Studentët dhe nxënësit e shkollës - libra, matematikë, topologji. Karakteristikat e topologjisë unazore

Një bashkësi quhet hapësirë ​​topologjike kur jepet një familje e caktuar e nëngrupeve të saj të hapura që plotëson aksiomat. Ka shumë mënyra të mundshme për të përcaktuar strukturën e një hapësire topologjike në një grup të vetëm: nga diskrete në "topologji antidiskrete (=parëndësishme) jo-Hausdorff, duke ngjitur të gjitha pikat së bashku.

Konceptet bazë të teorisë së grupeve (bashkësia, funksioni, numrat rendorë dhe numrat kardinalë, aksioma e zgjedhjes, lema e Zornit, etj.) nuk i nënshtrohen topologji e përgjithshme, por përdoren në mënyrë aktive prej tij. Topologjia e përgjithshme përfshin seksionet e mëposhtme: vetitë e hapësirave topologjike dhe paraqitjet e tyre, operacionet në hapësirat topologjike dhe paraqitjet e tyre, klasifikimi i hapësirave topologjike.

Topologjia e përgjithshme përfshin teorinë e dimensioneve.

Histori

Topologjia e përgjithshme filloi në fund të shekullit të 19-të. dhe mori formë si shkencë e pavarur matematikore në fillim të shekullit të 20-të. Veprat themelore i përkasin F. Hausdorff , A. Poincaré , PS Alexandrov , PS Uryson , L. Brauer . Në veçanti, u zgjidh një nga problemet kryesore të topologjisë së përgjithshme - gjetja e kushteve të nevojshme dhe të mjaftueshme për metrizueshmërinë e një hapësire topologjike.

Zhvillimi më i shpejtë i topologjisë së përgjithshme si një degë e pavarur e dijes ndodhi në mesin e shekullit të 20-të, në fillim të shekullit të 21-të. përkundrazi është një disiplinë ndihmëse që “shërben” me aparatin e saj konceptual shumë fusha të matematikës: topologji, analizë funksionale, analizë komplekse, teori grafike etj.

Shiko gjithashtu

Vërejtje

• Koncepti i kufirit të një funksioni, i paraqitur në topologjinë e përgjithshme, mund të përgjithësohet më tej në kuadrin e teorisë së hapësirave pseudotopologjike.

Letërsia

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Momentet kryesore në zhvillimin e topologjisë teorike të grupeve
• Aleksandrov P.S. Hyrje në teorinë e grupeve dhe topologjinë e përgjithshme - M.: Nauka, 1977
• Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Bazat e Topologjisë së Përgjithshme në Probleme dhe Ushtrime - M .: Nauka, 1974
• Bourbaki N. Elementet e matematikës. Topologji e përgjithshme. Strukturat themelore - M .: Nauka, 1968
• Kelly J.L. Topologji e përgjithshme - M.: Nauka, 1968
• Engelking R. Topologji e përgjithshme - M .: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologjia Elementare. Tutorial në detyra (rus., eng.)

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

• Gulag
• Hapësira topologjike

Shihni se çfarë është "Topologjia e Përgjithshme" në fjalorë të tjerë:

TOPOLOGJIA E PËRGJITHSHME- një degë e gjeometrisë kushtuar studimit të vazhdimësisë dhe kalimit në kufirin në atë nivel natyror të përgjithësisë, i cili përcaktohet nga natyra e këtyre koncepteve. Konceptet fillestare të O.t. janë konceptet e hapësirës topologjike dhe të vazhdueshme ... ... Enciklopedia Matematikore

Algjebër e Përgjithshme- (gjithashtu algjebër abstrakte, algjebër më e lartë) një degë e matematikës që studion sistemet algjebrike (të quajtura ndonjëherë edhe struktura algjebrike), të tilla si grupe, unaza, fusha, grupe pjesërisht të renditura, grila dhe gjithashtu ... ... Wikipedia

Topologjia- Të mos ngatërrohet me topografinë. Ky term ka kuptime të tjera, shih Topologjinë (kuptimet). Sipërfaqja e shiritit Mobius ... Wikipedia

Topologjia- (nga greqishtja topos vend dhe ... logjika (Shih ... Logia) pjesë e gjeometrisë kushtuar studimit të fenomenit të vazhdimësisë (shprehur, për shembull, në konceptin e kufirit). Një sërë manifestimesh të vazhdimësisë në matematikë dhe gamë të gjerë te ndryshme...... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Topologjia Zariski- Ky artikull duhet të wikified. Ju lutemi, formatoni atë sipas rregullave për formatimin e artikujve. Topologjia Zariski në gjeometrinë algjebrike është një topologji e veçantë që pasqyron algjebrike në ... Wikipedia

TOPOLOGJIA- një degë e matematikës që merret me studimin e vetive të figurave (ose hapësirave) që ruhen nën deformime të vazhdueshme, të tilla si, për shembull, tensioni, ngjeshja ose përkulja. Deformimi i vazhdueshëm është një deformim i një figure në të cilën nuk ka ... ... Enciklopedia Collier

Pika e përbashkët (matematika)- Ky term ka kuptime të tjera, shih Pikën e përbashkët. Një pikë e përbashkët është një pikë në një hapësirë ​​topologjike mbyllja e së cilës përkon me të gjithë hapësirën. Një hapësirë ​​topologjike që ka një pikë të përbashkët është e pareduktueshme ... ... Wikipedia

topologji- Shpërndarja fizike ose logjike e nyjeve të rrjetit. Topologjia fizike përcakton lidhjet (kanalet) fizike ndërmjet nyjeve. Topologjia logjike përshkruan lidhjet e mundshme ndërmjet nyjeve të rrjetit. Në rrjetet lokale, më të zakonshmet janë tre ... ... Manuali Teknik i Përkthyesit

