مزدوج عملگرها در فضای اقلیدسی عملگرهای خطی در فضاهای اقلیدسی

بگذارید S یک فضای اقلیدسی باشد و بگذارید پیچیدگی آن باشد. اجازه دهید محصول اسکالر در S را با استفاده از فرمول معرفی کنیم:

باید صحت این تعریف را بررسی کنیم. افزایش در آرگومان اول با آرگومان دوم ثابت بدیهی است. برای بررسی خطی بودن با توجه به آرگومان اول، کافی است مطمئن شویم که امکان استخراج یک عامل پیچیده از آرگومان اول وجود دارد. محاسبه مربوطه دشوار نیست، بلکه دست و پا گیر است. دقیقا:

تقارن با چرخش آشکار است - هنگام معکوس کردن مکان ها، بخش واقعی حاصلضرب اسکالر تغییر نمی کند، اما قسمت خیالی علامت تغییر می کند.

در نهایت اگر . بنابراین، پیچیده شدن فضای اقلیدسی S به فضایی واحد تبدیل می شود.

همچنین توجه داشته باشید که حاصل ضرب اسکالر یک جفت بردار و حاصل ضرب اسکالر یک جفت بردار مزدوج مختلط مزدوج مختلط هستند. این به طور مستقیم از تعریف محصول اسکالر در .

2. عملگرها در فضای اقلیدسی و ادامه آنها تا پیچیدگی.

در فضای اقلیدسی، عملگر مزدوج برای یک عملگر با همان فرمول برای هر x و y در فضای واحد تعیین می شود. اثبات وجود و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج با اثبات های مشابه برای یک فضای واحد تفاوتی ندارد. ماتریس عملگر در مبنای متعامد به سادگی با ماتریس عملگر جابه‌جا می‌شود.وقتی عملگرهای مزدوج متقابل از S به آن‌ها بسط می‌یابند، مزدوج باقی می‌مانند.

واقعا،

3. عملگرهای عادی در فضای اقلیدسی.

یک عملگر نرمال در فضای اقلیدسی S هنگامی که به پیچیدگی فضای S بسط می‌یابد نرمال می‌ماند. بنابراین، در S یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه وجود دارد که ماتریس عملگر A را مورب می‌کند.

برای مقادیر ویژه واقعی، می‌توانیم بردارهای ویژه واقعی را بگیریم، یعنی بردارهایی که در S قرار دارند. در واقع، مختصات بردارهای ویژه نسبت به مبنا از معادلات همگن خطی با ضرایب واقعی در مورد یک مقدار ویژه واقعی تعیین می‌شود.

مقادیر ویژه پیچیده به صورت جفت مزدوج با تعدد یکسان ظاهر می شوند. پس از انتخاب یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه متعلق به مقدار ویژه، مبنای بردارهای ویژه برای مقدار ویژه را می توان از بردارهای مزدوج به بردارهای مبنای ارزش ویژه برای X گرفت. چنین مبنایی متعامد خواهد بود. حال اجازه دهید یک زیرفضای مختلط دو بعدی را روی هر جفت کشیده و بردارهای مزدوج را ایجاد کنیم.

همه این زیرفضاها نسبت به یکدیگر و بردارهای ویژه واقعی متناظر با مقادیر ویژه واقعی متعامد هستند.

فضای مختلط پوشیده شده توسط بردارهای u بدیهی است که با زیرفضای مختلط پوشیده شده توسط بردارهای واقعی u و y منطبق است و بنابراین پیچیدگی زیرفضای واقعی است که توسط .

زیرا در فضای اقلیدسی S حاصلضرب اسکالر متقارن است.

از این برابری نتیجه می شود که، یعنی بردارهای و و v متعامد هستند، و همچنین. اکنون به یاد بیاوریم که بردار نرمال شده است، یعنی به دلیل متعامد بودن و و . بنابراین، به طوری که بردارهای و و v نرمال نمی شوند، بلکه پس از ضرب در نرمال می شوند

بنابراین، برای یک عملگر عادی که در فضای اقلیدسی S عمل می کند، یک مبنای متعامد متشکل از بردارهای ویژه متعلق به مقادیر ویژه واقعی، و ضرب در بخش های واقعی و خیالی بردارهای ویژه متعلق به مقادیر ویژه مختلط، وجود دارد. فضاهای فرعی تک بعدی که توسط بردارهای ویژه واقعی پوشانده شده اند و زیرفضاهای دو بعدی که توسط اجزای بردارهای ویژه پیچیده پوشانده شده اند، ثابت هستند، بنابراین ماتریس عملگر در مبنای ساخته شده، شبه قطری است و از بلوک های مورب مرتبه اول و دوم تشکیل شده است. بلوک های مرتبه اول مقادیر ویژه واقعی هستند. بیایید بلوک های مرتبه دوم را پیدا کنیم. اجازه دهید و یک بردار ویژه متعلق به مقدار ویژه باشد. سپس

دقیقاً همان روابط پس از ضرب بردارها در حفظ خواهد شد بنابراین بلوک های مرتبه دوم شکل

همچنین توجه داشته باشید که این بلوک ها از فضای فرعی پوشانده شده توسط بردارهای ویژه مزدوج متعلق به مقادیر ویژه مزدوج ظاهر می شوند، به طوری که همراه با بلوک نوشته شده با استفاده از مقدار ویژه، نیازی به گنجاندن بلوک مربوط به مقدار ویژه نیست.

4. عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی.

