timp, au existat susținători înfocați ai sistemului binar, care credeau că este foarte important pentru electronică.
Lecția s-a încheiat cu un syncwin.
Sistemul de numere este convenabil, rapid, ajută, numără, înregistrează
„Numărătoarea și calculele sunt baza ordinii în cap” (I. Pestalozzi)
Surse de informare
- D.Da. Stroik „Un scurt eseu despre istoria matematicii” („Nauka”, Moscova, 1990).
- N.Da. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov „În spatele paginilor unui manual de matematică” („Prosveshchenie”, Moscova, 2008).
- A.V. Dorofeev „Pagini de istorie în lecțiile de matematică” („Iluminismul”, Moscova, 2007).
- Resurse de internet „Wikipedia”.
sistem de numere este un set de metode de denumire și scriere a numerelor. În orice sistem numeric, anumite simboluri sunt alese pentru a reprezenta numere (sunt numite cifre), iar restul numerelor sunt obținute în urma oricăror operații asupra cifrelor acestui sistem de numere.
Sistemul este numit pozițional dacă valoarea fiecărei cifre (greutatea ei) se modifică în funcţie de poziţia (poziţia) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul.
Se numește numărul de unități din orice categorie, combinate într-o unitate de ordin superior baza sistemului numeric pozițional. Dacă numărul acestor cifre este P, atunci sistemul numeric este apelat P-ichny. Baza unui sistem numeric este aceeași cu numărul de cifre folosit pentru a scrie numere în acel sistem de numere.
Înregistrare număr arbitrar Xîn P Sistemul numeric pozițional -ary se bazează pe reprezentarea acestui număr ca polinom
x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m
Operațiile aritmetice asupra numerelor din orice sistem numeric pozițional sunt efectuate după aceleași reguli ca și în sistemul zecimal, deoarece toate se bazează pe regulile de efectuare a operațiilor pe polinoamele corespunzătoare. În acest caz, trebuie să utilizați doar acele tabele de adunare și înmulțire care corespund acestei baze. P sisteme de numere.
Când convertiți numere dintr-un sistem numeric zecimal într-un sistem cu bază P> 1 utilizează de obicei următorul algoritm:
1) dacă partea întreagă a numărului este translată, atunci aceasta este împărțită la P, după care se păstrează restul diviziei. Coeficientul rezultat este din nou împărțit la P, restul este amintit. Procedura continuă până când coeficientul devine zero. Resturile după împărțirea la P sunt emise în ordinea inversă a primirii lor;
2) dacă partea fracționară a numărului este translată, atunci se înmulțește cu P, după care partea întreagă este stocată și aruncată. Partea fracționată nou obținută se înmulțește cu P etc. Procedura continuă până când partea fracționată devine zero. Părțile întregi sunt scrise după virgulă în ordinea în care au fost primite. Rezultatul poate fi fie o fracție finită, fie o fracție periodică într-un sistem numeric cu o bază P. Prin urmare, atunci când fracția este periodică, trebuie să tăiați înmulțirea la un pas și să vă mulțumiți cu notarea aproximativă a numărului inițial în sistemul cu baza P .
Codificarea numerelor
Pentru a folosi numere, trebuie să le denumești și să le scrii cumva, ai nevoie de un sistem de numerotare. Diverse sisteme de numărare și scriere a numerelor au coexistat și au concurat între ele timp de mii de ani, dar până la sfârșitul „erei pre-calculatoare” numărul „zece” a început să joace un rol special în numărare și sistem popular codificarea s-a dovedit sistem zecimal pozițional.În acest sistem, valoarea unei cifre dintr-un număr depinde de locul (poziția) în cadrul numărului. Sistemul numeric zecimal a venit din India (nu mai târziu de secolul al VI-lea d.Hr.). Alfabetul acestui sistem: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - doar 10 cifre, deci baza sistemului numeric este 10. Numărul este scris ca o combinație de unități, zeci, sute, mii etc. Exemplu: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .
Există 10 cifre în acest sistem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dar informațiile sunt transportate nu numai de număr, ci și de locul în care se află numărul (care este poziția sa). Cifra cea mai din dreapta a numărului arată numărul de unități, a doua din dreapta - numărul de zeci, următoarea - numărul de sute etc.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Rețineți că alegerea numărului 10 ca bază a sistemului numeric este explicată prin tradiție și nu prin unele proprietăți remarcabile ale numărului 10. În general, reprezentarea numărului N în sistemul numeric p-ary, Acest:
N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , Unde A ¹ 0, A i Î {0, 1, 2, ..., A i }.
În Babilon, de exemplu, s-a folosit un sistem de numere cu 60 de zecimale, alfabetul conținea numere de la 1 la 59, nu exista un număr 0, tabelele de înmulțire erau foarte greoaie, așa că a fost uitat foarte curând, dar ecourile din fosta sa prevalență pot se observă acum - împărțirea orei timp de 60 de minute, împărțind cercul la 360 de grade.
