فناوری پایگاه داده چند بعدی

مدل داده های رابطه ای، که توسط E.F. کاد در سال 1970، و برای آن جایزه تورینگ را یک دهه بعد دریافت کرد، اساس صنعت پایگاه داده چند میلیارد دلاری امروزی را تشکیل می دهد. در طول ده سال گذشته، یک مدل داده چند بعدی پدید آمده است، که زمانی استفاده می شود که هدف تجزیه و تحلیل داده ها به جای انجام تراکنش ها باشد. فناوری پایگاه داده چند بعدی - عامل کلیدیتجزیه و تحلیل تعاملی مجموعه داده های بزرگ برای حمایت از تصمیم گیری. چنین پایگاه های داده ای داده ها را به عنوان مکعب های چند بعدی در نظر می گیرند که برای تجزیه و تحلیل آنها بسیار راحت است.

مدل‌های چند بعدی داده‌ها را یا به‌عنوان حقایق با پارامترهای عددی متناظر یا به‌عنوان ابعاد متنی که این حقایق را مشخص می‌کنند، مشاهده می‌کنند. به عنوان مثال در خرده فروشی، خرید یک واقعیت است، حجم خرید و هزینه، ابعاد و نوع محصول خریداری شده و زمان و مکان خرید، ابعاد هستند. کوئری ها مقادیر پارامترها را در کل محدوده اندازه گیری جمع آوری می کنند و در نتیجه مقادیری مانند کل فروش ماهانه یک محصول معین را به دست می آورند. مدل های داده های چند بعدی سه کاربرد مهم مرتبط با تحلیل داده ها دارند.

• انبارهای داده برای تجزیه و تحلیل اطلاعات از منابع متعدد در سراسر سازمان یکپارچه شده اند.
• سیستم های عملیاتی پردازش تحلیلی(پردازش تحلیلی آنلاین - OLAP) به شما این امکان را می دهد که در جستجوی روندهای کلی، به سرعت به سؤالاتی که حجم زیادی از داده ها را پوشش می دهند، پاسخ دهید.
• برنامه های کاربردی داده کاوی برای کشف دانش با جستجوی نیمه خودکار برای الگوها و روابط ناشناخته قبلی در پایگاه های داده خدمت می کنند.

محققان رسمی پیشنهاد داده اند مدل های ریاضیپایگاه های داده چند بعدی، و سپس این پیشنهادات بازتابی تصفیه شده در یک خاص پیدا کردند ابزارهای نرم افزاریکه این مدل ها را پیاده سازی می کند. نوار کناری تکامل مدل داده چند بعدی را توصیف می کند.

صفحات گسترده و روابط

صفحات گسترده مشابه آنچه در جدول 1 نشان داده شده است ابزار مفیدبرای تجزیه و تحلیل داده های فروش: کدام محصولات فروخته شده، تعداد معاملات انجام شده و کجا انجام شده است. جدول محوری یک صفحه گسترده دوبعدی با جمع‌های فرعی مرتبط و نتایج خلاصه است که برای مشاهده داده‌های پیچیده‌تر با تودرتو کردن ابعاد x و y و نمایش داده‌ها در چندین صفحه استفاده می‌شود. جداول اصلی معمولاً از انتخاب تکراری زیر مجموعه‌های داده و تغییر سطح جزئیات نمایش داده شده پشتیبانی می‌کنند.

صفحات گسترده برای مدیریت و ذخیره داده های چند بعدی مناسب نیستند، زیرا داده ها را خیلی محکم به ظاهر آن و بدون جداسازی می بندند. اطلاعات ساختاریبسته به ارائه اطلاعات مورد نظر. مثلاً، افزودن بعد سوم مانند زمان، یا گروه‌بندی داده‌ها بر اساس انواع محصولات عمومی، به تنظیمات پیچیده‌تری نیاز دارد. راه حل واضحشامل استفاده از یک صفحه گسترده جداگانه برای هر بعد است. اما این راه حل تنها تا حدی محدود توجیه می شود، زیرا تجزیه و تحلیل چنین مجموعه ای از جداول به سرعت بیش از حد دست و پا گیر می شود.

استفاده از پایگاه داده های دارای SQL انعطاف پذیری پردازش داده های ساخت یافته را به شدت افزایش می دهد. با این حال، برای فرمول‌بندی بسیاری از محاسبات، مانند شاخص‌های تجمعی (فروش برای سال تا به امروز)، ترکیبی از نتایج نهایی و میانی، رتبه‌بندی، به عنوان مثال، تعیین ده محصول پرفروش، توسط نسخه استاندارد SQL بسیار دشوار است، اگر غیرممکن نباشد. هنگام تنظیم مجدد ردیف ها و ستون ها، باید به صورت دستی نماهای مختلف را مشخص و ترکیب کنید. پسوندهای SQL مانند عملگر مکعب داده و پنجره های پرس و جو تا حدی این مشکلات را حل می کنند، اما به طور کلی تمیز هستند. مدل رابطه ایاجازه کار با ابعاد سلسله مراتبی را در سطح قابل قبولی نمی دهد.

صفحات گسترده و پایگاه های داده رابطه ایپردازشگرهای داده به اندازه کافی مجموعه داده هایی را مدیریت می کنند که دارای ابعاد کمی هستند، اما الزامات تجزیه و تحلیل عمیق داده ها را به طور کامل برآورده نمی کنند. راه حل استفاده از فناوری است که از طیف کاملی از ابزارهای مدل سازی داده های چند بعدی پشتیبانی می کند.

مکعبها

پایگاه های داده چند بعدی داده ها را به صورت مکعبی در نظر می گیرند که یک تعمیم است صفحات گستردهبرای هر تعداد اندازه گیری علاوه بر این، مکعب ها از سلسله مراتبی از ابعاد و فرمول ها بدون تکرار تعاریفشان پشتیبانی می کنند. مجموعه ای از مکعب های متناظر یک پایگاه داده (یا انبار داده) چند بعدی را تشکیل می دهد.

دستکاری مکعب ها با افزودن مقادیر ابعاد جدید آسان است. در اصطلاح رایج، این اصطلاح به شکلی با سه بعد اشاره دارد، اما از نظر تئوری یک مکعب می تواند هر تعداد ابعاد داشته باشد. در عمل، اغلب مکعب های داده از 4 تا 12 بعد دارند. ابزارهای مدرن اغلب زمانی با گلوگاه های عملکردی مواجه می شوند که به اصطلاح هایپر مکعب دارای ابعاد بیش از 10-15 باشد.

ترکیبی از مقادیر ابعاد سلول های مکعب را تعریف می کند. بسته به کاربرد خاصسلول های یک مکعب را می توان به صورت پراکنده یا متراکم قرار داد. با افزایش تعداد ابعاد و دانه بندی مقادیر ابعاد، مکعب ها تمایل دارند از هم جدا شوند.

در شکل شکل 1 مکعبی را نشان می دهد که حاوی داده های فروش برای دو شهر دانمارکی است که در جدول 1 نشان داده شده است با یک بعد اضافی - "زمان". سلول های مربوطه داده های حجم فروش را ذخیره می کنند. در مثال، می توانید یک "واقعیت" پیدا کنید - یک سلول غیر خالی حاوی پارامترهای عددی مربوطه - برای هر ترکیبی از زمان، محصول و شهری که حداقل یک فروش در آن انجام شده است. سلول حاوی مقادیر عددی مرتبط با یک واقعیت است - در این مورد، حجم فروش تنها پارامتر است.

به طور کلی، یک مکعب تنها می تواند دو یا سه بعد را در یک زمان نشان دهد، اما می تواند با قرار دادن یک بعد در بعد دیگر، بیشتر نشان دهد. بنابراین، با پرتاب کردن یک مکعب به فضای دو یا سه بعدی، می توان با تجمیع برخی از ابعاد، ابعاد مکعب را کاهش داد که منجر به کار با مقادیر پارامتر پیچیده تر می شود. به عنوان مثال، وقتی به فروش بر اساس شهر و زمان نگاه می کنیم، اطلاعات را برای هر ترکیبی از شهر و زمان جمع آوری می کنیم. بنابراین، در شکل. 1، با اضافه کردن فیلدهای 127 و 211، کل فروش کپنهاگ در سال 2001 را دریافت می کنیم.

اندازه گیری ها

ابعاد یک مفهوم کلیدی در پایگاه داده های چند بعدی است. مدل سازی چند بعدی شامل استفاده از ابعاد برای ارائه هر چه بیشتر زمینه برای حقایق است. برخلاف پایگاه‌های داده رابطه‌ای، افزونگی کنترل‌شده در پایگاه‌های اطلاعاتی چندبعدی به طور کلی در صورتی قابل توجیه در نظر گرفته می‌شود که ارزش اطلاعات را افزایش دهد. از آنجایی که داده‌ها در یک مکعب چند بعدی اغلب از منابع دیگر، مانند یک سیستم تراکنش، جمع‌آوری می‌شوند، مسائل افزونگی مرتبط با به‌روزرسانی‌ها را می‌توان بسیار آسان‌تر حل کرد. به عنوان یک قاعده، هیچ افزونگی در حقایق وجود ندارد، فقط در اندازه گیری ها.

ابعاد برای انتخاب و جمع آوری داده ها در سطح مورد نظر از جزئیات استفاده می شود. ابعاد در سلسله مراتبی متشکل از چندین سطح سازماندهی می شوند که هر یک سطح جزئیات مورد نیاز برای تحلیل مربوطه را نشان می دهد.

گاهی اوقات تعریف چندین سلسله مراتب برای یک بعد مفید است. به عنوان مثال، مدل می تواند زمان را هم در سال مالی و هم در سال های تقویم تعریف کند. چندین سلسله مراتب یک یا چند سطح مشترک، پایین‌ترین سطح، مانند روز و ماه را به اشتراک می‌گذارند، و مدل آنها را به چندین سطح بالاتر تقسیم می‌کند - سه ماهه مالی و سه ماهه تقویم. برای جلوگیری از تعاریف تکراری، ابرداده های پایگاه داده چند بعدی سلسله مراتبی از ابعاد را تعریف می کنند.

