عملگرهای خطی مزدوج و متقارن در فضای اقلیدسی. عملگرهای خطی در فضاهای اقلیدسی

فضای اقلیدسی -بعدی را در نظر بگیرید. اجازه دهید یک عملگر خطی دلخواه در .

تعریف 10. عملگر خطی را عملگر جابجا شده برای عملگر می گویند اگر برای هر بردار و از:

. (106)

وجود و منحصربه‌فرد بودن یک عملگر جابجا شده دقیقاً به همان روشی که در § 8 برای عملگر مزدوج در یک فضای واحد انجام شد مشخص می‌شود.

عملگر انتقال یافته دارای ویژگی های زیر است:

2. ,

3. (- عدد واقعی)

اجازه دهید تعدادی از تعاریف را معرفی کنیم.

تعریف 11. یک عملگر خطی اگر عادی نامیده می شود

تعریف 12. عملگر خطی اگر متقارن نامیده می شود

تعریف 13. عملگر متقارن غیرمنفی نامیده می شود اگر برای هر بردار از

تعریف 14. عملگر متقارن را قطعی مثبت می نامند اگر برای هر بردار از

تعریف 15. یک عملگر خطی را اگر متقارن چولگی می نامند

یک عملگر خطی دلخواه همیشه و بدون ابهام در شکل قابل نمایش است

که در آن یک متقارن است و یک عملگر کج متقارن است.

همانا از (107) آمده است

از (107) و (108) آمده است

. (109)

برعکس، فرمول (109) همیشه عملگر متقارن و عملگر کج متقارن را تعیین می کند که برابری (107) برای آنها برقرار است.

و به آنها اجزای متقارن و کجی متقارن عملگر می گویند.

تعریف 16. یک عملگر متعامد نامیده می شود اگر متریک فضا را حفظ کند، یعنی اگر برای هر بردار از

. (110)

برابری (110) از نظر (106) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: . این دلالت می کنه که:

برعکس، (111) دلالت بر (110) (برای بردارهای دلخواه) دارد. از (111) چنین می آید: , i.e.

ما یک عملگر متعامد را یک عملگر از نوع اول، if و از نوع دوم، if می نامیم.

عملگرهای متقارن، چوله متقارن و متعامد انواع خاصی از عملگر معمولی هستند.

در یک فضای اقلیدسی معین، یک مبنای متعارف دلخواه را در نظر بگیرید. اجازه دهید عملگر خطی در این مبنا با یک ماتریس مطابقت داشته باشد (در اینجا همه اعداد واقعی هستند). خواننده به راحتی می تواند نشان دهد که عملگر انتقال یافته در همان مبنای با ماتریس انتقال یافته مطابقت دارد، جایی که . از این نتیجه می شود که در مبنای متعارفعملگر نرمال مربوط به ماتریس نرمال، عملگر متقارن مربوط به ماتریس متقارن، عملگر متقارن با ماتریس کج متقارن، و در نهایت، عملگر متعامد مربوط به ماتریس متعامد است.

مشابه نحوه انجام آن در § 8 برای عملگر مزدوج، گزاره زیر در اینجا ایجاد می شود:

اگر مقداری از زیرفضای in تحت عملگر خطی ثابت باشد، متمم متعامد in تحت عملگر ثابت است.

برای مطالعه عملگرهای خطی در فضای اقلیدسی، فضای اقلیدسی را به فضای واحدی گسترش می دهیم. ما این گسترش را به صورت زیر انجام خواهیم داد:

1. بردارهای از بردار واقعی نامیده می شوند.

2. اجازه دهید بردارهای "پیچیده" را در نظر بگیریم که بردارهای واقعی کجا و هستند، یعنی .

3-عملیات جمع بردارهای مختلط و ضرب در عدد مختلط به صورت طبیعی تعریف می شود. سپس مجموعه تمام بردارهای مختلط یک فضای برداری -بعدی را بر روی میدان اعداد مختلط تشکیل می دهد که شامل به عنوان قسمت است.

4. یک متریک هرمیتی به B وارد می شود به طوری که با متریک اقلیدسی موجود در آنجا منطبق است. خواننده به راحتی می تواند تأیید کند که متریک هرمیتی مورد نیاز به شرح زیر است:

اگر و، پس

با فرض و، خواهیم داشت:

اگر پایه واقعی را انتخاب کنید، یعنی مبنایی در، آنگاه مجموعه ای از تمام بردارها با مختصات مختلط و - با مختصات واقعی در این مبنا خواهد بود.

هر عملگر خطی در به طور منحصر به فرد به یک عملگر خطی در موارد زیر گسترش می یابد:

.

در میان تمام عملگرهای خطی در، عملگرهای حاصل از چنین توسعه ای از عملگرهای در با این واقعیت مشخص می شوند که به ترجمه می شوند. ما چنین اپراتورهایی را واقعی می نامیم.

در یک مبنای واقعی، عملگرهای واقعی با ماتریس های واقعی، یعنی ماتریس هایی با عناصر واقعی تعریف می شوند.

عملگر واقعی بردارهای مزدوج پیچیده و دوباره به مزدوج های پیچیده تبدیل می کند

برای یک عملگر واقعی، معادله سکولار دارای ضرایب واقعی است، بنابراین می‌دانید که با یک ریشه از تعدد th، یک ریشه از ضرب th نیز دارد. به شرح زیر است: یعنی اعداد مشخصه مزدوج با بردارهای ویژه مزدوج مطابقت دارند.

یک زیرفضای دو بعدی مبنای واقعی دارد: . صفحه در با این مبنا، صفحه ثابت اپراتور مربوط به یک جفت اعداد مشخصه نامیده می شود. اجازه دهید .

سپس، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است،

یک عملگر واقعی از ساختار ساده با اعداد مشخصه را در نظر بگیرید:

اعداد واقعی کجا هستند و .

سپس بردارهای ویژه مربوط به این اعداد مشخصه را می توان طوری انتخاب کرد که

.

اساس را در فضای اقلیدسی تشکیل می دهند. که در آن

(114)

در مبنای (113)، عملگر با یک ماتریس شبه قطری واقعی مطابقت دارد

. (115)

بنابراین، برای هر عملگر ساختار ساده در فضای اقلیدسی مبنایی وجود دارد که در آن عملگر با ماتریسی از شکل (115) مطابقت دارد. نتیجه این است که هر ماتریس واقعی ساختار ساده شبیه به یک ماتریس متعارف شکل (115) است:

عملگر انتقال یافته برای in، پس از بسط، به عملگر مزدوج برای in تبدیل می شود. در نتیجه، عملگرهای معمولی، متقارن، چوله متقارن، متعامد در پس از انبساط، به ترتیب، نرمال، هرمیتی، ضرب در هرمیتی، عملگرهای واقعی واحد در .