Sistem de numere binar
Sistemul de numere binare a fost inventat de matematicieni și filozofi chiar înainte de apariția computerelor (secolele XVII - XIX). Remarcabilul matematician Leibniz spunea: „Calculul cu ajutorul doi... este fundamental pentru știință și generează noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple principii, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot”. Mai târziu, sistemul binar a fost uitat și abia în 1936 - 1938 inginerul și matematicianul american Claude Shannon a găsit aplicații remarcabile ale sistemului binar în proiectarea circuitelor electronice. Luați în considerare un exemplu de reprezentare a unui număr în sistemul binar:
Exemplul 2.1.1. Să transformăm numărul 2000 în sistemul binar.
1. Împărțiți 2000 la baza noului sistem numeric - 2:
2000:2=1000(0 - rest),
2. Colectăm ultimul coeficient de împărțire (întotdeauna egal cu 1) și restul împărțirii și le scriem în ordine, începând de jos:
2000 10 ==11111010000 2
Pentru a verifica, vom traduce numărul rezultat într-un sistem numeric zecimal, pentru aceasta:
1. Selectați cifrele binare ale numărului, adică puterea numărului 2, începând de la 0:
2. Scrieți suma produselor lui 0 și 1 cu puterea corespunzătoare a numărului 2 (vezi reprezentarea numărului în sistemul numeric p-ary):
0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 + l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Există sisteme de numere legate de binar. Când lucrați cu computere, uneori trebuie să vă ocupați de numere binare, deoarece numerele binare sunt încorporate în designul unui computer. Sistemul binar este convenabil pentru un computer, dar incomod pentru o persoană - numerele prea lungi sunt incomod de scris și reținut. Sistemele numerice vin în ajutor, legate de binar - octal și hexazecimal.
De exemplu, în sistemul hexazecimal, 10 cifre și litere arabe sunt folosite pentru a scrie numere. alfabet latin(A, B, C, D, E, F). Pentru a scrie un număr în acest sistem numeric, este convenabil de utilizat reprezentare binară numerele. Să luăm, de exemplu, același număr - 2000 sau 11111010000 în sistemul binar. Să-l împărțim în patru caractere, deplasându-ne de la dreapta la stânga, în ultimele patru din stânga atribuim un 0 nesemnificativ astfel încât numărul de caractere din triade să fie patru: 0111 1101 0000. Să începem traducerea - numărul 0111 în sistemul binar corespunde numărului 7 în sistemul zecimal (7 10 \u003d 1 * 2 0 +1*2 1 +1*2 2), există o cifră 7 în sistemul numeric hexazecimal; numărul 1101 în sistemul binar corespunde cu numărul 13 în sistemul zecimal (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), în sistemul hexazecimal acest număr corespunde cifrei D și, în cele din urmă, numărul 0000 - în orice sistem numeric 0. Acum scriem rezultatul:
11111010000 2 = 7D0 16 .
SISTEME DE NUMERE TWELUX ȘI OCTAL
Deși sistemul zecimal este cel mai utilizat, asta nu înseamnă că este cel mai bun. Distribuția pe scară largă se datorează în mare măsură circumstanței anatomice că avem zece degete și zece degete pe mâini și picioare. În ceea ce privește principiul pozițional și desemnările digitale, acestea pot fi la fel de bine adaptate la sistemul numeric cu orice bază, indiferent dacă este egal cu 2, 10 sau orice alt număr întreg pozitiv, altul decât unul. De exemplu, înlocuind în reprezentarea polinomială 7 X 2 + 6X 1 + 5X 0 + 4X –1 + 3X-2 în schimb X valoarea 10, obținem numărul 765,43 în sistemul nostru zecimal obișnuit. Dar fără nici cea mai mică prejudiciu la principiul pozițional de a desemna numere întregi și fracții în loc de X De asemenea, puteți înlocui orice alt număr întreg pozitiv. În loc de numărul 10 ca bază a sistemului numeric, cel mai adesea s-a propus să se utilizeze numerele 8 și 12. Sistemele rezultate din astfel de înlocuiri sunt cunoscute ca octale și duozecimale. În sistemul octal, în loc de o variabilă Xîn reprezentare polinomială, înlocuiți 8, iar apoi numărul egal cu 765,43 în sistem zecimal, în sistem octal va fi egal cu (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 -1) + 3 ( 8–2), adică număr. În duozecimal, aceeași reprezentare polinomială pentru X= 12 dă (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 -1) + 3(12 -2), sau în notația noastră obișnuită. În ceea ce privește calculele, acestea sunt în toate cele trei sisteme numerice, zecimal, octal și duozecimal, efectuate aproape în același mod și cu aceeași ușurință. Diferența este în principal în tabelele de adunare și înmulțire, deoarece acestea se schimbă de la un sistem numeric la altul. De