U više ranog materijala razmatrano je pitanje nalaženja derivacije i prikazane su njene različite primjene: izračunavanje nagiba tangente na graf, rješavanje optimizacijskih problema, proučavanje funkcija za monotonost i ekstreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Slika 1.
Razmatran je i problem pronalaženja trenutne brzine $v(t)$ uz pomoć derivacije u odnosu na prethodno poznatu pređenu udaljenost, izraženu funkcijom $s(t)$.
Slika 2.
Inverzni problem je takođe vrlo čest, kada treba da pronađete putanju $s(t)$ koju je prešla tačka u vremenu $t$, znajući brzinu tačke $v(t)$. Ako se sjećate, trenutna brzina $v(t)$ nalazi se kao derivacija funkcije putanje $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. To znači da za rješavanje inverznog problema, odnosno za izračunavanje putanje, morate pronaći funkciju čiji će izvod biti jednak funkciji brzine. Ali znamo da je derivacija putanje brzina, to jest: $s'(t) = v(t)$. Brzina je jednaka proizvodu ubrzanja i vremena: $v=at$. Lako je odrediti da će željena funkcija putanje imati oblik: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ali ovo nije potpuno rješenje. Kompletno rješenjeće izgledati ovako: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, gdje je $C$ neka konstanta. Zašto je to tako, biće reči kasnije. U međuvremenu, provjerimo ispravnost pronađenog rješenja: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Vrijedi napomenuti da je pronalaženje putanje po brzini fizičko značenje antiderivata.
Rezultirajuća funkcija $s(t)$ se poziva antiderivativna funkcija$v(t)$. Prilično zanimljivo i neobično ime, nije li. U njemu ima mnogo značenja, što objašnjava suštinu ovaj koncept i vodi ka razumevanju. Možete vidjeti da sadrži dvije riječi "prvi" i "slika". Oni govore sami za sebe. To jest, ovo je funkcija koja je izvorna za derivaciju koju imamo. I po ovom derivatu tražimo funkciju koja je bila na početku, bila je “prva”, “prva slika”, odnosno antiderivat. Ponekad se naziva i primitivnom funkcijom ili antiderivatom.
Kao što već znamo, proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. A proces pronalaženja antiderivata naziva se integracija. Operacija integracije je inverzna od operacije diferencijacije. I obrnuto je tačno.
Definicija. Antiderivat za funkciju $f(x)$ na nekom intervalu je funkcija $F(x)$ čiji je izvod jednak ovoj funkciji $f(x)$ za sve $x$ iz navedenog intervala: $F'( x)=f (x)$.
Neko može imati pitanje: otkud $F(x)$ i $f(x)$ u definiciji, ako se u početku radilo o $s(t)$ i $v(t)$. Stvar je u tome da su $s(t)$ i $v(t)$ posebni slučajevi notacije za funkcije koje imaju u ovaj slučaj specifično značenje, to jest, funkcija je vremena i funkcije brzine, respektivno. Isto vrijedi i za varijablu $t$ - ona predstavlja vrijeme. A $f$ i $x$ su tradicionalna varijanta opšte oznake funkcije i varijable, respektivno. Vrijedi platiti Posebna pažnja na antiderivativnu notaciju $F(x)$. Prvo, $F$ je kapital. Antiderivati su označeni velika slova. Drugo, slova su ista: $F$ i $f$. To jest, za funkciju $g(x)$ antiderivat će biti označen sa $G(x)$, za $z(x)$ - sa $Z(x)$. Bez obzira na notaciju, pravila za pronalaženje antiderivativne funkcije su uvijek ista.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1 Dokažite da je funkcija $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ antiderivat funkcije $f(x)=\cos5x$.
Da bismo to dokazali, koristimo definiciju, odnosno činjenicu da je $F'(x)=f(x)$, i nalazimo derivaciju funkcije $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Dakle, $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ je antiderivat od $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Primjer 2 Pronađite kojim funkcijama odgovaraju sljedeće antiderivate: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Da bismo pronašli željene funkcije, izračunavamo njihove derivate:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Primjer 3Šta će biti antiderivat za $f(x)=0$?
