După cum se precizează în cap. 1, cuantizarea este eșantionarea semnalelor după nivel. Necesitatea unei astfel de eșantionări se datorează faptului că, pentru a procesa un semnal cu un filtru digital, fiecare dintre valorile sale trebuie descrisă printr-un număr, al cărui număr de cifre este finit. Cu alte cuvinte, cuantizarea echivalează cu rotunjirea valorilor semnalului la cea mai apropiată unitate a ultimei cifre.

Orez. 2.10. Caracteristica de cuantizare

Orez. 2.11. Cuantizare cu caracteristică logaritmică

Cuantizarea semnalelor poate fi descrisă grafic folosind caracteristica de cuantizare (Fig. 2.10), unde valorile semnalului continuu sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar valorile semnalului cuantificat sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Mărimea pasului de cuantizare A este selectată pe baza preciziei necesare transmisiei semnalului. Cuantizarea cu pas constant se numește uniformă. Cuantificarea uniformă a semnalelor este cea mai simplă și cea mai comună.

Cu toate acestea, cuantificarea uniformă se dovedește a fi incomod în unele cazuri. De exemplu, dacă semnal transmis poate lua valori foarte mari și foarte mici, apoi la o valoare constantă a intervalului de cuantizare, precizia relativă a transmiterii valorilor mici ale semnalului se dovedește a fi mult mai slabă decât valorile mari. În aceste cazuri, neliniar,

de exemplu, cuantizarea logaritmică (Fig. 2.11), când treapta de cuantizare este proporțională cu logaritmul tensiunii de intrare. La cuantificarea valorilor mici ale semnalului, pasul de cuantificare se dovedește a fi mic, iar acuratețea transmisiei semnalului este destul de mare. Pentru valori mai mari ale semnalului de intrare, intervalul de cuantizare crește. Astfel, utilizarea cuantizării logaritmice ne permite să obținem precizie ridicată transmiterea semnalului atunci când nu prea un numar mare niveluri de semnal cuantificate.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI DIN UCRAINA

UNIVERSITATEA NAȚIONALĂ TEHNICĂ „KhPI”

Departamentul de Tehnologie Computațională și Programare

de la cursul „Teoria și codificarea informației”

„Cuantificarea semnalului”

Introducere

Transmisia de semnale discrete pe canalele de comunicație este mai convenabilă și mai fiabilă decât transmisia de semnale continue, deoarece semnalele discrete au o imunitate mai bună la zgomot, facilitează organizarea comunicării multicanal, în plus, semnalele discrete pot fi procesate direct folosind un computer. .

Cuantizarea (eșantionare) - procesul de conversie a unui semnal continuu într-unul discret. Se folosesc următoarele tipuri de cuantizare: timp; după amplitudine (nivel); combinate; tipuri speciale de cuantizare.

1. Cuantificarea timpului

Cu cuantizarea timpului, funcția x(t) argumentul continuu este transformat într-o funcție de argument discret - o funcție de rețea reprezentând un set de valori ale unei funcții continue la momente discrete de timp.

Orez. 1. Cuantificarea timpului

Etapa de cuantizare -interval de timp dintre două puncte fixe în timp

Frecvența de cuantizare f k = 1/t trebuie să fie astfel încât, pe baza valorilor funcției rețelei, x(t i ) a fost posibil să se restabilească funcția continuă inițială cu o precizie dată. Funcția restaurată x(t) numită reproducere. Odată cu cuantizarea în timp, apare sarcina de a alege frecvența de cuantizare și pot fi utilizate diverse criterii. Cel mai adesea, discretizarea se realizează pe baza teoremei lui Kotelnikov.

Formularea teoremei lui Kotelnikov: Funcţie x(t) care satisface condițiile Dirichlet (mărginit, continuu pe bucăți și având un număr finit de extreme), poate fi restaurat destul de precis din probele sale prelevate într-un interval de timp t = 1/2f c =/ c, unde este frecvența superioară a spectrului funcției și este frecvența circulară.

Valorile funcției x(t) oricand t este determinată de seria Kotelnikov:

unde sunt mostre (valori) ale functiei x(t) la momente discrete t = nt; - funcția de numărare, care reprezintă SBF.

Pentru a demonstra teorema, luăm în considerare formulele Fourier

, , (2)

unde este spectrul de frecvență complex al funcției x(t).

In raza [- c , ; + c ], semnal x(t) poate fi reprezentată prin integrala Fourier prin spectrul său de frecvență

. (3)

Spectrul complex poate fi afișat printr-o serie Fourier

. (4)

Unde coeficienții de expansiune sunt egali

. (5)

Înlocuind (5) în (4) și apoi expresia rezultată în (3), obținem

Seria Kotelnikov pentru x(t) cu spectru limitat pe un interval finit T poate fi reprezentat:

, (6)

Unde B = T/t= 2 ft- baza semnalului.

Să luăm în considerare funcția probelor de semnal

. (7)

Această funcție este egală cu 1 la Z = 0, adică, și 0 la, unde

Funcția de numărare sinz/z reprezintă răspunsul unui filtru trece-jos ideal la un singur impuls.

Dacă este pornit partea de primire plasați un filtru și treceți prin el un semnal cuantificat reprezentând o succesiune de impulsuri, ale căror amplitudini sunt proporționale cu eșantioanele unei funcții continue cu frecvență .

Dacă aceste semnale de ieșire ale filtrului sunt însumate, obținem o funcție de reproducere.

Orez. 2. Funcția de numărare

Dezavantajele cuantizării folosind metoda Kotelnikov:

1. Teorema este formulată pentru semnale cu spectru limitat și timp nelimitat - în practică, dimpotrivă, spectrul este nelimitat, iar timpul este limitat. Spectrul poate fi limitat prin trecerea semnalului printr-un filtru trece-jos sau trece-bandă.