exemplu, șapte plus șapte este egal cu opt plus șase în octal, zece plus patru în zecimală și doisprezece plus doi în duozecimal. În mod simbolic, aceste sume și produse pot fi scrise după cum urmează:Vedem că trecerea de la zecimal la octal sau duozecimal necesită o revizuire completă a tabelelor de adunare și înmulțire; aceasta explică de ce propunerile de trecere la aceste sisteme de numere nu au fost acceptate pe scară largă. Beneficiile acestei tranziții sunt compensate de dificultățile care vin odată cu ea. Principalele avantaje ale sistemelor de numere octale și duozecimale sunt legate de divizibilitatea bazelor lor. Luând în considerare doar numere întregi mai mici de jumătate din bază (deoarece niciun număr nu poate fi divizor al bazei dacă acest număr este mai mare decât jumătate din bază, dar mai mic decât aceasta), este ușor de înțeles că numărul 10 are două săptămâni - numerele 3 și 4, în timp ce în sistemul octal, singurul non-divizor mai mic de jumătate din bază este numărul 3, iar în sistemul duozecimal, singurul non-divizor al bazei este numărul 5. Cu alte cuvinte, avantajul de numărul 12 ca bază a sistemului numeric este că are divizori ai numerelor 2, 3, 4 și 6, în timp ce numărul 10 are divizori de 2 și 5. Numărul 8 are divizori doar de 2 și 4, dar este principalul avantaj față de ceilalți este că bisectia continuă duce invariabil la o reprezentare fracțională „singurică” în formă polinomială. De exemplu, dacă 8 este împărțit la 2 10 , atunci rezultatul este exact (0,004) 8 , în timp ce dacă 12 este împărțit la 2 10 , atunci obțineți (aproximativ) (0,0183) 12 , iar dacă împărțiți la 2 10 numărul 10 este (de asemenea, aproximativ) va fi egal cu (0,0097656) 10 .
Studiind codificările, mi-am dat seama că nu înțelegeam suficient de bine sistemele de numere. Cu toate acestea, a folosit adesea sistemele 2-, 8-, 10-, 16-lea, traduse unul în altul, dar totul a fost făcut pe „automat”. După ce am citit multe publicații, am rămas surprins de lipsa unui singur, scris limbaj simplu, articole despre un astfel de material de bază. De aceea m-am hotărât să-l scriu pe al meu, în care am încercat să prezint elementele de bază ale sistemelor de numere într-o manieră accesibilă și ordonată.
Introducere
Notaţie este un mod de a scrie (reprezenta) numere.Ce se înțelege prin asta? De exemplu, vezi mai mulți copaci în fața ta. Sarcina ta este să le numeri. Pentru a face acest lucru, puteți să vă îndoiți degetele, să faceți crestături pe o piatră (un copac - un deget / crestătură) sau să potriviți 10 copaci cu un obiect, de exemplu, o piatră și o singură copie cu o baghetă și să le așezați pe pământ pe măsură ce numărați. În primul caz, numărul este reprezentat ca o linie de degete îndoite sau crestături, în al doilea - o compoziție de pietre și bastoane, unde pietrele sunt în stânga, iar bastoanele sunt în dreapta.
Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale, iar poziționale, la rândul lor, în omogene și mixte.
nepozițională- cea mai veche, în ea fiecare cifră a unui număr are o valoare care nu depinde de poziția (cifra) a acestuia. Adică, dacă aveți 5 liniuțe, atunci și numărul este egal cu 5, deoarece fiecare liniuță, indiferent de locul ei în linie, corespunde doar unui singur articol.
Sistem pozițional- valoarea fiecărei cifre depinde de poziția (cifra) acesteia în număr. De exemplu, al 10-lea sistem numeric, care ne este familiar, este pozițional. Luați în considerare numărul 453. Numărul 4 indică numărul de sute și corespunde numărului 400, 5 - numărul zecilor și este similar cu valoarea 50, iar 3 - unități și valoarea 3. După cum puteți vedea, cu cât este mai mare cifra, cu atât valoarea este mai mare. Numărul final poate fi reprezentat ca suma 400+50+3=453.
sistem omogen- pentru toate cifrele (pozițiile) numărului, setul de caractere (cifre) valide este același. Ca exemplu, să luăm al 10-lea sistem menționat mai devreme. Când scrieți un număr într-un al 10-lea sistem omogen, puteți utiliza o singură cifră de la 0 la 9 în fiecare cifră, astfel încât numărul 450 este permis (prima cifră - 0, a 2-a - 5, a 3-a - 4), dar 4F5 nu este, deoarece caracterul F nu face parte din cifrele de la 0 la 9.
sistem mixt- în fiecare cifră (poziție) a numărului, setul de caractere (numere) valide poate diferi de seturile de alte cifre. Un exemplu izbitor este sistemul de măsurare a timpului. În categoria secunde și minute sunt posibile 60 de caractere diferite (de la „00” la „59”), în categoria ore - 24 personaje diferite(de la „00” la „23”), în descărcarea zilei - 365 etc.
