Në më shumë material i hershëm u shqyrtua çështja e gjetjes së derivatit dhe u shfaqën aplikimet e tij të ndryshme: llogaritja e pjerrësisë së tangjentes në grafik, zgjidhja e problemeve të optimizimit, studimi i funksioneve për monotoni dhe ekstreme. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ komanda e re (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arcctg)) \ nolimits) $
Foto 1.
Është shqyrtuar gjithashtu problemi i gjetjes së shpejtësisë së menjëhershme $ v (t) $ duke përdorur derivatin përgjatë rrugës së përshkuar më parë, të shprehur me funksionin $ s (t) $.
Figura 2.
Problemi i anasjelltë haset shumë shpesh, kur ju duhet të gjeni rrugën $ s (t) $ të përshkuar nga një pikë në kohë $ t $, duke ditur shpejtësinë e lëvizjes së pikës $ v (t) $. Nëse kujtojmë, shpejtësia e menjëhershme $ v (t) $ gjendet si një derivat i funksionit të rrugës $ s (t) $: $ v (t) = s '(t) $. Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin e anasjelltë, domethënë për të llogaritur rrugën, duhet të gjeni një funksion derivati i të cilit do të jetë i barabartë me funksionin e shpejtësisë. Por ne e dimë se derivati i shtegut është shpejtësia, domethënë: $ s '(t) = v (t) $. Shpejtësia është e barabartë me produktin e nxitimit dhe kohës: $ v = në $. Është e lehtë të përcaktohet se funksioni i kërkuar i rrugës do të ketë formën: $ s (t) = \ frac (në ^ 2) (2) $. Por kjo nuk është një zgjidhje e plotë. Zgjidhje e plotë do të ketë formën: $ s (t) = \ frac (në ^ 2) (2) + C $, ku $ C $ është një konstante. Pse është kështu, do të diskutohet më vonë. Ndërkohë, le të kontrollojmë korrektësinë e zgjidhjes së gjetur: $ s "(t) = \ majtas (\ frac (në ^ 2) (2) + C \ djathtas)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v (t) $.
Vlen të përmendet se gjetja e një shtegu me shpejtësi është kuptimi fizik i antiderivativit.
Funksioni që rezulton $ s (t) $ thirret funksioni antiderivativ$ v (t) $. Mjaft interesante dhe emër i pazakontë, nuk është ajo. Ka një kuptim të madh që shpjegon thelbin të këtij koncepti dhe çon në kuptimin e tij. Ju mund të shihni se ai përmban dy fjalë "së pari" dhe "imazh". Ata flasin vetë. Domethënë, ky është funksioni që është inicial për derivatin që kemi. Dhe ne e kërkojmë këtë derivat për funksionin që ishte në fillim, ishte "i pari", "imazhi i parë", pra antiderivati. Nganjëherë quhet edhe funksion primitiv ose antiderivativ.
Siç e dimë tashmë, procesi i gjetjes së një derivati quhet diferencim. Dhe procesi i gjetjes së antiderivativit quhet integrim. Operacioni i integrimit është e kundërta e operacionit të diferencimit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.
Përkufizimi. Një antiderivativ për një funksion $ f (x) $ në një interval është një funksion $ F (x) $ derivati i të cilit është i barabartë me këtë funksion $ f (x) $ për të gjitha $ x $ nga intervali i specifikuar: $ F '( x) = f (x) $.
Dikush mund të ketë një pyetje: nga erdhën $ F (x) $ dhe $ f (x) $ në përkufizim, nëse fillimisht ishte rreth $ s (t) $ dhe $ v (t) $. Çështja është se $ s (t) $ dhe $ v (t) $ janë raste të veçanta të shënimit për funksionet që kanë në në këtë rast kuptimi specifik, përkatësisht është funksion i kohës dhe funksion i shpejtësisë. Është e njëjta gjë me variablin $ t $ - është koha. Dhe $ f $ dhe $ x $ janë versionet tradicionale të shënimit të përgjithshëm për një funksion dhe një ndryshore, përkatësisht. ia vlen të kthehet Vëmendje e veçantë me shënimin e antiderivativit $ F (x) $. Së pari, $ F $ është kapitalizuar. Shënohen antiderivatet me shkronja të mëdha... Së dyti, shkronjat përputhen: $ F $ dhe $ f $. Kjo do të thotë, për funksionin $ g (x) $ antiderivati do të shënohet me $ G (x) $, për $ z (x) $ - $ Z (x) $. Pavarësisht nga shënimi, rregullat për gjetjen e funksionit antiderivativ janë gjithmonë të njëjta.
Le të shohim disa shembuj.
Shembulli 1. Vërtetoni se funksioni $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ është antiderivativ i funksionit $ f (x) = \ cos5x $.
Për vërtetim, ne përdorim përkufizimin, ose më mirë faktin që $ F '(x) = f (x) $, dhe gjejmë derivatin e funksionit $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5 ) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. Pra, $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ është antiderivativ i $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.