2. La transfer semnale de puls Etapa de cuantizare este selectată pentru secțiunile cele mai abrupte, deoarece cuantizarea este uniformă, canalul va fi supraîncărcat și va avea redundanță ridicată. Este dificil de implementat un circuit de restabilire a semnalului, deoarece sunt necesare multe sumatoare.

Există și alte principii de eșantionare: criteriul Zheleznov, care utilizează cuantizarea neuniformă, cu pasul de cuantizare selectat în funcție de corelația dintre valorile semnalului; Criteriul lui Temnikov, care folosește și cuantizarea neuniformă, în timp ce semnalul nu este cuantificat în timp ce derivata este constantă.

2. Cuantificare pe nivel

La cuantificarea după nivel (amplitudine), un set infinit valori posibile semnal continuu x(t) este înlocuit cu un set finit de valori discrete x*(t).

Ca rezultat al cuantizării, se formează o funcție pas (Fig. 3).

Pot fi utilizate două metode de cuantizare, caz în care valoarea instantanee a unei funcții continue este înlocuită cu o valoare discretă mai mică sau cea mai apropiată.

x(t), x*(t) x(t), x*(t)

Fig.6.3. Cuantificare pe nivel

Se face o distincție între cuantizarea uniformă, în care intervalul de schimbare x(t) din X min inainte de X max se descompune în N niveluri cu un pas numit pas de cuantizare

Cu cuantizarea neuniformă, pasul nu este constant. La înlocuirea valorilor instantanee reale ale unei funcții cu unele discrete apar erori metodologice, numite zgomot de cuantizare (eroare de cuantizare după nivel). Această eroare este aleatorie și pentru a o evalua este necesar să folosiți caracteristici statice

În acest caz, punctul de comutare trebuie selectat astfel încât aceste caracteristici să fie minime.

Orez. 4. Erori de cuantizare

Densitatea de distribuție, cu un număr mare de nivele de cuantizare, respectă legea densității de probabilitate egală și are forma prezentată în Fig. 4 și este determinată de relația:

În funcție de metoda de cuantificare utilizată, densitatea probabilității și caracteristicile statistice ale erorilor au forma:

Așteptările matematice ale erorilor

(11)

Varianta de eroare

Eroare pătrată medie

.

Dacă, ca urmare a cuantizării după nivel, valoarea semnalului este scoasă în cod binar cu prețul bitului cel mai puțin semnificativ egal cu pasul de cuantizare, atunci numărul de biți binari și nivelurile de cuantizare va fi egal cu:

; ,

unde adăugarea 1 corespunde contabilității de prim nivel.

3. Cuantificare combinată

Cu cuantizarea combinată, semnalul este cuantificat în timp și, în plus, la punctele de ceas este cuantificat în nivel.

Orez. 5. Cuantificare combinată

Cu cuantizarea combinată, amplitudinea pulsului este egală cu cea mai apropiată valoare de nivel, iar eroarea de cuantizare este egală cu

atunci așteptarea matematică a erorii este egală cu

iar eroarea pătratică medie datorată cuantizării nivelului scade odată cu creșterea frecvenței de cuantizare

.

Dezavantajul cuantizării combinate este complexitatea implementării dispozitivelor de decriptare. În acest caz, în loc de cuantificare combinată, modularea codului de impuls este cel mai des utilizată.

Exemplul 1.ÎN Aparat de măsură distanța dintre reperele scării este constantă și egală x = a. La rotunjirea citirii la cea mai apropiată diviziune întreagă, eroarea în valoare absolută nu depășește jumătate din distanța dintre diviziunile scalei.

Găsiți densitatea distribuției de probabilitate, așteptările matematice și varianța de rotunjire.

Soluţie: Eroarea de rotunjire poate fi considerată o variabilă aleatorie X, luând cu aceeași probabilitate orice valori cuprinse între -x/2 inainte de x/2. În consecință, densitatea de probabilitate pe acest interval este constantă și egală cu zero dincolo de aceste limite (10).

Așteptările matematice sunt:

Varianta erorii de rotunjire este:

.

Eroarea pătratică medie este:

Bibliografie

A.V. Vlasenko, V.I. Klyuchko - Teoria informațiilor și a semnalelor. Tutorial/ Krasnodar: Editura KubSTU, 2003.- 97 p.

Baskakov S.I. Circuite radioşi semnale: Manual. pentru universități în scopuri speciale „Inginerie radio”. - M.: Mai sus. scoala, 2000.

Grinchenko A.G. Teoria și codificarea informațiilor: manual. indemnizatie. – Harkov: KhPU, 2000.

Kupriyanov M.S., Matyushkin B.D. - Prelucrare digitală semnale: procesoare, algoritmi, instrumente de proiectare. - Sankt Petersburg: Politeknika, 1999.

Siebert W.M. Circuite, semnale, sisteme: În 2 părți / Transl. din engleza - M.: Mir, 1988.

Teoria transmisiei semnalului: Manual pentru universități / A.G. Zyuko, D.D. Klovsky

Târg K. Wireless comunicare digitală. Metode de modulare și spectru împrăștiat. Pe. din engleza - M.: Radio și comunicare, 2000.

Hemming R.V. Filtre digitale: Per. din engleza / Ed. A.M. Trakhtman. - M.: Sov. radio, 1980.

Prelucrare digitală a semnalului: Manual pentru universități / A.B. Sergienko - Sankt Petersburg: Peter, 2003. - 604 p.: ill.