Sisteme non-poziționale
De îndată ce oamenii au învățat să numere, a fost nevoie să înregistreze numerele. La început, totul era simplu - o crestătură sau liniuță pe o suprafață corespundea unui obiect, de exemplu, un fruct. Așa a apărut primul sistem numeric - unitate.Sistemul de numere de unitate
Un număr din acest sistem numeric este un șir de liniuțe (beți), al căror număr este egal cu valoarea numărului dat. Astfel, o recoltă de 100 de curmale va fi egală cu un număr format din 100 de liniuțe.Dar acest sistem are inconveniente evidente - cu cât numărul este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. În plus, puteți greși cu ușurință când scrieți un număr adăugând accidental un stick suplimentar sau, dimpotrivă, neadăugând-o.
Pentru comoditate, oamenii au început să grupeze bețe cu 3, 5, 10 bucăți. În același timp, fiecărui grup îi corespundea un anumit semn sau obiect. Inițial, degetele erau folosite pentru numărare, astfel că primele semne au apărut pentru grupuri de 5 și 10 bucăți (unități). Toate acestea au făcut posibilă crearea mai multor sisteme convenabile intrări de numere.
sistem zecimal egiptean antic
În Egiptul antic, caracterele speciale (numerele) erau folosite pentru a desemna numerele 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Aici sunt câțiva dintre ei:De ce se numește zecimală? După cum a fost scris mai sus - oamenii au început să grupeze simboluri. În Egipt, au ales o grupare de 10, lăsând numărul „1” neschimbat. LA acest caz, numărul 10 se numește baza sistemului numeric zecimal și fiecare simbol este o reprezentare a numărului 10 într-o oarecare măsură.
Numerele din sistemul de numere egiptean antic au fost scrise ca o combinație a acestora
personaje, fiecare dintre acestea fiind repetat de cel mult nouă ori. Valoarea finală a fost egală cu suma elementelor numărului. Este de remarcat faptul că această metodă de obținere a unei valori este caracteristică fiecărui sistem numeric nepozițional. Un exemplu este numărul 345:
Sistemul sexagesimal babilonian
Spre deosebire de sistemul egiptean, în sistemul babilonian au fost folosite doar 2 simboluri: o pană „dreaptă” pentru unități și una „mincinosă” pentru zeci. Pentru a determina valoarea unui număr, este necesar să împărțiți imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. O nouă descărcare începe cu apariția unei pane drepte după una înclinată. Să luăm ca exemplu numărul 32:
Numărul 60 și toate gradele sale sunt, de asemenea, indicate printr-o pană dreaptă, la fel ca „1”. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.
Toate numerele de la 1 la 59 au fost scrise de babilonieni într-un sistem zecimal non-pozițional și mari valori- în poziție cu baza 60. Numărul 92:
Notarea numărului era ambiguă, deoarece nu exista nicio cifră pentru zero. Reprezentarea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92=60+32, ci și, de exemplu, 3632=3600+32. Pentru a determina valoarea absolută a unui număr a fost introdus caracter special pentru a indica o cifră sexagesimală lipsă, care corespunde apariției cifrei 0 în notația zecimală:
Acum, numărul 3632 ar trebui să fie scris ca:
Sistemul sexagesimal babilonian este primul sistem numeric bazat parțial pe principiul pozițional. Acest sistem calculul este folosit și astăzi, de exemplu, la determinarea timpului - o oră este formată din 60 de minute și un minut din 60 de secunde.
sistemul roman
Sistemul roman nu este mult diferit de cel egiptean. Folosește literele latine majuscule I, V, X, L, C, D și, respectiv, M, pentru a desemna numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și, respectiv, 1000. Un număr din sistemul numeric roman este un set de cifre consecutive.Metode pentru determinarea valorii unui număr:
- Valoarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor sale. De exemplu, numărul 32 în sistemul numeric roman este XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Dacă există un număr mai mic la stânga cifrei mai mari, atunci valoarea este egală cu diferența dintre cifrele mai mari și cele mai mici. În același timp, cifra din stânga poate fi mai mică decât cea din dreapta cu maximum o ordine: de exemplu, înainte de L (50) și C (100) ale celor „mai tinere”, doar X (10) poate sta în picioare, înainte de D (500) și M (1000) - numai C(100), înainte de V(5) - doar I(1); numărul 444 din sistemul numeric considerat se va scrie CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Valoarea este egală cu suma valorilor grupurilor și numerelor care nu se încadrează sub 1 și 2 puncte.
