تعیین کننده یک ماتریس متقارن مرتبه n. جایگشت و جایگزینی

28.04.2019 تلویزیون (تلویزیون هوشمند)

برای دقیق تر و تعریف پیچیدهو برای اینکه در مورد تعیین کننده های ترتیب بزرگتر از سوم صحبت کنید، باید چیز دیگری را به خاطر بسپارید. ما به اصطلاح جانشینی علاقه مندیم، نه حتی در تعریف، بلکه به نحوه محاسبه آن.

ورودی پذیرفته شده برای جایگزینی:
، یعنی جفت اعداد نوشته شده در یک ستون، و به گونه ای که اعداد بالا به ترتیب قرار می گیرند (به طور کلی، ستون ها قابل تعویض هستند).

تعویض ها یا زوج هستند یا فرد. به منظور پیدا کردن است تعویض داده شده استفرد یا زوج، باید به خط دوم یا بهتر است بگوییم ترتیب اعداد در آن توجه کنید. باید تعداد جفت اعداد در خط دوم را بشمارید، به طوری که عدد سمت چپ بزرگتر از عدد سمت راست باشد (). اگر تعداد این جفت ها فرد باشد، جایگشت را فرد و بر این اساس، اگر تعداد این جفت ها زوج باشد، جایگشت را زوج می گویند.

مثال:
1)

4 در سمت چپ 3، در سمت چپ 1، در سمت چپ 2 قرار دارد - اینها قبلاً سه جفت "اشتباه" هستند.
3 در سمت چپ 1 است و 2 دو جفت دیگر هستند.
مجموعا 5 جفت، یعنی. این یک جایگشت عجیب است.
2)

توجه داشته باشید که اعداد در سطر اول به ترتیب نیستند. بیایید ستون ها را با هم عوض کنیم.

اعداد ردیف دوم را در نظر بگیرید.
3 در سمت چپ 2 و 1 است - دو جفت،
2 در سمت چپ 1 است - یک جفت،
5 در سمت چپ 4 و 1 است - دو جفت،
4 می ایستد در سمت چپ 1 - یک جفت.
در مجموع 6 جفت وجود دارد - تعویض یکنواخت است.

تعریف 2(برای دانش‌آموزان رشته‌های ریاضی، تمام ماهیت مفهوم تعریف شده را آشکار می‌کند):

تعیین کننده مرتبه n مربوط به ماتریس
,
به مجموع جبری اصطلاحات گفته می شود که به صورت زیر تشکیل شده است: عبارت ها همه حاصلضرب های احتمالی عناصر ماتریس هستند که از هر سطر و هر ستون یک به یک گرفته می شوند و اگر شاخص های آن را تشکیل می دهند عبارت با علامت مثبت گرفته می شود. یک جایگشت زوج و با علامت منفی در حالت مخالف.
اظهار نظر:اجازه دهید این تعریف را با استفاده از مثال یک تعیین کننده مرتبه سوم، که فرمول محاسبه آن از قبل شناخته شده است، توضیح دهیم.
.
1) "جمع جبری اصطلاحات" -. و بله، در واقع، شش اصطلاح وجود دارد.
2) "اصطلاحات همه محصولات ممکن عناصر ماتریس هستند که یک به یک از هر سطر و هر ستون گرفته می شوند" - برای مثال، اصطلاح را در نظر بگیرید. ضریب اول آن از ردیف دوم، دومی از ردیف اول و سومی از ردیف سوم گرفته می شود. همینطور در مورد ستون ها - ضرب اول از ستون اول، دوم از سوم، و آخرین از دوم.
3) "علاوه بر این، اگر شاخص های آن جایگزین زوج باشد، این عبارت با علامت مثبت گرفته می شود و با علامت منفی - در غیر این صورت" - برای مثال، اصطلاحات (با علامت مثبت) و (با علامت منفی) را در نظر بگیرید. ).