Cuantizarea

1.4. Eșantionare și cuantizare

După cum sa menționat mai devreme, pentru a descrie diferite obiecte informaţionale sunt folosite diverse funcții timp. Acestea includ:

1. Funcția continuă a argumentului continuu t(Fig. 1.7).

Funcția poate lua orice valoare dintr-un set infinit de valori situate într-un interval finit (x min, x max), dar numai la ore fixe, prestabilite tk, k=0,1,2,...,n.

3. Funcția discretă a argumentului continuu t(Fig. 1.9).

Valori pe care le poate lua argumentul tși funcția x(t), formează serii discrete finite umplând intervalele corespunzătoare (t 0 ,t n)Și (x min, x max).

În multe cazuri, trecerea de la un mesaj continuu (semnal) la unul discret se realizează intenționat, deoarece aceasta oferă avantaje semnificative în transmiterea, procesarea și stocarea informațiilor. Datorită faptului că fiecare dintre valorile discrete ale unei mulțimi finite poate fi asociată cu un număr, devine posibilă trecerea la o reprezentare digitală a informațiilor, care va permite utilizarea unui computer în procesarea acesteia.

Pentru a efectua această tranziție, transformări numite cuantizare în timp sau eșantionare și cuantizare de nivel sunt efectuate pe o funcție continuă a unui argument continuu. Pe viitor, pentru a evita confuzia, prelevarea de probe vom înțelege cuantizarea după timp, iar cuantizarea după nivel o vom numi pur și simplu cuantizarea.

1.4.1. Prelevarea de probe

Discretizarea se reduce la înlocuirea unei funcții care este continuă în argumentul său cu o funcție a unui argument discret. Ca urmare functie continua este afișat printr-un număr finit al valorilor sale instantanee, luate la anumite intervale de timp (egale sau inegale) Dt.

Astfel, discretizarea este în esență descompunerea unei funcții continue într-un set de componente ale acesteia functii elementare. Pentru a rezolva această problemă, cele menționate anterior transformată Fourier generalizată.

Un exemplu de bază ortogonală, în plus față de funcțiile armonice discutate anterior, sunt funcțiile de numărare Kotelnikov. Prezența diferitelor baze în diferite zone (frecvență și timp) indică posibilitatea unor reprezentări spectrale diferite ale proceselor.

Cu toate acestea, cu oricare dintre ele, se pune întrebarea cu privire la posibilitatea unei restabiliri arbitrar precise a valorilor instantanee ale procesului, pe baza valorilor de referință sau eșantion luate la anumite intervale. Discretizarea trebuie efectuată în așa fel încât, din valorile de referință sau coeficienții de expansiune, să se poată obține o funcție de reproducere care să reflecte funcția inițială cu o precizie dată.

Reconstituirea unei funcții continue dintr-un număr finit al valorilor sale pe un interval de timp finit T=(t 0 ,t n) conduce la o eroare în funcție de numărul de valori luate ale acestei funcție pe acest interval, adică asupra frecvenței de prelevare și asupra metodei de restaurare alese (interpolare).

Astfel, în timpul discretizării, trebuie să decideți cât de des trebuie eșantionată funcția, adică care ar trebui să fie etapa de eșantionare Dt sau rata de eșantionare f=1/Dt.

La scăzut Dt numărul de probe pe interval T vor fi mai multe, acuratețea reproducerii va fi mai mare, dar și cantitatea de informații care trebuie stocată, transmisă și procesată va crește. Cu mare Dt deci invers.

Discretizarea optimă este cea care asigură recuperarea functia originala cu o precizie dată cu un număr minim de citiri. În acest caz, toate mostrele sunt esențiale pentru restabilirea funcției inițiale. În cazul prelevării neoptimale, pe lângă cele esențiale, se produc și probe redundante. Aceste mostre nu sunt necesare pentru a restabili funcția originală cu o precizie dată. Prezența informațiilor redundante este nedorită în timpul transmiterii, procesării și stocării acesteia, deoarece necesită resurse mari. Eliminarea acestei redundanțe poate fi realizată în procesul de discretizare și, prin urmare, discretizarea poate fi considerată nu numai ca o operație de transformare a unui mesaj continuu într-unul discret, ci și ca una dintre metodele de eliminare a redundanței.

Metodele de discretizare și reconstrucție a funcțiilor continue sunt clasificate în funcție de următoarele caracteristici principale:

a) regularitatea citirilor,

b) criterii de evaluare a acurateții prelevarii și reconstrucției;

c) tipul funcţiei de bază.

Regularitatea citirilor determină în mare măsură gradul de eliminare a redundanței și complexitatea dispozitivelor de prelevare și reconstrucție. În conformitate cu această caracteristică, eșantionarea uniformă și neuniformă pot fi distinse. Discretizarea se spune că este uniformă dacă Dt =const pe tot intervalul T. Magnitudinea Dt este selectată pe baza informațiilor a priori despre natura funcției discretizate. Eșantionarea uniformă este utilizată destul de larg datorită simplității algoritmilor și echipamentelor pentru implementarea sa. Cu toate acestea, atunci când îl utilizați, este posibilă o redundanță semnificativă a citirilor.

Discretizarea se spune a fi neuniformă dacă Dt =var. Există două tipuri de eșantionare neuniformă: adaptivă și software.

Cu metode de eșantionare adaptive Dt se modifică în funcție de modificarea curentă a valorilor funcției discretizate. Cu eșantionare software Dt modificări în conformitate cu un program compilat în prealabil pe baza unor informații a priori despre comportamentul funcției discretizate.

