عبارات در پرانتز قرار داده شده است. درس "براکت بندی عامل مشترک"

§ 10. فاکتورگیری چند جمله ای ها با استفاده از روش خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

در کلاس ششم، اعداد مرکب را به عامل اول تبدیل کردیم، یعنی اعداد طبیعی را به صورت حاصلضرب ارائه کردیم. به عنوان مثال، 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

برخی از چند جمله ای ها را نیز می توان به عنوان یک محصول نشان داد. این بدان معنی است که این چند جمله ای ها را می توان فاکتور گرفت. به عنوان مثال، 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 و 3a 2 = a 2 (a + 3) و موارد مشابه.

بیایید یکی از راه‌های فاکتورسازی چندجمله‌ای را در نظر بگیریم - خارج کردن عامل مشترک از پرانتز. یکی از نمونه های چنین بسطی که برای ما شناخته شده است، خاصیت توزیعی ضرب a(b + c) = ab + ac است، اگر به ترتیب معکوس نوشته شود: ab + ac - a(b + c). این بدان معنی است که چند جمله ای ab + ac به دو عامل a و b + c تجزیه می شود.

هنگام فاکتورگیری چند جمله‌ای با ضرایب صحیح، عاملی که از پرانتز خارج می‌شود انتخاب می‌شود تا عبارت‌های چند جمله‌ای که در پرانتز باقی می‌ماند دارای ضریب حرف مشترک نباشد و ماژول‌های ضرایب آنها دارای مقسوم‌گیرنده‌های مشترک نباشند.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1. عبارت را فاکتور بگیرید:

3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.

ر ا س ای ز آ ن ای .

1) عامل مشترک عدد 4 است، بنابراین

8 متر + 4 = 4 . 2 متر + 4 ∙ 1 = 4 (2 متر + 1).

2) عامل مشترک متغیر a است، بنابراین

در + 7ap = a(t + 7p).

3) در این حالت ضریب عددی مشترک بزرگترین مقسوم علیه اعداد 10 و 15 - عدد 5 است و ضریب حرف مشترک تک جمله a 2 b است. بنابراین،

15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).

مثال 2. فاکتور در:

1) 2m(b - s) + 3р(b - s)؛

2) x(y - t) + c (t - c).

R az v’ i z a n n i.

1) در این حالت عامل مشترک دو جمله ای b = c است.

بنابراین، 2 متر ب - با) + 3р( ب - ج) = (b - с) (2m + 3р).

2) اصطلاحات دارای فاکتورهایی در - t و t - in هستند که عبارات متضاد هستند. بنابراین، در ترم دوم ضریب -1 را از پرانتز خارج می کنیم، به دست می آید: c(t - в) = -с(у - t).

بنابراین، x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

برای بررسی صحت فاکتورسازی، باید فاکتورهای حاصل را ضرب کنید. نتیجه باید با چند جمله ای داده شده برابر باشد.

فاکتورگیری چند جمله ای ها اغلب فرآیند حل یک معادله را ساده می کند.

مثال 3. ریشه های معادله 5x 2 - 7x = 0 را بیابید.

R az v’ i z a n n i. بیایید سمت چپ معادله را با خارج کردن ضریب مشترک از پرانتز فاکتورسازی کنیم: x(5x - 7) = 0. با توجه به اینکه حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، ما خواهد داشت: x = 0 یا 5x - 7 = 0، از این رو x = 0 یا x = 1.4.

پاسخ: 0; 1.4.

چه تبدیلی را فاکتورسازی چند جمله ای می نامند؟ با استفاده از مثال چند جمله ای ab + ac، نحوه فاکتورسازی را با قرار دادن عامل مشترک خارج از براکت توضیح دهید.

1. (شفاهی) عامل مشترک در عبارت را بیابید:

1. (شفاهی) عامل به:

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

1. (به صورت شفاهی) فاکتورسازی ها را به درستی انجام داد:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5 متر - 5 = 5 (m - 5)؛

3) 2a - 2 = 2(a - 1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5mn + bn = 5m (n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)؟

1. مقدار را به عنوان محصول بنویسید:

1. فاکتورگیری کنید:

1. فاکتورگیری کنید:

4) 7a + 21:00;

5) 9x 2 - 27x؛

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v 2;

10) a 2 b - ab 2 ;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

4) 15xy + 5x;

6) 15 متر - 30 متر مربع؛

7) 9xy + 6x 2 ;

9) -p 2 q - pq 2.