به راحتی می توان نشان داد که برای یک عملگر عادی در فضای اقلیدسی می توان یک مبنای متعارف را انتخاب کرد - یک مبنای متعارف (113)، که برای آن برابری ها (114) برقرار است. بنابراین، یک ماتریس عادی واقعی همیشه واقعی و متعامد شبیه به یک ماتریس از شکل (115) است:

(117)

برای یک عملگر متقارن در فضای اقلیدسی، همه اعداد مشخصه واقعی هستند، زیرا پس از بسط این عملگر هرمیتی می شود. برای یک عملگر متقارن در فرمول (114)، باید . سپس دریافت می کنیم:

یک عملگر متقارن در فضای اقلیدسی همیشه دارای یک سیستم متعامد از بردارهای ویژه با اعداد مشخصه واقعی است. بنابراین، یک ماتریس متقارن واقعی همیشه واقعی و متعامد شبیه به یک ماتریس مورب است.

برای یک عملگر چوله متقارن در فضای اقلیدسی، تمام اعداد مشخصه کاملاً خیالی هستند (پس از بسط، این عملگر برابر با حاصلضرب عملگر هرمیتی است). برای عملگر چوله متقارن در فرمول (114) باید قرار دهیم:

پس از آن این فرمول ها شکل می گیرند

(120)

از آنجایی که یک عملگر معمولی است، مبنای (113) را می توان متعارف در نظر گرفت. بنابراین، هر ماتریس چوله متقارن واقعی به صورت واقعی و متعامد شبیه به ماتریس متقارن متقارن متعارف است:

. (124)): از برابری های موازی بردار. ما قضیه اویلر-دآلمبر را ثابت کردیم:

حرکت محدود دلخواه در فضای سه بعدی اقلیدسی یک حرکت مارپیچ حول یک محور ثابت است.

220400 جبر و هندسه Tolstikov A.V.

سخنرانی ها 15. عملگرهای خطی در فضاهای اقلیدسی

طرح

1. عملگرهای مزدوج فضاهای اقلیدسی و خصوصیات آنها.

2. اپراتورهای خود الحاقی.

3. ماتریس های متعامد و خواص آنها.

4. عملگرهای متعامد و خصوصیات آنها

1. درس هندسه تحلیلی و جبر خطی. M.: Nauka، 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی. 1997.

3. Voevodin V.V. جبر خطی.. M.: Nauka 1980.

4. مجموعه مشکلات برای دانشکده ها. جبر خطی و مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی. اد. Efimova A.V.، Demidovich B.P.. M.: Nauka، 1981.

5. بوتوزوف V.F.، Krutitskaya N.Ch.، Shishkin A.A. جبر خطی در سؤالات و مسائل. M.: Fizmatlit، 2001.

6. Voevodin V.V. جبر خطی. M.: Nauka، 1980.

1. عملگرهای مزدوج فضاهای اقلیدسی و خصوصیات آنها.اجازه دهید E- فضای اقلیدسی بر روی میدان اعداد حقیقی آر ، که حاصل ضرب اسکالر بردارها ( آ ,ب ), آ ,ب Î E.

تعریف 1.عملگر خطی آ* فضای اقلیدسی Eتماس گرفت مزدوجعملگر خطی آ* فضا E، اگر برای هر بردار آ ,ب Î Eشرط برقرار است:

(Aa ,ب ) = (آ ,الف*ب ). (1)

لم 1.اگر حاصل ضرب یک رشته داده شده باشدU به هر ستونY صفر است، سپس خطتو صفر اگر حاصلضرب هر رشتهایکس تی بر ستون داده شده U برابر با صفر است، سپس ستونخالی.

اثباتاجازه دهید U= (تو 1 , تو 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)تی. با توجه به شرایط قضیه، برای هر عدد y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (تو 1 , تو 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)تی = تو 1 y 1 + تو 2 y 2 +…+u n y n=0. اگر همه اعداد y 1 , y 2 ,…,y nبرابر 0 هستند، به جز y j، که = 1 است، سپس آن را دریافت می کنیم u j (من = 1,2,…,n). از همین رو U=0. گزاره دوم قضیه به روشی مشابه اثبات می شود. 

قضیه 1.اجازه دهید v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - اساس فضای اقلیدسیE, آ - ماتریس عملگر خطی آ نسبت به پایه v, جی = (g ij) - پایه ماتریس گرم v. اگر برای عملگر خطیآ یک عملگر مزدوج وجود داردآ *، سپس برابری برآورده می شود

A t G = GA*. (2)

اثباتاجازه دهید ایکسو Yستون مختصات برداری آ ,ب Î Eنسبت به پایه v, آو آ*ماتریس های عملگر خطی آ و آ * نسبت به پایه v. سپس

(Aa , ب ) =(v(تبر), vY) = (تبر) t G.Y., (آ ,الف*ب ) = ایکستی G A * Y.(3)

از اینجا با استفاده از فرمول (1) برابری ( تبر) t G.Y.= ایکستی G A * Y,برای هر بردار ستونی معتبر است ایکسو Y.از آنجایی که بردارها آ ,ب دلخواه هستند، سپس توسط لم 1 به دست می آوریم A t G = GA*.

قضیه 2.اگر اساسv = (v 1 , v 2 ,…, v n) فضای اقلیدسیE متعارف، پس ماتریسعملگر خطی مزدوج A*آ* به ماتریس منتقل می شوداپراتور آ ;

A t = آ*. (4)

اثباتاز آنجایی که ماتریس گرم مبنای متعارف، هویت است، جی = E، سپس (4) از (2) می آید . 

نتیجه 1. برای هر اپراتورآ برابری درست است (آ* ) * = آ .

اثباتطبق فرمول (4) برای ماتریس های عملگرهای خطی ( آ* ) * و آ در یک مبنای متعارف ما داریم ( آ*) * = (A t)تی = آ. از همین رو ( آ* ) * = آ .

نتیجه 2. برای هر اپراتورآ , ببرابری درست است (AB ) * = B*A* .

اثباتطبق فرمول (4) برای ماتریس های عملگرهای خطی آ ,ب و آ* , ب* در یک مبنای متعارف ما داریم ( AB) * = (AB)تی = B t A t = ب * آ*. از همین رو ( AB ) * = B*A* .

نتیجه 3. مقادیر ویژه عملگرهای خطیآ وآ* همخوانی داشتن.

اثباتاز آنجایی که چند جمله ای های مشخصه ماتریس ها منطبق هستند، مقادیر ویژه عملگرهای خطی که ریشه های معادله مشخصه هستند منطبق هستند. . 

