Piccola Facoltà di Matematica. Sistemi numerici

Il sistema numerico (SS) è un insieme di tecniche per nominare e scrivere numeri. In ogni SS, alcuni numeri vengono utilizzati per rappresentare i numeri, che sono chiamati numeri base, e tutti gli altri numeri vengono ottenuti come risultato di alcune operazioni sui numeri base. IN mondo moderno La rappresentazione più comune dei numeri è 0. . .9.

Le SS differiscono nella scelta dei numeri base e nelle regole per formare altri numeri da essi. Ad esempio, nelle SS romane quelli fondamentali sono: I(1),V(5),X(10),L(50),C(100),D(500),M(1000), e gli altri sono ottenuto mediante addizione e sottrazione dei numeri di base. Nelle SS romane ogni segno numerico ha lo stesso significato, cioè il valore del segno numerico non dipende dalla sua posizione nella notazione numerica: 146 –CXLVI.

Una SS di questo tipo non è posizionale. È conveniente scriverlo no grandi numeri. Ma eseguire operazioni su grandi numeri è scomodo.

5.1. Sistemi di numerazione posizionale

Attualmente, le SS posizionali vengono utilizzate per rappresentare i numeri. Una SS è detta posizionale se il valore di ciascuna cifra (il suo peso) cambia a seconda della sua posizione (posizione) nella sequenza di cifre che rappresentano il numero.

Il numero di cifre utilizzate per rappresentare i numeri in una SS posizionale è chiamato base, ovvero se vengono utilizzate K cifre, la base della SS è uguale a K. Un numero in una SS posizionale può essere rappresentato come segue:

Le posizioni rinumerate in questo modo sono chiamate ranghi. Ciascuno dei numeri assume uno dei valori
.K viene utilizzato per quantificare ciascuna cifra di un numero. Cioè, il numero di k-ary SS può essere rappresentato come un polinomio:

Esempi di sistemi numerici posizionali:

Le operazioni aritmetiche in qualsiasi SS posizionale vengono eseguite secondo le stesse regole della SS decimale, poiché si basano tutte sulle regole per eseguire azioni con i polinomi corrispondenti. In questo caso vengono utilizzate le tabelle di addizione e moltiplicazione, che avvengono con una data base SS.

Le tabelle di addizione e moltiplicazione in SS binarie assomigliano a:

La rappresentazione fisica dei numeri richiede elementi che possano trovarsi in uno dei numerosi stati stabili. Il numero di questi stati deve essere uguale alla base della SS accettata, quindi ogni stato rappresenterà la cifra corrispondente dell'alfabeto di questa SS. Per implementare il sistema decimale SS saranno necessari elementi aventi 10 stati stabili. I più semplici dal punto di vista dell'implementazione tecnica sono elementi a due posizioni in grado di trovarsi in uno dei due stati stabili, ad esempio un relè elettromagnetico (stati “chiuso” - “aperto”), una superficie ferromagnetica (magnetizzata - smagnetizzata) , un interruttore a transistor, ecc. Uno di questi stati può essere designato con il numero –0 e l'altro con 1.

Ci sono altri vantaggi associati al CC binario. Fornisce la massima immunità al rumore durante la trasmissione delle informazioni. Esegue operazioni aritmetiche e logiche in modo estremamente semplice. Grazie a ciò, il CC binario è diventato lo standard moderno tecnologia informatica.

Lo svantaggio della SS binaria è l'elevato numero di bit del codice binario.

Il risultato è già stato ricevuto!

Sistemi numerici

Esistono sistemi numerici posizionali e non posizionali. Il sistema numerico arabo in cui utilizziamo vita quotidiana, è posizionale, ma Roman non lo è. IN sistemi posizionali Nella notazione, la posizione di un numero determina in modo univoco la dimensione del numero. Consideriamolo utilizzando l'esempio del numero 6372 nel sistema numerico decimale. Numeriamo questo numero da destra a sinistra partendo da zero:

Quindi il numero 6372 può essere rappresentato come segue:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Il numero 10 definisce il sistema numerico (in in questo caso questo è 10). I valori della posizione di un dato numero sono presi come potenze.