1. فاکتورگیری کنید:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5 متر 5 + 15 متر مربع؛

9) -16a 4 - 20a.

1. فاکتورگیری کنید:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25 متر 3 - 20 متر.

1. مجموع 6x 2 در + 15x را به عنوان یک محصول بنویسید و مقدار آن را در صورت x = 0.5-، y = 5 پیدا کنید.
2. عبارت 12a 2 b - 8a را به عنوان یک محصول بنویسید و مقدار آن را اگر a = 2، 6 = .
3. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

1) a 4 + a 3 - a 2;

2) m 9 - m 2 + m 7;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) - در 7 - در 12 - در 3.

1. ارائه آن به عنوان محصول:

1) p 7 + p 3 - p 4;

2) a 10 - a 5 + a 8;

3) b 7 - b 5 - b 2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

1. به روشی راحت محاسبه کنید:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. معادله را حل کنید:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4x = 0.

1. ریشه های معادله را پیدا کنید:

1) x 2 + 3x = 0;

2) x 2 -7x = 0.

1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;

3) 16 متر 2 - 24 متر 6 - 22 متر 3؛

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;

2) 9 متر 4 + 27 متر 3 - 81 متر؛

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 y 2 - 4x 3 در 5 + 12x 4 در 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

1. عامل چند جمله ای:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 in - 18b 3 - 30b 4 in;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30 m 3 n 5.

1. به روشی راحت محاسبه کنید:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. معنی عبارت را پیدا کنید:

1) 4.23 a - a 2، اگر a = 5.23;

2) x 2 y + x 3، اگر x = 2.51، b = -2.51;

3) am 5 - m 6، اگر = -1، a = -5.

4) -xy - x 2، اگر x = 2.7، b = 7.3.

1. معنی عبارت را پیدا کنید:

1) 9.11 a + a 2، اگر a = -10.11;

2) 5x 2 + 5a 2 x، اگر a = ; x =

1. عامل چند جمله ای:

1) 2p (x - y) + q (x - y);

2) a (x + y) - (x + y);

3) (a - 7) - b(a - 7);

4) 5 (a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2 - x(x + 2);

6) -5 متر (m - 2) + 4 (m - 2) 2.

1. عبارت را به صورت محصول بیان کنید:

1) a (x - y) + b (y - x);

2) g (b - 5) - n (5 - b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b)؛

4) (x - y) 2 - a (y - x);

5) 5 (x - 3) 2 - (3 - x);

6) (a + 1) (2b - 3) - (a + 3) (3 - 2b).

1. فاکتورگیری کنید:

1) 3x(b - 2) + y(b - 2);

2) (m 2 - 3) - x (m 2 - 3);

3) a(b - 9) + c(9 - b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s - m) 2 - 5 (m - s)؛

6) -(x + 2y) - 5 (x + 2y) 2.

1. ریشه های معادله را پیدا کنید:

1) 4x 2 - x = 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4) x 2 - x = 0.

1. معادله را حل کنید:

1) 12 x 2 + x = 0;

2) 0.2 x 2 - 2x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

1. معادله را حل کنید:

1) x(3x + 2) - 5 (3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

1. معادله را حل کنید:

1) x(4x + 5) - 7 (4x + 5) = 0;

2) 7 (x - 3) - 2x (3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 مضرب 18 است.

2) 9 14 - 81 6 مضرب 80 است.

1. ثابت کنید که معنای عبارت این است:

1) 39 9 - 39 8 بر 38 تقسیم می شود.

2) 49 5 - 7 8 بر 48 تقسیم می شود.

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

1) (5 متر - 10) 2 ;

2) (18a + 27b) 2.

1. ریشه های معادله را پیدا کنید:

1) x(x - 3) = 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

1. معادله را حل کنید:

1) x(x - 2) = 4x - 8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

1. ثابت کنید که عدد:

1) 10 4 + 5 3 بر 9 بخش پذیر است.

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 بر 13 تقسیم می شود.

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 بر 25 تقسیم می شود.

4) 21 3 + 14 a - 7 3 بر 34 تقسیم می شود.

