Vektorë të rastësishëm

Dendësia e përbashkët e probabilitetit të dy ndryshoreve të rastit

Le të ketë funksioni derivate në lidhje me, si dhe një derivat të dytë të përzier. Dendësia e përbashkët (ose dydimensionale) e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve të rastësishme është funksioni

Le të shqyrtojmë vetitë kryesore të densitetit të probabilitetit dy-dimensional.

1. Raport i drejtë:

Për vërtetimin ne përdorim barazinë (51.1), atëherë:

Tani (50.2) nënkupton (51.2). Ky raport është i një rëndësie praktike, pasi lejon llogaritjen e probabilitetit që një vektor dydimensional të bjerë në një drejtkëndësh të përcaktuar nga segmente dhe përmes densitetit të probabilitetit.

2. Konsideroni rast i veçantë marrëdhëniet (51.2). Le të, atëherë (51.2) merr formën:

Kjo lidhje përcakton funksionin e shpërndarjes së probabilitetit në terma të densitetit të probabilitetit dhe është anasjellta e barazisë (51.1).

3. Konsideroni (51.2) nën kushtet: , atëherë nga (51.2) barazia vijon:

sepse - si probabilitet i një ngjarjeje të caktuar. Lidhja (51.5) quhet kushti i normalizimit për densitetin e probabilitetit.

4. Nëse është dendësia e probabilitetit të vektorit, dhe është densiteti i probabilitetit ndryshore e rastësishme, pastaj

Kjo barazi quhet veti e konsistencës së densitetit të rendit të dytë dhe densitetit të rendit të parë. Nëse dihet densiteti i rendit të dytë, atëherë me formulën (51.6) është e mundur të llogaritet densiteti i probabilitetit - një ndryshore e rastësishme. Po kështu,

Prova (51.6) merret në bazë të barazisë

Paraqesim përmes densitetit sipas (51.4), dhe përmes, pastaj nga (51.8) vijon

Diferencimi (51.9) në lidhje me çon në barazi (51.6), i cili plotëson vërtetimin.

5. Ndryshoret e rastësishme dhe quhen të pavarura nëse janë ngjarje të rastësishme dhe janë të pavarura për çdo numër dhe. Për variablat e pavarur të rastësishëm dhe:

Prova rrjedh nga përkufizimet e funksioneve dhe, . Meqenëse dhe janë variabla të rastësishme të pavarura, atëherë ngjarjet e formës: dhe janë të pavarura për çdo dhe. Kjo është arsyeja pse

Barazia (51.10) është e vërtetë. Dallojmë (51.10) në lidhje me u, pastaj sipas (51.1) marrim një pasojë për densitet:

6. Le të - zonë arbitrare në aeroplan, atëherë

Probabiliteti që një vektor të marrë ndonjë vlerë nga zona jepet nga integrali mbi densitetin e probabilitetit.

Le të shqyrtojmë një shembull të një vektori të rastësishëm me një shpërndarje uniforme probabiliteti që ka një densitet probabiliteti në një drejtkëndësh dhe - jashtë këtij drejtkëndëshi. Numri përcaktohet nga gjendja e normalizimit:

Kontributi i B.V. Gnedenko në zhvillimin e teorisë së probabilitetit

Në vitet 1930, vëmendja e Boris Vladimirovich u tërhoq nga problemet që lidhen me përmbledhjen e ndryshoreve të pavarura të rastit. Interesi për probleme të tilla u shfaq në matematikë që në shekullin e 17-të...

Statistikat e matematikës

Duke përdorur vlerësimet pikësore të parametrave të ligjit të shpërndarjes normale dhe shkruani densitetin e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes...

Variabla të rastësishme të vazhdueshme. Ligji i shpërndarjes normale

Le të jepet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga dendësia e shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se gjithçka vlerat e mundshme X i përkasin segmentit [a, b]. Le ta ndajmë këtë segment në n segmente të pjesshme të gjatësisë,......

