Definicija
Funkcija y=f (x) naziva se zakon (pravilo, preslikavanje) prema kojem je svakom elementu x skupa X pridružen jedan i samo jedan element y skupa Y .

Skup X naziva se opseg funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koje imaju praslike u skupu X , nazivamo skup vrijednosti funkcije(ili domet).

Domena funkcije se ponekad nazivaju skup definicija ili skup zadataka funkcije.

Element x ∈ X nazvao argument funkcije ili neovisna varijabla.
y element ∈ Y nazvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.

Samo preslikavanje f naziva se karakteristika funkcije.

Karakteristika f ima svojstvo da ako dva elementa i iz definicijskog skupa imaju jednake vrijednosti: , tada .

Znak koji označava obilježje može biti isti kao znak elementa funkcijske vrijednosti. Odnosno, možete to napisati ovako: Istodobno, vrijedi zapamtiti da je y element iz skupa vrijednosti funkcije, te je pravilo prema kojem se element x pridružuje elementu y.

Sam proces izračuna funkcije sastoji se od tri koraka. U prvom koraku odabiremo element x iz skupa X . Nadalje, uz pomoć pravila , elementu x pridružuje se element skupa Y . U trećem koraku, ovaj element se dodjeljuje y varijabli.

Privatna vrijednost funkcije imenovati vrijednost funkcije za odabranu (privatnu) vrijednost njezina argumenta.

Graf funkcije f naziva se skup parova.

Složene funkcije

Definicija
Neka su funkcije i dane. Štoviše, domena funkcije f sadrži skup vrijednosti funkcije g. Tada svakom elementu t iz domene funkcije g odgovara element x , a ovom x odgovara y . Ovo dopisivanje se zove složena funkcija: .

Složena funkcija također se naziva sastav ili superpozicija funkcija i ponekad se naziva:

U matematičkoj analizi općenito je prihvaćeno da ako je karakteristika funkcije označena jednim slovom ili simbolom, tada postavlja istu korespondenciju. Međutim, u drugim disciplinama postoji drugi način označavanja, prema kojem se preslikavanja s istim karakteristikama, ali različitim argumentima, smatraju različitima. To jest, preslikavanja i smatraju se različitima. Uzmimo primjer iz fizike. Pretpostavimo da razmatramo ovisnost količine gibanja o koordinati. I neka imamo ovisnost koordinate o vremenu . Tada je ovisnost količine gibanja o vremenu složena funkcija. Ali radi kratkoće, označava se na sljedeći način:. S ovim pristupom, i su različite funkcije. S istim vrijednostima argumenata, oni mogu dati različite vrijednosti. U matematici ova notacija nije prihvaćena. Ako je potrebno smanjenje, tada se mora unijeti nova karakteristika. Na primjer . Tada se jasno vidi da su i različite funkcije.

Valjane funkcije

Opseg funkcije i skup njezinih vrijednosti mogu biti bilo koji skupovi.
Na primjer, numerički nizovi su funkcije čija je domena definiranja skup prirodnih brojeva, a skup vrijednosti realni ili kompleksni brojevi.
Umnožak je također funkcija, jer za dva vektora i postoji samo jedna vrijednost vektora . Ovdje je domena definicije skup svih mogućih parova vektora. Skup vrijednosti je skup svih vektora.
Booleov izraz je funkcija. Njegova domena definiranja je skup realnih brojeva (ili bilo koji skup u kojem je definirana operacija usporedbe s elementom “0”). Skup vrijednosti sastoji se od dva elementa - "true" i "false".

Numeričke funkcije igraju važnu ulogu u matematičkoj analizi.

Numerička funkcija je funkcija čije su vrijednosti realni ili kompleksni brojevi.

Prava ili prava funkcija je funkcija čije su vrijednosti realni brojevi.

Maksimum i minimum

Realni brojevi imaju operaciju usporedbe. Stoga skup vrijednosti stvarne funkcije može biti ograničen i imati najveću i najmanju vrijednost.

Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji takav broj M da za sve vrijedi nejednakost:
.

Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da za sve :
.