Considera il numero decimale reale 1287.923. Numeriamolo partendo da zero, posizionando il numero dalla virgola a sinistra e a destra:

Quindi il numero 1287.923 può essere rappresentato come:

1287.923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

IN caso generale la formula può essere rappresentata come segue:

C n S n+C n-1 · S n-1+...+C1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

dove C n è un numero intero in posizione N, D-k- numero frazionario nella posizione (-k), S- sistema numerico.

Qualche parola sui sistemi numerici. Un numero nel sistema numerico decimale è composto da molte cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), nel sistema numerico ottale è composto da molte cifre. (0,1, 2,3,4,5,6,7), nel sistema numerico binario - da un insieme di cifre (0,1), in sistema esadecimale notazione - da un insieme di numeri (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), dove A,B,C,D, E, F corrispondono ai numeri 10,11,12,13,14,15 La tabella 1 mostra i numeri in sistemi diversi Resa dei conti.

Tabella 1
Notazione
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	UN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro, il modo più semplice è convertire prima il numero in sistema decimale sistema numerico, quindi convertire dal sistema numerico decimale al sistema numerico richiesto.

Conversione di numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale

Utilizzando la formula (1), puoi convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale.

Esempio 1. Converti il ​​numero 1011101.001 dal sistema numerico binario (SS) al decimale SS. Soluzione:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Esempio2. Converti il ​​numero 1011101.001 dal sistema numerico ottale (SS) al decimale SS. Soluzione:

Esempio 3 . Convertire il numero AB572.CDF dal sistema numerico esadecimale al decimale SS. Soluzione:

Qui UN-sostituito da 10, B- alle 11, C- alle 12, F- entro le 15.

Conversione di numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Per convertire i numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico, è necessario convertire separatamente la parte intera del numero e la parte frazionaria del numero.

La parte intera di un numero viene convertita da SS decimale a un altro sistema numerico dividendo sequenzialmente la parte intera del numero per la base del sistema numerico (per SS binario - per 2, per 8-ario SS - per 8, per 16 -ary SS - by 16, ecc. ) fino ad ottenere un residuo intero, inferiore alla base CC.

Esempio 4 . Convertiamo il numero 159 da SS decimale a SS binario:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Come si può vedere dalla Fig. 1, il numero 159 diviso per 2 dà il quoziente 79 e il resto 1. Inoltre, il numero 79 diviso per 2 dà il quoziente 39 e il resto 1, ecc. Di conseguenza, costruendo un numero dai resti della divisione (da destra a sinistra), otteniamo un numero in SS binario: 10011111 . Pertanto possiamo scrivere:

159 10 =10011111 2 .

Esempio 5 . Convertiamo il numero 615 da SS decimale a SS ottale.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Quando si converte un numero da decimale SS a ottale SS, è necessario dividere in sequenza il numero per 8 finché non si ottiene un resto intero inferiore a 8. Di conseguenza, costruendo un numero dai resti della divisione (da destra a sinistra) otteniamo un numero in SS ottale: 1147 (Vedi Fig. 2). Pertanto possiamo scrivere:

615 10 =1147 8 .

Esempio 6 . Convertiamo il numero 19673 dal sistema numerico decimale a esadecimale SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Come si può vedere dalla Figura 3, dividendo successivamente il numero 19673 per 16, i resti sono 4, 12, 13, 9. Nel sistema numerico esadecimale, il numero 12 corrisponde a C, il numero 13 - D. Pertanto, il nostro numero esadecimale- questo è 4CD9.

Per convertire le frazioni decimali regolari (un numero reale con una parte intera pari a zero) in un sistema numerico con base s, è necessario dato numero successivamente moltiplicare per s fino a quando la parte frazionaria è zero puro, oppure otteniamo il numero di cifre richiesto. Se durante la moltiplicazione si ottiene un numero con una parte intera diversa da zero, questa parte intera non viene presa in considerazione (vengono incluse in sequenza nel risultato).

Diamo un'occhiata a quanto sopra con esempi.