TOPOLOGJIA- në një kuptim të gjerë, fusha e matematikës që studion topologjike. vetitë ndryshojnë. matematikë. dhe fizike objektet. Intuitivisht, në topologjik përfshijnë veti cilësore, të qëndrueshme që nuk ndryshojnë me deformimin. Mat. formalizimi i idesë së një topologjike Vetitë ... ... Enciklopedia Fizike

Teoria e përgjithshme e sistemeve- (teoria e sistemeve) koncepti shkencor dhe metodologjik i studimit të objekteve që janë sisteme. Ai është i lidhur ngushtë me qasjen sistemore dhe është një specifikim i parimeve dhe metodave të tij. Versioni i parë i teorisë së përgjithshme të sistemeve ishte ... ... Wikipedia

libra

• Topologji e përgjithshme. Strukturat bazë, N. Bourbaki. Ky edicion i ri ka bërë mjaft numër i madh ndryshime në detaje; përveç kësaj, i gjithë plani i Ch. I dhe II për të rregulluar materialin në përputhje më të mirë me idetë e përgjithshme ...

E disponueshme me një licencë standarde ose të avancuar.

Topologjia është një grup rregullash që, së bashku me mjetet dhe teknologjitë e redaktimit, ju lejojnë të modeloni më saktë marrëdhëniet gjeometrike në një bazë gjeodatabase. Në ArcGIS, topologjia zbatohet përmes një grupi rregullash që përcaktojnë se si vendosen veçoritë në hapësirën gjeografike, si dhe përmes një grupi mjetesh redaktimi që zbatohen në mënyrë të barabartë për veçoritë me gjeometri të përbashkët. Topologjia ruhet në bazën gjeodatase si një ose më shumë marrëdhënie që përcaktojnë sesi veçoritë në një ose më shumë klasa tipare përdorin një gjeometri të përbashkët. Veçoritë që marrin pjesë në topologji janë klasa të thjeshta tiparet - topologjia nuk e ndryshon përkufizimin e një klase të veçorive, por është në vetvete një përshkrim i marrëdhënieve hapësinore të atyre veçorive.

Pse nevojitet topologjia?

Për një kohë të gjatë, topologjia ka qenë element kyç GIS, që shërben për menaxhimin e të dhënave dhe kontrollin mbi integritetin e tyre. Në përgjithësi, një model i të dhënave topologjike menaxhon marrëdhëniet hapësinore duke paraqitur objektet hapësinore (pikat, linjat dhe zonat) si diagrame të primitivëve topologjikë - nyjet, faqet dhe skajet. Këta primitivë, marrëdhëniet ndërmjet tyre dhe me objektet, kufijtë e të cilëve përfaqësojnë, përcaktohen duke hartuar gjeometrinë e veçorive në grafikun e elementit topologjik.

Topologjia përdoret kryesisht për të kontrolluar cilësinë e të dhënave me marrëdhënie hapësinore dhe gjithashtu për të ndihmuar në përpilimin e të dhënave. Në shumë raste, topologjia përdoret gjithashtu për të analizuar marrëdhëniet hapësinore - për shembull, për të hequr kufijtë midis poligoneve ngjitur që kanë të njëjtën vlerë atributi, ose për të lundruar në një rrjet elementësh në një grafik topologjik.

Topologjia përdoret gjithashtu për të modeluar integrimin e gjeometrisë midis shumëfishit klasa të ndryshme objektet hapësinore. Kjo nganjëherë referohet si integrim vertikal i klasave të veçorive.

Si veçoritë në një topologji ndajnë një gjeometri të përbashkët

Karakteristikat mund të ndajnë gjeometrinë brenda një topologjie. Më poshtë janë shembuj të veçorive të ndërlidhura:

• Objektet areale mund të përdorin kufijtë e përbashkët(topologjia poligonale).
• Karakteristikat e linjës mund të përdoren të zakonshme pikat fundore(topologjia e skajeve dhe e nyjeve).

Për më tepër, gjeometria e përbashkët mund të ndahet ndërmjet klasave të veçorive duke përdorur topologjinë e bazës së të dhënave gjeodale. Për shembull:

• Karakteristikat e linjës mund të ndajnë segmente.
• Objektet areale mund të kombinohen me objekte të tjera të zonës. Për shembull, tokë mund të paloset në katërsh.
• Tiparet e linjës mund të kenë kulme që janë të njëjta me tiparet e pikës (topologjia nodale).
• Objektet me pikë mund të kombinohen me ato lineare (ngjarje pikë).

Shënim:

Parcelat shpesh menaxhohen duke përdorur klasa të thjeshta të veçorive dhe topologji të bazës së gjeodatabaseve, sepse ka një grup klasash tiparesh të nevojshme për të modeluar parcelat, kufijtë, pikat e këndit dhe pikat e kontrollit ndiqni rregullat e përputhjes. Një mënyrë tjetër për të menaxhuar parcelat është përdorimi i një pëlhure parcelash që siguron automatikisht këto shtresa. Pëlhura e parcelës menaxhon topologjinë e saj të brendshme, kështu që nuk ka nevojë të mirëmbahet topologjia e bazës së gjeodatasave ose të kryhet ndonjë redaktim topologjik në shtresat e përdorura nga parcelat.

Dallimi kryesor midis rajoneve të modeluara si objekte të thjeshta, dhe parcelat në strukturën e parcelës është se në kufijtë e parcelës (linjat në strukturën e parcelës) nuk ndahen - çdo parcelë përmban komplet i plotë vijat kufitare; linjat e parcelave ngjitur mbivendosen dhe përkojnë me njëra-tjetrën.

