Razmotrimo prvo koncept varijable ili jednostavno varijable.

varijabla x određena je skupom onih vrijednosti koje može zauzeti u predmetu koji se razmatra. Ovaj set x nazivamo raspon vrijednosti varijable x.

Glavni predmet proučavanja matematike, međutim, nije promjena jedne varijable same po sebi, već odnos između dvije ili više varijabli kada se one mijenjaju zajedno. U mnogim slučajevima, varijable ne mogu preuzeti nijedan par vrijednosti iz svojih raspona; ako se jednom od njih da određeno značenje, onda je značenje drugoga već time određeno. Tada se zove prvi neovisna , a drugi je ovisni varijabla.

Neka su zadane dvije varijable x I y s područjima promjena x I Y. Ako u isto vrijeme svaki element x x na određeno pravilo f jedan element se podudara y Y, onda to kažemo na setu x dano funkcija y = f(x).

Jasno je da u ovom slučaju varijabla x je nezavisna varijabla. Često je zovu argument funkcije.

Varijabilna y je zavisna varijabla i naziva se vrijednost funkcije, ili jednostavno funkcija.

Mnogo x pozvao domena definicije funkcije, ali skup Y - regija nju vrijednosti .

Postoji niz načina zadaci funkcija:

ali) najjednostavniji - analitički metoda, tj. postavljanje funkcije kao formule. Ako je opseg funkcije x onda nije naznačeno x podrazumijevaju se mnoga značenja x, za koje formula ima smisla;

b) grafički put. Ova metoda je posebno jasna. Za funkciju jedne varijable y= f(x) koristi se koordinatna ravnina ( xy).

Skup točaka y odgovara postavljene vrijednosti x, određuje graf funkcije na ravnini ( xy);

u) tabelarni put. Često se koristi kada je nezavisna varijabla x uzima samo konačan broj vrijednosti.

5.2. Osnovna svojstva funkcija

Razmotrite glavna svojstva funkcija koja pojednostavljuju njihovo proučavanje:

Paritet. Funkcija y = f(x) Zove se čak , ako za bilo koju vrijednost x, koji pripada opsegu funkcije x, što znači (- x) također pripada x i pritom

f(-x) =f(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Funkcija y = f(x) Zove se neparan , ako za bilo koji x x slijedi (- x) x i pri čemu

f(-x) = –f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Ako je funkcija y = f(x) nije ni paran ni neparan, često se naziva funkcija opći pogled .

Monotonija. Funkcija y = f(x) Zove se povećavajući u nekom intervalu ( a, b), ako postoji x 1 , x 2 (a, b), takav

što x 1 < x 2, slijedi da f(x 1) < f(x 2), i jenjavajući , ako f(x 1) >f(x 2).

Povećanje i smanjenje u intervalu ( a,b) funkcije se pozivaju monoton na ovom intervalu, i sam interval ( a,b) - interval monotonosti ovih funkcija.

U nekim se udžbenicima takve funkcije nazivaju strogo monotono, ali monoton nazvati funkciju koja nije opadajuća i nerastuća na intervalu koji se razmatra (nestroge nejednadžbe se pišu umjesto strogih nejednakosti za funkcije).

Ograničenje. Funkcija y=f(x) Zove se ograničeno na intervalu ( a, b) ako postoji takav broj IZ> 0, što za bilo koje x (a, b) trebao bi |f(x)| < C , a inače neograničeno, tj. ako za bilo koji broj C> 0 postoji takav x (a, b), što |f(x)| >C. Na sl. 5.1 prikazuje graf funkcije ograničene na interval ( a, b).

Slična definicija ograničenosti može se dati za bilo koju vrstu intervala.

Periodičnost. Funkcija y = f(x) Zove se časopis, ako postoji takav broj t, što za bilo koje x x izvedena

f(x + t)= f(x).

Najmanji od ovih brojeva t pozvao razdoblje funkcije i označena T.

Karakteristična značajka periodičnosti funkcija je prisutnost trigonometrijskih funkcija u njihovom sastavu.

