Belyaev Yu.N. Uvod u vektorsku analizu

Suvremeni način života zahtijeva stalnu dinamiku. Izračunavanjem na kalkulatoru značajno štedimo vrijeme, ne riskiramo pogreške i dobivamo točan rezultat. Zahvaljujući izumu ovog uređaja, mnogi su ljudi zaboravili što su manjkovi i pogreške u izračunima. Međutim, kalkulator se razlikuje od kalkulatora i na njemu se mogu obavljati primitivne računalne funkcije matematički model, tada se najsloženiji izračuni mogu napraviti samo uz pomoć inženjerstva. Od sada kupujte ovo čudo Moderna tehnologija nema potrebe - samo se obratite našem online inženjerskom kalkulatoru za pomoć! Program radi bez dodatna instalacija- samo idi elektronička stranica i počnite djelovati.

Funkcije online inženjerskog kalkulatora

Kalkulator matematičkog tipa pomoći će vam da napravite samo primitivne izračune. Uz njegovu pomoć možete raditi ono što su nas učili u osnovnoj školi:

• dodatak;
• oduzimanje;
• podjela;
• množenje;
• odbitak kamata;
• dizanje broja na potenciju;
• pronalaženje kvadratnog korijena.

Inženjerski kalkulator na liniji uključuje sve ove i dodatne funkcije, koji su neophodni za izvođenje složene kalkulacije. Sada ne morate trošiti dodatni novac na kupnju ovog uređaja, jer izračune možete napraviti na našoj web stranici.

Osim gore navedenog, naš univerzalni kalkulator pomoći će vam izvršiti sljedeće izračune:

Mjesto:

• sinus kuta;
• tangens;
• kosinus;
• kotangens;
• arcsinus;
• arktangens;
• arc kosinus;
• arkotangens.

Sučelje online inženjerskog kalkulatora

Izvođenje svih gore navedenih izračuna prilično je jednostavno. Naš mrežni inženjerski kalkulator ima jasno sučelje, pa je vrlo prikladno raditi s njim. Izgledom u potpunosti oponaša pravi kalkulator, tako da nećete morati dugo proučavati funkcije. Unatoč tome, mi stvaramo detaljne upute i opis svakog ključa.

Korištenje našeg programa također je korisno jer se izračuni rade trenutno - ne morate osvježavati stranicu web mjesta, jer kalkulator radi u flash modu. Koristi naš program svaki dan veliki iznos od ljudi. Među njima su studenti visokih škola, nastavnici, arhitekti-dizajneri, znanstvenici i drugi ljudi zainteresirani za točnost izračuna. Online inženjerski kalkulator ne zahtijeva preuzimanje ili instaliranje dodatnih dodataka, tako da ga možete početi koristiti odmah!

Primjer 81. Izračunajte rot (~c ~r); gdje je ~c konstantni vektor.

rot (~c ~r) = ~c div ~r ~r div ~c + @~r @~c @~r @~c = 3~c ~c = 2~c:

Primjer 84. Izračunaj div (rn ~c); gdje je ~c konstantni vektor.

Koristeći formulu (3.77), nalazimo

182 Poglavlje 3. FUNKCIJE TOČKE

Ovdje smo koristili svojstvo mješovitog produkta, koji se ne mijenja kada se umnoženi vektori ciklički preuređuju, ali mijenja predznak tijekom drugih permutacija.

Primjer 87. Izračunaj div (~c ~r); gdje je ~c konstantni vektor.

truljenje ~r = 0; rot ~c = 0, pa prema formuli (3.78) imamo

div (~c ~r) = 0:

Primjer 88. Divergencija polja brzina točaka apsolutno krutog tijela.

Brzina ~v bilo koje točke t.t. izražava se preko polne brzine O i kutne brzine!~ t.t. formula

~v = ~vO + !~ ~r:

Kutna brzina!~ za sve točke t.t. je isti. Posljedično, (vidi primjer 87) div (!~ ~r) = 0; I

div ~v = div ~vO + div (!~ ~r) = 0:

Primjer 89. Divergencija polja ubrzanja točaka apsolutno krutog tijela

~a = ~aO + !~ ~r + !~ (!~ ~r):

