Pronađite sve struje u krugu. DZ - Proračun složenog istosmjernog kola

Rješenje bilo kojeg problema za izračun električnog kruga trebalo bi započeti odabirom metode kojom će se izvršiti proračuni. U pravilu, jedan te isti problem može se riješiti na više načina. Rezultat će u svakom slučaju biti isti, a složenost izračuna može se značajno razlikovati. Da biste pravilno odabrali metodu proračuna, prvo morate odrediti kojoj klasi pripada dati električni krug: jednostavni električni krugovi ili složeni.

Do jednostavan uključuju električne krugove koji sadrže ili jedan izvor električne energije ili nekoliko njih smještenih u istoj grani električnog kruga. Ispod su dva dijagrama jednostavnih električnih krugova. Prvi krug sadrži jedan izvor napona, u kojem slučaju je električni krug jasno jednostavan krug. Drugi sadrži već dva izvora, ali oni su u istoj grani, stoga je također jednostavan električni krug.

Proračun jednostavnih električnih krugova obično se provodi sljedećim redoslijedom:

Opisana tehnika primjenjiva je za proračun bilo kojih jednostavnih električnih krugova, tipični primjeri dati su u primjeru br. 4 i u primjeru br. 5. Ponekad izračuni ovom metodom mogu biti prilično opsežni i dugotrajni. Stoga će nakon pronalaska rješenja biti korisno provjeriti ispravnost ručnih izračuna pomoću specijaliziranih programa ili sastavljanja bilance snage. Proračun jednostavnog električnog kruga u kombinaciji s izradom bilance snaga prikazan je u primjeru br. 6.

Složeni električni krugovi

Do složeni električni krugovi uključuju krugove koji sadrže nekoliko izvora električne energije uključenih u različite grane. Slika ispod prikazuje primjere takvih sklopova.


Za složene električne krugove, metoda za proračun jednostavnih električnih krugova nije primjenjiva. Pojednostavljivanje sklopova je nemoguće, jer na dijagramu je nemoguće odabrati dio strujnog kruga sa serijskim ili paralelnim spojem iste vrste elemenata. Ponekad je transformacija kruga s njegovim naknadnim izračunom još uvijek moguća, ali to je prilično iznimka od općeg pravila.

Za potpuni proračun složenih električnih krugova obično se koriste sljedeće metode:

1. Primjena Kirchhoffovih zakona (univerzalna metoda, složeni proračuni sustava linearnih jednadžbi).
2. Metoda struje petlje (univerzalna metoda, izračuni su nešto jednostavniji nego u stavku 1.)
3. Metoda nodalnog naprezanja (univerzalna metoda, proračuni su nešto jednostavniji nego u stavku 1.)
4. Princip superpozicije (univerzalna metoda, jednostavni proračuni)
5. Metoda ekvivalentnog izvora (korisna kada je potrebno napraviti ne potpuni izračun električnog kruga, već pronaći struju u jednoj od grana).
6. Metoda transformacije ekvivalentne strujnom krugu (rijetko primjenjiva, jednostavni proračuni).

Značajke primjene svake metode za proračun složenih električnih krugova detaljnije su opisane u odgovarajućim pododjeljcima.

Bit proračuna je, u pravilu, odrediti struje u svim granama i napone na svim elementima (otporima) kruga iz poznatih vrijednosti svih otpora kruga i parametara izvora (EMF ili struja).

Za proračun istosmjernih električnih krugova mogu se koristiti različite metode. Među njima su glavni:

– metoda koja se temelji na kompilaciji Kirchhoffovih jednadžbi;

– metoda ekvivalentnih transformacija;

– metoda struja u petlji;

– metoda preklapanja;

– metoda nodalnih potencijala;

– metoda ekvivalentnog izvora;

Metoda koja se temelji na sastavljanju Kirchhoffovih jednadžbi je univerzalna i može se koristiti i za krugove s jednom i za više petlji. U ovom slučaju, broj jednadžbi sastavljenih prema drugom Kirchhoffovom zakonu mora biti jednak broju unutarnjih krugova kruga.

Broj jednadžbi sastavljenih prema prvom Kirchhoffovom zakonu mora biti za jedan manji od broja čvorova u krugu.

Na primjer, za ovu shemu

2 jednadžbe su sastavljene prema 1. Kirchhoffovom zakonu i 3 jednadžbe prema 2. Kirchhoffovom zakonu.

Razmotrite druge metode za izračunavanje električnih krugova:

Metoda ekvivalentnih transformacija koristi se za pojednostavljenje strujnih krugova i proračuna električnih krugova. Pod ekvivalentnom pretvorbom podrazumijeva se takva zamjena jednog kruga drugim, pri čemu se električne veličine kruga u cjelini ne mijenjaju (napon, struja, potrošnja energije ostaju nepromijenjeni).

Razmotrimo neke vrste transformacija ekvivalentnog kruga.

a). serijski spoj elemenata

Ukupni otpor serijski spojenih elemenata jednak je zbroju otpora tih elemenata.

R e =Σ R j (3.12)

R E \u003d R 1 + R 2 + R 3

b). paralelno povezivanje elemenata.

Promotrimo dva elementa R1 i R2 spojena paralelno. Naponi na tim elementima su jednaki, jer. spojeni su na iste čvorove a i b.

U R1 = U R2 = U AB

Primjenom Ohmovog zakona dobivamo

UR1=I1R1; U R2 \u003d I 2 R 2

I 1 R 1 \u003d I 2 R 2 ili I 1 / I 2 \u003d R 2 / R 1

Primijenimo Kirchhoffov 1. zakon na čvor (a)

I - I 1 - I 2 \u003d 0 ili I \u003d I 1 + I 2

Struje I 1 i I 2 izrazimo naponima, dobivamo

I 1 \u003d U R1 / R 1; I 2 = U R2 / R 2

I \u003d U AB / R 1 + U AB / R 2 \u003d U AB (1 / R 1 +1 / R 2)

U skladu s Ohmovim zakonom imamo I=U AB / RE E; gdje je R e ekvivalentni otpor

S obzirom na to, može se pisati

U AB / R E \u003d U AB (1 / R 1 +1 / R 2),

1 / R E \u003d (1 / R 1 + 1 / R 2)

Uvedimo oznaku: 1/R e =G e - ekvivalentna vodljivost

1 / R 1 \u003d G 1 - vodljivost 1. elementa

1 / R 2 \u003d G 2 - vodljivost 2. elementa.

Jednadžbu (6) zapisujemo u obliku

G E \u003d G 1 + G 2 (3.13)

Iz ovog izraza slijedi da je ekvivalentna vodljivost paralelno spojenih elemenata jednaka zbroju vodljivosti tih elemenata.

Na temelju (3.13) dobivamo ekvivalentni otpor

R E \u003d R 1 R 2 / (R 1 + R 2) (3.14)

u). Transformacija trokuta otpora u ekvivalentnu zvijezdu i inverzna transformacija.

Veza tri elementa lanca R 1, R 2, R 3, koja ima oblik trozračne zvijezde sa zajedničkom točkom (čvorom), naziva se veza “zvijezda”, a veza istih elemenata , u kojem tvore stranice zatvorenog trokuta, naziva se veza "trokut".

Sl.3.14. sl.3.15.

veza - zvijezda () veza - trokut ()

Transformacija otpornog trokuta u ekvivalentnu zvijezdu provodi se prema sljedećem pravilu i odnosima:

Ekvivalentni otpor zvjezdanog snopa jednak je umnošku otpora dviju susjednih stranica trokuta, podijeljenog zbrojem otpora sva tri trokuta.