5.3. Elementarne funkcije i njihovi grafovi

Osnovne funkcije su:

ali) najjednostavnije elementarne funkcije

1. Konstantnoy = c, gdje iz- konstanta realnog broja za ovu funkciju, ista za sve vrijednosti x.

2. Funkcija snage, gdje je bilo koji konstantni realni broj osim nule. Oblik grafova funkcija za neke pozitivne cijele brojeve ( = n), cijeli broj negativan ( = – n) i razlomak ( = 1/ n) vrijednosti su prikazane u nastavku.

4. Logaritamska funkcija y= log a x (a > 0; a 1).

5. Trigonometrijske funkcije: y= grijeh x, y= cos x, y=tg x, y=ctg x.

6. Inverzne trigonometrijske funkcije.

y= arcsin x y= arccos x

y= arctg x y= arcctg x

b) složene funkcije

Osim navedenih elementarnih elementarnih funkcija argumenta x elementarne funkcije također uključuju funkcije čiji su argumenti također elementarne funkcije, kao i funkcije dobivene izvođenjem konačnog broja aritmetičkih operacija na elementarne funkcije. Na primjer, funkcija

je također elementarna funkcija.

Pozivaju se funkcije čiji argumenti nisu nezavisne varijable, ali druge funkcije složene funkcije ili superpozicije funkcija. Neka su zadane dvije funkcije: y= grijeh x I z= zapisnik 2 y. Tada složena funkcija (superpozicija funkcija) može imati oblik

z= log 2 (grijeh x).

Također je moguće uvesti koncept inverzna funkcija .Neka bude y = f(x) definiran je u domeni definicije x, ali Y- skup njegovih vrijednosti. Odaberimo neku vrijednost y= y 0 i upotrijebite ga za pronalaženje x 0 tako da y 0 je bilo jednako f(x 0).Slične vrijednosti x 0 može biti nekoliko.

Dakle, za svaku vrijednost y iz Y odgovara jednoj ili više vrijednosti x. Ako takva vrijednost x samo jedan, tada u okolici Y funkcija se može definirati x= g(y), koji se zove obrnuto za funkciju y = f(x).

Nađimo npr. inverzna funkcija za eksponencijalnu funkciju y = a x. Iz definicije logaritma proizlazi da ako je zadana vrijednost y, zatim vrijednost x, zadovoljavajući uvjet y = a x, nalazi se po formuli x= log a y. Odnosno svaki y iz Y može se upariti jedna određena vrijednost x= log a y.

Dakle, funkcija x= log a y je inverzna funkcija y = a x na setovima x I Y. Budući da je uobičajeno da bilo koja funkcija označava nezavisnu varijablu x, onda u ovom slučaju kažemo to y = f(x) I y= g(x) su inverzne funkcije.

Grafovi funkcija y = f(x) i njegovu inverznu funkciju y= g(x) simetrične su u odnosu na simetralu 1. i 3. koordinatnog kuta.

Ponovimo pojmove funkcije i njezinih svojstava, koji će nam biti potrebni za daljnji prikaz gradiva.

Definicija. Funkcija F(x) je pravilo koje omogućuje da se svaka vrijednost xX poveže s jednom vrijednošćuY = F(x)Y, gdje je x nezavisna varijabla (argument),Y- zavisna varijabla (vrijednost funkcije). Kažu da je funkcijaFIma Domena D(F)= xI Raspon vrijednosti R(F) Y.

Definicija. Dosta parovax, F(x)): XD(F)) Zove se Grafikon funkcije F .

Postoje tri glavna načina definiranja funkcije:

 kod Analitički način postavljanjem funkcije ovisnost između varijabli određuje se formulom;

 kod tabelarni način dodjele funkcija ispisuju se određenim redoslijedom vrijednosti argumenta i odgovarajuće vrijednosti funkcije;

 kod Grafički način funkcije, odnos između varijabli se odražava pomoću grafa.