Koristeći rezultate primjera 81 i 87 i formulu (3.78), nalazimo

div ~a = div ~aO + div (!~ ~r) + div (!~ (!~ ~r)) =

_ _ _

Div ~a O +~r trulež !~ !~ trulež !~ + (!~ ~r) trulež !~ !~ trulež (!~ ~r) =

0 + 0 0 + 0 2! 2 = 2!2 :

grad (~a b) = r(~a b) = r(~a b) + r(~a b):

Primjer 79, pomoću formule (3.79) nalazimo

grad (~c ~r) = ~c:

5.5. Diferencijalne operacije drugog reda dobivaju se kao rezultat dvostruke primjene operativnih

budući da je mješoviti umnožak tri vektora jednak nuli ako su dva vektora u njemu ista. U u ovom slučaju vektor r pojavljuje se u mješovitom produktu dva puta.

Ovaj rezultat odgovara svojstvu križnog umnoška: vektor pomnožen sam sa sobom vektorski daje nulti vektor.

Dat ćemo izbor formula za osnovne diferencijalne operacije u nekim od najčešće korištenih krivocrtnih ortogonalnih koordinatnih sustava. Pretpostavit ćemo da

U i P su skalarne i vektorske funkcije točke.

Funkcije grad U , div P , rot P u proizvoljnom krivocrtnom ortogonalnom koordinatnom sustavu određene su redom formulama (3.18), (3.62), (3.40). Navest ćemo ih ovdje još jednom:

Iz (3.18), (3.62), (3.40) i (3.84) slijede, posebice, formule (3.19), (3.63), (3.41), (3.71) za gradijent, divergenciju, vrtlog i Laplaceov operator u kartezijskom koordinatni sustav .

6.1. Cilindrični koordinatni sustav. Cilindrične koordinate, " i z povezane su s kartezijevim koordinatama x, y, z relacijama (vidi sl. 60)

x = cos "; y = sin "; z = z:

Koordinatne plohe ovog sustava su: kružni cilindri s osi rotacije Oz, ravnine okomite na os Oz i poluravnine koje prolaze kroz Oz. Jednadžbe koordinatnih ploha u kartezijskom odnosno cilindričnom koordinatnom sustavu su

Laméovi koeficijenti: H = 1; H" = ; Hz = 1. Kvadrat elementa duljine je

ds2 = d2 +2 d"2 + dz2 :

Prema formulama (3.18), (3.62), (3.40) i (3.84) dobivamo

6.2. Sferni koordinatni sustav. Sferne koordinate r, " (sl. 61) pridružene su Kartezijevim jednakostima

x = r sin cos "; y = r sin sin "; z = rcos:

Koordinatne plohe: kugle polumjera r sa središtem u točki O

x2 + y2 + z2 r2 = 0; r = konst;

kružni stošci s vrhom O čije generatorske sklope kut s osi Oz,

x2 + y2 = z2 tan2; = konst;

i poluravni koje prolaze kroz Oz pod kutom u odnosu na ravninu xOz,

y=x = tg "; " = const:

Laméovi koeficijenti: Hr = 1; H = r; H" = r sin. Kvadrat elementa duljine

ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sin2 d"2 ;

i osnovne diferencijalne operacije

Res. 92

6.3. Parabolični cilindrični koordinatni sustav. Koordinate, z odnose se na kartezijeve koordinate

dinatni omjeri

Na sl. 92 prikazuje parabole dviju obitelji međusobno ortogonalnih konfokalnih (fokus je

y koordinate t. O) parabola. Os Oz je okomita na ravninu Oxy. Pomaknemo li parabole prikazane na slici tako da njihova žarišta ostanu na osi Oz,

x tada dobivamo dva međusobno orijentirana sustava

togonalni parabolični cilindri (s generatrisama paralelnim s osi z).

Treći sustav koordinatnih ploha, ortogonalnih na naznačene paraboloide, čine ravnine paralelne s Oxy. Jednadžbe koordinatnih površina su:

dinati su povezani s kartezijevim koordinatama prema

Koordinatne plohe su dva sustava međusobno ortogonalnih paraboloida, koji se dobivaju rotiranjem figure na sl. 92 oko osi Oy i poluravni koje prolaze kroz os rotacije:

ds2 = c2 (2 +2 )(d2 + d2 ) + c2 2 2 d2 :

Stavimo = 2 +2, tada se glavne diferencijalne operacije mogu napisati u obliku

6.5. Sustav eliptičkih cilindričnih koordinata. Na sl. 93 prikazuje jednog predstavnika dviju međusobno ortogonalnih obitelji konfokalnih elipsa i hi-

perbola sa sjekirama Ox i Oy.

