عملگر مزدوج در فضای اقلیدسی. عملگرهای خطی در فضای اقلیدسی

§ 5. عملگرهای خود الحاقی خطی
در فضای اقلیدسی .

1. مفهوم عملگر مزدوج. در نظر می گیریم عملگرهای خطیدر یک فضای اقلیدسی محدود بعدی V. تعریف 1. یک عملگر A* از L(V, V) به عملگر خطی A مزدوج گفته می شود اگر برای هر x و y از V رابطه باشد.

(Ax, y) = (x, A*y). (5.51)

به راحتی می توان تأیید کرد که عملگر A*، مزدوج با عملگر خطی A، خود یک عملگر خطی است. این از رابطه آشکار ناشی می شود

برای هر عنصر x، y 1، y 2 و هر عدد مختلط α معتبر است و β.

اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 5.12.هر عملگر خطی A یک الحاق منحصر به فرد دارد.

اثباتبدیهی است که حاصلضرب اسکالر (Ax, y) یک فرم بدون خطی است (به فصل 4، § 3، بند 1 و تعریف یک فرم بدون خطی مراجعه کنید). با قضیه 5.11، یک عملگر خطی منحصر به فرد A* وجود دارد که این شکل را می توان به شکل (x، A*y) نشان داد. بنابراین، (Ax، y) = x، A*y.
در نتیجه، عملگر A* مزدوج عملگر A است. منحصر به فرد بودن عملگر A* از منحصر به فرد بودن نمایش یک عملگر بدون خط به شکل E.44 ناشی می شود. قضیه ثابت شده است.

در ادامه، نماد A* نشانگر عملگر مزدوج با عملگر A است.
توجه داشته باشید خواص زیرعملگرهای مزدوج:

اثبات خواص 1-4 درجه ابتدایی است و ما آنها را به خواننده واگذار می کنیم. اجازه دهید یک مدرک برای ویژگی 5 درجه ارائه کنیم. با توجه به تعریف حاصلضرب عملگرها، رابطه (AB)x = A(Bx) معتبر است. با استفاده از این برابری و تعریف عملگر مزدوج، زنجیره روابط زیر را بدست می آوریم:

((AB)x، y) = (A(Bx)، y) = (Bx، A*y) = = (x، B*(A*y)) = (x، (B*A*)y) .

بنابراین، ((AB)x، y) = (x، (B*A*)y). به عبارت دیگر عملگر B*A* مزدوج با عملگر AB است. اعتبار ویژگی 5 درجه ثابت شده است.

اظهار نظر.مفهوم عملگر مزدوج برای یک فضای واقعی به روشی کاملاً مشابه معرفی شده است. نتیجه گیری این نکته و ویژگی های عملگرهای مزدوج نیز برای این مورد معتبر است (در این مورد، ویژگی 3° به صورت زیر فرموله می شود: (λA)* = λA*).

2. اپراتورهای خود الحاقی. خواص اساسی
تعریف 2.عملگر خطی A از L(V, V) در صورت تساوی، خود الحاقی نامیده می شود

A* =A.

یک عملگر خود الحاقی در یک فضای واقعی به طور مشابه تعریف می شود.
ساده ترین مثال از یک عملگر خود الحاقی، عملگر هویت I است (به ویژگی 1 درجه عملگرهای الحاقی در پاراگراف قبل مراجعه کنید).
با استفاده از عملگرهای خود الحاقی، می توانید نمایش ویژه ای از عملگرهای خطی دلخواه به دست آورید. یعنی عبارت زیر درست است.

قضیه 5.13. فرض کنید A یک عملگر خطی باشد که در فضای پیچیده اقلیدسی V عمل می کند. سپس نمایش A = A آر + iAمن، کجا آ آر و Aمن عملگرهای خود الحاقی هستند که به ترتیب قسمت واقعی و خیالی عملگر A نامیده می شوند.

اثباتبا توجه به خواص عملگرهای مزدوج 2 درجه، 3 درجه و 4 درجه (نگاه کنید به. نکته قبلیاین بند) اپراتورها آ آر = (A + A*)/2 و A من = (A - A*)/2i- خود الحاقی

به طور مشخص، A = A آر + iA I قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر شرایط خود الحاقی یک محصول عملگرهای خود الحاقی را روشن می کند. ما می گوییم که عملگرهای A و B اگر AB = BA.

قضیه 5.14.برای اینکه محصول AB عملگرهای خود الحاقی A و B یک عملگر خود الحاقی باشد، لازم و کافی است که آنها رفت و آمد کنند.
اثبات. از آنجایی که A و B عملگرهای خود الحاقی هستند، بنابراین، با توجه به ویژگی عملگرهای مزدوج 5 درجه (به بند 1 این بخش مراجعه کنید)، روابط زیر صادق است:
(AB)* = B*A* = BA (5.52)

بنابراین، اگر AB = BA، که ( AB)* = AB، یعنی عملگر AB خود الحاقی است. اگر AB یک عملگر خود الحاقی است، پس AB = (AB)*و سپس بر اساس (5.52)، AB = BA.قضیه ثابت شده است.
قضایای زیر تعدادی از خصوصیات مهم عملگرهای خود الحاق را ایجاد می کنند.
قضیه 5.15.اگر عملگر A به صورت خود الحاقی باشد، برای هر کدام ایکس ϵ Vحاصلضرب عددی (آه، x)- عدد واقعی
اثباتاعتبار قضیه از ویژگی زیر حاصل ضرب اسکالر در فضای پیچیده اقلیدسی ناشی می شود. و تعاریف عملگر خود الحاقی (به یاد داشته باشید که اگر عدد مختلطپس برابر با مزدوج آن است
این عدد واقعی است.)

قضیه 5.16.مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند.
اثباتفرض کنید λ مقدار ویژه عملگر خود الحاقی A باشد. با تعریف مقدار ویژه عملگر A (به تعریف 2، بخش 3 این فصل مراجعه کنید)، یک بردار غیرصفر x وجود دارد.
به طوری که Ax = λx. از این رابطه نتیجه می شود که حاصل ضرب اسکالر واقعی (به موجب قضیه 5.15) (Ax, x) را می توان به شکل 2 نشان داد.