1) Slavă
2) greacă (ionică)
Sisteme numerice poziționale
După cum am menționat mai sus, primele condiții prealabile pentru apariția unui sistem pozițional au apărut în Babilonul antic. În India, sistemul a luat forma unei numerotări zecimale poziționale folosind zero, iar de la hinduși acest sistem de numere a fost împrumutat de arabi, de la care a fost adoptat de europeni. Din anumite motive, în Europa, numele „Arab” a fost atribuit acestui sistem.Sistem de numere zecimale
Acesta este unul dintre cele mai comune sisteme numerice. Acesta este ceea ce folosim atunci când numim prețul mărfurilor și pronunțăm numărul autobuzului. În fiecare cifră (poziție) poate fi utilizată o singură cifră din intervalul de la 0 la 9. Baza sistemului este numărul 10.De exemplu, să luăm numărul 503. Dacă acest număr ar fi scris într-un sistem nepozițional, atunci valoarea lui ar fi 5 + 0 + 3 = 8. Dar avem un sistem pozițional, ceea ce înseamnă că fiecare cifră a numărului trebuie să fie înmulțit cu baza sistemului, în acest caz numărul „10”, ridicat la puterea egală cu numărul cifrei. Se pare că valoarea este 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Pentru a evita confuzia atunci când munca simultana cu mai multe sisteme numerice, baza este indicată ca indicele. Astfel, 503 = 503 10 .
Pe lângă sistemul zecimal, sistemele 2-, 8-, 16-lea merită o atenție specială.
Sistem de numere binar
Acest sistem este utilizat în principal în informatică. De ce nu au început să folosească al 10-lea cu care suntem obișnuiți? Prima mașină de calcul a fost creată de Blaise Pascal, care a folosit sistemul zecimal în ea, ceea ce s-a dovedit a fi incomod în modernul mașini electronice, întrucât a necesitat producția de dispozitive capabile să funcționeze în 10 state, ceea ce le-a crescut prețul și dimensiunile finale ale mașinii. Aceste deficiențe sunt lipsite de elementele care funcționează în cel de-al doilea sistem. Cu toate acestea, sistemul în cauză a fost creat cu mult înainte de invenție calculatoareși duce „rădăcini” la civilizația incasă, unde a fost folosit quipu - plexuri și noduri complexe de frânghie.Sistemul de numere binare poziționale are o bază de 2 și folosește 2 caractere (cifre) pentru a scrie un număr: 0 și 1. Este permisă doar o cifră în fiecare bit - fie 0, fie 1.
Un exemplu este numărul 101. Este similar cu numărul 5 din sistemul numeric zecimal. Pentru a converti de la a 2-a la a 10-a, este necesar să înmulțiți fiecare cifră a numărului binar cu baza „2”, ridicată la o putere egală cu cifra. Astfel, numărul 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Ei bine, pentru mașini, sistemul de al 2-lea număr este mai convenabil, dar vedem adesea că folosim numere în al 10-lea sistem pe un computer. Cum determină aparatul ce număr introduce utilizatorul? Cum traduce un număr dintr-un sistem în altul, deoarece are doar 2 caractere la dispoziție - 0 și 1?
Pentru ca un computer să funcționeze cu numere binare (coduri), acestea trebuie să fie stocate undeva. Pentru a stoca fiecare cifră individuală, se folosește un declanșator, adică circuit electronic. Poate fi în 2 stări, dintre care una corespunde cu zero, cealaltă cu una. Pentru a stoca un singur număr, se folosește un registru - un grup de declanșatoare, al căror număr corespunde numărului de cifre dintr-un număr binar. Iar setul de registre este Berbec. Numărul conținut în registru este un cuvânt de mașină. Aritmetică și operatii logice cu cuvinte realizează unitatea logică aritmetică (ALU). Pentru a simplifica accesul la registre, acestea sunt numerotate. Numărul se numește adresa de înregistrare. De exemplu, dacă trebuie să adăugați 2 numere, este suficient să indicați numărul de celule (registre) în care sunt situate, și nu numerele în sine. Adresele sunt scrise în sisteme 8 și hexazecimale (vor fi discutate mai jos), deoarece trecerea de la ele la sistemul binar și invers este destul de simplă. Pentru a transfera de la al 2-lea la al 8-lea număr, este necesar să-l împărțiți în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și să mergeți la a 16-a - 4 cifre fiecare. Dacă nu există suficiente cifre în grupul de cifre din stânga, apoi sunt umplute de la stânga cu zerouri, care se numesc conducător. Să luăm ca exemplu numărul 101100 2. În octal este 101 100 = 54 8 iar în hexazecimal este 0010 1100 = 2C 16 . Grozav, dar de ce vedem numere și litere zecimale pe ecran? Atunci când o tastă este apăsată, o anumită secvență de impulsuri electrice este transmisă computerului, iar fiecare caracter are propria sa secvență de impulsuri electrice (zero și unu). Apelurile programului driver pentru tastatură și ecran tabelul de coduri caractere (de exemplu, Unicode, care vă permite să codificați 65536 caractere), determină cărui caracter îi corespunde codul primit și îl afișează pe ecran. Astfel, textele și numerele sunt stocate în memoria computerului în cod binar și în mod programatic convertite în imagini de pe ecran.