Razmotrite neke funkcionalne ovisnosti koje se koriste u ekonomiji:

 Funkcija potražnje- ovisnost potražnje D za neki proizvod od njegove cijene P;

 Funkcija ponude- ovisnost o opskrbi S neke robe od njene cijene P;

 funkcija korisnosti- subjektivna brojčana procjena korisnosti od strane danog pojedinca I i količina x roba za njega;

 funkcija troškova- ovisnost troškova ja za proizvodnju x proizvodne jedinice;

 Porezna stopa- ovisnost porezne stope N kao postotak godišnjeg prihoda P.

Sve ove funkcije, osim posljednje, vrlo je teško analitički izraziti. Ako je potrebno, pronalaze se mukotrpnom analizom. Posljednja je funkcija, naprotiv, obično prilično poznata cijelom društvu i odobrena zakonom.

Definicija. Funkcija F ( x ) ima ograničenje B , kada x teži a, ako su vrijednostiF(x) proizvoljno blizu brojaBkada su vrijednosti varijable x proizvoljno bliske broju a.

Oznaka. .

Treba napomenuti da ova definicija uzima u obzir vrijednosti x proizvoljno blizu broju ALI, ali se ne podudara ALI.

Definicija. Ako je funkcijaF(x) definiran je u točki a i jednakost , ondaF(x) naziva se kontinuirana funkcija u točki a.

Definicija. Zove se funkcija koja je kontinuirana u svakoj točki u svojoj domeni definicije kontinuirana funkcija. Inače se poziva funkcija diskontinuiran.

Graf kontinuirane funkcije može se nacrtati bez skidanja ruke.

Kontinuirane funkcije imaju sljedeća svojstva:

 zbroj ili umnožak kontinuiranih funkcija je kontinuirana funkcija;

 Omjer dviju kontinuiranih funkcija je kontinuirana funkcija u svim točkama u kojima nazivnik omjera ne nestaje.

Komentar. Metoda koja je učinkovita u analizi kontinuiranih funkcija može se pokazati neučinkovitom u proučavanju diskontinuiranih funkcija, iako nije isključeno obrnuto..

Definicija. FunkcijaF(x) Zove se Povećanje (padanje) na setuxako od čegax1 < x2 iz toga slijediF(x1 )< F(x2 ) (F(x1 )> F(x2 )). FunkcijaF(x) Zove se neopadajući (nerastući) na setuxako od čegax1  x2 , x1 , x2  xiz toga slijediF(x1 ) F(x2 ) (F(x1 ) F(x2 )).

Teorema. Neka funkcijaF(x) je diferencibilan na intervalu (A, B). Zatim:

 Ako je prvi izvod funkcijeSvugdje na tom intervalu, tada se funkcija na njemu povećava;

 Ako je prva izvedenicasvugdje na ovom intervalu, tada je funkcija opadajuća;

 Prva izvedenicaSvugdje u ovom intervalu, funkcija je konstantna na tom intervalu.

Definicija. Zovu se rastuće, opadajuće, neopadajuće, nerastuće funkcije Monoton.

Komentar. Monotona funkcija ne mora biti kontinuirana.

Primjer 1 Pronađite intervale monotonosti funkcije F(x)=(1- x2 )3 .

. Pronađite derivaciju: Riješite jednadžbu. Dobiti X1=0, x2=1, x3=-1. Funkcija F(x) definiran je i kontinuiran na cijelom brojevnom pravcu. Stoga bodovi X1, x2, x3 su kritične točke. Nema drugih kritičnih točaka, jer postoji posvuda.

Istražujemo kritične točke, određujući predznak lijevo i desno od svake od tih točaka. Kako bi se smanjili izračuni i radi jasnoće, ovu studiju je prikladno napisati u obliku tablice. jedan:

stol 1

F(x)	Asc.		Asc.		Desc.		Desc.

Prvi red sadrži sve kritične točke redom kojim se nalaze na realnoj osi; između njih su umetnute međutočke, smještene lijevo i desno od kritičnih točaka. Drugi red sadrži znakove izvedenice u naznačenom međutočke. U trećem redu - zaključak o ponašanju funkcije na proučavanim intervalima. Na intervalu (-; 0) funkcija raste, na intervalu (0; +) funkcija opada.