Transformacija zvijezde otpora u ekvivalentni trokut provodi se prema sljedećem pravilu i odnosima:

Otpor stranice ekvivalentnog trokuta jednak je zbroju otpora dviju susjednih zraka zvijezde, plus umnožak ta dva otpora, podijeljen s otporom treće zrake:

G). Pretvaranje izvora struje u ekvivalentni EMF izvor

Neka izvor struje ima parametre I K i G HV.

Sl.3.16. Sl.3.17.

Tada se iz relacija mogu odrediti parametri ekvivalentnog EMF izvora

E E \u003d I K / G HV; R VN.E \u003d 1 / G VN (3,17)

Kod zamjene EMF izvora s ekvivalentnim izvorom struje moraju se koristiti sljedeći odnosi

I K E \u003d E / R HV; G VN, E \u003d 1 / R VN (3,18)

Metoda struje petlje.

Ova metoda se u pravilu koristi u izračunima krugova s ​​više petlji, kada je broj jednadžbi sastavljenih prema 1. i 2. Kirchhoffovom zakonu šest ili više.

Za proračun metodom struja petlje u krugu složenog kruga određuju se i numeriraju unutarnje petlje. U svakom od krugova proizvoljno je odabran smjer struje kruga, tj. struja koja se zatvara samo u ovom krugu.

Zatim se za svaki krug sastavlja jednadžba u skladu s 2. Kirchhoffovim zakonom. Štoviše, ako bilo koji otpor pripada istovremeno dvama susjednim krugovima, tada se napon na njemu definira kao algebarski zbroj napona koje stvara svaka od dvije struje kruga.

Ako je broj krugova n, tada će biti n jednadžbi. Rješavanjem ovih jednadžbi (supstitucijom ili determinantama) nalaze se struje petlje. Zatim se pomoću jednadžbi napisanih prema 1. Kirchhoffovom zakonu pronalaze struje u svakoj od grana kruga.

Napišimo jednadžbe kontura za ovu shemu.

Za 1. krug:

I 1 R 1 + (I 1 + I 2) R 5 + (I I + I III) R 4 \u003d E 1 -E 4

Za 2. krug

(I I +I II)R 5 + I II R 2 + (I II -I III)R 6 = E 2

Za 3. krug

(I I + I III) R 4 + (I III -I II) R 6 + I III R 3 \u003d E 3 -E 4

Transformacijama zapisujemo sustav jednadžbi u obliku

(R 1 + R 5 + R 4) I I + R 5 I II + R 4 I III \u003d E 1 -E 4

R 5 I I + (R 2 + R 5 + R 6) I II -R 6 I III \u003d E 2

R 4 I I -R 6 I II + (R 3 + R 4 + R 6) I III \u003d E 3 -E 4

Rješavajući ovaj sustav jednadžbi, određujemo nepoznanice I 1 , I 2 , I 3 . Struje grana određuju se pomoću jednadžbi

I 1 = I I ; I 2 \u003d I II; I 3 \u003d I III; I 4 \u003d I I + I III; I 5 \u003d I I + I II; I 6 \u003d I II - I III

metoda preklapanja.

Ova metoda se temelji na principu superpozicije i koristi se za sheme s više izvora električne energije. Prema ovoj metodi, pri proračunu kruga koji sadrži nekoliko izvora emf. , svi EMF-ovi su redom postavljeni na nulu, osim jednog. Izračunavaju se struje u krugu koje stvara samo ovaj EMF. Izračun se vrši zasebno za svaki EMF sadržan u krugu. Stvarne vrijednosti struja u pojedinim granama strujnog kruga definirane su kao algebarski zbroj struja nastalih neovisnim djelovanjem pojedinih EMF.

sl.3.20. Sl.3.21.

Na sl. 3.19 izvorni krug, a na sl. 3.20 i sl. 3.21 krug je zamijenjen s jednim izvorom u svakom.

Izračunavaju se struje I 1 ’, I 2 ’, I 3 ’ i I 1 ” , I 2 ” , I 3 ”.

Struje u granama izvornog kruga određene su formulama;

I 1 \u003d I 1 ’-I 1 ”; I 2 \u003d I 2 ”-I 2 ’; I 3 \u003d I 3 ’ + I 3 ”

Metoda nodalnog potencijala

Metoda nodalnih potencijala omogućuje smanjenje broja zajednički riješenih jednadžbi na Y - 1, gdje je Y broj čvorova nadomjesnog kruga. Metoda se temelji na primjeni prvog Kirchhoffovog zakona i sastoji se u sljedećem:

1. Jedan čvor sheme sklopa uzet je kao osnovni s nultim potencijalom. Takva pretpostavka ne mijenja vrijednosti struja u granama, jer - struja u svakoj grani ovisi samo o potencijalnim razlikama čvorova, a ne o stvarnim potencijalnim vrijednostima;

2. Za preostale čvorove Y - 1 sastavljamo jednadžbe prema prvom Kirchhoffovom zakonu, izražavajući struje grana kroz potencijale čvorova.

U ovom slučaju, na lijevoj strani jednadžbi, koeficijent potencijala čvora koji se razmatra je pozitivan i jednak zbroju vodljivosti grana koje mu konvergiraju.

Koeficijenti pri potencijalima čvorova koji su ograncima povezani s razmatranim čvorom su negativni i jednaki vodljivosti odgovarajućih ogranaka. Desna strana jednadžbi sadrži algebarski zbroj struja grana s izvorima struje i struja kratkog spoja grana s izvorima EMF-a koji konvergiraju na čvor koji se razmatra, a pojmovi se uzimaju s predznakom plus (minus) ako struja izvora struje i EMF su usmjereni na razmatrani čvor (iz čvora).

3. Rješavanjem sastavljenog sustava jednadžbi određuju se potencijali U-1 čvorova u odnosu na bazni, a zatim i struje grana prema generaliziranom Ohmovom zakonu.

Razmotrite primjenu metode na primjeru proračuna kruga prema sl. 3.22.

Za rješavanje metodom nodalnih potencijala uzimamo
.

Sustav čvornih jednadžbi: broj jednadžbi N = N y - N B -1,

gdje je: N y = 4 – broj čvorova,

N B = 1 je broj degeneriranih grana (grana sa 1. izvorom EMF),

oni. za ovaj krug: N = 4-1-1=2.

Sastavljamo jednadžbe prema prvom Kirchhoffovom zakonu za (2) i (3) čvorove;

I2 - I4 - I5 - J5=0; I4 + I6 –J3 =0;

Predstavimo struje grana prema Ohmovom zakonu kroz potencijale čvorova:

I2 = (φ2 − φ1) / R2 ; I4 = (φ2 + E4 − φ3) / R4

I5 = (φ2 − φ4) / R5 ; I6 = (φ3 - E6 - φ4) / R6;

gdje,

Zamjenom ovih izraza u jednadžbe čvornih struja dobivamo sustav;

gdje
,

Rješavajući sustav jednadžbi numeričkom metodom supstitucije ili determinanti, nalazimo vrijednosti potencijala čvorova, a iz njih vrijednosti napona i struja u granama.

Metoda ekvivalentnog izvora (aktivna dva terminala).

Strujni krug s dvije stezaljke je strujni krug koji je spojen na vanjski dio preko dvije stezaljke – pola. Razlikovati aktivne i pasivne dvopolne uređaje.

Aktivna dvopolna mreža sadrži izvore električne energije, dok ih pasivna ne sadrži. Simboli mreža s dva priključka s pravokutnikom sa slovom A za aktivno i P za pasivno (slika 3.23.)

