U ovoj lekciji ćemo se upoznati s jednim od najvažnijih i najčešćih trikova koji se koriste u tijeku rješavanja neodređenih integrala - metodom promjene varijable. Za uspješno svladavanje gradiva potrebna su početna znanja i integracijske vještine. Ako u integralnom računu postoji osjećaj praznog punog čajnika, onda prvo trebate pročitati materijal, gdje sam u pristupačnom obliku objasnio što je integral i detaljno analizirao osnovne primjere za početnike.

Tehnički, metoda promjene varijable u neodređenom integralu provodi se na dva načina:

– Dovođenje funkcije pod znak diferencijala;
– Stvarna promjena varijable.

Zapravo, to je ista stvar, ali dizajn rješenja izgleda drugačije.

Počnimo s jednostavnijim slučajem.

Dovođenje funkcije pod diferencijalni predznak

Na lekciji Neodređeni integral. Primjeri rješenja naučili smo kako otvoriti diferencijal, sjećam se primjera koji sam dao:

To jest, otvoriti diferencijal formalno je gotovo isto što i pronaći izvod.

Primjer 1

Izvršite provjeru.

Gledamo tablicu integrala i nalazimo sličnu formulu: . Ali problem je u tome što ispod sinusa nemamo samo slovo "x", već složen izraz. Što učiniti?

Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala:

Proširujući diferencijal, lako je provjeriti da:

Zapravo i je zapis o istom.

Ali, ipak, ostaje pitanje kako smo došli na ideju da u prvom koraku trebamo napisati naš integral upravo ovako: ? Zašto tako, a ne drugačije?

Formula (i sve druge tablične formule) valjane su i primjenjive NE SAMO za varijablu, već i za bilo koji složeni izraz SAMO ARGUMENT FUNKCIJE(- u našem primjeru) A IZRAZ POD RAZLIČNIM ZNAKOM BILI SU ISTO .

Stoga bi mentalno razmišljanje pri rješavanju trebalo biti otprilike ovako: „Moram riješiti integral. Pogledao sam tablicu i našao sličnu formulu . Ali imam složen argument i ne mogu odmah upotrijebiti formulu. Ipak, ako uspijem proći pod znakom diferencijala, onda će sve biti u redu. Ako napišem, onda. Ali ne postoji trostruki faktor u izvornom integralu, stoga, kako se integrand ne bi promijenio, moram ga pomnožiti s ". Tijekom približno takvog mentalnog razmišljanja rađa se zapis:

Sada možete koristiti proračunsku tablicu :

Spreman

Jedina razlika je u tome što nemamo slovo "x", već složen izraz.

Napravimo provjeru. Otvori tablicu izvedenica i diferenciraj odgovor:

Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno pronađen.

Napominjemo da smo tijekom provjere koristili pravilo diferencijacije složene funkcije . Naime, dovođenje funkcije pod predznak diferencijala i dva su međusobno inverzna pravila.

Primjer 2

Analiziramo funkciju integranda. Ovdje imamo razlomak, a nazivnik je linearna funkcija (s "x" na prvom stupnju). Gledamo u tablicu integrala i nalazimo nešto najsličnije: .

Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala:

Oni kojima je teško odmah shvatiti kojim razlomkom treba pomnožiti mogu brzo otkriti razliku na nacrtu:. Da, ispada, da se ništa ne promijeni, moram pomnožiti integral s .
Zatim koristimo formulu proračunske tablice :

Ispitivanje:


Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno pronađen.

Primjer 3

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer "uradi sam". Odgovorite na kraju lekcije.

Uz malo iskustva u rješavanju integrala, takvi će se primjeri činiti lakima i pucat će kao orasi:

Na kraju ovog odlomka također bih se želio zadržati na "slobodnom" slučaju kada varijabla ulazi u linearnu funkciju s jediničnim koeficijentom, na primjer:

Strogo govoreći, rješenje bi trebalo izgledati ovako:

Kao što vidite, dovođenje funkcije pod predznak diferencijala prošlo je “bezbolno”, bez ikakvih množenja. Stoga se u praksi tako dugo rješenje često zanemaruje i odmah zapisuje kao . Ali budite spremni, ako treba, objasniti učitelju kako ste odlučili! Budući da u tablici uopće nema integrala.