در شکل شکل 2 نمودار مکان را برای داده های فروش از جدول 1 نشان می دهد. از بین سه سطح ابعاد مکان، شهر پایین ترین است. ارزش ها در سطح شهر به مقادیر در سطح کشور گروه بندی می شوند، به عنوان مثال آلبورگ و کپنهاگ در دانمارک هستند. سطح T همه ابعاد را نشان می دهد.

در برخی از مدل های چند بعدی، یک سطح دارای چندین ویژگی مرتبط است که حاوی اطلاعات ساده و غیر سلسله مراتبی است. برای مثال، Batch Size می تواند یک ویژگی سطح در بعد Product باشد. بعد Batch Size نیز می تواند این اطلاعات را دریافت کند. استفاده از مکانیسم خواص باعث افزایش تعداد ابعاد در مکعب نمی شود.

بر خلاف فضاهای خطیکه جبر ماتریسی با آن سروکار دارد، مدل‌های چند بعدی معمولاً توابع ترتیب یا فاصله را برای مقادیر ابعاد ارائه نمی‌کنند. تنها "سفارش" این است که مقادیر بیشتر هستند سطح بالاحاوی مقادیر سطوح پایین تر با این حال، برای برخی از ابعاد، مانند زمان، می‌توان از ترتیب مقادیر ابعاد برای محاسبه اطلاعات کل استفاده کرد، مانند کل فروش برای یک دوره خاص. اکثر مدل ها نیاز به تعریف سلسله مراتبی از ابعاد برای تشکیل درخت های متعادل دارند - سلسله مراتب باید داشته باشند همان ارتفاعدر امتداد همه شاخه‌ها، و هر مقدار سطح غیر ریشه فقط یک والد است.

داده ها

واقعیت ها یک موضوع را نشان می دهند - یک الگو یا رویداد که نیاز به تجزیه و تحلیل دارد. در اکثر مدل های داده چند بعدی، حقایق به طور منحصر به فردی با ترکیبی از مقادیر ابعاد تعریف می شوند. یک واقعیت تنها زمانی وجود دارد که سلول برای ترکیب خاصی از مقادیر خالی نباشد. با این حال، برخی از مدل ها حقایق را به عنوان "اشیاء درجه یک" با ویژگی های خاص در نظر می گیرند. بیشتر مدل‌های چند بعدی همچنین مستلزم این هستند که هر واقعیت با یک مقدار در سطح پایین‌تری از هر بعد مرتبط باشد، اما برخی از مدل‌ها اینطور نیستند. نیاز اجباری.

هر واقعیت دارای مقداری دانه بندی است که توسط سطوحی که ترکیبی از مقادیر ابعاد آن ایجاد می شود، تعریف می شود. به عنوان مثال، دانه بندی یک واقعیت در مکعب نشان داده شده در شکل. 1 (سال x محصول x شهر) است. (سال x نوع x شهر) و (روز x محصول x شهر) - به ترتیب دانه بندی درشت تر و ریزتر.

انبارهای داده معمولاً شامل سه نوع واقعیت زیر هستند.

• مناسبت هاحداقل در سطح بزرگترین دانه بندی، به عنوان یک قاعده، رویدادهای دنیای واقعی مدل می شوند، با هر واقعیت نشان دهنده یک نمونه خاص از پدیده مورد مطالعه است. به عنوان مثال می توان به فروش، کلیک ماوس روی یک صفحه وب یا جابجایی کالا در انبار اشاره کرد.
• عکس های فوریوضعیت یک شی را در یک نقطه زمانی معین، مانند سطوح در دسترس بودن کالا در یک فروشگاه یا انبار و تعداد کاربران یک وب سایت، مدل کنید. یک نمونه مشابه از یک پدیده دنیای واقعی، مانند یک قوطی خاص لوبیا، می تواند در بیش از یک واقعیت ظاهر شود.
• عکس فوری تجمعیحاوی اطلاعاتی در مورد فعالیت های سازمان برای مدت معینی باشد. به عنوان مثال فروش انباشته دوره قبل با احتساب ماه جاری را می توان به راحتی با ماه های مشابه سال قبل مقایسه کرد.

انبار داده اغلب شامل هر سه نوع واقعیت است. داده های منبع یکسان، به عنوان مثال، جابجایی کالا در یک انبار، می تواند در سه نوع مختلف مکعب باشد: جریان کالا در انبار، فهرست کالاها، و جریان برای سال تا تاریخ فعلی.

گزینه ها

پارامترها از دو جزء تشکیل شده است:

• یک ویژگی عددی یک واقعیت، به عنوان مثال، قیمت یا درآمد فروش؛
• یک فرمول، معمولاً یک تابع جمع ساده، مثلاً مجموع، که می تواند چندین مقدار پارامتر را در یک ترکیب کند.

در یک پایگاه داده چند بعدی، پارامترها معمولاً ویژگی های این واقعیت را نشان می دهند که کاربر می خواهد کاوش کند. پارامترها برای ترکیبات مختلف ابعاد مقادیر متفاوتی می گیرند. ویژگی و فرمول برای نشان دادن یک مقدار معنی دار برای تمام ترکیبات سطوح تجمع انتخاب شده است. از آنجایی که فراداده فرمول را تعریف می کند، داده ها برخلاف صفحه گسترده، تکرار نمی شوند.

هنگام محاسبه سه کلاس های مختلفپارامترها کاملاً متفاوت عمل می کنند.

• پارامترهای افزودنیمی توان به طور معناداری در هر بعد ترکیب کرد. به عنوان مثال، جمع کردن کل فروش برای محصول، مکان و زمان منطقی است، زیرا این امر باعث همپوشانی بین پدیده‌های دنیای واقعی که هر یک از این ارزش‌ها را ایجاد می‌کنند، نمی‌شود.
• پارامترهای نیمه افزودنی،که در یک یا چند بعد قابل ترکیب نیستند. برای مثال، جمع‌بندی موجودی‌ها در محصولات و انبارهای مختلف منطقی است، اما جمع‌بندی موجودی کالاها در زمان‌های مختلف بی‌معنی است، زیرا یک پدیده فیزیکی یکسان را می‌توان چندین بار شمارش کرد.
• پارامترهای غیرافزودنیدر هیچ بعدی ترکیب نشوند، معمولاً به این دلیل که فرمول انتخابی اجازه نمی دهد که ابزارهای سطح پایین به میانگین سطح بالاتر ترکیب شوند.

پارامترهای افزودنی و غیرافزودنی می‌توانند حقایق را از هر نوع توصیف کنند، در حالی که پارامترهای نیمه افزودنی معمولاً با عکس‌های فوری یا عکس‌های فوری کل استفاده می‌شوند.

درخواست ها

یک پایگاه داده چند بعدی به طور طبیعی طراحی شده است تا انواع خاصیدرخواست ها.

• پرس و جوهای تکه و تاسانتخابی انجام دهید که مکعب را کاهش دهد. برای مثال، می توانید سطح مقطع مکعب را در شکل در نظر بگیرید. 1، فقط سلول هایی را در نظر بگیرید که نان را لمس می کنند، و سپس آن را حتی بیشتر کاهش می دهند و سلول های مربوط به سال 2000 باقی می مانند. تثبیت یک مقدار ابعاد، ابعاد مکعب را کاهش می دهد، اما عملیات انتخاب کلی تری نیز امکان پذیر است.
• درخواست هایی مانند تمرین کردن و جمع کردن- عملیات معکوس که از سلسله مراتبی از ابعاد و پارامترها برای تجمیع استفاده می کند. تعمیم به مقادیر بالاتر با حذف ابعاد مطابقت دارد. به عنوان مثال، مجموعه ای از سطح "شهر" به سطح "کشور" در شکل. 2 مقادیر آلبورگ و کپنهاگ را در یک مقدار جمع می کند - دانمارک.
• پرس و جوهای همه جانبهمکعب هایی را که یک یا چند بعد مشترک دارند ترکیب کنید. از نقطه نظر جبر رابطه ای، چنین عملیاتی ادغام را انجام می دهد.
• پرس و جو از نوع رتبه بندیتنها سلول‌هایی را برمی‌گرداند که در بالا یا پایین فهرستی که به روشی خاص سفارش داده شده‌اند ظاهر می‌شوند، به عنوان مثال، 10 محصول پرفروش در کپنهاگ در سال 2000.
• در حال چرخش cube به کاربران این امکان را می دهد که داده ها را بر اساس ابعاد دیگر گروه بندی کنند.

پیاده سازی

پایگاه های داده چند بعدی به دو شکل اصلی پیاده سازی می شوند.

• سیستم های پردازش تحلیلی آنلاین چند بعدی (MOLAP) داده ها را در ساختارهای چند بعدی تخصصی ذخیره می کنند. سیستم‌های MOLAP معمولاً شامل امکاناتی برای پردازش آرایه‌های پراکنده هستند و از نمایه‌سازی پیشرفته و هش برای جستجوی داده‌ها هنگام اجرای پرس‌وجوها استفاده می‌کنند.
• رابطه ای سیستم های OLAP(ROLAP) از پایگاه داده های رابطه ای برای ذخیره داده ها استفاده می کند و همچنین از ساختارهای شاخص تخصصی مانند بیت مپ برای دستیابی به آن استفاده می کند. سرعت بالاانجام درخواست ها

سیستم های MOLAP عموماً امکان استفاده کارآمدتر از آن را فراهم می کنند فضای دیسکو همچنین زمان پاسخ کوتاه‌تر هنگام پردازش درخواست‌ها.

