در میان سیستم های مختلف توابع متعامد که می توانند به عنوان پایه برای نمایش استفاده شوند سیگنال های رادیویی، مکان استثنایی توسط توابع هارمونیک (سینوس و کسینوس) اشغال شده است. اهمیت سیگنال‌های هارمونیک برای مهندسی رادیو به دلایلی است.
به خصوص:
1. سیگنال های هارمونیک با توجه به تبدیل های انجام شده توسط خطی ثابت ثابت هستند مدارهای الکتریکی. اگر چنین مداری توسط منبعی برانگیخته شود ارتعاشات هارمونیک، سپس سیگنال در خروجی مدار با همان فرکانس هارمونیک باقی می ماند و تنها در دامنه و فاز اولیه با سیگنال ورودی متفاوت است.
2. تکنیک تولید سیگنال های هارمونیک نسبتا ساده است.
اگر هر سیگنالی به صورت مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف، سپس می گویند که تجزیه طیفی این سیگنال انجام شده است. اجزای هارمونیک منفرد یک سیگنال طیف آن را تشکیل می دهند.
2.1. سیگنال های دوره ای و سری فوریه
یک مدل ریاضی از یک فرآیند که در طول زمان تکرار می شود یک سیگنال دوره ای با ویژگی زیر است:
در اینجا T دوره سیگنال است.
وظیفه یافتن تجزیه طیفی چنین سیگنالی است.
سری فوریه.
اجازه دهید بازه زمانی در نظر گرفته شده در فصل را تنظیم کنیم. I یک مبنای متعارف است که توسط توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد تشکیل شده است.
هر تابع از این مبنا شرط تناوب (2.1) را برآورده می کند. بنابراین، با انجام یک تجزیه متعامد سیگنال بر این اساس، یعنی با محاسبه ضرایب
ما تجزیه طیفی را دریافت می کنیم
در سراسر بی نهایت محور زمان معتبر است.
یک سری از شکل (2.4) سری فوریه یک سیگنال داده شده نامیده می شود. اجازه دهید فرکانس اصلی دنباله ای که سیگنال تناوبی را تشکیل می دهد را معرفی کنیم. با محاسبه ضرایب انبساط با استفاده از فرمول (2.3)، سری فوریه را برای سیگنال تناوبی می نویسیم.
با شانس
(2.6)
بنابراین، در مورد کلییک سیگنال تناوبی شامل یک جزء ثابت مستقل از زمان و یک مجموعه بی نهایت از نوسانات هارمونیک است، به اصطلاح هارمونیک ها با فرکانس هایی که مضرب فرکانس اصلی دنباله هستند.
هر هارمونیک را می توان با دامنه و فاز اولیه آن توصیف کرد، برای این کار باید ضرایب سری فوریه را به شکل نوشته شود.
با جایگزینی این عبارات به (2.5)، شکل معادل دیگری از سری فوریه بدست می آوریم:
که گاهی اوقات راحت تر می شود.
نمودار طیفی سیگنال تناوبی.
این چیزی است که به آن می گویند تصویر گرافیکیضرایب سری فوریه برای یک سیگنال خاص. نمودارهای طیفی دامنه و فاز وجود دارد (شکل 2.1).
در اینجا، محور افقی فرکانس های هارمونیک را در یک مقیاس معین نشان می دهد و محور عمودی دامنه و فازهای اولیه آنها را نشان می دهد.
برنج. 2.1. نمودارهای طیفیبرخی از سیگنال های دوره ای: a - دامنه. ب - فاز
آنها به خصوص به نمودار دامنه علاقه مند هستند، که به شخص اجازه می دهد تا درصد هارمونیک های خاص را در طیف یک سیگنال تناوبی قضاوت کند.
بیایید چند مثال خاص را مطالعه کنیم.
مثال 2.1. سری فوریه توالی دوره ایپالس های ویدئویی مستطیلی با پارامترهای شناخته شده، حتی نسبت به نقطه t = 0.
در مهندسی رادیو، نسبت را چرخه وظیفه توالی می نامند. با استفاده از فرمول (2.6) پیدا می کنیم
نوشتن فرمول نهایی سری فوریه در فرم راحت است
در شکل شکل 2.2 نمودارهای دامنه دنباله مورد بررسی را در دو حالت شدید نشان می دهد.