Metoda promjene varijable u neodređenom integralu

Okrećemo se razmatranju općeg slučaja - metode promjene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, za rješavanje integrala svidjela nam se tablična formula , a htio bih sve svesti na nju.

Ideja iza metode zamjene je da se zamijeniti složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom.
NA ovaj slučaj moli:
Drugo najpopularnije zamjensko slovo je slovo .
U principu, možete koristiti i druga slova, ali mi se i dalje držimo tradicije.

Tako:
Ali kod zamjene, ostalo nam je! Vjerojatno su mnogi pretpostavili da ako se prijeđe na novu varijablu, tada u novom integralu sve mora biti izraženo slovom, a za diferencijal uopće nema mjesta.
Iz toga slijedi logičan zaključak da je to potrebno pretvoriti u neki izraz koji ovisi samo o.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo odabrali zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. S razlikama, mislim, prijateljstvo je već uspostavljeno za sve.

Od tad

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučam prepisati konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam je potrebno:

Eventualno:
Na ovaj način:

A ovo je najtabelarniji integral (tablica integrala, naravno, vrijedi i za varijablu).

Zaključno, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Sjećamo se toga.

Spreman.

Konačni dizajn ovog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamijenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, to znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pravite primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

A sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema temeljne razlike. To je zapravo ista stvar. Ali sa stajališta dizajna zadatka, metoda dovođenja funkcije pod predznak diferencijala puno je kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Činjenica je da za niz integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod predznak diferencijala.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, izvorni integral je uvelike pojednostavljen - sveden na običnu potencijsku funkciju. To je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral dovodeći funkciju pod predznak diferencijala:

Druga je stvar što takvo rješenje nije očito svim učenicima. Osim toga, već u ovom primjeru koristi se metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u odluci.

Primjer 7

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral.

Zamjena:
Ostaje za vidjeti što će biti

Dobro, izrazili smo, ali što učiniti da u brojniku ostane X?!
S vremena na vrijeme, tijekom rješavanja integrala, dogodi se sljedeći trik: izrazit ćemo iz iste zamjene !

Primjer 9

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer "uradi sam". Odgovorite na kraju lekcije.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral.

Sigurno su neki primijetili da moja referentna tablica nema pravilo zamjene varijabli. To je učinjeno namjerno. Pravilo bi zbunilo objašnjenje i razumijevanje, budući da se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Vrijeme je da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijabli: integrand mora sadržavati neku funkciju i njezinu derivaciju:(funkcije možda nisu u proizvodu)

S tim u vezi, pri pronalaženju integrala često se mora pogledati u tablicu derivacija.

U ovom primjeru primjećujemo da je stupanj brojnika za jedan manji od stupnja nazivnika. U tablici izvedenica nalazimo formulu, koja samo snižava stupanj za jedan. I, dakle, ako odredite za nazivnik, onda su velike šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Okrećemo se razmatranju općeg slučaja - metode promjene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, za rješavanje integrala svidjela nam se tablična formula , a htio bih sve svesti na nju.

Ideja iza metode zamjene je da se složeni izraz (ili neka funkcija) zamjenjuje se jednim slovom.
U ovom slučaju pita se:
Drugo najpopularnije zamjensko slovo je slovo .
U principu, možete koristiti i druga slova, ali mi se i dalje držimo tradicije.

Tako:
Ali kod zamjene, ostalo nam je! Vjerojatno su mnogi pretpostavili da ako se prijeđe na novu varijablu, tada u novom integralu sve mora biti izraženo slovom, a za diferencijal uopće nema mjesta.
Iz toga slijedi logičan zaključak da je to potrebno pretvoriti u neki izraz koji ovisi samo o .

Radnja je sljedeća. Nakon što smo odabrali zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. S razlikama, mislim, prijateljstvo je već uspostavljeno za sve.

Od tad

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučam prepisati konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam je potrebno:

Eventualno:
Na ovaj način:

A ovo je najtabelarniji integral (tablica integrala, naravno, vrijedi i za varijablu).