تمرین هایی برای تکرار

1. عبارت را ساده کنید و معنی آن را پیدا کنید:

1) -3x 2 + 7x 3 - 4x 2 + 3x 2، اگر x = 0.1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n، اگر m = 7، n = -1.

1. ضرایب تک جمله ای زیر را به جای ستاره بنویسید تا تساوی به هویت تبدیل شود:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

1. طول یک مستطیل سه برابر عرض آن است. اگر طول یک مستطیل 5 سانتی متر کاهش یابد، مساحت آن 40 سانتی متر مربع کاهش می یابد. طول و عرض مستطیل را پیدا کنید.

کارهای جالب برای دانش آموزان تنبل

معلوم است که الف< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| و |ب|< |с|?

در چارچوب بررسی تحولات هویتی، موضوع خارج کردن عامل مشترک از پرانتز بسیار حائز اهمیت است. در این مقاله توضیح خواهیم داد که دقیقاً چنین تحولی چیست، قانون اساسی را استخراج کرده و نمونه‌های معمولی مسائل را تحلیل می‌کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم خارج کردن فاکتور از پرانتز

برای اعمال موفقیت آمیز این تبدیل، باید بدانید که برای چه عباراتی استفاده می شود و در پایان می خواهید چه نتیجه ای بگیرید. اجازه دهید این نکات را روشن کنیم.

شما می توانید عامل مشترک را از داخل پرانتز خارج کنید در عباراتی که نشان دهنده مجموع هایی است که هر عبارت یک محصول است و در هر محصول یک عامل وجود دارد که برای همه مشترک است (یکسان). به این عامل مشترک می گویند. این است که ما از پرانتز خارج خواهیم کرد. پس اگر آثاری داریم 5 3و 5 4،سپس می توانیم فاکتور مشترک 5 را از پرانتز خارج کنیم.

این تحول شامل چه چیزی است؟ در طول آن، عبارت اصلی را به عنوان حاصلضرب یک عامل مشترک و عبارتی در پرانتز که شامل مجموع تمام عبارات اصلی به جز عامل مشترک است، نشان می‌دهیم.

بیایید مثالی که در بالا داده شد را در نظر بگیریم. بیایید ضریب مشترک 5 را به آن اضافه کنیم 5 3و 5 4و 5 (3 + 4) بدست می آوریم. عبارت نهایی حاصل ضرب ضریب مشترک 5 با عبارت داخل پرانتز است که مجموع عبارت های اصلی بدون 5 است.

این تبدیل بر اساس خاصیت توزیعی ضرب است که قبلاً آن را مطالعه کرده ایم. به صورت تحت اللفظی می توان آن را به صورت نوشتاری نوشت a (b + c) = a b + a c. با تغییر سمت راست با سمت چپ، طرحی برای خارج کردن فاکتور مشترک از براکت ها خواهیم دید.

قانون خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

با استفاده از همه چیزهایی که در بالا گفته شد، قانون اساسی برای چنین تبدیلی را استخراج می کنیم:

تعریف 1

برای حذف ضریب مشترک از پرانتز، باید عبارت اصلی را به عنوان حاصلضرب عامل مشترک و براکت هایی که شامل مجموع اصلی بدون ضریب مشترک هستند، بنویسید.

مثال 1

بیایید یک مثال ساده از رندر برداریم. ما یک عبارت عددی داریم 3 7 + 3 2 − 3 5، که مجموع سه جمله 3 · 7 ، 3 · 2 و یک عامل مشترک 3 است. با در نظر گرفتن قاعده ای که به دست آورده ایم، محصول را به عنوان می نویسیم 3 (7 + 2 − 5). این نتیجه تحول ماست. کل راه حل به شکل زیر است: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

ما می توانیم فاکتور را نه تنها در عبارات عددی، بلکه در عبارات تحت اللفظی نیز خارج از پرانتز قرار دهیم. به عنوان مثال، در 3 x − 7 x + 2می توانید متغیر x را بردارید و دریافت کنید 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2، در بیان (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- عامل مشترک (x2+y)و در پایان بدست آورید (x 2 + y) · (x · y − x 3).

همیشه نمی توان فوراً تعیین کرد که کدام عامل رایج است. گاهی اوقات یک عبارت باید ابتدا با جایگزینی اعداد و عبارات با حاصلضرب های یکسان تبدیل شود.