جایگشت ها را طوری می نویسیم که ردیف اول شامل اعداد ردیف های فاکتورها و ردیف دوم - اعداد ستون ها باشد.
برای عبارت: (ستون اول شاخص عامل اول و غیره است)
برای مدت : .
ما برابری این جایگشت ها را تعریف می کنیم:
الف) - عناصر ردیف اول به ترتیب هستند. خط دوم شامل جفت های نامرتب است:
2 در سمت چپ 1 - یک جفت،
3 در سمت چپ 1 - یک جفت.
در مجموع دو جفت، یعنی تعداد جفت ها زوج است، بنابراین جایگشت زوج است، به این معنی که جمع باید با علامت مثبت در جمع گنجانده شود (همانطور که واقعاً هست).
ب) - عناصر ردیف اول به ترتیب هستند. خط دوم شامل جفت های نامرتب است:
2 در سمت چپ 1 - یک جفت.
در مجموع، تعداد جفت اعدادی که طوری ایستاده اند که بزرگتر در سمت چپ اعداد کوچکتر باشد، 1 است، یعنی. odd یعنی جایگشت فرد نامیده می شود و عبارت مربوطه باید با علامت منفی در جمع گنجانده شود (بله همینطور است).
مثال("مجموعه مسائل در جبر"، ویرایش شده توسط A.I. Kostrikin، شماره 1001):

دریابید که کدام یک از فرآورده های زیر در بیان گسترش یافته تعیین کننده های دستورات مربوطه و با چه علائمی گنجانده شده است.
آ)
به قسمت "یکی از هر سطر و هر ستون" در تعریف توجه کنید. همه شاخص های اولیه عوامل از 1 تا 6 متفاوت است (1، 2، 3، 4، 5، 6). همه شاخص های دوم عوامل از 1 تا 6 متفاوت است (3، 2، 1، 4، 5، 6).
نتیجه گیری - این محصول در عبارت توسعه یافته تعیین کننده مرتبه 6 گنجانده شده است.

3 در سمت چپ 2، 1 - دو جفت،
2 در سمت چپ 1 - یک جفت،
6 در سمت چپ از 5، 4 - دو جفت،
5 در سمت چپ از 4 - یک جفت.
مجموعا 6 جفت، یعنی. جایگشت زوج است و این عبارت با علامت بعلاوه در نماد گسترش یافته تعیین کننده گنجانده شده است.

ب)
همه شاخص های اولیه عوامل از 1 تا 5 (3، 1، 5، 4، 2) متفاوت هستند. همه شاخص های دوم عوامل از 1 تا 5 متفاوت است (1، 3، 2، 5، 4).
نتیجه گیری - این محصول در عبارت توسعه یافته تعیین کننده مرتبه 5 گنجانده شده است.
ما علامت این اصطلاح را تعیین می کنیم، برای این یک جابجایی از شاخص های عوامل ایجاد می کنیم:

ستون ها را طوری مرتب کنید که اعداد ردیف اول به ترتیب از کوچک ترین به بزرگ باشند.

3 به سمت چپ 1، 2 - دو جفت.
4 در سمت چپ 1، 2 - دو جفت،
5 در سمت چپ 2 - یک جفت.
مجموعا 5 جفت، یعنی. جایگشت فرد است و این عبارت در نماد گسترش یافته تعیین کننده با علامت منفی گنجانده شده است.
V) - به عامل اول و ششم توجه کنیم: و . هر دو از ستون 4 گرفته شده اند، به این معنی که این محصول را نمی توان در عبارت توسعه یافته تعیین کننده مرتبه 7 گنجاند.

یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید

تعریف. تعیین کننده ماتریس مربعمرتبه دوم را عددی مساوی می نامند a 11 a 22 -a 12 a 21و با نماد نشان داده می شود، یعنی

تعیین کننده یک ماتریس نیز نامیده می شود تعیین کننده. نماد تعیین کننده ماتریس آ: |آ|, Δ, دت ا, دت (aij).

حال ماتریس مربع مرتبه سوم را در نظر بگیرید

هنگام محاسبه یک تعیین کننده مرتبه سوم، دانستن قانون مثلث مفید است: با علامت مثبت، حاصلضرب های سه گانه اعداد در مورب اصلی ماتریس و در راس مثلث هایی با پایه موازی با این قطر وجود دارد. و یک راس در گوشه مقابل ماتریس. با علامت منفی، سه ضلعی از مورب دوم و از مثلث های ساخته شده نسبت به این قطر وجود دارد. نمودار زیر این قانون را نشان می دهد. در طرح، آبی (سمت چپ) عناصری را که محصولات آنها با علامت مثبت همراه است و قرمز (راست) - با علامت منفی مشخص می کند.

حالا بیایید یک تعریف ارائه کنیم.