Maksimalno M (minimalno m) funkcija f, na nekom skupu X naziva se vrijednost funkcije za neku vrijednost njenog argumenta, za koju za sve,
.

gornje lice ili točna gornja granica stvarna, ograničena odozgo, funkcija se naziva najmanji od brojeva koji ograničava raspon njezinih vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za sve i za bilo koje , postoji takav argument čija vrijednost funkcije premašuje s′ : .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Gornja granica funkcije neomeđene odozgo

donje lice ili precizna donja granica stvarna, ograničena odozdo, funkcija se naziva najvećim od brojeva koji ograničava raspon njezinih vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji za sve i za bilo koje postoji takav argument čija je vrijednost funkcije manja od i′ : .
Donja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Donja granica funkcije neomeđene odozdo je točka u beskonačnosti.

Dakle, svaka realna funkcija, na nepraznom skupu X, ima gornju i donju granicu. Ali nema svaka funkcija maksimum i minimum.

Kao primjer, razmotrite funkciju definiranu na otvorenom intervalu.
Ograničen je, na ovom intervalu, odozgo vrijednošću 1 a ispod - vrijednost 0 :
za sve .
Ova funkcija ima gornju i donju stranu:
.
Ali nema maksimum i minimum.

Ako razmotrimo istu funkciju na intervalu, tada je ona ograničena iznad i dolje na ovom skupu, ima gornju i donju granicu i ima maksimum i minimum:
za sve ;
;
.

Monotone funkcije

Definicije rastućih i opadajućih funkcija
Neka je funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X . Funkcija se zove strogo rastući (strogo opadajući)
.
Funkcija se zove neopadajući (nepovećavajući), ako za sve takve vrijedi sljedeća nejednakost:
.

Definicija monotone funkcije
Funkcija se zove monoton ako je neopadajuća ili nerastuća.

Funkcije s više vrijednosti

Primjer višeznačne funkcije. Njegove su grane označene različitim bojama. Svaka grana je značajka.

Kao što slijedi iz definicije funkcije, svakom elementu x iz domene definicije pridružuje se samo jedan element iz skupa vrijednosti. Ali postoje preslikavanja u kojima element x ima nekoliko ili beskonačan broj slika.

Kao primjer, razmotrite funkciju arcsinus: . To je inverzna funkcija sinus a određuje se iz jednadžbe:
(1) .
Za zadanu vrijednost nezavisne varijable x koja pripada intervalu, ova jednadžba zadovoljava beskonačno mnogo vrijednosti y (vidi sliku).

Nametnimo ograničenje na rješenja jednadžbe (1). Neka
(2) .
Pod ovim uvjetom zadana vrijednost odgovara samo jednom rješenju jednadžbe (1). To jest, korespondencija definirana jednadžbom (1) pod uvjetom (2) je funkcija.

Umjesto uvjeta (2) može se postaviti bilo koji drugi uvjet oblika:
(2.n) ,
gdje je n cijeli broj. Kao rezultat, za svaku vrijednost n dobit ćemo vlastitu funkciju, različitu od ostalih. Mnoge od ovih funkcija su višeznačna funkcija. A funkcija određena iz (1) pod uvjetom (2.n) je grana višeznačne funkcije.

Ovo je skup funkcija definiranih na nekom skupu.

Funkcijska grana s više vrijednosti je jedna od funkcija uključenih u funkciju s više vrijednosti.

jednostruka funkcija je funkcija.

Reference:
O.I. Demoni. Predavanja iz matematičke analize. Dio 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Kako?
Primjeri rješenja

Ako nešto negdje nedostaje, onda nešto negdje postoji

Nastavljamo proučavati odjeljak "Funkcije i grafika", a sljedeća stanica našeg putovanja je. Aktivna rasprava o ovom konceptu započela je u članku o skupovima i nastavila se u prvoj lekciji na grafovi funkcija, gdje sam pogledao elementarne funkcije, a posebno njihov opseg. Stoga preporučam da lutke počnu s osnovama teme, budući da se neću ponovno zadržavati na nekim osnovnim točkama.

Pretpostavlja se da čitatelj poznaje domenu sljedećih funkcija: linearna, kvadratna, kubna funkcija, polinomi, eksponent, sinus, kosinus. Definirani su na (skup svih realnih brojeva). Za tangente, arkusine, neka bude, opraštam ti =) - rjeđi grafovi se ne pamte odmah.

