Prethodno smo dana funkcija, vodeći se raznim formulama i pravilima, pronašao svoju izvedenicu. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem nalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i obrnuti problem - problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1. Materijalna točka se giba pravocrtno, njena brzina u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da za rješavanje problema trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Zapravo
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Odmah napomenimo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
U matematici se zadaju recipročne operacije različita imena, dosjetiti se posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsinus (arcsin x), itd. Proces pronalaženja derivacije zadane funkcije naziva se diferencijacija, A obrnuti rad, tj. proces pronalaženja funkcije iz zadane derivacije, - integracija.
Sam termin "derivacija" može biti opravdan "u svakodnevnom životu": funkcija y = f(x) "proizvodi" nova značajka y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali je matematičari, naravno, ne nazivaju “roditeljem” ili “proizvođačem”; oni kažu da jest, u odnosu na funkciju y" = f"( x), primarna slika ili primitivna.
Definicija. Funkcija y = F(x) se zove antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \u X\)
U praksi se interval X obično ne specificira, ali se podrazumijeva (kao prirodno područje definiranja funkcije).
Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin(x))" = cos(x)
Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračun izvedenica.
Znamo da je derivacija zbroja jednaka zbroju njegovih derivacija. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).
Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.
Metode integracije
Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)
Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje novog integracijska varijabla(odnosno zamjene). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost ispravnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti integracijske formule za neodređeni integral, dobivamo integracijsku formulu supstitucijom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Klasa iracionalnih funkcija je vrlo široka, tako da jednostavno ne postoji univerzalni način njihove integracije. U ovom ćemo članku pokušati identificirati najkarakterističnije vrste iracionalnih integrand funkcija i pridružiti im integracijsku metodu.
Postoje slučajevi kada je prikladno koristiti metodu pretplate na diferencijalni predznak. Na primjer, pri pronalaženju neodređenih integrala oblika, gdje str– racionalni razlomak.
Primjer.
Pronaći neodređeni integral 
.
Riješenje.
Nije teško primijetiti da . Stoga ga stavljamo pod predznak razlike i koristimo tablicu antiderivata: 
Odgovor:
.
13. Frakcijska linearna supstitucija
Integrali tipa gdje su a, b, c, d realni brojevi, a, b,..., d, g prirodni brojevi, supstitucijom se svode na integrale racionalne funkcije, gdje je K najmanji zajednički višekratnik nazivnici razlomaka
Dapače, iz zamjene slijedi da
tj. x i dx su izraženi kroz racionalne funkcije od t. Štoviše, svaki stupanj razlomka izražen je kroz racionalnu funkciju t.
Primjer 33.4. Pronađite integral 
Rješenje: Najmanji zajednički višekratnik nazivnika razlomaka 2/3 i 1/2 je 6.
Prema tome, stavljamo x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, dakle,
Primjer 33.5. Navedite zamjenu za nalaženje integrala:
Rješenje: Za I 1 zamjenu x=t 2, za I 2 zamjenu
14. Trigonometrijska supstitucija
Integrali tipa svode se na integrale funkcija koje racionalno ovise o trigonometrijskim funkcijama pomoću sljedećih trigonometrijskih supstitucija: x = a sint za prvi integral; x=a tgt za drugi integral; za treći integral.
Primjer 33.6. Pronađite integral 
Rješenje: Stavimo x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Zatim
Ovdje je integrand racionalna funkcija s obzirom na x i 
Odabirom potpunog kvadrata ispod radikala i zamjenom integrali navedenog tipa svode se na integrale već razmatranog tipa, tj. na integrale tipa 
Ti se integrali mogu izračunati korištenjem odgovarajućih trigonometrijskih zamjena.
Primjer 33.7. Pronađite integral 
Rješenje: Kako je x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, onda je x+1=t, x=t-1, dx=dt. Zato 
Stavimo 
Napomena: Integralni tip 
Svrsishodno je pronaći pomoću supstitucije x=1/t.