Vektorë të rastësishëm

Në problemet me një rezultat të rastësishëm, zakonisht është e nevojshme të merret parasysh ndërveprimi i disa variablave të rastësishëm. Kjo natyrshëm çon në konceptin e variablave të rastësishme shumëdimensionale (vektoriale), ose një grup variablash të rastësishëm...

Vektorë të rastësishëm

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të kushtëzuar të një ndryshoreje të rastësishme nën kushtin është një funksion: . (53.1) Ne e zëvendësojmë relacionin (52.5) ​​në (53.1), pastaj. (53.2) Nga kjo rrjedh. (53.3) - formula e shumëzimit për dendësinë...

Vektorë të rastësishëm

Për variabla të rastësishme të pavarura dhe kovariancë. Në të kundërt, merrni parasysh një rast tjetër ekstrem, kur variablat e rastësishëm dhe janë të lidhura varësia funksionale: , (56.1) ku janë numrat. Le të llogarisim kovariancën e ndryshoreve të rastësishme dhe: . (56...

Vektorë të rastësishëm

Le të ketë një vektor të rastësishëm një funksion të shpërndarjes së probabilitetit dhe ekziston një derivat i pjesshëm, (61.1) atëherë funksioni quhet densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të vektorit të rastit ose - densiteti i probabilitetit dimensional ...

Vektorë të rastësishëm

Le të jenë variabla të rastësishëm që kanë funksionin e shpërndarjes së densitetit të përbashkët dhe probabilitetit të përbashkët. Le të jepen edhe funksionet dhe variablat. Në vend të argumenteve të funksionit, ne zëvendësojmë ndryshoret e rastësishme, më pas (64...

Vektorë të rastësishëm

66.1. Lidhja (65.11), e cila përcakton densitetin e probabilitetit të ndryshores së transformuar përmes densitetit të ndryshores së rastësishme origjinale, mund të përgjithësohet në rastin e transformimit të ndryshoreve të rastësishme ...

procese të rastësishme

Nëse ka një derivat, (71.1) atëherë ky derivat quhet shpërndarja -dimensionale e probabilitetit të densitetit proces i rastësishëm. Vetitë themelore të densitetit (71...

Teoria e probabilitetit

Një ndryshore e rastësishme është një variabël vlera numerike e së cilës mund të ndryshojë në varësi të rezultatit të një eksperimenti stokastik. Le të quajmë një ndryshore të rastësishme diskrete, vlerat e mundshme të së cilës formojnë një grup të fundëm...

Teoria e probabilitetit

Një ndryshore e rastësishme është një variabël vlera numerike e së cilës mund të ndryshojë në varësi të rezultatit të një eksperimenti stokastik. Një ndryshore e vazhdueshme është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i caktuar...

Teoria e probabilitetit dhe ndryshoret e rastit

Le të jepet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme i përkasin intervalit. Përkufizimi. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X...

Çfarë është një ndryshore e rastësishme

Ekzistojnë dy lloje të ndryshoreve të rastësishme: diskrete dhe të vazhdueshme. Diskrete janë ato variabla të rastësishme grupi i vlerave të të cilave është i kufizuar ose fiks. Një shembull i një ndryshoreje të rastësishme diskrete...

Elementet e teorisë së probabilitetit

Pritshmëria matematikore: Vlera (6) quhet pritshmëri matematikore. Në thelb, kjo është vlera mesatare, duke marrë parasysh peshën e zbatimit të vlerës aktuale. Për të sqaruar konceptin e peshës, do të pranojmë këtu që është një vlerë diskrete ...

Midis rrjedhave të rezultateve të ngjarjes X dhe ngjarjes Y zero. Prandaj, nëse do të kishte pavarësi stokastike, atëherë do të pritej që probabiliteti i X = 0 dhe Y = 3 do të ishte i barabartë me (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Në vend të kësaj, ky probabilitet është zero, duke konfirmuar kështu teoremën e pranuar të probabilitetit të kushtëzuar që densitetet e bashkimit nuk mund të nxirren nga dendësia e komponentëve të pakushtëzuar.