La fel de criteriile de evaluare a acurateței prelevării și reconstrucției Cel mai des sunt utilizate următoarele criterii:

a) cea mai mare abatere,

b) rădăcină medie pătrată,

c) probabilistic,

d) integrală.

Toate aceste criterii oferă o metodă de evaluare a abaterii funcției reproduse de la original (adică, eroarea de eșantionare) la fiecare interval de eșantionare. Dacă este specificată valoarea maximă a erorii de eșantionare, atunci aceste criterii vă permit să selectați valoarea intervalului de eșantionare Dt, care asigură acuratețea de reproducere necesară.

Există două moduri de a reproduce semnalul original: redarea prin extrapolare și redarea prin interpolare. Metodele de eșantionare cu extrapolarea funcției de reproducere nu necesită întârziere a semnalului în intervalul de eșantionare, de exemplu. poate fi utilizat în sisteme în timp real. Eșantionarea prin interpolare necesită întârzierea semnalului cu intervalul de interpolare.

Selectarea sistemului funcții de bază este determinată, pe de o parte, de precizia necesară reconstrucției, pe de altă parte, de cerințele de limitare a complexității dispozitivelor și a programelor de prelevare și restaurare. Cerința de ușurință în găsirea coeficienților de expansiune este îndeplinită în primul rând de polinoamele algebrice de putere. Utilizarea funcțiilor ca sisteme ortogonale de bază în unele cazuri se dovedește a fi recomandabilă, deoarece pentru un astfel de sistem coeficienții de expansiune sunt relativ ușor de calculat, iar calculul lor include funcționarea integrării semnalului, care are un efect pozitiv asupra imunității la zgomot. a algoritmului de eșantionare. Sarcină alegere optimă a unei clase înguste specifice de funcții de bază poate fi rezolvată numai dacă există informații semnificative a priori despre natura funcției discretizate. Deci, de exemplu, dacă se știe că semnalele sunt periodice, atunci căutarea funcțiilor de bază ar trebui direcționată către clasa funcțiilor armonice.

Faptul că funcția de timp care reprezintă un mesaj sau semnal continuu este arbitrară și aleatorie înseamnă că poate avea modificări temporale de orice rată - de la cele mai lente la infinit de rapide schimbări abrupte. Aceasta, la rândul său, înseamnă că o astfel de funcție are spectru infinit. Mesajele reale au un spectru, a cărui mare parte a energiei este concentrată într-o bandă de frecvență limitată. Acest lucru se datorează faptului că dispozitivele care generează și convertesc mesaje și semnale au o lățime de bandă limitată finită. Funcțiile care descriu astfel de procese reale se numesc funcții cu spectru limitat sau finit.

Pentru astfel de funcții, a fost formulat și dovedit teorema lui Kotelnikov, a cărui esență este că funcția Sf) cu un spectru finit poate fi reconstruit cu precizie din mostrele sale s(kDt) luate la intervale de timp Dt=1/2f in, Unde f in- frecvenţa superioară a spectrului de funcţii. Acest lucru se face folosind extinderea funcției într-o serie Kotelnikov .

Funcții , care formează baza Kotelnikov, sunt numite funcții de referință. Ele diferă între ele doar printr-o deplasare de-a lungul axei timpului (Fig. 1.11) cu intervale care sunt multipli de Dt.

Proprietățile funcției de eșantionare:

1) la momente de timp t=kDt, Unde k- orice număr întreg, j k atinge valoarea maximă egal cu unu;

2) la momente de timp t=nDt, Unde n- orice număr întreg și n¹k, j k=0;

3) funcțiile de eșantionare sunt ortogonale la infinit interval mare timp.

Teorema lui Kotelnikov este generalizată la procese aleatorii. În acest caz, se formulează astfel: „Pentru proces aleatoriu X(t) cu spectru finit seria Kotelnikov , Unde X(kDt)- secțiuni transversale de proces X(t) luate la intervale de timp Dt, converge în sensul pătrat mediu către proces X(t)».

Semnificația fundamentală a teoremei lui Kotelnikov este că, în primul rând, ne permite să înlocuim studiul proceselor continue cu sarcina mai simplă de a studia procesele discrete. În al doilea rând, permite, alături de reprezentarea în frecvență a proceselor (descompunerea în serie armonică Fourier, funcții spectrale) aplică și reprezentarea timpului - descompunerea într-o serie temporală.

Este util să comparăm forma funcției de eșantionare și valoarea obținută din teorema lui Kotelnikov Dt cu rezultatele luării în considerare a parametrilor de zgomot cvasi-alb. Din această comparație putem concluziona că etapa de eșantionare Dt nu trebuie să fie mai mare decât intervalul de corelație t la proces discretizat.

Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme întâmpină unele dificultăți. Strict vorbind, o funcție cu un spectru limitat nu este limitată (nu finită) în timp și, invers, o funcție finită a timpului are un spectru nelimitat.

În practică, deseori avem de a face cu mesaje și semnale de durată finită, a căror energie sau putere este aproape complet concentrată în intervalul de timp de la T 1 inainte de T 2 iar în banda de frecvenţă DF = f în - f n. Cuvântul „aproape” justifică aplicarea teoremei lui Kotelnikov la aceste obiecte și ne permite să le reprezentăm nu ca o serie infinită, ci ca o sumă finită. Desigur, o astfel de reprezentare nu mai este exactă și este realizată cu o anumită eroare.

Vom presupune că toată energia semnalului este conținută în banda de frecvență până la f inși toate probele din afara intervalului ( T1, T2) sunt egale cu zero. Apoi .

Limitarea termenilor unei serii la un număr finit duce la o eroare, a cărei valoare absolută este egală cu , și relativă , unde este numitorul toata puterea semnal x(t), iar numărătorul este partea din puterea sa aruncată atunci când se introduce o limită de timp și o limită de spectru.