کاهش زمان پاسخ در هنگام پردازش درخواست ها

مهمترین تکنیک برای افزایش عملکرد در پایگاه های داده چند بعدی، پیش محاسبه است. همتای تخصصی آنها پیش انباشتگی است که زمان پاسخگویی به پرسش‌هایی را که حجم بالقوه عظیمی از داده‌ها را پوشش می‌دهند تا حدی که برای تجزیه و تحلیل داده‌های تعاملی کافی است کاهش می‌دهد.

محاسبه و ذخیره، یا «مادی کردن» حجم کل فروش بر اساس کشور و ماه نمونه‌ای از پیش تجمیع است. این رویکرد به شما این امکان را می دهد که به سرعت پاسخ سوالات مربوط به کل فروش را دریافت کنید، به عنوان مثال، در یک ماه، در یک کشور، یا بر اساس سه ماهه و کشور به طور همزمان. این پاسخ ها را می توان از داده های از پیش محاسبه شده به دست آورد و نیازی به دسترسی به اطلاعات واقع در انبار داده نیست.

پایگاه‌های داده‌های رابطه‌ای تجاری مدرن، و همچنین سیستم‌های چند بعدی تخصصی، حاوی ابزارهایی برای بهینه‌سازی پرس‌وجوها بر اساس انبوه‌های از پیش محاسبه‌شده (جمع) و محاسبه مجدد خودکار مجموعه‌های ذخیره‌شده هنگام به‌روزرسانی داده‌های اساسی هستند.

پیش انباشتگی کامل - تحقق همه ترکیبات سنگدانه ها - غیرممکن است زیرا به فضای دیسک و زمان زیادی برای محاسبات اولیه نیاز دارد. به جای این سیستم های مدرن OLAP رویکرد عملی تری را برای پیش انباشتگی دنبال می کند و تنها ترکیبات انتخابی از انباشته ها را عملی می کند و سپس از آنها برای محاسبه سایر انباشته ها به طور موثرتر استفاده می کند. استفاده مجددانباشته ها مستلزم حفظ ساختار داده چند بعدی صحیح است.

ادبیات

1. R. Winter، "پایگاه های داده: بازگشت به بازی OLAP"، مجله Intelligent Enterprise، جلد. 1، نه 4، 1998
2. E. Thomsen، G. Spofford، D. Chase، Microsoft OLAP Solutions، John Wiley & Sons، نیویورک، 1999

توربن باخ پدرسن، کریستین اس. جنسن، فناوری پایگاه داده چند بعدی. IEEE Computer، دسامبر 2001. حق نشر IEEE Computer Society، 2001. تمامی حقوق محفوظ است. تجدید چاپ با اجازه.

مدول فن آوری های تحلیل اکتشافی چند بعدی STATISTICA(یکی از ماژول های محصول STATISTICA پیشرفته) طیف وسیعی از فناوری‌های اکتشافی را ارائه می‌کند، از تجزیه و تحلیل خوشه‌ای تا روش‌های درخت طبقه‌بندی پیشرفته، همراه با طیف وسیعی از ابزارهای تجسم تعاملی برای ساخت مدل‌ها. ماژول شامل:

در ماژول آنالیز خوشه ایاجرا شد مجموعه کاملروش های تجزیه و تحلیل داده های خوشه ای، از جمله روش های k-means، خوشه بندی سلسله مراتبی و ادغام دو طرفه. داده ها می توانند وارد شوند فرم اصلیو به صورت ماتریسی از فواصل بین اجسام. مشاهدات، متغیرها، یا/و مشاهدات و متغیرها را می توان با استفاده از معیارهای مختلف فاصله (اقلیدسی، اقلیدسی مربع، بلوک های شهر (منهتن)، چبیشف، قدرت، درصد اختلاف و ضریب همبستگی 1 پیرسون) و قوانین خوشه بندی مختلف (تک) خوشه بندی کرد. ، پیوند کامل، میانگین گروهی بدون وزن و وزن دار، بدون وزن، فاصله وزنی بین مراکز، روش وارد و غیره).

ماتریس های فاصله را می توان برای تجزیه و تحلیل بیشتر در سایر ماژول های سیستم ذخیره کرد آمار. هنگام انجام تجزیه و تحلیل خوشه ای با استفاده از روش k-means، کاربر باید داشته باشد تسلط کاملدر بالا مکان اولیهمراکز خوشه ای طرح های تجزیه و تحلیل بسیار بزرگ را می توان انجام داد: به عنوان مثال، با پیوندهای سلسله مراتبی (درخت)، می توانید با ماتریس 90 هزار فاصله کار کنید. علاوه بر نتایج استاندارد تجزیه و تحلیل خوشه‌ای، این ماژول مجموعه متنوعی از آمار توصیفی و روش‌های تشخیصی پیشرفته را نیز ارائه می‌دهد (یک طرح ادغام کامل با سطوح آستانه برای خوشه‌بندی سلسله مراتبی، جدول تجزیه و تحلیل واریانس برای خوشه‌بندی k-means). اطلاعات مربوط به اینکه آیا اشیا به خوشه ها تعلق دارند را می توان به فایل داده اضافه کرد و در تجزیه و تحلیل بیشتر استفاده کرد. قابلیت های گرافیکی ماژول آنالیز خوشه ایشامل دندروگرام های سفارشی، نمودارهای ادغام دو طرفه، نمایش گرافیکی الگوهای ادغام، نمودارهای میانگین خوشه بندی k-means و موارد دیگر.

مدول تحلیل عاملیشامل طیف گسترده ای از آمار و روش های تحلیل عاملی (و همچنین تحلیل عاملی سلسله مراتبی) با تشخیص های پیشرفته و طیف گسترده ای از نمودارهای تحقیق و اکتشاف است. در اینجا می توانید تجزیه و تحلیل (مورب کلی و سلسله مراتبی) اجزای اصلی و عوامل اصلی را برای مجموعه داده های حاوی حداکثر 300 متغیر انجام دهید (مدل های بزرگتر را می توان با استفاده از ماژول بررسی کرد. (SEPATH)).

تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی و طبقه بندی

آمارهمچنین شامل نرم افزاری برای تجزیه و تحلیل و طبقه بندی اجزای اصلی می باشد. خروجی این برنامه است مقادیر ویژه(معمولی، تجمعی و نسبی)، بارهای عاملی و ضرایب امتیاز عاملی (که می توانند به فایل داده های ورودی اضافه شوند، در نمادها و در حالت تعاملی recode)، و همچنین برخی از آمار و تشخیص های تخصصی تر. کاربر روش های زیر را برای چرخش فاکتور در اختیار دارد: واریماکس، بیکوارتیمکس، کوارتیمکس و اکویمکس (با بارهای عادی یا اولیه)، و همچنین چرخش های مایل.

فضای عامل را می توان به صورت بصری تکه به تکه در نمودارهای پراکنده دو بعدی یا سه بعدی با نقاط داده مشخص شده مشاهده کرد. در میان دیگران ابزارهای گرافیکی- نمودارهای اسکری، انواع مختلف نمودارهای پراکندگی، هیستوگرام، نمودارهای خطیهنگامی که راه حل عامل تعیین شد، کاربر می تواند ماتریس همبستگی را محاسبه (تولید مجدد) کند و سازگاری مدل عاملی را با تجزیه و تحلیل ماتریس همبستگی باقیمانده (یا ماتریس واریانس/کوواریانس باقیمانده) ارزیابی کند. به عنوان ورودی، می توانید از داده های منبع و ماتریس های همبستگی استفاده کنید. تحلیل عاملی تاییدی و سایر انواع تحلیل های مرتبط با استفاده از ماژول قابل انجام است مدل سازی معادلات ساختاری(SEPATH) از بلوک آمار مدل های خطی و غیر خطی عمومی، جایی که یک جادوگر ویژه تحلیل عامل تاییدی کاربر را در تمام مراحل ساخت مدل راهنمایی می کند.

این ماژول مجموعه کاملی از روش های تجزیه و تحلیل متعارف (مکمل روش های تجزیه و تحلیل متعارف ساخته شده در ماژول های دیگر) را پیاده سازی می کند. شما می توانید هم با فایل های داده منبع و هم با ماتریس های همبستگی کار کنید. تمام آمارهای استاندارد همبستگی متعارف (بردارها و مقادیر ویژه، ضرایب افزونگی، وزن‌های متعارف، بارگذاری‌ها، واریانس‌ها، آزمون‌های معناداری برای هر یک از ریشه‌ها و غیره) و همچنین برخی تشخیص‌های پیشرفته محاسبه می‌شوند. برای هر مشاهده، مقادیر متغیرهای متعارف را می توان محاسبه کرد، که سپس می توان آنها را در نمادهای داخلی مشاهده کرد (و همچنین به فایل داده اضافه کرد).

این ماژول شامل طیف گسترده ای از رویه ها برای طراحی و ارزیابی نمونه های نظرسنجی و پرسشنامه است. مانند همه ماژول های سیستم آمار، مقادیر بسیار زیادی داده را می توان در اینجا تجزیه و تحلیل کرد (مقیاسی متشکل از 300 موقعیت را می توان در یک تماس با برنامه پردازش کرد).

امکان محاسبه آمار قابلیت اطمینان برای همه آیتم های مقیاس، انتخاب تعاملی زیرمجموعه ها و مقایسه بین زیرمجموعه های اقلام با استفاده از روش "تقسیم نصف" یا "تقسیم بخش" وجود دارد. در یک بررسی، پایایی مقیاس کل و خرده مقیاس ها قابل ارزیابی است. با حذف تعاملی موارد، قابلیت اطمینان مقیاس حاصل بلافاصله بدون بازدید مجدد از فایل داده محاسبه می شود. نتایج تجزیه و تحلیل عبارتند از: ماتریس های همبستگی و آمار توصیفی برای گویه ها، آلفای کرونباخ، آلفای استاندارد شده، همبستگی متوسط ​​آیتم-گویه، جدول ANOVA کامل برای مقیاس، مجموعه کاملی از آمارهای مشترک برای همه آیتم ها (شامل ضرایب همبستگی چندگانه) همبستگی تقسیم-نیمه قابلیت اطمینان و میرایی تصحیح شده بین دو نیمه.