Megjithatë, pëlhurat e parcelave mund të marrin pjesë në një topologji të bazës së të dhënave; atje, linjat kufitare të mbivendosura kanë gjeometri të ndryshme, linjat ndahen dhe grafiku i topologjisë ndërtohet si zakonisht.

Dy pamje: veçoritë dhe elementet e topologjisë

Një shtresë shumëkëndëshi mund të përshkruhet dhe përdoret:

• Si grupe tiparesh gjeografike (pika, vija dhe poligone)
• Si grafik i elementeve topologjike (nyjet, skajet, faqet dhe marrëdhëniet e tyre).

Kjo do të thotë se ekzistojnë dy mundësi për të punuar me objekte hapësinore: në një rast, ju punoni me objekte hapësinore që kanë dhënë koordinata, dhe në tjetrin, punoni me objekte të paraqitura si një grafik i renditur i elementeve topologjike.

Evoluimi i mbulimeve në topologjinë e bazës së gjeodatabaseve

Shënim:

Leximi i këtij seksioni nuk është i nevojshëm për të punuar me topologjinë e bazave të gjeodatave. Sidoqoftë, lexoni këtë seksion nëse jeni të interesuar për historinë e shfaqjes dhe zhvillimit të topologjisë në bazat gjeodatase.

Origjina e termave "Arc-not" dhe "Georational"

Mbulimet e stacionit të punës ArcInfo kanë një histori të gjatë përdorimi dhe kanë treguar rëndësinë e topologjisë në ruajtjen e integritetit hapësinor të të dhënave.

Modeli i të dhënave të mbulimit përmban artikujt e mëposhtëm.

Kufijtë e veçorive dhe pikat në mbulim u ruajtën në disa skedarë master të menaxhuar nga ArcInfo Workstation. Skedari "ARC" përmbante gjeometrinë e kufirit të linjës ose të poligonit në formën e skajeve topologjike të quajtura "harqe". Skedari "LAB" përmbante veçori pikash që përdoreshin si pikënisje për ndërtimin e poligoneve ose si veçori individuale të pikës, si p.sh. puse. Skedarët e tjerë u përdorën për të përcaktuar dhe ruajtur marrëdhëniet topologjike midis skajeve të poligonit.

Për shembull, skedari "PAL" ("Lista e harkut të shumëkëndëshit") përmbante rendin dhe drejtimin e harqeve të secilit shumëkëndësh. Duke përdorur logjikën e programimit në ArcInfo Workstation, koordinatat e secilit poligon u mblodhën për qëllime të shfaqjes, analizës dhe kërkimit të të dhënave. Lista e renditur e përmbajtur në skedarin PAL u përdor për të gjetur dhe mbledhur koordinatat e skajeve që ishin ruajtur në Skedari ARC. Montimi i shumëkëndëshave bëhej sipas nevojës gjatë punës.

Modeli i mbulimit kishte disa përparësi:

• Ajo përdori strukturë e thjeshtë për të ruajtur topologjinë.
• Ai lejoi që harqet të digjitalizoheshin një herë dhe të ruheshin, të cilat më pas u përdorën nga disa objekte hapësinore.
• Mund të shfaqë shumëkëndësha shumë të mëdhenj (mijëra pika koordinative). ato përfaqësoheshin si një grup skajesh (d.m.th. "harqe")
• Struktura e ruajtjes së topologjisë së mbulimit ishte intuitive. Skedarët e tij të topologjisë fizike kuptoheshin lehtësisht nga përdoruesit e ArcInfo Workstation.

Versionet e mëparshme:

Një fakt interesant historik: kombinimi i Arc me menaxherin e tabelës Info dha emrin e produktit ArcInfo Workstation, nga i cili kanë evoluar të gjitha produktet e mëvonshme Arc në familjen e produkteve Esri - ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS, etj.

Veshjet gjithashtu kishin disa disavantazhe:

• Disa operacione ishin të ngadalta për shkak të nevojës për të mbledhur një numër të madh objektesh në fluturim. Kjo përfshin të gjithë poligonet dhe objekte të përbëra, të tilla si rajonet (një term për shumëkëndëshat me shumë pjesë) dhe rrugët (karakteristikat e linjës së përbërë).
• Veçoritë topologjike (të tilla si poligonet, rajonet dhe rrugët) nuk ishin gati për përdorim derisa u ndërtua topologjia e mbulimit. Nëse skajet do të modifikoheshin, e gjithë topologjia duhej të rindërtohej. (Shënim: u përdor përfundimisht përpunimi i pjesshëm, duke lejuar që të rindërtohen vetëm pjesët e ndryshuara të topologjisë së mbulimit). Në thelb, gjatë redaktimit të veçorive të topologjisë, ishte e nevojshme të përdoret një algoritëm i analizës gjeometrike për të rindërtuar marrëdhëniet e topologjisë, pavarësisht nga modeli i ruajtjes së të dhënave të përdorur.
• Kopertinat nuk lejonin redaktimin nga shumë përdorues. Për shkak se kishte nevojë për të mbajtur grafikun e topologjisë në sinkron me gjeometrinë e veçorive, vetëm një përdorues mund ta modifikonte topologjinë në të njëjtën kohë. Përdoruesit duhet të ndajnë mbulimin në pjesë për redaktim të njëkohshëm. Kjo bëri të mundur që përdoruesit individualë të "mbyllnin" dhe modifikonin pjesën e tyre të të dhënave. Për të përdorur të gjithë grupin e të dhënave, përdoruesit duhej të kopjonin pjesët e tyre në shtresën e të dhënave të grupit. Me fjalë të tjera, grupet e të dhënave të fragmentuara që ata redaktuan nuk mund të përdoren menjëherë ndarjen. Së pari, ata duhej të konvertoheshin, që do të thoshte kohë dhe punë shtesë.

