این مبحث شامل عملیات هایی مانند جمع و تفریق ماتریس ها، ضرب یک ماتریس در عدد، ضرب یک ماتریس در یک ماتریس و جابجایی یک ماتریس خواهد بود. تمام علائم استفاده شده در این صفحه از مبحث قبلی گرفته شده است.
جمع و تفریق ماتریس ها.
به مجموع $A+B$ ماتریس های $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m) می گویند. \times n) =(c_(ij))$، که $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline( 1، n) دلار.
تعریف مشابهی برای تفاوت ماتریس ها ارائه شده است:
تفاوت بین ماتریس های $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times است. n)=(c_(ij))$، که در آن $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1، n) $.
توضیح برای ورودی $i=\overline(1,m)$: show\hide
علامت "$i=\overline(1,m)$" به این معنی است که پارامتر $i$ از 1 تا m متغیر است. به عنوان مثال، علامت $i=\overline(1,5)$ نشان می دهد که پارامتر $i$ مقادیر 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد.
شایان ذکر است که عملیات جمع و تفریق فقط برای ماتریس هایی با اندازه یکسان تعریف می شود. به طور کلی، جمع و تفریق ماتریس ها عملیاتی هستند که به طور شهودی واضح هستند، زیرا اساساً فقط به معنای جمع یا تفریق عناصر مربوطه هستند.
مثال شماره 1
سه ماتریس داده شده است:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
آیا می توان ماتریس $A+F$ را پیدا کرد؟ اگر $C=A+B$ و $D=A-B$، ماتریس‌های $C$ و $D$ را پیدا کنید.
ماتریس $A$ شامل 2 سطر و 3 ستون است (به عبارت دیگر، اندازه ماتریس $A$ 2 $\ برابر 3$ است) و ماتریس $F$ شامل 2 سطر و 2 ستون است. اندازه‌های ماتریس‌های $A$ و $F$ مطابقت ندارند، بنابراین نمی‌توانیم آنها را اضافه کنیم. عملیات $A+F$ برای این ماتریس ها تعریف نشده است.
اندازه ماتریس های $A$ و $B$ یکسان است، یعنی. داده های ماتریس شامل تعداد مساوی سطر و ستون است، بنابراین عملیات جمع برای آنها قابل اجرا است.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cc -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 و 9 و -22 \end(آرایه) \راست) $$
بیایید ماتریس $D=A-B$ را پیدا کنیم:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست) $$
پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cc) -11 و 23 و -97 \\ 2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست)$.
ضرب یک ماتریس در یک عدد
حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ با عدد $\alpha$ ماتریس $B_(m\times n)=(b_(ij))$ است که در آن $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.
به عبارت ساده، ضرب یک ماتریس در یک عدد معین به معنای ضرب هر عنصر از یک ماتریس در آن عدد است.
مثال شماره 2
ماتریس داده شده است: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ماتریس‌های $3\cdot A$، $-5\cdot A$ و $-A$ را پیدا کنید.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( آرایه) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (آرایه) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(آرایه) \راست). $$
نماد $-A$ یک علامت کوتاه برای $-1\cdot A$ است. یعنی برای پیدا کردن $-A$ باید تمام عناصر ماتریس $A$ را در (-1) ضرب کنید. در اصل، این بدان معنی است که علامت همه عناصر ماتریس $A$ به عکس تغییر خواهد کرد:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
پاسخ: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
محصول دو ماتریس
تعریف این عملیات دست و پا گیر و در نگاه اول نامشخص است. بنابراین، ابتدا یک تعریف کلی را بیان می کنم و سپس به طور مفصل به معنای آن و نحوه کار با آن می پردازیم.
حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ توسط ماتریس $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times k است )=(c_( ij))$ که هر عنصر $c_(ij)$ برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مربوط به ردیف iام ماتریس $A$ توسط عناصر j -مین ستون ماتریس $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m)، j=\overline(1,n).$$
بیایید با استفاده از یک مثال به ضرب ماتریس گام به گام نگاه کنیم. با این حال، بلافاصله باید توجه داشته باشید که همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. اگر می‌خواهیم ماتریس $A$ را در ماتریس $B$ ضرب کنیم، ابتدا باید مطمئن شویم که تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $B$ است (این ماتریس‌ها اغلب نامیده می‌شوند. توافق شده). به عنوان مثال، ماتریس $A_(5\times 4)$ (ماتریس شامل 5 ردیف و 4 ستون) نمی تواند در ماتریس $F_(9\times 8)$ (9 ردیف و 8 ستون) ضرب شود، زیرا عدد از ستون های ماتریس $A $ برابر با تعداد ردیف های ماتریس $F$ نیست، یعنی. $4\n معادل 9 $. اما می‌توانید ماتریس $A_(5\ برابر 4)$ را در ماتریس $B_(4\ برابر 9)$ ضرب کنید، زیرا تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $ است. B$. در این حالت، حاصل ضرب ماتریس‌های $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ماتریس $C_(5\times 9)$ خواهد بود که شامل 5 سطر و 9 ستون است:
مثال شماره 3
ماتریس های داده شده: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (آرایه) \راست)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) $. ماتریس $C=A\cdot B$ را پیدا کنید.
ابتدا بیایید فوراً اندازه ماتریس $C$ را تعیین کنیم. از آنجایی که ماتریس $A$ دارای اندازه $3\ برابر 4$ است، و ماتریس $B$ دارای اندازه $4\ برابر 2 $ است، پس اندازه ماتریس $C$: $3\ برابر 2 $ است:
بنابراین، در نتیجه حاصلضرب ماتریس‌های $A$ و $B$، باید یک ماتریس $C$، متشکل از سه ردیف و دو ستون به دست آوریم: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(آرایه) \راست)$. اگر تعیین عناصر سؤالاتی را ایجاد می کند، می توانید به مبحث قبلی نگاه کنید: "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" که در ابتدای آن تعیین عناصر ماتریس توضیح داده شده است. هدف ما: یافتن مقادیر همه عناصر ماتریس $C$.
بیایید با عنصر $c_(11)$ شروع کنیم. برای به دست آوردن عنصر $c_(11)$، باید مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را بیابید:
برای یافتن خود عنصر $c_(11)$، باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون اول ماتریس $B$ ضرب کنید. عنصر اول به اول، دوم به دوم، سوم به سوم، چهارم به چهارم. ما نتایج به دست آمده را خلاصه می کنیم:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
بیایید راه حل را ادامه دهیم و $c_(12)$ را پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون دوم ماتریس $B$ را ضرب کنید:
مشابه مورد قبلی داریم:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
تمام عناصر ردیف اول ماتریس $C$ پیدا شده است. بیایید به خط دوم برویم که با عنصر $c_(21)$ شروع می شود. برای پیدا کردن آن، باید عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را ضرب کنید:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
عنصر بعدی $c_(22)$ را با ضرب عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ در عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس $B$ پیدا می کنیم:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
برای پیدا کردن $c_(31)$، عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر ستون اول ماتریس $B$ ضرب کنید:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
و در نهایت، برای یافتن عنصر $c_(32)$، باید عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس $B$ ضرب کنید:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
همه عناصر ماتریس $C$ پیدا شده اند، فقط باید بنویسیم که $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( آرایه) \راست)$ . یا به طور کامل بنویسید:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(آرایه) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \راست). $$
پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
به هر حال، اغلب دلیلی برای توصیف دقیق مکان هر عنصر از ماتریس نتیجه وجود ندارد. برای ماتریس هایی که اندازه آنها کوچک است، می توانید این کار را انجام دهید:
همچنین شایان ذکر است که ضرب ماتریس غیر تعویضی است. این بدان معنی است که در حالت کلی $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط برای برخی از انواع ماتریس ها که نامیده می شوند قابل تغییر(یا رفت و آمد)، برابری $A\cdot B=B\cdot A$ درست است. دقیقاً بر اساس غیرقابل تعویض بودن ضرب است که باید نشان دهیم دقیقاً چگونه عبارت را در یک ماتریس خاص ضرب می کنیم: در سمت راست یا چپ. به عنوان مثال، عبارت «هر دو طرف برابری $3E-F=Y$ را در ماتریس $A$ در سمت راست ضرب کنید» به این معنی است که می خواهید برابری زیر را بدست آورید: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot دلار استرالیا
جابجا شده با توجه به ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ماتریس $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ است، برای عناصری که $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
به زبان ساده، برای به دست آوردن یک ماتریس انتقالی $A^T$، باید ستون های موجود در ماتریس اصلی $A$ را با ردیف های مربوطه مطابق این اصل جایگزین کنید: یک ردیف اول وجود داشت - یک ستون اول وجود خواهد داشت. ; یک ردیف دوم وجود داشت - یک ستون دوم وجود خواهد داشت. یک ردیف سوم وجود داشت - یک ستون سوم و غیره وجود خواهد داشت. برای مثال، اجازه دهید ماتریس انتقال یافته به ماتریس $A_(3\times 5)$ را پیدا کنیم:
بر این اساس، اگر ماتریس اصلی دارای اندازه 3$\ برابر 5$ بود، ماتریس انتقال یافته دارای اندازه 5$\ برابر 3$ است.
برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها
در اینجا فرض می شود که $\alpha$، $\beta$ برخی از اعداد و $A$، $B$، $C$ ماتریس هستند. برای چهار ویژگی اول نام‌ها را ذکر کردم، بقیه را می‌توان با قیاس با چهار ویژگی اول نام‌گذاری کرد.
- $A+B=B+A$ (جایگزینی جمع)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (تداعی جمع)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (توزیع ضرب در یک ماتریس با توجه به جمع اعداد)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (توزیع ضرب در عدد نسبت به جمع ماتریس)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$، $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$، $E\cdot A=A$، که $E$ ماتریس هویت ترتیب مربوطه است.
- $A\cdot O=O$، $O\cdot A=O$، که در آن $O$ یک ماتریس صفر با اندازه مناسب است.
- $\left(A^T \راست)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
در قسمت بعدی عملیات افزایش یک ماتریس به یک توان صحیح غیر منفی را در نظر می گیریم و همچنین مثال هایی را حل می کنیم که در آنها انجام چندین عملیات روی ماتریس ها ضروری است.
اضافه کردن ماتریس:
تفریق و جمع ماتریس هابه عملیات مربوطه بر روی عناصر آنها کاهش می یابد. عملیات جمع ماتریسوارد شده فقط برای ماتریس هابه همان اندازه، یعنی برای ماتریس ها، که در آن تعداد سطرها و ستون ها به ترتیب برابر است. مجموع ماتریس ها A و B نامیده می شوند ماتریسج که عناصر آن برابر با مجموع عناصر مربوطه است. C = A + B c ij = a ij + b ij به طور مشابه تعریف شده است تفاوت ماتریسی.
ضرب یک ماتریس در عدد:
عملیات ضرب (تقسیم) ماتریسهر اندازه با یک عدد دلخواه به ضرب (تقسیم) هر عنصر کاهش می یابد ماتریس هابرای این شماره محصول ماتریسیو عدد k نامیده می شود ماتریسب، به طوری که
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . ماتریس- A = (-1) × A را متضاد می گویند ماتریسآ.
ویژگی های جمع ماتریس ها و ضرب یک ماتریس در عدد:
عملیات جمع ماتریسو ضرب ماتریسروی یک عدد دارای ویژگی های زیر است: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; که در آن A، B و C ماتریس هستند، α و β اعداد هستند.
ضرب ماتریس (محصول ماتریس):
عملیات ضرب دو ماتریسفقط برای موردی وارد می شود که تعداد ستون های اول باشد ماتریس هابرابر با تعداد خطوط دوم است ماتریس ها. محصول ماتریسیو m×n روشن است ماتریسدر n×p، نامیده می شود ماتریسبا m×p به طوری که با ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a در × b nk ، یعنی مجموع حاصل از عناصر ردیف i به دست می آید. ماتریس هاو به عناصر مربوط به ستون j ام ماتریس هاب. اگر ماتریس ها A و B مربع هایی با اندازه یکسان هستند، سپس محصولات AB و BA همیشه وجود دارند. به راحتی می توان نشان داد که A × E = E × A = A، که در آن A مربع است ماتریس، واحد الکترونیکی ماتریسهمان اندازه.