Shembulli 2. Gjeni se çfarë funksionesh korrespondojnë antiderivativët e mëposhtëm: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (l) = \ sin l $.
Për të gjetur funksionet e kërkuara, le të llogarisim derivatet e tyre:
a) $ F '(z) = (\ tg z)' = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) '= \ cos l $.
Shembulli 3. Cili është antiderivati për $ f (x) = 0 $?
Le të përdorim përkufizimin. Le të mendojmë se cili funksion mund të ketë një derivat të barabartë me 0 $. Duke kujtuar tabelën e derivateve, gjejmë se çdo konstante do të ketë një derivat të tillë. Ne marrim se antiderivati që kërkojmë: $ F (x) = C $.
Zgjidhja që rezulton mund të shpjegohet gjeometrikisht dhe fizikisht. Gjeometrikisht do të thotë që tangjentja e grafikut $ y = F (x) $ është horizontale në secilën pikë të këtij grafiku dhe, për rrjedhojë, përkon me boshtin $ Ox $. Shpjegohet fizikisht me faktin se një pikë me një shpejtësi, e barabartë me zero, mbetet në vend, pra rruga e përshkuar prej saj është e pandryshuar. Bazuar në këtë, ne mund të formulojmë teoremën e mëposhtme.
Teorema. (Shenja e qëndrueshmërisë së funksioneve). Nëse në një interval $ F '(x) = 0 $, atëherë funksioni $ F (x) $ është konstant në këtë interval.
Shembulli 4. Përcaktoni se cilët funksione janë antiderivativë a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $, ku $ a $ është një numër.
Duke përdorur përkufizimin e antiderivativit, arrijmë në përfundimin se për të zgjidhur këtë problem, duhet të llogarisim derivatet e të dhënave për ne. funksione të ndryshme... Kur llogaritni, mbani mend se derivati i një konstante, domethënë çdo numër, është i barabartë me zero.
a) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ majtas (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ djathtas) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) '= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) '= x ^ 6 $.
Çfarë shohim? Disa funksione të ndryshme janë antiderivate të të njëjtit funksion. Kjo do të thotë se çdo funksion ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe ata kanë formën $ F (x) + C $, ku $ C $ është një konstante arbitrare. Domethënë, operacioni i integrimit është shumëvlerësor, në kontrast me operacionin e diferencimit. Bazuar në këtë, le të formulojmë një teoremë që përshkruan vetinë kryesore të antiderivativëve.
Teorema. (Vetia kryesore e antiderivave). Le të jenë funksionet $ F_1 $ dhe $ F_2 $ antiderivativët e funksionit $ f (x) $ në një interval. Pastaj, për të gjitha vlerat nga ky interval, barazia e mëposhtme është e vërtetë: $ F_2 = F_1 + C $, ku $ C $ është një konstante.
Fakti që ka një numër të pafund antiderivativësh mund të interpretohet gjeometrikisht. Duke përdorur përkthimin paralel përgjatë boshtit $ Oy $, ju mund të merrni nga njëri-tjetri grafikët e çdo dy antiderivativësh për $ f (x) $. Ky është kuptimi gjeometrik i antiderivativit.
Është shumë e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje faktit se duke zgjedhur konstanten $ C $ është e mundur të arrihet kalimi i grafikut antiderivativ në një pikë të caktuar.
Figura 3.
Shembulli 5. Gjeni antiderivativin për funksionin $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $, grafiku i të cilit kalon në pikën $ (3; 1) $.
Së pari, gjeni të gjithë antiderivativët për $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
Më pas, gjejmë një numër C për të cilin grafiku $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ do të kalojë nëpër pikën $ (3; 1) $. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e grafikut dhe e zgjidhim atë në lidhje me $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $.
Ne morëm grafikun $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, që korrespondon me antiderivativin $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.
Tabela e antiderivativëve
Një tabelë e formulave për gjetjen e antiderivativëve mund të përpilohet duke përdorur formulat e derivateve.
| Funksione | Antiderivatet |
| $0$ | $ C $ |
| $1$ | $ x + C $ |
| $ a \ në R $ | $ sëpatë + C $ |
| $ x ^ n, n \ ne1 $ | $ \ stili i ekranit \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $ |
| $ \ stili i shfaqjes \ frac (1) (x) $ | $ \ ln | x | + C $ |
| $ \ mëkat x $ | $ - \ cos x + C $ |
| $ \ kosto x $ | $ \ sin x + C $ |
| $ \ stili i shfaqjes \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $ | $ - \ ctg x + C $ |
| $ \ stili i ekranit \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $ | $ \ tg x + C $ |
| $ e ^ x $ | $ e ^ x + C $ |
| $ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $ | $ \ stili i ekranit \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $ |
| $ \ stili i ekranit \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arcsin x + C $ |
| $ \ stili i shfaqjes - \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arccos x + C $ |
| $ \ stili i ekranit \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arctg x + C $ |
| $ \ stili i shfaqjes - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arcctg x + C $ |
Ju mund të kontrolloni saktësinë e tabelës si më poshtë: për çdo grup antiderivativësh të vendosur në kolonën e djathtë, gjeni derivatin, si rezultat i të cilit do të merren funksionet përkatëse në kolonën e majtë.