O formulă foarte utilă și mai simplă pentru a determina dimensiunea acceptabilă a etapei de eșantionare Dt pentru o anumită eroare Dt pentru un proces aleator staționar X(t) este formula , unde este valoarea coeficientului de corelare a procesului X(t) cu argument Dt. Din această formulă pentru o eroare dată d d puteți obține o expresie pentru valoarea admisibilă a etapei de eșantionare , unde este funcția inversă a coeficientului de corelație al procesului X(t).

În ciuda prezenței erorii indicate, avantajul unei astfel de transformări este trecerea de la un spațiu infinit-dimensional la un spațiu finit-dimensional al semnalelor, i.e. semnale care sunt finite atât în ​​spectru cât și în timp. Dimensiunea acestui spațiu este determinată de numărul de elemente ale sumei termenilor seriei, care este egal cu sau .

Această valoare B=2DFT numit baza de semnal. Din punct de vedere fizic, indică numărul de mostre necesare pentru a descrie semnalul

Rezumând ceea ce s-a spus despre discretizare, putem concluziona:

1. Reprezentarea procesului sub formă de expansiune în baza ortonormala se numește transformată Fourier generalizată. Energia semnalului este egală cu suma energiilor tuturor elementelor din seria Fourier generalizată. Descompunerea semnalului pe o bază ortonormală asigură o eroare minimă de aproximare.

2. Seria Kotelnikov este caz special seria Fourier generalizată. Funcții de bazăîn acest caz sunt funcții de numărare deplasate în timp una față de alta prin intervale care sunt multipli de 1/2f in. Coeficienții seriei Kotelnikov sunt mostre ale procesului de descompunere, luate la intervale egale de timp Dt=1/2f in. Dacă spectrul procesului nu conține componente cu frecvențe mai mari f in, apoi seria Kotelnikov oferă o reprezentare exactă a procesului în sensul pătratului mediu.

1.4.2. Cuantizarea

După discretizarea implementării unui proces (mesaj) continuu, acesta poate fi reprezentat printr-un set de mostre, fiecare dintre ele, în general vorbind, poate avea un număr infinit de valori. Destinatarii adevărați ai mesajelor au o rezoluție finită, de ex. un interval foarte mic, dar nu zero, în care totul sensuri diferite citirile sunt percepute ca fiind identice. Cele de mai sus indică oportunitatea cuantizării. Cuantizarea unei funcții este, în esență, o mapare set continuu valorile sale posibile într-un subset finit al valorilor sale, fiecare dintre acestea fiind reprezentată ca unul dintre nivelurile discrete predeterminate numite niveluri de cuantizare.

Sub pas de cuantizare se intelege diferenta Dx = x m -x m -1 valorile nivelurilor de cuantizare vecine. Numărul de niveluri de cuantizare n pe unitate mai mult număr intervale de cuantizare n-1. Dacă funcţia cuantificată X limitat la a varia de la xmin inainte de xmax, Acea n-1= (x max - x min)/ Dx.

La cuantificare, de obicei valoarea adevărată a funcției X este identificat sau înlocuit cu o valoare x i, corespunzător celui mai apropiat nivel de cuantizare.

Desigur, înlocuire valori adevărate asupra valorilor nivelurilor de cuantizare duce la o eroare e=x i -x, numit eroare sau zgomot de cuantizare.

De obicei se presupune că cu cuantificare uniformă, când Dx=const,zgomot de cuantizare – o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție uniformă în cadrul etapei de cuantizare. Eroarea maximă de cuantizare nu depășește jumătate din pasul de cuantizare Dx/2. Eroarea de cuantizare pătrată medie este egală cu rădăcina pătrată a varianței distribuției uniforme, adică. Ö3 ori mai mică decât eroarea maximă.

Astfel, eroarea de cuantizare scade pe măsură ce treapta de cuantizare scade Dx. Cu toate acestea, pe măsură ce pasul scade, numărul de niveluri de cuantizare crește și, în consecință, adâncimea de biți a numerelor necesare pentru reprezentarea lor crește, de asemenea. În plus, atunci când etapa de cuantizare este redusă, valoarea sa se poate dovedi a fi comparabilă cu nivelul de interferență. Deci alegerea mărimii pasului de cuantificare trebuie abordată din aceleași poziții ca și alegerea etapei de eșantionare, i.e. selectați pasul optim de cuantizare din punctul de vedere al asigurării unui minim de niveluri de cuantizare și a unei valori date a erorii de cuantizare.

Cuantificarea considerată a fost efectuată cu un pas constant Dx=const, Ca rezultat, funcția cuantificată a constat din pași de dimensiune egală. Unele funcții care urmează să fie cuantificate se modifică în așa fel încât este recomandabil să le cuantificați cu diferite incremente de niveluri, de ex. cu pas de cuantizare variabilă Dx=var. Deci, de exemplu, dacă este necesar să se obțină valori mai precise în orice parte a funcției cuantificate, atunci în acest interval pasul de cuantificare ar trebui redus.