Zaključno, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Sjećamo se toga.

Spreman.

Konačni dizajn ovog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamijenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, to znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pravite primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

A sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema temeljne razlike. To je zapravo ista stvar. Ali sa stajališta oblikovanja zadatka, metoda dovođenja funkcije pod predznak diferencijala puno je kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Činjenica je da za niz integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod predznak diferencijala.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, izvorni integral je uvelike pojednostavljen - sveden na običnu potencijsku funkciju. To je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral dovodeći funkciju pod predznak diferencijala:

Druga je stvar što takvo rješenje nije očito svim učenicima. Osim toga, već u ovom primjeru koristi se metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u odluci.

Primjer 7

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral.

Zamjena:
Ostaje za vidjeti što će biti

Dobro, izrazili smo, ali što učiniti da u brojniku ostane X?!
S vremena na vrijeme, tijekom rješavanja integrala, dogodi se sljedeći trik: izrazit ćemo iz iste zamjene !

Primjer 9

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer "uradi sam". Odgovorite na kraju lekcije.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral.

Sigurno su neki primijetili da moja referentna tablica nema pravilo zamjene varijabli. To je učinjeno namjerno. Pravilo bi zbunilo objašnjenje i razumijevanje, budući da se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Vrijeme je da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijabli: integrand mora sadržavati neku funkciju i njegova izvedenica : (funkcije možda nisu u proizvodu)

S tim u vezi, pri pronalaženju integrala često se mora pogledati u tablicu derivacija.

U ovom primjeru primjećujemo da je stupanj brojnika za jedan manji od stupnja nazivnika. U tablici izvedenica nalazimo formulu, koja samo snižava stupanj za jedan. I, dakle, ako odredite za nazivnik, onda su velike šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Zamjena:

Usput, ovdje nije tako teško dovesti funkciju pod diferencijalni znak:

Valja napomenuti da za razlomke poput , takav trik više neće funkcionirati (točnije, bit će potrebno primijeniti ne samo tehniku ​​zamjene). U lekciji možete naučiti kako integrirati neke razlomke Integracija nekih razlomaka.

Evo još nekoliko tipičnih primjera za samostalno rješenje iz iste opere:

Primjer 11

Nađi neodređeni integral.

Primjer 12

Nađi neodređeni integral.

Rješenja na kraju lekcije.

Primjer 13

Nađi neodređeni integral.

Gledamo tablicu derivacija i nalazimo naš ark kosinus: . U integrandu imamo arkosinus i nešto slično njegovoj derivaciji.

Opće pravilo:
Po označavaju samu funkciju(a ne njegov derivat).

U ovom slučaju: . Ostaje saznati u što će se pretvoriti ostatak integranda.

U ovom primjeru detaljno ću opisati nalaz jer se radi o složenoj funkciji.

Ili kraće:
Prema pravilu proporcije, izražavamo ostatak koji nam je potreban:

Na ovaj način:

Ovdje nije tako lako dovesti funkciju pod predznak diferencijala.

Primjer 14

Nađi neodređeni integral.

Primjer za samostalno rješenje. Odgovor je vrlo blizu.

Pažljivi čitatelji primijetit će da sam razmotrio nekoliko primjera s trigonometrijskim funkcijama. I to nije slučajno, budući da je posebna lekcija rezervirana za integrale trigonometrijskih funkcija. Štoviše, navedena lekcija daje neke korisne smjernice za promjenu varijable, što je posebno važno za glupane, koji ne razumiju uvijek i odmah kakvu zamjenu treba izvršiti u pojedinom integralu. Također, neke vrste supstitucija mogu se pronaći u članku Određeni integral. Primjeri rješenja.

Iskusniji učenici mogu se upoznati s promjenom tipa integrala s iracionalnim funkcijama. Korenska integracijska supstitucija je specifična, a tehnika njezina izvođenja razlikuje se od one koju smo razmatrali u ovoj lekciji.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje:

Primjer 4: Rješenje:

Primjer 7: Rješenje:

Primjer 9: Rješenje:

Zamjena:

Primjer 11: Rješenje:

Zamijenimo:

(vidi članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu ) ili integral samo na način integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, pri ruci bi trebalo biti: Tablica integrala i Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve tiskati. Nastojat ću izložiti sav materijal na dosljedan, jednostavan i pristupačan način, nema posebnih poteškoća u objedinjavanju po dijelovima.