( 2) به یاد بیاورید که نماد ||x|| نشان دهنده هنجار عنصر x است.)

از آنجایی که ||x|| و (Ax, x) واقعی هستند، پس بدیهی است که λ یک عدد واقعی است. قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر ویژگی متعامد بودن بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی را روشن می کند.
قضیه 5.17.اگر A یک عملگر خود الحاقی باشد، بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه مختلف این عملگر متعامد هستند.

اثباتبگذارید λ 1 و λ 2 مقادیر ویژه متفاوت (λ 1 ≠ λ 2) عملگر خود الحاقی A باشند و اجازه دهید x 1 و x 2 بردارهای ویژه مربوطه باشند. سپس روابط Ax 1 = λ 1 x 1، Ax 2 = λ 2 x 2 برقرار است. بنابراین، محصولات اسکالر (Ax 1, x 2) و (x 1, Ax 2) به ترتیب برابر با عبارت 3 زیر هستند:

3) از آنجایی که مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند، پس

از آنجایی که عملگر A خود الحاقی است، حاصلضرب های اسکالر (Ax 1, x 2) و (x 1, Ax 2) برابر هستند و بنابراین از آخرین روابط با تفریق برابری را بدست می آوریم.

از آنجایی که λ 1 ≠ λ 2، پس از آخرین برابری نتیجه می شود که حاصل ضرب اسکالر (x 1* x 2) برابر با صفر است، یعنی. متعامد بودن بردارهای ویژه x 1 و x 2 قضیه ثابت شده است.

3. هنجار عملگر خطی.فرض کنید A یک عملگر خطی باشد که فضای اقلیدسی V را در همان فضا نگاشت می کند. اجازه دهید مفهوم هنجار عملگر A را معرفی کنیم.
تعریف 3. عرف || آ || عملگر خطی A عددی است که با رابطه 1 تعریف می شود)

1) به یاد بیاوریم که نتیجه این است که این نشان دهنده است عملکرد پیوسته x، که در مجموعه بسته ||x|| = 1 به بزرگترین مقدار نهایی می رسد.

از تعریف هنجار یک عملگر خطی نابرابری آشکار زیر به دست می آید:

(برای اثبات آن کافی است از رابطه Ax = استفاده کنید

از رابطه E.54) چنین بر می آید که اگر ||A|| = O، سپس عملگر A صفر است.

هنجار اپراتور A خود الحاقی را می توان به روش دیگری نیز تعیین کرد. یعنی عبارت زیر درست است:

اگر A یک عملگر خود الحاقی است، هنجار معرفی شده در بالا ||A|| عملگر A برابر است با

اثباتبرای هر x از V، نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی معتبر است (به پاراگراف 2، §3، فصل 4 مراجعه کنید).

از آن و از نابرابری (5.54) نابرابری زیر را بدست می آوریم:

بنابراین تعداد

رابطه را ارضا می کند

توجه داشته باشید که از برابری

و تعریف عدد μ (نگاه کنید به 5.56)) نابرابری زیر به شرح زیر است:

اکنون به هویت آشکار زیر می پردازیم:

(در این هویت نماد Re (Ax, y) قسمت واقعی عدد مختلط (Ax, y) را نشان می دهد، خود هویت به راحتی از ویژگی های حاصلضرب اسکالر ناشی می شود، به پاراگراف 1 §3 فصل 4 مراجعه کنید). چپ و راست گرفتن
بخش هایی از این مدول هویت، با استفاده از خاصیت مدول جمع و نابرابری E.58، روابط زیر را به دست می آوریم: 1) :

1 ) ما از تعریف هنجار یک عنصر در فضای پیچیده اقلیدسی استفاده کردیم.

از این رو، برای ||x|| = ||y|| = 1 نابرابری را دریافت می کنیم

با فرض این نابرابری (بدیهی است ||у|| = 1) و با در نظر گرفتن اینکه عدد (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 واقعی است (بنابراین می گیریم

از اینجا، با توجه به نابرابری (5.53)، پیدا می کنیم

برای تکمیل اثبات، باید نابرابری حاصل را با نابرابری (5.57) مقایسه کنیم و از تعریف عدد µ استفاده کنیم (نگاه کنید به 5.56)).

4. ویژگی های بیشتر عملگرهای خود الحاقی.در این بخش تعدادی از خصوصیات مهم عملگرهای خطی مرتبط با مفهوم هنجار را اثبات خواهیم کرد. ابتدا شرط لازم و کافی را برای خود الحاقی اپراتور ایجاد می کنیم. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.
قضیه 5.18.برای اینکه عملگر خطی A به صورت خود الحاقی باشد، لازم و کافی است که 2)

2 ) نماد Im (Ax, x) قسمت خیالی عدد مختلط (Ax, x) را نشان می دهد. برابری Im (Ax, x) = 0 به این معنی است که عدد (Ax, x) واقعی است.

اثباتبا قضیه 5.13، یک عملگر خطی دلخواه A را می توان به صورت نمایش داد

عملگرهای خود الحاقی از همین رو

علاوه بر این، طبق قضیه 5.15، برای هر x اعداد و واقعی هستند. در نتیجه، این اعداد به ترتیب برابر با قسمت های واقعی و خیالی عدد مختلط هستند (Ax, x):

فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی است. با قضیه 5.15 در این مورد (Ax, x) یک عدد واقعی است،
و بنابراین Im(Ax, x) = 0. وجوب شرایط قضیه ثابت می شود.

کافی بودن شرایط قضیه را اثبات کنیم.

فرض کنید Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. نتیجه می شود که ||A I || = 0، یعنی A I = 0. بنابراین A = A R، که در آن A R یک عملگر خود الحاقی است.
قضیه ثابت شده است.
عبارات زیر برخی از ویژگی های مقادیر ویژه عملگرهای خود الحاقی را روشن می کند.