Astfel, după efectuarea operațiunilor de eșantionare și cuantizare, un mesaj continuu este reprezentat de o secvență finită de eșantioane, a căror valoare nu poate lua decât valori foarte specifice corespunzătoare nivelurilor de cuantizare. Dacă asociem un număr fiecărui nivel de cuantizare, atunci mesajul continuu ca rezultat al operațiilor de eșantionare și cuantizare va fi o succesiune de numere dintr-un interval finit, adică. vor fi prezentate în format digital.

d) Semnul de fază. Va distinge. semnul este faza pulsului, q Ф £ ¥ (q Ф real. » 2¸3)

e) Semnul de frecvență. q H ³ 2 (q H real. » 2¸3)

9. Mesaje și tipurile lor

Cantitățile care caracterizează un anumit proces controlat au de obicei o natură aleatorie, adică nu poate celebru. Dacă o variabilă aleatoare poate lua un număr finit de valori, atunci este numită discret în set. Dacă variabila aleatoare poate lua număr infinit a valorilor sale, atunci se numește continuu în mulțime. ÎN caz general mesajul primit este o funcție de timp. În funcție de tipul funcției rezultate, toate mesajele pot fi clasificate după cum urmează:

1. Cont. după set și timp (pur și simplu continuu). In aceea cazul f-i x(t), care caracterizează mesajele transmise, are un set continuu de valori și se modifică continuu în timp. Mesajele de acest fel sunt tipice pentru telemăsurători.

2. Cont. în timp şi discret în set. În acest caz, funcția x(t) poate lua numai valori predeterminate bine definite și le poate modifica într-un mod arbitrar. vr.

3. Cont. conform înmulţirii şi discrete în timp. În acest caz, funcția x(t) poate accepta orice cunoaștere din domeniul existenței, dar numai într-una fixă. mama. vr.

4. Discret ca număr și timp. F-ya poate accepta doar fix. zn-I in fix. mama. vr.

10. Cuantificarea semnalului, scop și tipuri

Transferul de informații în sistemele de control al informațiilor poate fi efectuat folosind atât semnale continue, cât și semnale discrete.

Utilizarea semnalelor discrete în unele cazuri se dovedește a fi mai preferabilă, deoarece semnalele discrete sunt mai puțin susceptibile la distorsiuni în timpul transmisiei, iar aceste distorsiuni sunt mai ușor de detectat. Și cel mai important, semnalele discrete sunt mai convenabile pentru utilizare și procesare de către dispozitivele digitale ale sistemelor informaționale.

Pe de altă parte, majoritatea semnalelor primare preluate de la senzori sunt continue, ceea ce ridică problema conversiei efective a semnalelor continue în unele discrete și invers.

Procesul de conversie a unei mărimi fizice continue într-una discretă se numește cuantizare.

tipuri de cuantizare:

1) Cuantificare pe nivel, în timp ce funcția continuă care descrie semnalul primar este înlocuită cu valorile sale individuale, distanțate între ele de un anumit interval finit (nivel). Respectiv, valori instantanee o funcție este înlocuită cu cele mai apropiate valori discrete, numite niveluri de cuantizare, intervalul dintre două valori de nivel adiacente se numește pas de cuantizare. Etapa de cuantizare poate fi fie constantă (cuantizare uniformă) fie variabilă (cuantizare neuniformă). Precizie continuă de conversie semnal discret depinde de mărimea etapei de cuantificare. Această acuratețe este evaluată prin discrepanța dintre valoarea adevărată a funcției și cea cuantificată. Valoarea acestei discrepanțe se numește eroare (zgomot de cuantizare).

Când se transmite un semnal printr-un canal de comunicație, acest semnal poate fi afectat de un fel de interferență care distorsionează acest semnal primar. Daca se stie valoare maximă această interferență, atunci puteți selecta pasul de cuantizare și re-cuantificați semnalul pe partea de recepție, apoi puteți șterge semnalul primit de influența interferenței, deoarece .

Astfel, re-cuantizarea face posibilă restabilirea unui semnal distorsionat de interferență. Totuși, trebuie reținut că eroarea de cuantizare rămâne. Pe o notă pozitivă Mai mult, eroarea de cuantizare este cunoscută dinainte. În acest fel, se evită acumularea de interferențe, iar calitatea transmisiei semnalului crește.

2) Cuantificarea timpului(prelevare de probe). În acest caz, o funcție continuă este înlocuită cu valorile sale individuale de timp în momente fixe. Valorile semnalului primar sunt raportate după un anumit interval, acest interval se numește pas de cuantizare. Cu cât intervalul este selectat mai mic, cu atât este mai mare punctul de pe partea de recepție, funcția transmisă poate fi restabilită. Pe de altă parte, cu un pas mixt de eșantionare fină, rata de transfer de date scade, iar cerințele pentru lățimea de bandă a canalului de comunicație cresc, de asemenea.

, , , .

Cu un pas mixt de cuantizare mare, acuratețea reproducerii funcției la recepție este redusă semnificativ.

3) Cuantificare pe nivel și timp. În unele cazuri, se dovedește că este recomandabil să se folosească un tip mixt de cuantizare după nivel. În acest caz, semnalul este pre-cuantizat după nivel, iar rapoartele mesajului cuantificat rezultat sunt produse după o perioadă de timp specificată. în care:

11. Eșantionarea semnalului și cerințele pentru acestea.

Teorema lui Kotelnikov și semnificația sa practică

A profita dispozitive digitaleÎn sistemele de transmitere și procesare a informațiilor, este nevoie de a converti semnalele continue în unele discrete. În acest scop, se folosesc cel mai des metodele de eșantionare, adică. cuantificare în timp, cu un pas de eșantionare constant. Metodele de eșantionare uniformă sunt cele mai utilizate pe scară largă, deoarece eșantionarea neuniformă este extrem de incomodă și nepotrivită pentru scopuri tehnice. Pentru că nu permite sincronizarea dispozitive individuale SPD complică, de asemenea, procesul de restaurare a semnalului pe partea de recepție.

În cazul utilizării eșantionării uniforme, se pune problema alegerii etapei optime (limitatoare) de eșantionare.