تعریف. تعیین کننده یک ماتریس مربع مرتبه سوم عدد است

تعریف. جزئی هر عنصر تعیین کننده، تعیین کننده ای است که با حذف ردیف و ستونی که به آن تعلق دارد، از عنصر داده شده به دست می آید. عنصر داده شده. عنصر جزئی aikمشخص کن میک.

تعریف. عنصر جزئی یک 21تعیین کننده مرتبه سوم یک ماتریس، تعیین کننده مرتبه دوم است

تعریف aikتعیین کننده را جزئی می نامند که با علامت گرفته می شود (-1) i+k.

جمع عنصر جبری aikمشخص کن آیک. الف - مقدماتی

قانون تعیین علامت متمم جبری (با استفاده از مثال تعیین کننده مرتبه سوم):

مثال. مکمل عنصر جبری یک 21است

قضیه تجزیه. تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف (ستون) با آنها اضافات جبری.

ویژگی های واجد شرایط

هنگامی که تمام ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.
هنگامی که دو ستون (ردیف) با هم عوض می شوند، تعیین کننده علامت را تغییر می دهد.
تعیین کننده با دو همان ستون ها(در خطوط) صفر.
ضریبی که در عناصر یک ستون خاص (ردیف) مشترک است را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.
یک تعیین کننده با دو ستون متناسب (ردیف) صفر است.
اگر همه عناصر یک ستون (ردیف) برابر با صفر باشند، تعیین کننده برابر با صفر است.
اگر عناصر مربوط به یک ستون دیگر (ردیف) را به عناصر یک ستون خاص (ردیف) اضافه کنیم، تعیین کننده تغییر نمی کند، زیرا قبلاً آنها را در همان ضریب ضرب کرده ایم.

اظهار نظر. اگر در یک تعیین کننده همه عناصر یک ستون خاص (ردیف) برابر با مجموع دو جمله باشند، چنین تعیین کننده ای برابر است با مجموع دو تعیین کننده متناظر.

مثلا،

عوامل تعیین کننده n- مرتبه

یک ماتریس مربع را در نظر بگیرید n- مرتبه

مفهوم دترمینان این ماتریس یا دترمینان nمرتبه ام به صورت استقرایی معرفی می شود، با این فرض که مفهوم تعیین کننده از قبل معرفی شده است. n-1مربوط به ماتریس مربع (n-1)- مرتبه

تعریف یک عنصر ماتریسی جزئی و مکمل جبری آن برای تعیین کننده های هر مرتبه معتبر است.

تعریف. تعیین کننده نظم nمربوط به ماتریس آ nمرتبه، شماره ای برابر با (M 1k- عنصر جزئی یک هزار) و با یکی از نمادها مشخص می شود

بنابراین طبق تعریف

این فرمول قاعده کامپایل تعیین کننده ترتیب را بیان می کند nتوسط عناصر ردیف اول ماتریس مربوط به آن و با مکمل های جبری این عناصر که تعیین کننده ترتیب است. n-1با علائم مناسب گرفته شده است.

برای یک تعیین کننده از هر مرتبه، تمام خصوصیات و قضایای بدست آمده و اثبات شده برای یک تعیین کننده مرتبه سوم صادق هستند.

ما قضیه اصلی را فرموله می کنیم:

قضیه [قضیه جانشینی]. شماره خط هر چه باشد من (i=1,2,…,n) برای تعیین کننده nمرتبه، فرمول

به نام بسط این تعیین کننده بر حسب من-خط.

از آنجایی که خاصیت 1 تعیین کننده درست است، می توانیم تعیین کننده را در طول ستون نیز گسترش دهیم:

مثال ها

بیایید تعیین کننده زیر را محاسبه کنیم:

خط دوم را از خط اول و سوم کم کنید. بعد از اینکه اولی را به سومی اضافه کرده و از سومی خارج می کنیم عامل مشترک:

حالا سوم ضرب در 7 را به ردیف دوم اضافه کنید و سومی ضرب در 2 را به چهارم اضافه کنید.بعد از آن ضریب مشترک را از ردیف چهارم خارج می کنیم:

اجازه دهید تعیین کننده را در ستون دوم گسترش دهیم (علائم نشان دهنده مقدار هستند (-1) i+jبا جزئی). توجه داشته باشید که تنها یک عنصر غیر صفر در ستون وجود دارد، بنابراین، تنها یک تعیین کننده مرتبه سوم در بسط باقی می ماند. در نهایت با استفاده از فرمول تعیین کننده مرتبه سوم به پاسخ می پردازیم.