Definicija. FunkcijaF(x) je unimodalno na segmentu [A, B] ako i samo ako je monotona s obje strane jedine optimalne točke x* na razmatranom intervalu.

Primjer 2 Evo primjera grafova unimodalnih funkcija:

 na sl. 6 kontinuirana funkcija;

 na sl. 7 - diskontinuirana funkcija;

 na sl. 8 - diskretna funkcija.

Skup funkcija unimodalnih na segmentu [ A; B] , označit ćemo

P[ A; B] .

Za provjeru unimodalnosti funkcije F(x) U praksi se obično koriste sljedeći kriteriji:

1) ako funkcija F(x) diferencibilan na segmentu [ A; B] a izvod se ne smanjuje na ovom segmentu, dakle F(x) P[ A; B] ;

2) ako funkcija F(x) je dvaput diferencibilan na segmentu [ A; B] i kada X[A; B] , onda F(x) P[ A; B] .X=-0,5. Stoga, ako H-0,5 a posebno kada X. Koristeći drugi kriterij unimodalnosti, dobivamo to F(x) P .

Definicija. Razmotrite skup SR. Možemo definirati korespondenciju po kojoj svaka točka XS dodijeljena jedna brojčana vrijednost. Ova korespondencija se zove skalarna funkcijaFdefinirana na setuS.

Definicija. U teoriji optimizacijeFpozvao ciljna funkcija, aliS - Važeće područje , skup točaka koje zadovoljavaju ograničenja, odnosno raspon prihvatljivih vrijednosti x.

Funkcija jedne varijable

Funkcije jedne varijable.

Uvod

U matematici su temeljni pojmovi pojam skupa, element skupa. Matematička analiza uglavnom se bavi numeričkim skupovima.

U nastavku ćemo koristiti sljedeću simboliku:

N je skup prirodnih brojeva;

Z je skup cijelih brojeva;

Q je skup racionalnih brojeva;

R je skup realnih brojeva;

C - skup kompleksni brojevi;

Î -	znak pripadnosti: x O H – element x pripada skupu X, x PH – x ne pripada skupu X;
Ì -	znak uključivanja: X Ì Y – skup X je podskup od Y;
È -	znak unije: X È Y je skup čiji elementi pripadaju X ili Y;
Ç -	znak presjeka skupova: X Ç Y je skup čiji elementi pripadaju i X i Y u isto vrijeme;
\ -	znak oduzimanja skupova: X \ Y - skup koji se sastoji od elemenata skupa X koji ne pripadaju Y;
" -	univerzalni kvantifikator, glasi: “za bilo koga”, “za svakoga”, “svakog”, “svakog” itd.;
$ -	kvantifikator postojanja, glasi: “postoji”, “postoji”;
Ù -	logički "i" (veznik);
Ú -	logičko "ili" (disjunkcija);
Þ -	znak posljedice, glasi: “slijedi”, “izvodi se”, “povlači”;
Û -	znak ekvivalencije, glasi: “ako i samo tada”, “potrebno i dovoljno”;
| ili:	- znakovi opisa (dekodiranja), glasi: "takvo da ...", "za koje ..." itd.

Na primjer, oznaka znakova " x NA $ y UKLJUČENO: ( y> x Ú y< x) glasi "za bilo koji prirodan broj x biti će prirodni broj na takav da bilo y> x, ili y< x».

Kao što znate, svaki realni broj povezan je s jednom točkom na brojevnoj liniji. Stoga ćemo se u budućnosti dogovoriti da identificiramo pojmove "pravi broj" i "točka" brojevnog pravca. Za numeričke intervale koristit ćemo sljedeću notaciju:

[a; b] ili a£ x £ b- zatvoreni jaz ili odjeljak počevši od točke ali i završiti u točki b;

(a; b) ili a< x < b- otvoreni prostor ili interval;

(a; b] ili a< x £ b,

[a; b) ili a£ x < b

– poluotvoreni intervali ili poluintervali;

[a; +¥) ili x³ a , (–¥; b] ili x £ b- zrake;

(a; +¥) ili x> a , (–¥ ; b) ili x < b- otvorene grede;

(–¥ ; +¥) ili –¥< x < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

U znanosti i praksi se mora nositi različite vrste količine. Neki od njih u određenim uvjetima ostaju nepromijenjeni (konstantni), drugi se mijenjaju (varijable). Na primjer, obujam publike, banke su konstantne, a volumen balon- varijabilna.