Disa rregulla për gjetjen e antiderivativëve
Siç e dini, shumë funksione kanë një formë më komplekse sesa ato të treguara në tabelën e antiderivativëve dhe mund të jenë çdo kombinim arbitrar i shumave dhe produkteve të funksioneve nga kjo tabelë. Dhe pastaj lind pyetja, si të llogariten antiderivativët funksione të ngjashme... Për shembull, nga tabela ne dimë se si të llogarisim antiderivativët $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ dhe $ 10 $. Dhe si, për shembull, të llogaritet antiderivativi $ x ^ 3-10 \ sin x $? Duke parë përpara, vlen të përmendet se do të jetë e barabartë me $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. Nëse $ F (x) $ është një antiderivativ për $ f (x) $, $ G (x) $ është për $ g (x) $, atëherë për $ f (x) + g (x) $ antiderivativi do të jetë e barabartë me $ F (x) + G (x) $.
2. Nëse $ F (x) $ është një antiderivativ për $ f (x) $ dhe $ a $ është një konstante, atëherë $ aF (x) $ do të jetë një antiderivativ për $ af (x) $.
3. Nëse për $ f (x) $ antiderivati është $ F (x) $, $ a $ dhe $ b $ janë konstante, atëherë $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ është antiderivativ për $ f (sëpatë + b) $.
Duke përdorur rregullat e marra, ne mund të zgjerojmë tabelën e antiderivativëve.
| Funksione | Antiderivatet |
| $ (sëpatë + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $ | $ \ stili i shfaqjes \ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $ |
| $ \ stili i ekranit \ frac (1) (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ stili i ekranit \ frac (1) (a) \ ln | sëpatë + b | + C $ |
| $ e ^ (sëpatë + b), a \ ne0 $ | $ \ stili i shfaqjes \ frac (1) (a) e ^ (apatë + b) + C $ |
| $ \ sin (sëpatë + b), a \ ne0 $ | $ \ stili i shfaqjes - \ frac (1) (a) \ cos (ax + b) + C $ |
| $ \ cos (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ stili i ekranit \ frac (1) (a) \ sin (sëpatë + b) + C $ |
Shembulli 5. Gjeni antiderivativë për:
a) $ \ stili i shfaqjes 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;
b) $ \ stili i shfaqjes \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;
c) $ \ stili i ekranit 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;
d) $ \ stili i shfaqjes \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $.
a) 4 $ \ frak (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frak (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frak (5) (4) x ^ 8 + C $;
b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;
c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;
d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.
Në këtë faqe do të gjeni:
1. Në fakt, tabela e antiderivativëve - mund ta shkarkoni në format PDF dhe printoni;
2. Video se si të përdoret kjo tabelë;
3. Një mori shembujsh të llogaritjes së antiderivativit nga tekste dhe teste të ndryshme.
Në vetë videon do të analizojmë shumë probleme ku kërkohet llogaritja e antiderivateve të funksioneve, të cilat shpesh janë mjaft komplekse, por më e rëndësishmja, nuk janë eksponenciale. Të gjitha funksionet e përmbledhura në tabelën e mësipërme, duhet t'i dini përmendësh, si derivatet. Pa to, studimi i mëtejshëm i integraleve dhe aplikimi i tyre për zgjidhjen e problemeve praktike është i pamundur.
Sot vazhdojmë të merremi me antiderivatet dhe kalojmë në një temë paksa më komplekse. Nëse herën e fundit kemi konsideruar antiderivatet vetëm nga funksionet e fuqisë dhe ndërtimet pak më komplekse, sot do të analizojmë trigonometrinë dhe shumë më tepër.
Siç thashë në mësimin e fundit, antiderivativët, në krahasim me derivatet, nuk zgjidhen kurrë "me kokë" duke përdorur ndonjë rregull standard. Për më tepër, lajm i keq konsiston në faktin se, ndryshe nga derivati, antiderivati mund të mos merret fare në konsideratë. Nëse shkruajmë në mënyrë perfekte funksion i rastësishëm dhe do të përpiqemi të gjejmë derivatin e tij, atëherë ka shumë mundësi që t'ia dalim, por antiderivati pothuajse nuk llogaritet në këtë rast. Por ka edhe Lajme te mira: ekziston një klasë mjaft e gjerë funksionesh të quajtura elementare, antiderivatet e të cilave janë shumë të lehta për t'u numëruar. Dhe të gjitha ndërtimet e tjera më komplekse që jepen në të gjitha llojet e kontrollit, të pavarura dhe ekzaminimet, në fakt, përbëhen nga këto funksione elementare me mbledhje, zbritje dhe veprime të tjera të thjeshta. Antiderivativët e funksioneve të tilla janë llogaritur dhe përmbledhur prej kohësh në tabela të veçanta. Është me funksione dhe tabela të tilla që ne do të punojmë sot.