یک عملگر معمولی در فضای اقلیدسی اگر و تنها در صورتی که تمام مقادیر ویژه آن واقعی باشند، به خود متصل است. در واقع، یک عملگر خود الحاقی در یک فضای اقلیدسی در پیچیدگی، خود الحاق باقی می ماند. بنابراین، در خود فضای اقلیدسی یک مبنای متعارف وجود دارد که در آن ماتریس آن مورب است. از نظر ماتریس، این بدان معنی است که برای هر واقعی ماتریس متقارنو یک ماتریس متعامد C وجود دارد که مورب است. این شرایط در فصل روشن شد. V در ارتباط با تبدیل متعامد یک فرم درجه دوم به یک فرم متعارف. ارتباط نزدیک بین تئوری عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی و نظریه اشکال درجه دوم به وضوح قابل مشاهده است از این واقعیت که حاصلضرب اسکالر از طریق مختصات یک بردار در یک مبنای متعارف در قالب یک فرم درجه دوم بیان می شود. یک ماتریس برابر با ماتریس عملگر M بر اساس یکسان، و با تبدیل متعامد مختصات، عملگر ماتریس و ماتریس فرم درجه دوم به همین ترتیب تبدیل می شوند:

زیرا برای یک ماتریس متعامد

برای عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی، همان خصوصیاتی وجود دارد که برای عملگرهای خود الحاقی در فضای واحد ذکر شده بود، و اثبات آنها با موارد موجود در فضای واحد تفاوتی ندارد.

بنابراین، ما خود را به فهرست آنها محدود می کنیم.

عملگر خود الحاقی اگر و فقط در صورتی مثبت است که مقادیر ویژه آن مثبت باشد.

یک جذر قطعی مثبت را می توان از یک عملگر قطعی مثبت خود الحاقی استخراج کرد.

هر عملگر غیر منحط را می‌توان به‌عنوان حاصلضرب یک عملگر خود الحاقی قطعی مثبت و یک عملگر متعامد، هر دو در یک نمایش داد، درست است؟ و به ترتیبی متفاوت

یک عملگر طرح ریزی متعامد یک عملگر غیر توان خود الحاقی است و برعکس، یک عملگر غیر توان خود الحاقی یک عملگر طرح ریزی متعامد است.

5. عملگرهای متعامد.

یک عملگر متعامد دارای یک ماتریس متعامد در هر مبنای متعامد است. از آنجایی که عملگر متعامد نرمال است، یک مبنای متعامد وجود دارد که در آن ماتریس عملگر بلوک-مورب است و شامل اعداد واقعی روی قطر و بلوک‌های شکل متعامد چنین ماتریسی است که در هر بلوک از مرتبه دوم (این را می توان از این واقعیت نیز مشاهده کرد که عملگر متعامد هنگامی که تا پیچیده شدن بسط می یابد واحد می شود و از این رو تمام مقادیر ویژه آن مدول 1 هستند.)

می توانید آن را قرار دهید. اپراتور روی صفحه با ماتریس عملگر برای چرخش صفحه توسط یک زاویه است.

یک عملگر متعامد در صورتی به درستی متعامد نامیده می شود که تعیین کننده ماتریس آن برابر با 1 باشد. اگر دترمینان برابر با 1- باشد، عملگر به طور نامناسب متعامد نامیده می شود. ترتیب بردارهای پایه را می توان طوری انتخاب کرد که مورب ابتدا از بلوک های 1، سپس 1- و سپس بلوک های مرتبه دوم پیروی کند. اگر عملگر در واقع متعامد باشد، تعداد عناصر مورب برابر با 1- زوج است. ماتریس مرتبه دوم به عنوان یک بلوک مرتبه دوم در نظر گرفته می شود که از نظر هندسی به معنای چرخش صفحه توسط .

بنابراین، عمل عملگر متعامد از نظر هندسی به معنای زیر است. فضا به مجموع متعامد زیرفضاها تقسیم می شود که یکی از آنها توسط بردارهای ویژه متعلق به مقدار ویژه 1 پوشانده شده است - این زیرفضای بردارهای ثابت و چندین زیرفضای دو بعدی است که هر کدام با یک زاویه خاص (به طور کلی) می چرخند. ، صفحات مختلف در زوایای مختلف).

در مورد یک عملگر متعامد نامناسب، بردار پایه دیگری وجود دارد که تحت عمل عملگر به بردار مخالف تبدیل می شود.

سخنرانی 9

عملگرها در فضاهای اقلیدسی

عملگرهای خطی که در فضاهای اقلیدسی کار می کنند تعدادی ویژگی خاص دارند که برای کاربردهای جبر خطی در حوزه های موضوعی مختلف بسیار مهم است. ما فقط بر روی موضوعات اصلی این نظریه تمرکز خواهیم کرد، به ویژه، ما نظریه عملگرهای خطی را منحصراً در فضاهای واقعی با پایه های متعامد، یعنی در فضا، مطالعه خواهیم کرد. علاوه بر این، عملگرها را به عنوان تبدیل در نظر می گیریم، یعنی عملگرها را مطالعه می کنیم
.

عملگر مزدوج . بیایید مفهوم اپراتور را در نظر بگیریم، مرتبط با اپراتور ، در فضای اقلیدسی عمل می کند
.

تعریف 9.1. اجازه دهید
- چند عملگر خطی اپراتور
تماس گرفتمرتبط با اپراتور ، اگر
شرط برقرار است

. (9.1)

قضیه 9.1. برای هر عملگر خطی
یک عملگر مزدوج منحصر به فرد وجود دارد
که خطی هم هست.