مجموعه‌ای از نمودارها (شامل نمودارهای پراکنده داخلی، هیستوگرام، نمودارهای خطی و نمودارهای دیگر) و مجموعه‌ای از روتین‌های تعاملی what-if برای کمک به شما در توسعه مقیاس‌ها وجود دارد. به عنوان مثال، هنگام افزودن تعدادی سؤال به مقیاس، کاربر می تواند پایایی مورد انتظار را محاسبه کند یا تعداد سؤالاتی را که برای دستیابی به پایایی مورد نظر باید به مقیاس اضافه شود، تخمین بزند. علاوه بر این، می‌توانید میرایی بین مقیاس جریان و اندازه‌گیری دیگر (با توجه به قابلیت اطمینان مقیاس فعلی) را اصلاح کنید.

مدول سیستم های آمارشامل کامل ترین پیاده سازی توسعه یافته در اخیراروش های ساخت و آزمایش موثر (روش درخت طبقه بندی یک روش خاص ("تکرار کننده") برای پیش بینی کلاسی است که یک شی به آن تعلق دارد، بر اساس مقادیر متغیرهای پیش بینی کننده برای این شی). درخت‌های طبقه‌بندی را می‌توان با استفاده از پیش‌بینی‌کننده‌های طبقه‌بندی یا ترتیبی، یا مخلوطی از هر دو نوع پیش‌بینی‌کننده، با انشعاب در میان متغیرهای فردی یا از طریق ترکیب خطی آنها، ساخت.

این ماژول همچنین پیاده‌سازی می‌کند: انتخاب بین جستجوی کامل گزینه‌های انشعاب (مانند بسته‌های THAID و CART) و انشعاب متمایز. انتخاب بی طرفانه متغیرهای شاخه (مانند بسته QUEST)؛ تنظیم صریح قوانین توقف (مانند بسته FACT) یا بریدن از برگ درخت تا ریشه آن (مانند بسته CART). برش با نسبت خطاهای طبقه بندی یا تابع انحراف. معیارهای تعمیم یافته خوبی برازش عبارتند از خی دو، جی اسکوئر و شاخص جینی. احتمالات قبلی عضویت در کلاس و هزینه های اشتباهات طبقه بندی را می توان برابر تعیین کرد، از روی داده ها تخمین زد، یا به صورت دستی تنظیم کرد.

کاربر همچنین می تواند ضریب اعتبار سنجی متقاطع را در طول ساخت درخت و برای تخمین خطا، پارامتر قانون SE، حداقل تعداد اشیاء در گره برش، seed برای مولد اعداد تصادفی و پارامتر آلفا را برای انتخاب متغیر مشخص کند. ابزارهای گرافیکی داخلی به کاوش داده های ورودی و خروجی کمک می کنند.

این ماژول شامل پیاده‌سازی کاملی از روش‌های تحلیل مکاتبات ساده و چند بعدی است که می‌تواند جداول را بسیار تحلیل کند اندازه های بزرگ. این برنامه انواع فایل های داده زیر را می پذیرد: فایل های حاوی متغیرهای طبقه بندی شده، که برای ساخت یک ماتریس احتمالی (طبقه بندی متقابل) استفاده می شود. فایل های داده حاوی جداول فرکانس (یا هر معیار دیگری از مطابقت، اتصال، شباهت، بی نظمی و غیره) و متغیرهای کدی که سلول های جدول ورودی را تعریف می کنند (شمارش می کنند). فایل های داده حاوی فرکانس (یا سایر معیارهای انطباق). به عنوان مثال، کاربر می تواند به طور مستقیم یک جدول فرکانس ایجاد و تجزیه و تحلیل کند. علاوه بر این، در مورد تجزیه و تحلیل مکاتبات چند بعدی، می توان مستقیماً ماتریس برت را به عنوان داده ورودی مشخص کرد.

در حین کار، برنامه جداول مختلفی از جمله جدول درصد بر اساس ردیف، ستون و درصد را محاسبه می کند. تعداد کل، مقادیر مورد انتظار، تفاوت بین مقادیر مورد انتظار و مشاهده شده، انحرافات استاندارد و سهم در آمار مربع کای. تمام این آمارها را می توان در هیستوگرام های سه بعدی ترسیم کرد و با استفاده از تکنیک لایه بندی پویا خاص مشاهده کرد.

در ماژول مقادیر ویژه تعمیم یافته و بردارهای ویژه محاسبه و خروجی می شود مجموعه استانداردکمیت های تشخیصی، از جمله مقادیر منفرد، مقادیر ویژه و سهم اینرسی قابل انتساب به هر اندازه گیری. کاربر می تواند تعداد اندازه گیری ها را انتخاب کند یا یک مقدار آستانه برای حداکثر درصد تجمعی اینرسی تعیین کند.

این برنامه مختصات استاندارد را برای نقاط ردیف و نقاط ستون محاسبه می کند. کاربر می تواند بین استانداردسازی پروفایل های ردیفی، نمایه های ستونی، نمایه های ردیف و ستونی یا استانداردسازی متعارف یکی را انتخاب کند. برای هر بعد و برای هر نقطه سطر و نقطه ستون، برنامه مقادیر اینرسی، کیفیت و کسینوس**2 را محاسبه می کند. علاوه بر این، کاربر می تواند (در پنجره نتایج) ماتریس هایی از بردارهای منفرد تعمیم یافته را نمایش دهد. مانند هر داده ای از پنجره کاری، این ماتریس ها برای پردازش با استفاده از برنامه های موجود در زبان موجود هستند آماربرای مثال، ویژوال بیسیک برای استفاده از هر کدام روش های غیر استانداردمحاسبات مختصات

کاربر می تواند مختصات و آمار مرتبط (کیفیت و کسینوس**2) را برای نقاط اضافی (-ستون ها یا - ردیف ها) محاسبه کند و نتایج را با نقاط سطر و ستون اصلی مقایسه کند. نکات اضافی ممکن است در تجزیه و تحلیل مکاتبات چند متغیره استفاده شود. علاوه بر هیستوگرام های سه بعدی که برای همه جداول قابل محاسبه است، کاربر می تواند نمودارهای مقدار ویژه، نمودارهای یک، دو و سه بعدی را برای ردیف های نقطه و ستون ها نمایش دهد. نقاط ردیف و نقاط ستون را می توان به طور همزمان در یک نمودار به همراه هر نقطه اضافی نمایش داد (هر نوع نقطه از رنگ متفاوت و یک نشانگر منحصر به فرد استفاده می کند تا نقاط مختلف به راحتی در نمودارها قابل تشخیص باشند). همه نقاط دارای نشانگر هستند و کاربر می تواند اندازه نشانگر را تنظیم کند.

در ماژول مجموعه کاملی از روش های مقیاس بندی چند بعدی (غیر متریک) اجرا شده است. در اینجا ماتریس‌های شباهت، تفاوت و همبستگی بین متغیرها قابل تجزیه و تحلیل هستند و بعد فضای مقیاس‌بندی می‌تواند به 9 برسد. پیکربندی اولیه را می‌توان توسط برنامه (با استفاده از تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) محاسبه کرد یا توسط کاربر مشخص شد. مقدار تنش و ضریب بیگانگی با استفاده از یک روش تکراری خاص به حداقل می رسد.

کاربر این فرصت را دارد که تکرارها را مشاهده کند و تغییرات در این مقادیر را نظارت کند. پیکربندی نهایی را می توان در جدول نتایج و در نمودارهای پراکنده فضایی در مقیاس دو بعدی و سه بعدی با نقاط مشخصه مشخص شده مشاهده کرد. نتایج خروجی عبارتند از: تنش غیر استاندارد (F)، ضریب تنش کروسکال S و ضریب بیگانگی. سطح توافق را می توان با استفاده از نمودارهای شپرد (با مقادیر "d with cap" و "d with star") ارزیابی کرد. مانند تمام نتایج تجزیه و تحلیل در سیستم آمار، پیکربندی نهایی را می توان به عنوان یک فایل داده ذخیره کرد.

مدول شامل اجرای کامل روش های تجزیه و تحلیل تفکیک کننده گام به گام با استفاده از توابع متمایز است. آمارهمچنین شامل ماژول است مدل های عمومیتجزیه و تحلیل تشخیصی (GDA)برای تطبیق طرح‌های ANOVA/ANCOVA مانند بر روی متغیرهای وابسته طبقه‌بندی یا اجرا انواع مختلفتجزیه و تحلیل (به عنوان مثال، بهترین انتخاب از پیش بینی ها، مشخصات احتمالات پسین).

این برنامه به شما امکان تجزیه و تحلیل با فعال سازی مرحله به مرحلهیا با حذف متغیرها یا معرفی بلوک های متغیرهای تعریف شده توسط کاربر به مدل. علاوه بر نمودارها و آمارهای متعددی که تابع تبعیض را توصیف می کند، این برنامه همچنین دارای مجموعه بزرگی از ابزارها و آمار برای طبقه بندی مشاهدات قدیمی و جدید (برای ارزیابی کیفیت مدل) است. نتایج عبارتند از: آماره لامبدای ویلکس برای هر متغیر، لامبدا جزئی، آماره F برای گنجاندن (یا حذف)، سطوح معنی‌داری p، مقادیر تحمل و ضریب همبستگی چندگانه مجذور. این برنامه یک تجزیه و تحلیل کامل متعارف را انجام می دهد و همه مقادیر ویژه (مستقیم و تجمعی)، سطوح معنی داری p، ضرایب تابع متمایز (معارف) (مستقیم و استاندارد)، ضرایب ماتریس ساختاری (بارهای عاملی)، مقادیر تابع متمایز متوسط، و وزن های متمایز برای هر شی (این ها را می توان به طور خودکار به فایل داده اضافه کرد).