اجازه دهید چند مثال بیشتر برای تعیین کننده های مرتبه های مختلف بیاوریم.

جدول مربع A را در نظر بگیرید.

تعریف.تعیین کننده مرتبه n عددی است که طبق قانون زیر از عناصر این جدول به دست می آید:

1 .تعیین مرتبه n برابر است با مجموع جبری n! اعضا.

هر عضو حاصل ضرب n عنصر است که هر بار از هر سطر و هر ستون جدول گرفته می شود.

2 .Member در صورتی با علامت بعلاوه گرفته می‌شود که جایگشت‌ها توسط شاخص‌های اول و دوم عناصر موجود در حاصل‌های برابری یکسان (هر دو زوج یا فرد) و در غیر این صورت با علامت منفی تشکیل شده‌اند.

تعیین کننده با نماد نشان داده می شود:

یا به طور خلاصه det A=.(تعیین کننده A)

طبق تعریف = -.

قانون محاسبه مرتبه سوم:

صغیر و اضافات جبری

بگذارید تعیین کننده مرتبه n داده شود (n>1)

تعریف 1.جزئی عنصر تعیین کننده مرتبه n، تعیین کننده مرتبه (n-1) است که از A با حذف ردیف i و ستون j که در تقاطع آنها این عنصر قرار دارد، به دست می آید. واقع شده.

مثلا:

تعریف 2. متمم جبری یک عنصر یک عدد است

ویژگی های اساسی تعیین کننده های مرتبه n

1. درباره هم ارزی سطرها و ستون ها.

اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده مرتبه n تغییر نمی کند.

2. اگر تعیین کننده ها دو ردیف (ستون) را با هم عوض کنند، آنگاه علامت تعیین کننده به عکس تغییر می کند.

= k

اگر همه عناصر هر سطر (یا ستون) تعیین کننده دارای یک عامل مشترک باشند، می توان این عامل مشترک را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

4. اگر همه عناصر هر یک از ردیف های آن صفر (یا ستون) باشند، مقدار تعیین کننده صفر است.

5. تعیین کننده با دو ردیف متناسب 0 است.

مثلا:

6. مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد اگر عناصر متناظر یک ردیف دیگر، ضرب در همان عدد، به عناصر آن در هر ردیف اضافه شود.

7. اگر عناصر هر ردیف i از تعیین کننده به صورت مجموع دو جمله ارائه شود، آنگاه تعیین کننده برابر است با مجموع دو تعیین کننده که در آن همه ردیف ها به جز i-امین تعیین کننده یکسان هستند. و ردیف i-امین یک تعیین کننده از جمله اول و دومی دوم تشکیل شده است.

8. تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب همه عناصر هر یک از خطوط آن و متمم های جبری آنها.

9. مجموع حاصلضرب تمام عناصر هر ردیف از تعیین کننده و متمم های جبری عناصر متناظر یک ردیف دیگر برابر با صفر است.

مثلا:

قضیه لاپلاس

قضیه. اجازه دهید k ردیف (یا k ستون) به طور دلخواه در تعیین کننده d از مرتبه n، 1 انتخاب شوند. سپس مجموع حاصلضرب های همه جزئی های مرتبه k در سطرهای انتخاب شده و مکمل های جبری آنها برابر با تعیین کننده d است.

نتیجه. یک مورد خاص از قضیه لاپلاس، بسط دترمینان در یک سطر یا ستون است. این به شما اجازه می دهد که تعیین کننده یک ماتریس مربع را به عنوان مجموع حاصلضرب عناصر هر یک از سطرها یا ستون های آن و مکمل های جبری آنها نشان دهید.

اجازه دهید یک ماتریس مربع از اندازه باشد. اجازه دهید تعدادی ردیف شماره i یا ستون j از ماتریس A نیز داده شود. سپس تعیین کننده A را می توان با فرمول های زیر محاسبه کرد:

تجزیه با خط i :

تجزیه در خط j ام:

مکمل جبری جزئی که در ردیف i و ستون j قرار دارد کجاست.