اثبات 1) به اپراتور اجازه دهید وجود دارد، اجازه دهید منحصر به فرد بودن آن را ثابت کنیم. برای انجام این کار، فرض کنید که این عملگر تنها نیست، به عنوان مثال، دو عملگر وجود دارد. و ، تعریف رضایت بخش 9.1. سپس طبق فرمول (9.1) داریم:

,
, (9.2)

از کجا بیاریم

با توجه به اینکه در تعریف 9.1 (در فرمول (9.1)) بردار
دلخواه است، ما در برابری قرار می دهیم (9.3)

,

.

از آنجایی که حاصلضرب اسکالر اصل عدم انحطاط را برآورده می کند، از آخرین برابری داریم

از آنجا، به دلیل دلخواه بودن بردار به دنبال آن است
و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج ثابت شده است.

2) اجازه دهید خطی بودن عملگر مزدوج را ثابت کنیم. با استفاده از تعریف (9.1) و ویژگی های حاصلضرب اسکالر، به دست می آوریم:

,
و

آ)
;

از مقایسه فرمول های a) و b) نتیجه می شود که عملگر مزدوج خطی است ، برای مثال:

.

3) اکنون وجود عملگر مزدوج را اثبات می کنیم. بیایید آن را در فضا درست کنیم
مبنای متعارف
و بردارها را بنویسید
و
در قالب گسترش آنها در امتداد مبنای متعارف:

;
. (9.4)

محاسبه سمت چپ و راست (9.1) را در نظر بگیرید:

;

.

با مقایسه دو برابری آخر با در نظر گرفتن (9.1)، به دست می آوریم:

. (9.5)

بنابراین، اگر ماتریس عملگر به نظر می رسد

,

سپس ماتریس عملگر مزدوج شکل می گیرد

. (9.6)

از (9.6) نتیجه می شود که ماتریس عملگر مزدوج در هر مبنای متعارف
با جابجایی ماتریس عملگر پیدا می شود که وجود عملگر مزدوج را ثابت می کند.

اجازه دهید یک قضیه را در مورد خواص عملگر مزدوج به یک عملگر خطی اثبات کنیم.

قضیه 9.2. ویژگی های زیر عملگر مزدوج معتبر است: :
و

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

اثبات بیایید رابطه اول را ثابت کنیم. اجازه دهید یک عملگر خطی دلخواه است. برای عملگر مزدوج مزدوج عملگر خواهد بود . سپس:

آخرین برابری برای هر بردار برقرار است ، به این معنا که،

,

از آنجا برهان مال اولی می آید.

اجازه دهید رابطه دوم را ثابت کنیم. برای انجام این کار، زنجیره تبدیل زیر را در نظر بگیرید:

از مقایسه ضلع چپ و راست برابری (9.8)، اثبات خاصیت دوم به دست می آید.

خواص باقی مانده به روشی مشابه اثبات می شود.

اپراتورهای خود الحاقی . در برنامه های کاربردی پراهمیتدارند عملگرهای خود الحاقی .

تعریف 9.2. عملگر خطی
تماس گرفتخود الحاقی ، اگر
.

از تعریف به دست می آید که عملگر خود الحاقی رابطه را برآورده می کند

. (9.9)

از آنجایی که ماتریس عملگر مزدوج برابر با ماتریس انتقالی عملگر است ، سپس عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی برابری را برآورده می کند
، به این معنا که عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی، متقارن نسبت به قطر اصلی، برابر هستند.. چنین ماتریسی نامیده می شود متقارن . به همین دلیل، اپراتورهای خود الحاقی
اغلب نامیده می شود متقارن .

عملگرهای خود الحاقی تعدادی ویژگی دارند که با استفاده از تعریف و ویژگی های عملگر الحاقی به راحتی می توان آنها را اثبات کرد.

1. تک عملگر خود الحاقی است.

اثبات به طور مشخص،

.

2. مجموع عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است.

اثبات اگر
و
، آن

.

3. ترکیبی از عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است اگر و تنها در صورتی که این عملگرها جابجایی باشند.

اثبات به یاد بیاورید که عملگرها را commutative if می نامند

,

,

جایی که - اپراتور تهی اگر
,
، آن

,

که برابر است با اگر و فقط در صورتی که عملگرها جابجایی باشند.

4. اپراتور ، معکوس به یک عملگر خود الحاقی غیر منحط
همچنین اپراتور خود الحاقی.

اثبات در واقع، اگر
، آن

.

5. اگر یک عملگر خود الحاقی است، سپس حاصلضرب این عملگر با یک عدد واقعی است
یک اپراتور خود الحاقی است.

اثبات از خاصیت سوم (9.7) داریم:

.

قضیه 9.3. بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی ، بازیگری در فضا
، مربوط به مقادیر ویژه دو به دو، متعامد هستند.

:
و
، و
. از آنجایی که اپراتور به خودی خود متصل است، پس
. بنابراین در سمت چپ و راست به ترتیب موارد زیر را داریم:

;

.

جایی که در حال اجراست
ما گرفتیم:
.

قضیه مهم زیر برای عملگرهای خود الحاقی صادق است.