Por ne do të fillojmë, si gjithmonë, me përsëritje: le të kujtojmë se çfarë është një antiderivativ, pse ka pafundësisht shumë prej tyre dhe si t'i përkufizojmë ato. formë e përgjithshme... Për këtë kam zgjedhur dy detyra të thjeshta.
Zgjidhja e shembujve të lehtë
Shembulli nr. 1
Vini re menjëherë se $ \ frac (\ tekst () \! \! \ Pi \! \! \ Teksti ()) (6) $ dhe, në përgjithësi, prania e $ \ tekstit () \! \! \ Pi \! \! \ teksti () $ menjëherë na lë të kuptohet se antiderivati i funksionit të dëshiruar është i lidhur me trigonometrinë. Në të vërtetë, nëse shikojmë tabelën, gjejmë se $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ nuk është asgjë më shumë se $ \ tekst (arctg) x $. Pra, ne do të shkruajmë:
Për të gjetur, duhet të shkruani sa vijon:
\ [\ frac (\ pi) (6) = \ tekst (arctg) \ sqrt (3) + C \]
\ [\ frac (\ tekst () \! \! \ pi \! \! \ tekst ()) (6) = \ frac (\ tekst () \! \! \ pi \! \! \ tekst ()) (3) + C \]
Shembulli nr. 2
Këtu gjithashtu vjen rreth funksioneve trigonometrike. Nëse shikojmë tabelën, atëherë, me të vërtetë, do të dalë kështu:
Ne kemi nevojë, midis të gjithë grupit të antiderivativëve, të gjejmë atë që kalon në pikën e specifikuar:
\ [\ tekst () \! \! \ pi \! \! \ tekst () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]
\ [\ tekst () \! \! \ pi \! \! \ tekst () = \ frac (\ tekst () \! \! \ pi \! \! \ tekst ()) (6) + C \]
Le ta shkruajmë përfundimisht:
Është kaq e thjeshtë. Problemi i vetëm është numërimi i antiderivativëve funksione të thjeshta, duhet të mësoni tabelën e antiderivativëve. Megjithatë, pas shqyrtimit të tabelës së derivateve për ju, mendoj se nuk do të jetë problem.
Zgjidhja e problemeve që përmbajnë funksion eksponencial
Së pari, le të shkruajmë formulat e mëposhtme:
\ [((e) ^ (x)) \ në ((e) ^ (x)) \]
\ [((a) ^ (x)) \ në \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]
Le të shohim se si funksionon gjithçka në praktikë.
Shembulli nr. 1
Nëse shikojmë përmbajtjen e kllapave, do të vërejmë se në tabelën e antiderivativëve nuk ekziston një shprehje e tillë që $ ((e) ^ (x)) $ do të ishte në një katror, kështu që ky katror duhet të zgjerohet. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulat e shkurtuara të shumëzimit:
Le të gjejmë antiderivativin për secilin prej termave:
\ [((e) ^ (2x)) = ((\ majtas (((e) ^ (2)) \ djathtas)) ^ (x)) \ në \ frac (((\ majtas ((e) ^ (2)) \ djathtas)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ majtas (((e) ^ (- 2)) \ djathtas)) ^ (x)) \ në \ frac (((\ majtas ((e ) ^ (- 2)) \ djathtas)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]
Dhe tani le të mbledhim të gjitha termat në një shprehje të vetme dhe të marrim antiderivativin e përgjithshëm:
Shembulli nr. 2
Këtë herë, eksponenti është tashmë më i madh, kështu që formula për shumëzimin e shkurtuar do të jetë mjaft e ndërlikuar. Pra, le të zgjerojmë kllapat:
Tani do të përpiqemi të marrim antiderivatin e formulës sonë nga ky ndërtim:
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar dhe të mbinatyrshme në lidhje me funksionin eksponencial primitiv. Të gjitha numërohen përmes tabelave, por studentët e vëmendshëm ndoshta do të vënë re se antiderivati $ ((e) ^ (2x)) $ është shumë më afër vetëm me $ ((e) ^ (x)) $ sesa me $ ((a) ^ (x)) $. Pra, ndoshta ka ndonjë rregull më të veçantë që lejon, duke ditur antiderivativin $ ((e) ^ (x)) $, për të gjetur $ ((e) ^ (2x)) $? Po, ekziston një rregull i tillë. Dhe, për më tepër, është një pjesë integrale e punës me tabelën e antiderivativëve. Tani do ta analizojmë duke përdorur shembullin e të njëjtave shprehje me të cilat sapo kemi punuar.