15. Određeni integral
Neka je funkcija definirana na segmentu i neka ima antiderivaciju na njemu. Razlika se zove određeni integral funkcije duž segmenta i označavaju. Tako,
Razlika je zapisana u obrascu, dakle 
. Brojevi se nazivaju granice integracije
.
Na primjer, jedan od antiizvoda za funkciju. Zato
16 . Ako je c konstantan broj i funkcija ƒ(x) je integrabilna na , tada je
odnosno konstantni faktor c može se izvaditi iz predznaka određenog integrala.
▼Sastavimo integralni zbroj za funkciju s ƒ(x). Imamo:
Tada slijedi da je funkcija c ƒ(x) integrabilna na [a; b] i vrijedi formula (38.1).▲
2. Ako su funkcije ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) integrabilne na [a;b], tada su integrabilne na [a; b] njihov zbroj u
odnosno integral zbroja jednak je zbroju integrala.
▼ 
▲
Svojstvo 2 primjenjuje se na zbroj bilo kojeg konačnog broja članova.
3.
Ovo se svojstvo može prihvatiti po definiciji. Ovo svojstvo potvrđuje i Newton-Leibnizova formula.
4. Ako je funkcija ƒ(x) integrabilna na [a; b] i a< с < b, то
odnosno integral po cijelom segmentu jednak je zbroju integrala po dijelovima ovog segmenta. Ovo se svojstvo naziva aditivnost određenog integrala (ili svojstvo aditivnosti).
Kod dijeljenja odsječka [a;b] na dijelove, točku c uključujemo u broj točaka dijeljenja (to je moguće učiniti zbog neovisnosti limita integralnog zbroja o načinu dijeljenja odsječka [a;b) na dijelove). Ako je c = x m, tada se integralna suma može podijeliti na dvije sume:
Svaki od napisanih zbrojeva je integralan, redom, za segmente [a; b], [a; s] i [s; b]. Prelaskom na limes u posljednjoj jednakosti pri n → ∞ (λ → 0) dobivamo jednakost (38.3).
Svojstvo 4 vrijedi za bilo koje mjesto točaka a, b, c (pretpostavljamo da je funkcija ƒ (x) integrabilna na većem od rezultirajućih odsječaka).
Tako, na primjer, ako a< b < с, то
(korištena su svojstva 4 i 3).
5. “Teorem o srednjim vrijednostima.” Ako je funkcija ƒ(x) kontinuirana na intervalu [a; b], zatim postoji tonka s ê [a; b] tako da
▼Prema Newton-Leibnizovoj formuli imamo
gdje je F"(x) = ƒ(x). Primjenjujući Lagrangeov teorem (teorem o konačnom prirastu funkcije) na razliku F(b)-F(a), dobivamo
F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲
Svojstvo 5 (“teorem o srednjoj vrijednosti”) za ƒ (x) ≥ 0 ima jednostavno geometrijsko značenje: vrijednost određenog integrala jednaka je, za neki c ê (a; b), površini pravokutnika s visinom ƒ (c) i bazom b-a (vidi sliku 170). Broj 
naziva se prosječna vrijednost funkcije ƒ(x) na intervalu [a; b].
6. Ako funkcija ƒ (x) zadrži svoj predznak na segmentu [a; b], gdje je a< b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼Prema “teoremu srednje vrijednosti” (svojstvo 5)
gdje je c ê [a; b]. A kako je ƒ(x) ≥ 0 za sve x O [a; b], tada
ƒ(s)≥0, b-a>0.
Stoga je ƒ(s) (b-a) ≥ 0, tj. 
▲
7. Nejednakost između neprekidnih funkcija na intervalu [a; b], (a
▼Budući da je ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, tada kada je< b, согласно свойству 6, имеем
Ili, prema svojstvu 2,
Imajte na umu da je nemoguće razlikovati nejednakosti.