Shapefiles dhe ruajtje e thjeshtë gjeometrike

Në fillim të viteve 1980, mbulimet shiheshin si një përmirësim i rëndësishëm në sistemet e vjetëruara të poligonit dhe linjave, në të cilat poligonet ruheshin në sythe të mbyllura. Në këto sistemet e trashëgimisë, të gjitha koordinatat e veçorive u ruajtën së bashku me gjeometrinë e atyre veçorive. Përpara mbulimeve dhe stacionit të punës ArcInfo, u përdorën këto struktura të thjeshta poligonesh dhe linjash. Kjo strukturë e të dhënave ishte e thjeshtë por kishte disavantazh i rëndësishëm"kufijtë e dyfishtë të dixhitalizuar". ato. në gjeometrinë e secilit poligon me faqe të përbashkëta, u ruajtën dy kopje të koordinatave për seksionet ngjitur. E meta kryesore ishte ajo software GIS e asaj kohe nuk mund të menaxhonte integritetin e skajeve të përbashkëta. Për më tepër, kostoja e ruajtjes së informacionit ishte shumë e lartë, çdo bajt duhej të kursehej. Në fillim të viteve 1980, një hard disk 300 MB kishte madhësinë e Makinë larëse dhe kushton 30,000 dollarë. Ruajtja e dy ose më shumë grupeve të koordinatave ishte e shtrenjtë dhe llogaritjet morën shumë kohë kompjuterike. Kështu, përdorimi i një topologjie mbulimi kishte avantazhe reale.

Në mesin e viteve 1990, në sfondin e uljes së kostos së hapësirës në disk dhe rritjes së fuqisë llogaritëse, interesi për strukturat e thjeshta gjeometrike u rrit. Në të njëjtën kohë, grupet e të dhënave GIS u bënë më të aksesueshme dhe përdoruesit e GIS filluan të kalojnë nga përpilimi primar i të dhënave në përpunimin dhe analizën e tyre.

Përdoruesit donin përmirësime të performancës kur punonin me të dhëna (për shembull, duke mos pritur për llogaritjen e gjeometrisë së poligonit, e cila kërkohej në ky moment, por thjesht merrni sa më shpejt koordinatat e shumëkëndëshave). Të kesh gjeometrinë e plotë të veçorive në dispozicion është dëshmuar të jetë më efikase. Mijëra përdorues të GIS kanë krijuar sasi e madhe grupet e të dhënave të disponueshme.

Përafërsisht në të njëjtën kohë, Esri zhvilloi dhe publikoi formatin shapefile. Shapefiles përdorën një model shumë të thjeshtë për ruajtjen e koordinatave të veçorive. Çdo skedar i formës përfaqësonte një klasë të veçorive (pikë, vijë ose shumëkëndësh) dhe përdorte një model të thjeshtë për ruajtjen e koordinatave të veçorive. Shapefiles u krijuan lehtësisht nga mbulimet dhe formatet e tjera GIS. Ata u bënë shpejt formati de facto, u përhapën gjerësisht dhe janë ende në përdorim sot.

Disa vite më vonë, ArcSDE doli me një model të thjeshtë për ruajtjen e të dhënave në tabela. bazat e të dhënave relacionale të dhëna. Një tabelë e veçorive mund të ruajë një veçori të vetme si varg, së bashku me informacionin rreth gjeometrisë së tij si dhe atributet.

Një shembull i një tabele të tillë që përmban poligone të gjendjes është paraqitur më poshtë. Çdo rresht përfaqëson një gjendje. Kolona e formës përmban gjeometrinë e shumëkëndëshit të çdo shteti.

Kjo model i thjeshtë objektet hapësinore i përshtaten mirë motorit të përpunimit SQL. Falë përdorimit të bazave të të dhënave relacionale, rritja e vëllimit të të dhënave dhe numri i përdoruesve nuk çoi në ulje të performancës. Ne filluam të përdorim RDBMS për të menaxhuar të dhënat GIS.

Shapefiles janë bërë të kudondodhur dhe, falë ArcSDE, ky mekanizëm i thjeshtë ruajtjeje gjeometrike është bërë modeli kryesor i ruajtjes për veçoritë në RDBMS. (Në një përpjekje për të siguruar ndërveprimin e të dhënave, Esri luajti një rol udhëheqës në krijimin e specifikimeve të thjeshta gjeometrike OGC dhe ISO.)

Ruajtja e objekteve të thjeshta kishte përparësi të qarta:

• Gjeometria e plotë e secilës veçori përmbahet në një vijë të vetme. Asambleja nuk kërkohet.
• Struktura e të dhënave (skema fizike) është shumë e thjeshtë dhe jo vetëm e shpejtë, por edhe e shkallëzueshme.
• Lehtësia e ndërfaqes së shkrimit.
• Lehtësia e ndërveprimit. Ju lejon të krijoni me lehtësi konvertues për transferimin e të dhënave në një format të thjeshtë gjeometrie nga një numër i madh formatesh të tjera dhe anasjelltas. Shapefiles janë përdorur gjerësisht si një format i ruajtjes së të dhënave, si dhe një format shkëmbimi.

Një nga të metat e tyre ishte pamundësia për të përdorur topologjinë për të ruajtur integritetin e të dhënave gjatë punës me të objekte të thjeshta. Si rezultat, përdoruesit përdorën një model të dhënash për redaktim dhe ruajtje (mbulime) dhe një tjetër për përpunim (shapefiles ose shtresa ArcSDE).