لماهر مقدار ویژه X از یک عملگر خطی دلخواه خود الحاقی A در فضای اقلیدسی برابر است با حاصلضرب اسکالر (Ax, x)، که در آن x مقداری بردار است، راحت است.
ارضای شرط ||x|| = 1:

اثباتاز آنجایی که λ مقدار ویژه عملگر A است، پس یک بردار غیرصفر z وجود دارد به طوری که

با فرض x = z/||z|| (بدیهی است ||x|| = 1)، 5.60 را به صورت زیر بازنویسی می کنیم: Ax = λ x, ||x|| = 1. از اینجا ما روابط i.e. 5.59) صورت می گیرد. لم ثابت شده است.
نتیجه.فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی و λ هر مقدار ویژه این عملگر باشد. اجازه دهید بیشتر

نابرابری های زیر معتبر هستند:

یادداشت 1.از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر (Ax, x) تابعی پیوسته از x است، پس در مجموعه بسته ||x|| = 1 این تابع محدود است و به لبه های دقیق m و M می رسد.
تبصره 2. طبق قضیه 5.16، مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند. بنابراین، نابرابری های 5.62) منطقی است.
شواهد تحقیقاز آنجایی که هر مقدار ویژه λ رابطه (5.59) را برآورده می کند، پس بدیهی است که هر مقدار ویژه بین لبه های دقیق m و M محصول اسکالر (Ax, x) قرار می گیرد. بنابراین، نابرابری (5.62) معتبر است.
ما ثابت خواهیم کرد که اعداد m و M تعریف شده توسط روابط (5.61) به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه عملگر خود الحاقی A هستند. ابتدا اجازه دهید اعتبار عبارت زیر را بررسی کنیم.

قضیه 5.19.فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی باشد و علاوه بر این، (Ax, x) ≥ O برای هر x باشد. سپس هنجار ||A|| برابر با بزرگترین مقدار خاصاین اپراتور 1)

1 ) از آنجایی که تعداد محدودی از مقادیر ویژه وجود دارد و آنها واقعی هستند، می توان بزرگترین آنها را نشان داد.

اثبات قبلاً متذکر شدیم (به بیانیه پاراگراف قبل مراجعه کنید) که

از آنجایی که (Ax, x) ≥ O، پس طبق تبصره 1 این بند برای برخی

با عطف به تعریف هنجار و با استفاده از برابری های نوشته شده، روابط 2 را بدست می آوریم)

بنابراین، یا، در غیر این صورت، مقدار ویژه عملگر A است. این واقعیت که λ بزرگترین مقدار ویژه است، از نتیجه تازه ایجاد شده به لم این پاراگراف ناشی می شود. قضیه ثابت شده است.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که اعداد m و M (نگاه کنید به 5.61)) کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه عملگر خود الحاقی A هستند.

قضیه 5.20.بگذارید A یک عملگر خود الحاقی باشد و m و M وجه های دقیق (Ax, x) در مجموعه ||x|| = 1. این اعداد نشان دهنده کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه اپراتور A هستند.
اثبات. بدیهی است که اثبات اینکه اعداد m و M مقادیر ویژه عملگر A هستند کافی است. سپس از نابرابری های 5.62) بلافاصله نتیجه می شود که m و M به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه هستند.
اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که M یک مقدار ویژه است. برای انجام این کار، عملگر خود الحاقی B = A - mI را در نظر بگیرید. زیرا

سپس عملگر B شرایط قضیه 5.19 را برآورده می کند و بنابراین هنجار ||B|| این عملگر برابر است با بزرگترین مقدار ویژه. از طرف دیگر،

بنابراین، (M - m) بزرگترین مقدار ویژه عملگر B است. در نتیجه، یک بردار غیر صفر x 0 وجود دارد به طوری که

زیرا

با جایگزینی این عبارت Bx 0 در سمت چپ برابری (5.63)، پس از تبدیل های ساده، رابطه Ax 0 = Mx 0 را به دست می آوریم - بنابراین، M مقدار ویژه عملگر A است. اجازه دهید مطمئن شویم که عددمتر همچنین یک مقدار ویژه از عملگر A است.
عملگر خود الحاقی B = -A را در نظر بگیرید. بدیهی است که

با توجه به اثباتی که اخیراً انجام شد، این عدد استمتر نشان دهنده مقدار ویژه عملگر B است. از آنجایی که B = -A، پس m مقدار ویژه عملگر A خواهد بود. قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر یک ویژگی مهم بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی را روشن می کند.

قضیه 5.21.برای هر عملگر خطی خود الحاقی A که در آن عمل می کند n فضای اقلیدسی بعدی V، وجود دارد n بردارهای ویژه متعامد و واحد جفتی مستقل خطی.

اثبات. اجازه دهید λ 1 - حداکثر مقدار ویژه اپراتور

اجازه دهید بردار ویژه مربوط به λ 1 را با e 1 نشان دهیم و شرط ||e 1 || = 1 (احتمال انتخاب آن از اثبات لم این بخش حاصل می شود).
اجازه دهید با V 1 (n - 1) فضای فرعی بعدی فضای V، متعامد به e 1 نشان دهیم بدیهی است که V 1 یک زیرفضای ثابت از عملگر A است (یعنی اگر x ϵ V 1، پس Ax ϵ V 1 است. در واقع. ، اجازه دهید x ε V 1 (یعنی (x,e 1 =0). سپس 1)

1 ) ما از ویژگی خود الحاقی عملگر استفاده کردیم (Ax, e 1 ) = (x، Ae 1 ) و این واقعیت که e 1 - بردار ویژه عملگر:

بنابراین، تبر عنصری از V است 1 و بنابراین V 1 زیرفضای ثابت عملگر A است. این به ما این حق را می دهد که عملگر A را در زیرفضای V در نظر بگیریم. 1 . در این زیرفضای A یک عملگر خود الحاقی را نشان خواهد داد. در نتیجه، حداکثر مقدار ویژه A 2 از این عملگر وجود دارد که با استفاده از رابطه می توان آن را پیدا کرد 1 )

1 ) نماد متعامد بودن بردارهای e را نشان می دهد 1 و e 2

علاوه بر این، می توانید بردار را به گونه ای مشخص کنید که

با چرخش بیشتر به زیر فضای (n - 2) بعدی V 2، متعامد بردارهای e 1 و e 2، و با تکرار استدلال بالا، بردار ویژه است з, ||е z || = 1، متعامد e 1 و e 2. با استدلال بیشتر به همین روش، ما به طور متوالی n بردار ویژه متعامد متقابل e 1، e 2،...، e n را خواهیم یافت که شرط را برآورده می کند.
یادداشت 1.در آینده، ما موافقت خواهیم کرد که مقادیر ویژه یک اپراتور خود الحاقی را به ترتیب نزولی با در نظر گرفتن تکرار، یعنی مقادیر ویژه متعدد، شماره گذاری کنیم. که در آن

و بردارهای ویژه متناظر e 1, e 2,..., e n را می توان متعامد متعامد و ارضا کننده شرط دانست.