Esempio 7 . Convertiamo il numero 0,214 dal sistema numerico decimale al sistema binario SS.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

Come si può vedere dalla Fig. 4, il numero 0,214 viene moltiplicato sequenzialmente per 2. Se il risultato della moltiplicazione è un numero con una parte intera diversa da zero, allora intera parteè scritto separatamente (a sinistra del numero) e il numero è scritto con una parte intera pari a zero. Se il risultato della moltiplicazione è un numero con parte intera pari a zero, alla sua sinistra viene scritto uno zero. Il processo di moltiplicazione continua finché la parte frazionaria non raggiunge uno zero puro o non otteniamo il numero di cifre richiesto. Scrivendo numeri in grassetto (Fig. 4) dall'alto verso il basso otteniamo il numero richiesto nel sistema numerico binario: 0. 0011011 .

Pertanto possiamo scrivere:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Esempio 8 . Convertiamo il numero 0,125 dal sistema numerico decimale al sistema binario SS.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Per convertire il numero 0,125 da decimale SS a binario, questo numero viene moltiplicato in sequenza per 2. Nella terza fase, il risultato è 0. Di conseguenza, si ottiene il seguente risultato:

0.125 10 =0.001 2 .

Esempio 9 . Convertiamo il numero 0,214 dal sistema numerico decimale a esadecimale SS.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Seguendo gli esempi 4 e 5, otteniamo i numeri 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ma in SS esadecimale, i numeri 12 e 11 corrispondono ai numeri C e B. Pertanto, abbiamo:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Esempio 10 . Convertiamo il numero 0,512 dal sistema numerico decimale a ottale SS.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Ricevuto:

0.512 10 =0.406111 8 .

Esempio 11 . Convertiamo il numero 159.125 dal sistema numerico decimale al sistema binario SS. Per fare ciò, traduciamo separatamente la parte intera del numero (Esempio 4) e la parte frazionaria del numero (Esempio 8). Combinando ulteriormente questi risultati otteniamo:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Esempio 12 . Convertiamo il numero 19673.214 dal sistema numerico decimale a esadecimale SS. Per fare ciò traduciamo separatamente la parte intera del numero (Esempio 6) e la parte frazionaria del numero (Esempio 9). Inoltre, combinando questi risultati otteniamo.

Rappresentazione di numeri e comandi in un computer(INFlesson5.doc).

L'idea di esprimere i numeri in dieci segni, dando loro, oltre al significato nella forma, anche il significato nel luogo, è così semplice che è proprio per questa semplicità che è difficile comprendere quanto sia sorprendente. Quanto sia difficile arrivare a questo metodo, lo vediamo nell'esempio più grandi geni Borsa di studio greca di Archimede e Apollonio, ai quali questa idea rimase nascosta.

Pierre Simon Laplace

Esplorare i metodi di presentazione informazioni numericheè necessario acquisire familiarità con le regole per convertire una rappresentazione di un numero in un'altra e cercare di capire perché lo stesso numero deve essere rappresentato diversamente in situazioni diverse. Le tecniche per rappresentare i numeri sono trattate in una sezione speciale della teoria dei numeri, “Sistemi numerici”.

Un altro introdotto concetto importante– sistema numerico. Perché è necessario? Comunque, cos'è questo? I sistemi numerici sono sistemi creati dall'uomo. Tali sistemi sono chiamati artificiale a differenza di naturale sistemi creati dalla natura. I sistemi naturali includono le galassie, le nostre sistema solare, l'uomo nel suo insieme, e così via. I sistemi artificiali includono le città, le fabbriche, il sistema educativo, le lingue nazionali, cioè tutto ciò che è fatto dalle persone.

I sistemi artificiali possono essere suddivisi in

materiale: automobili, aerei, case, città, dighe, ecc.;

pubblico , questo è diverse associazioni persone: parlamento, sistema educativo pubblico, club di scacchi, ecc.;

informativo: lingue nazionali, rete informatica Internet, sistemi di numerazione, ecc.

Ogni sistema artificiale creato con scopo specifico. Si può sostenere che il sistema artificiale migliore è quello che meglio garantisce il raggiungimento dell’obiettivo della sua creazione.

Lo scopo di creare un sistema numerico è svilupparlo al massimo modo conveniente registrazione dei numeri. Il sistema numerico consente di visualizzare in una forma compatta informazioni quantitative sugli oggetti e manipolarli utilizzando regole abbastanza semplici.