توجه به این نکته مهم است که دنباله ای از پالس های کوتاه که به ندرت دنبال یکدیگر می آیند، ترکیب طیفی غنی دارند.
برنج. 2.2. طیف دامنه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی: a - با چرخه کاری بزرگ. ب - با چرخه کاری کم
مثال 2.2. سری فوریه از یک دنباله تناوبی از پالس تشکیل شده است سیگنال هارمونیکنوعی در سطح محدود است (فرض می شود که ).
اجازه دهید یک پارامتر خاص را معرفی کنیم - زاویه برش، که از رابطه کجا تعیین می شود
مطابق با این، مقدار برابر است با مدت زمان یک پالس، که به صورت زاویه ای بیان می شود:
ضبط تحلیلی پالس تولید کننده توالی مورد نظر شکل دارد
جزء توالی ثابت
ضریب دامنه هارمونیک اول
به طور مشابه، دامنه مولفه های هارمونیک در محاسبه می شود
نتایج به دست آمده معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:
جایی که به اصطلاح توابع برگ:
نمودار برخی از توابع برگ در شکل نشان داده شده است. 2.3.
برنج. 2.3. نمودارهای چند توابع اول برگ
فرم پیچیده سری فوریه.
تجزیه طیفی یک سیگنال تناوبی نیز می تواند به روشی تا حدی یونی با استفاده از سیستم انجام شود. توابع پایه، متشکل از نمایی با توان های خیالی:
به راحتی می توان فهمید که عملکردهای این سیستم تناوبی با یک دوره متعامد در بازه زمانی از
سری فوریه یک سیگنال تناوبی دلخواه در در این موردشکل می گیرد
با شانس
به طور معمول از شکل نمادگذاری زیر استفاده می شود:
بیان (2.11) یک سری فوریه به شکل مختلط است.
طیف سیگنال مطابق با فرمول (2.11) شامل مولفه هایی روی نیم محور فرکانس منفی و . در سری (2.11)، اصطلاحات با فرکانس های مثبت و منفی به صورت جفت ترکیب می شوند، به عنوان مثال: و مجموع بردارها ساخته می شوند - در جهت افزایش زاویه فاز، در حالی که بردارها در چرخش هستند. جهت مخالف. پایان بردار حاصل در هر لحظه از زمان، مقدار فعلی سیگنال را تعیین می کند.
این تفسیر بصری از تجزیه طیفی سیگنال تناوبی در پاراگراف بعدی استفاده خواهد شد.
2.1. طیف سیگنال های دوره ای
سیگنال دوره ای (جریان یا ولتاژ) نوعی تأثیر است که شکل سیگنال پس از یک بازه زمانی مشخص تکرار می شود. تی، که دوره نامیده می شود. ساده ترین شکلسیگنال تناوبی یک سیگنال هارمونیک یا سینوسی است که با دامنه، دوره و فاز اولیه مشخص می شود. همه سیگنال های دیگر خواهد بود غیر هارمونیکیا غیر سینوسی. می توان نشان داد و تمرین ثابت می کند که اگر سیگنال ورودی منبع تغذیه دوره ای باشد، تمام جریان ها و ولتاژهای دیگر در هر شاخه (سیگنال های خروجی) نیز دوره ای خواهند بود. در این صورت، شکل سیگنال در شاخه های مختلف با یکدیگر متفاوت خواهد بود.
یک تکنیک کلی برای مطالعه سیگنال‌های غیر هارمونیک دوره‌ای (تأثیرات ورودی و واکنش‌های آنها) در یک مدار الکتریکی وجود دارد که مبتنی بر گسترش سیگنال‌ها به یک سری فوریه است. این تکنیک شامل این واقعیت است که همیشه می توان یک سری سیگنال هارمونیک (یعنی سینوسی) با چنین دامنه ها، فرکانس ها و فازهای اولیه را انتخاب کرد که مجموع جبری مختصات آنها در هر زمان برابر با اردیت است. سیگنال غیر سینوسی تحت مطالعه بنابراین، به عنوان مثال، ولتاژ تودر شکل 2.1. را می توان با مجموع تنش ها جایگزین کرد، زیرا در هر لحظه از زمان یک برابری یکسان وجود دارد: 
. هر یک از اصطلاحات یک سینوسی است که فراوانی آن مربوط به دوره است تینسبت های عدد صحیح
برای مثال مورد بررسی، دوره اولین هارمونیک همزمان با دوره سیگنال غیر هارمونیک را داریم.تی 1 = تی، و دوره هارمونیک دوم دو برابر کوچکتر استتی 2 = تی/2، یعنی ارزش های آنیهارمونیک ها باید به شکل زیر نوشته شوند:
|
|
|
در اینجا دامنه نوسانات هارمونیک با یکدیگر برابر است ( 
) و فازهای اولیه صفر هستند.