Za proračun krugova s ​​mrežama s dva terminala, potonji su predstavljeni supstitucijskim krugovima. Ekvivalentni krug linearne dvopolne mreže određen je njezinom strujno-naponskom ili vanjskom karakteristikom V (I). Strujno-naponska karakteristika pasivne dvopolne mreže je izravna. Stoga je njegov ekvivalentni krug predstavljen otpornim elementom s otporom:

rin = U/I (3,19)

gdje je: U napon između stezaljki, I struja i rin ulazni otpor.

Strujno-naponska karakteristika aktivne dvoterminalne mreže (sl. 3.23, b) može se konstruirati iz dvije točke koje odgovaraju načinima mirovanja, tj. na r n \u003d ° °, U \u003d U x, I \u003d 0, i kratkog spoja, tj. tj. za r n = 0, U = 0, I = Ik. Ova karakteristika i njena jednadžba ima oblik:

U \u003d U x - g eq I \u003d 0 (3,20)

g eq = U x / Ik (3.21)

gdje je: g eq ekvivalentni ili izlazni otpor mreže s dva priključka, koji se podudara

dati s istom karakteristikom i jednadžbom izvora energije, prikazanog ekvivalentnim krugovima na sl. 3.23.

Dakle, čini se da je aktivna mreža s dva terminala ekvivalentan izvor s EMF - E ek \u003d U x i unutarnjim otporom - g ek \u003d g out (Sl. 3.23, a) Primjer aktivne mreže s dva terminala je galvanski članak. Kada se struja mijenja unutar 0

Ako je prijemnik s otporom opterećenja r n spojen na aktivnu mrežu s dva priključka, tada se njegova struja određuje metodom ekvivalentnog izvora:

I \u003d E eq / (g n + g eq) \u003d U x / (g n + g out) (3.21)

Kao primjer, razmotrite proračun struje I u krugu na slici 3.24, i metodom ekvivalentnog izvora. Da bismo izračunali napon otvorenog kruga U x između priključaka a i b aktivne dvoterminalne mreže, otvorimo granu s otpornim elementom r n (Sl. 3.24, b).

Primjenom metode preklapanja i uzimajući u obzir simetriju kruga, nalazimo:

U x \u003d J g / 2 + E / 2

Zamjena izvora električne energije (u ovom primjeru izvora EMF i struje) aktivne mreže s dva priključka s otpornim elementima s otporima jednakim unutarnjim otporima odgovarajućih izvora (u ovom primjeru nula za izvor EMF i beskonačno velik za izvor struje s otporima), dobivamo izlazni otpor (otpor mjeren na stezaljkama a i b) g out \u003d g / 2 (Sl. 3.24, c). Prema (3.21) željena struja:

I = (J r / 2 + E / 2) / (r n + r / 2) .

Određivanje uvjeta za prijenos maksimalne energije do prijamnika

U komunikacijskim uređajima, u elektronici, automatizaciji itd. često je poželjno najveću energiju prenijeti od izvora do prijamnika (aktuatora), a učinkovitost prijenosa je od sekundarne važnosti zbog male energije. Razmotrimo opći slučaj napajanja prijemnika iz aktivne mreže s dva priključka, na sl. 3.25 potonji je predstavljen ekvivalentnim izvorom s EMF E eq i unutarnjim otporom g eq.

Odredimo snagu Rn, PE i učinkovitost prijenosa energije:

Pn \u003d U n I \u003d (E eq - g eq I) I; PE \u003d E eq I \u003d (g n - g eq I) I 2

η \u003d Rn / RE 100% \u003d (1 - g eq I / E eq) 100%

S dvije granične vrijednosti otpora r n = 0 i r n = °°, snaga prijemnika je nula, jer je u prvom slučaju napon između priključaka prijemnika nula, au drugom slučaju struja u krugu. Posljedično, nekoj specifičnoj vrijednosti r n odgovara najveća moguća (za dane e eq i g eq) vrijednost snage prijemnika. Da bismo odredili ovu vrijednost otpora, izjednačavamo s nulom prvu derivaciju snage p n s r n i dobivamo:

(g eq - g n) 2 - 2 g n g eq -2 g n 2 = 0

odakle slijedi da pod uvjetom

g n \u003d g eq (3.21)

snaga prijemnika će biti maksimalna:

Rn max \u003d g n (E 2 eq / 2 g n) 2 \u003d E 2 eq / 4 g n I (3.22)

Jednakost (1.38) naziva se uvjet maksimalne snage prijemnika, tj. prijenos maksimalne energije.

Na sl. 3.26 prikazane su ovisnosti Rn, PE, U n i η o struji I.

TEMA 4: LINEARNI IZMJENIČNI ELEKTRIČNI KRUGOVI

Varijabla je električna struja koja povremeno mijenja smjer i amplitudu. Štoviše, ako se izmjenična struja mijenja po sinusoidnom zakonu, naziva se sinusoidna, a ako ne, nesinusoidalna. Električni krug s takvom strujom naziva se krug izmjenične (sinusne ili nesinusne) struje.

Električni uređaji izmjenične struje imaju široku primjenu u raznim područjima nacionalnog gospodarstva, u proizvodnji, prijenosu i transformaciji električne energije, u električnim pogonima, kućanskim aparatima, industrijskoj elektronici, radiotehnici itd.

Prevladavajuća rasprostranjenost električnih uređaja izmjenične sinusne struje posljedica je niza razloga.

Suvremena energetika temelji se na prijenosu energije na velike udaljenosti pomoću električne struje. Obavezan uvjet za takav prijenos je mogućnost jednostavne i niskoenergetske pretvorbe struje. Takva pretvorba izvediva je samo u izmjeničnim električnim uređajima – transformatorima. Zbog golemih prednosti transformacije, moderna elektroprivreda prvenstveno koristi sinusoidnu struju.

Veliki poticaj projektiranju i razvoju električnih uređaja sinusne struje je mogućnost dobivanja izvora električne energije velike snage. Suvremeni turbogeneratori termoelektrana imaju snagu od 100-1500 MW po jedinici, a velike snage imaju i generatori hidroelektrana.

Najjednostavniji i najjeftiniji elektromotori su sinusoidni AC indukcijski motori, kod kojih nema pokretnih električnih kontakata. Za elektroenergetske instalacije (osobito za sve elektrane) u Rusiji i većini zemalja svijeta usvojena je standardna frekvencija od 50 Hz (u SAD - 60 Hz). Razlog za ovaj izbor je jednostavan: snižavanje frekvencije je neprihvatljivo, jer već na trenutnoj frekvenciji od 40 Hz žarulje sa žarnom niti primjetno trepere za oko; povećanje frekvencije je nepoželjno, jer EMF samoindukcije raste proporcionalno frekvenciji, što negativno utječe na prijenos energije kroz žice” i rad mnogih električnih uređaja. Ova razmatranja, međutim, ne ograničavaju korištenje izmjenične struje drugih frekvencija za rješavanje raznih tehničkih i znanstvenih problema. Na primjer, frekvencija izmjenične sinusne struje električnih peći za taljenje vatrostalnih metala je do 500 Hz.

U radioelektronici se koriste visokofrekventni (megaherci) uređaji pa se na takvim frekvencijama pojačava zračenje elektromagnetskih valova.

Ovisno o broju faza, strujni krugovi izmjenične struje dijele se na jednofazne i trofazne.

3.1. Model istosmjernog kola

Ako u električnom krugu djeluju konstantni naponi i teku stalne struje, tada su modeli reaktivnih elemenata L i C jako pojednostavljeni.