پشتیبانی گرافیکی داخلی شامل: هیستوگرام وزن‌های متعارف برای هر گروه (و مشترک در همه گروه‌ها)، نمودار پراکندگی ویژه برای جفت متغیرهای متعارف (که نشان می‌دهد هر مشاهده متعلق به کدام گروه است)، مجموعه بزرگی از نمودارهای طبقه‌بندی شده (چندین) شما می‌توانید توزیع‌ها و روابط بین متغیرهای وابسته را برای گروه‌های مختلف (از جمله: نمودارهای چندگانه مانند نمودارهای محدوده، هیستوگرام، نمودارهای پراکندگی و نمودارهای احتمال عادی) و موارد دیگر بررسی کنید.

در ماژول همچنین می توان محاسبه کرد ویژگی های استانداردطبقه بندی برای هر گروه نتایج طبقه‌بندی مشاهدات را می‌توان بر حسب فواصل ماهالانوبیس، احتمالات پسین و خود نتایج طبقه‌بندی استنباط کرد، و مقادیر تابع متمایز برای مشاهدات فردی (مقادیر متعارف) را می‌توان در تصاویر کلی و سایر نمودارهای چند متغیره که مستقیماً از جداول نتایج قابل دسترسی هستند مشاهده کرد. همه این داده ها را می توان به طور خودکار برای تجزیه و تحلیل بیشتر به فایل داده فعلی اضافه کرد. همچنین می توانید ماتریس طبقه بندی به دست آمده را نمایش دهید که تعداد و درصد موارد به درستی طبقه بندی شده را نشان می دهد. گزینه های مختلفی برای تعیین احتمالات پیشینی عضویت در کلاس و همچنین شرایط انتخابی وجود دارد که به شما امکان می دهد مشاهدات خاصی را از روش طبقه بندی بگنجانید یا حذف کنید (مثلاً کیفیت آن را در یک نمونه جدید بررسی کنید).

مدل های تجزیه و تحلیل تفکیک عمومی (GDA).

مدول آماری مدل های تجزیه و تحلیل متمایز عمومی (GDA).یک برنامه کاربردی و افزونه است عمومی مدل های خطی برای طبقه بندی وظایف همانند ماژول تجزیه و تحلیل تشخیصی GDA امکان تجزیه و تحلیل متمایز متوالی متعارف را فراهم می کند. GDA نشان دهنده مشکل تجزیه و تحلیل تفکیک به عنوان مناسبت خاصمدل خطی کلی و بنابراین فناوری های تحلیلی سفارشی بسیار مفیدی را ارائه می دهد.

درست مانند تجزیه و تحلیل متمایز معمولی، GDA به شما اجازه می دهد تا دسته بندی های دلخواه متغیرهای وابسته را انتخاب کنید. در تحلیل، گروه‌هایی از عناصر به‌عنوان متغیرهای شاخص نوشته می‌شوند و تمام تکنیک‌های GRM به راحتی قابل اعمال هستند. مجموعه گسترده ای از آمارهای باقیمانده GRM و GLM در گفتگوی نتایج GDA موجود است.

GDA انواع ابزارهای قدرتمند برای داده کاوی و تحقیقات کاربردی. GDA تمام نتایج تجزیه و تحلیل متمایز استاندارد را محاسبه می کند، از جمله ضرایب تابع متمایز، نتایج تجزیه و تحلیل متعارف (ضرایب استاندارد و خام، آزمایش ریشه متعارف گام به گام، و غیره)، آمار طبقه بندی (شامل، فاصله Mahalanobis، احتمالات پسین، طبقه بندی مشاهدات در تحلیل های معتبر، طبقه بندی اشتباه). ماتریس ها و غیره). برای اطلاعات اضافیدر مورد ویژگی های منحصر به فرد GDA

تئوری متغیرهای تصادفی، پدیده‌های احتمالی را «در استاتیک» مطالعه می‌کند و آنها را به‌عنوان برخی از نتایج ثبت‌شده آزمایش‌ها در نظر می‌گیرد. برای توصیف سیگنال هایی که منعکس کننده پدیده های تصادفی در حال توسعه در طول زمان هستند، روش های نظریه احتمالات کلاسیک ناکافی هستند. چنین مسائلی توسط شاخه خاصی از ریاضیات به نام نظریه فرآیندهای تصادفی مورد مطالعه قرار می گیرند.

طبق تعریف، فرآیند تصادفی نوع خاصی از تابع است که با این واقعیت مشخص می شود که در هر لحظه از زمان مقادیری که می گیرد متغیرهای تصادفی هستند.

مجموعه های پیاده سازی

خرید و فروش با سیگنال های قطعی، آنها را نمایش می دهیم وابستگی های عملکردییا اسیلوگرام اگر در مورد فرآیندهای تصادفی صحبت می کنیم، وضعیت پیچیده تر به نظر می رسد. با تثبیت مقادیر لحظه ای در یک بازه زمانی معین سیگنال تصادفی، ما فقط یک پیاده سازی واحد از فرآیند تصادفی را بدست می آوریم. یک فرآیند تصادفی مجموعه ای نامتناهی از چنین تحقق هایی است که یک مجموعه آماری را تشکیل می دهد. به عنوان مثال، یک مجموعه مجموعه ای از سیگنال ها است که می تواند به طور همزمان در خروجی ژنراتورهای ولتاژ نویز کاملاً یکسان مشاهده شود.

اصلاً لازم نیست که پیاده‌سازی یک فرآیند تصادفی توسط توابعی با رفتار پیچیده و نامنظم در زمان نمایش داده شود. اغلب لازم است که فرآیندهای تصادفی را در نظر بگیریم که به عنوان مثال توسط انواع مختلف تشکیل شده اند سیگنال های هارمونیک، که در آن یکی از سه پارامتر یک متغیر تصادفی است که در هر پیاده سازی مقدار مشخصی را می گیرد. ماهیت تصادفی چنین سیگنالی در عدم امکان دانستن مقدار این پارامتر از قبل، قبل از آزمایش است.

فرآیندهای تصادفی که توسط پیاده سازی ها بسته به تعداد محدودی از پارامترها تشکیل می شوند معمولاً فرآیندهای تصادفی شبه قطعی نامیده می شوند.

چگالی احتمال فرآیندهای تصادفی

بگذارید یک فرآیند تصادفی باشد که توسط مجموعه‌ای از پیاده‌سازی‌ها مشخص شده است، و اجازه دهید یک لحظه دلخواه در زمان باشد. با تثبیت مقادیر به‌دست‌آمده در پیاده‌سازی‌های جداگانه، یک بخش یک بعدی از این فرآیند تصادفی را انجام می‌دهیم و متغیر تصادفی را مشاهده می‌کنیم که چگالی احتمال آن را چگالی احتمال یک‌بعدی فرآیند در یک لحظه می‌گویند.

طبق تعریف، یک کمیت احتمال این است که تحقق یک فرآیند تصادفی در یک لحظه از زمان، مقادیری را در بازه زمانی دریافت کند.

اطلاعاتی که می توان از چگالی یک بعدی استخراج کرد برای قضاوت در مورد ماهیت توسعه تحقق یک فرآیند تصادفی در طول زمان کافی نیست. اطلاعات بسیار بیشتری را می توان با داشتن دو بخش از یک فرآیند تصادفی در لحظات واگرا از زمان به دست آورد. متغیر تصادفی دو بعدی که در چنین آزمایش فکری بوجود می آید با چگالی احتمال دو بعدی توصیف می شود. می توان احتمال رویداد را محاسبه کرد، که شامل این واقعیت است که اجرای فرآیند تصادفی در یک محله کوچک از نقطه اتفاق می افتد و زمانی که - در یک محله کوچک از نقطه اتفاق می افتد.

یک تعمیم طبیعی یک مقطع -بعدی از یک فرآیند تصادفی است که منجر به چگالی احتمال -بعدی می شود.

چگالی احتمال چند متغیره یک فرآیند تصادفی باید شرایط معمول تحمیل شده بر چگالی احتمال مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را برآورده کند (به بند 6.2 مراجعه کنید). علاوه بر این، مقدار نباید به ترتیبی که آرگومان های آن در آن قرار دارند (شرط تقارن) بستگی داشته باشد.

گاهی اوقات، به جای چگالی احتمال - بعدی، راحت است از تابع مشخصه -بعدی استفاده شود که با تبدیل فوریه به چگالی مربوطه مربوط می شود:

توصیف خواص فرآیندهای تصادفی با استفاده از چگالی احتمال چند بعدی با ابعاد بالا می تواند بسیار مفصل باشد. با این حال، اغلب در این مسیر با مشکلات جدی ریاضی مواجه می‌شویم.

تابع لحظه ای فرآیندهای تصادفی

جزئیات کمتر، اما، به عنوان یک قاعده، از نظر عملی کاملاً رضایت بخش است، ویژگی های فرآیندهای تصادفی را می توان با محاسبه گشتاورهای آن متغیرهای تصادفی که در مقاطع مقطعی این فرآیندها مشاهده می شود، به دست آورد. از آنجایی که در حالت کلی این ممان ها به آرگومان های زمانی بستگی دارند، آنها را تابع لحظه ای می نامند.

برای مهندسی رادیویی آماری، سه تابع گشتاور مرتبه پایین‌تر به نام‌های انتظار ریاضی، پراکندگی و تابع همبستگی از اهمیت بالایی برخوردار هستند.

ارزش مورد انتظار

مقدار متوسط ​​فرآیند X(t) در زمان جاری است. میانگین گیری در کل مجموعه پیاده سازی فرآیند انجام می شود.