قضیه 9.4. همه ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی
واقعی و متفاوت

اثبات که در مورد کلیاثبات قضیه کاملاً دست و پا گیر است. به همین دلیل، ما یک مدرک برای مورد اپراتور ارائه می دهیم
. بنابراین، اجازه دهید یک عملگر خطی داده شود
با ماتریس . سپس معادله مشخصه این عملگر به شکل زیر است:

.

با گسترش دترمینان، معادله مشخصه را به دست می آوریم:

جواب این معادله با استفاده از فرمول معروف بدست می آید:

.

ممیز به شکل زیر است:

بدیهی است که اولین عبارت همیشه مثبت است، و دومی مثبت است، زیرا
. بنابراین ریشه های معادله مشخصه واقعی و متفاوت است.

قضیه 9.5. اجازه دهید
- اپراتور خود الحاقی سپس در فضا
شما می توانید یک پایه متعارف را انتخاب کنید

به طوری که ماتریس عملگر در این پایه مورب بود.

اثبات بر اساس قضیه 9.4، تمام ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی واقعی و متمایز هستند، و بنابراین، بر اساس قضیه 9.3، بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاق متقابل متعامد هستند. به وضوح می توان سیستم بردارهای ویژه را عادی کرد. اما سپس این بردارها اساس فضا را تشکیل می دهند
، که در آن عملگر یک عملگر ساختار ساده است، یعنی دارای یک ماتریس مورب است.

عملگرهای متعامد و خواص آنها، تفسیر هندسی . اجازه دهید تعریف و خصوصیات دسته مهمی از عملگرهای فعال در فضا را در نظر بگیریم
.

تعریف 9.3. اپراتور ، بازیگری در فضا
، تماس گرفتقائم ، اگر محصول نقطه را حفظ کند، یعنی

.(9.10)

از تعریف بر می آید که عملگر متعامد هنجارها (طول) بردارها و زوایای بین آنها را حفظ می کند. .

لم 9.1. اپراتور

.

اثبات اجازه دهید

,

جایی که داریم:
. باور کردن
، ما گرفتیم:

.

اجازه دهید
. سپس داریم:

.

بدیهی است که عملگر متعامد غیر منحط است یعنی ماتریس آن ماتریس معکوس دارد.

قضیه 9.6 (در مورد خواص عملگرهای متعامد). عملگرهای متعامد
دارای خواص زیر است:

1)عملگر هویت متعامد است.

2)ترکیب عملگرهای متعامد نیز یک عملگر متعامد است.

3)عملگر معکوس یک عملگر متعامد نیز متعامد است.

4)اگر
یک عملگر متعامد است، سپس عملگر
اگر و فقط اگر متعامد است
.

اثبات 1. اثبات این خاصیت تقریباً واضح است:

.

2. اجازه دهید
و
- عملگرهای متعامد سپس:

3. اجازه دهید عملگر متعامد در نظر بگیریم
:

.

4. اجازه دهید - عملگر متعامد سپس

.

قضیه 9.7 (معیار متعامد بودن یک عملگر). اپراتور ، بازیگری در فضا
، متعامد است اگر و فقط در صورتی که حداقل یک مبنای متعامد به یک مبنای متعامد داشته باشد..

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد سپس او با حفظ حاصل ضرب اسکالر، مبنای متعارف را به یک مبنای متعارف تبدیل می کند.

اجازه دهید اکنون اپراتور
مبنای متعارف را ترجمه می کند

به یک مبنای متعارف جدید

.

سپس

.

.

بیایید ویژگی های ماتریس عملگر متعامد را در نظر بگیریم.

قضیه 9.8. سیستم بردارهای ستونی (ردیف) ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف

متعارف است.

اثبات اجازه دهید
– چند عملگر متعامد و
- برخی از پایه های متعارف. با قضیه 9.9، سیستم تصاویر بردارهای پایه خود متعارف است، یعنی
. بنابراین، برای ستون های ماتریس عملگر

,

(به عنوان بردارهای فضای حسابی
) ما داریم:

. (9.11)

یک ویژگی مشابه برای ردیف های ماتریس صادق است :

.
(9.12)

قضیه 9.9. ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف، شرایط را ارضا می کند

. (9.13)

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد از آنجایی که ماتریس های عملگر و با روابط مرتبط است

,

از آنجا برای ماتریس عملگر (9.11) را بدست می آوریم.

برعکس، اجازه دهید رابطه (9.11) ارضا شود. سپس
، که از آن نتیجه می شود که اپراتور متعامد است

تعریف 9.4. ماتریس ، که دارایی مربوط به آن است(9.13),متعامد نامیده می شود.

اجازه دهید چند قضیه در مورد خواص عملگر متعامد ارائه کنیم.

قضیه 9.10. مقادیر ویژه عملگر متعامد بازیگری در فضا
، برابر هستند
.

اثبات اجازه دهید
. سپس

از آنجایی که طبق تعریف
، آن
.

قضیه 9.11. تعیین کننده یک ماتریس متعامد برابر است

.

اثبات برای یک ماتریس متعامد برابری
. از همین رو
. سپس

.

اجازه دهید عملگر خطی آدر فضای اقلیدسی E n عمل می کند و این فضا را به خود تبدیل می کند.

معرفی کنیم تعریف: اپراتور آ* بیایید آن را مزدوج عملگر بنامیم آ، اگر برای هر دو بردار باشد x، yاز E n برابری حاصل از اسکالر فرم برآورده می شود:

(تبر، y) = (x، A*y)

بیشتر تعریف: یک عملگر خطی اگر با عملگر الحاقی خود برابر باشد، خود الحاقی نامیده می شود، یعنی تساوی برقرار است:

(تبر، y) = (x، آی)

یا به طور خاص ( تبر، x) = (x، تبر).