برنج. 2.1. نمونه ای از اضافه کردن هارمونیک اول و دوم
در مهندسی برق به یک جزء هارمونیک که دوره آن برابر با دوره یک سیگنال غیر هارمونیک است گفته می شود. اولینیا پایه ایهارمونیک سیگنال تمام اجزای دیگر اجزای هارمونیک بالاتر نامیده می شوند. هارمونیکی که فرکانس آن k برابر بیشتر از هارمونیک اول باشد (و دوره، بر این اساس، k برابر کمتر) نامیده می شود.
k - هارمونیک. مقدار متوسط تابع در طول دوره نیز متمایز می شود که نامیده می شود خالیهارمونیک به طور کلی سری فوریه به صورت جمع نوشته می شود عدد بی نهایتاجزای هارمونیک فرکانس های مختلف:
|
|
(2.1) |
که در آن k عدد هارمونیک است. - فرکانس زاویه ای هارمونیک kth.
ω 1 = ω = 2 π / تی- فرکانس زاویه ای هارمونیک اول؛ - هارمونیک صفر
برای سیگنال‌های اشکال رایج، بسط سری فوریه را می‌توان در ادبیات تخصصی یافت. جدول 2 تجزیه برای هشت شکل موج دوره ای را نشان می دهد. لازم به ذکر است که بسط داده شده در جدول 2 در صورتی انجام می شود که مبدأ سیستم مختصات همانطور که در شکل های سمت چپ نشان داده شده است انتخاب شود. هنگام تغییر شروع زمان تیفازهای اولیه هارمونیک ها تغییر می کند، اما دامنه هارمونیک ها ثابت می ماند. بسته به نوع سیگنال مورد مطالعه، V باید به عنوان یک مقدار اندازه گیری شده بر حسب ولت، اگر سیگنال ولتاژ باشد، یا مقدار اندازه گیری شده بر حسب آمپر، اگر سیگنال جریان باشد، درک شود.
بسط سری فوریه توابع تناوبی
جدول 2
|
برنامه f(تی) |
سری توابع فوریهf(تی) |
توجه داشته باشید |
|
|
k=1،3،5،... |
|
|
|
k=1،3،5،... |
|
|
|
k=1،3،5،... |
|
|
|
k=1,2,3,4,5 |
|
|
|
k=1،3،5،... |
|
|
|
k=1,2,3,4,5 |
|
|
|
|
S=1,2,3,4,.. |
|
|
k=1,2,4,6,.. |
سیگنال های 7 و 8 از یک سینوسی توسط مدارهایی با استفاده از عناصر شیر تولید می شوند.
مجموعه ای از اجزای هارمونیک که یک سیگنال غیر سینوسی را تشکیل می دهند، طیف این سیگنال غیر هارمونیک نامیده می شود. از این مجموعه هارمونیک ها جدا و متمایز می شوند دامنهو فازدامنه. طیف دامنه مجموعه ای از دامنه های همه هارمونیک ها است که معمولاً با نموداری به شکل مجموعه ای از خطوط عمودی نشان داده می شود که طول آن ها (در مقیاس انتخابی) متناسب با مقادیر دامنه هارمونیک است. اجزاء، و مکان در محور افقی توسط فرکانس (عدد هارمونیک) این جزء تعیین می شود. به طور مشابه، طیف فاز به عنوان یک مجموعه در نظر گرفته می شود فازهای اولیههمه هارمونیک ها آنها همچنین به عنوان مجموعه ای از خطوط عمودی مقیاس نشان داده می شوند.