Koristimo definiciju. Razmislimo o tome koja funkcija može imati izvod jednak $0$. Sjećajući se tablice derivacija, dobijamo da će svaka konstanta imati takav izvod. Dobijamo da je antiderivat koji tražimo: $F(x)= C$.
Rezultirajuće rješenje može se objasniti geometrijski i fizički. Geometrijski, to znači da je tangenta na graf $y=F(x)$ horizontalna u svakoj tački ovog grafa i stoga se poklapa sa osom $Ox$. Fizički se objašnjava činjenicom da tačka ima brzinu nula, ostaje na svom mjestu, odnosno put kojim se pređe je nepromijenjen. Na osnovu ovoga možemo formulisati sljedeću teoremu.
Teorema. (Znak konstantnosti funkcije). Ako je $F'(x) = 0$ na nekom intervalu, onda je funkcija $F(x)$ konstantna na ovom intervalu.
Primjer 4 Odrediti antiderive čije su funkcije funkcije a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, gdje je $a$ neki broj.
Koristeći definiciju antiderivata, zaključujemo da je za rješavanje ovog zadatka potrebno izračunati derivate podataka, različite funkcije. Prilikom izračunavanja, zapamtite da je izvod konstante, odnosno bilo kojeg broja, jednak nuli.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
šta vidimo? Nekoliko različitih funkcija su antiderivati iste funkcije. To znači da bilo koja funkcija ima beskonačno mnogo antiderivata, i oni imaju oblik $F(x) + C$, gdje je $C$ proizvoljna konstanta. To jest, operacija integracije je viševrijedna, za razliku od operacije diferencijacije. Na osnovu toga, formulišemo teoremu koja opisuje glavno svojstvo antiderivata.
Teorema. (Glavno svojstvo primitiva). Neka su funkcije $F_1$ i $F_2$ antiderivati funkcije $f(x)$ na nekom intervalu. Tada sljedeća jednakost vrijedi za sve vrijednosti iz ovog intervala: $F_2=F_1+C$, gdje je $C$ neka konstanta.
Činjenica postojanja beskonačnog skupa antiderivata može se tumačiti geometrijski. Koristeći paralelnu translaciju duž $Oy$ ose, mogu se dobiti jedan od drugog grafovi bilo koja dva antiderivata za $f(x)$. Ovo je geometrijsko značenje antiderivata.
Veoma je važno obratiti pažnju na to da je izborom konstante $C$ moguće učiniti da graf antiderivata prođe kroz određenu tačku.
Slika 3
Primjer 5 Pronađite antiderivativ za funkciju $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ čiji graf prolazi kroz tačku $(3; 1)$.
Hajde da prvo pronađemo sve antiderivate za $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Zatim, nalazimo broj C za koji će graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ prolaziti kroz tačku $(3; 1)$. Da bismo to učinili, zamjenjujemo koordinate tačke u jednadžbu grafa i rješavamo je u odnosu na $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Dobili smo graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, koji odgovara antiderivatu $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabela antiderivata
Tabela formula za pronalaženje antiderivata može se sastaviti pomoću formula za pronalaženje derivata.
| Funkcije | antiderivati |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\u R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cosx$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Ispravnost tabele možete provjeriti na sljedeći način: za svaki skup antiderivata u desnom stupcu pronađite izvod, što rezultira odgovarajućim funkcijama u lijevom stupcu.
Neka pravila za pronalaženje antiderivata
Kao što znate, mnoge funkcije imaju složeniji oblik od onih navedenih u tabeli antiderivata, i mogu biti bilo koja proizvoljna kombinacija zbira i proizvoda funkcija iz ove tablice. I onda se postavlja pitanje kako izračunati antiderivate slične funkcije. Na primjer, iz tabele znamo kako izračunati antiderivate $x^3$, $\sin x$ i $10$. Ali kako, na primjer, izračunati antiderivat $x^3-10\sin x$? Gledajući unaprijed, vrijedi napomenuti da će biti jednako $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ako je $F(x)$ antiderivat za $f(x)$, $G(x)$ je za $g(x)$, onda za $f(x)+g(x)$ antiderivat će biti jednako $F(x)+G(x)$.