Model otpora ostaje isti, a odnos između napona i struje je dan Ohmovim zakonom kao

U idealnom induktivitetu, trenutne vrijednosti napona i struje povezane su relacijom

Slično, u kapacitetu, odnos između trenutnih vrijednosti napona i struje definiran je kao

Dakle, u modelu istosmjernog kruga postoje samo otpori (modeli otpornika) i izvori signala, a reaktivni elementi (induktivitet i kapacitet) su odsutni.

3.2. Proračun strujnog kruga temeljen na Ohmovom zakonu

Ova metoda je prikladna za relativno izračunavanje jednostavni sklopovi s jednim izvorom signala. Uključuje izračun otpora dijelova kruga za koje je poznata vrijednost struje (ili napona), nakon čega slijedi određivanje nepoznatog napona (ili struje). Razmotrite primjer izračuna kruga, čija je shema prikazana na sl. 3.1, s idealnom strujom izvora A i otporima Ohm, Ohm, Ohm. Potrebno je odrediti struje grana i , kao i napone na otporima i .

Struja izvora je poznata, tada je moguće izračunati otpor kruga u odnosu na stezaljke izvora struje (paralelni spoj otpora i serijski spoj

Riža. 3.1. otpori i ),

Tada je napon na izvoru struje (na otporu) jednak

Tada možete pronaći strujne grane

Dobiveni rezultati mogu se provjeriti pomoću prvog Kirchhoffovog zakona u obliku . Zamjenom izračunatih vrijednosti dobivamo A, što se podudara s veličinom struje izvora.

Poznavajući struje grana, nije teško pronaći napon na otporima (vrijednost je već pronađena)

Po drugom Kirchhoffovom zakonu. Zbrajajući dobivene rezultate, uvjereni smo u njegovu provedbu.

3.3. Opća metoda proračuna strujnog kruga temeljena na Ohmovim zakonima

i Kirchhoffa

Opća metoda za proračun struja i napona u električnom krugu temeljena na Ohmovim i Kirchhoffovim zakonima prikladna je za proračun složenih krugova s ​​višestrukim izvorima signala.

Proračun počinje postavljanjem oznaka i pozitivnih smjerova struja i napona za svaki element (otpor) kruga.

Sustav jednadžbi uključuje podsustav komponentnih jednadžbi koje prema Ohmovom zakonu povezuju struje i napone u svakom elementu (otpor) i podsustav

topološke jednadžbe, izgrađene na temelju prvog i drugog zakona Kirchhoffa.

Razmotrimo izračun jednostavnog kruga iz prethodnog primjera prikazanog na sl. 3.1, s istim početnim podacima.

Podsustav komponentnih jednadžbi ima oblik

Krug ima dva čvora () i dvije grane koje ne sadrže idealne izvore struje (). Stoga je potrebno napisati jednu jednadžbu () prema prvom Kirchhoffovom zakonu,

i jedna jednadžba drugog Kirchhoffovog zakona (),

koji čine podsustav topoloških jednadžbi.

Jednadžbe (3.4)-(3.6) su cjelovit sustav lančanih jednadžbi. Zamjenom (3.4) u (3.6) dobivamo

i, kombiniranjem (3.5) i (3.7), dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznate struje grana,

Izražavajući struju iz prve jednadžbe (3.8) i zamjenjujući je u drugu, nalazimo vrijednost struje,

a zatim nalazimo A. Na temelju izračunatih struja grana iz komponentnih jednadžbi (3.4) određujemo napone. Rezultati izračuna podudaraju se s onima dobivenim ranije u pododjeljku 3.2.

Razmotrimo složeniji primjer izračunavanja kruga u krugu prikazanom na sl. 3.2, s parametrima ohm, ohm, ohm, ohm, ohm, ohm,

Krug sadrži čvor (njihov je broj označen kružićima) i grane koje ne sadrže idealne izvore struje. Sustav komponentnih jednadžbi strujnog kruga ima oblik

Prema prvom Kirchhoffovom zakonu potrebno je zapisati jednadžbe (čvor 0 se ne koristi),

Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, jednadžbe su sastavljene za tri neovisne konture, označene na dijagramu kružićima sa strelicama (brojevi kontura naznačeni su unutra),

Zamjenom (3.11) u (3.13), zajedno s (3.12), dobivamo sustav od šest jednadžbi oblika

Iz druge i treće jednadžbe izražavamo

i od prvog , zatim zamjenom i , dobivamo . Zamjenom struja , i u jednadžbe drugog Kirchhoffovog zakona, zapisujemo sustav od tri jednadžbe

koje nakon redukcije sličnih zapisujemo u obliku

Označiti

a iz treće jednadžbe sustava (3.15) pišemo

Zamjenom dobivene vrijednosti u prve dvije jednadžbe (3.15) dobivamo sustav dviju jednadžbi oblika

Iz druge jednadžbe (3.18) dobivamo

tada iz prve jednadžbe nalazimo struju

Računajući , iz (3.19) nalazimo , iz (3.17) izračunavamo , a zatim iz supstitucijskih jednadžbi nalazimo struje , , .

Kao što vidite, analitički izračuni su prilično glomazni, a za numeričke izračune svrsishodnije je koristiti moderne softverske pakete, na primjer, MathCAD2001. Primjer programa prikazan je na sl. 3.3.

Matrica - stupac sadrži vrijednosti struja A, A, A. Ostalo

struje se izračunavaju prema jednadžbama (3.14) i jednake su

A, A, A. Izračunate vrijednosti struja podudaraju se s onima dobivenim gornjim formulama.

Opća metoda za izračun kruga pomoću Kirchhoffovih jednadžbi dovodi do potrebe za rješavanjem linearnih algebarskih jednadžbi. S velikim brojem grana nastaju matematičke i računske poteškoće. To znači da je preporučljivo tražiti računske metode koje zahtijevaju sastavljanje i rješavanje manjeg broja jednadžbi.

3.4. Metoda struje petlje

Metoda struje petlje na temelju jednadžbi Drugi Kirchhoffov zakon i dovodi do potrebe rješavanja jednadžbi, je broj svih grana, uključujući one koje sadrže idealne izvore struje.

U krugu su odabrani neovisni krugovi, a za svaki od njih uvedena je struja prstenastog (zatvorenog) kruga (dvostruko indeksiranje omogućuje razlikovanje kon-

struje iz ogranaka struje). Preko struja u petlji možete izraziti sve struje grana i zapisati jednadžbe drugog Kirchhoffovog zakona za svaku neovisnu petlju. Sustav jednadžbi sadrži jednadžbe iz kojih se određuju sve struje u petlji. Na temelju pronađenih struja petlje pronalaze se struje ili naponi grana (elemenata).

Razmotrite primjer kruga na sl. 3.1. Slika 3.4 prikazuje dijagram koji pokazuje oznake i pozitivne smjerove dviju struja petlje i ( , , ).

Riža. 3.4 Kroz proteo-

teče samo struja petlje i njen smjer se poklapa s , pa je struja grane jednaka

U grani teku dvije strujne petlje, struja se poklapa u smjeru s, a struja ima suprotan smjer, dakle

za konture, ne sadrži idealne izvore struje, sastavljamo jednadžbe drugog Kirchhoffovog zakona pomoću Ohmovog zakona, u ovom primjeru je napisana jedna jednadžba

Ako a u krug je uključen idealan izvor struje, zatim za njega

Kirchhoffova jednadžba drugog zakona nije sastavljeno, a njegova struja petlje jednaka je struji izvora, uzimajući u obzir njihove pozitivne smjerove, u slučaju koji se razmatra

Tada sustav jednadžbi poprima oblik

Kao rezultat zamjene druge jednadžbe u prvu, dobivamo

tada je struja

i struje A. Iz (3.21) A, odnosno iz (3.22) A, što se u potpunosti podudara s ranije dobivenim rezultatima. Ako je potrebno, prema pronađenim vrijednostima struja grana, prema Ohmovom zakonu, moguće je izračunati napone na elementima kruga.