În 1933, academicianul Kotelnikov a demonstrat o teoremă care joacă rol importantîn teoria informaţiei.

Teoreme: orice funcție continuă, un spectru privat, care este limitat de sus de o anumită valoare a frecvenței, poate fi restabilită complet și fără eroare din valorile sale discrete (rapoarte) luate pe un interval de timp.

(*)

Prelevarea de probe– trecerea de la un semnal continuu la un semnal discret (într-un anumit sens) apropiat, descris de o funcție discontinuă a timpului. Un exemplu de semnal discret este o secvență de impulsuri scurte cu amplitudine variabilă (acesta din urmă apare în în acest caz, ca parametru informativ).

Prelucrare și transmitere informatii discrete are o serie de avantaje în comparație cu informațiile oferite în formă continuă. Semnalele discrete sunt mai puțin susceptibile la distorsiuni în timpul transmisiei și stocării, sunt ușor convertite în binar cod digitalși procesate folosind dispozitive de calcul digitale.

Procesul de eșantionare constă de obicei din două etape: eșantionarea după timp și eșantionarea (cuantificarea) pe nivel.

Prelevarea de probe semnal analog cu timpul– procesul de formare a unui eșantion de semnal analogic la momente care sunt multipli ai perioadei secvenței de eșantionare ∆t.

Secvența de eșantionare - succesiune periodică mostre de timp, definind o grilă de timp discretă.

Perioada de prelevare ∆t– interval de timp dintre două mostre consecutive de semnal analogic (pas de eșantionare în timp).

Când alegeți o frecvență de eșantionare în timp, puteți utiliza teorema lui V.A. Kotelnikov.

Teorema eșantionului(Teorema lui Kotelnikov) – o teoremă care determină alegerea perioadei de eșantionare ∆t a unui semnal analogic în conformitate cu caracteristica spectrală.

Conform teoremei, fiecare semnal continuu, care are un spectru de frecvență limitat, este complet determinată de valorile sale discrete la momente de referință distanțate de intervale de timp ∆ t= l/(2 F max), unde F max – frecventa maximaîn spectrul semnalului. În caz contrar, eșantionarea în timp nu implică nicio pierdere de informații dacă frecvența de eșantionare f discr = 1/∆ t de două ori mai mare decât frecvența semnalului specificată F max.

Conform teoremei lui Kotelnikov, nu este nevoie să se transmită un set infinit de toate valorile unui semnal continuu X(t), este suficient să transmiteți doar acele valori (Fig. 3.52) care sunt separate între ele la o distanță ∆ t= l/(2 Fmax). Pentru a restabili semnalul X(t) la intrarea unui filtru ideal frecvente joase, având o lățime de bandă de frecvență de la 0 la F msx, este necesar să se trimită o secvență de impulsuri înguste cu o amplitudine corespunzătoare mostrelor de semnal discret X(t i) uneori t i = i ∆t.

Orez. 3,52. Mostre de semnal discret

Deoarece teorema de eșantionare (teorema lui Kotelnikov) a fost formulată pentru un semnal cu un spectru limitat, iar semnalele reale au o densitate spectrală nelimitată, atunci când se calculează ∆ t =1/(2F max) utilizați o valoare aproximativă F max (de exemplu, lățimea spectrului activ determinată de criteriul de amplitudine, de criteriul de conținut de energie de 90% sau puterea medie a semnalului). În plus, filtrul trece-jos ideal necesar pentru a restabili semnalul în conformitate cu teorema este fizic irealizabil, deoarece cerințele pentru acesta (în mod ideal, forma dreptunghiulară a răspunsului amplitudine-frecvență, absența defazării în banda de frecvență luată în considerare de la 0 la F max) se dovedesc a fi contradictorii și nu pot fi efectuate decât cu o anumită eroare. Ținând cont de cele de mai sus, frecvența de eșantionare în timp este de obicei considerată a fi de 1,5-2,5 ori valoare mai mare, calculat folosind teorema lui Kotelnikov.

Există și alte modalități de a selecta rata de eșantionare a semnalului (ținând cont de timpul de corelație mesaj transmis, valoarea celei mai mari abateri sau abateri standard a procesului). Deci, în conformitate cu criteriul lui N.A. Zheleznov, care se efectuează pentru semnale aleatorii de durată finită T s și spectru de frecvență nelimitat, se recomandă efectuarea unui pas de eșantionare ∆ t, egal cu intervalul maxim de corelare a semnalului φ0. Se presupune că parametrul φ0 caracterizează perioada de timp în care valorile individuale ale procesului aleator pot fi considerate dependente statistic (corelate) și φ0 T Cu. Astfel, semnalul continuu original este înlocuit cu un set N=T s/φ0 de eșantioane necorelate (impulsuri) care urmează cu o frecvență f discr=1/∆ t= φ0. În acest caz, recuperarea semnalului X(t) se realizează folosind un filtru predictiv liniar cu o eroare pătratică medie care diferă cât mai puțin de zero într-un interval de timp egal cu intervalul de corelație φ0.

Luând mai mult în considerare proprietățile semnale reale(durată finită, spectru nelimitat), criteriul lui Jheleznov pornește totuși de la ipoteza egalității la zero funcția de corelare semnal LA x(φ) în afara intervalului [-φ0; φ0], care în practică se realizează cu o anumită eroare.

În cazurile în care este mai mult informatii detaliate despre legea modificărilor semnalului, selectarea frecvenței de eșantionare poate fi efectuată pe baza erorii admisibile în aproximarea funcției X(t) la fiecare interval de prelevare. În fig. 3.53 oferă un exemplu de aproximare liniară pe bucăți, atunci când eșantioane adiacente ale funcției X(t), luate în momente discrete în timp t eu si t i+1 sunt conectate prin segmente drepte.