U matematička analiza zanimat će nas samo brojčani izraz ove ili one veličine, a ne njezina priroda, t.j. razmotrit ćemo sažetak količine. Stoga ćemo konstantnom vrijednošću nazvati vrijednost koja poprima fiksnu, specifičnu (čak i ako je nepoznatu) vrijednost. Ovo ćemo označiti: x– konst. Najčešće se konstante označavaju početnim slovima latinično pismo: a, b, c, ... ili grčki a, b, e, l, ... .

Varijabla je ona koja može uzeti proizvoljno brojčane vrijednosti iz nekog skupa brojeva. Varijable se najčešće označavaju slovima kraja latinske abecede: x, na, z, t,... . Skup iz kojeg varijabla uzima vrijednosti naziva se domenom ove varijable i piše se: x OD.

Funkcija jedne varijable

Uz pojam skupa i element skupa, u osnovne pojmove matematike uključen je i pojam korespondencije. Određena vrsta korespondencije naziva se funkcija.

Neka je skup X zadan s elementima x i skup Y koji se sastoji od elemenata na(skupovi X i Y nisu prazni, njihovi elementi mogu biti bilo koje prirode).

Definicija 1.1 Ako svaki element x OH prema nekom zakonu(Pravilo) f jedan element se podudara na n Y, onda kažemo da na skupu X funkcija y = f(x), x oX ili prikaz f: X → Y od skupa X do skupa Y.

Usvojena je sljedeća terminologija:

x- nezavisna varijabla ili argument,

X je domena funkcije i svakog elementa x OH - vrijednost argumenta,

na- zavisna varijabla ili funkcija argumenta x,

Y je raspon funkcije i svaki element na OU takav da
y = f(x) za neke x OH, naziva se vrijednost funkcije.

Ovisno o skupovima X i Y, funkcije imaju posebne nazive i oznake:

ako su X, Y podskupovi skupa realnih brojeva R, tada funkcija na = f (x) naziva se realna funkcija realnog argumenta ili funkcija jedne varijable;

ako XÌR, UÌS - složena funkcija pravi se argument z = f(x);

ako je HMS, U MS složena funkcija složenog argumenta, označena w = f(z);

ako je XÌN, YÌR funkcija prirodnog argumenta ili niza y n = f(P);

ako je XR 2 (tj. skup točaka ( x, na) avion), UÌR, z OU – realna funkcija dviju varijabli z = f(x, na);

ako je XR P (P-dimenzionalni aritmetički prostor), UÌR je realna funkcija P varijable I =f(x 1 ,x 2 , …, x n). Ova i gore navedene funkcije se pozivaju brojčana funkcije;

ako je XM R, YM V 2 (skup geometrijskih vektora na ravnini) vektorska funkcija skalarnog argumenta, ` r(t)= x(t) +y(t) ;

ako je XÌ R 2 , YÌ V 2 vektorska funkcija dvaju skalarnih argumenata, `F(x, y) = P( x, y) + Q( x, y) ;

U matematičkoj analizi proučavaju se uglavnom numeričke funkcije. Razmotrimo najprije realnu funkciju jedne varijable. Budući da su i argument i funkcija stvarna brojčana vrijednost, često ćemo je koristiti u ženskom obliku: nezavisna varijabla, zavisna varijabla.

U ovom slučaju, definicija 1.1 može se preformulirati na sljedeći način:

Definicija 1.2 Ako svaka vrijednost varijable x iz skupa brojeva XR prema nekom zakonu f dodijeljen određenom stvarnom broju na, onda kažemo da na skupu X zadana numerička funkcija = f (x). Pri čemu x pozvao neovisna varijabla (argument), na – ovisni varijabla (funkcija), X - područje definicije funkcije i označavamo X = D( f) .