2. Ako je $F(x)$ antideritiv za $f(x)$ i $a$ je konstanta, tada je za $af(x)$ antideritiv $aF(x)$.
3. Ako je za $f(x)$ antiderivat $F(x)$, $a$ i $b$ su konstante, onda je $\frac(1)(a) F(ax+b)$ antiderivat za $f (ax+b)$.
Koristeći dobijena pravila možemo proširiti tabelu antiderivata.
| Funkcije | antiderivati |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Primjer 5 Pronađite antiderivate za:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Na ovoj stranici ćete pronaći:
1. Zapravo, tabela antiderivata - može se preuzeti u PDF format i print;
2. Video o tome kako koristiti ovu tabelu;
3. Gomila primjera izračunavanja antiderivata iz raznih udžbenika i testova.
U samom videu ćemo analizirati dosta problema u kojima je potrebno izračunati antiderivativne funkcije, često prilično složene, ali što je najvažnije, nisu po stepenu. Sve funkcije sažete u gore predloženoj tabeli moraju biti poznate napamet, poput izvedenica. Bez njih je nemoguće dalje proučavanje integrala i njihova primjena u rješavanju praktičnih problema.
Danas nastavljamo da se bavimo primitivima i prelazimo na malo složeniju temu. Ako smo prošli put razmatrali antiderivate samo iz funkcija stepena i nešto složenije strukture, danas ćemo analizirati trigonometriju i još mnogo toga.
Kao što sam rekao u prošloj lekciji, antiderivati se, za razliku od derivata, nikada ne rješavaju "prazno" korištenjem standardnih pravila. Nadalje, loše vijesti je da se, za razliku od derivata, antiderivat uopće ne može razmatrati. Ako pišemo savršeno slučajna funkcija i pokušamo pronaći njegov izvod, onda ćemo uspjeti sa vrlo velikom vjerovatnoćom, ali antiderivat se u ovom slučaju gotovo nikada neće izračunati. Ali postoji i dobre vijesti: postoji prilično velika klasa funkcija koje se nazivaju elementarnim, čije je antiderivate vrlo lako izračunati. A sve ostale složenije konstrukcije koje se zadaju na raznim kontrolama, samostalnim i ispitima, zapravo su sastavljene od ovih elementarnih funkcija sabiranjem, oduzimanjem i drugim jednostavnim radnjama. Antiderivati takvih funkcija odavno su izračunati i sažeti u posebne tabele. Upravo s takvim funkcijama i tablicama ćemo danas raditi.
Ali počet ćemo, kao i uvijek, s ponavljanjem: sjetite se šta je antideritiv, zašto ih ima beskonačno mnogo i kako ih odrediti. opšti oblik. Da bih to učinio, uzeo sam dva jednostavna zadatka.
Rješavanje lakih primjera
Primjer #1
Odmah primijetite da je $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ i prisustvo $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ nam odmah nagovještava da je traženi antiderivat funkcije povezan s trigonometrijom. I zaista, ako pogledamo tabelu, otkrićemo da $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nije ništa drugo nego $\text(arctg)x$. Pa da napišemo:
Da biste pronašli, morate napisati sljedeće:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Primjer #2
Ovdje također mi pričamo o trigonometrijskim funkcijama. Ako pogledamo tabelu, onda će, zaista, ispasti ovako:
Moramo pronaći među čitavim skupom antiderivata onaj koji prolazi kroz navedenu tačku:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Hajde da to konačno zapišemo:
To je tako jednostavno. Jedini problem je da se prebroje primitivci jednostavne funkcije, morate naučiti tabelu antiderivata. Međutim, nakon što naučite tablicu izvedenica za vas, pretpostavljam da to neće biti problem.
Rješavanje problema koji sadrže eksponencijalnu funkciju
Započnimo pisanjem sljedećih formula:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Pogledajmo kako sve ovo funkcionira u praksi.