لازم به ذکر است که فازهای اولیه در مهندسی برق معمولاً در بازه 180-0 تا 180+0 اندازه گیری می شوند. طیف های متشکل از خطوط منفرد نامیده می شوند خطی یا گسسته. خطوط طیفی در یک فاصله قرار دارند fاز یکدیگر، کجا f- فاصله فرکانس، برابر فرکانساول هارمونیک f.بدین ترتیب، طیف های گسستهسیگنال های دوره ای دارای اجزای طیفی با فرکانس های متعدد هستند - f, 2f, 3f, 4f, 5fو غیره.
مثال 2.1.دامنه و طیف فاز یک سیگنال مستطیلی را زمانی که مدت زمان سیگنال های مثبت و منفی برابر است و میانگین مقدار تابع در طول دوره صفر است را بیابید.
|
تو(تی) = Vat0<تی<تی/2 |
تو(تی) = -Vat تی/2<تی<تی |
برای سیگنال های فرم های ساده و پرکاربرد، توصیه می شود با استفاده از جداول راه حلی پیدا کنید.
برنج. 2.2. طیف دامنه خط یک سیگنال مستطیلی
از بسط سری فوریه یک سیگنال مستطیل شکل (نگاه کنید به جدول 2 - 1) نتیجه می شود که سری هارمونیک فقط شامل هارمونیک های فرد است، در حالی که دامنه هارمونیک ها به نسبت عدد هارمونیک کاهش می یابد. طیف خط دامنه هارمونیک ها در شکل 1 نشان داده شده است. 2.2. هنگام ساخت، فرض می شود که دامنه هارمونیک اول (ولتاژ در اینجا) برابر با یک ولت است: B; سپس دامنه هارمونیک سوم برابر با B، پنجم - B و غیره خواهد بود. فازهای اولیه همه هارمونیک های سیگنال برابر با صفر هستند، بنابراین، طیف فاز فقط مقادیر اردیتی صفر دارد.
مشکل حل شده است.
مثال 2.2.دامنه و طیف فاز را برای ولتاژی که مطابق قانون متغیر است پیدا کنید: در - تی/4<تی<تی/4; تو(تی) = 0 در تی/4<تی<3/4تی. چنین سیگنالی از یک سینوسی با حذف (توسط مدار با استفاده از عناصر شیر) قسمت منفی سیگنال هارمونیک تولید می شود.
الف)ب)
برنج. 2.3. طیف خط سیگنال یکسوسازی نیمه موج: الف) دامنه. ب) فاز
برای سیگنال یکسوسازی نیم موج ولتاژ سینوسی (جدول 2-8 را ببینید)، سری فوریه شامل یک جزء ثابت (هارمونیک صفر)، اولین هارمونیک، و سپس مجموعه ای از هارمونیک های زوج است که دامنه آن به سرعت با کاهش می یابد. افزایش عدد هارمونیک به عنوان مثال، اگر مقدار V = 100 V را قرار دهیم، با ضرب هر جمله در ضریب مشترک 2V/π، متوجه می شویم(2.2)
دامنه و طیف فاز این سیگنال در شکل 2.3a، b نشان داده شده است.
مشکل حل شده است.
مطابق با نظریه سری فوریه، برابری دقیق یک سیگنال غیر هارمونیک با مجموع هارمونیک ها تنها برای تعداد بی نهایت زیادی هارمونیک اتفاق می افتد. محاسبه اجزای هارمونیک در رایانه به شما امکان می دهد هر تعداد هارمونیک را تجزیه و تحلیل کنید، که با هدف محاسبه، دقت و شکل اثر غیر هارمونیک تعیین می شود. اگر مدت زمان سیگنالتی صرف نظر از شکل آن، بسیار کمتر از دوره تی، سپس دامنه هارمونیک ها به آرامی کاهش می یابد و برای توصیف کامل تر سیگنال باید تعداد زیادی از اصطلاحات سری را در نظر گرفت. این ویژگی را می توان برای سیگنال های ارائه شده در جدول 2 - 5 و 6، در صورت وجود شرط ردیابی کرد. τ <<تی. اگر یک سیگنال غیر هارمونیک از نظر شکل نزدیک به یک سینوسی باشد (به عنوان مثال، سیگنال های 2 و 3 در جدول 2)، هارمونیک ها به سرعت کاهش می یابد و برای توصیف دقیق سیگنال کافی است خود را به سه تا پنج محدود کنیم. هارمونیک های سری
جایی که ، 
- فرکانس هارمونیک بنیادی،
() - هارمونیک های بالاتر؛ (شامل ) و ضرایب فوریه هستند.