بدین ترتیب،

تبصره 2. از استدلال در اثبات قضیه چنین بر می آید که

این رابطه را می توان به صورت هم نوشت

گستره خطی بردارهای e 1, e 2,..., e m. اعتبار تبصره از آنجا ناشی می شود که (x, x) = ||x|| 2 و بنابراین

جایی که هنجار عنصر x/||x|| برابر با 1.

اجازه دهید ∑ m مجموعه همه زیرفضاهای m بعدی فضای V است. خاصیت حداقلی مهم زیر مقادیر ویژه درست است.
قضیه 5.22.اجازه دهید A یک عملگر خود الحاقی و مقادیر ویژه آن هستند که به ترتیب ذکر شده در Remark 1 شماره گذاری شده اند. سپس

سخنرانی 9

عملگرها در فضاهای اقلیدسی

عملگرهای خطی که در فضاهای اقلیدسی کار می کنند تعدادی ویژگی خاص دارند که برای کاربردهای جبر خطی در حوزه های موضوعی مختلف بسیار مهم است. ما فقط بر روی موضوعات اصلی این نظریه تمرکز خواهیم کرد، به ویژه، ما نظریه عملگرهای خطی را منحصراً در فضاهای واقعی با پایه های متعامد، یعنی در فضا، مطالعه خواهیم کرد. علاوه بر این، عملگرها را به عنوان تبدیل در نظر می گیریم، یعنی عملگرها را مطالعه می کنیم
.

عملگر مزدوج . بیایید مفهوم اپراتور را در نظر بگیریم، مرتبط با اپراتور ، در فضای اقلیدسی عمل می کند
.

تعریف 9.1. اجازه دهید
- چند عملگر خطی اپراتور
تماس گرفتمرتبط با اپراتور ، اگر
شرط برقرار است

. (9.1)

قضیه 9.1. برای هر عملگر خطی
یک عملگر مزدوج منحصر به فرد وجود دارد
که خطی هم هست.

اثبات 1) به اپراتور اجازه دهید وجود دارد، اجازه دهید منحصر به فرد بودن آن را ثابت کنیم. برای انجام این کار، فرض کنید که این عملگر تنها نیست، به عنوان مثال، دو عملگر وجود دارد. و ، تعریف رضایت بخش 9.1. سپس طبق فرمول (9.1) داریم:

,
, (9.2)

از کجا تهیه کنیم

با توجه به اینکه در تعریف 9.1 (در فرمول (9.1)) بردار
دلخواه است، ما برابری را قرار می دهیم (9.3)

,

.

از آنجایی که حاصلضرب اسکالر اصل عدم انحطاط را برآورده می کند، از آخرین برابری داریم

از آنجا، به دلیل دلخواه بودن بردار به دنبال آن است
و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج ثابت شده است.

2) اجازه دهید خطی بودن عملگر مزدوج را ثابت کنیم. با استفاده از تعریف (9.1) و ویژگی های حاصلضرب اسکالر، به دست می آوریم:

,
و

آ)
;

از مقایسه فرمول های a) و b) نتیجه می شود که عملگر مزدوج خطی است ، برای مثال:

.

3) اکنون وجود عملگر مزدوج را اثبات می کنیم. بیایید آن را در فضا درست کنیم
مبنای متعارف
و بردارها را بنویسید
و
در قالب گسترش آنها در امتداد مبنای متعارف:

;
. (9.4)

محاسبه سمت چپ و راست (9.1) را در نظر بگیرید:

;

.

با مقایسه دو برابری آخر با در نظر گرفتن (9.1)، به دست می آوریم:

. (9.5)

بنابراین، اگر ماتریس عملگر به نظر می رسد

,

سپس ماتریس عملگر مزدوج شکل می گیرد

. (9.6)

از (9.6) نتیجه می شود که ماتریس عملگر مزدوج در هر مبنای متعارف
با جابجایی ماتریس عملگر پیدا می شود که وجود عملگر مزدوج را ثابت می کند.

اجازه دهید یک قضیه را در مورد خواص عملگر مزدوج به یک عملگر خطی اثبات کنیم.

قضیه 9.2. ویژگی های زیر عملگر مزدوج معتبر است: :
و

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

اثبات بیایید رابطه اول را ثابت کنیم. اجازه دهید یک عملگر خطی دلخواه است. برای عملگر مزدوج مزدوج عملگر خواهد بود . سپس:

آخرین برابری برای هر بردار برقرار است ، به این معنا که،

,

از آنجا برهان مال اولی را دنبال می کند.

اجازه دهید رابطه دوم را ثابت کنیم. برای انجام این کار، زنجیره تبدیل زیر را در نظر بگیرید:

از مقایسه ضلع چپ و راست برابری (9.8)، اثبات خاصیت دوم به دست می آید.

خواص باقی مانده به روشی مشابه اثبات می شود.

اپراتورهای خود الحاقی . در برنامه های کاربردی پراهمیتدارند عملگرهای خود الحاقی .

تعریف 9.2. عملگر خطی
تماس گرفتخود الحاقی ، اگر
.

از تعریف به دست می آید که عملگر خود الحاقی رابطه را برآورده می کند

. (9.9)

از آنجایی که ماتریس عملگر مزدوج برابر با ماتریس انتقالی عملگر است ، سپس عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی برابری را برآورده می کند
، به این معنا که عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی، متقارن نسبت به قطر اصلی، برابر هستند.. چنین ماتریسی نامیده می شود متقارن . به همین دلیل، اپراتورهای خود الحاقی
اغلب نامیده می شود متقارن .