Razmotrimo složeniji primjer kruga na sl. 3.2, čiji je krug sa zadanim strujama petlje prikazan na sl. 3.5. U ovom slučaju, broj grana, broj čvorova, zatim broj neovisnih krugova i jednadžbi prema metodi struja kruga jednak je. Za granske struje možemo napisati

Prva tri kruga ne sadrže idealne izvore struje, a zatim, uzimajući u obzir (3.28) i koristeći Ohmov zakon, možemo napisati jednadžbe drugog Kirchhoffovog zakona za njih,

U četvrtom krugu postoji idealan izvor struje, stoga se za njega ne sastavlja jednadžba drugog Kirchhoffovog zakona, a struja kruga jednaka je struji izvora (poklapaju se u smjeru),

Zamjenom (3.30) u sustav (3.29), nakon transformacije dobivamo tri jednadžbe za struje u petlji u obliku

Sustav jednadžbi (3.31) može se riješiti analitički (npr. metodom supstitucije - učini to), dobivši formule za struje petlje, a zatim iz (3.28) odrediti struje grana. Za numeričke proračune prikladno je koristiti programski paket MathCAD; primjer programa prikazan je na slici. 3.6. Rezultati proračuna podudaraju se s proračunima prikazanim na sl. 3.3. Kao što se može vidjeti, metoda struja u petlji zahtijeva sastavljanje i rješavanje manjeg broja jednadžbi u usporedbi s općom metodom izračuna koja koristi Kirchhoffove jednadžbe.

3.5. Metoda nodalnog naprezanja

Metoda nodalnog naprezanja temelji se na prvom Kirchhoffovom zakonu, dok je broj jednadžbi .

Svi čvorovi u lancu su odabrani i jedan od njih je odabran kao Osnovni, temeljni, kojoj je dodijeljen nulti potencijal. Potencijali (naponi) ... preostalih čvorova broje se od osnovnog čvora, njihovi pozitivni smjerovi se obično biraju strelicom prema osnovnom čvoru. Preko čvornih napona pomoću Ohmovog zakona i drugog Kirchhoffovog zakona izražavaju se struje svih grana

a za čvorove su napisane jednadžbe prvog Kirchhoffovog zakona.

Razmotrite primjer kruga prikazanog na sl. 3.1, za metodu nodalnog napona, njegov dijagram je prikazan na sl. 3.7. Donji čvor je označen kao osnovni (za to se koristi simbol "zemlja" - točka nultog potencijala), napon gornjeg čvora u odnosu na osnovnu oznaku

Riža. 3.7 označava . Ekspresno

strujne grane

Prema prvom Kirchhoffovom zakonu, uzimajući u obzir (3.32), pišemo jedinu jednadžbu metode nodalnog naprezanja (),

Rješavajući jednadžbu, dobivamo

a iz (3.32) odredimo struje grana

Dobiveni rezultati podudaraju se s onima dobivenim prethodno razmatranim metodama.

Razmotrimo složeniji primjer kruga prikazanog na sl. 3.2 s istim početnim podacima, njegova shema prikazana je na sl. 3.8. U čvoru lanca, donji je odabran kao osnovni, a ostala tri su označena brojevima u krugovima. Predstavljeno

pozitivan 3.8

ploča i oznaka

čvorna naprezanja i .

Prema Ohmovom zakonu, koristeći drugi Kirchhoffov zakon, određujemo struje grana,

Prema prvom Kirchhoffovom zakonu, za čvorove s brojevima 1, 2 i 3 potrebno je sastaviti tri jednadžbe,

Zamjenom (3.36) u (3.37) dobivamo sustav jednadžbi metode nodalnih naprezanja,

Nakon transformacije i redukcije sličnih, dobivamo

Program za proračun čvornih napona i struja grana prikazan je na sl. 3.9. Kao što se može vidjeti, dobiveni rezultati podudaraju se s onima dobivenim ranije drugim proračunskim metodama.

Izvršiti analitički proračun čvornih napona, dobiti formule za struje grana i izračunati njihove vrijednosti.

3.6. metoda preklapanja

metoda preklapanja je kako slijedi.

Izračun se provodi na sljedeći način. U lancu koji sadrži nekoliko izvora, svaki od njih se odabire redom, a ostali se isključuju. U tom slučaju nastaju lanci s jednim izvorom, čiji je broj jednak broju izvora u izvornom lancu. U svakom od njih se izračunava traženi signal, a rezultirajući signal se određuje njihovim zbrojem. Kao primjer, razmotrite izračun struje u krugu prikazanom na sl. 3.2, njegova shema je prikazana na sl. 3.10a.

Kada je idealni izvor struje isključen (njegov strujni krug je prekinut), krug prikazan na sl. 3.9b, u kojem se struja određuje bilo kojom od razmatranih metoda. Tada se isključi idealni izvor napona (zamijeni ga kratki spoj) i dobije se prikazani krug.

na sl. 3.9a, u kojoj se nalazi struja. Željena struja je

Sami izvršite analitičke i numeričke proračune, usporedite s ranije dobivenim rezultatima, na primjer, (3.20).

3.7. Usporedna analiza metoda proračuna

Metoda proračuna temeljena na Ohmovom zakonu prikladna je za relativno jednostavne sklopove s jednim izvorom. Ne može se koristiti za analizu sklopova složene strukture, na primjer, tipa mosta kao na slici 3.9.

Opća metoda za proračun strujnog kruga temeljena na jednadžbama Ohmovog i Kirchhoffovog zakona je univerzalna, ali zahtijeva sastavljanje i rješavanje sustava jednadžbi, koji se lako pretvara u sustav jednadžbi. S velikim brojem podružnica, troškovi računanja naglo rastu, osobito kada su potrebni analitički izračuni.

Metode struja petlje i čvornih napona su učinkovitije, jer dovode do sustava s manjim brojem jednadžbi, jednakih i respektivno. Pod uvjetom

metoda struje petlje je učinkovitija, inače je preporučljivo koristiti metodu čvornog napona.

Metoda prekrivanja je prikladna kada je krug drastično pojednostavljen kada su izvori isključeni.

Zadatak 3.5. Općom metodom proračuna, metodama struja petlje i čvornih napona odredite u krugu sl. 3.14 napon u mA kOhm, kOhm, kOhm, kOhm, kOhm. Provedite komparativnu analizu

metode proračuna. Riža. 3.14

4. HARMONIČKE STRUJE I NAPONI

U elektrotehnici je općenito prihvaćeno da je jednostavan strujni krug onaj strujni krug koji se svodi na strujni krug s jednim izvorom i jednim ekvivalentnim otporom. Krug možete skupiti pomoću ekvivalentnih transformacija serijskih, paralelnih i mješovitih veza. Izuzetak su sklopovi koji sadrže složenije spojeve zvijezda i trokut. Proračun istosmjernih krugova proizvedene pomoću Ohmovog i Kirchhoffovog zakona.

Primjer 1

Dva otpornika spojena na napajanje od 50 V DC, s unutarnjim otporom r = 0,5 ohma. Otpornici R1= 20 i R2= 32 ohma. Odredite struju u krugu i napon na otpornicima.

