Ranije smo za danu funkciju, vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli njenu derivaciju. Izvod ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; pomoću izvedenice možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; pomaže riješiti probleme optimizacije.
No, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i inverzni problem – problem vraćanja zakona gibanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih zadataka.
Primjer 1. Materijalna točka kreće se pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom v = gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s (t) traženi zakon gibanja. Poznato je da je s "(t) = v (t). Dakle, za rješavanje problema potrebno je odabrati funkciju s = s (t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da je \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Doista
\ (s "(t) = \ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) \ desno)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Odgovor: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)
Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon gibanje, budući da \ (\ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ desno) "= gt \)
Da bismo problem učinili preciznijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku vremena, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s (0) = s 0, tada iz jednakost s (t) = (gt 2) / 2 + C dobivamo: s (0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon gibanja jednoznačno određen: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.
U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena, dolaze s posebnim oznakama, na primjer: kvadrat (x 2) i kvadratni korijen (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x) i sl. Proces nalaženja derivacije s obzirom na zadanu funkciju naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz zadane derivacije je integrirajući.
Sam izraz “derivacija” može se opravdati “u svakodnevnom životu”: funkcija y = f (x) “proizvodi” novu funkciju y “= f” (x). Funkcija y = f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne zovu "roditelj" ili "proizvođač", kažu da je, u odnosu na funkciju y "= f" ( x) , primarna slika ili antiderivat.
Definicija. Funkcija y = F (x) naziva se antiderivatom za funkciju y = f (x) na intervalu X ako je za \ (x \ u X \) jednakost F "(x) = f (x)
U praksi se interval X obično ne označava, već podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).
Evo nekoliko primjera.
1) Funkcija y \ u003d x 2 je antiderivat za funkciju y \ u003d 2x, budući da je za bilo koji x jednakost (x 2) "= 2x
2) Funkcija y \ u003d x 3 je antiderivat za funkciju y \ u003d 3x 2, budući da je za bilo koji x jednakost (x 3) "\ u003d 3x 2
3) Funkcija y = sin (x) je antiderivat za funkciju y = cos (x), budući da za bilo koji x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)
Prilikom pronalaženja antiderivata, poput izvedenica, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima izračuna izvedenica.
Znamo da je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivat zbroja jednak je zbroju antiderivata.
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Ako je F (x) antiderivat za f (x), tada je kF (x) antiderivat za kf (x).
Teorem 1. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x), tada je antiderivat za funkciju y = f (kx + m) funkcija \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)
Teorem 2. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x) na intervalu X, tada funkcija y = f (x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi imaju oblik y = F (x) + C.
Metode integracije
Varijabilna metoda zamjene (metoda zamjene)
Metoda integracije supstitucijom sastoji se u uvođenju nove varijable integracije (odnosno supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za uparivanje zamjena. Sposobnost ispravnog prepoznavanja zamjene stječe se praksom.
Neka je potrebno izračunati integral \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). Napravimo zamjenu \ (x = \ varphi (t) \) gdje je \ (\ varphi (t) \) funkcija s kontinuiranim izvodom.
Tada \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobivamo integracijsku formulu zamjenom:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)
Integracija izraza poput \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)
Ako je m neparan, m> 0, tada je prikladnije zamijeniti sin x = t.
Ako je n neparan, n> 0, tada je prikladnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.
Integracija dio po dio
Integracija po dijelovima - Primjena sljedeće formule za integraciju:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
ili:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)
Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$Integracija zamjenom (zamjena varijable). Pretpostavimo da je potrebno izračunati integral koji nije tabelarni. Bit metode supstitucije je da se u integralu varijabla x zamjenjuje varijablom t prema formuli x = q (t), odakle je dx = q "(t) dt.
Teorema. Neka je funkcija x = q (t) definirana i diferencibilna na nekom skupu T i neka je X skup vrijednosti te funkcije na kojoj je definirana funkcija f (x). Tada ako na skupu X funkcija f (x) ima antiderivat, tada na skupu T vrijedi sljedeća formula:
Formula (1) se naziva formulom promjene varijable u neodređenom integralu.