8. Estimacija integrala. Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost funkcije y = ƒ (x) na segmentu [a; b], (a< b), то
▼Budući da za bilo koji x ê [a;b] vrijedi m≤ƒ(x)≤M, tada, prema svojstvu 7, imamo
Primjenom svojstva 5 na ekstremne integrale dobivamo
▲
Ako je ƒ(x)≥0, tada je svojstvo 8 prikazano geometrijski: površina krivocrtnog trapeza je zatvorena između površina pravokutnika čija je baza , a visine m i M (vidi sliku 171).
9. Modul određenog integrala ne prelazi integral modula integranda:
▼Primjenom svojstva 7 na očite nejednakosti -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, dobivamo
Iz toga slijedi da
▲
10. Derivacija određenog integrala s obzirom na gornju granicu varijable jednaka je integrandu u kojem je varijabla integracije zamijenjena ovom granicom, tj.
Izračunavanje površine figure jedan je od najtežih problema u teoriji područja. U školskom tečaju geometrije naučili smo pronaći površine osnovnih geometrijskih oblika, na primjer kruga, trokuta, romba itd. Međutim, mnogo češće se morate baviti izračunavanjem područja složenijih figura. Pri rješavanju takvih problema mora se pribjeći integralnom računu.
U ovom ćemo članku razmotriti problem izračunavanja površine krivocrtnog trapeza, a pristupit ćemo mu u geometrijskom smislu. To će nam omogućiti da saznamo izravnu vezu između određenog integrala i područja krivocrtnog trapeza.
Definicija 1
Skup svih antiderivacija dane funkcije $y=f(x)$, definiran na određenom segmentu, naziva se neodređenim integralom dane funkcije $y=f(x)$. Neodređeni integral je označen simbolom $\int f(x)dx $.
Komentar
Definicija 2 može se napisati na sljedeći način:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Ne može se svaka iracionalna funkcija izraziti kao integral kroz elementarne funkcije. Međutim, većina ovih integrala može se reducirati korištenjem supstitucija u integrale racionalnih funkcija, koji se mogu izraziti u terminima elementarnih funkcija.
$\int R\lijevo(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \desno)dx $;
$\int R\lijevo(x,\lijevo(\frac(ax+b)(cx+d) \desno)^(m/n) ,...,\lijevo(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\lijevo(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \desno)dx $.
ja
Pri pronalaženju integrala oblika $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ potrebno je izvršiti sljedeću zamjenu:
Ovom supstitucijom svaka se razlomačka potencija varijable $x$ izražava kroz cjelobrojnu potenciju varijable $t$. Kao rezultat, funkcija integranda se transformira u racionalnu funkciju varijable $t$.
Primjer 1
Izvršite integraciju:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Riješenje:
$k=4$ je zajednički nazivnik razlomaka $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\kraj(niz)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \lijevo+C\]
II
Pri pronalaženju integrala oblika $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ potrebno je izvršiti sljedeću zamjenu:
gdje je $k$ zajednički nazivnik razlomaka $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
Kao rezultat ove zamjene, funkcija integranda se transformira u racionalnu funkciju varijable $t$.
Primjer 2
Izvršite integraciju:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Riješenje:
Napravimo sljedeću zamjenu:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \lijevo |\frac(t-2)(t+2) \desno|+C\]
Nakon obrnute zamjene dobivamo konačni rezultat:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \lijevo|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \desno|+C.\]
III
Pri pronalaženju integrala oblika $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ izvodi se takozvana Eulerova zamjena (jedna od tri moguće zamjene je koristi se).
Eulerova prva zamjena
Za slučaj $a>
Uzimajući znak “+” ispred $\sqrt(a) $, dobivamo
Primjer 3
Izvršite integraciju:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Riješenje:
Napravimo sljedeću zamjenu (slučaj $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
Nakon obrnute zamjene dobivamo konačni rezultat:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
Eulerova druga zamjena
Za slučaj $c>0$ potrebno je izvršiti sljedeću zamjenu:
Uzimajući znak “+” ispred $\sqrt(c) $, dobivamo
Primjer 4
Izvršite integraciju:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Riješenje:
Napravimo sljedeću zamjenu:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Napravivši obrnuto zamjenom, dobivamo konačni rezultat:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \lijevo|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \lijevo|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\desno|+C) \end ( niz)\]
Eulerova treća zamjena
Razmotrimo integrale s razlomačkim korijenima linearna funkcija:
(1)
,
gdje je R racionalna funkcija njegovih argumenata. To jest, funkcija sastavljena od svojih argumenata i proizvoljnih konstanti pomoću konačnog broja operacija zbrajanja (oduzimanja), množenja i dijeljenja (podizanje na cjelobrojnu potenciju).