Koji problem rješava integracija po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi

3) , , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , - inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi”, pomnoženi nekim polinomom.

Također, neke frakcije se uzimaju u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Prethodno smo za zadanu funkciju, vođeni različitim formulama i pravilima, pronašli njezinu derivaciju. Derivat ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine iz poznatog zakona gibanja, postoji i obrnuti problem - problem obnavljanja zakona gibanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1 Materijalna točka se giba pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). Dakle, za rješavanje problema potrebno je odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Doista
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0 , tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0 . Sada je zakon gibanja jednoznačno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

U matematici se međusobno obrnutim operacijama dodjeljuju različita imena, smišljaju se posebni zapisi, na primjer: kvadriranje (x 2) i vađenje kvadratnog korijena (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arksinus ( arcsin x) i dr. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferencijacija, i inverzna operacija, tj. proces pronalaženja funkcije po zadanoj derivaciji, - integracija.

Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y \u003d f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y" \u003d f "(x). Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne nazivaju "roditeljem" ili "proizvođačem", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y " = f" (x) , primarna slika ili antiderivacija.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako \(x \in X \) zadovoljava jednakost F"(x) = f(x)

U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x
2) Funkcija y \u003d x 3 je antiderivacija za funkciju y \u003d 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2
3) Funkcija y \u003d sin (x) je antiderivacija za funkciju y \u003d cos (x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)

Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.

Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2 Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).

Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracijske varijable (tj. supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka se traži izračunavanje integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti formule neodređene integralne integracije, dobivamo formulu integracije supstitucije:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza poput \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Ako funkcija x=φ(t) ima kontinuiranu derivaciju, tada se u zadanom neodređenom integralu ∫f(x)dx uvijek može prijeći na novu varijablu t formulom

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Zatim pronađite integral s desne strane i vratite se na izvornu varijablu. U ovom slučaju, integral na desnoj strani ove jednakosti može biti jednostavniji od integrala na lijevoj strani ove jednakosti, ili čak tablični. Ova metoda pronalaženja integrala naziva se metoda promjene varijable.

Primjer 7. ∫x√x-5dx

Da bismo se riješili korijena, postavili smo √x-5=t. Stoga je x=t 2 +5 i stoga dx=2tdt. Zamjenom imamo redom:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. Metoda integracije po dijelovima

Metoda integracije po dijelovima temelji se na sljedećoj formuli:

∫udv=uv-∫vdu

gdje su u(x),v(x) kontinuirano diferencijabilne funkcije. Formula se naziva formula integracije po dijelovima. Ova formula pokazuje da integral ∫udv vodi do integrala ∫vdu, koji se može pokazati jednostavnijim od izvornog, ili čak tabličnim.

Primjer 12. Odredite neodređeni integral ∫xe -2x dx

Koristimo metodu integracije po dijelovima. Neka je u=x, dv=e -2x dx. Tada du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Prema tome, prema formuli imamo: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e - 2x -e -2x +C

23 . racionalni razlomak je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi.

Racionalni razlomci. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Bilo koja racionalna funkcija može se prikazati kao racionalni razlomak, odnosno kao omjer dvaju polinoma:

Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, tada se naziva razlomak ispraviti, inače se razlomak zove pogrešno.

Ako je razlomak nepravilan, tada dijeljenjem brojnika s nazivnikom (prema pravilu dijeljenja polinoma) taj razlomak možete prikazati kao zbroj polinoma i nekog pravilnog razlomka: , gdje M(x)- polinom, ali pravi razlomak.

Primjer: Neka je dan nepravi racionalni razlomak.

Zatim , budući da pri dijeljenju kutom dobivamo ostatak (4x-6).

Budući da integracija polinoma ne predstavlja temeljne poteškoće, glavna poteškoća u integraciji racionalnih razlomaka leži u integraciji pravih racionalnih razlomaka.