گزاره مورد خاصی از قضیه لاپلاس است. کافی است k را برابر با 1 در آن قرار دهید و ردیف -امین را انتخاب کنید، سپس عناصر خود جزئی هستند که در این ردیف قرار دارند.

نمونه هایی برای حل خود.

1. x را از معادلات بیابید و با جایگزین کردن ریشه به دترمینان بررسی کنید.

آ)؛ ب)

روش های محاسبه دترمینال های مرتبه n.

بگذارید یک مجموعه سفارش داده شود nعناصر. هر ترتیبی nعناصر در یک ترتیب خاص نامیده می شود جایگشتاز این عناصر

از آنجایی که هر عنصر با تعداد آن تعیین می شود، خواهیم گفت که داده شده است nاعداد طبیعی.

تعداد جایگشت های مختلف از nاعداد برابر n است!

اگر در برخی از جایگشت nشماره اعداد منقبل می ایستد j، ولی من > j، یعنی بیشترقبل از کوچکتر می ایستد، سپس آنها می گویند که جفت من, jاست وارونگی.

مثال 1تعداد وارونگی ها را در یک جایگشت تعیین کنید (1، 5، 4، 3، 2)

راه حل.

اعداد 5 و 4، 5 و 3، 5 و 2، 4 و 3، 4 و 2، 3 و 2 وارونگی را تشکیل می دهند. تعداد کل وارونگی ها در این جایگشت 6 است.

جایگشت نامیده می شود زوج، اگر تعداد کلوارونگی در آن زوج است وگرنه نامیده می شود فرد. در مثال بالا، جایگشت زوج داده شده است.

بگذارید جایگشت داده شود... من, …, j, … (*) . تحولی که در آن اعداد منو jتغییر مکان، و باقی ماندن در جای خود، نامیده می شود جابجایی. پس از جابجایی اعداد منو jدر جایگشت (*) تغییری رخ خواهد داد... j, …, من، …، که در آن همه عناصر به جز منو j، در جای خود باقی ماند.

از هر تغییری از nاعداد، می توانید با کمک چندین جابجایی به هر جایگشت دیگری از این اعداد بروید.

هر جابجایی، برابری جایگشت را تغییر می دهد.

در n ≥ 2 تعداد جایگشت های زوج و فرد nاعداد یکسان و مساوی هستند

اجازه دهید میک مجموعه سفارشی است nعناصر. هر تبدیل دوگانه یک مجموعه متماس گرفت جایگزینیnدرجه ام.

تعویض ها به این صورت نوشته می شوند: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> و همه ikناهمسان.

تعویضتماس گرفت زوج، اگر هر دو رشته آن (جایگشت) برابری یکسانی داشته باشند، یعنی هر دو زوج باشند یا هر دو فرد. در غیر این صورت جایگزینیتماس گرفت فرد.

در n ≥ 2 تعداد جایگشت های زوج و فرد nهفتمدرجه یکسان و مساوی

تعیین کننده ماتریس مربع A از مرتبه دوم A= عددی برابر با = است a11a22–a12a21.

تعیین کننده یک ماتریس نیز نامیده می شود تعیین کننده. برای تعیین کننده ماتریس A از نماد زیر استفاده می شود: det A, ΔA.

تعیین کننده مربع ماتریس ها A= مرتبه سومشماره ای برابر با │A│= فراخوانی کنید a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

هر جمله از مجموع جبری در سمت راست آخرین فرمول حاصل ضرب عناصر ماتریس است که از هر ستون و هر سطر یک و تنها یکی گرفته شده است. برای تعیین علامت محصول، دانستن قاعده مفید است (که به آن قانون مثلث گفته می شود)، که به صورت شماتیک در شکل 1 نشان داده شده است:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

راه حل.

فرض کنید A یک ماتریس مرتبه n با عناصر مختلط باشد:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

تعیین کننده مرتبه n یا تعیین کننده ماتریس مربع A=(aij) برای n>1، مجموع جبری همه محصولات ممکن شکل است. (1) ، و محصول (1) در صورت جایگزینی مربوطه، با علامت "+" گرفته می شود (2) زوج، و با علامت "-" اگر جایگزینی فرد باشد.

مینور مijعنصر aijتعیین کننده، تعیین کننده ای است که با حذف از اصل به دست می آید من-خط و j- ستون

جمع جبری آijعنصر aijتعیین کننده عدد نامیده می شود آij=(–1) من+ jمij، جایی که مij – عنصر جزئی aij.