Primjer #1
Ako pogledamo sadržaj zagrada, uočićemo da u tabeli antiderivata ne postoji izraz da je $((e)^(x))$ u kvadratu, pa se ovaj kvadrat mora otvoriti. Da bismo to učinili, koristimo skraćene formule za množenje:
Nađimo antiderivat za svaki od pojmova:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \desno))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \desno))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
A sada skupljamo sve pojmove u jedan izraz i dobijamo zajednički antiderivat:
Primjer #2
Ovaj put je eksponent već veći, pa će skraćena formula za množenje biti prilično komplikovana. Proširimo zagrade:
Pokušajmo sada uzeti antiderivat naše formule iz ove konstrukcije:
Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog i natprirodnog u antiderivacijama eksponencijalne funkcije. Sve se izračunava kroz tabele, međutim, pažljivi učenici će sigurno primijetiti da je antiderivat $((e)^(2x))$ mnogo bliži samo $((e)^(x))$ nego $((a) )^(x ))$. Dakle, možda postoji neko posebno pravilo koje dozvoljava, poznavajući antiderivativ $((e)^(x))$, da pronađemo $((e)^(2x))$? Da, postoji takvo pravilo. I, štaviše, sastavni je dio rada s tablicom antiderivata. Sada ćemo ga analizirati koristeći iste izraze s kojima smo upravo radili kao primjer.
Pravila za rad sa tabelom antiderivata
Prepišimo našu funkciju:
U prethodnom slučaju koristili smo sljedeću formulu za rješavanje:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Ali sada uradimo nešto drugačije: zapamtite na osnovu čega $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kao što je već rečeno, jer izvod od $((e)^(x))$ nije ništa drugo nego $((e)^(x))$, tako će njegov antiderivat biti jednak istom $((e) ^( x))$. Ali problem je što imamo $((e)^(2x))$ i $((e)^(-2x))$. Pokušajmo sada pronaći izvod $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Prepišimo ponovo našu konstrukciju:
\[((\left(((e)^(2x)) \desno))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \desno))^(\prime ))\]
A to znači da kada pronađemo antiderivat $((e)^(2x))$, dobijamo sljedeće:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Kao što vidite, dobili smo isti rezultat kao i prije, ali nismo koristili formulu da pronađemo $((a)^(x))$. Ovo može izgledati glupo: zašto komplicirati proračune kada postoji standardna formula? Međutim, u malo više složeni izrazi videćete da je ova tehnika veoma efikasna, tj. koristeći derivate za pronalaženje antiderivata.
Hajde da, kao zagrijavanje, pronađemo antiderivat od $((e)^(2x))$ na sličan način:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Prilikom izračuna, naša konstrukcija će biti napisana na sljedeći način:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Dobili smo potpuno isti rezultat, ali smo krenuli drugim putem. Upravo će ovaj način, koji nam se sada čini malo komplikovanijim, u budućnosti biti efikasniji za izračunavanje složenijih antiderivata i korištenje tabela.
Bilješka! Ovo je veoma važna tačka: antiderivati, kao i derivati, mogu se računati kao skup razne načine. Međutim, ako su svi proračuni i proračuni jednaki, onda će odgovor biti isti. Upravo smo se u to uvjerili na primjeru $((e)^(-2x))$ - s jedne strane, ovaj antiderivativ smo izračunali "u cijelosti", koristeći definiciju i izračunavajući ga uz pomoć transformacija, na s druge strane, zapamtili smo da se $ ((e)^(-2x))$ može predstaviti kao $((\left(((e)^(-2)) \desno))^(x))$, a zatim koristite antiderivativ za funkciju $( (a)^(x))$. Međutim, nakon svih transformacija, rezultat je isti kao što se očekivalo.
A sada kada sve ovo razumijemo, vrijeme je da pređemo na nešto značajnije. Sada ćemo analizirati dvije jednostavne konstrukcije, međutim, tehnika koja će biti ugrađena u njihovo rješenje je snažnija i koristan alat nego jednostavno "trčanje" između susednih primitiva iz tabele.