Integracija po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima proizlazi iz formule za diferencijal umnoška dviju funkcija. Neka su u (x) i v (x) dvije diferencibilne funkcije varijable x. Zatim:
d (uv) = udv + vdu. - (3)
Integrirajući obje strane jednakosti (3) dobivamo:
Ali od tada:
Relacija (4) naziva se formulom za integraciju po dijelovima. Pronalaženje integrala pomoću ove formule. Preporučljivo ga je koristiti kada je integral na desnoj strani formule (4) lakše izračunati od izvornog.
U formuli (4) nema proizvoljne konstante C, budući da se na desnoj strani ove formule nalazi neodređeni integral koji sadrži proizvoljnu konstantu.
Ovdje su neke uobičajene vrste integrala izračunatih metodom integracije po dijelovima.
I. Integrali oblika, (P n (x) je polinom stupnja n, k je neki broj). Za pronalaženje ovih integrala dovoljno je postaviti u = P n (x) i primijeniti formulu (4) n puta.
II. Integrali oblika, (Pn (x) je polinom stupnja n u odnosu na x). Oni se mogu pronaći tako da se često uzima za u funkciju koja je faktor od P n (x).
Izravna integracija
Osnovne integracijske formule
| 1.C - konstanta | 1*. | |
2.  , n ≠ –1 | ||
| 3. + C | ||
4.  |  | |
5. |  | |
6.  |  | |
7.  |  | |
8.  |  | |
9.  |  | |
10.  |  |  |
11.  |  |  |
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  |
Izračun integrala izravnom uporabom tablice najjednostavnijih integrala i osnovnih svojstava neodređenih integrala naziva se izravna integracija.
Primjer 1.
Primjer 2.
Primjer 3.
Ovo je najčešća metoda za integraciju složene funkcije, koja se sastoji u transformaciji integrala prelaskom na drugu varijablu integracije.
Ako je teško svesti integral na tablični pomoću elementarnih transformacija, tada se u ovom slučaju koristi metoda supstitucije. Bit ove metode leži u činjenici da je uvođenjem nove varijable moguće ovaj integral svesti na novi integral, koji je relativno lako uzeti izravno.
Za integraciju metodom supstitucije koristi se sljedeća shema rješenja:
2) pronaći diferencijal iz oba dijela zamjene;
3) izraziti cijeli integrand u terminima nove varijable (nakon čega treba dobiti tablični integral);
4) naći dobiveni tablični integral;
5) izvršite obrnutu zamjenu.
Pronađite integrale:
Primjer 1 . Zamjena:cosx = t,-sinxdx = dt,
Riješenje:
Primjer 2.∫e -x3 x 2 dx Zamjena:-x 3 = t, -3x 2 dx = dt, Riješenje:∫e -x3 x 2 dx = ∫e t (-1/3) dt = -1 / 3e t + C = -1 / 3e -x3 + C
Primjer 3.
Zamjena: 1 + sinx = t, cosxdx = dt,
Riješenje: .
ODJELJAK 1.5. Određeni integral, metode njegovog izračuna.
p.1 Pojam određenog integrala
Zadatak. Pronađite prirast antiderivata funkcije za funkciju f (x), prilikom prosljeđivanja argumenta x od značenja a na vrijednost b.
Riješenje... Pretpostavimo da je integracija pronašla: ∫ (x) dx = F (x) + C.
Zatim F (x) + C 1, gdje C 1- bilo koji zadani broj bit će jedna od antiderivacijskih funkcija za ovu funkciju f (x)... Pronađite njegov prirast kada argument prijeđe iz vrijednosti a na vrijednost b... dobivamo:
x = b - x = a = F (b) + C 1 - F (a) -C 1 = F (b) -F (a)
Kao što vidite, u izrazu za prirast antiderivativne funkcije F (x) + C 1 nema konstante C 1... I pošto pod C 1 misli se na bilo koji dati broj, dobiveni rezultat dovodi do sljedećeg zaključka: prilikom donošenja argumenta x od značenja x = a na vrijednost x = b sve funkcije F (x) + C, antiderivati za zadanu funkciju f (x), imaju isti prirast jednak F (b) -F (a).
Taj se prirast obično naziva definitivnim integralom i označiti sa: i čitati: integral od a prije b funkcije f (x) u odnosu na dx ili, ukratko, integral od a prije b od f (x) dx.