Rregullat për të punuar me tabelën e antiderivativëve
Le të shkruajmë përsëri funksionin tonë:
Në rastin e mëparshëm, ne përdorëm formulën e mëposhtme për të zgjidhur:
\ [((a) ^ (x)) \ në \ frac (((a) ^ (x))) (\ emri i operatorit (lna)) \]
Por tani do të veprojmë pak më ndryshe: mbani mend mbi çfarë baze $ ((e) ^ (x)) \ në ((e) ^ (x)) $. Siç u tha tashmë, për shkak se derivati $ ((e) ^ (x)) $ nuk është asgjë më shumë se $ ((e) ^ (x)) $, kështu që antiderivati i tij do të jetë i barabartë me të njëjtin $ ((e) ^ ( x)) $. Por problemi është se ne kemi $ ((e) ^ (2x)) $ dhe $ ((e) ^ (- 2x)) $. Tani le të përpiqemi të gjejmë derivatin $ ((e) ^ (2x)) $:
\ [((\ majtas (((e) ^ (2x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ majtas (2x \ djathtas)) ^ ( \ kryesor)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]
Le të rishkruajmë përsëri ndërtimin tonë:
\ [((\ majtas (((e) ^ (2x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]
\ [((e) ^ (2x)) = ((\ majtas (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ djathtas)) ^ (\ prim)) \]
Kjo do të thotë që kur gjejmë antiderivativin $ ((e) ^ (2x)) $ ne marrim sa vijon:
\ [((e) ^ (2x)) \ në \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]
Siç mund ta shihni, ne morëm të njëjtin rezultat si më parë, por nuk përdorëm formulën për të gjetur $ ((a) ^ (x)) $. Tani kjo mund të duket budallallëk: pse të komplikohen llogaritjet kur ekziston një formulë standarde? Megjithatë, në pak më shumë shprehje komplekse do të zbuloni se kjo teknikë është shumë efektive, d.m.th. duke përdorur derivate për të gjetur antiderivativë.
Si një ngrohje, le të gjejmë antiderivativin e $ ((e) ^ (2x)) $ në një mënyrë të ngjashme:
\ [((\ majtas (((e) ^ (- 2x)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ majtas (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ djathtas)) ^ (\ prim)) \]
Gjatë llogaritjes, ndërtimi ynë do të shkruhet si më poshtë:
\ [((e) ^ (- 2x)) \ në - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) \ në - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]
Ne morëm saktësisht të njëjtin rezultat, por në të njëjtën kohë morëm një rrugë tjetër. Është kjo rrugë, e cila tani na duket pak më e ndërlikuar, më vonë do të rezultojë më efektive për llogaritjen e antiderivativëve më kompleksë dhe përdorimin e tabelave.
Shënim! Kjo është shumë pikë e rëndësishme: antiderivatet si dhe derivatet mund të numërohen si një grup menyra te ndryshme... Sidoqoftë, nëse të gjitha llogaritjet dhe llogaritjet janë të barabarta, atëherë përgjigja do të jetë e njëjtë. Ne sapo e pamë këtë në shembullin e $ ((e) ^ (- 2x)) $ - nga njëra anë, ne e numëruam këtë antiderivativ "drejtpërsëdrejti", duke përdorur përkufizimin dhe duke e llogaritur atë duke përdorur transformime, nga ana tjetër, ne kujtuam se $ ((e) ^ (- 2x)) $ mund të përfaqësohet si $ ((\ majtas ((e) ^ (- 2)) \ djathtas)) ^ (x)) $ dhe vetëm atëherë përdorëm antiderivativ për funksionin $ ( (a) ^ (x)) $. Megjithatë, pas të gjitha transformimeve, rezultati është i njëjtë siç pritej.
Dhe tani që i kemi kuptuar të gjitha këto, është koha të kalojmë në diçka më thelbësore. Tani do të analizojmë dy struktura të thjeshta, megjithatë, teknika që do të përdoret në zgjidhjen e tyre është më e fuqishme dhe mjet i dobishëm, në vend se një "vrapim" i thjeshtë midis antiderivativëve ngjitur nga tabela.
Zgjidhja e problemit: gjeni antiderivativin e një funksioni
Shembulli nr. 1
Le ta ndajmë shumën në numërues në tre thyesa të veçanta:
Ky është një tranzicion mjaft i natyrshëm dhe i kuptueshëm - shumica e studentëve nuk kanë probleme me të. Le ta rishkruajmë shprehjen tonë si më poshtë:
Tani le të kujtojmë këtë formulë:
Në rastin tonë, marrim sa vijon:
Për të hequr qafe të gjitha këto fraksione trekatëshe, unë sugjeroj të bëni sa më poshtë:
Shembulli nr. 2
Ndryshe nga thyesa e mëparshme, emëruesi nuk është prodhimi, por shuma. Në këtë rast, ne nuk mund ta ndajmë më thyesën tonë në shumën e disa thyesave të thjeshta, por duhet të përpiqemi disi të sigurohemi që numëruesi të përmbajë afërsisht të njëjtën shprehje si në emërues. Në këtë rast, është mjaft e thjeshtë për ta bërë këtë:
Ky shënim, i cili në gjuhën e matematikës quhet "shtimi i zeros", do të na lejojë të ndajmë përsëri thyesën në dy pjesë:
Tani le të gjejmë atë që po kërkonim:
Këto janë të gjitha llogaritjet. Pavarësisht kompleksitetit në dukje më të madh se në detyrën e mëparshme, sasia e llogaritjes doli të ishte edhe më e vogël.