عملگرهای خود الحاقی تعدادی ویژگی دارند که با استفاده از تعریف و ویژگی های عملگر الحاقی به راحتی می توان آنها را اثبات کرد.

1. تک عملگر خود الحاقی است.

اثبات به طور مشخص،

.

2. مجموع عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است.

اثبات اگر
و
، آن

.

3. ترکیبی از عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است اگر و تنها در صورتی که این عملگرها جابجایی باشند.

اثبات به یاد بیاورید که عملگرها را commutative if می نامند

,

,

جایی که - اپراتور تهی اگر
,
، آن

,

که برابر است با اگر و فقط در صورتی که عملگرها جابجایی باشند.

4. اپراتور ، معکوس به یک عملگر خود الحاقی غیر منحط
همچنین اپراتور خود الحاقی.

اثبات در واقع، اگر
، آن

.

5. اگر یک عملگر خود الحاقی است، سپس حاصلضرب این عملگر با یک عدد واقعی است
یک اپراتور خود الحاقی است.

اثبات از خاصیت سوم (9.7) داریم:

.

قضیه 9.3. بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی ، بازیگری در فضا
، مربوط به مقادیر ویژه دو به دو، متعامد هستند.

:
و
، و
. از آنجایی که اپراتور به خودی خود متصل است، پس
. بنابراین در سمت چپ و راست به ترتیب موارد زیر را داریم:

;

.

جایی که در حال اجراست
ما گرفتیم:
.

قضیه مهم زیر برای عملگرهای خود الحاقی صادق است.

قضیه 9.4. همه ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی
واقعی و متفاوت

اثبات که در مورد کلیاثبات قضیه کاملاً دست و پا گیر است. به همین دلیل، ما یک مدرک برای مورد اپراتور ارائه می دهیم
. بنابراین، اجازه دهید یک عملگر خطی داده شود
با ماتریس . سپس معادله مشخصه این عملگر به شکل زیر است:

.

با گسترش دترمینان، معادله مشخصه را به دست می آوریم:

جواب این معادله با استفاده از فرمول معروف بدست می آید:

.

ممیز به شکل زیر است:

بدیهی است که اولین عبارت همیشه مثبت است، و دومی مثبت است، زیرا
. بنابراین ریشه های معادله مشخصه واقعی و متفاوت است.

قضیه 9.5. اجازه دهید
- اپراتور خود الحاقی سپس در فضا
می تواند انتخاب کند مبنای متعارف

به طوری که ماتریس عملگر در این پایه مورب بود.

اثبات بر اساس قضیه 9.4، تمام ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی واقعی و متمایز هستند، و بنابراین، بر اساس قضیه 9.3، بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاق متقابل متعامد هستند. به وضوح می توان سیستم بردارهای ویژه را عادی کرد. اما سپس این بردارها اساس فضا را تشکیل می دهند
، که در آن عملگر یک عملگر ساختار ساده است، یعنی دارای یک ماتریس مورب است.

عملگرهای متعامد و خواص آنها، تفسیر هندسی . اجازه دهید تعریف و خصوصیات دسته مهمی از عملگرهای فعال در فضا را در نظر بگیریم
.

تعریف 9.3. اپراتور ، بازیگری در فضا
، تماس گرفتقائم ، اگر محصول نقطه را حفظ کند، یعنی

.(9.10)

از تعریف بر می آید که عملگر متعامد هنجارها (طول) بردارها و زوایای بین آنها را حفظ می کند. .

لم 9.1. اپراتور

.

اثبات اجازه دهید

,

جایی که داریم:
. باور کردن
، ما گرفتیم:

.

اجازه دهید
. سپس داریم:

.

بدیهی است که عملگر متعامد غیر منحط است یعنی ماتریس آن ماتریس معکوس دارد.

قضیه 9.6 (در مورد خواص عملگرهای متعامد). عملگرهای متعامد
دارای خواص زیر است:

1)عملگر هویت متعامد است.

2)ترکیب عملگرهای متعامد نیز یک عملگر متعامد است.

3)عملگر معکوس یک عملگر متعامد نیز متعامد است.

4)اگر
یک عملگر متعامد است، سپس عملگر
اگر و فقط اگر متعامد است
.

اثبات 1. اثبات این خاصیت تقریباً واضح است:

.

2. اجازه دهید
و
- عملگرهای متعامد سپس:

3. اجازه دهید عملگر متعامد در نظر بگیریم
:

.

4. اجازه دهید - عملگر متعامد سپس

.

قضیه 9.7 (معیار متعامد بودن یک عملگر). اپراتور ، بازیگری در فضا
، متعامد است اگر و فقط در صورتی که حداقل یک مبنای متعامد به یک مبنای متعامد داشته باشد..

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد سپس او با حفظ حاصل ضرب اسکالر، مبنای متعارف را به یک مبنای متعارف تبدیل می کند.

اجازه دهید اکنون اپراتور
مبنای متعارف را ترجمه می کند

به یک مبنای متعارف جدید

.

سپس

.

.

بیایید ویژگی های ماتریس عملگر متعامد را در نظر بگیریم.

قضیه 9.8. سیستم بردارهای ستونی (ردیف) ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف

متعارف است.

اثبات اجازه دهید
– چند عملگر متعامد و
- برخی از پایه های متعارف. با قضیه 9.9، سیستم تصاویر بردارهای پایه خود متعارف است، یعنی
. بنابراین، برای ستون های ماتریس عملگر

,

(به عنوان بردارهای فضای حسابی
) ما داریم:

. (9.11)

یک ویژگی مشابه برای ردیف های ماتریس صادق است :

.
(9.12)

قضیه 9.9. ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف، شرایط را ارضا می کند

. (9.13)

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد از آنجایی که ماتریس های عملگر و با روابط مرتبط است

,

از آنجا برای ماتریس عملگر (9.11) را بدست می آوریم.

برعکس، اجازه دهید رابطه (9.11) ارضا شود. سپس
، که از آن نتیجه می شود که اپراتور متعامد است.

تعریف 9.4. ماتریس ، که دارایی مربوط به آن است(9.13),متعامد نامیده می شود.

اجازه دهید چند قضیه در مورد خواص عملگر متعامد ارائه کنیم.