Dihej se si të përcaktohej koeficienti i korrelacionit në prani të vetëm densitetit të përbashkët dhe densiteteve të pakushtëzuara, por për një kohë të gjatë besohej se ishte e pamundur të përcaktohej densiteti i bashkimit, duke pasur vetëm dendësi të pakushtëzuara dhe koeficientin e korrelacionit të fluksit. Dhe kjo është pikërisht ajo që më duhej.

FUNKSIONI I DËNDËSISË SË NGJYSJEVE

Konsideroni sistemin e ekuacioneve të njëkohshme (2.1), për të cilin plotësohen kushtet e normalitetit (kushti 1) dhe renditja (kushti 2). Atëherë (i) dendësia e bashkimit (r/1, . . . r/n) varet nga (B0, R0, Ho) vetëm përmes parametrave të formës së reduktuar (R0, o) 5 (n) R0 dhe 1 janë globalisht të identifikueshme.

Në të vërtetë, le

vektor i kufizimit të rastësishëm b. Dendësia e shpërndarjes së komponentit 6 është e barabartë me

Shënoni me f dendësinë e shpërndarjes së përbashkët të përbërësve të vektorit b(w).

Duke përdorur këtë formulë, ju mund të përcaktoni probabilitetin e përbashkët (densitetin e probabilitetit të përbashkët) të këtyre SW-ve

Probabiliteti i përbashkët, funksioni i shpërndarjes së përbashkët, densiteti i probabilitetit të përbashkët nuk japin një ide të qartë të sjelljes së secilit prej përbërësve të SW të konsideruar dhe marrëdhëniet e tyre me njëri-tjetrin. Në këtë rast, ligjet e shpërndarjes për secilin nga komponentët e SW shumëdimensionale mund të ndërtohen. Për më tepër, secila prej tyre merr të njëjtat vlera, por me probabilitetet margjinale përkatëse ose funksionet e shpërndarjes marxhinale të llogaritura me formula (1.23), (1.24). Për shembull, një SW diskrete dy-dimensionale (X, Y) mund të jepet në formë tabelare

Çfarë është probabiliteti i përbashkët, funksioni i shpërndarjes së përbashkët, densiteti i probabilitetit të përbashkët

Jepni një shembull të një shpërndarjeje të përbashkët të densitetit të probabilitetit të dy ndryshoreve të rastësishme dhe vizatoni linjat e nivelit të tyre për kuptime të ndryshme koeficienti i korrelacionit të këtyre madhësive.

Ky supozim mund të rishkruhet analitikisht si më poshtë: aktivi /-dhe korporata gjeneron një rrjedhë të ardhurash X, (1), X, (2), ..., X, (T). Elementet e kësaj rryme janë variabla të rastësishëm që kanë një densitet të përbashkët shpërndarjeje të formës xL-U, (1), X, (2). .., X, (T)]. Përfitueshmëria e kor-

Ne do të shqyrtojmë kryesisht seritë kohore , të cilat kanë një shpërndarje të përbashkët të ndryshoreve të rastësishme X, . .., X ka një densitet të përbashkët të shpërndarjes p(x, x, ..., x).