پراکندگی

به شخص اجازه می دهد تا درجه پراکندگی مقادیر لحظه ای گرفته شده توسط پیاده سازی های فردی در یک بخش ثابت t را نسبت به مقدار متوسط ​​قضاوت کند.

لحظه مرکزی دو بعدی

تابع همبستگی یک فرآیند تصادفی نامیده می شود.این تابع لحظه ای درجه را مشخص می کند ارتباط آماریآن دسته از متغیرهای تصادفی که هنگام مقایسه فرمول‌های (6.37)، (6.38) مشاهده می‌شوند، توجه می‌کنیم که هنگام ترکیب بخش‌ها، تابع همبستگی از نظر عددی برابر با پراکندگی است:

فرآیندهای تصادفی ثابت

این نام مرسوم برای فرآیندهای تصادفی است که ویژگی های آماری آنها در همه بخش ها یکسان است.

یک فرآیند تصادفی به معنای محدود ثابت است. اگر هر یک از چگالی احتمال بعدی آن نسبت به شیفت زمانی ثابت باشد

اگر الزامات را به این واقعیت محدود کنیم که انتظارات ریاضی و پراکندگی فرآیند به زمان بستگی ندارد، و تابع همبستگی فقط به تفاوت بستگی دارد -، در این صورت چنین فرآیند تصادفی به معنای گسترده ساکن خواهد بود. روشن است که ایستایی به معنای مضیق، مستلزم ایستایی به معنای وسیع است، اما برعکس نه.

مطابق تعریف، تابع همبستگی یک فرآیند تصادفی ثابت زوج است:

علاوه بر این، مقادیر مطلق این تابع برای هر کدام از مقدار آن برای:

روش اثبات به این صورت است: از نابرابری آشکار

به دنبال آن است

از آنجا نابرابری (6.41) مستقیماً دنبال می شود.

اغلب استفاده از تابع همبستگی نرمال شده راحت است

برای کدام .

برای توضیح مفهوم فرآیند تصادفی ثابت، دو مثال را در نظر بگیرید.

مثال 6.5. یک فرآیند تصادفی با پیاده سازی فرم هایی که از قبل شناخته شده است تشکیل می شود، در حالی که زاویه فاز یک متغیر تصادفی است که به طور یکنواخت بر روی قطعه توزیع شده است -

از آنجایی که چگالی احتمال زاویه فاز انتظار ریاضی فرآیند است

به طور مشابه، می توانید واریانس را پیدا کنید:

در نهایت تابع همبستگی

بنابراین، این فرآیند تصادفی تمام شرایطی را که برای اطمینان از ایستایی به معنای گسترده لازم است، برآورده می‌کند.

مثال 6.6. یک فرآیند تصادفی دارای پیاده سازی هایی از فرم و علاوه بر این، اعداد داده شده است. - یک متغیر تصادفی با قانون توزیع دلخواه. ارزش مورد انتظار

تنها در زمان مستقل از زمان خواهد بود بنابراین، در حالت کلی، فرآیند تصادفی مورد بررسی غیر ثابت خواهد بود.

اموال Ergodicity.

یک فرآیند تصادفی ثابت در صورتی ارگودیک نامیده می‌شود که هنگام یافتن توابع گشتاور آن، میانگین‌گیری از یک مجموعه آماری را بتوان با میانگین‌گیری در طول زمان جایگزین کرد. عملیات میانگین گیری بر روی یک اجرای منفرد از مدت زمان T انجام می شود که از نظر تئوری می تواند به طور دلخواه طولانی باشد.

با نشان دادن میانگین زمان با براکت های زاویه، انتظارات ریاضی یک فرآیند تصادفی ارگودیک را می نویسیم:

که برابر با مولفه ثابت پیاده سازی انتخاب شده است.

واریانس یک فرآیند مشابه

از آنجایی که مقدار نشان دهنده توان متوسط ​​پیاده سازی است و مقدار قدرت جزء ثابت است، پراکندگی معنای روشنی از قدرت جزء نوسانی فرآیند ارگودیک دارد.

تابع همبستگی به طور مشابه یافت می شود:

یک شرط کافی برای ارگودیسیته یک فرآیند تصادفی، ثابت به معنای وسیع، تمایل تابع همبستگی به صفر با افزایش نامحدود در شیفت زمانی است:

ریاضیات نشان می دهد که این نیاز می تواند تا حدودی آرام شود. به نظر می رسد که اگر شرط Slutsky برآورده شود، فرآیند تصادفی ارگودیک است:

بنابراین، برابری (6.47) در رابطه با یک فرآیند هارمونیک با فاز اولیه تصادفی معتبر است (به مثال 6.5 مراجعه کنید).

اندازه گیری ویژگی های فرآیندهای تصادفی.

اگر یک فرآیند تصادفی ارگودیک باشد، در این صورت تحقق طول کافی آن، نماینده «معمولی» یک مجموعه آماری است. با مطالعه تجربی این پیاده سازی، می توان اطلاعات زیادی را که این فرآیند تصادفی را مشخص می کند، به دست آورد.

دستگاهی برای اندازه گیری چگالی احتمال یک بعدی یک فرآیند تصادفی را می توان به صورت زیر طراحی کرد. چگالی احتمال یک بعدی یک فرآیند تصادفی ارگودیک مقداری متناسب با زمان نسبی اجرای آن در سطح بین است.فرض کنید که دستگاهی با دو ورودی وجود دارد که یکی از آنها با اجرای تحت مطالعه x(t) عرضه شده است. ) و دیگری با یک ولتاژ ثابت مرجع عرضه می شود که سطح آن را تنظیم می کند. در خروجی دستگاه، پالس‌های ویدئویی مستطیلی با دامنه ثابت ظاهر می‌شوند که ابتدا و انتهای آن‌ها با لحظه‌های زمانی تعیین می‌شوند که مقادیر فعلی سیگنال تصادفی یا با سطح یا با سطح منطبق است. حالا مثلاً با استفاده از یک ابزار اشاره گر معمولی، مقدار متوسط ​​جریان ایجاد شده توسط یک دنباله از پالس های ویدئویی را اندازه گیری کنید، سپس خوانش های این دستگاه متناسب با چگالی احتمال خواهد بود.

هر وسیله اشاره گر به اندازه کافی اینرسی را می توان برای اندازه گیری انتظارات ریاضی یک فرآیند تصادفی استفاده کرد [نگاه کنید به. فرمول (6.43)].

دستگاهی که پراکندگی یک فرآیند تصادفی را اندازه گیری می کند، به شرح زیر از (6.44)، باید یک خازن در ورودی داشته باشد که جزء ثابت را جدا می کند. مراحل بعدی فرآیند اندازه گیری - مربع و میانگین زمان - توسط یک ولت متر درجه دوم اینرسی انجام می شود.

اصل عملکرد سنج تابع همبستگی (همبستگی سنج) از فرمول (6.45) پیروی می کند. در اینجا مقادیر لحظه ای یک سیگنال تصادفی پس از فیلتر کردن جزء ثابت به کانال ها تقسیم می شوند و به یک ضریب تغذیه می شوند و در یکی از کانال ها سیگنال برای مدتی به تاخیر می افتد. برای به دست آوردن مقدار تابع همبستگی، سیگنال خروجی ضریب توسط یک پیوند اینرسی پردازش می شود که میانگین گیری را انجام می دهد.

صرف نظر از اندازه

در اینجا از همان نمادی که در فرمول (6.26) استفاده شده است استفاده شده است. عناصر ماتریس همبستگی این فرآیند تصادفی توسط تابع همبستگی نرمال شده تعیین می شوند:

در ادامه، ما اغلب از چگالی گاوسی دو بعدی استفاده خواهیم کرد

یک فرآیند گاوسی ثابت جایگاه استثنایی را در میان سایر فرآیندهای تصادفی اشغال می کند - هر یک از چگالی احتمال چند بعدی آن با ویژگی های آن تعیین می شود: انتظارات ریاضی و تابع همبستگی.

© 2005 A. I. Saichev*, S. G. Utkin*

انتقال فرآیندهای پرش چند بعدی از انتشار غیر عادی به خطی

فرآیندهای چند بعدی پیاده روی تصادفی "شبه غیرعادی" در نظر گرفته می شوند که مجانبی انتشار خطی در زمان های زیاد دارند و در زمان های متوسط ​​(همچنین نسبت به مقیاس های میکروسکوپی بسیار بزرگ) از قوانین انتشار غیرعادی تبعیت می کنند. انتقال یک فرآیند پرش مانند از انتشار غیرعادی به خطی نشان داده شده است. با استفاده از محاسبات عددی، اعتبار محاسبات تحلیلی برای موارد دو بعدی و سه بعدی تایید می شود. ، .....

کلمات کلیدی: زیر انتشار غیرعادی، ابر انتشار غیرعادی، معادلات دیفرانسیل کسری جزئی، مجانبی میانی، پیاده روی تصادفی شبه غیرعادی.

1. معرفی

علامت اصلی انتشار غیرعادی رشد غیر خطی میانگین مربعات فرآیند تصادفی با زمان است: >r: V» „

برای مثال، مشخصه پدیده‌های فیزیکی مانند انتشار آشفته، دینامیک آشفته سیستم‌های همیلتونی، انتقال بار در نیمه‌هادی‌های آمورف، و غیره. فواصل بین پرش ها و توزیع ها w (x) بزرگی پرش ها.

همچنین مشخص است که انتشار غیرعادی به دلیل نقض قضیه حد مرکزی (CLT) یا قانون اعداد بزرگ (LBN) رخ می دهد (به عنوان مثال، نگاه کنید به). به نوبه خود، غیر قابل اجرا بودن ZBC به دلیل بی نهایت بودن لحظات اولیه انتظار برای پرش ها است و نقض CPT با بی نهایت بودن لحظات دوم پرش همراه است. این شرایط به عنوان موضوعی برای انتقاد از نظریه انتشار غیرعادی توسط فیزیکدانان است، که به درستی خاطرنشان می کنند که برای اکثر پدیده های فیزیکی این نقاط محدود هستند.