خواص ضرب ماتریس:
ضرب ماتریسجایگزینی نیست، یعنی AB ≠ BA حتی اگر هر دو محصول تعریف شده باشند. با این حال، اگر برای هر ماتریس هارابطه AB=BA ارضا می شود، پس چنین است ماتریس هاجابجایی نامیده می شوند. معمولی ترین مثال یک تک است ماتریس، که با هر دیگری رفت و آمد دارد ماتریسهمان اندازه. فقط مربع ها می توانند جاودانه باشند ماتریس هابه همین ترتیب A × E = E × A = A
ضرب ماتریسدارای ویژگی های زیر است: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. تعیین کننده های مرتبه 2 و 3. خواص عوامل تعیین کننده
تعیین کننده ماتریسمرتبه دوم یا تعیین کنندهمرتبه دوم عددی است که با فرمول محاسبه می شود:
تعیین کننده ماتریسمرتبه سوم یا تعیین کنندهمرتبه سوم عددی است که با فرمول محاسبه می شود:
این عدد نشان دهنده جمع جبری متشکل از شش جمله است. هر عبارت دقیقاً حاوی یک عنصر از هر سطر و هر ستون است ماتریس ها. هر عبارت از حاصل ضرب سه عامل تشکیل شده است.
علائم با کدام اعضا تعیین کننده ماتریسدر فرمول گنجانده شده است پیدا کردن تعیین کننده ماتریسمرتبه سوم را می توان با استفاده از طرح داده شده تعیین کرد که به آن قانون مثلث ها یا قانون ساروس می گویند. سه جمله اول با علامت مثبت گرفته شده و از شکل سمت چپ مشخص می شود و سه جمله بعدی با علامت منفی گرفته شده و از شکل سمت راست مشخص می شود.
تعداد عباراتی که باید پیدا کنید را تعیین کنید تعیین کننده ماتریس، در یک جمع جبری می توانید فاکتوریل را محاسبه کنید: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
خواص عوامل ماتریسی
خواص عوامل ماتریسی:
ملک شماره 1:
تعیین کننده ماتریساگر سطرهای آن با ستون، هر سطر با ستونی با همان تعداد جایگزین شود، و بالعکس (Transposition) تغییر نخواهد کرد. |الف| = |A| تی
نتیجه:
ستون ها و ردیف ها تعیین کننده ماتریسبرابر هستند، بنابراین، ویژگی های ذاتی در ردیف ها نیز برای ستون ها برآورده می شوند.
ملک شماره 2:
هنگام تنظیم مجدد 2 سطر یا ستون تعیین کننده ماتریسبا حفظ قدر مطلق علامت را به علامت مقابل تغییر می دهد، یعنی:
ملک شماره 3:
تعیین کننده ماتریسداشتن دو ردیف یکسان برابر با صفر است.
ملک شماره 4:
عامل مشترک عناصر هر سری تعیین کننده ماتریسرا می توان به عنوان نشانه در نظر گرفت تعیین کننده.
نتیجه املاک شماره 3 و 4:
اگر همه عناصر یک سری خاص (ردیف یا ستون) با عناصر متناظر یک سری موازی متناسب باشند، چنین تعیین کننده ماتریسبرابر با صفر
ملک شماره 5:
تعیین کننده ماتریسپس برابر با صفر هستند تعیین کننده ماتریسبرابر با صفر
ملک شماره 6:
اگر تمام عناصر یک سطر یا ستون تعیین کنندهسپس به صورت مجموع 2 عبارت ارائه می شود تعیین کننده ماتریس هارا می توان به صورت مجموع 2 نشان داد تعیین کننده هاطبق فرمول:
ملک شماره 7:
اگر به هر سطر (یا ستون) تعیین کنندهسپس عناصر مربوط به سطر (یا ستون) را در همان عدد ضرب کنید تعیین کننده ماتریسارزش آن را تغییر نخواهد داد.
مثالی از استفاده از خواص برای محاسبه تعیین کننده ماتریس:
سال اول ریاضی بالاتر در حال تحصیل ماتریس هاو اقدامات اساسی بر روی آنها. در اینجا ما عملیات اساسی را که می توان با ماتریس ها انجام داد، سیستماتیک می کنیم. آشنایی با ماتریس ها را از کجا شروع کنیم؟ البته، از ساده ترین چیزها - تعاریف، مفاهیم اساسی و عملیات ساده. ما به شما اطمینان می دهیم که ماتریس ها توسط هر کسی که حداقل زمان کمی را به آنها اختصاص دهد قابل درک خواهد بود!