Broj a pozvao donja granica integracija, broj b - vrh; segment a ≤ x ≤ b - segment integracije. U ovom slučaju pretpostavlja se da je integrand f (x) kontinuirano za sve vrijednosti x zadovoljavanje uvjeta: a x b
Definicija. Povećanje antiderivata F (x) + C prilikom donošenja argumenta x od značenja x = a na vrijednost x = b jednaka razlici F (b) -F (a), naziva se određenim integralom i označava se simbolom: tako da ako ∫ (x) dx = F (x) + C, tada = F (b) -F (a) - dano jednakost se zove Newton-Leibnizova formula.
p.2 Osnovna svojstva određenog integrala
Sva svojstva su navedena u tvrdnji da su razmatrane funkcije integrabilne u odgovarajućim intervalima.
p. 3 Izravno izračunavanje određenog integrala
Za izračunavanje određenog integrala, kada se može pronaći odgovarajući neodređeni integral, koristi se Newton-Leibnizova formula
oni. definitivni integral jednak je razlici između vrijednosti bilo koje antiderivativne funkcije na gornjoj i donjoj granici integracije.
Iz ove formule možete vidjeti redoslijed izračunavanja određenog integrala:
1) naći neodređeni integral zadane funkcije;
2) u rezultirajućem antiderivatu umjesto argumenta prvo gornju, a zatim donju granicu integrala;
3) oduzeti rezultat zamjene donje granice od rezultata zamjene gornje granice.
Primjer 1: 
Izračunaj integral:
Primjer 2: Izračunaj integral:
p.4 Izračunavanje određenog integrala metodom supstitucije
Proračun određenog integrala metodom zamjene je sljedeći:
1) zamijeniti dio integranda novom varijablom;
2) pronaći nove granice određenog integrala;
3) pronaći diferencijal iz oba dijela zamjene;
4) cijeli integrand izraziti kroz novu varijablu (nakon čega treba dobiti tablični integral); 5) izračunaj rezultirajući određeni integral.
Primjer 1: Izračunaj integral:
Zamjena: 1 + cosx = t,-sinxdx = dt, 
ODJELJAK 1.6. Geometrijsko značenje određenog integrala.
Područje zakrivljenog trapeza:
Poznato je da je određeni integral na segmentu površina krivuljastog trapeza omeđena grafom funkcije f (x).
Područje lika omeđenog nekim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe tih pravaca.
Neka na segmentu [a; b] dana je kontinuirana funkcija y = ƒ (x) ≥ 0. Nađimo površinu ovog trapeza.
Površina lika ograničena osi 0 x, dvije okomite ravne crte x = a, x = b a graf funkcije y = ƒ (x) (slika), određen je formulom:
Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.
Primjer 1:
Izračunajte površinu lika ograničenog linijama: y = x 2. + 2, y = 0, x = -2, x = 1.
Riješenje: Nacrtajte crtež (imajte na umu da jednadžba y = 0 definira os Ox).
Odgovor: S = 9 jedinica 2
Primjer 2:
Izračunajte površinu lika omeđenu linijama: y = - ex x, x = 1 i koordinatne osi.
Rješenje: Izvršimo crtež.
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod osi Ox, tada se njegovo područje može pronaći po formuli:
U ovom slučaju: 
Pažnja! Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.
ODJELJAK 1.7. Primjena određenog integrala
p. 1 Izračun obujma tijela okretanja
Ako je krivocrtni trapez susjedni osi Ox, a prave linije y = a, y = b i graf funkcije y = F (x) (slika 1), tada je volumen tijela okretanja određen formulom koja sadrži integral.
Volumen tijela revolucije je:
Primjer:
Nađite volumen tijela omeđen površinom rotacije pravca oko osi Ox na 0 ≤ x ≤4.
Riješenje: V
jedinica 3. Odgovor: jedinica 3.
ODJELJAK 3.1. Obične diferencijalne jednadžbe
p.1 Pojam diferencijalne jednadžbe
Definicija. Diferencijalna jednadžba naziva se jednadžba koja sadrži funkciju ukupnosti varijabli i njihovih derivacija.