|
|
,
محاسبه مولفه ثابت (مقدار متوسط) تابع با استفاده از یک عبارت جداگانه به دست آمده از:
|
|
، سپس 
, بدیهی است که اگر سیگنال یک تابع زوج از زمان باشد، در نمایش مثلثاتی سری فوریه (1.14) فقط اجزای کسینوس باقی می‌مانند، زیرا ضرایب به صفر می‌رسند. برعکس، برای سیگنالی که با یک تابع فرد از زمان تعریف می شود، ضرایب به صفر تبدیل می شوند و سری شامل اجزای سینوسی است.
اغلب راحت است که عبارت (1.15) را در شکل دیگری معادل سری فوریه نشان دهیم:
|
|
,که در آن، دامنه است، 
- فاز اولیه - هارمونیک ها.
در شکل شکل 1.10 نمودارهایی را نشان می دهد که نمایش یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را با تعداد محدودی از جمله () سری فوریه نشان می دهد.
برای تابع (شکل 1.10)، بسط دارای شکل است
دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی به عنوان نتیجه افزودن یک جزء ثابت و سیگنال های سینوسی با فرکانس ها نشان داده می شود و دوره سینوسی با فرکانس با دوره توالی پالس منطبق است. برای راحتی، می توان آن را در فرم نشان داد.
مجموعه تمام اجزای هارمونیک بسط سری فوریه یک تابع را طیف تابع می نامند.
وجود اجزای هارمونیک منفرد طیف و بزرگی دامنه ها را می توان با استفاده از یک نمودار طیفی به وضوح نشان داد (شکل 1.11)، که در آن محور افقی به عنوان محور فرکانس و محور عمودی به عنوان محور دامنه عمل می کند.
نقاط روی محور فرکانس دامنه مولفه های هارمونیک مربوط به بسط تابع را نمایش می دهند.
به راحتی می توان متوجه شد که نمودار مجموع دو عبارت اول بسط (1.16) فقط در ویژگی های اصلی آن، شکل نمودار تابع را بسیار تقریبی بازتولید می کند. در نظر گرفتن عبارت سوم به طور قابل توجهی توافق جمع با تابع را بهبود می بخشد. بنابراین، با افزایش تعداد هارمونیک ها، دقت نمایش افزایش می یابد.
در عمل، نمودارهای طیفی به طور خلاصه تر نامیده می شوند - طیف دامنه، طیف فاز. اغلب مردم به طیف دامنه علاقه دارند (شکل 1.11). می توان از آن برای تخمین درصد هارمونیک ها، حضور و سطوح تک تک اجزای هارمونیک طیف استفاده کرد.
مثال 1.1. اجازه دهید دنباله ای تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی با پارامترهای شناخته شده (،،،) را در یک سری فوریه بسط دهیم (شکل 1.12)، حتی نسبت به نقطه:
.
برای نمایش این سیگنال از فرم سری فوریه به شکل (1.12) استفاده می کنیم. برای نمایش طیفی دنباله ای از پالس های مستطیلی، توصیه می شود نقطه مرجع را در وسط پالس بگیرید. در واقع، در این حالت، تنها اجزای کسینوس در بسط باقی می‌مانند، زیرا انتگرال‌های توابع فرد در یک دوره برابر با صفر bk=0 است.
با استفاده از فرمول (1.14) ضرایب را پیدا می کنیم:
, 
,
به ما اجازه می دهد سری فوریه بنویسیم:
,
چرخه وظیفه توالی پالس کجاست.
برای ساختن نمودارهای طیفی برای داده های عددی خاص، ضرایب هارمونیک را فرض و محاسبه می کنیم. نتایج حاصل از محاسبه هشت جزء اول طیف در , و 8 در جدول خلاصه شده است. 1.1 و نمودارهای طیفی ساخته شده در شکل 1.13.