Përdoruesit filluan të përdorin këtë qasje hibride për redaktimin dhe punën me të dhënat. Për shembull, përdoruesit mund të modifikojnë të dhënat në mbulime, skedarë CAD ose formate të tjera. Më pas, ata mund t'i konvertojnë të dhënat në skedarë të formës për përdorim në harta. Kështu, pavarësisht se struktura e objekteve të thjeshta është bërë format i përshtatshëm përdorimi i drejtpërdrejtë, ai nuk mbështeti redaktimin topologjik dhe menaxhimin e përbashkët të gjeometrisë. Bazat e të dhënave direkte mund të përdorin një strukturë të thjeshtë, por një formë tjetër topologjike u përdor për redaktim. Kjo dha përparësi kur punoni me të dhëna. Por, në të njëjtën kohë, të dhënat u vjetëruan, ato duhej të përditësoheshin. Kjo skemë funksionoi, por pati një vonesë në përditësimin e informacionit. Përfundimi është se nuk ka topologji.

GIS kërkonte një mekanizëm të ruajtjes së veçorive që përdor gjeometrinë e thjeshtë të veçorive dhe lejon që topologjia të përdoret së bashku me këtë strukturë të dhënash. Kjo do të thoshte që përdoruesit më në fund do të ishin në gjendje të kombinonin përfitimet e të dy qasjeve - një model të dhënash transaksionale që lejon pyetjet e topologjisë, bashkë-redaktimin dhe kontrollin e integritetit të të dhënave, dhe një mekanizëm të thjeshtë, shumë të shkallëzuar të ruajtjes së të dhënave bazuar në përdorimin e gjeometrisë së thjeshtë të objektit. .

Ky model i të dhënave u tregua i thjeshtë, i shpejtë dhe efikas. Kjo lejon redaktimi i drejtpërdrejtë dhe punë të njëkohshmeçdo numër përdoruesish.

Tabela e punës së topologjisë në ArcGIS

Në fakt, topologjia përfshin më shumë sesa thjesht një model të ruajtjes së të dhënave. Topologjia përfshin:

• Një model i plotë i të dhënave (objektet, rregullat e integritetit, mjetet e redaktimit dhe vërtetimit, një motor topologjiko-gjeometrik që ju lejon të përpunoni grupe të dhënash të çdo madhësie dhe kompleksiteti, si dhe një grup operatorësh topologjikë, metoda të shfaqjes dhe mjete për ndërtimin e pyetjeve).
• Formati i hapur i ruajtjes përdor një grup të dhënash tipi për të treguar objekte të thjeshta dhe një ndërfaqe topologjike për ndërtimin e pyetjeve, gjetjen e elementeve të topologjisë dhe trajtimin e marrëdhënieve hapësinore ndërmjet tyre (dmth., gjetjen e zonave ngjitur dhe skajeve të tyre të përbashkëta, lëvizjen përgjatë linjave të lidhura).
• Aftësia për të bashkëvepruar me objektet hapësinore (pikat, vijat dhe poligonet), elementet topologjike (nyjet, skajet, faqet) dhe marrëdhëniet e tyre.
• Mekanizmi që mund të mbështesë:
  • Të dhëna shumë të mëdha që përmbajnë miliona veçori.
  • Redaktim dhe përpunim i njëkohshëm nga përdorues të shumtë.
  • Gjeometria e veçorive e gatshme për përdorim, gjithmonë e disponueshme.
  • Mbështetje për integritetin dhe sjelljen topologjike.
  • Një sistem i shpejtë që shkallëzohet me numrin e përdoruesve dhe redaktorëve.
  • Sistem fleksibël dhe i thjeshtë.
  • Një sistem që përfiton nga mekanizmi SQL relacionale DBMS dhe mjedisi i transaksionit.
  • Një sistem që mbështet redaktimin e shumë përdoruesve, transaksionet e gjata, arkivimin historik dhe përsëritjen.

Në topologjinë e bazës së gjeodatabaseve, procesi i vlefshmërisë përcakton koordinatat e përbashkëta të veçorive (si brenda së njëjtës klasë të veçorive ashtu edhe ndërmjet klasave të veçorive). Algoritmi i grupimit ofron përputhje e saktë koordinatat e përbashkëta. Koordinatat e përbashkëta ruhen si pjesë e gjeometrisë së thjeshtë të çdo veçorie.

Kjo siguron një kërkim të shpejtë dhe të shkallëzuar për elementët topologjikë (nyjet, skajet dhe fytyrat). Një avantazh i shtuarështë të punosh me motorin SQL RDBMS dhe të menaxhosh transaksionet.

Kur redaktoni ose përditësoni të dhënat, veçoritë e reja mund të përdoren menjëherë pas shtimit. Zonat e përditësuara të hartës, të ashtuquajturat "zona të ndryshuara", janë shënuar në secilën klasë të veçorive. Në çdo kohë, përdoruesit mund të kryejnë analiza topologjike dhe vërtetimin e zonave të modifikuara. Rindërtimi kërkohet vetëm për topologjinë e zonave të ndryshuara, gjë që redukton kohën e nevojshme për përpunim.

Si rezultat, entitetet topologjike (nyjet, skajet dhe fytyrat), marrëdhëniet midis tyre dhe veçoritë të cilave u përkasin mund të zbulohen dhe mblidhen shpejt. Kjo topologji ka përparësitë e mëposhtme:

• Gjeometria e thjeshtë përdoret për të ruajtur objektet hapësinore. Modeli i ruajtjes është i hapur, efikas dhe i shkallëzuar për vëllime të mëdha dhe përdorues të shumtë.
• Modeli i të dhënave të objektit të thjeshtë është transaksional dhe me shumë përdorues. Modelet e mëparshme të të dhënave topologjike nuk u shkallëzuan dhe kishin kufizime të rënda për shumë përdorues.
• Topologjia e bazës së gjeodatabazës mbështet plotësisht të gjitha tiparet e transaksioneve të gjata dhe të dhënat e versionuara të bazës gjeodatase. Topologjia e bazës së gjeodatabases nuk ka nevojë të ndahet për punën me shumë përdorues, përdoruesit mund të modifikojnë bazën e të dhënave të topologjisë në të njëjtën kohë—madje edhe versionet e tyre të të njëjtave veçori.
• Klasat e veçorive mund të përmbajnë shumë nje numer i madh i objekte (qindra miliona), ndërkohë që performanca e tyre nuk ulet.
• Kjo zgjidhje topologjike është aditiv. Në mënyrë tipike, ju mund të shtoni një topologji në një skemë ekzistuese të klasave të veçorive të lidhura në hapësirë. Ose, do t'ju duhet të rikrijoni një skemë që ka aftësinë të përdorë primitivë topologjikë dhe të ngarkojë të dhënat hapësinore ekzistuese në të.
• Për të redaktuar gjeometrinë dhe për të punuar me të dhëna, si rregull, mjafton një model.
• Kjo është bërë e mundur duke përdorur Konsorciumin e Hapur Gjeohapësinor dhe specifikimet ISO për të ruajtur gjeometrinë e të gjitha veçorive.
• Modelimi i të dhënave është më i natyrshëm sepse ai bazohet në veçori të personalizuara (të tilla si parcelat, rrugët, llojet e tokës dhe pellgjet ujëmbledhëse) në vend të primitivëve topologjikë (nyjet, skajet dhe faqet). Përdoruesit fillojnë të operojnë me kategori të integritetit të të dhënave në lidhje me objektet reale, dhe jo të monitorojnë integritetin e primitivëve topologjikë. Për shembull, si duhet të sillen këto parcela? Kjo qasje thjeshton modelimin e të gjitha llojeve të veçorive gjeografike. Ai thjeshton paraqitjen e objekteve reale: rrugët, llojet e tokës, traktet e regjistrimit, shinat hekurudhore, pyjet, peizazhet, etj.
• Një topologji e bazës së gjeodatasave ofron të njëjtën përmbajtje si versionet e mëparshme të topologjisë—qoftë nëse ruani një grafik të linjës topologjike dhe llogaritni gjeometrinë e veçorive (si në mbulimet) ose ruani gjeometrinë e veçorive dhe topologjinë dhe marrëdhëniet llogaritëse (si në bazat e të dhënave). gjeodata).

Në rastet kur përdoruesit preferojnë të ruajnë primitivët topologjikë, ata mund të krijojnë tabela dhe të vendosin topologji dhe marrëdhënie në to për operacione të ndryshme analitike dhe për shkëmbimin e të dhënave (për shembull, nëse është e nevojshme vendosja e informacionit në Oracle Spatial, i cili ruan tabelat e primitivëve topologjikë ).

Nga pikëpamja praktike, zgjidhja e topologjisë ArcGIS funksionon. Ai shkallëzohet pa humbje të performancës, si për sa i përket vëllimit të të dhënave ashtu edhe për numrin e përdoruesve. Kjo ju lejon të përdorni një gamë të gjerë mjetesh rishikimi dhe redaktimi për të ndërtuar dhe manipuluar topologjinë në një bazë gjeodatabase. Ai përfshin mjete të fuqishme dhe fleksibël të modelimit të të dhënave që lejojnë përdoruesit të krijojnë sisteme të përshtatshme që funksionojnë si në nivelet e skedarëve ashtu edhe në nivelet e bazës së të dhënave relacionale dhe të përdorin çdo numër skemash.

Topologjia e përgjithshme zë një vend të veçantë në mesin e fushave të topologjisë. Aktualisht, topologjia e përgjithshme ka arritur atë nivel më natyral të gjeneralitetit, i cili lejon njeriun të paraqesë parimet, konceptet dhe konstruksionet topologjike me transparencën më të madhe dhe në të njëjtën kohë të sigurojë zbatueshmërinë e tyre sa më të gjerë në degët e tjera të matematikës.

Topologjia e përgjithshme është një degë e matematikës që studion vetitë e përgjithshme gjeometrike që ruhen nën hartëzimin e vazhdueshëm dhe një për një.

Së bashku me algjebrën, topologjia e përgjithshme përbën bazën e metodës moderne teorike të grupeve në matematikë.

Objektet e përcaktuara aksiomatikisht të studimit të topologjisë së përgjithshme janë hapësirat dhe pasqyrimet e vazhdueshme të tyre. Hapësira topologjike është një grup objektesh të një natyre arbitrare, të quajtura pika, në të cilat dallohet një sistem i caktuar nënbashkësish, të quajtur grupe të hapura të hapësirës. Ky sistem duhet të përfshijë të gjithë hapësirën dhe grupin bosh dhe të përmbajë, së bashku me çdo dy grupe, kryqëzimin e tyre dhe, së bashku me çdo grup grupesh, bashkësinë që është bashkimi i tyre.

Një ndikim i rëndësishëm në zhvillimin e topologjisë së përgjithshme u prezantua nga P.S. Aleksandrov koncepti i bikompaktësisë. Alexandrov dhe Uryson krijuan teorinë e hapësirave bikompakt. Hapësirat bikompakt janë një nga objektet kryesore të studimit në topologjinë e përgjithshme dhe aktualisht janë në fokusin e vëmendjes së matematikanëve. Ata po luajnë rol i rendesishem në teorinë e dimensioneve, teorinë e homologjisë dhe degët e tjera të topologjisë, dhe janë gjithashtu të një rëndësie parësore në analizën funksionale. Çdo hapësirë ​​krejtësisht e rregullt është një nëngrup i një hapësire kompakte Hausdorff.

Aktualisht, përkufizimi i mëposhtëm i një hapësire kompakte është më i zakonshmi: një hapësirë ​​quhet kompakte nëse, nga çdo mbulesë e hapur e kësaj hapësire, mund të zgjidhet një numër i kufizuar grupesh mbuluese.