قضیه 3. برای هر عملگر خطیآ فضای اقلیدسیE یک عملگر خطی مزدوج منحصر به فرد وجود داردآ* .

اثباتاجازه دهید v = (v 1 , v 2 ,…, vن) مبنای متعارف فضای اقلیدسی E, آ - عملگر خطی با ماتریس آنسبت به پایه v. بیایید در نظر بگیریم Eعملگر خطی ب با ماتریس A tنسبت به این مبنا. اپراتور ب فقط یکی وجود دارد ضلع راست تساوی (3) برابر است با: تبر) t G.Y. = ایکستی G A * Y.بنابراین، چپ ها نیز برابر هستند ( Aa , ب ) = (آ ,Bb ). بنابراین اپراتور ب - رابط برای اپراتور آ . 

2. اپراتورهای خود الحاقی.

تعریف 1.عملگر خطی آ فضای اقلیدسی Eتماس گرفت خود الحاقی یا متقارن، اگر آ = آ* ، یعنی برای هر بردار از دو آ ,ب Î Eشرط برقرار است:

(Aa , ب ) = (آ ,Ab ). (1)

قضیه 1. عملگر خطیآ فضای اقلیدسیE به صورت خود الحاقی است اگر و فقط اگر ماتریس باشدیک عملگر خطیآ در پایه متعامد یک ماتریس متقارن وجود دارد، یعنی.. آ = آ * .

§ 5. عملگرهای خود الحاقی خطی
در فضای اقلیدسی .

1. مفهوم عملگر مزدوج. ما عملگرهای خطی را در فضای اقلیدسی بابعد محدود V در نظر خواهیم گرفت. تعریف 1. یک عملگر A* از L(V, V) به عملگر خطی A مزدوج گفته می شود اگر برای هر x و y از V رابطه باشد.

(Ax, y) = (x, A*y). (5.51)

به راحتی می توان تأیید کرد که عملگر A*، مزدوج با عملگر خطی A، خود یک عملگر خطی است. این از رابطه آشکار ناشی می شود

برای هر عنصر x، y 1، y 2 و هر عدد مختلط α معتبر است و β.

اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 5.12.هر عملگر خطی A یک الحاق منحصر به فرد دارد.

اثباتبدیهی است که حاصلضرب اسکالر (Ax, y) یک فرم بدون خطی است (به فصل 4، § 3، بند 1 و تعریف یک فرم بدون خطی مراجعه کنید). با قضیه 5.11، یک عملگر خطی منحصر به فرد A* وجود دارد که این شکل را می توان به شکل (x، A*y) نشان داد. بنابراین، (Ax، y) = x، A*y.
در نتیجه، عملگر A* مزدوج عملگر A است. منحصر به فرد بودن عملگر A* از منحصر به فرد بودن نمایش یک عملگر بدون خط به شکل E.44 ناشی می شود. قضیه ثابت شده است.

در ادامه، نماد A* نشانگر عملگر مزدوج با عملگر A است.
توجه داشته باشید خواص زیرعملگرهای مزدوج:

اثبات خواص 1-4 درجه ابتدایی است و ما آنها را به خواننده واگذار می کنیم. اجازه دهید یک مدرک برای ویژگی 5 درجه ارائه کنیم. با توجه به تعریف حاصلضرب عملگرها، رابطه (AB)x = A(Bx) معتبر است. با استفاده از این برابری و تعریف عملگر مزدوج، زنجیره روابط زیر را بدست می آوریم:

((AB)x، y) = (A(Bx)، y) = (Bx، A*y) = = (x، B*(A*y)) = (x، (B*A*)y) .

بنابراین، ((AB)x، y) = (x، (B*A*)y). به عبارت دیگر عملگر B*A* مزدوج با عملگر AB است. اعتبار ویژگی 5 درجه ثابت شده است.

اظهار نظر.مفهوم عملگر مزدوج برای یک فضای واقعی به روشی کاملاً مشابه معرفی شده است. نتیجه گیری این نکته و ویژگی های عملگرهای مزدوج نیز برای این مورد معتبر است (در این مورد، ویژگی 3° به صورت زیر فرموله می شود: (λA)* = λA*).

2. اپراتورهای خود الحاقی. خواص اساسی
تعریف 2.عملگر خطی A از L(V, V) در صورت تساوی، خود الحاقی نامیده می شود

A* =A.

یک عملگر خود الحاقی در یک فضای واقعی به طور مشابه تعریف می شود.
ساده ترین مثال از یک عملگر خود الحاقی، عملگر هویت I است (به ویژگی 1 درجه عملگرهای الحاقی در پاراگراف قبل مراجعه کنید).
با استفاده از عملگرهای خود الحاقی، می توانید نمایش ویژه ای از عملگرهای خطی دلخواه به دست آورید. یعنی عبارت زیر درست است.

قضیه 5.13. فرض کنید A یک عملگر خطی باشد که در فضای پیچیده اقلیدسی V عمل می کند. سپس نمایش A = A آر + iAمن، کجا آ آر و Aمن عملگرهای خود الحاقی هستند که به ترتیب قسمت واقعی و خیالی عملگر A نامیده می شوند.

اثباتبا توجه به خواص عملگرهای مزدوج 2 درجه، 3 درجه و 4 درجه (نگاه کنید به. نکته قبلیاین بند) اپراتورها آ آر = (A + A*)/2 و A من = (A - A*)/2i- خود الحاقی

به طور مشخص، A = A آر + iA I قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر شرایط خود الحاقی یک محصول عملگرهای خود الحاقی را روشن می کند. ما می گوییم که عملگرهای A و B اگر AB = BA.

قضیه 5.14.برای اینکه محصول AB عملگرهای خود الحاقی A و B یک عملگر خود الحاقی باشد، لازم و کافی است که آنها رفت و آمد کنند.
اثبات. از آنجایی که A و B عملگرهای خود الحاقی هستند، بنابراین، با توجه به ویژگی عملگرهای مزدوج 5 درجه (به بند 1 این بخش مراجعه کنید)، روابط زیر صادق است:
(AB)* = B*A* = BA (5.52)

بنابراین، اگر AB = BA، که ( AB)* = AB، یعنی عملگر AB خود الحاقی است. اگر AB یک عملگر خود الحاقی است، پس AB = (AB)*و سپس بر اساس (5.52)، AB = BA.قضیه ثابت شده است.
قضایای زیر تعدادی از خصوصیات مهم عملگرهای خود الحاق را ایجاد می کنند.
قضیه 5.15.اگر عملگر A به صورت خود الحاقی باشد، برای هر کدام ایکس ϵ Vحاصلضرب عددی (آه، x)- عدد واقعی
اثباتاعتبار قضیه از ویژگی زیر حاصل ضرب اسکالر در فضای پیچیده اقلیدسی ناشی می شود. و تعاریف عملگر خود الحاقی (به یاد بیاورید که اگر یک عدد مختلط برابر با مزدوج آن باشد، پس
این عدد واقعی است.)