عملگر self-adjoint ویژگی های خاصی دارد. به برخی از آنها اشاره می کنیم:

مقادیر ویژه یک اپراتور خود الحاق واقعی هستند (بدون اثبات)؛

بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی متعامد هستند. در واقع، اگر x 1و x 2بردارهای ویژه هستند و  1 و  2 مقادیر ویژه آنها هستند، سپس: تبر 1 =  1 ایکس; تبر 2 =  2 ایکس; (تبر 1، x 2) = (x 1، تبر 2) یا  1 ( x 1، x 2) =  2 (x 1، x 2). از آنجایی که  1 و  2 متفاوت هستند، پس از اینجا ( x 1، x 2) = 0، که باید ثابت شود.

در فضای اقلیدسی یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه عملگر خود الحاقی وجود دارد. آ. یعنی، ماتریس یک عملگر خود الحاقی همیشه می تواند به شکل مورب در برخی پایه های متعارف متشکل از بردارهای ویژه عملگر خود الحاقی کاهش یابد.

یکی دیگر تعریف: بیایید یک عملگر خود الحاقی را که در فضای اقلیدسی عمل می کند صدا کنیم متقارناپراتور بیایید ماتریس یک عملگر متقارن را در نظر بگیریم. بیایید این جمله را ثابت کنیم:برای متقارن بودن یک عملگر، لازم و کافی است که ماتریس آن بر اساس متعارف متقارن باشد.

اجازه دهید آ – عملگر متقارن، یعنی:

(تبر، y) = (x، آی)

اگر آماتریس عملگر A است و ایکسو y– چند بردار، سپس می نویسیم:

مختصات ایکسو yدر برخی از پایه های متعارف

سپس: ( x، y) = X T Y = Y T X و داریم ( تبر، y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x، آی) = X T (AY) = X T AY،

آن ها X T A T Y = X T AY. برای دلخواه ماتریس های ستون X،Yاین برابری تنها زمانی امکان پذیر است که A T = A، به این معنی که ماتریس A متقارن است.

بیایید به چند نمونه از عملگرهای خطی نگاه کنیم

اپراتور طرح.لازم است ماتریس یک عملگر خطی را پیدا کنیم که فضای سه بعدی را روی محور مختصات پخش می کند. ه 1 در اساس ه 1 , ه 2 , ه 3 . ماتریس عملگر خطی ماتریسی است که ستون های آن باید حاوی تصاویر بردارهای پایه باشد ه 1 = (1,0,0), ه 2 = (0,1,0), ه 3 = (0،0،1). این تصاویر به وضوح وجود دارند: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

بنابراین، در اساس ه 1 , ه 2 , ه 3 ماتریس عملگر خطی مورد نظر به شکل زیر خواهد بود:

بیایید هسته این عملگر را پیدا کنیم. طبق تعریف، هسته مجموعه ای از بردارها است ایکس، که برای آن AX = 0. یا

یعنی هسته عملگر مجموعه ای از بردارها است که در صفحه قرار دارند ه 1 , ه 2 . بعد هسته n – rangA = 2 است.

مجموعه تصاویر این عملگر مشخصا مجموعه ای از بردارهای خطی است ه 1 . بعد فضای تصویر برابر با رتبه عملگر خطی و برابر است با 1 ، که کمتر از ابعاد فضای پیش تصویر است. یعنی اپراتور آ- منحط ماتریس A نیز مفرد است.

مثالی دیگر: پیدا کردن ماتریس یک عملگر خطی که در فضای V 3 (مبنای من, j, ک) تبدیل خطی - تقارن در مورد مبدا.

ما داریم: Ai = -i

یعنی ماتریس مورد نظر

یک تبدیل خطی را در نظر بگیرید - تقارن در مورد هواپیما y = ایکس.

Aj = من(1,0,0)

آک = ک (0,0,1)

ماتریس عملگر به صورت زیر خواهد بود:

مثال دیگر ماتریس آشنا است که مختصات یک بردار را هنگام چرخش محورهای مختصات به هم متصل می کند. اجازه دهید عملگر را که محورهای مختصات را می چرخاند عملگر چرخش بنامیم. فرض کنید در یک زاویه  می چرخیم:

Ai’ = cos من+ گناه j

Aj’ = -sin من+cos j

ماتریس عملگر چرخش:

Ai ‘ Aj ‘

بیایید فرمول های تبدیل مختصات یک نقطه را هنگام تغییر پایه به یاد بیاوریم - جایگزینی مختصات در هواپیما هنگام تغییر پایه:

E این فرمول ها به دو صورت قابل بررسی است. قبلاً این فرمول ها را در نظر گرفتیم تا نقطه ثابت بماند، سیستم مختصات بچرخد. اما می توان در نظر گرفت که سیستم مختصات ثابت می ماند اما نقطه از موقعیت M * به موقعیت M حرکت می کند. مختصات نقطه M و M * در همان سیستم مختصات تعریف شده است.