Opći pogled na takvu jednadžbu 
= 0, gdje je F poznata funkcija njegovih argumenata, zadana u fiksnoj domeni; x je nezavisna varijabla (varijabla po kojoj se diferencira), y je zavisna varijabla (ona iz koje se uzimaju derivacije i ona koju treba odrediti); - derivacija zavisne varijable y u odnosu na nezavisnu varijablu x.
str.2 Osnovni pojmovi diferencijalne jednadžbe
Redoslijed diferencijalna jednadžba naziva se red najveće derivacije uključene u nju.
Na primjer:
Jednadžba drugog reda, - jednadžba prvog reda.
Poziva se svaka funkcija koja povezuje varijable i pretvara diferencijalnu jednadžbu u pravu jednakost odluka diferencijalna jednadžba.
Općom odlukom diferencijalne jednadžbe prvog reda naziva se funkcija i proizvoljna konstanta C, koja ovu jednadžbu pretvara u identičnost s obzirom na.
Opće rješenje, napisano implicitno = 0, naziva se opći integral.
Privatnom odlukom jednadžba = 0 naziva se rješenje dobiveno iz općeg rješenja kod fiksne vrijednosti – fiksnog broja.
Problem nalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe n-tog reda (n = 1,2,3, ...) koje zadovoljava početne uvjete oblika
pozvao problem Cauchyja.
p.3 Diferencijalne jednadžbe prvog reda s odvojivim varijablama
Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se jednadžba s odvojivim varijablama ako se može predstaviti kao 
može se prepisati kao 
... Ako 
... Integriramo: 
.
Da biste riješili jednadžbu ove vrste, trebate:
1. Odvojene varijable;
2. Integrirajući jednadžbu s odvojenim varijablama, pronaći opće rješenje ove jednadžbe;
3. Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava početne uvjete (ako su zadani).
Primjer 1. Riješite jednadžbu. Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava uvjet y = 4 na x = -2.
Riješenje: Ovo je jednadžba s odvojenim varijablama. Integrirajući, nalazimo opće rješenje jednadžbe:. Da bismo dobili opće rješenje koje je jednostavnijeg oblika, predstavljamo konstantni član na desnoj strani kao C / 2. Imamo ili je opće rješenje. Zamjenom vrijednosti y = 4 i x = -2 u općem rješenju, dobivamo 16 = 4 + S, odakle je S = 12.
Dakle, određeno rješenje jednadžbe koje zadovoljava ovaj uvjet ima oblik
Primjer 2. Pronađite određeno rješenje jednadžbe ako je za .
Riješenje: 
, 
, 
, 
, 
, 
zajednička odluka.
Zamjenjujemo vrijednosti x i y u određenom rješenju:,, 
privatno rješenje.
Primjer 3. Pronađite opće rješenje jednadžbe ... Riješenje: ,, 
, 
- zajednička odluka.
str.4 Diferencijalne jednadžbe reda višeg od prve
Jednadžba oblika ili se rješava dvostrukom integracijom:,, odakle. Integracijom ove funkcije dobivamo novu funkciju od f (x) koju označavamo s F (x). Na ovaj način, ; 
... Ponovno integriramo: ili y = Φ (x). Dobio opće rješenje jednadžbe koja sadrži dvije proizvoljne konstante i.
Primjer 1. Riješite jednadžbu.
Riješenje:, 
, ,
Primjer 2. Riješite jednadžbu ... Riješenje: 
, , 
.
ODJELJAK 3.2. Brojčani niz, njegovi članovi
Definicija 1.Brojčani niz izraz poput ++… ++… zove se, (1)
gdje , , …, , … - brojevi koji pripadaju određenom brojevnom sustavu.
Dakle, možemo govoriti o pravim serijama za koje R, o složenim serijama za koje C, tj= 1, 2, …, n, ...
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada ostavite zahtjev na stranici, možemo prikupiti različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i poruka.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje tim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na teritoriju Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosnih, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo odgovarajućoj trećoj strani – pravnom sljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo bili sigurni da su Vaši osobni podaci sigurni, našim zaposlenicima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti te strogo pratimo provedbu mjera povjerljivosti.