قضیه 5.16.مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند.
اثباتفرض کنید λ مقدار ویژه عملگر خود الحاقی A باشد. با تعریف مقدار ویژه عملگر A (به تعریف 2، بخش 3 این فصل مراجعه کنید)، یک بردار غیرصفر x وجود دارد.
به طوری که Ax = λx. از این رابطه نتیجه می شود که حاصل ضرب اسکالر واقعی (به موجب قضیه 5.15) (Ax, x) را می توان به شکل 2 نشان داد.

( 2) به یاد بیاورید که نماد ||x|| نشان دهنده هنجار عنصر x است.)

از آنجایی که ||x|| و (Ax, x) واقعی هستند، پس بدیهی است که λ یک عدد واقعی است. قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر ویژگی متعامد بودن بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی را روشن می کند.
قضیه 5.17.اگر A یک عملگر خود الحاقی باشد، بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه مختلف این عملگر متعامد هستند.

اثباتبگذارید λ 1 و λ 2 متفاوت باشند مقادیر ویژه(λ 1 ≠ λ 2) از عملگر خود الحاقی A، a x 1 و x 2 بردارهای ویژه مربوط به آنها هستند. سپس روابط Ax 1 = λ 1 x 1، Ax 2 = λ 2 x 2 برقرار است. بنابراین، محصولات اسکالر (Ax 1, x 2) و (x 1, Ax 2) به ترتیب برابر با عبارت 3 زیر هستند:

3) از آنجایی که مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند، پس

از آنجایی که عملگر A خود الحاقی است، حاصلضرب های اسکالر (Ax 1, x 2) و (x 1, Ax 2) برابر هستند و بنابراین از آخرین روابط با تفریق برابری را بدست می آوریم.

از آنجایی که λ 1 ≠ λ 2، پس از آخرین برابری نتیجه می شود که حاصل ضرب اسکالر (x 1* x 2) برابر با صفر است، یعنی. متعامد بودن بردارهای ویژه x 1 و x 2 قضیه ثابت شده است.

3. هنجار عملگر خطی.فرض کنید A یک عملگر خطی باشد که فضای اقلیدسی V را در همان فضا نگاشت می کند. اجازه دهید مفهوم هنجار عملگر A را معرفی کنیم.
تعریف 3. عرف || آ || عملگر خطی A عددی است که با رابطه 1 تعریف می شود)

1) به یاد بیاوریم که نتیجه این است که این نشان دهنده است عملکرد پیوسته x، که در مجموعه بسته ||x|| = 1 به بزرگترین مقدار نهایی می رسد.

از تعریف هنجار یک عملگر خطی نابرابری آشکار زیر به دست می آید:

(برای اثبات آن کافی است از رابطه Ax = استفاده کنید

از رابطه E.54) چنین بر می آید که اگر ||A|| = O، سپس عملگر A صفر است.

هنجار اپراتور A خود الحاقی را می توان به روش دیگری نیز تعیین کرد. یعنی عبارت زیر درست است:

اگر A یک عملگر خود الحاقی است، هنجار معرفی شده در بالا ||A|| عملگر A برابر است با

اثباتبرای هر x از V، نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی معتبر است (به پاراگراف 2، §3، فصل 4 مراجعه کنید).

از آن و از نابرابری (5.54) نابرابری زیر را بدست می آوریم:

بنابراین تعداد

رابطه را ارضا می کند

توجه داشته باشید که از برابری

و تعریف عدد μ (نگاه کنید به 5.56)) نابرابری زیر به شرح زیر است:

اکنون به هویت آشکار زیر می پردازیم:

(در این هویت نماد Re (Ax, y) قسمت واقعی را نشان می دهد عدد مختلط(Ax, y)، خود هویت به راحتی از ویژگی های حاصلضرب اسکالر ناشی می شود، به پاراگراف 1، §3، فصل 4 مراجعه کنید. چپ و راست گرفتن
بخش هایی از این مدول هویت، با استفاده از خاصیت مدول جمع و نابرابری E.58، روابط زیر را به دست می آوریم: 1) :

1 ) ما از تعریف هنجار یک عنصر در فضای پیچیده اقلیدسی استفاده کردیم.

از این رو، برای ||x|| = ||y|| = 1 نابرابری را دریافت می کنیم

با فرض این نابرابری (بدیهی است ||у|| = 1) و با در نظر گرفتن اینکه عدد (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 واقعی است (بنابراین می گیریم

از اینجا، با توجه به نابرابری (5.53)، پیدا می کنیم

برای تکمیل اثبات، باید نابرابری حاصل را با نابرابری (5.57) مقایسه کنیم و از تعریف عدد µ استفاده کنیم (نگاه کنید به 5.56)).

4. ویژگی های بیشتر عملگرهای خود الحاقی.در این بخش تعدادی از خصوصیات مهم عملگرهای خطی مرتبط با مفهوم هنجار را اثبات خواهیم کرد. ابتدا شرط لازم و کافی را برای خود الحاقی اپراتور ایجاد می کنیم. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.
قضیه 5.18.برای اینکه عملگر خطی A به صورت خود الحاقی باشد، لازم و کافی است که 2)

2 ) نماد Im (Ax, x) قسمت خیالی عدد مختلط (Ax, x) را نشان می دهد. برابری Im (Ax, x) = 0 به این معنی است که عدد (Ax, x) واقعی است.

اثباتبا قضیه 5.13، یک عملگر خطی دلخواه A را می توان به صورت نمایش داد

عملگرهای خود الحاقی از همین رو

علاوه بر این، طبق قضیه 5.15، برای هر x اعداد و واقعی هستند. در نتیجه، این اعداد به ترتیب برابر با قسمت های واقعی و خیالی عدد مختلط هستند (Ax, x):

فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی است. با قضیه 5.15 در این مورد (Ax, x) یک عدد واقعی است،
و بنابراین Im(Ax, x) = 0. وجوب شرایط قضیه ثابت می شود.

کافی بودن شرایط قضیه را اثبات کنیم.

فرض کنید Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. نتیجه می شود که ||A I || = 0، یعنی A I = 0. بنابراین A = A R، که در آن A R یک عملگر خود الحاقی است.
قضیه ثابت شده است.
عبارات زیر برخی از ویژگی های مقادیر ویژه عملگرهای خود الحاقی را روشن می کند.