که در تمام آنچه گفته شد به ما امکان می دهد به مشکل بعدی نزدیک شویم که برنامه نویسانی که با گرافیک روی رایانه سروکار دارند باید حل کنند. بگذارید یک شکل مسطح خاص (مثلاً مثلث) روی صفحه رایانه نسبت به نقطه O با مختصات (a, b) از یک زاویه  بچرخانید. چرخش مختصات با فرمول های زیر توصیف می شود:

انتقال موازی روابط زیر را فراهم می کند:

برای حل چنین مشکلی معمولاً از یک تکنیک مصنوعی استفاده می شود: مختصات به اصطلاح "همگن" یک نقطه در صفحه XOY معرفی می شود: (x, y, 1). سپس ماتریسی که انتقال موازی انجام می دهد را می توان نوشت:

واقعا:

و ماتریس چرخش:

مشکل مورد نظر در سه مرحله قابل حل است:

مرحله اول: انتقال موازی به بردار A(-a, -b) برای تراز کردن مرکز چرخش با مبدا مختصات:

مرحله دوم: چرخش با زاویه :

مرحله سوم: انتقال موازی به بردار A(a,b) برای بازگشت مرکز چرخش به موقعیت قبلی:

تبدیل خطی مورد نظر در قالب ماتریس به صورت زیر خواهد بود:

(**)

در این بخش نشان خواهیم داد که چگونه تعاریف و نتایج بخش‌های قبلی به فضاهای اقلیدسی واقعی منتقل می‌شوند.

1. نکات کلی.

یک فضای اقلیدسی واقعی با ابعاد دلخواه V و عملگر A را در نظر بگیرید که در V عمل می کند.

مفهوم عملگر خطی برای فضای خطی واقعی در قیاس کامل با مفهوم متناظر برای فضای پیچیده فرمول بندی شده است.

تعریف 1. عملگر A خطی نامیده می شود اگر برای هر عنصری از هر اعداد حقیقی a و P برابر باشد.

در قیاس کامل با فضای پیچیده، مفهوم مقدار ویژه و بردار ویژه یک عملگر معرفی شده است.

توجه به این نکته مهم است که مقادیر ویژه ریشه معادله مشخصه عملگر هستند.

گزاره معکوس در حالت واقعی تنها در صورتی صادق است که ریشه متناظر معادله مشخصه واقعی باشد. فقط در این حالت ریشه مشخص شده، مقدار ویژه عملگر خطی مورد بررسی خواهد بود.

در این راستا، طبیعی است که دسته ای از عملگرهای خطی را در فضای اقلیدسی واقعی که همه ریشه های معادلات مشخصه آنها واقعی هستند، جدا کنیم.

در قضیه 5.16 که در بالا ثابت شد، مشخص شد که تمام مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند. علاوه بر این، مفهوم اپراتور خود الحاقی بازی کرد نقش مهمدر نتیجه گیری § 6 این فصل در مورد اشکال درجه دوم. بنابراین طبیعی است که مفهوم عملگر خود الحاقی را به فضای واقعی بسط دهیم.

اجازه دهید ابتدا مفهوم مزدوج عملگر A را با عملگر A معرفی کنیم. یعنی عملگر A به A مزدوج گفته می شود اگر برای هر x و y از V برابر باشد.

قضیه 5.12 در مورد وجود و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج را می توان بدون مشکل به فضای واقعی منتقل کرد.

به یاد بیاورید که اثبات قضیه 5.12 متکی بر مفهوم یک شکل غیر مستقیم است. در حالت واقعی به جای شکل sesquilinear باید از فرم دوخطی استفاده کنید

به همین مناسبت، در بند 2 § 4 ch. 5 تذکر مربوطه بیان شد.

در این رابطه، اجازه دهید تعریف یک شکل دوخطی را به هر شکل واقعی، نه لزوما اقلیدسی، یادآوری کنیم. فضای خطیفرض کنید B تابعی باشد که یک عدد واقعی را به هر جفت مرتب شده از بردارها مرتبط می کند

تعریف 2. یک تابع را یک فرم دوخطی می نامند که در صورتی تعریف می شود که برای هر یک از بردارها و هر عدد واقعی X روابط زیر برآورده شود:

نقش مهمی در این بخش با نمایش خاصی از فرم دوخطی در فرم ایفا خواهد کرد

که در آن A یک عملگر خطی است. قضیه متناظر (قضیه 5.11) در مورد یک نمایش مشابه از یک فرم بدون خطی در فضای پیچیده بر اساس نتیجه‌گیری لمای § 4 این فصل در مورد نمایش ویژه یک فرم خطی است. در پایان این پاراگراف اشاره شد که این لم در فضای واقعی نیز صادق است. ما فقط متذکر می شویم که در اثبات لم، انتخاب عناصر باید نه بر اساس فرمول (5.41)، بلکه با استفاده از فرمول Where is یک شکل خطی داده شده در فضای واقعی انجام شود.

در بند 6 این فصل اشکال هرمیتی معرفی شد. فرم هرمیتی شکلی بدون خط در فضای پیچیده است که با رابطه مشخص می شود (نوار روی B به این معنی است که مزدوج پیچیده B گرفته شده است).

در مورد فضای واقعی، فرم های دوخطی متقارن به عنوان آنالوگ فرم های هرمیتی عمل می کنند. این فرم با نسبت مشخص می شود

یک شکل دوخطی که روی فضای خطی تعریف می‌شود، در صورتی که برای هر یک از بردارهایی از این رابطه ارضا شود، متقارن - کج نامیده می‌شود. بدیهی است که برای هر شکل دوخطی تابع

به ترتیب فرم های دوخطی متقارن و کجی متقارن هستند. زیرا در این صورت عبارت زیر را دریافت می کنیم:

هر شکل دوخطی را می توان به صورت مجموع یک فرم دوخطی متقارن و یک شکل دوخطی متقارن نشان داد.