Promjenjiva promjena u neodređenom integralu. Formula za transformaciju diferencijala. Primjeri integracije. Primjeri linearnih supstitucija.
Varijabilna metoda zamjene
Promjenom varijable možete izračunati jednostavne integrale i, u nekim slučajevima, pojednostaviti izračun složenijih.
Metoda promjene varijable sastoji se u tome da s početne varijable integracije, neka je x, prelazimo na drugu varijablu koju ćemo označiti kao t. U ovom slučaju pretpostavljamo da su varijable x i t povezane nekom relacijom x = x (t) ili t = t (x)... Na primjer, x = U t, x = grijeh t, t = 2 x + 1, itd. Naš je zadatak odabrati takav odnos između x i t tako da se izvorni integral ili svodi na tablični, ili postaje jednostavniji.
Formula za zamjenu osnovne varijable
Razmotrimo izraz pod predznakom integrala. Sastoji se od umnoška integranda, koji označavamo kao f (x) i diferencijal dx:. Prijeđimo na novu varijablu t, birajući neku relaciju x = x (t)... Tada moramo izraziti funkciju f (x) a diferencijal dx u smislu varijable t.
Za izražavanje integranda f (x) kroz varijablu t, samo trebate zamijeniti odabrani omjer x = x umjesto varijable x (t).
Diferencijalna konverzija se izvodi ovako:
.
To jest, diferencijal dx jednak je umnošku derivacije od x s obzirom na t i diferencijal dt.
Zatim
.
U praksi je najčešći slučaj kada izvršimo zamjenu, birajući novu varijablu kao funkciju stare: t = t (x)... Ako smo pogodili da se integrand može predstaviti kao
,
gdje je t ′ (x) onda je derivacija od t u odnosu na x
.
Dakle, osnovna formula za promjenu varijable može se predstaviti u dva oblika.
(1)
,
gdje je x funkcija od t.
(2)
,
gdje je t funkcija od x.
Važna nota
U tablicama integrala varijabla integracije najčešće se označava kao x. Međutim, treba napomenuti da se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom. Štoviše, izraz se može koristiti kao varijabla integracije.
Kao primjer, razmotrite tablični integral
.
Ovdje se x može zamijeniti bilo kojom drugom varijablom ili funkcijom varijable. Evo primjera mogućih opcija:
;
;
.
U posljednjem primjeru treba imati na umu da se prilikom prijelaza na integracijsku varijablu x diferencijal transformira na sljedeći način:
.
Zatim
.
Ovaj primjer je bit integracije zamjenom. Odnosno, to moramo pogoditi
.
Tada se integral svodi na tablični.
.
Ovaj integral možete izračunati promjenom varijable pomoću formule (2)
... Stavite t = x 2 + x... Zatim
;
;
.
Primjeri integracije promjenom varijable
1)
Računamo integral
.
Imajte na umu da (sin x) ′ = cos x... Zatim
.
Ovdje smo primijenili supstituciju t = grijeh x.
2)
Računamo integral
.
Imajte na umu da. Zatim
.
Ovdje smo izvršili integraciju promjenom varijable t = arctg x.
3)
Mi ćemo se integrirati
.
Imajte na umu da. Zatim
... Ovdje je tijekom integracije varijabla t = x 2 + 1
.
Linearne zamjene
Linearne su zamjene možda najčešće. Ovo je zamjena za varijablu oblika
t = ax + b,
gdje su a i b konstante. Ovom zamjenom, diferencijali su povezani relacijom
.
Primjeri integracije linearnim supstitucijama
A) Izračunaj integral
.
Riješenje.
.
B) Pronađite integral
.
Riješenje.
Poslužimo se svojstvima eksponencijalne funkcije.
.
U 2 je konstantan. Računamo integral.
.
C) Izračunaj integral
.
Riješenje.
Smanjimo kvadratni polinom u nazivniku razlomka na zbroj kvadrata.
.
Računamo integral.
.
D) Pronađite integral
.
Riješenje.
Transformiramo polinom u korijenu.
.
Integriramo pomoću metode promjene varijabli. 
.
Ranije smo dobili formulu
.
Odavde
.
Zamjenom ovog izraza dobivamo konačni odgovor.