Rješavanje problema: pronaći antiderivat funkcije
Primjer #1
Dajte iznos koji se nalazi u brojiocima, razložite na tri odvojena razlomka:
Ovo je prilično prirodna i razumljiva tranzicija - većina učenika nema problema s tim. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:
Sada se prisjetimo ove formule:
U našem slučaju dobićemo sledeće:
Da biste se riješili svih ovih trokatnih frakcija, predlažem da učinite sljedeće:
Primjer #2
Za razliku od prethodnog razlomka, nazivnik nije proizvod, već zbir. U ovom slučaju više ne možemo dijeliti naš razlomak zbirom nekoliko jednostavnih razlomaka, ali moramo nekako pokušati osigurati da brojnik sadrži približno isti izraz kao i nazivnik. U ovom slučaju, to je prilično lako učiniti:
Takva notacija, koja se na jeziku matematike zove "dodavanje nule", omogućit će nam da ponovo podijelimo razlomak na dva dijela:
Hajde sada da pronađemo ono što smo tražili:
To su sve kalkulacije. Uprkos očigledno većoj složenosti nego u prethodnom problemu, količina proračuna se pokazala još manjom.
Nijanse rješenja
I tu leži glavna poteškoća u radu sa tabelarnim primitivima, to je posebno uočljivo u drugom zadatku. Činjenica je da da bismo odabrali neke elemente koji se lako broje kroz tabelu, moramo znati šta tačno tražimo, a upravo u potrazi za tim elementima sastoji se čitavo izračunavanje antiderivata.
Drugim rečima, nije dovoljno samo zapamtiti tabelu antiderivata – potrebno je da vidite nešto čega još nema, već šta je mislio autor i sastavljač ovog problema. Zbog toga se mnogi matematičari, nastavnici i profesori neprestano raspravljaju: "Šta je uzimanje antiderivata ili integracija - da li je to samo alat ili je prava umjetnost?" Zapravo, po mom ličnom mišljenju, integracija i nije umjetnost – u njoj nema ničeg uzvišenog, to je samo vježba i opet praksa. A da vježbamo, riješimo još tri ozbiljnija primjera.
Praksa integracije u praksi
Zadatak #1
Napišimo sljedeće formule:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\do \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Hajde da napišemo sledeće:
Zadatak #2
Prepišimo to na sljedeći način:
Ukupni antiderivat će biti jednak:
Zadatak #3
Teškoća ovog zadatka leži u činjenici da, za razliku od prethodne funkcije na vrhu uopšte ne postoji varijabla $x$, tj. nije nam jasno šta dodati, oduzeti da bismo dobili bar nešto slično ovome ispod. Međutim, u stvari, ovaj izraz se smatra čak jednostavnijim od bilo kojeg izraza iz prethodnih konstrukcija, jer ovu funkciju može se prepisati ovako:
Sada možete pitati: zašto su ove funkcije jednake? hajde da proverimo:
Hajde da prepišemo ponovo:
Hajde da malo promenimo izraz:
I kad sve ovo objasnim svojim studentima, skoro uvijek se javlja isti problem: sa prvom funkcijom je sve manje-više jasno, sa drugom možete i srećom ili vježbom odgonetnuti, ali kakva alternativna svijest da trebate imati da biste riješili treći primjer? Zapravo, nemoj se plašiti. Tehnika koju smo koristili pri izračunavanju posljednjeg antiderivata zove se „dekomponiranje funkcije na najjednostavniju“, a ovo je vrlo ozbiljna tehnika, kojoj će biti posvećena posebna video lekcija.
U međuvremenu, predlažem da se vratimo na ono što smo upravo proučavali, naime, na eksponencijalne funkcije i donekle zakompliciramo zadatke njihovim sadržajem.