مثال 2

بنابراین، برای مثال، در بیان 6 x + 4 سالمی توان عامل مشترک 2 را استخراج کرد که به صراحت نوشته نشده باشد. برای یافتن آن، باید عبارت اصلی را تبدیل کنیم، که شش را به صورت 2 · 3 و چهار را به عنوان 2 · 2 نشان می دهد. به این معنا که 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). یا در بیان x 3 + x 2 + 3 xما می توانیم فاکتور مشترک x را که پس از جایگزینی آشکار می شود، از داخل براکت خارج کنیم x 3بر x · x 2 .این تبدیل به دلیل ویژگی های اساسی درجه امکان پذیر است. در نتیجه، عبارت را دریافت می کنیم x (x 2 + x + 3).

مورد دیگری که باید جداگانه مورد بحث قرار گیرد، حذف یک منهای از پرانتز است. سپس نه خود علامت، بلکه منهای یک را بیرون می آوریم. به عنوان مثال، اجازه دهید عبارت را به این شکل تبدیل کنیم − 5 − 12 x + 4 x y. بیایید عبارت را بازنویسی کنیم (- 1) 5 + (- 1) 12 x − (- 1) 4 x y، به طوری که ضریب کلی به وضوح قابل مشاهده است. بیایید آن را از پرانتز بیرون بیاوریم و − (5 + 12 · x − 4 · x · y) را بدست آوریم. این مثال نشان می دهد که در پرانتز همان مقدار به دست می آید اما با علائم مخالف.

در نتیجه گیری، توجه می کنیم که تبدیل با قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب در عمل استفاده می شود، به عنوان مثال، برای محاسبه ارزش عبارات منطقی. این روش همچنین زمانی مفید است که شما نیاز دارید یک عبارت را به عنوان یک محصول نشان دهید، به عنوان مثال، یک چند جمله‌ای را به فاکتورهای جداگانه تبدیل کنید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

چیچایوا دارینا کلاس هشتم

در این کار، یک دانش آموز کلاس هشتم قانون فاکتورگیری چند جمله ای را با قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز با روشی دقیق برای حل مثال های زیادی در این موضوع توضیح داد. برای هر مثال تجزیه و تحلیل شده، 2 مثال برای راه حل های مستقل ارائه می شود که پاسخ هایی برای آنها وجود دارد. این کار به مطالعه این موضوع برای آن دسته از دانش آموزانی کمک می کند که به دلایلی هنگام گذراندن مطالب برنامه کلاس هفتم و (یا) هنگام تکرار درس جبر در کلاس هشتم پس از تعطیلات تابستانی به آن تسلط نداشتند.

دانلود:

پیش نمایش:

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

دبیرستان شماره 32

مدرسه مرتبط با یونسکو "توسعه یورکا"

ولژسکی، منطقه ولگوگراد

کار انجام شده:

دانش آموز کلاس 8B

چیچاوا دارینا

ولژسکی

2014

خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

• - یکی از راه های فاکتورگیری چند جمله ای این استخارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز
• - هنگام خارج کردن ضریب کلی از براکت اعمال می شوددارایی توزیعی;
• - اگر تمام عبارات یک چند جمله ای حاویعامل مشترک پس این فاکتور را می توان از پرانتز خارج کرد.

هنگام حل معادلات، در محاسبات و تعدادی از مسائل دیگر، جایگزینی یک چند جمله ای با حاصلضرب چند جمله ای (که ممکن است شامل تک جمله ای ها باشد) می تواند مفید باشد. نشان دادن یک چند جمله ای به عنوان حاصل ضرب دو یا چند چند جمله ای را فاکتورگیری چند جمله ای می گویند.

چند جمله ای را در نظر بگیرید 6a 2 b+15b 2 . هر یک از عبارت های آن را می توان با حاصل ضرب دو عامل جایگزین کرد که یکی از آنها برابر است 3b: → 6a 2 b = 3b*2a 2، + 15b 2 = 3b*5b → از این نتیجه می گیریم: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

عبارت حاصل بر اساس خاصیت توزیع ضرب را می توان به عنوان حاصلضرب دو عامل نشان داد. یکی از آنها ضریب مشترک است 3b ، و دیگری جمع است 2a 2 و 5b← 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) → بنابراین، چند جمله ای را گسترش دادیم: 6a 2 b+15b 2 به عوامل، آن را به عنوان یک محصول یک مونومی نشان می دهد 3b و چند جمله ای 2a 2 +5b. این روش فاکتورگیری چند جمله ای را خارج کردن ضریب مشترک از براکت می نامند.