Čini se da je domena definiranja jednostavna stvar i postavlja se prirodno pitanje o čemu će biti riječ u članku? U ovoj lekciji razmotrit ću uobičajene zadatke za pronalaženje domene funkcije. Osim toga, ponovit ćemo nejednadžbe s jednom varijablom, vještine rješavanja koje će biti potrebne u drugim problemima više matematike. Materijal je, inače, sav školski, pa će biti koristan ne samo studentima, već i studentima. Informacije, naravno, ne pretendiraju na enciklopediju, ali s druge strane, ovdje nema nategnutih "mrtvih" primjera, već pečenih kestena, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.

Krenimo ekspresnim presjekom u temu. Ukratko o glavnom: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegova domena definiranja je skup vrijednosti "x"., za koji postojati značenje "igre". Razmotrimo hipotetski primjer:

Domena ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona sindikata). Drugim riječima, ako uzmemo bilo koju vrijednost "x" iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav "x" postojati vrijednost "y".

Grubo rečeno, gdje je domena definicije, nalazi se i graf funkcije. Ali poluinterval i točka "ce" nisu uključeni u područje definicije i tamo nema grafikona.

Kako pronaći opseg funkcije? Mnogi se ljudi sjećaju dječje pjesmice: "kamen, škare, papir", au ovom slučaju može se sigurno parafrazirati: "korijen, razlomak i logaritam". Dakle, ako na svom životnom putu naiđete na razlomak, korijen ili logaritam, odmah biste trebali biti vrlo, vrlo oprezni! Tangens, kotangens, arksinus, arkosinus mnogo su rjeđi, a o njima ćemo također govoriti. Ali prvo, crtice iz života mrava:

Opseg funkcije koja sadrži razlomak

Pretpostavimo da je dana funkcija koja sadrži neki razlomak. Kao što znate, ne možete podijeliti s nulom: , dakle one x vrijednosti koje pretvaraju nazivnik u nulu nisu uključene u opseg ove funkcije.

Neću se zadržavati na najjednostavnijim funkcijama poput i tako dalje, jer svatko može vidjeti točke koje nisu uključene u njegovu domenu definicije. Razmotrite smislenije razlomke:

Primjer 1

Pronađite opseg funkcije

Odluka: u brojniku nema ništa posebno, ali nazivnik mora biti različit od nule. Izjednačimo to s nulom i pokušajmo pronaći "loše" točke:

Rezultirajuća jednadžba ima dva korijena: . Podaci o vrijednosti nije uključeno u djelokrug funkcije. Zaista, zamijenite ili u funkciju i vidjet ćete da nazivnik ide na nulu.

Odgovor: domena:

Unos glasi kako slijedi: “domena definicije su svi realni brojevi s izuzetkom skupa koji se sastoji od vrijednosti ". Podsjećam vas da ikona obrnute kose crte u matematici označava logičko oduzimanje, a vitičaste zagrade označavaju skup. Odgovor se može ekvivalentno napisati kao unija tri intervala:

Kome se sviđa.

U točkama funkcija traje beskrajne pauze, i ravne linije dane jednadžbama su vertikalne asimptote za graf ove funkcije. Međutim, ovo je malo drugačija tema i dalje se neću posebno fokusirati na to.

Primjer 2

Pronađite opseg funkcije

Zadatak je u biti usmeni i mnogi od vas će gotovo odmah pronaći područje definicije. Odgovorite na kraju lekcije.

Hoće li razlomak uvijek biti "loš"? Ne. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojčanoj osi. Koju god vrijednost "x" da uzmemo, nazivnik se neće pretvoriti u nulu, štoviše, uvijek će biti pozitivan:. Dakle, opseg ove funkcije je: .

Sve funkcije poput definiran i stalan na .

Malo je kompliciranija situacija kada je nazivnik zauzimao kvadrat trinoma:

Primjer 3

Pronađite opseg funkcije

Odluka: Pokušajmo pronaći točke u kojima nazivnik ide na nulu. Za ovo ćemo se odlučiti kvadratna jednadžba:

Diskriminant se pokazao negativnim, što znači da nema pravih korijena, a naša je funkcija definirana na cijeloj brojevnoj osi.

