Prethodno smo dana funkcija, vodeći se raznim formulama i pravilima, pronašao svoju izvedenicu. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem nalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i obrnuti problem - problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1. Materijalna točka se giba pravocrtno, njena brzina u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da za rješavanje problema trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Zapravo
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Odmah napomenimo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
U matematici se zadaju recipročne operacije različita imena, dosjetiti se posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsinus (arcsin x), itd. Proces pronalaženja derivacije zadane funkcije naziva se diferencijacija, A obrnuti rad, tj. proces pronalaženja funkcije iz zadane derivacije, - integracija.
Sam termin "derivacija" može biti opravdan "u svakodnevnom životu": funkcija y = f(x) "proizvodi" nova značajka y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali je matematičari, naravno, ne nazivaju “roditeljem” ili “proizvođačem”; oni kažu da jest, u odnosu na funkciju y" = f"( x), primarna slika ili primitivna.
Definicija. Funkcija y = F(x) se zove antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \u X\)
U praksi se interval X obično ne specificira, ali se podrazumijeva (kao prirodno područje definiranja funkcije).
Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin(x))" = cos(x)
Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračun izvedenica.
Znamo da je derivacija zbroja jednaka zbroju njegovih derivacija. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).
Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.
Metode integracije
Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)
Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje novog integracijska varijabla(odnosno zamjene). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost ispravnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti integracijske formule za neodređeni integral, dobivamo integracijsku formulu supstitucijom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Funkcija F(x ) nazvao antiderivativan za funkciju f(x) na danom intervalu, ako za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost
F"(x ) = f(x ) .
Na primjer, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2x , jer
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Glavno svojstvo antiderivacije
Ako F(x) - antiderivacija funkcije f(x) na zadanom intervalu, zatim funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve te antiderivacije mogu se napisati u obliku F(x) + C, Gdje S je proizvoljna konstanta.
Na primjer. Funkcija F(x) = x 2 + 1 je antiderivat funkcije f(x ) = 2x , jer F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkcija F(x) = x 2 - 1 je antiderivat funkcije f(x ) = 2x , jer F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkcija F(x) = x 2 - 3 je antiderivat funkcije f(x) = 2x , jer F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bilo koju funkciju F(x) = x 2 + S , Gdje S - proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivacija funkcije f(x) = 2x . ◄ |
Pravila za izračunavanje antiderivacija
- Ako F(x) - antiderivat za f(x) , A G(x) - antiderivat za g(x) , To F(x) + G(x) - antiderivat za f(x) + g(x) . Drugim riječima, antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija .
- Ako F(x) - antiderivat za f(x) , I k - konstantno, dakle k · F(x) - antiderivat za k · f(x) . Drugim riječima, konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije .
- Ako F(x) - antiderivat za f(x) , I k,b- konstantno, i k ≠ 0 , To 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat za f(k x+ b) .
Neodređeni integral
Ne određeni integral od funkcije f(x) zove izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivacija date funkcije f(x) . Neodređeni integral se označava na sljedeći način:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- oni zovu funkcija integranda ;
f(x) dx- oni zovu integrand ;
x - oni zovu integracijska varijabla ;
F(x) - jedan od antiderivacijske funkcijef(x) ;
S je proizvoljna konstanta.
Na primjer, ∫ 2 x dx =x 2 + S , ∫ cosx dx = grijeh x + S i tako dalje. ◄
Riječ "integral" dolazi od latinska riječ cijeli broj , što znači "obnovljen". Uzimajući u obzir neodređeni integral od 2 x, čini se da vraćamo funkciju x 2 , čija je derivacija jednaka 2 x. Vraćanje funkcije iz njezine derivacije ili, što je isto, pronalaženje neodređenog integrala nad danim integrandom naziva se integracija ovu funkciju. Integracija je inverzna operacija diferenciranja.Da bi se provjerilo je li integracija ispravno izvedena dovoljno je diferencirati rezultat i dobiti integrand.
Osnovna svojstva neodređenog integrala
- Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:
- Konstantni faktor integranda može se uzeti iz predznaka integrala:
- Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) integrala ovih funkcija:
- Ako k,b- konstantno, i k ≠ 0 , To
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tablica antiderivacija i neodređenih integrala
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| ja | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\lijevo (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \desno) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\lijevo (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \desno ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Antiderivacijski i neodređeni integrali navedeni u ovoj tablici obično se nazivaju tabularne antiderivative
I tablični integrali
. |
|||
Određeni integral
Neka između [a; b] dano kontinuirana funkcija y = f(x) , Zatim određeni integral od a do b funkcije f(x) naziva se prirast antiderivacije F(x) ovu funkciju, tj
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Brojke a I b nazivaju se prema tome niži I vrh granice integracije.
Osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) gdje je k - konstantno;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), gdje je f(x) — ravnomjerna funkcija;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), gdje je f(x) je čudna funkcija.
Komentar . U svim slučajevima pretpostavlja se da su integranti integrabilni na numeričkim intervalima čije su granice limiti integracije.
Geometrijsko i fizikalno značenje određenog integrala
| Geometrijsko značenje određeni integral | Fizičko značenje
određeni integral |
 |  |
Kvadrat S krivolinijski trapez (figura ograničena grafom kontinuiranog pozitiva na intervalu [a; b] funkcije f(x) , os Vol i ravno x=a , x=b ) izračunava se formulom $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Staza s, koju je materijalna točka prešla gibajući se pravocrtno brzinom koja se mijenja prema zakonu v(t)
, na određeno vrijeme a ;
b] , zatim područje figure ograničeno grafovima ovih funkcija i ravnim linijama x = a
, x = b
, izračunato formulom $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Na primjer. Izračunajmo površinu figure omeđene linijama y = x 2 I y = 2- x . Prikažimo shematski grafove ovih funkcija i označimo drugom bojom lik čije područje treba pronaći. Da bismo pronašli granice integracije, rješavamo jednadžbu: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\lijevo (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \desno )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volumen tijela revolucije
 | Ako je tijelo dobiveno kao rezultat rotacije oko osi Vol krivolinijski trapez omeđen kontinuiranim i nenegativnim grafom na intervalu [a; b] funkcije y = f(x) i ravno x = a I x = b , onda se zove tijelo rotacije . Volumen tijela rotacije izračunava se po formuli $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ako je tijelo rotacije dobiveno kao rezultat rotacije figure ograničene gore i dolje grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x) , prema tome, onda $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Na primjer. Izračunajmo volumen stošca s polumjerom r
i visine h
. Postavimo stožac u pravokutni koordinatni sustav tako da mu se os poklapa s osi Vol
, a središte baze nalazilo se u ishodištu. Okretanje generatora AB definira stožac. Budući da jednadžba AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| a za volumen stošca imamo $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\lijevo (0-\frac(1)(3) \desno)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