Sistem de numere octale
Al 8-lea sistem numeric, ca și cel binar, este adesea folosit în tehnologie digitala. Are baza 8 și folosește cifrele de la 0 la 7 pentru a reprezenta numărul.Exemplu număr octal: 254. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului inițial trebuie înmulțită cu 8 n, unde n este numărul cifrei. Rezultă că 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Sistem de numere hexazecimale
Sistemul hexazecimal este utilizat pe scară largă în calculatoare moderne, de exemplu, specifica culoarea: #FFFFFF - culoare alba. Sistemul luat în considerare are baza 16 și folosește pentru a scrie numărul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, unde literele sunt 10, 11, 12, 13, 14, respectiv 15.Să luăm ca exemplu numărul 4F5 16. Pentru a converti în sistemul octal, mai întâi convertim numărul hexazecimal în binar, apoi, împărțindu-l în grupuri de 3 cifre, în octal. Pentru a converti un număr în 2, fiecare cifră trebuie reprezentată ca un număr binar de 4 biți. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Dar în grupurile 1 și 3 nu există suficientă cifră, așa că să umplem fiecare cu zerouri de început: 0100 1111 0101. Acum trebuie să împărțim numărul rezultat în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 011 101. Să traducem fiecare grup binar în sistemul octal, înmulțind fiecare cifră cu 2n, unde n este numărul cifrei: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Pe lângă sistemele de numere poziționale considerate, există și altele, de exemplu:
1) Ternar
2) Cuaternar
3) Duozecimal
Sistemele poziționale sunt împărțite în omogene și mixte.
Sisteme de numere poziționale omogene
Definiția dată la începutul articolului descrie sisteme omogene destul de complet, deci nu este necesară o clarificare.Sisteme de numere mixte
La definiția deja dată, putem adăuga următoarea teoremă: „dacă P=Q n (P,Q,n sunt numere întregi numere pozitive, în timp ce P și Q sunt baze), atunci notația oricărui număr în sistemul de numere mixt (P-Q) coincide identic cu notația aceluiași număr în sistemul numeric cu baza Q.”Pe baza teoremei, putem formula regulile de transfer de la Pth la Sistemul Q si invers:
- Pentru a transfera de la Q-th la P-th, aveți nevoie de un număr în sistemul Q-th, împărțit în grupuri de n cifre, începând cu cifra dreapta, și înlocuiți fiecare grup cu o cifră în P-th sistem.
- Pentru a transfera de la P-th la Q-th, este necesar să traduceți fiecare cifră a numărului din sistemul P-th în Q-th și să completați cifrele lipsă cu zerouri de început, cu excepția celei din stânga, astfel încât fiecare număr din sistemul Q de bază este format din n cifre.
Sistemele de numere mixte sunt, de asemenea, de exemplu:
1) Factorial
2) Fibonacci
Traducerea de la un sistem numeric la altul
Uneori trebuie să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, așa că haideți să vedem cum să traduceți între diferite sisteme.Conversie zecimală
Există un număr a 1 a 2 a 3 în sistemul numeric cu baza b. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului trebuie înmulțită cu b n, unde n este numărul cifrei. Deci (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Exemplu: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Conversia de la sistemul de numere zecimal la altele
Toata parte:- Împărțim succesiv partea întreagă a numărului zecimal la baza sistemului în care transferăm, până când numărul zecimal devine zero.
- Resturile obtinute prin impartire sunt cifrele numarului dorit. Număr în sistem nou sunt scrise pornind de la ultimul rest.
- Înmulțim partea fracționară a numărului zecimal cu baza sistemului în care doriți să traduceți. Separăm toată partea. Continuăm să înmulțim partea fracțională cu baza noului sistem până când devine 0.
- Numărul din noul sistem este părțile întregi ale rezultatelor înmulțirii în ordinea corespunzătoare primirii acestora.
15\8 = 1, restul 7
1\8 = 0, restul 1
După ce am scris toate resturile de jos în sus, obținem numărul final 17. Prin urmare, 15 10 \u003d 17 8.
Conversie binar în octal și hexazecimal
Pentru a converti în octal, împărțim numărul binar în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și completăm cifrele extreme lipsă cu zerouri de început. În continuare, transformăm fiecare grup înmulțind succesiv cifrele cu 2 n , unde n este numărul cifrei.Să luăm ca exemplu numărul 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Pentru a converti în hexazecimal - împărțim numărul binar în grupuri de 4 cifre de la dreapta la stânga, apoi - similar conversiei de la a 2-a la a 8-a.