Odgovor: domena:

Primjer 4

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Savjetujem vam da ne budete lijeni s jednostavnim problemima, jer će se nesporazumi akumulirati za daljnje primjere.

Opseg funkcije s korijenom

Funkcija kvadratnog korijena definirana je samo za one vrijednosti "x" kada radikalni izraz je nenegativan: . Ako se korijen nalazi u nazivniku, tada je uvjet očito pooštren: . Slični izračuni vrijede za bilo koji korijen pozitivnog parnog stupnja: , međutim, korijen je već 4. stupanj u proučavanja funkcije ne sjećam se.

Primjer 5

Pronađite opseg funkcije

Odluka: radikalni izraz mora biti nenegativan:

Prije nastavka rješavanja, dopustite mi da vas podsjetim na osnovna pravila za rad s nejednakostima, poznata još iz škole.

Obraćam posebnu pozornost! Sada razmatramo nejednakosti s jednom varijablom- to jest, za nas postoji samo jednu dimenziju duž osi. Nemojte brkati s nejednakosti dviju varijabli, gdje je cijela koordinatna ravnina geometrijski uključena. No, ima i ugodnih slučajnosti! Dakle, za nejednakost, sljedeće transformacije su ekvivalentne:

1) Uvjeti se mogu prenositi iz dijela u dio promjenom njihovih (uvjeta) znakovi.

2) Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti pozitivnim brojem.

3) Ako se oba dijela nejednadžbe pomnože s negativan broj, morate promijeniti znak same nejednakosti. Na primjer, ako je bilo "više", onda će postati "manje"; ako je bilo "manje ili jednako", tada će postati "veće ili jednako".

U nejednadžbi “trojku” pomičemo na desnu stranu uz promjenu predznaka (pravilo br. 1):

Pomnožite obje strane nejednakosti s –1 (pravilo #3):

Pomnožite obje strane nejednakosti s (pravilo broj 2):

Odgovor: domena:

Odgovor se također može napisati u ekvivalentnoj frazi: "funkcija je definirana na".
Geometrijski, domena definicije je prikazana sjenčanjem odgovarajućih intervala na x-osi. U ovom slučaju:

Još jednom podsjećam na geometrijsko značenje domene definicije - grafa funkcije postoji samo u zasjenjenom području i nema ga na .

U većini slučajeva, čisto analitički nalaz domene definicije je prikladan, ali kada je funkcija vrlo zbunjena, trebali biste nacrtati os i napraviti bilješke.

Primjer 6

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer "uradi sam".

Kada se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni binom ili trinom, situacija postaje malo kompliciranija, a sada ćemo detaljno analizirati tehniku ​​rješavanja:

Primjer 7

Pronađite opseg funkcije

Odluka: radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno trebamo riješiti nejednadžbu . U prvom koraku pokušavamo faktorizirati kvadratni trinom:

Diskriminant je pozitivan, tražimo korijene:

Dakle, parabola siječe x-os u dvije točke, što znači da se dio parabole nalazi ispod osi (nejednakost), a dio parabole iznad osi (nejednakost koja nam je potrebna).

Budući da je koeficijent , tada grane parabole gledaju prema gore. Iz navedenog proizlazi da je nejednakost zadovoljena na intervalima (granovi parabole idu u beskonačnost), a vrh parabole se nalazi na intervalu ispod osi apscisa, što odgovara nejednadžbi:

! Bilješka: ako ne razumijete u potpunosti objašnjenja, nacrtajte drugu os i cijelu parabolu! Preporučljivo je vratiti se na članak i priručnik Vruće školske matematičke formule.

Imajte na umu da su same točke izbušene (nisu uključene u rješenje), jer je naša nejednakost stroga.

Odgovor: domena:

Općenito, mnoge se nejednakosti (uključujući i razmatranu) rješavaju univerzalnim metoda intervala, opet poznat iz školskog programa. Ali u slučajevima kvadratnih dva i tri člana, po mom mišljenju, mnogo je prikladnije i brže analizirati položaj parabole u odnosu na os. A glavnu metodu - metodu intervala, detaljno ćemo analizirati u članku. Funkcija nula. Intervali postojanosti.