Nuancat e zgjidhjes
Dhe këtu qëndron vështirësia kryesore e punës me antiderivatet tabelare, kjo është veçanërisht e dukshme në detyrën e dytë. Fakti është se për të zgjedhur disa elementë që numërohen lehtësisht përmes tabelës, duhet të dimë se çfarë saktësisht kërkojmë dhe pikërisht në kërkimin e këtyre elementeve përbëhet e gjithë llogaritja e antiderivativëve.
Me fjalë të tjera, nuk mjafton vetëm të mësosh përmendësh tabelën e antiderivativëve - duhet të jesh në gjendje të shohësh diçka që ende nuk ekziston, por çfarë do të thoshte autori dhe përpiluesi i këtij problemi. Kjo është arsyeja pse shumë matematikanë, mësues dhe profesorë vazhdimisht argumentojnë: "Çfarë është marrja e antiderivativëve apo integrimit - është thjesht një mjet apo është një art i vërtetë?" Në fakt, për mendimin tim personal, integrimi nuk është aspak një art - nuk ka asgjë sublime në të, është vetëm praktikë dhe përsëri praktikë. Dhe për të praktikuar, le të zgjidhim tre shembuj më seriozë.
Ne trajnojmë integrimin në praktikë
Problemi numër 1
Le të shkruajmë formulat e mëposhtme:
\ [((x) ^ (n)) \ në \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
\ [\ frac (1) (x) \ deri në \ ln x \]
\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ në \ tekst (arctg) x \]
Le të shkruajmë sa vijon:
Problemi numër 2
Le të rishkruajmë si më poshtë:
Antiderivati total do të jetë i barabartë me:
Problemi numër 3
Vështirësia e kësaj detyre është se, ndryshe nga funksionet e mëparshmeçdo variabël $ x $ mungon nga lart, d.m.th. nuk është e qartë për ne se çfarë të shtojmë, të zbresim në mënyrë që të marrim të paktën diçka të ngjashme me atë që është më poshtë. Mirëpo, në fakt, kjo shprehje konsiderohet edhe më e thjeshtë se çdo shprehje nga ndërtimet e mëparshme, sepse këtë funksion mund të rishkruhet si më poshtë:
Ndoshta ju po pyesni tani: pse këto funksione janë të barabarta? Le të kontrollojmë:
Ne gjithashtu do të rishkruajmë:
Le ta transformojmë pak shprehjen tonë:
Dhe kur ua shpjegoj të gjitha këto studentëve të mi, pothuajse gjithmonë lind i njëjti problem: me funksionin e parë, gjithçka është pak a shumë e qartë, edhe me të dytin, me fat apo praktikë, mund ta kuptoni, por çfarë lloj A duhet të keni vetëdije alternative për të zgjidhur shembullin e tretë? Në fakt, mos u shqetësoni. Teknika që kemi përdorur gjatë llogaritjes së antiderivativit të fundit quhet "zbërthimi i një funksioni në elemente elementare", dhe kjo është një teknikë shumë serioze dhe do t'i kushtohet një video tutorial i veçantë.
Ndërkohë, unë propozoj të kthehemi në atë që sapo kemi studiuar, domethënë, te funksionet eksponenciale dhe të ndërlikojmë disi detyrat me përmbajtjen e tyre.
Probleme më komplekse për zgjidhjen e funksioneve eksponenciale antiderivative
Problemi numër 1
Vini re sa vijon:
\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ majtas (2 \ cdot 5 \ djathtas)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]
Për të gjetur antiderivatin e kësaj shprehjeje, thjesht duhet të përdorni formulën standarde - $ ((a) ^ (x)) \ në \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.
Në rastin tonë, antiderivati do të jetë si ky:
Sigurisht, në sfondin e dizajnit që sapo zgjidhëm, ky duket më i thjeshtë.
Problemi numër 2
Përsëri, është e lehtë të shihet se ky funksion mund të ndahet lehtësisht në dy terma të veçantë - dy fraksione të veçanta. Le të rishkruajmë:
Mbetet për të gjetur antiderivativin e secilit prej këtyre termave sipas formulës së mësipërme:
Pavarësisht kompleksitetit të madh në dukje funksionet eksponenciale në krahasim me ligjin e pushtetit, shuma totale e llogaritjeve dhe llogaritjeve doli të jetë shumë më e thjeshtë.
Sigurisht, për studentët e ditur, ajo që sapo kemi analizuar (sidomos në sfondin e asaj që kemi analizuar më parë) mund të duket si shprehje elementare. Megjithatë, duke zgjedhur këto dy probleme për video-tutorialin e sotëm, nuk i vura vetes qëllim t'ju tregoja një truk tjetër kompleks dhe të sofistikuar - gjithçka që doja t'ju tregoja është se nuk duhet të keni frikë të përdorni truket standarde të algjebrës për të transformuar funksionet origjinale. .
Duke përdorur një teknikë "të fshehtë".