Budući da su otpornici spojeni u seriju, ekvivalentni otpor bit će jednak njihovom zbroju. Znajući to, koristimo Ohmov zakon za cijeli strujni krug da bismo pronašli struju u krugu.

Sada znajući struju u krugu, možete odrediti padove napona na svakom od otpornika.

Postoji nekoliko načina provjere točnosti rješenja. Na primjer, koristeći Kirchhoffov zakon, koji kaže da je zbroj EMF-a u krugu jednak zbroju napona u njemu.

Ali uz pomoć Kirchhoffovog zakona zgodno je provjeriti jednostavne krugove koji imaju jedan krug. Prikladniji način provjere je ravnoteža snage.

U krugu se mora poštivati ​​ravnoteža snaga, odnosno energija koju odaju izvori mora biti jednaka energiji koju primaju prijemnici.

Snaga izvora definirana je kao umnožak EMF-a i struje, a snaga koju prima prijamnik umnožak je pada napona i struje.

Prednost provjere bilance snaga je u tome što ne morate sastavljati složene glomazne jednadžbe temeljene na Kirchhoffovim zakonima, dovoljno je znati EMF, napone i struje u krugu.

Primjer 2

Ukupna struja u krugu koji sadrži dva paralelno spojena otpornika R 1 =70 ohma i R 2 \u003d 90 Ohma, jednako 500 mA. Odredite struje u svakom od otpornika.

Dva otpornika spojena u seriju nisu ništa više od razdjelnika struje. Struje koje teku kroz svaki otpornik možete odrediti pomoću formule djelitelja, dok ne moramo znati napon u krugu, trebamo samo ukupnu struju i otpor otpornika.

struje u otpornicima

U ovom slučaju, prikladno je provjeriti problem koristeći prvi Kirchhoffov zakon, prema kojem je zbroj struja koje konvergiraju u čvoru jednak nuli.

Ako se ne sjećate formule trenutnog djelitelja, problem možete riješiti na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći napon u krugu, koji će biti zajednički za oba otpornika, budući da je veza paralelna. Da biste ga pronašli, prvo morate izračunati otpor kruga

A onda napetost

Poznavajući napon, nalazimo struje koje teku kroz otpornike

Kao što vidite, struje su iste.

Primjer 3

U električnom krugu prikazanom na dijagramu R 1 \u003d 50 Ohma, R 2 \u003d 180 Ohma, R 3 = 220 Ohma. Odredite snagu rasipanu u otporniku R 1, struja kroz otpornik R 2, napon na otporniku R 3 ako je poznato da je napon na stezaljkama kruga 100 V.

Za izračunavanje istosmjerne snage rasipane u otporniku R 1 potrebno je odrediti struju I 1 koja je zajednička cijelom krugu. Poznavajući napon na stezaljkama i ekvivalentni otpor kruga, možete ga pronaći.

Ekvivalentni otpor i struja u krugu

Otuda moć dodijeljena R 1

Predstavljanje metoda za proračun i analizu električnih krugova u pravilu se svodi na pronalaženje struja grana pri poznatim vrijednostima EMF-a i otpora.

Ovdje razmatrane metode proračuna i analize istosmjernih električnih krugova također su prikladne za izmjenične krugove.

2.1 Metoda ekvivalentnih otpora

(metoda lančanog sklapanja i rasklapanja).

Ova metoda je primjenjiva samo na električne krugove koji sadrže jedan izvor napajanja. Za izračun, pojedinačni dijelovi kruga koji sadrže serijske ili paralelne grane pojednostavljuju se zamjenom s ekvivalentnim otporima. Dakle, krug se skuplja na jedan ekvivalentni otpor kruga spojen na napajanje.

Zatim se određuje grana struje koja sadrži EMF, a krug se odvija obrnutim redoslijedom. U ovom slučaju izračunavaju se padovi napona sekcija i struje grana. Na primjer, na slici 2.1 ALI otpornost R3 i R4 uključeno u seriju. Ova dva otpora mogu se zamijeniti jednim, ekvivalentnim

R3,4 = R3 + R4

Nakon takve zamjene dobiva se jednostavniji krug (sl. 2.1 B ).

Ovdje treba obratiti pozornost na moguće pogreške u određivanju načina povezivanja otpora. primjer otpora R1 i R3 ne mogu se smatrati spojenim u seriju, baš kao i otpori R2 i R4 ne može se smatrati spojenim paralelno, budući da to ne odgovara glavnim značajkama serijske i paralelne veze.

Slika 2.1 Za proračun električnog kruga metodom

ekvivalentni otpor.

Između otpora R1 i R2 , u točki NA, postoji grana s strujom ja2 .tako aktualan ja1 neće biti jednaka struji ja3 , dakle otpor R1 i R3 ne može se smatrati povezanim u seriju. otpornost R2 i R4 spojeni s jedne strane na zajedničku točku D, a s druge strane - na različite točke NA i IZ. Prema tome, napon primijenjen na otpor R2 i R4 Ne može se smatrati paralelno povezanim.

Nakon izmjene otpornika R3 i R4 ekvivalentni otpor R3,4 i pojednostavljenje kruga (Sl. 2.1 B), jasnije se vidi da otpor R2 i R3,4 spojeni su paralelno i mogu se zamijeniti jednim ekvivalentom, na temelju činjenice da kada su grane spojene paralelno, ukupna vodljivost jednaka je zbroju vodljivosti grana:

GBD= G2 + G3,4 , Ili = + Gdje

RBD=

I dobiti još jednostavniji krug (Slika 2.1, NA). Ima otpor R1 , RBD, R5 povezani u seriju. Zamjena ovih otpora s jednim ekvivalentnim otporom između točaka A i F, dobivamo najjednostavniju shemu (slika 2.1, G):

RAF= R1 + RBD+ R5 .

U rezultirajućem krugu možete odrediti struju u krugu:

ja1 = .

Struje u drugim granama lako je odrediti idući od kruga do kruga obrnutim redoslijedom. Iz dijagrama na slici 2.1 NA Možete odrediti pad napona preko odjeljka B, D lanci:

UBD= ja1 RBD

Poznavajući pad napona u odsječku između točaka B i D mogu se izračunati struje ja2 i ja3 :

ja2 = , ja3 =

Primjer 1 Neka (slika 2.1 ALI) R0 = 1 ohm; R1 =5 ohma; R2 =2 ohma; R3 =2 ohma; R4 =3 ohma; R5 =4 ohma; E\u003d 20 V. Pronađite struje grana, nacrtajte bilancu snage.

Ekvivalentni otpor R3,4 Jednak zbroju otpora R3 i R4 :

R3,4 = R3 + R4 \u003d 2 + 3 \u003d 5 ohma

Nakon zamjene (Slika 2.1 B) izračunajte ekvivalentni otpor dviju paralelnih grana R2 i R3,4 :

RBD= \u003d \u003d 1,875 Ohma,

A shema će biti još jednostavnija (slika 2.1 NA).

Izračunajte ekvivalentni otpor cijelog kruga:

Rjednadžba= R0 + R1 + RBD+ R5 \u003d 11,875 ohma.

Sada možete izračunati ukupnu struju kruga, tj. koju stvara izvor energije:

ja1 \u003d \u003d 1,68 A.

Pad napona u odjeljku BD bit će jednako:

UBD= ja1 · RBD\u003d 1,68 1,875 \u003d 3,15 V.

ja2 = = \u003d 1,05 A;ja3 ===0,63 A

Napravimo bilancu snaga:

EI1= I12· (R0+ R1+ R5) + I22· R2+ I32· R3.4,

20 1,68=1,682 10+1,052 3+0,632 5 ,

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Minimalno odstupanje je zbog zaokruživanja pri izračunavanju struja.