ویژگی های واجد شرایط

1. هنگام جایگزینی تمام ردیف ها با ستون های مربوطه، تعیین کننده تغییر نمی کند (تعیین کننده هنگام جابجایی تغییر نمی کند).

2. هنگامی که دو ردیف (ستون) با هم عوض می شوند، علامت تعیین کننده تغییر علامت می دهد.

3. تعیین کننده با دو ردیف (ستون) یکسان (متناسب) برابر با صفر است.

4. عامل مشترک در تمام عناصر یک ردیف (ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

5. اگر عناصر متناظر یک سطر دیگر (ستون) به عناصر یک سطر (ستون) معین ضرب در همان عدد غیر صفر اضافه شود، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

6. اگر تمام عناصر یک ردیف (ستون) دترمینان برابر با صفر باشد، آنگاه برابر با صفر است.

7. تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف (ستون) و متمم های جبری آنها (ویژگی بسط تعیین کننده در یک ردیف (ستون)).

برخی را در نظر بگیرید روش های محاسبه عوامل تعیین کننده ترتیب n .

1. اگر حداقل یک ردیف (یا ستون) در تعیین کننده مرتبه n از صفر تشکیل شده باشد، تعیین کننده برابر با صفر است.

2. اجازه دهید برخی از رشته ها حاوی عناصر غیر صفر در تعیین کننده مرتبه n باشد. محاسبه تعیین کننده مرتبه n را می توان در این مورد به محاسبه تعیین کننده مرتبه n-1 تقلیل داد. در واقع، با استفاده از ویژگی های تعیین کننده، می توان تمام عناصر هر ردیف را به جز یک، صفر کرد و سپس تعیین کننده را در طول ردیف مشخص شده گسترش داد. به عنوان مثال، بیایید ردیف ها و ستون های تعیین کننده را به گونه ای در جای خود قرار دهیم a11یک عنصر غیر صفر بود.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

توجه داشته باشید که تنظیم مجدد ردیف ها (یا ستون ها) اختیاری است. شما می توانید صفر در هر سطر (یا ستون) از تعیین کننده دریافت کنید.

هیچ روش کلی برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه n وجود ندارد، به جز محاسبه تعیین کننده یک مرتبه مشخص به طور مستقیم بر اساس تعریف. به تعیین کننده این یا آن نوع خاصدرخواست دادن روش های مختلفمحاسبات منجر به تعیین کننده های ساده تر.

3. بیایید آن را به شکل مثلثی بیاوریم. با استفاده از ویژگی های تعیین کننده، آن را به شکل مثلثی می آوریم، زمانی که همه عناصر در یک طرف مورب اصلی برابر با صفر هستند. دترمینان مثلثی حاصل برابر است با حاصل ضرب عناصر روی قطر اصلی. اگر گرفتن صفر در یک طرف مورب ثانویه راحت تر است، آنگاه برابر با حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه خواهد بود که با علامت https://pandia.ru/text/78/456/ گرفته شده است. images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

مثال 3تعیین کننده را با بسط ردیف محاسبه کنید

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

مثال 4تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

راه دوم(محاسبه دترمینان با گسترش آن در طول خط):

اجازه دهید این تعیین کننده را با بسط ردیف محاسبه کنیم، ابتدا آن را به گونه ای تبدیل کنیم که در برخی از ردیف های آن همه عناصر به جز یک عدد به صفر تبدیل شوند. برای این کار، ردیف اول تعیین کننده را به ردیف سوم اضافه کنید. سپس ستون سوم را در (5-) ضرب می کنیم و به ستون چهارم اضافه می کنیم. ما دترمینانت تبدیل شده را در امتداد ردیف سوم گسترش می دهیم. مینور مرتبه سوم نسبت به مورب اصلی به شکل مثلثی کاهش می یابد.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

راه حل.