Si përfundim, do të doja të veçoja një tjetër truk interesant, e cila, nga njëra anë, shkon përtej asaj që kemi analizuar kryesisht sot, por, nga ana tjetër, është, para së gjithash, aspak e ndërlikuar, d.m.th. edhe studentët fillestarë mund ta zotërojnë atë, dhe, së dyti, ajo gjendet mjaft shpesh në të gjitha llojet e kontrollit dhe punë e pavarur, d.m.th. njohja e tij do të jetë shumë e dobishme përveç njohjes së tabelës së antiderivativëve.
Problemi numër 1
Natyrisht, ne kemi para nesh diçka shumë të ngjashme me një funksion fuqie. Çfarë duhet të bëjmë në këtë rast? Le të mendojmë për këtë: $ x-5 $ nuk është aq i ndryshëm nga $ x $ - ne sapo shtuam -5 $. Le ta shkruajmë kështu:
\ [((x) ^ (4)) \ në \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((\ majtas (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ djathtas)) ^ (\ prim)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]
Le të përpiqemi të gjejmë derivatin e $ ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (5)) $:
\ [((\ majtas ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (5)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (4)) \ cdot ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (4)) \]
Kjo nënkupton:
\ [((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (4)) = ((\ majtas (\ frac ((\ majtas (x-5 \ djathtas)) ^ (5))) (5) \ djathtas)) ^ (\ kryeministër)) \]
Nuk ka një vlerë të tillë në tabelë, kështu që ne tani e kemi nxjerrë vetë këtë formulë duke përdorur formula standarde antiderivativ për një funksion fuqie. Le ta shkruajmë përgjigjen kështu:
Problemi numër 2
Për shumë studentë që shikojnë zgjidhjen e parë, mund t'u duket se gjithçka është shumë e thjeshtë: thjesht zëvendësoni $ x $ në funksionin e fuqisë me një shprehje lineare dhe gjithçka do të bjerë në vend. Fatkeqësisht, gjithçka nuk është aq e thjeshtë, dhe tani do të bindemi për këtë.
Në analogji me shprehjen e parë, shkruani sa vijon:
\ [((x) ^ (9)) \ në \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]
\ [((\ majtas ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (10)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (9)) \ cdot ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (\ prim)) = \]
\ [= 10 \ cdot ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (9)) \ cdot \ majtas (-3 \ djathtas) = - 30 \ cdot ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (9) \]
Duke u kthyer te derivati ynë, mund të shkruajmë:
\ [((\ majtas ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (10)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = - 30 \ cdot ((\ majtas (4-3x \ djathtas) ) ^ (9)) \]
\ [((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (9)) = ((\ majtas (\ frac ((\ majtas (4-3x \ djathtas)) ^ (10))) (- 30) \ djathtas)) ^ (\ kryeministër)) \]
Nga kjo rrjedh menjëherë:
Nuancat e zgjidhjes
Ju lutemi vini re: nëse herën e fundit asgjë nuk ka ndryshuar në thelb, atëherë në rastin e dytë u shfaq -30 $ në vend të -10 $. Cili është ndryshimi midis -10 $ dhe -30 $? Natyrisht me një faktor prej -3 $. Pyetje: nga erdhi? Duke parë nga afër, mund të shihni se është marrë si rezultat i llogaritjes së derivatit të një funksioni kompleks - koeficienti që qëndronte në $ x $ shfaqet në antiderivativin në fund. Kjo është shumë rregull i rëndësishëm, të cilin fillimisht nuk kisha në plan ta analizoja fare në video tutorialin e sotëm, por pa të, prezantimi i antiderivativëve tabelare do të ishte i paplotë.
Pra, le të shkojmë përsëri. Le të jetë funksioni ynë kryesor i fuqisë:
\ [((x) ^ (n)) \ në \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
Tani, në vend të $ x $, le të zëvendësojmë shprehjen $ kx + b $. Çfarë do të ndodhë atëherë? Ne duhet të gjejmë sa vijon:
\ [((\ majtas (kx + b \ djathtas)) ^ (n)) \ në \ frac (((\ majtas (kx + b \ djathtas)) ^ (n + 1))) (\ majtas (n + 1 \ djathtas) \ cdot k) \]
Mbi çfarë baze e pohojmë këtë? Shume e thjeshte. Le të gjejmë derivatin e ndërtimit të mësipërm:
\ [((\ majtas (\ frac ((\ majtas (kx + b \ djathtas)) ^ (n + 1))) (\ majtas (n + 1 \ djathtas) \ cdot k) \ djathtas)) ^ ( \ prime)) = \ frac (1) (\ majtas (n + 1 \ djathtas) \ cdot k) \ cdot \ majtas (n + 1 \ djathtas) \ cdot ((\ majtas (kx + b \ djathtas)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ majtas (kx + b \ djathtas)) ^ (n)) \]
Kjo është e njëjta shprehje që ishte fillimisht. Kështu, kjo formulë është gjithashtu e saktë dhe mund të përdoret për të plotësuar tabelën e antiderivativëve, ose është më mirë të mbani mend të gjithë tabelën.