Primjer 8

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Uzorak je detaljno komentirao logiku zaključivanja + drugi način rješavanja i još jednu važnu transformaciju nejednadžbe, ne znajući na koju će učenik šepati na jednu nogu ..., ... hmm ... nauštrb nozi, možda se uzbudio, bolje rečeno - na jednom prstu. Palac.

Može li se funkcija s kvadratnim korijenom definirati na cijelom brojevnom pravcu? Naravno. Sva poznata lica: . Ili sličan zbroj s eksponentom: . Doista, za bilo koje vrijednosti "x" i "ka": , dakle, čak i više.

Evo manje očitog primjera: . Ovdje je diskriminanta negativna (parabola ne siječe x-os), dok su grane parabole usmjerene prema gore, stoga je domena definicije: .

Pitanje je suprotno: može li opseg funkcije biti prazan? Da, i primitivni primjer odmah se sugerira , gdje je radikalni izraz negativan za bilo koju vrijednost "x", a domena definicije je: (ikona praznog skupa). Takva funkcija uopće nije definirana (naravno, i graf je iluzoran).

s neparnim korijenima itd. stvari su puno bolje - ovdje korijenski izraz također može biti negativan. Na primjer, funkcija je definirana na cijelom brojevnom pravcu. Međutim, funkcija ima jednu točku koja još uvijek nije uključena u domenu definicije, budući da je nazivnik okrenut na nulu. Iz istog razloga za funkciju bodovi su isključeni.

Funkcijska domena s logaritmom

Treća uobičajena funkcija je logaritam. Kao primjer, nacrtat ću prirodni logaritam, koji se pojavljuje u otprilike 99 primjera od 100. Ako određena funkcija sadrži logaritam, tada bi njezina domena definicije trebala uključivati ​​samo one x vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost . Ako je logaritam u nazivniku: tada dodatno uvjet je nametnut (jer ).

Primjer 9

Pronađite opseg funkcije

Odluka: sukladno navedenom sastavljamo i rješavamo sustav:

Grafičko rješenje za lutke:

Odgovor: domena:

Zadržat ću se na još jednoj tehničkoj točki - na kraju krajeva, nemam ljestvicu i podjele duž osi. Postavlja se pitanje: kako napraviti takve crteže u bilježnici na kariranom papiru? Je li moguće izmjeriti udaljenost između točaka u ćelijama strogo prema mjerilu? Kanonski je i stroži, naravno, u mjerilu, ali shematski crtež koji temeljno odražava situaciju također je sasvim prihvatljiv.

Primjer 10

Pronađite opseg funkcije

Da biste riješili problem, možete upotrijebiti metodu prethodnog odlomka - analizirati kako se parabola nalazi u odnosu na x-os. Odgovorite na kraju lekcije.

Kao što vidite, u području logaritama sve je vrlo slično situaciji s kvadratnim korijenom: funkcija (kvadratni trinom iz primjera br. 7) definiran je na intervalima , a funkcija (kvadratni binom iz primjera br. 6) na intervalu . Neugodno je čak i reći da su tipske funkcije definirane na cijelom brojevnom pravcu.

Korisna informacija : funkcija tipa je zanimljiva, definirana je na cijelom brojevnom pravcu osim na točki. Prema svojstvu logaritma, "dva" se može izbaciti faktorom izvan logaritma, ali da se funkcija ne promijeni, ispod znaka modula mora se staviti "x": . Evo vam još jedna "praktična primjena" modula =). To je ono što trebate učiniti u većini slučajeva kada rušite čak stupanj, na primjer: . Ako je baza stupnja očito pozitivna, na primjer, onda nema potrebe za znakom modula i dovoljno je proći sa zagradom: .

Da se ne ponavljamo, zakomplicirajmo zadatak:

Primjer 11

Pronađite opseg funkcije

Odluka: u ovoj funkciji imamo i korijen i logaritam.

Korijenski izraz mora biti nenegativan: , a izraz pod znakom logaritma mora biti strogo pozitivan: . Dakle, potrebno je riješiti sustav:

Mnogi od vas vrlo dobro znaju ili intuitivno nagađaju da rješenje sustava mora zadovoljiti svakome stanje.