Složeniji problemi za rješavanje antiderivativnih eksponencijalnih funkcija
Zadatak #1
Obratite pažnju na sljedeće:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \desno))^(x))=((10)^(x) )\]
Da biste pronašli antiderivat ovog izraza, jednostavno koristite standardnu formulu $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
U našem slučaju, primitiv će biti ovakav:
Naravno, na pozadini konstrukcije koju smo upravo riješili, ova izgleda jednostavnije.
Zadatak #2
Opet, lako je vidjeti da je ovu funkciju lako podijeliti na dva odvojena pojma - dva odvojena razlomka. Prepišimo:
Ostaje da pronađemo antiderivat svakog od ovih pojmova prema gornjoj formuli:
Uprkos naizgled složenosti eksponencijalne funkcije u poređenju sa energetskim, ukupna količina proračuna i proračuna se pokazala mnogo jednostavnijom.
Naravno, za upućene studente, ono čime smo se upravo bavili (posebno na pozadini onoga čime smo se ranije bavili) može izgledati elementarni izrazi. Međutim, birajući ova dva zadatka za današnji video tutorijal, nisam si postavio za cilj da vam kažem još jedan složen i otmjen trik - sve što sam želio da vam pokažem je da se ne trebate bojati koristiti standardne algebarske trikove za transformaciju originalnih funkcija .
Koristeći "tajnu" tehniku
U zaključku, želio bih analizirati još jednu zanimljiv trik, što, s jedne strane, prevazilazi ono što smo danas uglavnom analizirali, ali, s druge strane, nije, prvo, nimalo komplikovano, tj. čak i studenti početnici ga mogu savladati, i, drugo, prilično se često nalazi na svim vrstama upravljanja i samostalan rad, tj. poznavanje toga će biti vrlo korisno pored poznavanja tabele antiderivata.
Zadatak #1
Očigledno, imamo nešto vrlo slično funkciji snage. Kako da postupimo u ovom slučaju? Razmislimo o tome: $x-5$ se ne razlikuje od $x$ ne toliko - samo je dodao $-5$. Hajde da to napišemo ovako:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Pokušajmo pronaći derivat $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ovo implicira:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ desno))^(\prime ))\]
Ne postoji takva vrijednost u tabeli, pa smo sada sami izveli ovu formulu standardna formula antiderivat za funkciju snage. Napišimo odgovor ovako:
Zadatak #2
Mnogim studentima koji pogledaju prvo rješenje može se učiniti da je sve vrlo jednostavno: dovoljno je zamijeniti $x$ u funkciji stepena linearnim izrazom i sve će doći na svoje mjesto. Nažalost, nije sve tako jednostavno, a sada ćemo to vidjeti.
Po analogiji s prvim izrazom, pišemo sljedeće:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\lijevo(4-3x \desno))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Vraćajući se na našu izvedenicu, možemo napisati:
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \desno))^(\prime ))\]
Odavde odmah slijedi:
Nijanse rješenja
Imajte na umu: ako se zadnji put, zapravo, ništa nije promijenilo, onda se u drugom slučaju, umjesto $-10$, pojavilo $-30$. Koja je razlika između $-10$ i $-30$? Očigledno, faktorom od $-3$. Pitanje: odakle je došlo? Ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da je uzet kao rezultat izračunavanja derivata kompleksne funkcije - koeficijent koji je iznosio $x$ pojavljuje se u antiderivatu ispod. Ovo je veoma važno pravilo, koji u početku uopće nisam planirao analizirati u današnjem video tutorijalu, ali bez njega prikaz tabelarnih antiderivata ne bi bio potpun.
Pa hajde da to uradimo ponovo. Neka bude naša glavna funkcija snage:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
A sada umjesto $x$ zamijenimo izraz $kx+b$. Šta će se tada dogoditi? Moramo pronaći sljedeće:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \desno)\cdot k)\]
Na osnovu čega to tvrdimo? Veoma jednostavno. Nađimo derivat gore napisane konstrukcije:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\lijevo(kx+b \desno))^(n))\]
Ovo je isti izraz koji je bio izvorno. Dakle, i ova formula je tačna i može se koristiti za dopunu tabele antiderivata, ali je bolje zapamtiti celu tabelu.