تعریف ماتریس
ماتریسیک جدول مستطیل شکل از عناصر است. خوب، به زبان ساده - جدول اعداد.
به طور معمول، ماتریس ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند. به عنوان مثال، ماتریس آ ، ماتریس ب و غیره ماتریس ها می توانند اندازه های مختلفی داشته باشند: مستطیل، مربع، و همچنین ماتریس های ردیف و ستونی به نام بردار وجود دارد. اندازه ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. به عنوان مثال، بیایید یک ماتریس مستطیل شکل بنویسیم متر بر n ، جایی که متر - تعداد خطوط و n - تعداد ستون ها.
مواردی که برای آنها i=j (a11، a22، .. ) قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند و مورب نامیده می شوند.
با ماتریس ها چه کاری می توانید انجام دهید؟ جمع/ تفریق, ضرب در عدد, بین خودشان تکثیر کنند, جابجا کردن. اکنون در مورد تمام این عملیات اساسی روی ماتریس ها به ترتیب.
عملیات جمع و تفریق ماتریس
اجازه دهید بلافاصله به شما هشدار دهیم که فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید. نتیجه یک ماتریس با همان اندازه خواهد بود. اضافه کردن (یا تفریق) ماتریس ها ساده است - شما فقط باید عناصر مربوطه آنها را اضافه کنید . بیایید یک مثال بزنیم. بیایید جمع دو ماتریس A و B به اندازه دو به دو را انجام دهیم.
تفریق با قیاس، فقط با علامت مخالف انجام می شود.
هر ماتریسی را می توان در یک عدد دلخواه ضرب کرد. برای انجام این، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به عنوان مثال، بیایید ماتریس A را از مثال اول در عدد 5 ضرب کنیم:
عملیات ضرب ماتریس
همه ماتریس ها را نمی توان با هم ضرب کرد. به عنوان مثال، ما دو ماتریس داریم - A و B. فقط در صورتی می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد. در این مورد. هر عنصر از ماتریس حاصل که در ردیف i و ستون j قرار دارد برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مربوطه در ردیف i ضریب اول و ستون j دومین. برای درک این الگوریتم، بیایید نحوه ضرب دو ماتریس مربع را بنویسیم:
و یک مثال با اعداد واقعی. بیایید ماتریس ها را ضرب کنیم:
عملیات انتقال ماتریس
جابجایی ماتریس عملیاتی است که در آن سطرها و ستون های مربوطه با هم تعویض می شوند. به عنوان مثال، اجازه دهید ماتریس A را از مثال اول جابجا کنیم:
تعیین کننده ماتریس
دترمینان یا دترمینان یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. روزی روزگاری مردم با معادلات خطی می آمدند و بعد از آنها باید یک تعیین کننده می آوردند. در پایان، این شما هستید که باید با همه اینها کنار بیایید، بنابراین، آخرین فشار!
دترمینانت یک مشخصه عددی ماتریس مربع است که برای حل بسیاری از مسائل مورد نیاز است.
برای محاسبه تعیین کننده ساده ترین ماتریس مربع، باید تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و فرعی را محاسبه کنید.
تعیین کننده یک ماتریس مرتبه اول، یعنی متشکل از یک عنصر، برابر با این عنصر است.
اگر ماتریس سه در سه باشد چه؟ این سخت تر است، اما شما می توانید آن را مدیریت کنید.
برای چنین ماتریسی، مقدار دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصر قرار گرفته بر روی مثلث هایی با وجهی موازی با قطر اصلی، که حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه و حاصلضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجه مورب ثانویه موازی قرار دارند کم می شود.
خوشبختانه، در عمل به ندرت نیاز به محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های با اندازه های بزرگ است.
در اینجا ما به عملیات اساسی روی ماتریس ها نگاه کردیم. البته، در زندگی واقعی ممکن است هرگز با یک سیستم ماتریسی از معادلات مواجه نشوید، یا برعکس، ممکن است با موارد بسیار پیچیده تری روبرو شوید که واقعاً مجبور هستید مغز خود را درهم بکوبید. برای چنین مواردی است که خدمات دانشجویی حرفه ای وجود دارد. کمک بخواهید، راه حلی با کیفیت و دقیق دریافت کنید، از موفقیت تحصیلی و اوقات فراغت لذت ببرید.