Primjeri razmatranih integrala s frakcijskom linearnom iracionalnošću
Navedimo primjere integrala s korijenima oblika (1) .
Primjer 1
Iako ovdje integralni znak uključuje korijene različitih stupnjeva, izraz integranda može se transformirati na sljedeći način:
;
;
.
Dakle, integrand se sastoji od integracijske varijable x i korijena linearne funkcije korištenjem konačnog broja operacija oduzimanja, dijeljenja i množenja. Stoga je to racionalna funkcija od x i i pripada vrsti koja se razmatra (1)
s konstantnim vrijednostima n = 6
,
α = β = δ = 1
,
γ = 0
:
.
Primjer 2
Ovdje radimo konverziju:
.
Ovo pokazuje da je integrand racionalna funkcija od x i . Stoga pripada dotičnoj vrsti.
Opći primjer frakcijske linearne iracionalnosti
U više opći slučaj, integrand može uključivati bilo koji konačni broj korijena iste linearne frakcijske funkcije:
(2)
,
gdje je R racionalna funkcija svojih argumenata,
- racionalni brojevi,
m 1, n 1, ..., m s, n s- cijeli brojevi.
Doista, neka je n zajednički nazivnik brojeva r 1, ..., r s. Tada se mogu predstaviti kao:
,
gdje je k 1 , k 2 , ..., k s- cijeli brojevi. Zatim su svi uključeni (2)
korijeni su moći:
,
,
. . . . .
.
Odnosno cijeli integrand (2)
sastavljen od x i korijena korištenjem konačnog broja operacija zbrajanja, množenja i dijeljenja. Stoga je to racionalna funkcija od x i :
.
Metoda korijenske integracije
Integral s frakcijskom linearnom iracionalnošću
(1)
svodi na integral racionalne funkcije supstitucijom
(3)
.
Dokaz
Vađenje korijena stupnja n s obje strane (3)
:
.
Preobrazimo se (3)
:
;
;
.
Pronalaženje derivata:
;
;
.
Diferencijal:
.
Zamjena u (1)
:
.
To pokazuje da je funkcija integranda sastavljena od konstanti i integracijske varijable t pomoću konačnog broja operacija zbrajanja (oduzimanja), množenja (podizanja na cjelobrojnu potenciju) i dijeljenja. Stoga je integrand racionalna funkcija integracijske varijable. Tako se izračunavanje integrala svelo na integraciju racionalne funkcije. Q.E.D.
Primjer linearne integracije iracionalnosti
Pronađite integral:
Riješenje
Budući da integral uključuje korijene iste (frakcijske) linearne funkcije x + 1 , a integrand se formira pomoću operacija oduzimanja i dijeljenja, tada ovaj integral pripada tipu koji se razmatra.
Transformirajmo integrand tako da uključuje korijene istog stupnja:
;
;
.
Izrada zamjene
x+ 1 = t 6.
Uzmimo diferencijal:
d (x + 1) = dx = (
t 6 )′
dt = 6 t 5 dt.
Zamijenimo:
x = t 6 - 1
;
;
;
.
Odaberemo cijeli dio razlomka, pazeći da
t 6 - 1 =
(t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Zatim
.
Odgovor
,
Gdje .
Primjer integracije frakcijsko-linearne iracionalnosti
Pronađite integral
Riješenje
Izaberimo korijen linearne frakcijske funkcije:
.
Zatim
.
Izrada zamjene
.
Uzmi diferencijal
.
Pronalaženje izvoda
.
Zatim
.
Zatim to primjećujemo
.
Zamjena u integrand
.
Odgovor
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.