U nekim je krugovima nemoguće razlikovati otpore spojene u seriju ili paralelno. U takvim slučajevima, bolje je koristiti druge univerzalne metode koje se mogu primijeniti na izračun električnih krugova bilo koje složenosti i konfiguracije.

2.2 Metoda Kirchhoffovih zakona.

Klasična metoda za proračun složenih električnih krugova je izravna primjena Kirchhoffovih zakona. Sve ostale metode proračuna električnih krugova temelje se na ovim temeljnim zakonima elektrotehnike.

Razmotrimo primjenu Kirchhoffovih zakona za određivanje struja složenog kruga (slika 2.2) ako su zadani njegov EMF i otpor.

Riža. 2.2. Za proračun složenog električnog kruga za

Definicija struja prema Kirchhoffovim zakonima.

Broj neovisnih struja kruga jednak je broju grana (u našem slučaju m=6). Stoga je za rješavanje problema potrebno sastaviti sustav od šest neovisnih jednadžbi, zajedno prema prvom i drugom Kirchhoffovom zakonu.

Broj neovisnih jednadžbi sastavljenih prema prvom Kirchhoffovom zakonu uvijek je jedan manji od broja čvorova, Budući da je znak neovisnosti prisutnost u svakoj jednadžbi barem jedne nove struje.

Budući da je broj grana M uvijek više od čvorova Do, Taj broj jednadžbi koji nedostaje sastavljen je u skladu s drugim Kirchhoffovim zakonom za zatvorene neovisne krugove, To jest, svaka nova jednadžba treba uključivati ​​barem jednu novu granu.

U našem primjeru, broj čvorova je četiri − A, B, C, D, stoga sastavljamo samo tri jednadžbe prema prvom Kirchhoffovom zakonu za bilo koja tri čvora:

Za čvor O: I1+I5+I6=0

Za čvor B: I2+I4+I5=0

Za čvor C: I4+I3+I6=0

Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, također trebamo sastaviti tri jednadžbe:

Za konturu A, C,B, A:ja5 · R5 — ja6 · R6 — ja4 · R4 =0

Za konturu D,A,NA,D: ja1 · R1 — ja5 · R5 — ja2 · R2 =E1-E2

Za konturu D,PRIJE KRISTA,D: ja2 · R2 + ja4 · R4 + ja3 · R3 =E2

Rješavanjem sustava od šest jednadžbi možete pronaći struje svih dijelova kruga.

Ako se pri rješavanju ovih jednadžbi pokažu da su struje pojedinih grana negativne, to će značiti da je stvarni smjer struja suprotan proizvoljno odabranom smjeru, ali će veličina struje biti točna.

Sada odredimo redoslijed izračuna:

1) proizvoljno odabrati i staviti u krug pozitivne smjerove struja grana;

2) sastaviti sustav jednadžbi prema prvom Kirchhoffovom zakonu - broj jednadžbi je za jedan manji od broja čvorova;

3) proizvoljno izabrati smjer zaobilaženja nezavisnih strujnih krugova i sastaviti sustav jednadžbi prema drugom Kirchhoffovom zakonu;

4) riješiti opći sustav jednadžbi, izračunati struje i, ako se dobiju negativni rezultati, promijeniti smjer tih struja.

Primjer 2. Neka u našem slučaju (sl. 2.2.) R6 = ∞ , što je ekvivalentno prekidu ovog dijela lanca (slika 2.3). Odredimo struje grana preostalog kruga. izračunajte bilancu snaga ako E1 =5 NA, E2 =15 b, R1 \u003d 3 Ohma, R2 = 5 ohma R 3 =4 Ohm R 4 =2 Ohm R 5 =3 Ohm.

Riža. 2.3 Shema za rješavanje problema.

Riješenje. 1. Odaberimo proizvoljno smjer strujanja grana, imamo ih tri: ja1 , ja2 , ja3 .

2. Sastavljamo samo jednu nezavisnu jednadžbu prema prvom Kirchhoffovom zakonu, budući da u krugu postoje samo dva čvora NA i D.

Za čvor NA: ja1 + ja2 — ja3 =O

3. Izaberimo neovisne konture i smjer njihovog obilaska. Neka se konture DAVD i DVSD zaobiđu u smjeru kazaljke na satu:

E1-E2=I1(R1 + R5) - I2 R2,

E2=I2· R2 + I3· (R3 + R4).

Zamijenite vrijednosti otpora i EMF.

ja1 + ja2 — ja3 =0

ja1 +(3+3)- ja2 · 5=5-15

ja2 · 5+ ja3 (4+2)=15

Nakon rješavanja sustava jednadžbi izračunavamo struje grana.

ja1 =- 0,365A ; ja2 = ja22 — ja11 = 1.536A ; ja3 \u003d 1,198 A.

Kao provjeru ispravnosti rješenja izradit ćemo bilancu snaga.

Σ EiIi=Σ Iy2 Ry

E1 I1 + E2 I2 = I12 (R1 + R5) + I22 R2 + I32 (R3 + R4);

5(-0,365) + 15 1,536 = (-0,365)2 6 + 1,5632 5 + 1,1982 6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Odstupanja su mala pa je rješenje točno.

Jedan od glavnih nedostataka ove metode je veliki broj jednadžbi u sustavu. Ekonomičniji u radu računala je Metoda struje petlje.

2.3 Metoda struja u petlji.

Pri proračunu Metoda struje petlje vjeruju da svaki nezavisni krug ima svoj (uvjetni) Struja petlje. Jednadžbe su sastavljene s obzirom na struje u petlji prema drugom Kirchhoffovom zakonu. Dakle, broj jednadžbi jednak je broju neovisnih sklopova.

Stvarne struje grana definirane su kao algebarski zbroj struja petlje svake grane.

Razmotrimo, na primjer, dijagram na Sl. 2.2. Podijelimo ga na tri neovisna kruga: OD TEBE; ABDALI; SunceDNA i slažemo se da svaki od njih ima svoju struju u petlji, respektivno ja11 , ja22 , ja33 . Odaberemo da smjer ovih struja u svim krugovima bude isti u smjeru kazaljke na satu, kao što je prikazano na slici.

Uspoređujući struje petlje grana, može se ustanoviti da su stvarne struje u vanjskim granama jednake strujama petlje, au unutarnjim granama jednake su zbroju ili razlici struja petlje:

I1 = I22, I2 = I33 - I22, I3 = I33,

I4 = I33 - I11, I5 = I11 - I22, I6 = - I11.

Stoga je iz poznatih struja strujnog kruga lako odrediti stvarne struje njegovih grana.

Da bi se odredile struje petlje ovog kruga, dovoljno je napisati samo tri jednadžbe za svaku neovisnu petlju.

Prilikom sastavljanja jednadžbi za svaki krug potrebno je uzeti u obzir utjecaj susjednih strujnih krugova na susjedne grane:

I11(R5 + R6 + R4) - I22 R5 - I33 R4 = O,

I22(R1 + R2 + R5) - I11 R5 - I33 R2 = E1 - E2,

ja33 (R2 + R3 + R4 ) — ja11 · R4 — ja22 · R2 = E2 .

Dakle, postupak za izračunavanje metode struja petlje izvodi se u sljedećem nizu:

1. uspostaviti neovisne strujne krugove i odabrati smjer strujnih krugova u njima;

2. označiti struje grana i proizvoljno im dati smjerove;

3. uspostaviti vezu između stvarnih struja grana i struja petlje;

4. sastaviti sustav jednadžbi prema drugom Kirchhoffovom zakonu za struje u petlji;

5. riješiti sustav jednadžbi, pronaći struje u petlji i odrediti stvarne struje grana.