Conversia din sisteme octale și hexazecimale în binar
Convertirea de la octal la binar - convertim fiecare cifră a unui număr octal într-un număr binar de 3 cifre prin împărțirea la 2 (pentru mai multe informații despre divizare, consultați paragraful „Conversia de la zecimal la altul” de mai sus), cifrele extreme lipsă vor fi completat cu zerouri inițiale.De exemplu, luați în considerare numărul 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traducere de la 16 la 2 - convertiți fiecare cifră număr hexazecimalîntr-un număr binar de 4 biți prin împărțirea la 2, completați biții extremi lipsă cu zerouri de început.
Conversia părții fracționale a oricărui sistem numeric în zecimală
Conversia se realizează în același mod ca și pentru părțile întregi, cu excepția faptului că cifrele numărului sunt înmulțite cu baza la puterea „-n”, unde n începe de la 1.
Exemplu: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Conversia părții fracționale a sistemului binar în a 8-a și a 16-a
Translația părții fracționale se efectuează în același mod ca și pentru părțile întregi ale numărului, cu singura excepție că împărțirea în grupuri de 3 și 4 cifre se duce la dreapta punctului zecimal, cifrele lipsă sunt completate. cu zerouri la dreapta.Exemplu: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1) *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Conversia părții fracționale a sistemului zecimal în oricare alta
Pentru a traduce partea fracțională a unui număr în alte sisteme numerice, trebuie să transformați partea întreagă la zero și să începeți să înmulțiți numărul rezultat cu baza sistemului în care doriți să îl traduceți. Dacă, ca urmare a înmulțirii, apar din nou părți întregi, acestea trebuie să fie din nou transformate la zero, după reținerea (notarea) a valorii părții întregi rezultate. Operația se termină când partea fracțională dispare complet.De exemplu, să traducem 10,625 10 în sistemul binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Notând toate resturile de sus în jos, obținem 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Reprezentarea numerelor și a comenzilor într-un computer(INFlesson5.doc).
Ideea de a exprima numerele în zece semne, dându-le, pe lângă sensul în formă, și sensul în loc, este atât de simplă încât tocmai din cauza acestei simplități este greu de înțeles cât de uimitor este. Cât de greu este să ajungi la această metodă, vedem în exemplu cele mai mari geniiînvăţătura greacă a lui Arhimede şi Apollonius, cărora acest gând a rămas ascuns.
Pierre Simon Laplace
Învățând cum să reprezinte informatii numerice este necesar să facem cunoștință cu regulile de traducere a unei reprezentări a unui număr în alta, pentru a încerca să înțelegem de ce același număr în situații diferite trebuie reprezentat diferit. Tehnicile de reprezentare a numerelor sunt tratate într-o secțiune specială a teoriei numerelor „Sisteme de numere”.
Altul a adăugat concept important- sistemul de numere. De ce este nevoie de ea? Despre ce e vorba? Sistemele numerice sunt sisteme create de om. Astfel de sisteme sunt numite artificial Spre deosebire de natural sisteme create de natură. Sistemele naturale (naturale) includ galaxiile, noastre sistem solar, persoana în ansamblu și așa mai departe. Sistemele artificiale includ orașele, fabricile, sistemul de învățământ, limbile naționale, adică tot ceea ce este făcut de oameni.
Sistemele artificiale pot fi împărțite în
material: mașini, avioane, case, orașe, baraje etc.;
public , adică diverse asociatii persoane: parlament, sistem public de învățământ, club de șah etc.;
informativ: limbi nationale, rețea de calculatoare Internet, sisteme de numere etc.
Fiecare sistem artificial creat cu scop. Se poate susține că cel mai bun sistem artificial este cel care asigură cel mai bine atingerea scopului creării sale.
Scopul creării unui sistem numeric este de a dezvolta cel mai mult mod convenabil intrări de numere. Sistemul de numere vă permite să afișați într-o formă compactă informații cantitative despre obiecte și manipulați-le folosind reguli destul de simple.
primii nouă numere naturale denotăm caractere speciale:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Faceți același lucru cu toate numerele întâlnite în practică, adică. ar fi incomod să desemnăm toate numerele care apar cu semne speciale. Chiar dacă nevoile noastre s-ar limita la a număra într-o mie, ar fi necesar să memorăm o mie de semne speciale. Desigur, de multă vreme oamenii au început să aleagă una sau alta serie de „cheie”, numere de bază și să le desemneze doar cu semne speciale.
Sistemele numerice sunt o invenție genială a omenirii. Pentru a raporta că astăzi este anul 2007 în limbaj natural, sunt obligat să folosesc 16 caractere (fără spații). Folosind limbajul numerelor, puteți reprezenta același lucru cu patru caractere. Se dovedește că numerele sunt coduri ale cuvintelor corespunzătoare, ceea ce este confirmat și de faptul că numărul anului, scris în cuvinte și cifre, este citit de noi în același mod. Numerele în diferite limbi naturale sunt pronunțate diferit și regulile lor de notare și execuție operatii aritmetice peste ele sunt la fel.