Skup vrijednosti koje uzima na, Zove se raspon funkcija i označava se s E( f) . Pismo f simbolizira pravilo po kojem se uspostavlja korespondencija između x I na. Uz pismo f koriste se i druga slova: y = g(x), y = h(x), y = u(x) . Funkcija se također može definirati z= j( t), x = f (z) , s = S ( str), itd., tj. i nezavisna varijabla i zavisna varijabla mogu se označiti bilo kojim slovom latinične abecede.

Dvije funkcije jednak ako i samo ako imaju istu domenu definicije i svaki put vrijednosti argumenta imaju istu vrijednost.

Specificiranje funkcije znači specificiranje pravila prema kojem se za svaku vrijednost argumenta može pronaći odgovarajuća vrijednost funkcije.

Glavni načini postavljanja funkcije:

1) Analitički- korištenjem jedne ili više formula, na primjer

y= sin3 x + x 2 , ,

(Zadnje dvije funkcije se ponekad nazivaju djeliće analitičke ili funkcije koraka). Ako je funkcija data analitički (formulom), tada se domena definicije shvaća kao skup vrijednosti argumenta x, za koji zadanu formulu možete izračunati odgovarajuću vrijednost na(tj. sve operacije navedene u formuli su izvedive).

Ako je u formuli koja opisuje funkciju zavisna varijabla izražena u terminima neovisne varijable, tada se takva funkcija naziva jasno dano. Gore navedene funkcije su eksplicitno definirane.

Ako jednakost koja opisuje funkciju nije dopuštena s obzirom na zavisnu varijablu, tada se funkcija poziva implicitno dano, na primjer

x 2 + 3hu – na 3 = 1 ili ln( x+3y) = y 2 .

Implicitno definirana funkcija može se predstaviti u obliku

gdje t je parametar koji uzima vrijednosti iz nekog skupa. Takva se funkcija zove parametarski zadanu funkciju . Na primjer,

, t n R definira funkciju y=(x –1) 2 ,

definira funkciju .

Parametrijska specifikacija funkcije se široko koristi u mehanici: if x = x(t) I na = na(t) zakone promjene koordinata pokretne točke, tada određujem jednadžbe putanja pokret.

2) Verbalna. Na primjer, "cjelobrojni dio broja" je najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Ova funkcija je označena na = [x].

3) Tablični. Na primjer

x	x 1	x 2	x 3	...
na	na 1	na 2	na 3	...

Tako se postavljaju funkcije koje se obično dobivaju iz rezultata pokusa, eksperimenta, izračuna.

4) Grafički.

Definicija 1.3. Grafikon funkcije na = f (x) je mjesto točaka u koordinatnoj ravnini XOU s koordinatama ( x, f(x)), gdje x OD( f).

Slika funkcionalna ovisnost u obliku crte (grafički) i je grafička postavka funkcije. Na primjer, očitanja osciloskopa, elektrokardiograma itd. - ovo grafički prikaz ovisnosti između proučavanih veličina.

Imajte na umu da za jednovrijednu funkciju njezin graf ima samo jednu točku presjeka s bilo kojim pravcem x = ali, ali O D( f).

Svojstva funkcije.

I. Funkcija na = f (x), xÎD, zove se ograničeno na skupu D, ako postoje realni brojevi A, B tako da " x nD uvjet A £ f(x) £ B. Graf takve funkcije nalazi se u nekom vodoravna traka između ravnih linija na= A i na= B (slika 1a). Ako nema takvih brojeva A i B, tada se funkcija naziva neograničenom na skupu D.

ako " x OD Þ f(x) £ B, zatim funkcija ograničeno odozgo(slika 1 b).

ako " x OD Þ f(x) ³ A, zatim funkcija ograničeno odozdo(slika 1c).

Funkcije su ograničene u svom opsegu definicije. na= grijeh x I y= cos x, jer za sve vrijednosti x izvedena

–1 £ grijeh x 1 £ i –1 £ koz x 1 £.

Funkcija je ograničena odozgo, jer za sve stvarne vrijednosti x stanje na£ 1. Primjer dolje ograničene funkcije je eksponencijalna funkcija na= , jer > 0 za sve realne vrijednosti x.