به راحتی می توان دید که چنین نمایشی منحصر به فرد است.

ما قضیه زیر را در مورد اشکال دوخطی متقارن اثبات خواهیم کرد (این قضیه به عنوان یک آنالوگ قضیه 5.25 در اشکال هرمیتی عمل می کند).

قضیه 5.33. برای اینکه یک شکل دوخطی تعریف شده بر روی تمام بردارهای ممکن x و y یک فضای واقعی اقلیدسی V متقارن باشد، لازم و کافی است که عملگر خطی A که در نمایش (5.113) ظاهر می شود، خود الحاقی باشد.

اثبات اگر A یک عملگر خود الحاقی باشد، با استفاده از ویژگی های حاصلضرب اسکالر، به دست می آوریم

بنابراین، رابطه (5.114) برآورده می شود، یعنی شکل دوخطی متقارن است.

اگر فرم متقارن باشد، روابط معتبر هستند

بنابراین عملگر A خود الحاقی است. قضیه ثابت شده است.

اجازه دهید مفهوم ماتریس یک عملگر خطی A را معرفی کنیم. بگذاریم

سپس، همانطور که در مورد پیچیده، نشان دادن اینکه اگر پس از آن . اجزای برداری دارای نمایش زیر هستند:

ماتریس در پایه ماتریس عملگر خطی A نامیده می شود

همانطور که در بند 2 این فصل انجام شد، می توان ثابت کرد که کمیت به انتخاب مبنا بستگی ندارد و بنابراین، تعیین کننده عملگر A به درستی معرفی می شود.

معادله مشخصه مربوط به عملگر A معادله چند جمله ای سمت چپ این معادله است که چند جمله ای مشخصه عملگر A نامیده می شود.

حال اجازه دهید قضیه را در مورد ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی در فضای اقلیدسی واقعی ثابت کنیم.

قضیه 5.34. تمام ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی خود الحاقی A در فضای اقلیدسی واقعی هستند.

اثبات اجازه دهید ریشه معادله مشخصه باشد

اپراتور خود الحاقی A.

برخی از پایه ها را در V ثابت می کنیم و با - عناصر ماتریس عملگر A در این مبنا نشان می دهیم (توجه داشته باشید - اعداد واقعی هستند).

ما به دنبال جواب غیر صفر برای سیستم معادلات همگن خطی زیر با توجه به

از آنجایی که تعیین کننده سیستم (5.116) برابر است با (به یاد بیاورید که تعیین کننده ماتریس تبدیل خطی به انتخاب مبنا و طبق (5.115) این تعیین کننده بستگی ندارد. برابر با صفر، سپس سیستم (5.116) معادلات خطی همگن دارای جواب غیر صفر است

با جایگزینی این راه حل در سمت راست و چپ سیستم (5.116)، با در نظر گرفتن این موضوع و سپس جدا کردن بخش های واقعی و خیالی روابط حاصل، متوجه می شویم که مجموعه اعداد واقعی راضی کننده هستند. سیستم بعدیمعادلات:

بر این اساس بردارهای x و y را به ترتیب با مختصات در نظر بگیرید. سپس روابط (5.117) را می توان در فرم بازنویسی کرد

اجازه دهید اولی از روابط به دست آمده را در y و دومی را در x ضرب کنیم. بدیهی است که ما برابری ها را بدست می آوریم

از آنجایی که عملگر A خود الحاقی است، پس با تفریق روابط (5.118) برابری را بدست می آوریم.

اما (بنابراین اگر در آن صورت، راه حل صفر خواهد بود، در حالی که با ساخت این راه حل غیر صفر است). بنابراین، a از قسمت خیالی ریشه معادله مشخصه (5.115) است، پس بدیهی است که یک عدد واقعی است. قضیه ثابت شده است.

همانطور که در حالت پیچیده، برای یک عملگر خود الحاقی، عبارت وجود صادق است مبنای متعارف، متشکل از بردارهای ویژه این عملگر (آنالوگ قضیه 5.21). بیایید این گفته را ثابت کنیم.

قضیه 5.35. هر عملگر خطی خود الحاقی A که در فضای n بعدی اقلیدسی واقعی V عمل می کند، مبنای متعارفی از بردارهای ویژه دارد.

اثبات بگذار واقعی باشد مقدار خاصعملگر A، a بردار ویژه واحد مربوط به این مقدار ویژه است

اجازه دهید با فضای فرعی -بعدی فضای V، متعامد به Obviously، - زیرفضای ثابت فضای V را نشان دهیم (یعنی اگر پس). در واقع، اجازه دهید از آنجایی که عملگر A خود الحاقی است - مقدار ویژه A، ما به دست می آوریم

220400 جبر و هندسه Tolstikov A.V.

سخنرانی ها 15. عملگرهای خطی در فضاهای اقلیدسی

طرح

1. عملگرهای مزدوج فضاهای اقلیدسی و خصوصیات آنها.

2. اپراتورهای خود الحاقی.

3. ماتریس های متعامد و خواص آنها.

4. عملگرهای متعامد و خصوصیات آنها

1. درس هندسه تحلیلی و جبر خطی. M.: Nauka، 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی. 1997.

3. Voevodin V.V. جبر خطی.. M.: Nauka 1980.

4. مجموعه مشکلات برای دانشکده ها. جبر خطی و مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی. اد. Efimova A.V.، Demidovich B.P.. M.: Nauka، 1981.