جدول 1.1. دامنه مولفه های طیفی برای یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی
از مثال فوق چنین بر می آید که با افزایش چرخه وظیفه، تعداد اجزای طیفی افزایش و دامنه آنها کاهش می یابد.
انتخاب تعداد مولفه های طیفی به شکل سیگنال و دقت نمایش آن توسط سری فوریه بستگی دارد. یک تغییر صاف در شکل موج نسبت به یک شکل موج ناگهانی به هارمونیک های کمتری برای همان دقت نمایش نیاز دارد. برای نمایش تقریبی پالس های مستطیلی، در عمل معمولاً سه تا پنج هارمونیک کافی در نظر گرفته می شود.
آ) دنباله پالس مستطیلی .
شکل 2. توالی پالس های مستطیلی.
این سیگنال یک عملکرد یکنواخت است و استفاده از آن راحت است شکل سینوسی کسینوس سری فوریه:
. (17)
مدت زمان پالس ها و دوره تکرار آنها در فرمول به دست آمده به صورت یک نسبت گنجانده شده است که به آن می گویند. چرخه وظیفه توالی پالس :.
. (18)
مقدار مدت ثابت سری با در نظر گرفتن 
مربوط به:
.
نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه به شکل زیر است:
. (19)
نمودار تابع دارای یک الگوی لوب است. محور افقی در اعداد و فرکانس هارمونیک درجه بندی می شود.
شکل 3. نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی
در قالب یک سری فوریه.
عرض گلبرگ، که در تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر است با چرخه وظیفه (در، داریم، اگر). این حاکی از ویژگی مهم طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی است - در آن هیچ هارمونیکی با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد . فاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر با فرکانس تکرار پالس است. عرض لوب ها، اندازه گیری شده در واحد فرکانس، برابر است، یعنی. با طول مدت سیگنال نسبت معکوس دارد. می توانیم نتیجه بگیریم: هرچه نبض کوتاهتر باشد، طیف گسترده تر است .
ب) سیگنال رمپ .
شکل 4. موج رمپ.
سیگنال دندان اره ای در یک دوره با یک تابع خطی توصیف می شود
, 
. (20)
این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه آن به شکل سینوسی کسینوس فقط شامل اجزای سینوسی است:
سری فوریه سیگنال دندان اره به شکل زیر است:
برای طیف سیگنال های مستطیلی و دندانه ای مشخص است که دامنه هارمونیک ها با افزایش اعداد به نسبت کاهش یابد .
V) توالی پالس مثلثی .
سری فوریه به شکل زیر است:
شکل 5. توالی پالس های مثلثی.
همانطور که می بینیم، برخلاف دنباله ای از پالس های مستطیلی و دندانه ای، برای سیگنال تناوبی مثلثی، دامنه هارمونیک ها متناسب با توان دوم اعداد هارمونیک کاهش می یابد. این به دلیل این واقعیت است که میزان فروپاشی طیف به آن بستگی دارد درجه یکنواختی سیگنال
سخنرانی شماره 3. تبدیل فوریه.
ویژگی های تبدیل فوریه
سیگنال های دوره ای را می توان به یک سری فوریه گسترش داد. علاوه بر این، آنها به عنوان مجموع توابع هارمونیک یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، ارائه می شوند. برای اینکه چنین تجزیه ای وجود داشته باشد، یک قطعه سیگنال به مدت یک دوره باید شرایط دیریکله را برآورده کند:
1. نباید ناپیوستگی های نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه های تابع تا بی نهایت).
2. تعداد ناپیوستگی های نوع اول (پرش) باید متناهی باشد.
تعداد افراط باید محدود باشد.
سری فوریه را می توان نه تنها برای نشان دادن سیگنال های دوره ای، بلکه سیگنال های با مدت زمان محدود نیز استفاده کرد. در این حالت یک بازه زمانی مشخص می شود که سری فوریه برای آن ساخته می شود و در زمان های دیگر سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب یک سری، این رویکرد در واقع به معنای ادامه متناوب سیگنال فراتر از مرزهای بازه در نظر گرفته شده است.