Promatrajući položaj parabole u odnosu na os, dolazimo do zaključka da interval zadovoljava nejednakost (plavo sjenčanje):

Nejednakost, očito, odgovara "crvenom" poluintervalu.

Budući da oba uvjeta moraju biti ispunjena istovremeno, tada je rješenje sustava presjek tih intervala. Na poluintervalu se promatraju "zajednički interesi".

Odgovor: domena:

Tipičnu nejednakost, kao što je pokazano u primjeru br. 8, nije teško analitički riješiti.

Pronađena domena definicije neće se promijeniti za "slične funkcije", na primjer, za ili . Također možete dodati neke kontinuirane funkcije, na primjer: ili ovako: , ili čak ovako: . Kako kažu, korijen i logaritam su tvrdoglave stvari. Jedino što ako se jedna od funkcija "resetira" na nazivnik, promijenit će se domena definicije (iako u općem slučaju to nije uvijek točno). Pa, u teoriji matan o ovom verbalnom ... oh ... postoje teoremi.

Primjer 12

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Korištenje nacrta sasvim je prikladno, budući da funkcija nije najlakša.

Još par primjera za pojačanje gradiva:

Primjer 13

Pronađite opseg funkcije

Odluka: sastaviti i riješiti sustav:

Sve radnje već su razvrstane u tijeku članka. Nacrtajte na numeričkoj crti interval koji odgovara nejednadžbi i prema drugom uvjetu isključite dvije točke:

Vrijednost se pokazala potpuno nebitnom.

Odgovor: domena

Mala matematička igra riječi o varijaciji 13. primjera:

Primjer 14

Pronađite opseg funkcije

Ovo je primjer "uradi sam". Tko je promašio, leti ;-)

Posljednji dio lekcije posvećen je rijetkim, ali također "radnim" funkcijama:

Opseg funkcija
s tangensima, kotangensima, arksinusima, arkkosinusima

Ako neka funkcija uključuje , tada iz svoje domene definicije isključen bodova , gdje Z je skup cijelih brojeva. Konkretno, kako je navedeno u članku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, funkcija ima sljedeće vrijednosti:

Odnosno, domena definicije tangente: .

Nećemo puno ubijati:

Primjer 15

Pronađite opseg funkcije

Odluka: u ovom slučaju, sljedeće točke neće biti uključene u domenu definicije:

Ubacimo "dvojku" lijeve strane u nazivnik desne strane:

Kao rezultat :

Odgovor: domena: .

U principu, odgovor se također može napisati kao unija beskonačnog broja intervala, ali će se konstrukcija pokazati vrlo glomaznom:

Analitičko rješenje u potpunosti se slaže s grafika geometrijske transformacije: ako se argument funkcije pomnoži s 2, tada će se njezin grafikon dvaput smanjiti na os. Primijetite kako se period funkcije prepolovio, i točke prekida povećao dva puta. Tahikardija.

Slična priča s kotangensom. Ako neka funkcija uključuje , tada su točke isključene iz njezine domene definicije. Konkretno, za funkciju pucamo sljedeće vrijednosti s praskom automata:

Drugim riječima:

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // neovisno znači bilo koje.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može poprimiti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamijenimo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. a sada izračunavamo y, pa je y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y je ovisan o x, jer ono što x zamijenimo, dobivamo takav y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno ovisna o varijabli x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (zvana ravna linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Neovisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije ima naziva se domena funkcije i označava se s D(f) ili D(y).

Uzmite u obzir D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d - ∞; +∞[ .

Primjer 1. Odredi opseg funkcije g = 2 .

Odluka. Opseg funkcije nije specificiran, što znači da se, temeljem gornje definicije, misli na prirodnu domenu definicije. Izraz f(x) = 2 je definiran za bilo koje realne vrijednosti x, stoga je ova funkcija definirana na cijelom skupu R realni brojevi.

Stoga je na gornjem crtežu brojevna linija osjenčana sve od minus beskonačno do plus beskonačno.

Opseg korijena n ti stupanj

U slučaju kada je funkcija dana formulom i n- prirodni broj:

Primjer 2. Odredi opseg funkcije .