Orez. 3,53. Aproximație liniară pe bucăți

Metodele luate în considerare de prelevare uniformă (cu ∆ t=const) poate duce uneori la mostre redundante care nu au un impact semnificativ asupra procesului de restaurare a mesajului original. De exemplu, dacă funcția X(t) se modifică puțin pe un anumit interval de timp destul de extins T o, atunci mostrele de semnal discrete corespunzătoare practic nu diferă unele de altele și, prin urmare, nu este nevoie să folosiți toate mostrele specificate pentru a stoca sau transmite informații prin linia de comunicație. Reducerea informațiilor redundante este posibilă pe baza metodelor de eșantionare adaptive (neuniforme) care asigură selectarea intervalului ∆ tîntre eșantioanele adiacente, ținând cont de schimbarea reală a caracteristicilor semnalului (în special, rata modificării acestuia).

Eșantionarea semnalului pe nivel– procesul de mapare a unui set infinit de valori ale unui semnal analogic la o anumită mulțime finită (determinată de numărul de niveluri de cuantizare).

Trăsătură distinctivă Eșantionarea nivelului este un înlocuitor pentru o scară continuă a nivelurilor de semnal X(t) scară discretă X eu ( i = 1, 2, ..., m), în care sensuri diferite semnalele diferă unele de altele prin cel puțin o valoare fixă ​​(sau selectată în timpul cuantizării) ∆ t, numit pas de cuantizare.

Etapa de cuantizare– o valoare egală cu intervalul dintre două niveluri de cuantizare adiacente (definită doar pentru cazul cuantizării uniforme).

Necesitatea cuantizării este cauzată de faptul că dispozitivele de calcul digital pot funcționa numai cu numere care au un număr finit de cifre. Astfel, cuantizarea este rotunjirea valorilor transmise cu o precizie dată. Cu cuantizare uniformă (∆ X=const) numărul de niveluri discrete permise x este

m = (X max – X min)/∆ X,

Unde X max si X min – respectiv limitele superioare și inferioare ale intervalului de variație a semnalului.

Eroarea de cuantizare este o cantitate definită ca ξ( X) = X – X di, unde X– valoare discretă codificată, X di – semnal eșantionat.

Zgomot de cuantizare – functie aleatorie timp, definit ca dependența erorii de cuantizare de timp.

Cum valoare mai mică ∆X, cu atât eroarea rezultată este mai mică. Dacă, ca urmare a cuantizării, oricare dintre valorile semnalului X(t), care se încadrează în intervalul ( X di - ∆ X/2; X di + X di X/2), rotunjit la X d, atunci eroarea rezultată ξ( X) nu depășește jumătate din treapta de cuantificare, adică. max|ξ( X)|=0,5∆X. În practică, pasul de cuantizare ∆ X sunt selectate în funcție de nivelul de interferență prezent într-o formă sau alta în timpul măsurării, transmiterii și procesării semnalelor reale.

Dacă funcţia X(t) este necunoscută în prealabil, iar pasul de cuantizare ∆ X destul de mic în comparație cu gama de variații ale semnalului ( X max – X min), atunci se obișnuiește să se ia în considerare eroarea de cuantizare ξ( X) o variabilă aleatoare care se supune unei legi uniforme de distribuție. Apoi, așa cum se arată în fig. 3,54, densitate de probabilitate f 1(ξ) pentru variabilă aleatorieξ, ia valoarea 1/(∆ X) în intervalul (-∆ X/2; +∆X/2) și este egal cu zero în afara acestui interval.

Orez. 3,54. Legea distribuției uniforme a erorii de cuantizare

La ∆ X=const eroare relativă de cuantizare ∆ X=ξ( X)/X depinde în mod semnificativ de valoarea curentă a semnalului X(t). În acest sens, dacă este necesar să se proceseze și să transmită semnale care se modifică în gamă largă, cuantizarea neuniformă (neliniară) este adesea folosită, când pasul ∆ X luate mici pentru semnale nivel scăzutși crește odată cu creșterea valorilor semnalului corespunzătoare (de exemplu ∆ X alegeți proporțional cu logaritmul valorii | X(t)|). Selectarea pasului ∆ X i = X di – X di-1 se realizează și ținând cont de densitatea de distribuție a semnalului aleatoriu (pentru valori de semnal mai probabile, treapta de cuantificare este aleasă mai mică, pentru valori mai puțin probabile – mai mare). În acest fel, este posibil să se asigure o precizie ridicată a conversiei cu un număr limitat (nu prea mare) de niveluri de semnal discret permise X(t).

Procesul de conversie a unui semnal discret într-unul digital se numește codificare a informațiilor și numeroasele combinații de coduri diferite obținute de această regulă codificare, - cod . O caracteristică importantă a unui cod este baza (sau sensul) codului, adică. numărul de valori posibile pe care le pot lua elementele combinației de cod. Să presupunem că doriți să transmiteți un semnal al cărui nivel variază de la 0 la 10 V. Dacă pasul de cuantificare a datelor este de 10 mV, atunci fiecare probă de semnal poate fi considerată ca fiind una din 1000. mesaje posibile. Pentru a transmite aceste informații, puteți sugera diferite căi:

– atribuiți fiecărui mesaj un anumit nivel de tensiune, cu baza codului m= 1000, iar lungimea combinației de cod (cuvânt) capătă valoarea minimă n=1;

– puteți utiliza reprezentarea binară (binară) a amplitudinii semnalului cu m= 2, dar atunci este necesară o combinație de lungimi n= 10 (210=1024, deci unele combinații nu sunt folosite aici).