Indichiamo i primi nove numeri naturali segni speciali:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Fai lo stesso con tutti i numeri incontrati nella pratica, ad es. Sarebbe scomodo designare tutti i numeri ricorrenti con segni speciali. Anche se le nostre necessità si limitassero a contare fino a mille, avremmo bisogno di ricordare mille caratteri speciali. Naturalmente, per molto tempo le persone hanno iniziato a scegliere l'una o l'altra serie di numeri "chiave" e a designarli solo con segni speciali.

I sistemi numerici sono una brillante invenzione dell'umanità. Per comunicare che oggi è l'anno duemilasette in linguaggio naturale sono costretto ad utilizzare 16 caratteri (spazi esclusi). Usando il linguaggio dei numeri, puoi rappresentare la stessa cosa con quattro simboli. Si scopre che i numeri sono codici per le parole corrispondenti, il che è confermato dal fatto che il numero dell'anno scritto in parole e numeri viene letto da noi allo stesso modo. I numeri in diverse lingue naturali sono pronunciati in modi diversi e le loro regole di registrazione ed esecuzione operazioni aritmetiche sopra di loro sono gli stessi.

Il concetto di numero è fondamentale sia per la matematica che per l’informatica. Ma se in matematica la massima attenzione è rivolta ai metodi di elaborazione dei numeri, allora nell'informatica è impossibile ignorare i metodi di rappresentazione dei numeri, poiché determinano le risorse di memoria necessarie, la velocità e l'errore dei calcoli.

1. Notazione- questo è un modo di rappresentare i numeri e le regole corrispondenti per operare con i numeri.

I vari sistemi numerici esistenti nel passato e utilizzati oggi possono essere suddivisi in non posizionali e posizionali.

1.1 Sistemi numerici non posizionali.

Gli antichi egizi usavano sistemi numerici non posizionali.

Greci, Romani e alcuni altri popoli dell'antichità. Nei sistemi numerici non posizionali, la posizione del segno nella notazione del numero non dipende dal valore che esso (il segno) denota.

È giunto fino a noi il sistema romano di registrazione dei numeri (numeri romani), che in alcuni casi è ancora utilizzato nella numerazione (secolo, volume, capitolo di un libro). Nel sistema romano si usano i numeri lettere latine:

1 5 10 50 100 500 1000

Ad esempio, il numero CCXXXII è composto da duecentotre decine e due unità ed è pari a duecentotrentadue.

Nei numeri romani i numeri si scrivono da sinistra a destra in ordine decrescente. In questo caso, i loro valori vengono sommati. Se a sinistra viene scritto un numero più piccolo e a destra uno più grande, i loro valori vengono sottratti.

VI = 5 + 1 = 6 e IV = 5 – 1 = 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

I sistemi numerici non posizionali erano più o meno adatti per l'addizione e la sottrazione, ma non erano affatto convenienti per la moltiplicazione e la divisione.

1.2 Sistemi di numerazione posizionale (PSS).

I sistemi numerici posizionali sono convenienti perché consentono di scrivere numeri arbitrariamente grandi utilizzando un numero ridotto di cifre. Un vantaggio importante dei sistemi numerici posizionali è che semplici algoritmi eseguire operazioni aritmetiche sui numeri.

Nei sistemi numerici posizionali, il valore indicato da una cifra in un numero dipende dalla sua posizione.

Viene chiamato il numero di cifre utilizzate base PS.

Il sistema numerico utilizzato nella matematica moderna è il sistema decimale posizionale. La sua base è dieci, poiché qualsiasi numero viene scritto utilizzando dieci cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Molti di noi associano queste icone, conosciute fin dall’infanzia, al concetto di “numero”. Tuttavia, possiamo utilizzare qualsiasi icona come numero. E i numeri non devono essere dieci.

Sebbene il sistema decimale sia solitamente chiamato arabo, ha avuto origine in India, nel V secolo. In Europa, questo sistema venne appreso nel XII secolo da trattati scientifici arabi, tradotti in latino. Questo spiega il nome "numeri arabi".

Il tipo posizionale del sistema decimale è facile da capire usando l'esempio di qualsiasi numero a più cifre. Ad esempio, nel numero 333, la prima cifra significa tre centinaia, la seconda tre decine, la terza tre unità. La stessa cifra, a seconda della sua posizione nella notazione numerica, denota quantità diverse.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Qualsiasi numero decimale può essere rappresentato come la somma dei prodotti delle cifre che lo compongono per le corrispondenti potenze di dieci. Lo stesso vale per i decimali.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

Ciò consente di convertire i numeri con una base diversa da 10 in notazione decimale.