مثال ها:

فاکتورگیری کنید:

الف) kx-px.

ضریب x x آن را از داخل پرانتز قرار می دهیم.

kx:x=k; px:x=p.

دریافت می کنیم: kx-px=x*(k-p).

ب) 4a-4b.

ضریب 4 هم در ترم اول و هم در ترم دوم وجود دارد. از همین رو 4 آن را از داخل پرانتز قرار می دهیم.

4a:4=a; 4b:4=b.

دریافت می کنیم: 4a-4b=4*(a-b).

ج) -9m-27n.

9m و -27n بر 9- بخش پذیرند . بنابراین فاکتور عددی را از پرانتز خارج می کنیم-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

داریم: -9m-27n=-9*(m+3n).

د) 5 سال 2 -15 سال.

5 و 15 بر 5 بخش پذیرند. y 2 و y بر y تقسیم می شوند.

بنابراین فاکتور مشترک را از پرانتز خارج می کنیم 5у.

5y 2 : 5y=y; -15y: 5y=-3.

بنابراین: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

اظهار نظر: از دو درجه با پایه یکسان، درجه را با توان کوچکتر خارج می کنیم.

ه) 16° 3 + 12° 2.

16 و 12 بر 4 بخش پذیرند. y 3 و y 2 بر y 2 تقسیم می شوند.

بنابراین عامل مشترک 4 سال 2.

16y 3 : 4y 2 =4y; 12 سال 2 : 4 سال 2 = 3.

در نتیجه دریافت می کنیم: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

و) چند جمله ای را عامل کنید 8b(7y+a)+n(7y+a).

در این عبارت می بینیم که همین عامل وجود دارد(7 سال + یک) ، که می تواند از پرانتز خارج شود. بنابراین، دریافت می کنیم:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ز) a(b-c)+d(c-b).

عبارات b-c و c-b مقابل هستند. بنابراین، آنها را به همان شکل، قبل ازد علامت "+" را به "-" تغییر دهید:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

مثال هایی برای راه حل های مستقل:

1. mx+my;
2. ah+ay;
3. 5x+5y؛
4. 12x+48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21y;
7. –ma-a;
8. 8mn-4m2;
9. -12y 4 -16y;
10. 15 سال 3 -30 سال 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

پاسخ ها.

1) m(x+y)؛ 2) a (x+y)؛ 3) 5 (x+y)؛ 4) 12 (x+4y)؛ 5) 7х(a+b)؛ 6) 7 (2x+3y)؛ 7) -а(m+1); 8) 4 متر (2n-m)؛

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c) (5c+y 2); 12) (a-3) (8m+n); 13) (y-5) (x+y); 14) (2x-7) (3a-5b).

تعریف 1

اول یادمون باشه قوانین ضرب یک مونومی در مونومی:

برای ضرب یک جملاتی در یک جملات ابتدا باید ضرایب تک جمله ها را ضرب کنید سپس با استفاده از قانون ضرب توان ها با پایه یکسان، متغیرهای موجود در تک جملات را ضرب کنید.

مثال 1

حاصل ضرب تک‌جملات $(2x)^3y^2z$ و $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ را بیابید

راه حل:

ابتدا حاصل ضرب ضرایب را محاسبه می کنیم

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ در این کار از قانون ضرب یک عدد در کسری استفاده کردیم - برای ضرب یک عدد کامل در کسری، شما نیاز دارید عدد را در صورت کسری ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر قرار دهید

حالا بیایید از ویژگی اصلی یک کسری استفاده کنیم - صورت و مخرج یک کسر را می توان بر یک عدد تقسیم کرد، متفاوت از $0. بیایید صورت و مخرج این کسر را بر 2$ تقسیم کنیم، یعنی این کسر را به 2$ کاهش دهیم $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$

نتیجه به دست آمده یک کسر نامناسب بود، یعنی کسری که در آن صورت بزرگتر از مخرج است.