قضیه 9.10. مقادیر ویژه عملگر متعامد بازیگری در فضا
، برابر هستند
.

اثبات اجازه دهید
. سپس

از آنجایی که طبق تعریف
، آن
.

قضیه 9.11. تعیین کننده یک ماتریس متعامد برابر است

.

اثبات برای یک ماتریس متعامد برابری
. از همین رو
. سپس

.

بگذارید S یک فضای اقلیدسی باشد و بگذارید پیچیدگی آن باشد. اجازه دهید محصول اسکالر در S را با استفاده از فرمول معرفی کنیم:

باید صحت این تعریف را بررسی کنیم. افزایش در آرگومان اول با آرگومان دوم ثابت بدیهی است. برای بررسی خطی بودن با توجه به آرگومان اول، کافی است مطمئن شویم که امکان استخراج یک عامل پیچیده از آرگومان اول وجود دارد. محاسبه مربوطه دشوار نیست، بلکه دست و پا گیر است. دقیقا:

تقارن با چرخش آشکار است - هنگام معکوس کردن مکان ها، بخش واقعی حاصلضرب اسکالر تغییر نمی کند، اما قسمت خیالی علامت تغییر می کند.

در نهایت اگر . بنابراین، پیچیده شدن فضای اقلیدسی S به فضایی واحد تبدیل می شود.

همچنین توجه داشته باشید که حاصل ضرب اسکالر یک جفت بردار و حاصل ضرب اسکالر یک جفت بردار مزدوج مختلط مزدوج مختلط هستند. این به طور مستقیم از تعریف محصول اسکالر در .

2. عملگرها در فضای اقلیدسی و ادامه آنها تا پیچیدگی.

در فضای اقلیدسی، عملگر مزدوج برای یک عملگر با همان فرمول برای هر x و y در فضای واحد تعیین می شود. اثبات وجود و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج با اثبات های مشابه برای فضای واحد تفاوتی ندارد. ماتریس عملگر در مبنای متعامد به سادگی با ماتریس عملگر جابه‌جا می‌شود.وقتی عملگرهای مزدوج متقابل از S به آن‌ها بسط می‌یابند، مزدوج باقی می‌مانند.

واقعا،

3. عملگرهای عادی در فضای اقلیدسی.

یک عملگر نرمال در فضای اقلیدسی S هنگامی که به پیچیدگی فضای S بسط می‌یابد نرمال می‌ماند. بنابراین، در S یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه وجود دارد که ماتریس عملگر A را مورب می‌کند.

برای مقادیر ویژه واقعی، می‌توانیم بردارهای ویژه واقعی را بگیریم، یعنی بردارهایی که در S قرار دارند. در واقع، مختصات بردارهای ویژه نسبت به مبنا از معادلات همگن خطی با ضرایب واقعی در مورد یک مقدار ویژه واقعی تعیین می‌شود.

مقادیر ویژه پیچیده به صورت جفت مزدوج با تعدد یکسان ظاهر می شوند. پس از انتخاب یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه متعلق به مقدار ویژه، مبنای بردارهای ویژه برای مقدار ویژه را می توان از بردارهای مزدوج به بردارهای مبنای ارزش ویژه برای X گرفت. چنین مبنایی متعامد خواهد بود. حال اجازه دهید یک زیرفضای مختلط دو بعدی را روی هر جفت کشیده و بردارهای مزدوج را ایجاد کنیم.

همه این زیرفضاها نسبت به یکدیگر و بردارهای ویژه واقعی متناظر با مقادیر ویژه واقعی متعامد هستند.

فضای مختلط پوشیده شده توسط بردارهای u بدیهی است که با زیرفضای مختلط پوشیده شده توسط بردارهای واقعی u و y منطبق است و بنابراین پیچیدگی زیرفضای واقعی است که توسط .

زیرا در فضای اقلیدسی S حاصلضرب اسکالر متقارن است.

از این برابری نتیجه می شود که، یعنی بردارهای و و v متعامد هستند، و همچنین. اکنون به یاد بیاوریم که بردار نرمال شده است، یعنی به دلیل متعامد بودن و و . بنابراین، به طوری که بردارهای و و v نرمال نمی شوند، بلکه پس از ضرب در نرمال می شوند

بنابراین، برای یک عملگر عادی که در فضای اقلیدسی S عمل می کند، یک مبنای متعامد متشکل از بردارهای ویژه متعلق به مقادیر ویژه واقعی، و ضرب در بخش های واقعی و خیالی بردارهای ویژه متعلق به مقادیر ویژه مختلط، وجود دارد. فضاهای فرعی تک بعدی که توسط بردارهای ویژه واقعی پوشانده شده اند و زیرفضاهای دو بعدی که توسط اجزای بردارهای ویژه پیچیده پوشانده شده اند، ثابت هستند، بنابراین ماتریس عملگر در مبنای ساخته شده، شبه قطری است و از بلوک های مورب مرتبه اول و دوم تشکیل شده است. بلوک های مرتبه اول مقادیر ویژه واقعی هستند. بیایید بلوک های مرتبه دوم را پیدا کنیم. اجازه دهید و یک بردار ویژه متعلق به مقدار ویژه باشد. سپس

دقیقاً همان روابط پس از ضرب بردارها در حفظ خواهد شد بنابراین بلوک های مرتبه دوم شکل

همچنین توجه داشته باشید که این بلوک ها از فضای فرعی پوشانده شده توسط بردارهای ویژه مزدوج متعلق به مقادیر ویژه مزدوج ظاهر می شوند، به طوری که همراه با بلوک نوشته شده با استفاده از مقدار ویژه، نیازی به گنجاندن بلوک مربوط به مقدار ویژه نیست.

4. عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی.