"دانشگاه دولتی نیژنی نووگورود، نیژنی نووگورود، روسیه. پست الکترونیک: [ایمیل محافظت شده]; [ایمیل محافظت شده]

قیمت 18 ^ub. صحافی 1 مالش.

456 A. I. SAICHEV, S. G. Utkin;

هدف از این کار نشان دادن این واقعیت است که انتشار فرعی غیرعادی می تواند در "مورد کلاسیک" نیز رخ دهد، زمانی که ZBC و CPT معتبر هستند. به عبارت دیگر، همراه با فرآیندهای انتشار غیرعادی «صرفا» که با جزئیات مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، فرآیندهای تصادفی «شبه غیرعادی» نیز وجود دارند که از قوانین انتشار خطی در زمان‌ها و مقیاس‌های فضایی بسیار بزرگ پیروی می‌کنند و در زمان‌های «متوسط»، ناهنجاری جهانی را نشان می‌دهند. - مجانبی انتشار این کار به تجزیه و تحلیل چنین فرآیندهای تصادفی شبه غیرعادی در فضاهایی با ابعاد مختلف اختصاص دارد. به ویژه کشف شد که برخلاف انتشار چند بعدی کلاسیک، مختصات تصادفی فرآیند پرش انتشار غیرعادی از نظر آماری حتی با اجزای مستقل بردارهای پرش تصادفی وابسته هستند.

2. راه رفتن تصادفی

اجازه دهید یک فرآیند پیاده روی تصادفی معمولی را در نظر بگیریم که از ساده ترین معادله تصادفی hh- پیروی می کند.

*-----. < к 1

بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌کنیم که فواصل انتظار تصادفی برای پرش‌های t~k = tk - ifc-i و پرش‌های تصادفی hk خود متقابل مستقل هستند و به ترتیب دارای توزیع‌های f(t) و w(x) هستند. بدیهی است که

که در آن N(t) تعداد پرش ها در زمان t است. این یک تابع معکوس با زمان n ام پرش T(n) است:

t = T(n) = ] ""

استفاده از رابطه هم ارزی آشکار برای این توابع ~!! N(t)^n T(n)

و تقسیم وحدت m.„ >».. l ■ >.

1= ^IIn(z) = ^، z>0، "U ■

در جایی که x(z) تابع مرحله است، معادله ای برای تابع مشخصه فرآیند مورد بررسی X (f) استخراج می کنیم:

©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /exp (w £ hk) V p=0 ^ ^ fc=1 " "

قیمت بلوط 18. صحافی Í r.

■برو) تفاوت فرعی غیرعادی و CPT معتبر هستند. و آن‌ها طرفدار انتشار هستند، مشمول مقیاس‌های قانونی، غیرعادی- انتشاری، اما شبه ناهنجاری-1. در قسمت اول مشخص شد که مختصات تصادفی حتی وابسته هستند

سایه ساده ترین

1ly منتظر پرش و همچنین یک-)

نهمین پرش T(n):

r > O، ^ " تابع منطقی

انتقال فرآیندهای پرش چند بعدی. ..

بیایید تبدیل لاپلاس را در هر دو طرف تساوی اعمال کنیم و پیشرفت هندسی حاصل را جمع کنیم:

عبارت یافت شده برای تصویر لاپلاس 0(u;s) تابع مشخصه یک آنالوگ چند بعدی معادله مونترول-وایس است. در اینجا f(s) تصویر لاپلاس از توزیع فواصل بین پرش ها است و w(u) تابع مشخصه پرش ها است. از آخرین برابری مشخص است که Q(u;s) از معادله تبعیت می کند

0(u;s) - w(u)Q(u;s) =

.......... ÎM (2-2)

با اعمال تبدیل فوریه و لاپلاس معکوس به آن، به راحتی می توان (بسته به نوع توزیع های f(r) و w(x)) معادله کلاسیک کلموگروف-فلر و معادلات جنبشی انتشار غیرعادی را بدست آورد.

3. معادلات مجانبی برای چگالی احتمال راه رفتن X(t)

همانطور که در بالا ذکر شد، شکل معادله چگالی احتمال W(x; t) به نوع توزیع های f(r) و tu(x) یا به طور دقیق تر، به تصویر لاپلاس f(s) و مشخصه آنها بستگی دارد. تابع w(u). در مرحله بعد، معادلات مجانبی را برای W(x; t)، معتبر در مقیاس های زمانی مختلف، در مورد توزیع /(r) با تصویر لاپلاس به دست خواهیم آورد.

V "I + sp" >

که در آن S یک پارامتر کوچک است. تمام گشتاورهای /(r) محدود هستند، که از نظر فیزیکی صحیح تر از توزیع نمایی کسری مربوطه (مرتبط با مقدار 6 = 0) است که یکی از موارد کلیدی در تئوری انتشار غیرعادی است. اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که پارامتر 6 آنقدر کوچک است که فاصله زمانی بین 1 و 1/(5) به اندازه کافی بزرگ باشد. سپس فرآیند X(t) سه مرحله را پشت سر هم طی می کند. در ابتدا، در زمان های t 1، رفتار این فرآیند به ساختار ظریف توزیع ها بستگی دارد /(t) u(x) iae منعکس کننده قوانین جهانی انتشار است. (t)، فرآیند از قوانین انتشار غیرعادی تبعیت می کند. سپس، در t 3> 1/6، فرآیند از قانون انتشار خطی معمولی تبعیت می کند که دلیل آن کاهش نمایی دنباله های توزیع /(r) در m 1/6 است.

اجازه دهید f(s) (3.1) را به معادله (2.2) تبدیل کنیم و رفتار مجانبی آن را برای s 1 مورد بحث قرار دهیم، که مربوط به خواص احتمالی یک فرآیند پرش در زمان های زیاد است.

در رابطه با تصویر لاپلاس توزیع /(t)، مورد s را برجسته می کنیم oo، و همچنین مورد 6 s 1، مسئول حالت "متوسط" 1 است

قیمت 18 ^ub. صحافی 1 مالش.

و (2.2) شکل خواهد گرفت

A. I. Saichev، S. G. UTKIN

در ©(“;“) + - w(“)]in(“; 5) = 1،

و در دوم / (c) ~ 1 - (1 + 8$) و بر این اساس،

""§("; e) + (1 + - th(")]in(i; ") = in"-1.

با اعمال تبدیل فوریه و لاپلاس معکوس به برابری های به دست آمده، به معادله کولموگروف-فلر می رسیم.

> + [tsg(x.^ _ * Ts*)] =< оо,

یا به معادله کلموگروف-فلر تعمیم یافته است

A+b0)t*m) - w(x-l)*yu(,x)) = 1 "*"

مشخصه، برای مثال، یک توزیع نرمال چند متغیره با مختصات مستقل و پراکندگی یکسان a2 در طول تمام محورها. سپس معادلات انتشار خطی و غیرعادی برای مجانبی زمانی مختلف به ترتیب از معادلات فوق تبعیت می کنند:

e-l ".(< "■

تی؟ 2h* "" h"#""" "g(1 -0)

راه حل اولی آنها به خوبی شناخته شده است:

xShx)، !«*<-. (3.3)

* "I" (x O- (1 + 1 + -

که در آن n بعد فضای فرآیند تصادفی است. حل معادله دوم در بخش بعدی آورده شده است.

برای این منظور h در n بعدی

اجزای استدلال! /3-پایدار

تگ-لفل چند بعدی

بنابراین انتشار

جایی که ، و .

توصیه می شود که مسئله مدل سازی دیجیتالی یک فرآیند تصادفی عادی چند بعدی به صورت زیر فرموله شود. همبستگی یا ماتریس طیفی یک فرآیند تصادفی داده شده است. یافتن الگوریتمی برای تولید پیاده‌سازی‌های گسسته یک فرآیند تصادفی با ویژگی‌های همبستگی (طیفی) داده‌شده در یک کامپیوتر دیجیتال ضروری است.

برای حل این مشکل، مانند قبل از ایده شکل دادن به فیلتر خطی استفاده خواهیم کرد. در مورد مورد بررسی، ما در مورد سنتز یک فیلتر شکل دهی چند بعدی صحبت می کنیم.

فیلتر خطی بعدی به عنوان یک سیستم دینامیکی خطی با ورودی و خروجی تعریف می شود. اگر - نفوذ ورودی و پاسخ سیستم است، سپس ارتباط بین ورودی و خروجی فیلتر پیوسته خطی بعدی با استفاده از یک ماتریس انتقال به شکل توصیف شده است.

جایی که و - تصاویر سیگنال های ورودی و خروجی، به ترتیب، به معنای تبدیل لاپلاس. - ماتریس انتقال یک فیلتر -بعدی، که عناصر آن توابع انتقال کانال -امین ورودی - خروجی -ام هستند.

اتصال ورودی-خروجی در فیلترهای خطی گسسته بعدی به طور مشابه شرح داده شده است:

,

کجا و - تصاویر به معنای تبدیل لاپلاس گسسته سیگنال های ورودی و خروجی. - ماتریس انتقال یک فیلتر گسسته با ابعاد.

بلوک دیاگرام یک فیلتر چند بعدی با استفاده از مثالی از فیلتر دو بعدی در شکل نشان داده شده است. 2.9 که بر اساس آن

(2.107)

می بینیم که هر یک از سیگنال های خروجی و مجموع عملگرهای خطی از سیگنال های ورودی و . روابط مشابهی در حالت کلی برقرار است. این شناسایی ماتریس های انتقال است.