Në literaturë mund të gjenden edhe klasa të tjera hapësirash të lidhura me ato bikompakt, për shembull, pseudokompakt, kuazikompakt. Hapësirat bikompakt zënë vendin kryesor midis tyre dhe luajnë të njëjtin rol në topologjinë e përgjithshme si hapësirat kompakte në klasën e hapësirave të metrizueshme.

Për më tepër, topologjia e përgjithshme i kushtohet studimit të koncepteve të vazhdimësisë, si dhe koncepteve të tjera si kompaktësia ose ndashmëria, si të tilla, pa përdorur mjete të tjera.

4. Hapësira topologjike

Hapësira topologjike është objekti kryesor i studimit të topologjisë. Koncepti i një hapësire topologjike mund të konsiderohet si një përgjithësim i konceptit të një figure gjeometrike, në të cilën ne abstragojmë nga vetitë si madhësia ose pozicioni i saktë i pjesëve të një figure në hapësirë, dhe fokusohemi vetëm në pozicionin relativ të pjesët. Hapësirat topologjike lindin natyrshëm në pothuajse të gjitha degët e matematikës.

Kështu, një hapësirë ​​topologjike përcaktohet përmes një sistemi grupesh të hapura me anë të aksiomave. Natyrisht, vetë ky koncept bazohet në konceptet e përgjithshme paraprake të "hapësirës" dhe "grupit të hapur".

Në matematikën moderne, hapësira përkufizohet si një grup abstrakt i objekteve arbitrare për të cilat jepet një veprim i caktuar që zbaton një marrëdhënie të njohur midis elementeve të hapësirës. Baza për ndërtimin e një teorie të kësaj apo asaj hapësire abstrakte është, nga njëra anë, koncepti i përgjithshëm matematikor i një grupi, i cili kuptohet si një koleksion arbitrar i çdo objekti (elementi), dhe nga ana tjetër, marrëdhëniet strukturore midis këto objekte të vendosura në një mënyrë të caktuar.

Le të jepet një bashkësi X. Një grup T i nëngrupeve të tij quhet topologji në X nëse vlejnë vetitë e mëposhtme:

Të gjitha X dhe grupi bosh i përkasin T,

Bashkimi i një familjeje arbitrare të bashkësive që i përkasin T i përket T,

Kryqëzimi i dy grupeve që i përkasin T-së i përket T.

Bashkësia X së bashku me topologjinë T të përcaktuar në të quhet hapësirë ​​topologjike. Nënbashkësitë e X që i përkasin T quhen bashkësi të hapura.

Nevoja për të zhvilluar një qasje të përgjithshme ndaj konceptit të hapësirës lindi shumë kohë më parë - në fund të fundit dhe në fillim të këtij shekulli. Në lidhje me zhvillimin e teorisë së funksioneve të një ndryshoreje reale dhe analiza funksionale lindën objekte të tjera - hapësira funksionale dhe nëngrupet e tyre - për studimin e të cilave kërkohen edhe konceptet dhe metodat e topologjisë së përgjithshme.

Aktualisht, metodat e kërkimit topologjik përdoren jo vetëm në analizë, por edhe në shumë degë të tjera të matematikës. Roli i metodave topologjike në ekuacionet diferenciale është i rëndësishëm. Si rezultat i sintezës së ideve të topologjisë së përgjithshme dhe analizës funksionale, lindi teoria e hapësirave vektoriale topologjike. Hapësirat topologjike abstrakte mund të shfaqen papritur dhe të aplikohen në fushat më të ndryshme të matematikës.

Koncepti tashmë i pranuar përgjithësisht i një hapësire topologjike nuk u shfaq menjëherë. Hapësirat metrike që u shfaqën më herët, të cilat edhe sot e kësaj dite janë një lëndë e rëndësishme e studimit të topologjisë së përgjithshme, nuk mund të kënaqnin matematikanët.

Përkufizimet e para mjaft të përgjithshme të një hapësire topologjike u dhanë nga Fréchet, Riesz dhe Hausdorff. Përkufizimi përfundimtar i një hapësire topologjike u formulua nga matematikani polak K. Kuratowski dhe P.S. Aleksandrov.

Për të specifikuar disa topologji Ω në bashkësinë X, nuk ka nevojë të specifikoni drejtpërdrejt të gjitha nëngrupet e familjes Ω. Ekziston një mënyrë tjetër shumë e përshtatshme për të ndërtuar një topologji duke përdorur konceptin e një baze.

Bashkësia β e bashkësive të hapura në hapësirën (X,Ω) quhet baza e topologjisëΩ ose hapësirë ​​bazë(X,Ω) nëse ndonjë grup i hapur jo bosh i hapësirës topologjike (X,Ω) mund të përfaqësohet si bashkim i disa grupeve që i përkasin β. Në veçanti, X është e barabartë me bashkimin e të gjitha grupeve të bazës.

Teorema 1.9.

Koleksioni β i bashkësive të hapura të topologjisë Ω është baza e kësaj topologjie nëse dhe vetëm nëse për ndonjë bashkësi të hapur U Ω dhe për çdo pikë x U ekziston një bashkësi V β e tillë që x V U.

Dëshmi. Le të jetë β baza e topologjisë Ω. U është një bashkësi e hapur arbitrare nga familja Ω, x është një pikë arbitrare e bashkësisë U. Më pas, sipas përcaktimit të bazës, bashkësia , ku është një familje e bashkësive që i përkasin bashkësisë β. Meqenëse x U, atëherë ekziston një indeks α 0 J i tillë që x V α0 β, dhe V α0 U. Në të kundërt, nëse U është një bashkësi e hapur arbitrare nga familja Ω, atëherë për çdo pikë x U ekziston një bashkësi V x. β të tillë që x V x U. Verifikohet drejtpërdrejt se bashkimi i të gjithë këtyre V x përkon me U: . Kështu, çdo grup i hapur nga familja Ω është bashkim i disa grupeve që i përkasin β. Prandaj, β është, sipas përkufizimit, një bazë e topologjisë Ω.