5. بوتوزوف V.F.، Krutitskaya N.Ch.، Shishkin A.A. جبر خطی در سؤالات و مسائل. M.: Fizmatlit، 2001.

6. Voevodin V.V. جبر خطی. M.: Nauka، 1980.

1. عملگرهای مزدوج فضاهای اقلیدسی و خصوصیات آنها.اجازه دهید E- فضای اقلیدسی بر روی میدان اعداد حقیقی آر ، که حاصل ضرب اسکالر بردارها ( آ ,ب ), آ ,ب Î E.

تعریف 1.عملگر خطی آ* فضای اقلیدسی Eتماس گرفت مزدوجعملگر خطی آ* فضا E، اگر برای هر بردار آ ,ب Î Eشرط برقرار است:

(Aa ,ب ) = (آ ,الف*ب ). (1)

لم 1.اگر حاصل ضرب یک رشته داده شده باشدU به هر ستونY صفر است، سپس خطتو صفر اگر حاصلضرب هر رشتهایکس تی بر ستون داده شده U برابر با صفر است، سپس ستونخالی.

اثباتاجازه دهید U= (تو 1 , تو 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)تی. با توجه به شرایط قضیه، برای هر عدد y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (تو 1 , تو 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)تی = تو 1 y 1 + تو 2 y 2 +…+u n y n=0. اگر همه اعداد y 1 , y 2 ,…,y nبرابر 0 هستند، به جز y j، که = 1 است، سپس آن را دریافت می کنیم u j (من = 1,2,…,n). از همین رو U=0. گزاره دوم قضیه به روشی مشابه اثبات می شود. 

قضیه 1.اجازه دهید v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - اساس فضای اقلیدسیE, آ - ماتریس عملگر خطی آ نسبت به پایه v, جی = (g ij) - پایه ماتریس گرم v. اگر برای عملگر خطیآ یک عملگر مزدوج وجود داردآ *، سپس برابری برآورده می شود

A t G = GA*. (2)

اثباتاجازه دهید ایکسو Yستون مختصات برداری آ ,ب Î Eنسبت به پایه v, آو آ*ماتریس های عملگر خطی آ و آ * نسبت به پایه v. سپس

(Aa , ب ) =(v(تبر), vY) = (تبر) t G.Y., (آ ,الف*ب ) = ایکستی G A * Y.(3)

از اینجا با استفاده از فرمول (1) برابری ( تبر) t G.Y.= ایکستی G A * Y,برای هر بردار ستونی معتبر است ایکسو Y.از آنجایی که بردارها آ ,ب دلخواه هستند، سپس توسط لم 1 به دست می آوریم A t G = GA*.

قضیه 2.اگر اساسv = (v 1 , v 2 ,…, v n) فضای اقلیدسیE متعارف، پس ماتریسعملگر خطی مزدوج A*آ* به ماتریس منتقل می شوداپراتور آ ;

A t = آ*. (4)

اثباتاز آنجایی که ماتریس گرم مبنای متعارف، هویت است، جی = E، سپس (4) از (2) می آید . 

نتیجه 1. برای هر اپراتورآ برابری درست است (آ* ) * = آ .

اثباتطبق فرمول (4) برای ماتریس عملگرهای خطی ( آ* ) * و آ در یک مبنای متعارف ما داریم ( آ*) * = (A t)تی = آ. از همین رو ( آ* ) * = آ .

نتیجه 2. برای هر اپراتورآ , ببرابری درست است (AB ) * = B*A* .

اثباتطبق فرمول (4) برای ماتریس های عملگرهای خطی آ ,ب و آ* , ب* در یک مبنای متعارف ما داریم ( AB) * = (AB)تی = B t A t = ب * آ*. از همین رو ( AB ) * = B*A* .

نتیجه 3. مقادیر ویژه عملگرهای خطیآ وآ* همخوانی داشتن.

اثباتاز آنجایی که چند جمله ای های مشخصه ماتریس ها بر هم منطبق هستند، مقادیر ویژه عملگرهای خطی که ریشه معادله مشخصه هستند منطبق هستند. . 

قضیه 3. برای هر عملگر خطیآ فضای اقلیدسیE یک عملگر خطی مزدوج منحصر به فرد وجود داردآ* .

اثباتاجازه دهید v = (v 1 , v 2 ,…, vن) مبنای متعارف فضای اقلیدسی E, آ - عملگر خطی با ماتریس آنسبت به پایه v. بیایید در نظر بگیریم Eعملگر خطی ب با ماتریس A tنسبت به این مبنا. اپراتور ب فقط یکی وجود دارد ضلع راست تساوی (3) برابر است با: تبر) t G.Y. = ایکستی G A * Y.بنابراین، چپ ها نیز برابر هستند ( Aa , ب ) = (آ ,Bb ). بنابراین اپراتور ب - رابط برای اپراتور آ . 

2. اپراتورهای خود الحاقی.

تعریف 1.عملگر خطی آ فضای اقلیدسی Eتماس گرفت خود الحاقی یا متقارن، اگر آ = آ* ، یعنی برای هر بردار از دو آ ,ب Î Eشرط برقرار است:

(Aa , ب ) = (آ ,Ab ). (1)

قضیه 1. عملگر خطیآ فضای اقلیدسیE به صورت خود الحاقی است اگر و فقط اگر ماتریس باشدیک عملگر خطیآ در پایه متعامد یک ماتریس متقارن وجود دارد، یعنی.. آ = آ * .