Kada se paralelno prenesu okomito na ravninu crteža (duž osi Oz), razmatrane elipse i hiperbole opisivat će eliptičke i hiperbolične cilindre, tvoreći dva sustava međusobno ortogonalnih ko-

x ordinatne površine. Treći sustav koordinatnih ploha

cija se sastoji od ravnina paralelnih ravnini Oxy.

Jednadžbe koordinatnih ploha u kartezijskom i eliptičkom cilindričnom sustavu imaju oblik

6.6. Sustav razvučenih elipsoidnih koordinata. Rotiranjem familija konfokalnih elipsa i hiperbola (sl. 93) oko osi Ox dobivaju se međusobno ortogonalne familije razvučenih rotacijskih elipsoida i dvolistnih rotacijskih hiperboloida. Treći sustav koordinatnih ploha je poluravnina koja prolazi kroz os rotacije.

Jednadžbe koordinatnih ploha u kartezijskom (x; y; z) i elipsoidnom (, ",) koordinatnom sustavu imaju oblik

Prijevod: Vlad Merzhevich

Mnogo je skrivenih dragulja u modulima CSS3 specifikacije. U ovom članku ćemo pogledati calc() - nevjerojatno korisno svojstvo, što može promijeniti vaš pristup izgledu web stranice.

Funkcija CSS3 calc() prvenstveno se koristi za izračunavanje duljine, brojeva, kutova, vremena prijelaza ili animacije i frekvencije zvuka. Međutim, omogućuje vam miješanje vrsta vrijednosti, što je moćna ideja u CSS-u.

Razmotrimo izgled web stranice koji sadrži dva plutajuća elementa. Želite da oba elementa budu iste širine i odvojena horizontalnom marginom od 60 piksela. Zvuči jednostavno? Nije problem u fiksni dizajn; ako je stranica široka 960px, tada će oba elementa biti široka 450px.

Što kažete na gumu ili prilagodljivi raspored? Ne postoji način da se definira širina stranice, pa bi većina programera postavila širinu svakog elementa na, recimo, 45%. Margina od 10% bit će jednaka 60px sa širinom stranice od 600px; Povećanje ili sužavanje prozora preglednika će, sukladno tome, povećati ili smanjiti marginu.

srećom, nova značajka calc() nam omogućuje izračunavanje širine. U našem slučaju, želimo da širina svakog elementa bude 50% minus 30px.

#element1, #element2 ( float: lijevo; širina: calc(50% - 30px); ) #element2 ( margin-lijevo: 60px; )

Možda želite marginu povezanu s veličinom fonta, poput 4em? Nema problema.

#element1, #element2 (širina: calc(50% - 2em); )

Ili želite obrub od 2 px oko svakog elementa.

#element1, #element2 (width: calc(50% - 2em - 4px); border: 2px solid #000; )

#element1, #element2 (širina: calc((50% + 2em)/2 + 14px); )

Podrška za preglednik

Funkcija calc() je preporuka W3C-a, sada pogodite koji preglednik ima izvornu podršku?

Krivo ste pogodili. U trenutku pisanja ovog članka Internet Explorer 9. Firefox također podržava s prefiksom: -moz-calc() . Nikad implementirano u webkitu (Chrome i Safari) i Operi, ali zbog korisnosti, pretpostavljam da nećemo morati dugo čekati ( već realizirano - cca. traka).

Srećom, možete koristiti progresivno poboljšanje u svojim stilovima.

#element1, #element2 ( širina: 45%; /* svi preglednici */ širina: -moz-calc(50% - 30px); /* Firefox 4+ */ širina: calc(50% - 30px); /* IE9+ i budući preglednici */ )

min() i max()

Ako vam se sviđa calc(), svidjet će vam se funkcije min() i max() . Uzimaju dvije ili više vrijednosti odvojenih zarezima i vraćaju minimalnu ili maksimalnu, na primjer.

#myelement (širina: max(300px, 30%, 30em); veličina fonta: min(10px, 0,6em); )

Funkcije će biti posebno korisne kada koristite relativne veličine fonta za tekst kako biste spriječili da postane prevelik ili mali.

Nažalost, min() i max() ne podržava nijedan od najnoviji preglednici. Nadajmo se da će to uskoro učiniti.