یک عملگر معمولی در فضای اقلیدسی اگر و تنها در صورتی که تمام مقادیر ویژه آن واقعی باشند، به خود متصل است. در واقع، یک عملگر خود الحاقی در یک فضای اقلیدسی در پیچیدگی، خود الحاق باقی می ماند. بنابراین، در خود فضای اقلیدسی یک مبنای متعارف وجود دارد که در آن ماتریس آن مورب است. از نظر ماتریس، این بدان معنی است که برای هر واقعی ماتریس متقارنو یک ماتریس متعامد C وجود دارد که مورب است. این شرایط در فصل روشن شد. V در ارتباط با تبدیل متعامد یک فرم درجه دوم به یک فرم متعارف. ارتباط نزدیک بین تئوری عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی و نظریه اشکال درجه دوم به وضوح قابل مشاهده است از این واقعیت که حاصلضرب اسکالر بر حسب مختصات برداری در مبنای متعارف به شکل یک فرم درجه دوم با بیان می شود. یک ماتریس، برابر با ماتریسعملگر M بر همین اساس و با تبدیل متعامد مختصات، ماتریس عملگر و ماتریس فرم درجه دوم به همین ترتیب تبدیل می شوند:

زیرا برای یک ماتریس متعامد

برای عملگرهای خود الحاقی در فضای اقلیدسی، همان خصوصیاتی وجود دارد که برای عملگرهای خود الحاقی در فضای واحد ذکر شده بود، و اثبات آنها با موارد موجود در فضای واحد تفاوتی ندارد.

بنابراین، ما خود را به فهرست آنها محدود می کنیم.

عملگر خود الحاقی اگر و فقط در صورتی مثبت است که مقادیر ویژه آن مثبت باشد.

یک جذر قطعی مثبت را می توان از یک عملگر قطعی مثبت خود الحاقی استخراج کرد.

هر عملگر غیر منحط را می‌توان به‌عنوان حاصلضرب یک عملگر خود الحاقی قطعی مثبت و یک عملگر متعامد، هر دو در یک نمایش داد، درست است؟ و به ترتیبی متفاوت

یک عملگر طرح ریزی متعامد یک عملگر غیر توان خود الحاقی است و برعکس، یک عملگر غیر توان خود الحاقی یک عملگر طرح ریزی متعامد است.

5. عملگرهای متعامد.

یک عملگر متعامد دارای یک ماتریس متعامد در هر مبنای متعامد است. از آنجایی که عملگر متعامد نرمال است، یک مبنای متعامد وجود دارد که در آن ماتریس عملگر بلوک-مورب است و شامل اعداد واقعی روی قطر و بلوک‌های شکل متعامد چنین ماتریسی است که در هر بلوک از مرتبه دوم (این را می توان از این واقعیت نیز مشاهده کرد که عملگر متعامد هنگامی که تا پیچیده شدن بسط می یابد واحد می شود و از این رو تمام مقادیر ویژه آن مدول 1 هستند.)

می توانید آن را قرار دهید. اپراتور روی صفحه با ماتریس عملگر برای چرخش صفحه توسط یک زاویه است.

یک عملگر متعامد در صورتی به درستی متعامد نامیده می شود که تعیین کننده ماتریس آن برابر با 1 باشد. اگر دترمینان برابر با 1- باشد، عملگر به طور نامناسب متعامد نامیده می شود. ترتیب بردارهای پایه را می توان طوری انتخاب کرد که مورب ابتدا از بلوک های 1، سپس 1- و سپس بلوک های مرتبه دوم پیروی کند. اگر عملگر در واقع متعامد باشد، تعداد عناصر مورب برابر با 1- زوج است. ماتریس مرتبه دوم به عنوان یک بلوک مرتبه دوم در نظر گرفته می شود که از نظر هندسی به معنای چرخش صفحه توسط .

بنابراین، عمل عملگر متعامد از نظر هندسی به معنای زیر است. فضا به مجموع متعامد زیرفضاها تقسیم می شود که یکی از آنها توسط بردارهای ویژه متعلق به مقدار ویژه 1 پوشانده شده است - این زیرفضای بردارهای ثابت و چندین زیرفضای دو بعدی است که هر کدام با یک زاویه خاص (به طور کلی) می چرخند. ، صفحات مختلف در زوایای مختلف).

در مورد یک عملگر متعامد نامناسب، بردار پایه دیگری وجود دارد که تحت عمل عملگر به بردار مخالف تبدیل می شود.

فضای اقلیدسی -بعدی را در نظر بگیرید. اجازه دهید یک عملگر خطی دلخواه در .

تعریف 10. عملگر خطی را عملگر جابجا شده برای عملگر می گویند اگر برای هر بردار و از:

. (106)

وجود و منحصربه‌فرد بودن یک عملگر جابجا شده دقیقاً به همان روشی که در § 8 برای عملگر مزدوج در یک فضای واحد انجام شد مشخص می‌شود.

عملگر انتقال یافته دارای ویژگی های زیر است:

2. ,

3. (- عدد واقعی)

اجازه دهید تعدادی از تعاریف را معرفی کنیم.

تعریف 11. یک عملگر خطی اگر عادی نامیده می شود

تعریف 12. عملگر خطی اگر متقارن نامیده می شود

تعریف 13. عملگر متقارن غیرمنفی نامیده می شود اگر برای هر بردار از

تعریف 14. عملگر متقارن را قطعی مثبت می نامند اگر برای هر بردار از

تعریف 15. یک عملگر خطی را اگر متقارن چولگی می نامند

یک عملگر خطی دلخواه همیشه و بدون ابهام در شکل قابل نمایش است

که در آن یک متقارن است و یک عملگر کج متقارن است.

همانا از (107) آمده است

از (107) و (108) آمده است

. (109)

برعکس، فرمول (109) همیشه عملگر متقارن و عملگر کج متقارن را تعیین می کند که برابری (107) برای آنها برقرار است.

و به آنها اجزای متقارن و کجی متقارن عملگر می گویند.

تعریف 16. یک عملگر متعامد نامیده می شود اگر متریک فضا را حفظ کند، یعنی اگر برای هر بردار از

. (110)

برابری (110) از نظر (106) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: . این دلالت می کنه که:

برعکس، (111) دلالت بر (110) (برای بردارهای دلخواه) دارد. از (111) چنین می آید: , i.e.

ما یک عملگر متعامد را یک عملگر از نوع اول، if و از نوع دوم، if می نامیم.

عملگرهای متقارن، چوله متقارن و متعامد انواع خاصی از عملگر معمولی هستند.