سطر دوم را از سطر اول کم می کنیم، سطر سوم را از سطر دوم و به همین ترتیب و در نهایت خط آخر را از خط ماقبل آخر کم می کنیم (خط آخر بدون تغییر می ماند).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

اولین تعیین کننده در مجموع نسبت به قطر اصلی مثلثی است، بنابراین برابر است با حاصل ضرب عناصر مورب، یعنی (n–1)n. با اضافه کردن آخرین ردیف به همه، تعیین کننده دوم را در مجموع تبدیل می کنیم خطوط قبلیتعیین کننده تعیین کننده به دست آمده از این تبدیل نسبت به قطر اصلی مثلثی خواهد بود، بنابراین با حاصلضرب عناصر مورب برابر خواهد بود، یعنی nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. محاسبه دترمینان با استفاده از قضیه لاپلاس. اگر k سطر (یا ستون) (1£k£n-1) را در تعیین کننده انتخاب کنیم، دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب همه مینورهای مرتبه k که در k سطر (یا ستون) انتخاب شده قرار دارند. و مکمل های جبری آنها.

مثال 6تعیین کننده را محاسبه کنید

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

تکلیف انفرادی شماره 2

"محاسبه تعیین کننده های مرتبه N-ام"

انتخاب 1

تعیین کننده ها را محاسبه کنید

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

بر اساس مفاهیم تعیین کننده مرتبه دوم و سوم، می توانیم به طور مشابه مفهوم تعیین کننده مرتبه را معرفی کنیم. n. تعیین‌کننده‌های مرتبه بالاتر از سوم معمولاً با استفاده از ویژگی‌های تعیین‌کننده‌های فرمول‌بندی‌شده در بخش 1.3 محاسبه می‌شوند که برای تعیین‌کننده‌های هر مرتبه معتبر هستند.

با استفاده از خاصیت تعیین کننده های شماره 9 0، تعریف تعیین کننده مرتبه 4 را معرفی می کنیم:

مثال 2با استفاده از بسط مناسب محاسبه کنید.

مفهوم تعیین کننده 5، 6 و ... نیز به همین ترتیب معرفی شده است. سفارش. بنابراین تعیین کننده مرتبه n این است:

تمام خصوصیات تعیین کننده های مرتبه 2 و 3، که قبلاً در نظر گرفته شد، برای تعیین کننده های مرتبه n نیز معتبر است.

روش های اصلی برای محاسبه عوامل تعیین کننده را در نظر بگیرید n- مرتبه

اظهار نظر:قبل از اعمال این روش، مفید است که با استفاده از ویژگی‌های اصلی تعیین‌کننده‌ها، همه عناصر سطر یا ستون خاص آن به جز یکی را صفر کنیم. (روش کاهش سفارش کارآمد)

روش کاهش به شکل مثلثی شامل چنین تبدیلی از تعیین کننده است، زمانی که تمام عناصر آن که در یک طرف مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر شوند. در این حالت، دترمینان برابر حاصلضرب عناصر قطر اصلی آن است.

مثال 3با تقلیل به شکل مثلثی محاسبه کنید.

مثال 4با استفاده از روش کاهش سفارش موثر محاسبه کنید

راه حل: با خاصیت 4 0 از تعیین کننده ها، ضریب 10 را از ردیف اول خارج می کنیم و سپس ردیف دوم را به ترتیب در 2، در 2، در 1 ضرب می کنیم و به ترتیب با اول، سوم و ردیف های چهارم (خاصیت 8 0).

تعیین کننده حاصل را می توان به عناصر ستون اول تجزیه کرد. به یک تعیین کننده مرتبه سوم کاهش می یابد که طبق قانون سارروس (مثلث) محاسبه می شود.

مثال 5تعیین کننده را با تقلیل به شکل مثلثی محاسبه کنید.

مثال 3با استفاده از روابط تکراری محاسبه کنید.

سخنرانی 4. ماتریس معکوس. رتبه ماتریسی

1. مفهوم ماتریس معکوس

تعریف 1. مربع ماتریس A از مرتبه n فراخوانی می شود غیر منحط،اگر تعیین کننده آن | آ| ≠ 0. در صورتی که | آ| = 0، ماتریس A فراخوانی می شود منحط

فقط برای ماتریس های مربع غیرمفرد A، مفهوم ماتریس معکوس A -1 معرفی شده است.

تعریف 2 . ماتریس A -1 نامیده می شود معکوسبرای یک ماتریس مربع غیر مفرد A، اگر A -1 A = AA -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه است n.

تعریف 3 . ماتریس تماس گرفت پیوست،عناصر آن مکمل های جبری هستند ماتریس جابجا شده
.