Postoji nekoliko vrsta racionalnih razlomaka:

II. Pogled: (k-pozitivan cijeli broj ³2).

I.Y. Pogled: (k-cijeli broj³2).

Razmotrimo integrale jednostavnih racionalnih razlomaka.

ja .

II. =A .

24 .Integracija racionalnih razlomaka

Neka je integrand racionalni razlomak gdje su i polinomi (polinomi) stupnjeva k i n odnosno. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da k < n, budući da se inače uvijek može prikazati brojnik u obliku P(x) = Q(x)R(x) + S(x) gdje su R(x) i S(x) polinomi, koji se obično nazivaju, kao u slučaju realni brojevi, kvocijent i ostatak, a stupanj polinoma S(x) je manji od n. Zatim

, (1.1)

te možemo izračunati integral polinoma R(x). Pokažimo na primjeru kako se može dobiti proširenje (1.1). Neka je P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2. Polinom P(x) dijelimo s polinomom Q(x) na isti način kao što dijelimo realne brojeve (rješenje se dobiva preko kalkulatora dijeljenja). Dakle, dobili smo cijeli dio razlomka (kvocijent dijeljenja polinoma P s polinomom Q) R (x) \u003d x 4 + 2x 2 - 4x + 7 i ostatak S (x) \u003d 9x 2 - 14x + 12 iz ove divizije. Prema temeljnom teoremu algebre, bilo koji polinom se može rastaviti na najjednostavnije faktore, odnosno predstavlja se kao , gdje se korijeni polinoma Q(x) ponavljaju onoliko puta koliko je njihova višestrukost. Neka polinom Q(x) ima n različitih korijena. Tada se pravi racionalni razlomak može prikazati kao , gdje su brojke koje treba utvrditi. Ako je korijen višestrukosti α, tada odgovara α članovima u rastavljanju u proste razlomke . Ako je x j kompleksni korijen višestrukosti polinoma s realnim koeficijentima, tada je kompleksni konjugat također korijen višestrukosti α tog polinoma. Kako se pri integraciji racionalnih razlomaka ne bi radilo o kompleksnim brojevima, članovi u proširenju pravilnog racionalnog razlomka koji odgovaraju parovima kompleksno konjugiranih korijena kombiniraju se i pišu kao jedan član oblika if - korijeni višestrukosti jedan. Ako su korijeni višestrukosti , tada odgovaraju članovima i odgovarajuće širenje ima oblik

Tako se integracija pravih racionalnih razlomaka svela na integraciju najjednostavnijih razlomaka, od kojih se tablični, mogu pronaći rekurzivnom formulom, koja se dobiva integracijom po dijelovima. Integrali se, u slučaju kada nazivnik ima kompleksne korijene (diskriminanta), reduciraju izborom punog kvadrata na integrale zamjenom. Jedan od načina za pronalaženje koeficijenata u proširenju pravilnog racionalnog razlomka je sljedeći. Desna strana dobivenog proširenja s neodređenim koeficijentima svodi se na zajednički nazivnik. Budući da su nazivnici desne i lijeve strane jednaki, brojnici, koji su polinomi, također moraju biti jednaki. Izjednačavanjem koeficijenata pri istim potencijama (jer su polinomi jednaki ako su koeficijenti pri istim potencijama jednaki) dobivamo sustav linearnih jednadžbi za određivanje tih koeficijenata.

25. Integracija iracionalnih funkcija - Opće načelo integracije iracionalnih izraza je promjena varijable, što vam omogućuje da se riješite korijena u integrandu. Za neke klase funkcija, ovaj cilj se postiže korištenjem standardnih supstitucija.

Integrali oblika .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili .

26 . Integracija iracionalnih funkcija - Opće načelo integracije iracionalnih izraza je promjena varijable, što vam omogućuje da se riješite korijena u integrandu. Za neke klase funkcija, ovaj cilj se postiže korištenjem standardnih supstitucija.

Integrali oblika , gdje je racionalna funkcija njegovih argumenata, izračunavaju se zamjenom .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili . Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili .

ALI načini svođenja integrala na tablični dali smo vam:

varijabilna metoda zamjene;

način integracije po dijelovima;

Metoda izravne integracije

načini prikazivanja neodređenih integrala tabelarnim za integrale racionalnih razlomaka;

metode predstavljanja neodređenih integrala kroz tablične integrale za integrale iracionalnih izraza;

načini izražavanja neodređenih integrala tabelarnim za integrale trigonometrijskih funkcija.

Neodređeni integral potencije

Neodređeni integral eksponencijalne funkcije

Ali neodređeni integral logaritma nije tabularni integral; umjesto toga, formula je tabularna:

Neodređeni integrali trigonometrijskih funkcija: Integrali sinusa, kosinusa i tangensa

Neodređeni integrali s inverznim trigonometrijskim funkcijama

Tabeliranje ili metoda izravne integracije. Uz pomoć identičnih transformacija integranda integral se svodi na integral na koji su primjenjiva osnovna pravila integracije i moguće je koristiti tablicu osnovnih integrala.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral

Riješenje. Koristimo svojstva integrala i dovodimo ovaj integral u tablični oblik.

Odgovor.

Tehnički metoda zamjene varijable u neodređenom integralu implementira se na dva načina:

– Dovođenje funkcije pod diferencijalni predznak. – Stvarna promjena varijable.

Dovođenje funkcije pod diferencijalni predznak

Primjer 2

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Analiziramo funkciju integranda. Ovdje imamo razlomak, a nazivnik je linearna funkcija (s "x" na prvom stupnju). Gledamo tablicu integrala i nalazimo najsličnije: .

Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala:

Oni kojima je teško odmah shvatiti kojim razlomkom treba pomnožiti mogu brzo otkriti razliku na nacrtu:. Da, ispada, da se ništa ne promijeni, moram pomnožiti integral s . Zatim koristimo tabelarnu formulu:

Ispitivanje: Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno pronađen.

Metoda promjene varijable u neodređenom integralu

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, za rješavanje integrala svidjela nam se tablična formula , a htio bih sve svesti na nju.

Ideja iza metode zamjene je da se složeni izraz (ili neka funkcija) zamjenjuje se jednim slovom. U ovom slučaju, ono se samo po sebi sugerira: Drugo najpopularnije zamjensko slovo je slovo . U principu, možete koristiti i druga slova, ali mi se i dalje držimo tradicije.

Tako: Ali kod zamjene, ostalo nam je! Vjerojatno su mnogi pretpostavili da ako se prijeđe na novu varijablu, tada u novom integralu sve mora biti izraženo slovom, a za diferencijal uopće nema mjesta. Iz toga slijedi logičan zaključak da je to potrebno pretvoriti u neki izraz koji ovisi samo o.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo odabrali zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. S razlikama, mislim, prijateljstvo je već uspostavljeno za sve.

Od tad

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučujem prepisivanje konačnog rezultata što je kraće moguće: Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo onaj koji nam je potreban:

Eventualno: Na ovaj način: A ovo je najtabelarniji integral (tablica integrala, naravno, vrijedi i za varijablu).

Zaključno, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Sjećamo se toga.

Spreman.

Konačni dizajn ovog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamijenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, to znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pravite primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

A sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema temeljne razlike. To je zapravo ista stvar. Ali sa stajališta oblikovanja zadatka, metoda dovođenja funkcije pod predznak diferencijala puno je kraća. Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Činjenica je da za niz integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod predznak diferencijala.

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Integrali logaritama

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da učitelj u proljeće ima beriberi i mnogo će grditi. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu za integraciju po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo lijevu stranu:. Očito je da u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti s , a nešto s .

U integralima razmatranog tipa, zauvijek se označava logaritmom.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, pišemo u stupcu:

To jest, jer smo označili logaritam, a za - preostali dio integrand.

Sljedeći korak: pronađite diferencijal:

Diferencijal je gotovo isti kao izvod, već smo razgovarali o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Da bi se našla funkcija potrebno je integrirati desna strana niža jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: . Usput, ovdje je primjer konačnog rješenja s malim napomenama.