لماهر مقدار ویژه X از یک عملگر خطی دلخواه خود الحاقی A در فضای اقلیدسی برابر است با حاصلضرب اسکالر (Ax, x)، که در آن x مقداری بردار است، راحت است.
ارضای شرط ||x|| = 1:

اثباتاز آنجایی که λ مقدار ویژه عملگر A است، پس یک بردار غیرصفر z وجود دارد به طوری که

با فرض x = z/||z|| (بدیهی است ||x|| = 1)، 5.60 را به صورت زیر بازنویسی می کنیم: Ax = λ x, ||x|| = 1. از اینجا ما روابط i.e. 5.59) صورت می گیرد. لم ثابت شده است.
نتیجه.فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی و λ هر مقدار ویژه این عملگر باشد. اجازه دهید بیشتر

نابرابری های زیر معتبر هستند:

یادداشت 1.از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر (Ax, x) تابعی پیوسته از x است، پس در مجموعه بسته ||x|| = 1 این تابع محدود است و به لبه های دقیق m و M می رسد.
تبصره 2. طبق قضیه 5.16، مقادیر ویژه یک عملگر خود الحاقی واقعی هستند. بنابراین، نابرابری های 5.62) منطقی است.
شواهد تحقیقاز آنجایی که هر مقدار ویژه λ رابطه (5.59) را برآورده می کند، پس بدیهی است که هر مقدار ویژه بین لبه های دقیق m و M محصول اسکالر (Ax, x) قرار می گیرد. بنابراین، نابرابری (5.62) معتبر است.
ما ثابت خواهیم کرد که اعداد m و M تعریف شده توسط روابط (5.61) به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه عملگر خود الحاقی A هستند. ابتدا اجازه دهید اعتبار عبارت زیر را بررسی کنیم.

قضیه 5.19.فرض کنید A یک عملگر خود الحاقی باشد و علاوه بر این، (Ax, x) ≥ O برای هر x باشد. سپس هنجار ||A|| برابر با بزرگترین مقدار ویژه این عملگر 1)

1 ) از آنجایی که تعداد محدودی از مقادیر ویژه وجود دارد و آنها واقعی هستند، می توان بزرگترین آنها را نشان داد.

اثبات قبلاً متذکر شدیم (به بیانیه پاراگراف قبل مراجعه کنید) که

از آنجایی که (Ax, x) ≥ O، پس طبق تبصره 1 این بند برای برخی

با عطف به تعریف هنجار و با استفاده از برابری های نوشته شده، روابط 2 را بدست می آوریم)

بنابراین، یا، در غیر این صورت، مقدار ویژه عملگر A است. این واقعیت که λ بزرگترین مقدار ویژه است، از نتیجه تازه ایجاد شده به لم این پاراگراف ناشی می شود. قضیه ثابت شده است.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که اعداد m و M (نگاه کنید به 5.61)) کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه عملگر خود الحاقی A هستند.

قضیه 5.20.بگذارید A یک عملگر خود الحاقی باشد و m و M وجه های دقیق (Ax, x) در مجموعه ||x|| = 1. این اعداد نشان دهنده کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه اپراتور A هستند.
اثبات. بدیهی است که اثبات اینکه اعداد m و M مقادیر ویژه عملگر A هستند کافی است. سپس از نابرابری های 5.62) بلافاصله نتیجه می شود که m و M به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه هستند.
اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که M یک مقدار ویژه است. برای انجام این کار، عملگر خود الحاقی B = A - mI را در نظر بگیرید. زیرا

سپس عملگر B شرایط قضیه 5.19 را برآورده می کند و بنابراین هنجار ||B|| این عملگر برابر است با بزرگترین مقدار ویژه. از طرف دیگر،

بنابراین، (M - m) بزرگترین مقدار ویژه عملگر B است. در نتیجه، یک بردار غیر صفر x 0 وجود دارد به طوری که

زیرا

با جایگزینی این عبارت Bx 0 در سمت چپ برابری (5.63)، پس از تبدیل های ساده، رابطه Ax 0 = Mx 0 را به دست می آوریم - بنابراین، M مقدار ویژه عملگر A است. اجازه دهید مطمئن شویم که عددمتر همچنین یک مقدار ویژه از عملگر A است.
عملگر خود الحاقی B = -A را در نظر بگیرید. بدیهی است که

با توجه به اثباتی که اخیراً انجام شد، این عدد استمتر نشان دهنده مقدار ویژه عملگر B است. از آنجایی که B = -A، پس m مقدار ویژه عملگر A خواهد بود. قضیه ثابت شده است.

قضیه زیر یک ویژگی مهم بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی را روشن می کند.

قضیه 5.21.برای هر عملگر خطی خود الحاقی A که در آن عمل می کند n فضای اقلیدسی بعدی V، وجود دارد n بردارهای ویژه متعامد و واحد جفتی مستقل خطی.

اثبات. اجازه دهید λ 1 - حداکثر مقدار ویژه اپراتور

اجازه دهید بردار ویژه مربوط به λ 1 را با e 1 نشان دهیم و شرط ||e 1 || = 1 (احتمال انتخاب آن از اثبات لم این بخش حاصل می شود).
اجازه دهید با V 1 (n - 1) فضای فرعی بعدی فضای V، متعامد به e 1 نشان دهیم بدیهی است که V 1 یک زیرفضای ثابت از عملگر A است (یعنی اگر x ϵ V 1، پس Ax ϵ V 1 است. در واقع. ، اجازه دهید x ε V 1 (یعنی (x,e 1 =0). سپس 1)

1 ) ما از ویژگی خود الحاقی عملگر استفاده کردیم (Ax, e 1 ) = (x، Ae 1 ) و این واقعیت که e 1 - بردار ویژه عملگر:

بنابراین، تبر عنصری از V است 1 و بنابراین V 1 زیرفضای ثابت عملگر A است. این به ما این حق را می دهد که عملگر A را در زیرفضای V در نظر بگیریم. 1 . در این زیرفضای A یک عملگر خود الحاقی را نشان خواهد داد. در نتیجه، حداکثر مقدار ویژه A 2 از این عملگر وجود دارد که با استفاده از رابطه می توان آن را پیدا کرد 1 )

1 ) نماد متعامد بودن بردارهای e را نشان می دهد 1 و e 2

علاوه بر این، می توانید بردار را به گونه ای مشخص کنید که

با چرخش بیشتر به زیر فضای (n - 2) بعدی V 2، متعامد بردارهای e 1 و e 2، و با تکرار استدلال بالا، بردار ویژه است з, ||е z || = 1، متعامد e 1 و e 2. با استدلال بیشتر به همین روش، ما به طور متوالی n بردار ویژه متعامد متقابل e 1، e 2،...، e n را خواهیم یافت که شرط را برآورده می کند.
یادداشت 1.در آینده، ما موافقت خواهیم کرد که مقادیر ویژه یک اپراتور خود الحاقی را به ترتیب نزولی با در نظر گرفتن تکرار، یعنی مقادیر ویژه متعدد، شماره گذاری کنیم. که در آن

و بردارهای ویژه متناظر e 1, e 2,..., e n را می توان متعامد متعامد و ارضا کننده شرط دانست.