Sipas supozimeve të tilla, dendësia e përbashkët e shpërndarjes së vektorëve të rastit ul,...,un ka formën

Meqenëse u, = y,T - xtB, atëherë duke kaluar nga ndryshoret u1,...,unk te ndryshoret y1,...,yn, marrim një shprehje për densitetin e përbashkët të vlerave të vektorëve y1. ,...,y në formë

Dihet se për f (x)- f(x,y)dy dhe ftj(y)- f(x,y)dx, dendësia e bashkimit

Të gjitha këto dendësi të kushtëzuara shprehen lehtësisht në termat e dendësisë së bashkimit

Për shkak të ndikimit të kombinuar të faktorëve të rastësishëm dhe sistematikë, parametrat teknologjikë dhe parametrat e produktit janë variabla të rastësishëm. Ato zakonisht shpërndahen sipas një shpërndarjeje normale normale ose të cunguar me një densitet shpërndarjeje f(x) (-)]

Për treqind vjet punë të përbashkët aktive të shumë gjeneratave të fizikantëve dhe matematikanëve, ishte e mundur të ndërtohej një ndërtesë harmonike - një sistem i modeleve matematikore të proceseve fizike. Kjo ndërtesë ka shumë kate. Ai bazohet në parimet që shërbejnë si bazë për modelet e fenomeneve fizike. Këto parime janë produkt i një zhvillimi të gjatë të shkencës, ato mishërojnë përvojën e ndikimit të njeriut në natyrën përreth tij, domethënë praktikë (në kuptimin filozofik të fjalës), vend i rëndësishëm në të cilat në shkencat natyrore zë një eksperiment në shkallë të plotë. Tre parimet e mekanikës, të formuluara nga Isak Njutoni, shërbejnë si bazë e mjaftueshme për ndërtimin e modeleve matematikore në mekanikë në rastin kur objektet me interes për ne mund të përshkruhen me një shkallë të mjaftueshme saktësie në formën e pikave materiale dhe shpejtësisë së tyre. janë larg shpejtësisë së dritës. Objektet e këtij lloji përfshijnë një klasë të gjerë fenomenesh të studiuara, duke filluar nga lëkundjet e lavjerrësit deri te fluturimi i kontrolluar. anije kozmike. Duke i shtuar tre parimeve të Njutonit parimet e përshkrimit të deformimit të një trupi të ngurtë, tashmë mund të përshkruajmë bashkëveprimin e trupave të ngurtë me dimensione të fundme. Duke iu shtuar parimeve të Njutonit parimin e konsiderimit të një lëngu si një mjedis të vazhdueshëm e të vazhdueshëm (d.m.th., duke neglizhuar strukturën e tij molekulare), parimin e përshkrimit të marrëdhënies midis densitetit dhe presionit, si dhe parimin e ruajtjes së masës, i cili ka formën të një ekuacioni me vazhdimësi mesatare, do të marrim një model matematikor të një lëngu.

Ky shembull tregon se shuma e probabiliteteve në kolonën e parë duhet të jetë e barabartë me densitetin e pakushtëzuar të lidhur me kolonën Rezultatet e mira (0.4). Kjo do të thotë, shuma e probabiliteteve të përbashkëta të luftës, krizës, stagnimit, paqes dhe prosperitetit, nga njëra anë, dhe rezultateve të mira, nga ana tjetër, duhet të jetë rreptësisht e barabartë me 0.4.

Vini re se nëse keni nevojë probabilitete të përbashkëta në çdo rresht dhe në secilën kolonë të përmbledhur në densitetin e pakushtëzuar të lidhur me çdo rresht dhe çdo kolonë (siç duhet të jetë), atëherë nuk do të ketë më nevojë të shqetësoheni se asnjë nga probabilitetet e përbashkëta nuk do të tejkalojë kufirin e sipërm (dhe , për sa kohë që të gjitha probabilitetet tuaja të përbashkëta janë më të mëdha ose të barabarta me 0, siç duhet të jenë, nuk ka nevojë të shqetësoheni nëse ato kalojnë kufirin e poshtëm). Për më tepër, nëse probabilitetet e përbashkëta në çdo rresht dhe çdo kolonë janë të barabarta me dendësinë e pakushtëzuar të lidhur me secilën rresht dhe secilën kolonë, atëherë