Per effettuare tale traduzione è necessario scrivere il numero originale come somma dei prodotti delle cifre del numero per le corrispondenti potenze della base e calcolare il valore della risultante espressione numerica secondo le regole dell'aritmetica decimale.

1. 432.32 5 → LA 10 .

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2.DF,4A 16 → LA 10

DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +

Il numero "dieci" non è l'unica base possibile per il sistema posizionale. Il famoso matematico russo N.N. Luzin lo ha espresso in questo modo: "I vantaggi del sistema decimale non sono matematici, ma zoologici. Se non avessimo dieci dita, ma otto, l'umanità utilizzerebbe il sistema ottale".

Scrivere numeri in un sistema posizionale con una radice N (N– designazione del PSS di base) deve essere alfabeto da N numeri Di solito per questo n ≤ 10 utilizzo N i primi numeri arabi e quando n > 10 Le lettere latine vengono aggiunte a dieci numeri arabi.

Ecco alcuni esempi di alfabeti di diversi sistemi:

La base del sistema a cui appartiene un numero è indicata da un pedice accanto a quel numero.

1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.

1.3 Conversione di numeri decimali in PSS con base diversa da 10.

1.3.1 Traduzione di numeri interi.

Esprimi la base del nuovo sistema numerico nel sistema decimale

i calcoli e tutte le azioni successive dovrebbero essere eseguiti nel sistema numerico decimale;

Dividi costantemente il numero dato e i quozienti incompleti risultanti per la base del nuovo sistema numerico finché non otteniamo un quoziente incompleto inferiore al divisore;

I resti risultanti, che sono le cifre del numero in nuovo sistema numeri, allinearli all'alfabeto del nuovo sistema numerico;

Comporre un numero nel nuovo sistema numerico, scrivendolo partendo dall'ultimo quoziente.

1.3.2 Conversione di numeri frazionari.

Esprimere la base del nuovo sistema numerico nel sistema decimale ed eseguire tutte le azioni successive nel sistema numerico decimale;

Moltiplica costantemente questo numero e le parti frazionarie risultanti dei prodotti per la base del nuovo sistema numerico fino a parte frazionaria l'opera non esisterà uguale a zero oppure non sarà raggiunta la precisione richiesta nella rappresentazione dei numeri nel nuovo sistema numerico;

Le parti intere risultanti dei prodotti, che sono cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, dovrebbero essere rese conformi all'alfabeto del nuovo sistema numerico;

Componi la parte frazionaria di un numero nel nuovo sistema numerico, iniziando dalla parte intera del primo prodotto.

Esempi di traduzione di numeri decimali specifici sono presentati nell'Appendice 1.

Appendice 1.

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Concetti di base dei sistemi numerici

Un sistema numerico è un insieme di regole e tecniche per scrivere numeri utilizzando un insieme di caratteri digitali. Il numero di cifre necessarie per scrivere un numero in un sistema è chiamato base del sistema numerico. La base del sistema è scritta a destra del numero in pedice: ; ; ecc.

Esistono due tipi di sistemi numerici:

posizionale, quando il valore di ciascuna cifra di un numero è determinato dalla sua posizione nel record numerico;

non posizionale, quando il valore di una cifra in un numero non dipende dalla sua posizione nella notazione del numero.

Un esempio di sistema numerico non posizionale è quello romano: numeri IX, IV, XV, ecc. Un esempio di sistema numerico posizionale è il sistema decimale utilizzato ogni giorno.

Qualsiasi numero intero nel sistema posizionale può essere scritto in forma polinomiale:

dove S è la base del sistema numerico;

Cifre di un numero scritte in un dato sistema numerico;

n è il numero di cifre del numero.