بدین ترتیب،

تبصره 2. از استدلال در اثبات قضیه چنین بر می آید که

این رابطه را می توان به صورت هم نوشت

گستره خطی بردارهای e 1, e 2,..., e m. اعتبار تبصره از آنجا ناشی می شود که (x, x) = ||x|| 2 و بنابراین

جایی که هنجار عنصر x/||x|| برابر با 1.

اجازه دهید ∑ m مجموعه همه زیرفضاهای m بعدی فضای V است. خاصیت حداقلی مهم زیر مقادیر ویژه درست است.
قضیه 5.22.اجازه دهید A یک عملگر خود الحاقی و مقادیر ویژه آن هستند که به ترتیب ذکر شده در Remark 1 شماره گذاری شده اند. سپس

سخنرانی 9

عملگرها در فضاهای اقلیدسی

عملگرهای خطیکه در فضاهای اقلیدسی عمل می کنند، دارای تعدادی ویژگی خاص هستند که برای کاربردهای جبر خطی در حوزه های موضوعی مختلف بسیار مهم است. ما فقط بر روی موضوعات اصلی این نظریه تمرکز خواهیم کرد، به ویژه، ما نظریه عملگرهای خطی را منحصراً در فضاهای واقعی با پایه های متعامد، یعنی در فضا، مطالعه خواهیم کرد. علاوه بر این، عملگرها را به عنوان تبدیل در نظر می گیریم، یعنی عملگرها را مطالعه می کنیم
.

عملگر مزدوج . بیایید مفهوم اپراتور را در نظر بگیریم، مرتبط با اپراتور ، در فضای اقلیدسی عمل می کند
.

تعریف 9.1. اجازه دهید
- چند عملگر خطی اپراتور
تماس گرفتمرتبط با اپراتور ، اگر
شرط برقرار است

. (9.1)

قضیه 9.1. برای هر عملگر خطی
یک عملگر مزدوج منحصر به فرد وجود دارد
که خطی هم هست.

اثبات 1) به اپراتور اجازه دهید وجود دارد، اجازه دهید منحصر به فرد بودن آن را ثابت کنیم. برای انجام این کار، فرض کنید که این عملگر تنها نیست، به عنوان مثال، دو عملگر وجود دارد. و ، تعریف رضایت بخش 9.1. سپس طبق فرمول (9.1) داریم:

,
, (9.2)

از کجا تهیه کنیم

با توجه به اینکه در تعریف 9.1 (در فرمول (9.1)) بردار
دلخواه است، ما برابری را قرار می دهیم (9.3)

,

.

از آنجایی که حاصلضرب اسکالر اصل عدم انحطاط را برآورده می کند، از آخرین برابری داریم

از آنجا، به دلیل دلخواه بودن بردار به دنبال آن است
و منحصر به فرد بودن عملگر مزدوج ثابت شده است.

2) اجازه دهید خطی بودن عملگر مزدوج را ثابت کنیم. با استفاده از تعریف (9.1) و ویژگی های حاصلضرب اسکالر، به دست می آوریم:

,
و

آ)
;

از مقایسه فرمول های a) و b) نتیجه می شود که عملگر مزدوج خطی است ، برای مثال:

.

3) اکنون وجود عملگر مزدوج را اثبات می کنیم. بیایید آن را در فضا درست کنیم
مبنای متعارف
و بردارها را بنویسید
و
در قالب گسترش آنها در امتداد مبنای متعارف:

;
. (9.4)

محاسبه سمت چپ و راست (9.1) را در نظر بگیرید:

;

.

با مقایسه دو برابری آخر با در نظر گرفتن (9.1)، به دست می آوریم:

. (9.5)

بنابراین، اگر ماتریس عملگر به نظر می رسد

,

سپس ماتریس عملگر مزدوج شکل می گیرد

. (9.6)

از (9.6) نتیجه می شود که ماتریس عملگر مزدوج در هر مبنای متعارف
با جابجایی ماتریس عملگر پیدا می شود که وجود عملگر مزدوج را ثابت می کند.

اجازه دهید یک قضیه را در مورد خواص عملگر مزدوج به یک عملگر خطی اثبات کنیم.

قضیه 9.2. ویژگی های زیر عملگر مزدوج معتبر است: :
و

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

اثبات بیایید رابطه اول را ثابت کنیم. اجازه دهید یک عملگر خطی دلخواه است. برای عملگر مزدوج مزدوج عملگر خواهد بود . سپس:

آخرین برابری برای هر بردار برقرار است ، به این معنا که،

,

از آنجا برهان مال اولی را دنبال می کند.

اجازه دهید رابطه دوم را ثابت کنیم. برای انجام این کار، زنجیره تبدیل زیر را در نظر بگیرید:

از مقایسه ضلع چپ و راست برابری (9.8)، اثبات خاصیت دوم به دست می آید.

خواص باقی مانده به روشی مشابه اثبات می شود.

اپراتورهای خود الحاقی . در برنامه های کاربردی پراهمیتدارند عملگرهای خود الحاقی .

تعریف 9.2. عملگر خطی
تماس گرفتخود الحاقی ، اگر
.

از تعریف به دست می آید که عملگر خود الحاقی رابطه را برآورده می کند

. (9.9)

از آنجایی که ماتریس عملگر مزدوج برابر با ماتریس انتقالی عملگر است ، سپس عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی برابری را برآورده می کند
، به این معنا که عناصر ماتریس یک عملگر خود الحاقی، متقارن نسبت به قطر اصلی، برابر هستند.. چنین ماتریسی نامیده می شود متقارن . به همین دلیل، اپراتورهای خود الحاقی
اغلب نامیده می شود متقارن .

عملگرهای خود الحاقی تعدادی ویژگی دارند که با استفاده از تعریف و ویژگی های عملگر الحاقی به راحتی می توان آنها را اثبات کرد.

1. تک عملگر خود الحاقی است.

اثبات به طور مشخص،

.

2. مجموع عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است.

اثبات اگر
و
، آن

.

3. ترکیبی از عملگرهای خود الحاقی یک عملگر خود الحاقی است اگر و تنها در صورتی که این عملگرها جابجایی باشند.

اثبات به یاد بیاورید که عملگرها را commutative if می نامند

,

,

جایی که - اپراتور تهی اگر
,
، آن

,

که برابر است با اگر و فقط در صورتی که عملگرها جابجایی باشند.

4. اپراتور ، معکوس به یک عملگر خود الحاقی غیر منحط
همچنین اپراتور خود الحاقی.

اثبات در واقع، اگر
، آن

.

5. اگر یک عملگر خود الحاقی است، سپس حاصلضرب این عملگر با یک عدد واقعی است
یک اپراتور خود الحاقی است.

اثبات از خاصیت سوم (9.7) داریم:

.

قضیه 9.3. بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی ، بازیگری در فضا
، مربوط به مقادیر ویژه دو به دو، متعامد هستند.

:
و
، و
. از آنجایی که اپراتور به خودی خود متصل است، پس
. بنابراین در سمت چپ و راست به ترتیب موارد زیر را داریم:

;

.

جایی که در حال اجراست
ما گرفتیم:
.

قضیه مهم زیر برای عملگرهای خود الحاقی صادق است.

قضیه 9.4. همه ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی
واقعی و متفاوت

اثبات که در مورد کلیاثبات قضیه کاملاً دست و پا گیر است. به همین دلیل، ما یک مدرک برای مورد اپراتور ارائه می دهیم
. بنابراین، اجازه دهید یک عملگر خطی داده شود
با ماتریس . سپس معادله مشخصه این عملگر به شکل زیر است:

.

با گسترش دترمینان، معادله مشخصه را به دست می آوریم:

جواب این معادله با استفاده از فرمول معروف بدست می آید:

.

ممیز به شکل زیر است:

بدیهی است که اولین عبارت همیشه مثبت است، و دومی مثبت است، زیرا
. بنابراین ریشه های معادله مشخصه واقعی و متفاوت است.

قضیه 9.5. اجازه دهید
- اپراتور خود الحاقی سپس در فضا
شما می توانید یک پایه متعارف را انتخاب کنید

به طوری که ماتریس عملگر در این پایه مورب بود.

اثبات بر اساس قضیه 9.4، تمام ریشه های چند جمله ای مشخصه یک عملگر خود الحاقی واقعی و متمایز هستند، و بنابراین، بر اساس قضیه 9.3، بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاق متقابل متعامد هستند. به وضوح می توان سیستم بردارهای ویژه را عادی کرد. اما سپس این بردارها اساس فضا را تشکیل می دهند
، که در آن عملگر یک عملگر ساختار ساده است، یعنی دارای یک ماتریس مورب است.

عملگرهای متعامد و خواص آنها، تفسیر هندسی . اجازه دهید تعریف و خصوصیات دسته مهمی از عملگرهای فعال در فضا را در نظر بگیریم
.

تعریف 9.3. اپراتور ، بازیگری در فضا
، تماس گرفتقائم ، اگر محصول نقطه را حفظ کند، یعنی

.(9.10)

از تعریف بر می آید که عملگر متعامد هنجارها (طول) بردارها و زوایای بین آنها را حفظ می کند. .

لم 9.1. اپراتور

.

اثبات اجازه دهید

,

جایی که داریم:
. باور کردن
، ما گرفتیم:

.

اجازه دهید
. سپس داریم:

.

بدیهی است که عملگر متعامد غیر منحط است یعنی ماتریس آن ماتریس معکوس دارد.

قضیه 9.6 (در مورد خواص عملگرهای متعامد). عملگرهای متعامد
دارای خواص زیر است:

1)عملگر هویت متعامد است.

2)ترکیب عملگرهای متعامد نیز یک عملگر متعامد است.

3)عملگر معکوس یک عملگر متعامد نیز متعامد است.

4)اگر
یک عملگر متعامد است، سپس عملگر
اگر و فقط اگر متعامد است
.

اثبات 1. اثبات این خاصیت تقریباً واضح است:

.

2. اجازه دهید
و
- عملگرهای متعامد سپس:

3. اجازه دهید عملگر متعامد در نظر بگیریم
:

.

4. اجازه دهید - عملگر متعامد سپس

.

قضیه 9.7 (معیار متعامد بودن یک عملگر). اپراتور ، بازیگری در فضا
، متعامد است اگر و فقط در صورتی که حداقل یک مبنای متعامد به یک مبنای متعامد داشته باشد..

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد سپس او با حفظ حاصل ضرب اسکالر، مبنای متعارف را به یک مبنای متعارف تبدیل می کند.

اجازه دهید اکنون اپراتور
مبنای متعارف را ترجمه می کند

به یک مبنای متعارف جدید

.

سپس

.

.

بیایید ویژگی های ماتریس عملگر متعامد را در نظر بگیریم.

قضیه 9.8. سیستم بردارهای ستونی (ردیف) ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف

متعارف است.

اثبات اجازه دهید
– چند عملگر متعامد و
- برخی از پایه های متعارف. با قضیه 9.9، سیستم تصاویر بردارهای پایه خود متعارف است، یعنی
. بنابراین، برای ستون های ماتریس عملگر

,

(به عنوان بردارهای فضای حسابی
) ما داریم:

. (9.11)

یک ویژگی مشابه برای ردیف های ماتریس صادق است :

.
(9.12)

قضیه 9.9. ماتریس عملگر متعامد
در هر مبنای متعارف، شرایط را ارضا می کند

. (9.13)

اثبات اجازه دهید
- عملگر متعامد از آنجایی که ماتریس های عملگر و با روابط مرتبط است

,

از آنجا برای ماتریس عملگر (9.11) را بدست می آوریم.

برعکس، اجازه دهید رابطه (9.11) ارضا شود. سپس
، که از آن نتیجه می شود که اپراتور متعامد است.

تعریف 9.4. ماتریس ، که دارایی مربوط به آن است(9.13),متعامد نامیده می شود.

اجازه دهید چند قضیه در مورد خواص عملگر متعامد ارائه کنیم.

قضیه 9.10. مقادیر ویژه عملگر متعامد بازیگری در فضا
، برابر هستند
.

اثبات اجازه دهید
. سپس

از آنجایی که طبق تعریف
، آن
.

قضیه 9.11. تعیین کننده یک ماتریس متعامد برابر است

.

اثبات برای یک ماتریس متعامد برابری
. از همین رو
. سپس

.

اجازه دهید عملگر خطی آدر فضای اقلیدسی E n عمل می کند و این فضا را به خود تبدیل می کند.

معرفی کنیم تعریف: اپراتور آ* بیایید آن را مزدوج عملگر بنامیم آ، اگر برای هر دو بردار باشد x، yاز E n برابری حاصل از اسکالر فرم برآورده می شود:

(تبر، y) = (x، A*y)

بیشتر تعریف: یک عملگر خطی اگر با عملگر الحاقی خود برابر باشد، خود الحاقی نامیده می شود، یعنی تساوی برقرار است:

(تبر، y) = (x، آی)

یا به طور خاص ( تبر، x) = (x، تبر).

عملگر self-adjoint ویژگی های خاصی دارد. به برخی از آنها اشاره می کنیم:

مقادیر ویژه یک اپراتور خود الحاق واقعی هستند (بدون اثبات)؛

بردارهای ویژه یک عملگر خود الحاقی متعامد هستند. در واقع، اگر x 1و x 2بردارهای ویژه هستند و  1 و  2 مقادیر ویژه آنها هستند، سپس: تبر 1 =  1 ایکس; تبر 2 =  2 ایکس; (تبر 1، x 2) = (x 1، تبر 2) یا  1 ( x 1، x 2) =  2 (x 1، x 2). از آنجایی که  1 و  2 متفاوت هستند، پس از اینجا ( x 1، x 2) = 0، که باید ثابت شود.

در فضای اقلیدسی یک مبنای متعارف از بردارهای ویژه عملگر خود الحاقی وجود دارد. آ. یعنی، ماتریس یک عملگر خود الحاقی همیشه می تواند به شکل مورب در برخی پایه های متعارف متشکل از بردارهای ویژه عملگر خود الحاقی کاهش یابد.

یکی دیگر تعریف: بیایید یک عملگر خود الحاقی را که در فضای اقلیدسی عمل می کند صدا کنیم متقارناپراتور بیایید ماتریس یک عملگر متقارن را در نظر بگیریم. بیایید این جمله را ثابت کنیم:برای متقارن بودن یک عملگر، لازم و کافی است که ماتریس آن بر اساس متعارف متقارن باشد.

اجازه دهید آ- عملگر متقارن، یعنی:

(تبر، y) = (x، آی)

اگر آماتریس عملگر A است و ایکسو y– چند بردار، سپس می نویسیم:

مختصات ایکسو yدر برخی از پایه های متعارف

سپس: ( x، y) = X T Y = Y T X و داریم ( تبر، y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x، آی) = X T (AY) = X T AY،

آن ها X T A T Y = X T AY. برای دلخواه ماتریس های ستون X،Yاین برابری تنها زمانی امکان پذیر است که A T = A، به این معنی که ماتریس A متقارن است.

بیایید به چند نمونه از عملگرهای خطی نگاه کنیم

اپراتور طرح.لازم است ماتریس یک عملگر خطی را پیدا کنیم که فضای سه بعدی را روی محور مختصات پخش می کند. ه 1 در اساس ه 1 , ه 2 , ه 3 . ماتریس عملگر خطی ماتریسی است که ستون های آن باید حاوی تصاویر بردارهای پایه باشد ه 1 = (1,0,0), ه 2 = (0,1,0), ه 3 = (0،0،1). این تصاویر به وضوح وجود دارند: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

بنابراین، در اساس ه 1 , ه 2 , ه 3 ماتریس عملگر خطی مورد نظر به شکل زیر خواهد بود:

بیایید هسته این عملگر را پیدا کنیم. طبق تعریف، هسته مجموعه ای از بردارها است ایکس، که برای آن AX = 0. یا

یعنی هسته عملگر مجموعه ای از بردارها است که در صفحه قرار دارند ه 1 , ه 2 . بعد هسته n – rangA = 2 است.

مجموعه تصاویر این عملگر مشخصا مجموعه ای از بردارهای خطی است ه 1 . بعد فضای تصویر برابر با رتبه عملگر خطی و برابر است با 1 ، که کمتر از ابعاد فضای پیش تصویر است. یعنی اپراتور آ- منحط ماتریس A نیز مفرد است.

مثالی دیگر: پیدا کردن ماتریس یک عملگر خطی که در فضای V 3 (مبنای من, j, ک) تبدیل خطی - تقارن در مورد مبدا.

ما داریم: Ai = -i

یعنی ماتریس مورد نیاز

یک تبدیل خطی را در نظر بگیرید - تقارن در مورد هواپیما y = ایکس.

Aj = من(1,0,0)

آک = ک (0,0,1)

ماتریس عملگر به صورت زیر خواهد بود:

مثال دیگر ماتریس آشنا است که مختصات یک بردار را هنگام چرخش محورهای مختصات به هم متصل می کند. اجازه دهید عملگر را که محورهای مختصات را می چرخاند عملگر چرخش بنامیم. فرض کنید در یک زاویه  می چرخیم:

Ai’ = cos من+ گناه j

Aj’ = -sin من+cos j

ماتریس عملگر چرخش:

Ai ‘ Aj ‘

بیایید فرمول های تبدیل مختصات یک نقطه را هنگام تغییر پایه به یاد بیاوریم - جایگزینی مختصات در هواپیما هنگام تغییر پایه:

E این فرمول ها به دو صورت قابل بررسی است. قبلاً این فرمول ها را در نظر گرفتیم تا نقطه ثابت بماند، سیستم مختصات بچرخد. اما می توان در نظر گرفت که سیستم مختصات ثابت می ماند اما نقطه از موقعیت M * به موقعیت M حرکت می کند. مختصات نقطه M و M * در همان سیستم مختصات تعریف شده است.

که در تمام آنچه گفته شد به ما امکان می دهد به مشکل بعدی نزدیک شویم که برنامه نویسانی که با گرافیک روی رایانه سروکار دارند باید حل کنند. بگذارید یک شکل مسطح خاص (مثلاً مثلث) روی صفحه رایانه نسبت به نقطه O با مختصات (a, b) از یک زاویه  بچرخانید. چرخش مختصات با فرمول های زیر توصیف می شود:

انتقال موازی روابط زیر را فراهم می کند:

برای حل چنین مشکلی معمولاً از یک تکنیک مصنوعی استفاده می شود: مختصات به اصطلاح "همگن" یک نقطه در صفحه XOY معرفی می شود: (x, y, 1). سپس ماتریسی که انتقال موازی انجام می دهد را می توان نوشت:

واقعا:

و ماتریس چرخش:

مشکل مورد نظر در سه مرحله قابل حل است:

مرحله اول: انتقال موازی به بردار A(-a, -b) برای تراز کردن مرکز چرخش با مبدا مختصات:

مرحله دوم: چرخش با زاویه :

مرحله سوم: انتقال موازی به بردار A(a,b) برای بازگشت مرکز چرخش به موقعیت قبلی:

تبدیل خطی مورد نظر در قالب ماتریس به صورت زیر خواهد بود:

(**)