Teorema është vërtetuar.

Sistemi i nëngrupeve S α nga X quhet të veshura X nëse bashkimi përkon me X. Mbulesa S quhet hapur, nëse çdo S α është e hapur në hapësirën (X,Ω).

Në veçanti, baza e hapësirës (X,Ω) është një mbulesë e hapur e X. Megjithatë, jo çdo mbulesë e X mund të jetë baza e ndonjë topologjie në X.

Shtrohet pyetja: nëse është një mbulim i X-it, atëherë në çfarë kushtesh është e mundur të ndërtohet një topologji në X në mënyrë që familja e dhënë të jetë baza e kësaj topologjie? Teorema e mëposhtme i përgjigjet kësaj pyetjeje.

Teorema 1.10.

Le . Një mbulesë β = është një bazë e ndonjë topologjie në X nëse dhe vetëm nëse për secilën V α nga β, çdo V β nga β, dhe për secilën pikë x V α V β ekziston një V γ β e tillë që x V γ ( V α V β).

Dëshmi. Le të jetë β = baza e hapësirës (X,Ω). Meqenëse β Ω, atëherë, në bazë të aksiomës c) të një hapësire topologjike, kryqëzimi i çdo dy grupesh nga koleksioni β është një bashkësi e hapur, d.m.th. V α V β Ω. Prandaj, nga teorema 1.9, për çdo pikë x V α V β ka V γ β të tillë që x V γ (V α V β).

Anasjelltas, le që mbulesa β të kënaqë hipotezat e teoremës. Përcaktojmë një familje Ω që përbëhet nga bashkësia boshe dhe të gjitha bashkimet e mundshme të bashkësive nga β. Le të tregojmë se familja e ndërtuar Ω plotëson aksiomat a) - c) të një hapësire topologjike. Aksioma a) është e qartë: bashkësia e zbrazët hyn në Ω me supozim, dhe bashkësia i përket Ω si bashkim i të gjitha bashkësive nga β. Le të kontrollojmë aksiomën b). Le të jetë një familje grupesh, ku U α Ω për çdo indeks α nga J. Çdo grup U α është bashkimi i disa grupeve nga β: ku V α,γ β për çdo indeks α J dhe çdo indeks γ G. Pastaj, dmth. bashkësia është bashkimi i disa grupeve nga β dhe, për rrjedhojë, i përket familjes Ω. Për të verifikuar aksiomën c), mjafton të tregojmë se kryqëzimi i çdo dy bashkësive U, nga Ω. i përket Ω. Le t'i paraqesim bashkësitë U në formën e mëposhtme: ku V γ β për çdo γ G, δ β për çdo δ D. Merrni parasysh kryqëzimin . Le të verifikojmë fillimisht se çdo grup i formës V γ δ i përket Ω. Në të vërtetë, për çdo pikë x V γ δ, sipas kushtit të teoremës, ekziston një bashkësi W x β e tillë që x W x V γ δ . Prandaj, bashkësia V γ δ = . Barazia që rezulton tregon se bashkësia V γ δ Ω është bashkimi i disa familjeve të bashkësive nga koleksioni β. Prandaj, bashkësia U është bashkimi i disa familjeve të bashkësive që i përkasin Ω, dhe si rrjedhim, nga aksioma b), U Ω. Kështu, familja Ω plotëson aksiomat a) - c) të një hapësire topologjike, d.m.th. është një topologji në X, dhe mbulesa β është, sipas përkufizimit, një bazë për Ω.

Teorema është vërtetuar.

Vini re se në vërtetimin e teoremës 1.10, një metodë për ndërtimin e një topologjie në X tregohet nëse jepet një mbulesë β që plotëson hipotezat e teoremës.

A është e mundur të ndërtohet një topologji në X duke pasur parasysh një mbulesë arbitrare? Përgjigja për këtë pyetje jepet nga teorema e mëposhtme.

Teorema 1.11.

Le të jetë një mbulim arbitrar i grupit X. Atëherë familja e të gjitha kryqëzimeve të mundshme të fundme të elementeve nga S formon bazën e disa topologjive në X.

Dëshmi. Le të verifikojmë që mbulesa, ku K është një nënbashkësi e fundme arbitrare e I, plotëson kriterin bazë. Duke vënë në dukje se kryqëzimi i çdo dy elementi të familjes β është përsëri një element i familjes β, zbatojmë teoremën 1.10: për çdo bashkësi U α , V β që i përket β, vendosim V γ = V α V β . Atëherë V γ β si kryqëzim i një numri të fundëm bashkësive nga S. Prandaj, për çdo pikë x V α V β kemi: x V γ = (V α V β). Kështu, në bazë të teoremës 1.10, β është baza e disa topologjive në X.

Teorema është vërtetuar.

Familja γ e nëngrupeve të hapura të hapësirës (X,Ω) quhet topologjia parabazeΩ nëse familja β, e përbërë nga të gjitha kryqëzimet e mundshme të fundme të bashkësive nga γ, formon bazën e topologjisë Ω.

Teorema 1.11 thotë se çdo mbulesë e X është një parabazë e disa topologjive në X.

Natyrisht, çdo bazë e një hapësire është gjithashtu parabaza e saj. Në mënyrë tipike, një topologji ka shumë baza dhe nënbaza. Preferenca mund t'i jepet njërit ose tjetrit prej tyre, në varësi të problemit që zgjidhet.