Primjer 3 Riješimo problem (primjer 2) metodom struja petlje, početni podaci su isti.

1. U zadatku su moguće samo dvije neovisne konture: odaberite konture ABDALI i SunceDNA, i prihvatite smjerove struja petlje u njima ja11 i ja22 u smjeru kazaljke na satu (slika 2.3).

2. Stvarne struje grana ja1 , ja2, ja3 a njihovi pravci također su prikazani na (slika 2.3).

3. veza stvarne i strujne petlje:

ja1 = ja11 ; ja2 = ja22 — ja11 ; ja3 = ja22

4. Sastavljamo sustav jednadžbi za struje u petlji prema drugom Kirchhoffovom zakonu:

E1 - E2 = I11 (R1 + R5 + R2) - I22 R2

E2 = I22 (R2 + R4 + R3) - I11 R2;

5-15=11 ja11 -5· ja22

15=11 ja22 -5· ja11 .

Rješavanjem sustava jednadžbi dobivamo:

ja11 = -0,365

ja22 = 1,197, dakle

ja1 = -0,365; ja2 = 1,562; ja3 = 1,197

Kao što vidite, stvarne vrijednosti struja grana podudaraju se s vrijednostima dobivenim u primjeru 2.

2.4 Metoda čvornog napona (metoda s dva čvora).

Često postoje sheme koje sadrže samo dva čvora; na sl. 2.4 prikazuje jednu od ovih shema.

Slika 2.4. Za proračun električnih krugova metodom dvaju čvorova.

Najracionalnija metoda za proračun struja u njima je Metoda dva čvora.

Pod, ispod Metoda dva čvora razumjeti metodu proračuna električnih krugova, pri čemu se kao željeni napon uzima napon između dva čvora (pomoću njega se zatim određuju struje grana) ALI i NA shema - UAB.

napon UAB može se pronaći iz formule:

UAB=

U brojniku formule uzima se znak "+" za granu koja sadrži EMF ako je smjer EMF te grane usmjeren prema povećanju potencijala, a znak "-" ako je prema smanjenju. U našem slučaju, ako se potencijal čvora A uzme veći od potencijala čvora B (potencijal čvora B uzme se jednak nuli), E1G1 , uzima se sa znakom "+", i E2G2 sa znakom "-":

UAB=

Gdje G– vodljivost grana.

Određivanjem čvornog napona moguće je izračunati struje u svakoj grani električnog kruga:

jaDo=(Ek-UAB) GDo.

Ako struja ima negativnu vrijednost, tada je njezin stvarni smjer suprotan prikazanom na dijagramu.

U ovoj formuli, za prvu granu, od trenutne ja1 poklapa se sa smjerom E1, tada se njegova vrijednost uzima sa znakom plus, i UAB s predznakom minus, jer je usmjeren prema struji. U drugoj grani i E2 i UAB usmjerene prema struji i uzimaju se s predznakom minus.

Primjer 4. Za shemu na Sl. 2.4 ako je E1=120V, E2=5Ω, R1=2Ω, R2=1Ω, R3=4Ω, R4=10Ω.

UAB \u003d (120 0,5-50 1) / (0,5 + 1 + 0,25 + 0,1) \u003d 5,4 V

I1=(E1-UAB) G1= (120-5,4) 0,5=57,3A;

I2 \u003d (-E2-UAB) G2 \u003d (-50-5,4) 1 \u003d -55,4A;

I3 \u003d (O-UAB) G3 \u003d -5,4 0,25 \u003d -1,35 A;

I4 \u003d (O-UAB) G4 \u003d -5,4 0,1 \u003d -0,54A.

2.5. Nelinearni istosmjerni krugovi i njihov proračun.

Do sada smo razmatrali električne krugove, čije parametre (otpor i vodljivost) smatramo neovisnima o veličini i smjeru struje koja prolazi kroz njih ili naponu koji se na njih primjenjuje.

U praktičnim uvjetima, većina elemenata koji se susreću ima parametre koji ovise o struji ili naponu, strujno-naponska karakteristika takvih elemenata je nelinearna (slika 2.5), takvi elementi se nazivaju nelinearni. Nelinearni elementi naširoko se koriste u raznim područjima tehnologije (automatizacija, računalna tehnologija i dr.).

Riža. 2.5. Volt-amperske karakteristike nelinearnih elemenata:

1 - poluvodički element;

2 - toplinski otpor

Nelinearni elementi omogućuju implementaciju procesa koji su nemogući u linearnim krugovima. Na primjer, stabilizirajte napon, pojačajte struju i druge.

Nelinearni elementi su kontrolirani i neupravljani. Neupravljani nelinearni elementi rade bez utjecaja upravljačkog djelovanja (poluvodičke diode, toplinski otpornici i drugo). Upravljani elementi rade pod utjecajem upravljačkog djelovanja (tiristori, tranzistori i dr.). Nekontrolirani nelinearni elementi imaju jednu strujno-naponsku karakteristiku; kontrolirano - obitelj karakteristika.

Proračun istosmjernih električnih krugova najčešće se provodi grafičkim metodama, koje su primjenjive za bilo koju vrstu strujno-naponskih karakteristika.

Serijski spoj nelinearnih elemenata.

Na sl. 2.6 prikazuje dijagram serijskog spajanja dva nelinearna elementa, a na sl. 2.7 njihove strujno-naponske karakteristike - ja(U1 ) i ja(U2 )

Riža. 2.6 Dijagram serijskog povezivanja

nelinearni elementi.

Riža. 2.7 Strujno-naponske karakteristike nelinearnih elemenata.

Izgradimo strujno-naponsku karakteristiku ja(U), izražavajući ovisnost struje ja u krugu od napona koji se na njega dovodi U. Budući da je struja oba dijela kruga ista, a zbroj napona na elementima jednak je primijenjenom (sl. 2.6) U= U1 + U2 , zatim konstruirati karakteristiku ja(U) dovoljno je zbrojiti apscise zadanih krivulja ja(U1 ) i ja(U2 ) za određene vrijednosti struje. Pomoću karakteristika (slika 2.6) možete riješiti različite probleme za ovaj krug. Neka je, na primjer, vrijednost napona primijenjena na struju U a potrebno je odrediti struju u krugu i raspored napona u njegovim dionicama. Zatim na karakterističnom ja(U) označiti točku ALI koji odgovara primijenjenom naponu U i iz nje povući vodoravnu crtu koja siječe krivulje ja(U1 ) i ja(U2 ) do sjecišta s y-osi (točka D), koji pokazuje količinu struje u krugu i segmente NAD i IZD veličina napona na elementima kruga. I obrnuto, za određenu struju možete odrediti napon, i ukupni i na elementima.

Paralelni spoj nelinearnih elemenata.

Paralelnim spojem dva nelinearna elementa (sl. 2.8) sa zadanim strujno-naponskim karakteristikama u obliku krivulja ja1 (U) i ja2 (U) (sl. 2.9) napon U je zajednička, a struja I u nerazgranatom dijelu kruga jednaka je zbroju struja grana:

ja = ja1 + ja2

Riža. 2.8 Shema paralelnog povezivanja nelinearnih elemenata.

Stoga, da bi se dobila opća karakteristika, I(U) je dovoljan za proizvoljne vrijednosti napona U na sl. 2.9 zbrojite ordinate karakteristika pojedinih elemenata.

Riža. 2.9 Volt-amperske karakteristike nelinearnih elemenata.