روش های فوریه برای تجزیه و تحلیل مدارها یا سیستم های خطی استفاده می شود: برای پیش بینی واکنش (پاسخ) سیستم. برای تعیین تابع انتقال؛ برای ارزیابی نتایج آزمون
یک سیگنال تناوبی دلخواه از طریق تعداد بی نهایت هارمونیک با افزایش فرکانس بیان می شود:
|
|
اعضای اصلی؛ |
|||
|
|
شرایط هارمونیک (برای n> 1، n یک عدد صحیح است). |
|||
|
|
ضرایب هارمونیک؛ |
|||
|
|
مدت یا جزء ثابت جریان مستقیم. |
|||
دوره عملکرد 
باید برابر باشد 2πیا مضربی از مقدار؛ علاوه بر این عملکرد 
سری فوریه را می توان به عنوان "دستور تهیه" هر سیگنال تناوبی از اجزای سینوسی در نظر گرفت. برای اینکه این سری اهمیت عملی داشته باشد، باید همگرا شود، یعنی. مجموع جزئی یک سری باید حدی داشته باشد.
فرآیند ایجاد یک سیگنال تناوبی دلخواه از ضرایبی که اختلاط هارمونیک ها را توصیف می کند سنتز نامیده می شود. فرآیند معکوس محاسبه ضرایب را آنالیز می گویند. محاسبه ضرایب با این واقعیت آسان تر می شود که میانگین حاصلضرب های متقاطع یک موج سینوسی و یک موج کسینوس (و بالعکس) برابر با 0 است.
اجازه دهید مبنایی را در فضای هیلبرت معرفی کنیم: 
برای سادگی، متعارف بودن آن را فرض می کنیم.
سپس هر تابع 
از فضای هیلبرت می توان از طریق پیش بینی ها نشان داد 
بردار ایکسبر اساس محور پایه توسط یک سری فوریه تعمیم یافته:
سری های فوریه به ویژه در توصیف سیگنال های تناوبی دلخواه با انرژی محدود در هر دوره مفید هستند. علاوه بر این، می توان از آنها برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی با انرژی محدود در یک بازه محدود استفاده کرد. در عمل، انتگرال فوریه برای توصیف چنین سیگنال هایی استفاده می شود.
نتیجه گیری
1. سری فوریه به طور گسترده برای توصیف سیگنال های دوره ای استفاده می شود. انتگرال فوریه برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی استفاده می شود.
نتیجه
1. پیام ها، سیگنال ها و نویز به عنوان بردار (نقاط) در فضای خطی را می توان از طریق مجموعه ای از مختصات در یک مبنای معین توصیف کرد.
2. برای نیروگاه های حرارتی، فضای اقلیدسی n بعدی بیشترین توجه را هنگام نمایش سیگنال ها دارد. 
، فضای بی نهایت هیلبرت 
و فضای همینگ گسسته 2
n. در این فضاها مفهوم حاصلضرب اسکالر دو بردار معرفی می شود (ایکس,
y)
.
3. هر تابع پیوسته زمان به عنوان یک عنصر 
را می توان با یک سری فوریه تعمیم یافته در یک مبنای متعارف معین نشان داد.
ادبیات
اصلی:
تئوری ارتباطات الکتریکی: کتاب درسی. برای دانشگاه ها / A.G. زیوکو، دی. دی. کلوفسکی، وی. کورژیک، M. V. Nazarov؛ اد. D. D. Klovsky. – م.: رادیو و ارتباطات، 1377. – 433 ص.
اضافی:
Prokis J. ارتباطات دیجیتال: Trans. از انگلیسی / اد. DD. کلوفسکی. – م.: رادیو و ارتباطات، 1379. – 800 ص.
برنارد اسکلار. ارتباطات دیجیتال. مبانی نظری و کاربرد عملی: ترانس. از انگلیسی – م.: انتشارات ویلیامز، 2003. – 1104 ص.
سوخوروکوف A.S. تئوری ارتباطات الکتریکی: یادداشت های سخنرانی. قسمت 1. – M.: MTUSI, CENTER DO, 2002. – 65 p.
سوخوروکوف A.S. تئوری ارتباطات دیجیتال: کتاب درسی. قسمت 2. – M.: MTUSI, 2008. – 53 p.