در یک فضای اقلیدسی معین، یک مبنای متعارف دلخواه را در نظر بگیرید. اجازه دهید عملگر خطی در این مبنا با یک ماتریس مطابقت داشته باشد (در اینجا همه اعداد واقعی هستند). خواننده به راحتی می تواند نشان دهد که عملگر انتقال یافته در همان مبنای با ماتریس انتقال یافته مطابقت دارد، جایی که . نتیجه این است که در یک مبنای متعامد، عملگر عادی با ماتریس نرمال، عملگر متقارن مربوط به ماتریس متقارن، عملگر کج متقارن مربوط به ماتریس متقارن، و در نهایت، عملگر متعامد مربوط به ماتریس متعامد است. .

مشابه نحوه انجام آن در § 8 برای عملگر مزدوج، گزاره زیر در اینجا ایجاد می شود:

اگر مقداری از زیرفضای in تحت عملگر خطی ثابت باشد، متمم متعامد in تحت عملگر ثابت است.

برای مطالعه عملگرهای خطی در فضای اقلیدسی، فضای اقلیدسی را به فضای واحدی گسترش می دهیم. ما این گسترش را به صورت زیر انجام خواهیم داد:

1. بردارهای از بردار واقعی نامیده می شوند.

2. اجازه دهید بردارهای "پیچیده" را در نظر بگیریم که بردارهای واقعی کجا و هستند، یعنی .

3-عملیات جمع بردارهای مختلط و ضرب در عدد مختلط به صورت طبیعی تعریف می شود. سپس مجموعه تمام بردارهای مختلط یک فضای برداری -بعدی را بر روی میدان اعداد مختلط تشکیل می دهد که شامل به عنوان قسمت است.

4. یک متریک هرمیتی به B وارد می شود به طوری که با متریک اقلیدسی موجود در آنجا منطبق است. خواننده به راحتی می تواند تأیید کند که متریک هرمیتی مورد نیاز به شرح زیر است:

اگر و، پس

با فرض و، خواهیم داشت:

اگر پایه واقعی را انتخاب کنید، یعنی مبنایی در، آنگاه مجموعه ای از تمام بردارها با مختصات مختلط و - با مختصات واقعی در این مبنا خواهد بود.

هر عملگر خطی در به طور منحصر به فرد به یک عملگر خطی در موارد زیر گسترش می یابد:

.

در میان تمام عملگرهای خطی در، عملگرهای حاصل از چنین توسعه ای از عملگرهای در با این واقعیت مشخص می شوند که به ترجمه می شوند. ما چنین اپراتورهایی را واقعی می نامیم.

در یک مبنای واقعی، عملگرهای واقعی با ماتریس های واقعی، یعنی ماتریس هایی با عناصر واقعی تعریف می شوند.

عملگر واقعی بردارهای مزدوج پیچیده و دوباره به مزدوج های پیچیده تبدیل می کند

برای یک عملگر واقعی، معادله سکولار دارای ضرایب واقعی است، بنابراین می‌دانید که با یک ریشه از تعدد th، یک ریشه از ضرب th نیز دارد. به شرح زیر است: یعنی اعداد مشخصه مزدوج با بردارهای ویژه مزدوج مطابقت دارند.

یک زیرفضای دو بعدی مبنای واقعی دارد: . صفحه در با این مبنا، صفحه ثابت اپراتور مربوط به یک جفت اعداد مشخصه نامیده می شود. اجازه دهید .

سپس، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است،

یک عملگر واقعی از ساختار ساده با اعداد مشخصه را در نظر بگیرید:

اعداد واقعی کجا هستند و .

سپس بردارهای ویژه مربوط به این اعداد مشخصه را می توان طوری انتخاب کرد که

.

اساس را در فضای اقلیدسی تشکیل می دهند. که در آن

(114)

در مبنای (113)، عملگر با یک ماتریس شبه قطری واقعی مطابقت دارد

. (115)

بنابراین، برای هر عملگر ساختار ساده در فضای اقلیدسی مبنایی وجود دارد که در آن عملگر با ماتریسی از شکل (115) مطابقت دارد. نتیجه این است که هر ماتریس واقعی ساختار ساده شبیه به یک ماتریس متعارف شکل (115) است:

عملگر انتقال یافته برای in، پس از بسط، به عملگر مزدوج برای in تبدیل می شود. در نتیجه، عملگرهای معمولی، متقارن، چوله متقارن، متعامد در پس از انبساط، به ترتیب، نرمال، هرمیتی، ضرب در هرمیتی، عملگرهای واقعی واحد در .

به راحتی می توان نشان داد که برای یک عملگر عادی در فضای اقلیدسی می توان یک مبنای متعارف را انتخاب کرد - یک مبنای متعارف (113)، که برای آن برابری ها (114) برقرار است. بنابراین، یک ماتریس عادی واقعی همیشه واقعی و متعامد شبیه به یک ماتریس از شکل (115) است:

(117)

برای یک عملگر متقارن در فضای اقلیدسی، همه اعداد مشخصه واقعی هستند، زیرا پس از بسط این عملگر هرمیتی می شود. برای یک عملگر متقارن در فرمول (114)، باید . سپس دریافت می کنیم:

یک عملگر متقارن در فضای اقلیدسی همیشه دارای یک سیستم متعامد از بردارهای ویژه با اعداد مشخصه واقعی است. بنابراین، یک ماتریس متقارن واقعی همیشه واقعی و متعامد شبیه به یک ماتریس مورب است.

برای یک عملگر چوله متقارن در فضای اقلیدسی، تمام اعداد مشخصه کاملاً خیالی هستند (پس از بسط، این عملگر برابر با حاصلضرب عملگر هرمیتی است). برای عملگر چوله متقارن در فرمول (114) باید قرار دهیم:

پس از آن این فرمول ها شکل می گیرند

(120)

از آنجایی که یک عملگر معمولی است، مبنای (113) را می توان متعارف در نظر گرفت. بنابراین، هر ماتریس چوله متقارن واقعی به صورت واقعی و متعامد شبیه به ماتریس متقارن متقارن متعارف است:

. (124)): از برابری های موازی بردار. ما قضیه اویلر-دآلمبر را ثابت کردیم:

حرکت محدود دلخواه در فضای سه بعدی اقلیدسی یک حرکت مارپیچ حول یک محور ثابت است.