Dhimbjen e vërtetë më shkaktoi teorema e njohur e probabiliteteve të kushtëzuara, e cila thotë se dendësia e probabilitetit të përbashkët nuk mund të merret nga dendësia e probabilitetit të pakushtëzuar të përbërësve. Sipas këndvështrimit tradicional, besohej se në mungesë të pavarësisë stokastike, funksioni i densitetit të probabilitetit të përbashkët është unik, plotësisht i pavarur, i cili shfaqet si nga askund, domethënë nuk shprehet përmes funksioneve të të pakushtëzuarit. densitetet e komponentëve, por ekziston një funksion i ri, i pavarur i densitetit të probabilitetit, i cili nuk mund të rikthehet nga funksionet e densitetit të pakushtëzuar të përbërësve. Për ta parë këtë, merrni parasysh tabelën e mëposhtme, të huazuar nga Feller, të cilën e kemi ilustruar grafikisht në Fig. 3.1.

Shoqëria moderne shqiptare është ende më pak e prekur nga industrializimi se çdo tjetër shtet evropian rritja e qyteteve, shpërngulja e popullsisë nga fshatrat në qytete, nga një qytet në tjetrin, zhvendosja e njerëzve që punojnë në të njëjtën ndërmarrje në pjesë të ndryshme të qytetit, copëtimi (nuklearizimi) i familjeve në këtë vend nuk ka shkuar. për sa i përket, të themi, në Rusi. Jo vetëm në fshatra, por edhe në qytetet e Shqipërisë fqinjët e dinë që në fëmijëri

Dendësia e shpërndarjes së kushtëzuar. Le të jetë hapësira e probabilitetit algjebra e grupeve Borel në vijë, subalgjebra është shpërndarja e kushtëzuar e X në lidhje me algjebrën dhe ... Enciklopedia Matematikore

entropia diferenciale e një shpërndarje probabiliteti të kushtëzuar- Një masë e pasigurisë së shpërndarjes së probabilitetit të kushtëzuar të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, me kusht që të jepet vlera e një ndryshoreje tjetër të rastësishme të vazhdueshme, e mesatarizuar mbi vlerat e kësaj të fundit; shprehja e saj është ku w(xn, ym)=w(x1, ...,… … Manuali Teknik i Përkthyesit

FUNKSIONI I SHPËRNDARJES KUSHT- funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X në kushtin B, ku B ngjarje e rastësishme, P(B) > 0: Nëse X, Y janë variabla të rastësishme të vazhdueshme, f(x, y) është dendësia e përbashkët e tyre, atëherë dendësia e kushtëzuar e X, me kusht që Y të ketë pranuar të dhënën ... ... Enciklopedia Gjeologjike

Statistikat e porosive- Statistikat rendore në statistika matematikore kjo është një mostër e renditur në rritje. Kjo është një statistikë që zë një vend të përcaktuar rreptësisht në një popullsi të renditur. Përmbajtja 1 Përkufizimi 2 Shënime ... Wikipedia

MJAFT STATISTIKA- për një familje shpërndarjesh probabiliteti (Pq; ) ose për një parametër statistikor (ndryshore e rastësishme vektoriale) e tillë që për çdo ngjarje A ekziston një variant i probabilitetit të kushtëzuar Pq(A|X=x) i pavarur nga 9. Kjo është ekuivalente me kërkesa që…… Enciklopedia Matematikore

STATISTIKAT E RENDIT- një anëtar i serisë variacionale të ndërtuar sipas rezultateve të vëzhgimeve. Le të vërehet një vektor i rastësishëm X = (X 1, X 2, ..., X n), duke marrë vlerat x = (x 1, x 2, . . ., x n). në hapësirën Euklidiane n-dimensionale , dhe le të funksionojë, ...... Enciklopedia Matematikore

PROBABILITETET- (dendësia e shpërndarjes së probabilitetit) të një ndryshoreje të rastësishme X funksion p (x) i tillë që për çdo a Enciklopedia Fizike