Conceptul de număr este fundamental atât pentru matematică, cât și pentru informatică. Dar dacă în matematică se acordă cea mai mare atenție metodelor de prelucrare a numerelor, atunci pentru informatică nu se poate ignora metodele de reprezentare a numerelor, deoarece acestea determină resursele de memorie necesare, viteza și eroarea calculelor.
1. Notaţie- acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru a acționa asupra numerelor.
Diverse sisteme de numere care au existat înainte și care sunt folosite în timpul nostru pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional.
1.1 Sisteme numerice non-poziționale.
Sistemele de numere non-poziționale au fost folosite de egiptenii antici,
greci, romani și alte popoare din antichitate. În sistemele numerice nepoziționale, valoarea pe care o denotă (semnul) nu depinde de poziția semnului în notația numărului.
La noi a ajuns sistemul roman de scriere a numerelor (cifrele romane), care în unele cazuri este încă folosit în numerotare (secole, volume, capitole de carte). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:
1 5 10 50 100 500 1000
De exemplu, numărul CCXXXII este format din două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.
Numerele romane sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor sunt adăugate. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și un număr mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.
VI \u003d 5 + 1 \u003d 6 și IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Sistemele de numere nepoziționale erau mai mult sau mai puțin potrivite pentru efectuarea adunării și scăderilor, dar deloc convenabile pentru înmulțire și împărțire.
1.2 Sisteme numerice poziționale (PSS).
Sistemele numerice poziționale sunt convenabile prin faptul că vă permit să scrieți în mod arbitrar numere mari cu câteva numere. Un avantaj important al sistemelor de numere poziționale este suficient algoritmi simpli efectuează operații aritmetice asupra numerelor.
În sistemele de numere poziționale, valoarea indicată printr-o cifră într-o intrare numerică depinde de poziția acesteia.
Se numește numărul de cifre utilizate bază PSS.
Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistemul zecimal pozițional. Baza sa este zece, deoarece toate numerele sunt scrise folosind zece cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mulți dintre noi, aceste icoane, cunoscute încă din copilărie, sunt asociate cu conceptul de „număr”. Cu toate acestea, putem folosi orice pictogramă ca numere. Da, iar numerele nu trebuie să fie zece.
Deși sistemul zecimal este de obicei numit arab, el își are originea în India, în secolul al V-lea. În Europa, acest sistem a fost învățat în secolul al XII-lea din tratatele științifice arabe, care au fost traduse în latină. Așa se explică numele „cifrele arabe”.
Tipul pozițional al sistemului zecimal este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr cu mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, prima cifră înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități. Aceeași cifră, în funcție de poziția în notația numărului, denotă valori diferite.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Orice număr zecimal poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare de zece. Același lucru este valabil și pentru zecimale.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Acest lucru vă permite să convertiți numere cu o bază care nu este egală cu 10 într-o reprezentare zecimală.
Pentru a efectua o astfel de traducere, este necesar să scrieți numărul original ca sumă a produselor cifrelor numărului cu gradele corespunzătoare ale bazei și să calculați valoarea rezultatului. expresie numerică după regulile aritmeticii zecimale.
1. 432,32 5 → A 10 .
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2. DF,4A 16 → A 10
DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +
Numărul „zece” nu este singura bază posibilă pentru un sistem pozițional. Cunoscutul matematician rus N.N.Luzin a spus astfel: "Avantajele sistemului zecimal nu sunt matematice, ci zoologice. Dacă am avea opt degete în loc de zece, atunci omenirea ar folosi sistemul octal".
Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o bază n (n- desemnarea bazei PSS) trebuie să aveți alfabet din n cifre. De obicei pentru asta n ≤ 10 utilizare n primele cifre arabe și n > 10 La zece cifre arabe se adaugă litere latine.
Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:
Baza sistemului căruia îi aparține un număr este indicată printr-un indice la acel număr.
10110012, 36718, 3B8F16.
1.3 Conversia numerelor zecimale în PSS cu o altă bază decât 10.
1.3.1 Translația numerelor întregi.
Exprimați baza noului sistem numeric în sistem zecimal
calculul și toate acțiunile ulterioare care trebuie efectuate în sistemul numeric zecimal;
Împărțiți în mod consecvent numărul dat și coeficientii incompleti rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet mai mic decât divizorul;
Reziduurile rezultate, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, trebuie aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l începând cu ultimul cât.
1.3.2 Translația numerelor fracționale.
Exprimați baza noului sistem numeric în sistemul zecimal și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul numeric zecimal;
Înmulțiți secvențial număr datși părțile fracționale rezultate ale produselor bazate pe noul sistem numeric până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau este atinsă precizia necesară de reprezentare a numărului în noul sistem numeric;
Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, trebuie aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
Compuneți partea fracțională a numărului în noul sistem de numere, începând cu partea întreagă a primului produs.
Exemple de traducere a unor numere zecimale specifice sunt prezentate în Anexa 1.
Anexa 1.
©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2016-02-16