Zaključci iz "tajne: prijema:
- Obje funkcije koje smo upravo razmatrali, zapravo, mogu se svesti na antiderivate naznačene u tabeli otvaranjem stepeni, ali ako možemo više-manje nekako izaći na kraj sa četvrtim stepenom, onda deveti stepen uopšte ne bih radio. usudio otkriti.
- Kada bismo otkrili stepene, onda bismo dobili toliki obim proračuna da bi nas jednostavan zadatak odveo neadekvatno veliki broj vrijeme.
- Zato takve zadatke, unutar kojih se nalaze linearni izrazi, ne treba rješavati "prazno". Čim sretnete antideritiv, koji se od onog u tabeli razlikuje samo po prisustvu izraza $kx+b$ unutra, odmah se setite formule napisane iznad, zamenite je u svoj tabelarni antideritiv i sve će ispasti mnogo brže i lakše.
Naravno, zbog složenosti i ozbiljnosti ove tehnike, više puta ćemo se vraćati na njeno razmatranje u budućim video tutorijalima, ali za danas imam sve. Nadam se da će ova lekcija zaista pomoći onim učenicima koji žele razumjeti antiderivate i integraciju.
Školski kurs algebre uključuje integraciju i diferencijaciju. Da biste proučili ovaj materijal, trebate tablice izvoda i integrala. Da biste razumjeli kako ih koristiti, morate definirati osnovne pojmove.
Derivat f(x) je karakteristika intenziteta promjene antiderivativne funkcije F(x) u bilo kojoj tački na grafu. Izražava granični omjer prirasta funkcije i njenog argumenta koji teži nuli. Ako funkcija ima konačan izvod u nekoj tački, onda je diferencijabilna. Izračunavanje derivata je diferencijacija.
Integral∫ je recipročna vrijednost derivacije, koja izražava veličinu površine određenog dijela grafa. Proces integracije je pronalaženje antiderivativne funkcije.
Ista funkcija može imati nekoliko antiderivata. Na primjer, x^2. Njegovi glavni antiderivati su x^3/3; x^3/3+1. Posljednja znamenka je označena slovom C, a formula je sljedeća:
Ako C predstavlja ima proizvoljnu vrijednost, integral je neodređen; ako je konkretan, određen je.
Tablice derivacijskih funkcija i tablice integrala pomoći će vam da se brzo i pravilno nosite sa složenim matematičkim zadacima. Uključuju najčešće korištene vrijednosti tako da učenici ne moraju pamtiti veliki broj formula.
Tablica derivacijskih funkcija
To neophodni materijali uvijek bili pri ruci, možete preuzeti tabelu formula za derivate . Sadrži formule za izračunavanje izvoda glavnih elementarnih funkcija:
- trigonometrijski;
- logaritamski;
- snaga;
- eksponencijalna.
Osim toga, postoji posebna tablica izvoda složenih funkcija. Sadrži i formule za proizvod funkcija, njihov zbir i količnik.
Tabela neodređenih i određenih integrala
Da biste brzo i ispravno izvršili zadatke integracije, možete preuzimanje tablica integrala, koji sadrži sve najčešće korištene formule. Sastoje se od dvije kolone: prva sadrži matematičke formule, drugo - pismena objašnjenja.
Uključeni stolovi osnovni integrali sljedeće karakteristike:
- racionalno;
- eksponencijalni;
- logaritamski;
- iracionalno;
- trigonometrijski;
- hiperbolično.
Osim toga, možete preuzeti tablicu neodređenih integrala.
Varalice sa tablicama integrala i izvodnica
Mnogi nastavnici zahtijevaju od učenika da pamte složene formule. Najlakši način za pamćenje je stalna vježba, a da biste imali potrebne materijale pri ruci, potrebno ih je odštampati.
Cheat sheet sa tablicama izvedenica a integrali će vam pomoći da brzo zapamtite sve potrebne formule i uspješno položite ispite. Da biste ga učinili kompaktnim i jednostavnim za korištenje, trebate odabrati format A5 - pola običnog lista.