II. Funkcija na = f (x), xÎD, zove se povećavajući, ako za bilo koju vrijednost argumenta x 1 , x 2 nD takav da x 1 < x 2, uvjet f(x 1) < f(x 2) (tj. veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, slika 2a).

Funkcija na = f (x), xÎD, zove se jenjavajući, ako " x 1 ,x 2 nD takav da x 1 < x 2 , uvjet ( f(x 1) > f(x 2) (veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, slika 2b). Zovu se rastuće i opadajuće funkcije monoton funkcije. Ako se stroge nejednakosti zamijene nestrogim, funkcija će se zvati neopadajuća, odnosno nerastuća.

III. Funkcija na = f (x), xÎD, zove se čak, ako

" xÎD Þ (– x OD i f (–x) =f (x)).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OS (slika 3a).

Funkcija na = f (x), xÎD, zove se neparan, ako

" xÎD Þ (– x OD i f (–x) =f (x)).

Dijagram neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 3b).

IV. Funkcija na= f (x), xÎD, zove se časopis, ako

$t > 0: " xÎD Þ ( x± TOD i f (x) = f (x± T)).

na

Broj T naziva se period funkcije. Na bilo koja dva susjedna segmenta osi OX duljine T graf periodične funkcije ima isti oblik (slika 4).

Ako je svaki element x skupa X (x ê X) povezan s dobro definiranim elementom y skupa Y (y ê Y), onda kažu da je funkcija y \u003d f (x) dana na skupu X. U isto vrijeme, x ime. nezavisna varijabla (ili argument), y je zavisna varijabla, a slovo f označava zakon korespondencije. Skup X imena. domena definicije, a skup Y je domena funkcije.

Metode za postavljanje funkcija.

a) analitički, ako je funkcija dana formulom y = f (x)

b) tablična metoda. Sastoji se u činjenici da je funkcija dana tablicom koja sadrži vrijednosti argumenta x i odgovarajuće vrijednosti funkcije f(x).

c) grafički. Sastoji se od slike grafa funkcije - skupa točaka (x, y) ravnine, čije su apscise vrijednosti argumenta x, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcija f(x).

d) logično

3 . Jednostrano ograničenje. Postojanje granice u točki.

Broj imena jednostrana granica lijevo od funkcije f(x) u točki kondenzacije x 0, ako je za ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f( x)

Broj imena jednostrana granica s desne strane funkcije f(x) u točki kondenzacije x 0 ako je ∀ε>0

∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Broj imena jednostrana granica s desne strane funkcije f(x) u točki kondenzacije x 0, ako je ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Postojeća granica u točki. Zvao se broj A. granica funkcije f(x) kako x teži x 0 (ili točki x 0), ako za bilo koji, čak i proizvoljno mali pozitivan broj ε>0, postoji takav pozitivan brojδ>0 (ovisno o ε, δ=δ(ε)) da za sve x nije jednako x 0 i zadovoljava uvjet , nejednakost

Označava se ili

2. Granica funkcije i njezina svojstva.

Ograničite fino zgušnjavanje skup A naziva se točka x 0 ako u bilo kojem susjedstvu ove točke postoje takvi skupovi različiti od x 0 .

Definicija Cauchyjeve granice. Funkcija y=f(x) definirana u A ima granicu C u točki kondenzacije x 0 ako je ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, S+ε). Postojanje granice zapisuje se kao lim x → x 0 f(x)=C ili |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Definicija granice prema Heineu. Ako za različite nizove (x n ) koji teže x 0, slijed vrijednosti funkcije (f(x n)) konvergira na neki broj C, tada se taj broj naziva granica funkcije f(x).

Cauchyjeva definicija koristi se za opravdanje postojanja granice, a Heinova definicija se koristi za opravdanje odsutnosti granice.

Granična svojstva: granica je jedinstvena i funkcija je ograničena u nekom susjedstvu granične točke.

1) Granica konstantne vrijednosti

Granica konstantne vrijednosti jednaka je samoj konstantnoj vrijednosti.