Odluka. Kao što slijedi iz definicije, korijen parnog stupnja ima smisla ako je radikalni izraz nenegativan, odnosno ako je - 1 ≤ x≤ 1 . Stoga je opseg ove funkcije [- 1; 1] .

Osjenčano područje brojevne crte na gornjem crtežu je područje definiranja ove funkcije.

Domena funkcije snage

Domena potencne funkcije s cjelobrojnim eksponentom

ako a- pozitivna, tada je domena funkcije skup svih realnih brojeva, odnosno ]- ∞; + ∞[ ;

ako a- negativan, tada je domena definiranja funkcije skup ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , odnosno cijeli brojevni pravac osim nule.

Na odgovarajućem crtežu cijela numerička linija je osjenčana odozgo, a točka koja odgovara nuli je izbušena (nije uključena u područje definicije funkcije).

Primjer 3. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Prvi član je cjelobrojna potencija od x jednaka 3, a potencija od x u drugom članu može se prikazati kao jedinica - također cijeli broj. Dakle, domena ove funkcije je cijeli brojevni pravac, odnosno ]- ∞; +∞[ .

Domena potencne funkcije s razlomačkim eksponentom

U slučaju kada je funkcija dana formulom:

ako je - pozitivno, tada je domena funkcije skup 0; +∞[ .

Primjer 4. Odredi opseg funkcije .

Odluka. Oba člana u izrazu funkcije su funkcije potencije s pozitivnim razlomačkim eksponentima. Dakle, domena ove funkcije je skup - ∞; +∞[ .

Područje definiranja eksponencijalne i logaritamske funkcije

Domena eksponencijalne funkcije

U slučaju kada je funkcija dana formulom, domena funkcije je cijeli brojevni pravac, odnosno ]- ∞; +∞[ .

Područje logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija je definirana pod uvjetom da je njen argument pozitivan, odnosno da je njena domena definicije skup ]0; +∞[ .

Sami pronađite opseg funkcije i zatim pogledajte rješenje

Područje definiranja trigonometrijskih funkcija

Opseg funkcije g= cos( x) je također skup R realni brojevi.

Opseg funkcije g= tg( x) - gomila R realni brojevi osim brojeva .

Opseg funkcije g=ctg( x) - gomila R realni brojevi osim brojeva.

Primjer 8. Odredi opseg funkcije .

Odluka. Vanjska funkcija je decimalni logaritam, a uvjeti za domenu definicije logaritamske funkcije općenito vrijede za njezinu domenu definicije. Odnosno, njegov argument mora biti pozitivan. Argument ovdje je sinus od "x". Okrećući zamišljeni kompas oko kruga, vidimo da je uvjet sin x> 0 se krši kada je "x" jednako nuli, "pi", dva, pomnoženo s "pi" i općenito jednako umnošku broja "pi" i bilo kojeg parnog ili neparnog cijelog broja.

Dakle, domena definiranja ove funkcije dana je izrazom

,

gdje k je cijeli broj.

Domena inverznih trigonometrijskih funkcija

Opseg funkcije g= arcsin( x) - skup [-1; 1] .

Opseg funkcije g= arccos( x) - također skup [-1; 1] .

Opseg funkcije g= arctan( x) - gomila R realni brojevi.

Opseg funkcije g= arcctg( x) je također skup R realni brojevi.

Primjer 9. Odredi opseg funkcije .

Odluka. Riješimo nejednadžbu:

Tako dobivamo domenu definicije ove funkcije - segment [- 4; četiri] .

Primjer 10. Odredi opseg funkcije .

Odluka. Riješimo dvije nejednadžbe:

Rješenje prve nejednadžbe:

Rješenje druge nejednadžbe:

Tako dobivamo domenu definiranja ove funkcije - segment.

Domena razlomaka

Ako je funkcija dana frakcijskim izrazom u kojem je varijabla u nazivniku razlomka, tada je domena funkcije skup R realni brojevi osim x za koje nazivnik razlomka nestaje.

Primjer 11. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Rješavajući jednakost na nulu nazivnika razlomka, nalazimo domenu definicije ove funkcije - skup] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .