مفهوم رتبه ماتریسی ارتباط نزدیکی با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) سطرها یا ستون های آن دارد. در آینده مطالبی را برای سطرها ارائه خواهیم کرد؛ برای ستون‌ها ارائه مشابه است.
در ماتریس آخطوط آن را به صورت زیر نشان می دهیم:
, 
, …. , 
گفته می شود که دو ردیف از یک ماتریس برابر هستند، اگر عناصر متناظر آنها برابر باشد: , if , .
عملیات حسابی روی ردیف‌های ماتریس (ضرب یک ردیف در یک عدد، اضافه کردن سطرها) به عنوان عملیات انجام شده به صورت عنصر به عنصر معرفی می‌شوند:
خط هترکیب خطی رشته ها نامیده می شود...، ماتریس، اگر برابر با مجموع حاصلضرب این ردیف ها با اعداد واقعی دلخواه باشد:
ردیف های ماتریس نامیده می شوند وابسته خطی، اگر اعدادی وجود داشته باشند که به طور همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی از ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
, =(0,0,...,0). (3.3)
قضیه 3.3سطرهای یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.
□ در واقع، برای قطعیت، اجازه دهید در فرمول (3.3) 
، سپس
بنابراین، ردیف ترکیبی خطی از ردیف های باقی مانده است. ■
اگر یک ترکیب خطی از سطرها (3.3) برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب برابر با صفر باشند، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند.
قضیه 3.4.(در مورد رتبه ماتریس) رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آنها تمام سطرها (ستون های) دیگر آن به صورت خطی بیان می شود.
□ اجازه دهید ماتریس آاندازه m n دارای رتبه است r(rدقیقه). این بدان معنی است که یک مینور غیر صفر وجود دارد r- مرتبه هر جزئی غیر صفر rمرتبه هفتم، پایه جزئی نامیده می شود.
برای قطعیت، اجازه دهید پایه جزئی باشد مینور پیشرو یا گوشه. سپس سطرهای ماتریس به صورت خطی مستقل هستند. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی مثلا یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از بقیه باشد. از عناصر کم کنید r- از ردیف 1، عناصر ردیف 1، ضرب در، سپس عناصر ردیف 2، ضرب در، ... و عناصر ( r- 1) - ردیف هفتم ضرب در . بر اساس ویژگی 8، با چنین تبدیل های ماتریس، تعیین کننده آن D تغییر نخواهد کرد، اما از آنجایی که r- اکنون ردیف فقط از صفر تشکیل می شود، سپس D = 0 یک تناقض است. بنابراین، فرض ما مبنی بر اینکه ردیف های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند نادرست است.
بیایید با خطوط تماس بگیریم پایه ای. اجازه دهید نشان دهیم که هر ردیف (r+1) ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای بر حسب رشته های پایه بیان می شود.
بیایید یک مینور (r +1) از مرتبه اول را در نظر بگیریم که با تکمیل مینور مورد نظر با عناصر یک ردیف دیگر به دست می آید. منو ستون j. این مینور صفر است زیرا رتبه ماتریس است r، بنابراین هر جزئی مرتبه بالاتر صفر است.
با گسترش آن با توجه به عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم
جایی که مدول آخرین متمم جبری با پایه مینور منطبق است Dو بنابراین با صفر متفاوت است، یعنی. 0.
اجازه دهید
ستون های ماتریس ابعاد. ترکیب خطی ستون های ماتریسییک ماتریس ستونی نامیده می شود که برخی از اعداد واقعی یا مختلط نامیده می شود ضرایب ترکیب خطی. اگر در یک ترکیب خطی همه ضرایب را برابر با صفر بگیریم، ترکیب خطی برابر با ماتریس ستون صفر است.
ستون های ماتریس نامیده می شوند مستقل خطی ، اگر ترکیب خطی آنها فقط زمانی برابر با صفر باشد که تمام ضرایب ترکیب خطی برابر با صفر باشد. ستون های ماتریس نامیده می شوند وابسته خطی اگر مجموعه ای از اعداد وجود داشته باشد که حداقل یکی از آنها غیر صفر باشد و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر باشد.
به طور مشابه، تعاریف وابستگی خطی و استقلال خطی سطرهای ماتریس را می توان ارائه داد. در ادامه، تمام قضایا برای ستون های ماتریس فرموله شده است.
قضیه 5
اگر در بین ستون های ماتریس صفر وجود داشته باشد، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.
اثبات یک ترکیب خطی را در نظر بگیرید که در آن همه ضرایب برای تمام ستون های غیر صفر برابر با صفر و برای تمام ستون های صفر یک هستند. برابر با صفر است و در بین ضرایب ترکیب خطی یک ضریب غیرصفر وجود دارد. بنابراین، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.
قضیه 6
اگر ستون های ماتریسی به صورت خطی وابسته هستند، همین ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.
اثبات برای قطعیت، ستون های اول ماتریس را فرض می کنیم 
وابسته به خط سپس با تعریف وابستگی خطی، مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها غیر صفر است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.
بیایید یک ترکیب خطی از تمام ستون های ماتریس، از جمله ستون های باقی مانده با ضرایب صفر ایجاد کنیم.
ولی . بنابراین، تمام ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.
نتیجه. در بین ستون های ماتریس مستقل خطی، هر کدام به صورت خطی مستقل هستند. (این گفته به راحتی با تناقض قابل اثبات است.)
قضیه 7
برای اینکه ستون های یک ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یک ستون ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.
اثبات
ضرورت.بگذارید ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، یعنی مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.
اجازه دهید برای قطعیت فرض کنیم که . سپس یعنی ستون اول ترکیبی خطی از بقیه است.
کفایت. اجازه دهید حداقل یک ستون از ماتریس ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد، به عنوان مثال، جایی که تعدادی اعداد هستند.
سپس، یعنی ترکیب خطی ستون ها برابر با صفر است و در بین اعداد موجود در ترکیب خطی حداقل یک (at) با صفر متفاوت است.
بگذارید رتبه ماتریس باشد. هر مینور غیر صفر درجه 1 فراخوانی می شود پایه ای . سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها یک پایه کوچک وجود دارد نامیده می شوند پایه ای .
هر ردیف از ماتریس A با e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان داده می شود (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی هستند که طبق قوانین کلی کار با ماتریس ها می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به ردیف دیگری اضافه کرد.
ترکیب خطیخطوط e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این خطوط با اعداد واقعی دلخواه نامیده می شوند:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k، که در آن l l، l 2،...، l k اعداد دلخواه (ضرایب یک ترکیب خطی) هستند.
ردیف های ماتریس e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته خطیاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان با صفر برابر نباشند، به طوری که ترکیب خطی سطرهای ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).
رابطه خطی بین ردیف های یک ماتریس به این معنی است که حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد. در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m ¹ 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی برای خط آخر به عنوان ترکیب خطی خطوط باقی مانده به دست می آوریم:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
اگر یک ترکیب خطی از ردیف ها برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب برابر با صفر باشند، به عنوان مثال. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.
قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آن می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.
بیایید این قضیه را ثابت کنیم. بگذارید یک ماتریس A با اندازه m x n دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. در نتیجه، یک مینور غیر صفر از مرتبه rth وجود دارد. ما با هر خردسالی تماس خواهیم گرفت پایه ای. بگذارید جزئی باشد تا روشن شود
خطوط این مینور نیز نامیده می شود پایه ای.
اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. یکی از این ردیف‌ها، برای مثال r-th، ترکیبی خطی از بقیه است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر مقدار را کم کنیم. عناصر ردیف r-امین ردیف اول ضرب در l l، عناصر ردیف دوم ضرب در l 2 و غیره، در نهایت، عناصر ردیف (r-1)ام در l r-1 ضرب می شوند، سپس r-امین ردیف صفر می شود. در این صورت با توجه به خصوصیات دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. یک تناقض به دست می آید و استقلال خطی ردیف ها ثابت می شود.
اکنون ثابت می کنیم که هر ردیف (r+1) ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان بر حسب رشته های پایه بیان کرد.
بیایید جزئی را که قبلاً در نظر گرفته شده بود با یک ردیف دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1) بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.
برخی از اعداد کجا هستند (برخی از این اعداد یا حتی همه آنها ممکن است برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:
از (3.3.1) چنین است که
اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.
به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر رشته ها به صورت خطی وابسته باشند، رشته ای وجود دارد که ترکیبی خطی از رشته های باقی مانده خواهد بود.
اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس 
.
تعریف. اجازه دهید یک مینور مرتبه r خاص در ماتریس A مشخص شود و اجازه دهید مینور مرتبه (r+1) -ام همان ماتریس کاملاً حاوی مینور باشد. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).
اکنون یک لم مهم را ثابت خواهیم کرد.
لمادر مورد خردسالان مرزی اگر مینور از مرتبه r ماتریس A= با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که .
اثبات بدون از دست دادن کلیت استدلال، فرض می کنیم که یک مینور غیر صفر از مرتبه r در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A =:
.
برای اولین k ردیف ماتریس A، بیانیه لم واضح است: کافی است همان ردیف را با ضریب یک و بقیه با ضرایب برابر صفر در یک ترکیب خطی قرار دهید.
اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی از طریق k ردیف اول بیان می شوند. برای انجام این کار، با اضافه کردن خط k ام () به مینور، یک مینور از مرتبه (r+1) می سازیم و لستون ():
.
مینور حاصل برای همه k و l برابر با صفر است. اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر، پس مینور به دست آمده یک مینور یال برای و بنابراین با شرایط لم برابر با صفر است.
بیایید مینور را با توجه به عناصر آخرین تجزیه کنیم لستون ام:
با فرض، دریافت می کنیم:
 | (3.3.6) |
عبارت (3.3.6) به این معنی است که k امین ردیف ماتریس A به صورت خطی از طریق اولین ردیف r بیان می شود.
از آنجایی که وقتی یک ماتریس جابه‌جا می‌شود، مقادیر جزئی آن تغییر نمی‌کند (به دلیل ویژگی‌های تعیین‌کننده)، پس هر چیزی که ثابت شده برای ستون‌ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.
نتیجه I. هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون) آن است. در واقع، مینور پایه ماتریس غیر صفر است و همه مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند.
نتیجه دوم. یک تعیین کننده مرتبه n برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که دارای ردیف‌ها (ستون‌ها) وابسته خطی باشد. کفایت وابستگی خطی ردیف‌ها (ستون‌ها) برای مساوی بودن دترمینان، قبلاً به عنوان ویژگی تعیین‌کننده‌ها ثابت شده بود.
بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع از مرتبه n به ما داده شود که تنها مینور آن صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n است، یعنی. حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.
اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه ماتریس ثابت کنیم.
قضیه.حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی آن و برابر با رتبه این ماتریس است.
اثبات اجازه دهید رتبه ماتریس A= برابر با r باشد. سپس هر یک از k ردیف های پایه آن به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه برابر با صفر خواهد بود. از طرف دیگر، هر ردیف r+1 یا بیشتر به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مینور از مرتبه بزرگتر از r را پیدا کنیم که با نتیجه 2 از لم قبلی غیر صفر است. مورد اخیر با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر r است در تضاد است. هر چیزی که برای سطرها ثابت می شود برای ستون ها نیز صادق است.
در پایان، روش دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس بیان خواهیم کرد. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک مینور از مرتبه حداکثر که با صفر متفاوت است تعیین کرد.
در نگاه اول، این مستلزم محاسبه تعداد محدود، اما شاید بسیار زیاد مینورهای این ماتریس است.
با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی را در این مورد ارائه کنیم.
قضیه.اگر مینور ماتریس A غیر صفر باشد و همه مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با r است.
اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف‌های ماتریس برای S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (به این نتیجه می‌رسد که r حداکثر تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی یا هر یک از مینورهای آن از مرتبه بزرگتر از k است. برابر با صفر هستند).
بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای حاشیه، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب خطوط حاوی مینور بیان می شود که به دلیل غیر صفر بودن آنها به صورت خطی مستقل هستند:
حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:
یا
با استفاده از (3.3.7) و (3.3.8) به دست می آوریم
,
که با استقلال ردیف خطی در تضاد است.
در نتیجه، فرض ما نادرست است و بنابراین، هر ردیف S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته هستند. قضیه ثابت شده است.
بیایید قانون محاسبه رتبه یک ماتریس - روش مرزبندی مینورها را بر اساس این قضیه در نظر بگیریم.
هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای مرتبه های پایین تر به مینورهای مرتبه بالاتر حرکت کرد. اگر یک مینور از مرتبه r، متفاوت از صفر، قبلاً پیدا شده باشد، لازم است فقط مینورهای مرتبه (r+1) که در مرز مینور قرار دارند محاسبه شود. اگر آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با r است. این روش همچنین در صورتی استفاده می شود که نه تنها رتبه ماتریس را محاسبه کنیم، بلکه تعیین کنیم که کدام ستون ها (ردیف ها) مینور اصلی ماتریس را تشکیل می دهند.
مثال. رتبه ماتریس را با استفاده از روش مینورهای مرزی محاسبه کنید
.
راه حل. مینور مرتبه دوم که در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A قرار دارد، غیر صفر است:
.
با این حال، همه فرعی‌های مرتبه سوم اطراف آن برابر با صفر هستند:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است: .
ردیف های اول و دوم، ستون های اول و دوم در این ماتریس پایه هستند. سطرها و ستون های باقی مانده ترکیب خطی آنها هستند. در واقع، برابری های زیر برای رشته ها برقرار است:
در پایان، اعتبار ویژگی های زیر را یادآور می شویم:
1) رتبه حاصلضرب ماتریس ها از رتبه هر یک از عوامل بیشتر نباشد.
2) رتبه حاصلضرب یک ماتریس دلخواه A در سمت راست یا چپ توسط یک ماتریس مربع غیرمفرد Q برابر با رتبه ماتریس A است.
ماتریس های چند جمله ای
تعریف. ماتریس چند جمله ای یا ماتریس - یک ماتریس مستطیلی است که عناصر آن چند جمله ای در یک متغیر با ضرایب عددی هستند.
تبدیل های ابتدایی را می توان بر روی ماتریس ها انجام داد. این شامل:
تنظیم مجدد دو ردیف (ستون)؛
ضرب یک ردیف (ستون) در عددی غیر از صفر؛
افزودن به یک سطر (ستون) سطر دیگر (ستون) ضرب در هر چند جمله ای.
دو ماتریس و با اندازه یکسان معادل هستند: اگر بتوان از ماتریس به استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی رفت.
مثال. هم ارزی ماتریس را ثابت کنید
 ,
|  .
|
1. ستون های اول و دوم را در ماتریس جابه جا کنید:
.
2. از خط دوم، خط اول را در ():
.
3. خط دوم را در (-1) ضرب کنید و توجه داشته باشید که
.
4. از ستون دوم کسر اولین، ضرب در می شود
.
مجموعه همه ماتریس‌ها با اندازه‌های معین به کلاس‌های متمایز از ماتریس‌های معادل تقسیم می‌شوند. ماتریس هایی که معادل یکدیگر هستند یک کلاس را تشکیل می دهند و آنهایی که معادل نیستند کلاس دیگر را تشکیل می دهند.
هر دسته از ماتریس های معادل با یک ماتریس متعارف یا عادی با ابعاد مشخص مشخص می شوند.
تعریف. ماتریس ابعاد متعارف یا عادی، ماتریسی است که قطر اصلی آن شامل چندجمله‌ای است که p کوچکتر از اعداد m و n است. 
) و چند جمله ای هایی که برابر با صفر نیستند دارای ضرایب پیشروی برابر با 1 هستند و هر چند جمله ای بعدی بر چند جمله ای قبلی تقسیم می شود. همه عناصر خارج از مورب اصلی 0 هستند.
از تعریف چنین بر می آید که اگر در بین چندجمله ای ها چند جمله ای درجه صفر وجود داشته باشد، آنها در ابتدای قطر اصلی قرار دارند. اگر صفر وجود داشته باشد، در انتهای قطر اصلی قرار دارند.
ماتریس مثال قبلی متعارف است. ماتریس
همچنین متعارف
هر کلاس از ماتریس ها حاوی یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است، به عنوان مثال. هر ماتریس معادل یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است که به آن شکل متعارف یا شکل عادی آن ماتریس می گویند.
چند جمله ای های واقع در مورب اصلی شکل متعارف یک ماتریس داده شده را عوامل ثابت این ماتریس می نامند.
یک روش برای محاسبه عوامل ثابت، کاهش یک ماتریس داده شده به شکل متعارف است.
بنابراین، برای ماتریس مثال قبلی، عوامل ثابت هستند
, , 
, .
از موارد فوق چنین نتیجه می شود که وجود مجموعه یکسانی از عوامل ثابت شرط لازم و کافی برای هم ارزی ماتریس ها است.
کاهش ماتریس ها به شکل متعارف به تعیین عوامل ثابت کاهش می یابد
, ; ,
جایی که r رتبه ماتریس است. - بزرگترین مقسوم علیه مینورهای مرتبه k که با ضریب اول برابر با 1 گرفته می شود.
مثال. اجازه دهید ماتریس داده شده باشد
.
راه حل. بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک مرتبه اول، یعنی. .
بیایید مینورهای مرتبه دوم را تعریف کنیم:
 ,
|  | و غیره. |
در حال حاضر این داده ها برای نتیجه گیری کافی است: بنابراین، .
تعریف می کنیم
,
از این رو، 
.
بنابراین، شکل متعارف این ماتریس به صورت ماتریس زیر است:
.
چند جمله ای ماتریسی بیانی از فرم است
کجا متغیر است - ماتریس های مربعی مرتبه n با عناصر عددی.
اگر S درجه چند جمله ای ماتریس نامیده می شود، n مرتبه چند جمله ای ماتریس است.
هر ماتریس درجه دوم را می توان به عنوان یک چند جمله ای ماتریس نشان داد. بدیهی است که گزاره مخالف نیز صادق است، یعنی. هر چند جمله ای ماتریسی را می توان به عنوان یک ماتریس مربع نشان داد.
اعتبار این عبارات به وضوح از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها ناشی می شود. بیایید به نمونه های زیر نگاه کنیم:
مثال. یک ماتریس چند جمله ای را نشان دهید
در قالب یک چند جمله ای ماتریسی به شرح زیر است
.
مثال. چند جمله ای ماتریسی
را می توان به عنوان ماتریس چند جمله ای زیر نشان داد (-matrix)
.
این قابلیت تعویض چند جمله‌ای ماتریسی و ماتریس‌های چند جمله‌ای نقش مهمی در دستگاه ریاضی روش‌های تحلیل عاملی و مؤلفه‌ای ایفا می‌کند.
چندجمله‌ای‌های ماتریسی هم‌ترتیب را می‌توان به همان روشی که چند جمله‌ای معمولی با ضرایب عددی اضافه، تفریق و ضرب کرد. با این حال، باید به خاطر داشت که ضرب چند جمله ای های ماتریس، به طور کلی، جابجایی نیست، زیرا ضرب ماتریس جابجایی نیست.
دو چند جمله ای ماتریسی مساوی می گویند اگر ضرایب آنها برابر باشد، یعنی. ماتریس های متناظر برای همان توان های متغیر .
مجموع (تفاوت) دو چند جمله ای ماتریسی، چند جمله ای ماتریسی است که ضریب آن برای هر درجه از متغیر برابر است با مجموع (تفاوت) ضرایب برای همان درجه در چند جمله ای ها و .
برای ضرب یک چند جمله‌ای ماتریس در یک چند جمله‌ای ماتریس، باید هر جمله چند جمله‌ای ماتریس را در هر جمله چند جمله‌ای ماتریس ضرب کنید، محصولات حاصل را جمع کنید و عبارت‌های مشابه بیاورید.
درجه یک چند جمله ای ماتریسی حاصل ضربی کمتر یا مساوی با مجموع درجات عوامل است.
عملیات روی چند جمله ای های ماتریس را می توان با استفاده از عملیات روی ماتریس های مربوطه انجام داد.
برای جمع (تفریق) چند جمله ای های ماتریس، کافی است ماتریس های مربوطه را جمع (تفریق) کنیم. همین امر در مورد ضرب نیز صدق می کند. -ماتریس حاصل ضرب چند جمله ای های ماتریس برابر است با حاصلضرب ماتریس های عوامل.
 |  |
از سوی دیگر، و می توان در فرم نوشت
که در آن B 0 یک ماتریس غیر منفرد است.
هنگام تقسیم بر یک ضریب راست منحصر به فرد و یک باقیمانده راست وجود دارد
که در آن درجه R 1 کمتر از درجه است، یا (تقسیم بدون باقیمانده)، و همچنین ضریب چپ و باقیمانده چپ اگر و فقط اگر، جایی که ترتیب است
اگر بتوان از این بردارها از طریق یک ترکیب خطی مناسب بردار صفر به دست آورد، سیستمی از بردارهای هم ردیف را وابسته خطی می نامند. (مجاز نیست که همه ضرایب یک ترکیب خطی برابر با صفر باشند، زیرا این امر بی اهمیت است.) در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، سه بردار زیر:
به صورت خطی وابسته هستند، زیرا بررسی آن آسان است. در مورد وابستگی خطی، هر بردار را همیشه می توان از طریق ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد. در مثال ما: یا یا این به راحتی با محاسبات مناسب بررسی می شود. این منجر به تعریف زیر می شود: یک بردار به طور خطی مستقل از بردارهای دیگر است اگر نتوان آن را به عنوان ترکیب خطی این بردارها نشان داد.
اجازه دهید سیستمی از بردارها را بدون مشخص کردن اینکه آیا به طور خطی وابسته است یا مستقل خطی است در نظر بگیریم. برای هر سیستم متشکل از بردارهای ستون a، می توان حداکثر تعداد ممکن بردارهای مستقل خطی را شناسایی کرد. این عدد که با حرف نشان داده می شود، رتبه این سیستم برداری است. از آنجایی که هر ماتریس را می توان به عنوان سیستمی از بردارهای ستون مشاهده کرد، رتبه یک ماتریس به عنوان حداکثر تعداد بردارهای ستونی مستقل خطی آن تعریف می شود. بردارهای ردیف نیز برای تعیین رتبه یک ماتریس استفاده می شوند. هر دو روش نتیجه یکسانی را برای یک ماتریس به دست می‌دهند، و نمی‌توانند از کوچکترین یا بیشتر شود. رتبه یک ماتریس مربعی مرتبه از 0 تا . اگر همه بردارها صفر باشند، رتبه چنین ماتریسی صفر است. اگر همه بردارها به صورت خطی مستقل از یکدیگر باشند، رتبه ماتریس برابر است. اگر از بردارهای بالا یک ماتریس تشکیل دهیم، رتبه این ماتریس 2 است. از آنجایی که هر دو بردار را می توان با یک ترکیب خطی به یک سوم کاهش داد، پس رتبه کمتر از 3 است.
اما می‌توانیم مطمئن شویم که هر دو بردار از آنها مستقل خطی هستند، از این رو رتبه
اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن به صورت خطی وابسته باشند، ماتریس مربع را منفرد می نامند. همانطور که در بالا ذکر شد، تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر است و ماتریس معکوس آن وجود ندارد. این نتیجه گیری ها معادل یکدیگر هستند. در نتیجه، اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن مستقل از یکدیگر باشند، یک ماتریس مربع غیرمفرد یا غیرمفرد نامیده می شود. تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر نیست و ماتریس معکوس آن وجود دارد (مقایسه کنید با صفحه 43)
رتبه ماتریس یک تفسیر هندسی کاملا واضح دارد. اگر رتبه ماتریس برابر باشد، فضای -بعدی را بردارها می گویند. اگر رتبه باشد، بردارها در یک زیرفضای بعدی قرار دارند که همه آنها را شامل می شود. بنابراین، رتبه ماتریس مربوط به حداقل بعد مورد نیاز فضای "که شامل تمام بردارها است" است؛ یک زیرفضای -بعدی در یک فضای -بعدی، ابر صفحه -بعدی نامیده می شود. رتبه ماتریس مربوط به کوچکترین بعد ابر صفحه است که همه بردارها هنوز در آن قرار دارند.
متعامد بودن. به دو بردار a و b متعامد گفته می شود که حاصل ضرب اسکالر آنها صفر باشد. اگر ماتریس ترتیب برابر باشد که در آن D یک ماتریس مورب باشد، بردارهای ستون ماتریس A به صورت جفتی متعامد هستند. اگر این بردارهای ستون نرمال شوند، یعنی به طولی برابر با 1 کاهش پیدا کنند، آنگاه برابری رخ می دهد و ما از بردارهای متعامد صحبت می کنیم. اگر B یک ماتریس مربع باشد و تساوی برقرار باشد، ماتریس B را متعامد می نامند. در این مورد، از فرمول (1.22) بر می آید که ماتریس متعامد همیشه غیر تکین است. از این رو، از متعامد بودن ماتریس، استقلال خطی بردارهای ردیف یا بردار ستون آن به دست می آید. گزاره معکوس درست نیست: استقلال خطی یک سیستم از بردارها متضمن متعامد بودن زوجی این بردارها نیست.