بیایید این کسر را با جداسازی کل جزء تبدیل کنیم. به یاد داشته باشیم که برای جداسازی یک قسمت صحیح، باید باقیمانده تقسیم را به صورت بخش کسری، تقسیم کننده را به مخرج بنویسیم.

ما ضریب محصول آینده را پیدا کردیم.

حالا متغیرهای $x^3\cdot x^2=x^5$ را به ترتیب ضرب می‌کنیم.

$y^2\cdot y^4 =y^6$. در اینجا از قانون ضرب توان ها با پایه یکسان استفاده کردیم: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

سپس حاصل ضرب تک جمله ها خواهد بود:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

سپس بر اساس این قانون می توانید کار زیر را انجام دهید:

مثال 2

یک چند جمله ای معین را به عنوان حاصل ضرب یک چند جمله ای و یک تک جمله ای $(4x)^3y+8x^2$ نشان دهید

اجازه دهید هر یک از تک‌جملاتی را که در چندجمله‌ای گنجانده شده است، به‌عنوان حاصل ضرب دو تک‌جمله‌ای نشان دهیم تا یک تک‌جمله‌ای مشترک را جدا کنیم، که عاملی برای تک‌جمله‌های اول و دوم خواهد بود.

ابتدا اجازه دهید با اولین مونومی $(4x)^3y$ شروع کنیم. بیایید ضریب آن را به فاکتورهای ساده تبدیل کنیم: $4=2\cdot 2$. همین کار را با ضریب مونومی دوم $8=2\cdot 2 \cdot 2$ انجام خواهیم داد. توجه داشته باشید که دو عامل $2\cdot 2$ در هر دو ضریب اول و دوم گنجانده شده است، به این معنی که $2\cdot 2=4$ - این عدد به عنوان یک ضریب در مونومی کلی گنجانده می شود.

حال توجه داشته باشیم که در مونومی اول $x^3$ و در دومی همان متغیر به توان $2:x^2$ وجود دارد. این بدان معنی است که نشان دادن متغیر $x^3$ به این صورت راحت است:

متغیر $y$ تنها در یک جمله از چند جمله ای گنجانده شده است، به این معنی که نمی توان آن را در یک جمله کلی گنجاند.

بیایید تک جمله اول و دوم را که در چند جمله ای گنجانده شده است به عنوان یک محصول تصور کنیم:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

توجه داشته باشید که مونومی معمولی که عاملی در مونومی اول و دوم خواهد بود، $4x^2$ است.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

اکنون قانون توزیعی ضرب را اعمال می کنیم، سپس عبارت حاصل را می توان به عنوان حاصلضرب دو عامل نشان داد. یکی از ضریب‌ها، ضریب کل خواهد بود: $4x^2$ و دیگری مجموع ضریب‌های باقی‌مانده: $xy + 2$. به معنای:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

این روش نامیده می شود فاکتورسازی با حذف یک عامل مشترک

عامل مشترک در این مورد، مونومی 4x^2$ بود.

الگوریتم

یادداشت 1

بزرگترین مقسوم علیه مشترک ضرایب همه تک جمله های موجود در چند جمله ای را پیدا کنید - این ضریب عامل-تک جمله مشترک خواهد بود که آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم.

یک واحد متشکل از ضریب موجود در بند 2 و متغیرهای موجود در بند 3 یک عامل مشترک خواهد بود. که می توان آن را به عنوان یک عامل مشترک از براکت خارج کرد.

مثال 3

فاکتور مشترک $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ را بردارید

راه حل:

بیایید gcd ضرایب را پیدا کنیم؛ برای این کار ضرایب را به عوامل ساده تجزیه می کنیم.

$45=3\cdot 3\cdot 5$

و حاصل آنهایی را می یابیم که در بسط هر کدام گنجانده شده اند:

متغیرهای تشکیل دهنده هر تک اسمی را شناسایی کنید و متغیری را با کوچکترین توان انتخاب کنید

$a^3=a^2\cdot a$

متغیر $b$ فقط در مونومی دوم و سوم گنجانده شده است، به این معنی که در فاکتور مشترک قرار نخواهد گرفت.

بیایید یک مونومی متشکل از ضریب موجود در مرحله 2، متغیرهای موجود در مرحله 3 بسازیم، دریافت می کنیم: $3a$ - این عامل مشترک خواهد بود. سپس:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$