Esempio. Numero verrà scritto in forma polinomiale come segue:

Tipi di sistemi numerici

Il sistema numerico romano è un sistema non posizionale. Utilizza le lettere per scrivere i numeri Alfabeto latino. In questo caso la lettera I significa sempre uno, la lettera V significa cinque, X significa dieci, L significa cinquanta, C significa cento, D significa cinquecento, M significa mille, ecc. Ad esempio, il numero 264 è scritto come CCLXIV. Quando si scrivono numeri nel sistema numerico romano, il valore di un numero è la somma algebrica delle cifre in esso incluse. In questo caso, le cifre nel record numerico sono, di regola, in ordine decrescente rispetto ai loro valori e non è consentito scrivere più di tre cifre identiche una accanto all'altra. Nel caso in cui dietro il numero con grande valore seguito da una cifra con una più piccola, il suo contributo al valore del numero nel suo insieme è negativo. Esempi tipici illustrativi regole generali le registrazioni dei numeri nel sistema di numerazione romana sono riportate nella tabella.

Tabella 2. Scrittura dei numeri nel sistema numerico romano

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Lo svantaggio del sistema romano è la mancanza di regole formali per la scrittura dei numeri e, di conseguenza, delle operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. A causa della sua scomodità e della sua grande complessità, il sistema numerico romano viene attualmente utilizzato dove è veramente conveniente: in letteratura (numerazione dei capitoli), nella progettazione di documenti (serie di passaporti, titoli, ecc.), per scopi decorativi sul quadrante di un orologio. e in una serie di altri casi.

Il sistema di numerazione decimale è attualmente il più conosciuto e utilizzato. L'invenzione del sistema numerico decimale è una delle principali conquiste del pensiero umano. Senza di esso difficilmente avrebbe potuto esistere, tanto meno sorgere. tecnologia moderna. La ragione per cui il sistema dei numeri decimali venne generalmente accettato non è affatto matematica. Le persone sono abituate a contare nel sistema decimale perché hanno 10 dita sulle mani.

L'antica immagine delle cifre decimali (Fig. 1) non è casuale: ogni cifra rappresenta un numero in base al numero di angoli in essa contenuti. Ad esempio, 0 - nessun angolo, 1 - un angolo, 2 - due angoli, ecc. La scrittura dei numeri decimali ha subito cambiamenti significativi. La forma che utilizziamo è stata stabilita nel XVI secolo.

Il sistema decimale apparve per la prima volta in India intorno al VI secolo nuova era. La numerazione indiana utilizzava nove caratteri numerici e uno zero per indicare una posizione vuota. Nei primi manoscritti indiani giunti fino a noi, erano scritti dei numeri ordine inverso- maggior parte cifra significativaè stato posizionato a destra. Ma presto divenne una regola posizionare un numero del genere sul lato sinistro. Particolare importanza è stata attribuita al simbolo zero, introdotto per il sistema di notazione posizionale. La numerazione indiana, incluso lo zero, è sopravvissuta fino ad oggi. In Europa, i metodi indù di aritmetica decimale si diffusero all'inizio del XIII secolo. grazie al lavoro del matematico italiano Leonardo da Pisa (Fibonacci). Gli europei presero in prestito il sistema numerico indiano dagli arabi, chiamandolo arabo. Questo termine improprio storico continua ancora oggi.

Il sistema decimale utilizza dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) nonché i simboli "+" e "-" per indicare il segno di un numero e un virgola o punto per separare la parte intera da quella decimale.

IN computer viene utilizzato un sistema numerico binario, la cui base è il numero 2. Per scrivere i numeri in questo sistema, vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1. Contrariamente all'idea sbagliata popolare, il sistema numerico binario non è stato inventato da ingegneri progettisti di computer, ma da matematici e filosofi molto prima dell'avvento dei computer, nei secoli XVII-XIX. La prima discussione pubblicata sul sistema numerico binario è del prete spagnolo Juan Caramuel Lobkowitz (1670). L'attenzione generale su questo sistema fu attirata da un articolo del matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz, pubblicato nel 1703. Spiegava le operazioni binarie di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Leibniz non consigliò l'uso di questo sistema per i calcoli pratici, ma ne sottolineò l'importanza per la ricerca teorica. Nel corso del tempo, il sistema di numeri binari diventa noto e si sviluppa.

La scelta del sistema binario da utilizzare nell'informatica è spiegata dal fatto che elementi elettronici- i trigger che costituiscono i chip dei computer possono trovarsi solo in due stati operativi.