اجازه دهید تاثیر در ورودی فیلتر خطی -بعدی نویز سفید -بعدی باشد، یعنی یک فرآیند تصادفی با یک ماتریس همبستگی شکل

برای زمان مداوم و

برای زمان گسسته، کجا - تابع دلتا نویز سفید بعدی در اینجا به عنوان مجموعه ای از فرآیندهای تصادفی مستقل و همبسته تعریف می شود.

می توان نشان داد (به عنوان مثال نگاه کنید) که وقتی در معرض نویز سفید قرار می گیرد، ماتریس طیفی فرآیند در خروجی - فیلتر بعدی برای زمان پیوسته و گسسته، به ترتیب، با ماتریس انتقال فیلتر توسط روابط مرتبط است.

(2.108)

که در آن نماد نشان دهنده ماتریس انتقال یافته است.

در نتیجه، برای به دست آوردن یک فرآیند تصادفی -بعدی با یک ماتریس طیفی معین، لازم است نویز سفید -بعدی را از یک فیلتر شکل دهنده -بعدی عبور دهیم که ماتریس انتقال آن معادلات (2.108) را برآورده می کند. برای یافتن ماتریس انتقال از یک ماتریس طیفی معین، لازم است که دومی را به دو عامل شکل (2.108) تقسیم کنیم. این روش فاکتورسازی ماتریس های طیفی نامیده می شود. می توان آن را با استفاده از الگوریتم های شناخته شده پیاده سازی کرد.

فیلتر نویز سفید چند بعدی بسیار ساده است: هر جزء فرآیند تصادفی در خروجی یک فیلتر ابعادی با ماتریس انتقال با جمع مولفه ها به دست می آید. فرآیند ورودی، فیلتر شده توسط فیلترهای یک بعدی با توابع انتقال [نگاه کنید به. فرمول (2.107)]. الگوریتم های فیلتر یک بعدی در بالا مورد بحث قرار گرفته اند.

با این روش مدل‌سازی، دو روش امکان‌پذیر است: 1) یک ماتریس طیفی معین از یک فرآیند تصادفی بعد-بعدی را می‌توان مستقیماً فاکتور گرفت تا ماتریس انتقال یک فیلتر شکل‌دهی پیوسته را به دست آورد و سپس با استفاده از روش‌های دقیق یا تقریبی گسسته‌سازی پیوسته. فیلترهای توضیح داده شده در بالا، فیلتر چند بعدی سفید مداوم می تواند سر و صدا انجام شود. 2) با توجه به ماتریس طیفی یک فرآیند پیوسته بعدی، با استفاده از تبدیل - می توانید ماتریس طیفی فرآیند تصادفی گسسته مربوطه را بیابید (به بند 2.3 مراجعه کنید)، سپس با فاکتورسازی، تابع انتقال فیلتر شکل دهی گسسته را بیابید. و سپس فیلتر چند بعدی نویز سفید گسسته را انجام دهید.

بیشترین مشکلات هنگام فاکتورسازی ماتریس های طیفی با آن مواجه می شوند. در حال حاضر، الگوریتم‌هایی برای فاکتورسازی تنها ماتریس‌های طیفی گویا، یعنی ماتریس‌هایی که عناصر آن‌ها توابع کسری-عقلی آرگومان‌ها یا .

اجازه دهید یکی از الگوریتم‌های فاکتور‌گیری ماتریس‌های طیفی منطقی را با حذف اثبات‌ها شرح دهیم.

اجازه دهید یک ماتریس طیفی منطقی داده شود

.

ماتریس را می توان به شکل کاهش داد

از طریق تبدیل های زیر

1. رتبه ماتریس تعیین می شود، سپس یکی از مینورهای اصلی سفارش در گوشه سمت چپ بالای ماتریس قرار می گیرد.

2. ماتریس به شکل مورب کاهش می یابد. برای انجام این کار، اولین سطر ضرب در - به ردیف ام ماتریس اضافه می شود، سپس اولین ستون ضرب در ; به ستون امین اضافه می شود. نتیجه یک ماتریس است

, (2.109)

عناصر ماتریس کجا هستند

شبیه

(2.110)

همان تبدیل ها با ماتریس مانند ماتریس اصلی انجام می شود . ادامه این فرآیند در مرحله ی هفتم یک ماتریس مورب تولید می کند

به طوری که .

3. ماتریس کمکی قرار دارد

که عناصر آن به شکل زیر است:

(2.111)

که در آن از روابط عود مشخص می شود

(2.112)

4. چند جمله ای های کمکی را پیدا کنید

جایی که - صفر چند جمله ای ها ، که در نیم صفحه پایینی قرار دارند، به تعداد حداکثر چند برابر آنها به حساب می آیند و مخرج توابع گویا کسری هستند که عناصر ماتریس هستند:

.

5. با توجه به روش مورد بحث در § 2.9، بند 2، توابع کسری - گویا

در فرم ارائه شده است

,

که در آن چند جمله ای ها و هیچ صفری در نیم صفحه پایینی ندارند.

این فرآیند فاکتورسازی را کامل می کند. در نهایت ماتریس انتقال فیلتر شکل دهی به شکل نوشته می شود

(2.113)

در اینجا ما یک الگوریتم برای فاکتورسازی ماتریس های طیفی منطقی فرآیندهای چند بعدی پیوسته توصیف می کنیم. فاکتورسازی ماتریس های طیفی فرآیندهای گسسته به روشی مشابه انجام می شود، فقط به جای ریشه های واقع در نیم صفحه پایین، ریشه های واقع در دایره واحد گرفته می شود.

مثال 1.اجازه دهید یک فرآیند تصادفی متمرکز ثابت دو بعدی پیوسته با یک ماتریس همبستگی داده شود

, (2.114)

برخی از ثابت های مثبت کجا هستند، و .

ماتریس همبستگی مربوط به ماتریس طیفی (2.114) شکل دارد

, (2.115)

جایی که و - لحظه های همبستگی و همبستگی متقابل فرآیندها و به ترتیب؛ - ضریب همبستگی متقابل فرآیندها و لحظه های همزمان زمان. ضرایب و در این مورد نشان دهنده عرض (در سطح 0.5) طیف انرژی است. و طیف انرژی متقابل فرآیندها و .

برای بدست آوردن ماتریس انتقال فیلتر شکل دهنده، لازم است که ماتریس طیفی (2.114) را فاکتورسازی کنیم.

طبق الگوریتم فاکتورسازی بالا، مراحل فاکتورسازی را گام به گام انجام خواهیم داد.

1. در این مورد، رتبه ماتریس طیفی است.

2. کاهش ماتریس به مورب نیاز به یک مرحله دارد. با استفاده از فرمول های (2.109) و (2.110) به دست می آوریم

.

3. مطابق عبارات (2.111) و (2.112)، ماتریس کمکی به شکل است.

4. در مورد مورد بررسی، فقط باید یک چند جمله ای کمکی پیدا کنید. برای انجام این کار، شما باید ریشه های مخرج عنصر ماتریس، یعنی ریشه های چند جمله ای را پیدا کنید. این ریشه ها با هم برابرند

از این رو،

.

5. در مرحله پایانی فاکتورسازی توابع کسری - گویا ضروری است

در این حالت، ریشه های صورت و مخرج توابع گویا کسری به راحتی محاسبه می شود. با استفاده از ریشه هایی که در نیم صفحه بالایی قرار دارند (ریشه هایی با قسمت های خیالی مثبت)، برای متغیر به دست می آوریم:

.

در شکل شکل 2.9 بلوک دیاگرام یک فیلتر شکل دهی دو بعدی را نشان می دهد که در خروجی آن در صورت اعمال نویز سفید به ورودی فیلتر، یک فرآیند تصادفی دو بعدی با ویژگی های طیفی مورد نیاز تشکیل می شود. با جایگزینی یک فیلتر دو بعدی پیوسته با یک فیلتر گسسته متناظر، الگوریتمی برای تولید پیاده‌سازی‌های گسسته از یک فرآیند عادی تصادفی دو بعدی بر روی یک کامپیوتر دیجیتال به دست می‌آوریم، یعنی اجرای گسسته دو فرآیند تصادفی معمولی ثابت و ثابت با نمایی. توابع همبستگی خودکار و متقابل فرم (2.115).

روش دیگر برای سنتز یک فیلتر شکل دهی، ابتدا نیازمند یافتن ماتریس طیفی فرآیند تصادفی چند بعدی گسسته مربوطه است. در مثال مورد بررسی، این ماتریس دارای فرم است

و ماتریس ها (2.116).

مثال در نظر گرفته نشان می دهد که فاکتورسازی ماتریس های طیفی نسبتاً ساده انجام می شود اگر بتوان به صورت تحلیلی صفرهای چند جمله ای مربوطه را یافت. هنگام فاکتورگیری ماتریس طیفی یک فرآیند دو بعدی پیوسته، این کار دشواری نبود، زیرا برای تعیین صفرها فقط باید معادلات درجه دوم و دو درجه ای حل شود. هنگام فاکتورگیری ماتریس طیفی یک فرآیند دو بعدی گسسته، معادلات درجه دوم و یک معادله متقابل درجه چهارم وجود داشت که یک راه حل تحلیلی را نیز می پذیرد.

در سایر موارد پیچیده تر، صفرهای چند جمله ای را همیشه نمی توان به صورت تحلیلی یافت. در این موارد برای حل معادلات درجه یک به روش های عددی متوسل می شوند. به طور کلی، فرآیند فاکتورسازی را می توان بر روی یک کامپیوتر دیجیتال به عنوان یک برنامه استاندارد پیاده سازی کرد. برای این منظور، علاوه بر الگوریتمی که در اینجا آورده شده است، می توان از سایر الگوریتم های فاکتورسازی استفاده کرد.

لازم به ذکر است که تمام الگوریتم های موجود برای فاکتورسازی ماتریس های طیفی، به طور کلی، بسیار کار بر هستند.