Përfundime nga teknika "sekret:"
- Të dy funksionet që sapo kemi shqyrtuar, në fakt, mund të reduktohen në antiderivativët e treguar në tabelë duke zgjeruar shkallët, por nëse akoma pak a shumë e përballojmë disi shkallën e katërt, atëherë nuk do ta përballoja aspak të nëntën. shkalla e guximshme për të zbuluar.
- Nëse do të zbulonim shkallët, atëherë do të merrnim një vëllim të tillë llogaritjesh që një detyrë e thjeshtë do të na merrte në mënyrë të pamjaftueshme nje numer i madh i koha.
- Kjo është arsyeja pse probleme të tilla, brenda të cilave ka shprehje lineare, nuk kanë nevojë të zgjidhen "menjëherë". Sapo të hasni në një antiderivativ, i cili ndryshon nga ai në tabelë, vetëm nga prania e shprehjes $ kx + b $ brenda, kujtoni menjëherë formulën e shkruar më sipër, zëvendësojeni atë në antiderivativin e tabelës tuaj dhe gjithçka do të kthehet të dalë shumë më shpejt dhe më lehtë për ju.
Natyrisht, për shkak të kompleksitetit dhe seriozitetit të kësaj teknike, ne do të kthehemi vazhdimisht në shqyrtimin e saj në mësimet e ardhshme video, por për sot kam gjithçka. Shpresojmë që ky tutorial të ndihmojë vërtet ata studentë që duan të kuptojnë antiderivativët dhe integrimin.
Kursi i algjebrës shkollore përfshin integrimin dhe diferencimin. Për të studiuar këtë material, ju duhet tabelat e derivateve dhe integraleve... Për të kuptuar se si t'i përdorni ato, duhet të përcaktoni termat bazë.
Derivat f (x) është një karakteristikë e intensitetit të ndryshimeve në funksionin antiderivativ F (x) në çdo pikë të grafikut. Ai shpreh raportin kufizues të rritjeve të një funksioni dhe argumentit të tij që priret në zero. Në rast se një funksion ka një derivat të fundëm në një moment, atëherë ai është i diferencueshëm. Llogaritja e derivateve është diferencim.
Integrale∫ është inversi i derivatit, i cili shpreh madhësinë e sipërfaqes së një pjese të caktuar të grafikut. Procesi i integrimit ka të bëjë me gjetjen e funksionit antiderivativ.
I njëjti funksion mund të ketë disa antiderivate. Për shembull, x ^ 2. Antiderivativët kryesorë për të janë x ^ 3/3; x ^ 3/3 + 1. Shifra e fundit përcaktohet me shkronjën C dhe formula është si më poshtë:
Nëse C përfaqëson një vlerë arbitrare, integrali është i papërcaktuar, nëse specifika është e përcaktuar.
Tabelat e funksioneve të prejardhura dhe tabela integrale do t'ju ndihmojë të përballeni shpejt dhe saktë me problemet komplekse të matematikës. Ato përfshijnë vlerat më të përdorura në mënyrë që studentët të mos kenë nevojë të mësojnë përmendësh një numër të madh formulash.
Tabela e funksioneve të derivuara
për të materialet e nevojshme ishin gjithmonë pranë, mund të shkarkoni tabelën e formulave të derivateve . Ai përmban formula për llogaritjen e derivateve të funksioneve elementare bazë:
- trigonometrike;
- logaritmike;
- fuqia e ligjit;
- eksponenciale.
Përveç kësaj, ka një të veçantë tabela derivatore e funksioneve komplekse... Ai përmban gjithashtu formula për prodhimin e funksioneve, shumën dhe koeficientin e tyre.
Tabela e integraleve të pacaktuara dhe të përcaktuara
Për të kryer shpejt dhe saktë detyrat e integrimit, mundeni shkarko tabelat e integraleve, në të cilin janë mbledhur të gjitha formulat më të përdorura. Ato përbëhen nga dy kolona: e para përmban formulat matematikore, e dyta - shpjegime me shkrim.
Tabelat përfshijnë integrale bazë funksionet e mëposhtme:
- racionale;
- eksponenciale;
- logaritmike;
- irracionale;
- trigonometrike;
- hiperbolike.
Përveç kësaj, ju mund të shkarkoni tabelën e integraleve të pacaktuar.
Mashtrime me tabela integralesh dhe derivatesh
Shumë mësues kërkojnë që studentët të mësojnë përmendësh formula komplekse. Mënyra më e lehtë për të mësuar përmendësh është praktika e vazhdueshme, dhe në mënyrë që materialet e nevojshme të jenë pranë, duhet të bëni një printim.
Fletë mashtrimi me tabela derivative dhe integralet do t'ju ndihmojnë të mësoni përmendësh shpejt të gjitha formulat e nevojshme dhe të kaloni me sukses provimet. Për ta bërë atë kompakt dhe të lehtë për t'u përdorur, duhet të zgjidhni formatin A5 - gjysma e një flete të rregullt.