Utilizzando il sistema di codifica binaria, puoi acquisire qualsiasi dato e conoscenza. Questo è facile da capire se ricordiamo il principio di codifica e trasmissione delle informazioni utilizzando il codice Morse. Un operatore telegrafico, utilizzando solo due simboli di questo alfabeto: punti e trattini, può trasmettere quasi tutti i testi.

Il sistema binario è comodo per un computer, ma scomodo per una persona: i numeri sono lunghi e difficili da scrivere e ricordare. Naturalmente, puoi convertire il numero nel sistema decimale e scriverlo in questa forma, quindi, quando è necessario, riconvertirlo, ma tutte queste traduzioni richiedono molto lavoro. Pertanto, vengono utilizzati sistemi numerici relativi al binario: ottale ed esadecimale. Per scrivere numeri in questi sistemi sono necessarie rispettivamente 8 e 16 cifre. In 16-terase, le prime 10 cifre sono comuni, quindi vengono utilizzate le lettere latine maiuscole. La cifra esadecimale A corrisponde al numero decimale 10, l'esadecimale B al numero decimale 11, ecc. L'uso di questi sistemi è spiegato dal fatto che il passaggio alla scrittura di un numero in uno qualsiasi di questi sistemi dalla sua notazione binaria è molto semplice. Di seguito è riportata una tabella di corrispondenza tra numeri scritti in diversi sistemi.

Tabella 3. Corrispondenza dei numeri scritti in vari sistemi resa dei conti stimata

Decimale	Binario	Ottale	Esadecimale
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Regole per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro

La conversione dei numeri da un sistema numerico a un altro è una parte importante dell'aritmetica della macchina. Consideriamo le regole di base della traduzione.

1. Per convertire un numero binario in uno decimale, è necessario scriverlo sotto forma di un polinomio costituito dai prodotti delle cifre del numero e della corrispondente potenza di 2, e calcolarlo secondo le regole del decimale aritmetica:

Durante la traduzione è conveniente utilizzare la tabella delle potenze di due:

Tabella 4. Potenze del numero 2

n (grado)
											1024

Esempio. Converti il ​​numero nel sistema numerico decimale.

2. Per la traduzione numero ottale in decimale è necessario scriverlo sotto forma di polinomio, costituito dai prodotti delle cifre del numero e dalla corrispondente potenza del numero 8, e calcolarlo secondo le regole dell'aritmetica decimale:

Durante la traduzione è conveniente utilizzare la tabella delle potenze dell'otto:

Tabella 5. Potenze del numero 8

n (grado)

Diamo un'occhiata a uno di loro gli argomenti più importanti in informatica - . IN curriculum scolastico si rivela piuttosto “modestamente”, molto probabilmente a causa della mancanza di ore ad esso assegnate. Conoscenza su questo argomento, in particolare su traduzione dei sistemi numerici, Sono prerequisito per aver superato con successo l'Esame di Stato Unificato e l'ammissione alle università nelle relative facoltà. Sotto in dettaglio concetti come sistemi numerici posizionali e non posizionali, vengono forniti esempi di questi sistemi numerici, vengono presentate regole per convertire numeri decimali interi, frazioni decimali proprie e numeri decimali misti in qualsiasi altro sistema numerico, convertire numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale, convertire da sistemi numerici ottali ed esadecimali in sistema binario notazione Agli esami a grandi quantità Ci sono problemi su questo argomento. La capacità di risolverli è uno dei requisiti per i candidati. Prossimamente: per ogni argomento della sezione, oltre al materiale teorico dettagliato, quasi tutto possibili opzioni compiti Per studio autonomo. Inoltre, avrai la possibilità di scaricare prodotti già pronti dal servizio di file hosting in modo completamente gratuito. soluzioni dettagliate a questi compiti, illustrando vari modi ottenendo la risposta corretta.

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi numerici non posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.

I sistemi numerici non posizionali includono, ad esempio, il romano, dove al posto dei numeri ci sono lettere latine.

IO	1 (uno)
V	5 (cinque)
X	10 (dieci)
l	50 (cinquanta)
C	100 (cento)
D	500 (cinquecento)
M	1000 (migliaia)

Qui la lettera V sta per 5 indipendentemente dalla sua posizione. Tuttavia, vale la pena ricordare che, sebbene il sistema numerico romano sia un classico esempio di sistema numerico non posizionale, non è completamente non posizionale, perché Da questo viene sottratto il numero più piccolo davanti a quello più grande:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi di numerazione posizionale- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero.

Ad esempio, se parliamo del sistema numerico decimale, nel numero 700 il numero 7 significa "settecento", ma lo stesso numero nel numero 71 significa "sette decine" e nel numero 7020 - "settemila" .

Ogni sistema numerico posizionale ha il suo base. La base è scelta numero naturale, maggiore o uguale a due. È uguale al numero di cifre utilizzate in un dato sistema numerico.

Per esempio:
• Binario- sistema di numerazione posizionale con base 2.
• Quaternario- sistema numerico posizionale a base 4.
• Cinque volte- sistema di numerazione posizionale a base 5.
• Ottale- sistema di numerazione posizionale con base 8.
• Esadecimale- sistema di numerazione posizionale con base 16.

Per risolvere con successo i problemi sull'argomento “Sistemi numerici”, lo studente deve conoscere a memoria la corrispondenza dei numeri binari, decimali, ottali ed esadecimali fino a 16 10:

10 s/s	2 secondi/s	8 s/s	16 secondi/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	UN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

È utile sapere come si ottengono i numeri in questi sistemi numerici. Puoi indovinarlo in ottale, esadecimale, ternario e altri sistemi di numeri posizionali tutto avviene nello stesso modo del sistema decimale a cui siamo abituati:

Viene aggiunto uno al numero e si ottiene un nuovo numero. Se la posizione delle unità diventa uguale alla base del sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1, ecc.

Questa “transizione dell’uno” è ciò che spaventa la maggior parte degli studenti. In realtà, tutto è abbastanza semplice. La transizione avviene se la cifra delle unità diventa uguale a base numerica, aumentiamo il numero di decine di 1. Molti, ricordando il buon vecchio sistema decimale, sono immediatamente confusi riguardo alle cifre in questa transizione, perché le decine decimali e, ad esempio, le decine binarie sono cose diverse.

Pertanto, gli studenti intraprendenti hanno “i propri metodi” (sorprendentemente... funzionanti) quando compilano, ad esempio, tabelle di verità, le cui prime colonne (valori variabili) sono effettivamente riempite numeri binari in ordine crescente.

Ad esempio, vediamo come inserire i numeri sistema ottale: Aggiungiamo 1 al primo numero (0), otteniamo 1. Quindi aggiungiamo 1 a 1, otteniamo 2, ecc. a 7. Se sommiamo uno a 7, otteniamo un numero uguale alla base del sistema numerico, ad es. 8. Quindi è necessario aumentare le decine di uno (otteniamo la decina ottale - 10). Poi ovviamente ci sono i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Regole per la conversione da un sistema numerico all'altro.

1 Conversione di numeri decimali interi in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere diviso per nuova base del sistema numerico. Il primo resto della divisione è la prima cifra minore del nuovo numero. Se il quoziente della divisione è minore o uguale alla nuova base, allora esso (il quoziente) deve essere diviso nuovamente per la nuova base. La divisione deve essere continuata finché non si ottiene un quoziente inferiore alla nuova base. Questa è la cifra più alta del nuovo numero (bisogna ricordare che, ad esempio, nel sistema esadecimale, dopo 9 ci sono le lettere, cioè se il resto è 11, bisogna scriverlo come B).

Esempio ("divisione per un angolo"): convertiamo il numero 173 10 in sistema ottale Resa dei conti.

Quindi, 173 10 =255 8

2 Conversione di frazioni decimali regolari in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere moltiplicato per la base del nuovo sistema numerico. La cifra che è diventata la parte intera è la cifra più alta della parte frazionaria del nuovo numero. per ottenere la cifra successiva, la parte frazionaria del prodotto risultante deve essere nuovamente moltiplicata per una nuova base del sistema numerico fino a quando non si verifica la transizione alla parte intera. Continuiamo la moltiplicazione finché la parte frazionaria non è uguale a zero o finché non raggiungiamo la precisione specificata nel problema (“... calcola con una precisione, ad esempio, di due cifre decimali”).

Esempio: convertiamo il numero 0,65625 10 nel sistema numerico ottale.