Rrjeti Markov- Një rrjet Markov, një fushë e rastësishme Markov, ose një model grafik i padrejtuar është një model grafik në të cilin një grup variablash të rastësishëm kanë vetinë Markov të përshkruar nga një grafik i padrejtuar. Rrjeti Markov është ndryshe... Wikipedia

VEKTORI I RENDIT- statistika vektoriale R= =(R1, . . ., Rn), e ndërtuar nga një vektor i rastësishëm vëzhgimesh X= (X 1 .. ., X n), komponenti i i-të i tufës Ri=Ri(X), i=l, 2, . . ., n, përcaktohet nga rregulli ku funksioni karakteristik i grupit, d.m.th. Statistika Ri quhet ... Enciklopedia Matematikore

SHPËRNDARJE ME KUSHTështë një funksion i një ngjarjeje elementare dhe një grupi Borel, i cili për çdo ngjarje elementare fikse është një shpërndarje probabiliteti, dhe për çdo grup Borel fiks një probabilitet i kushtëzuar. Lëreni probabilistikën... ... Enciklopedia Matematikore

LIGJI I GAUSS- emri i përbashkët për shpërndarjen normale. Emri lidhet me rolin që luan kjo shpërndarje në gabimet e teorisë së K. Gauss. Dendësitë (ishin ata që fillimisht quheshin G.Z.) u shfaqën në veprën e K. Gauss. Teoria e levizjes...... Enciklopedia Matematikore

Vektor i rastësishëm

Funksioni i densitetit të probabilitetit të përbashkët të dy ndryshoreve të rastit

Le të ketë funksioni derivate në lidhje me, si dhe një derivat të dytë të përzier. Shpërndarja e përbashkët (ose dy-dimensionale) e densitetit të probabilitetit të ndryshoreve të rastësishme është funksioni

Le të shqyrtojmë vetitë themelore të densitetit të probabilitetit dy-dimensional.

1. Raporti i mëposhtëm është i drejtë:

Për ta vërtetuar këtë përdorim barazinë (51.1), pastaj:

Tani barazia (50.2) nënkupton (51.2). Kjo marrëdhënie ka një rëndësi praktike, pasi lejon llogaritjen e probabilitetit që një vektor dydimensional të bjerë në një drejtkëndësh të përcaktuar nga segmente dhe përmes densitetit të probabilitetit.

2. Shqyrtoni një rast të veçantë të relacionit (51.2). Pastaj (51.2) le të marrë formën:

Kjo lidhje përcakton funksionin e shpërndarjes së probabilitetit përmes densitetit të probabilitetit dhe është anasjellta e barazisë (51.1).

3. Konsideroni (51.2) nën kushtet: , atëherë nga (51.2) barazia vijon:

sepse - si probabilitet për një ngjarje të besueshme. Lidhja (51.5) quhet kushti i normalizimit për densitetin e probabilitetit.

4. Nëse është dendësia e probabilitetit të një vektori dhe është densiteti i probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, atëherë

Kjo barazi quhet veti e konsistencës së densitetit të rendit të dytë dhe densitetit të rendit të parë. Nëse dihet densiteti i rendit të dytë, atëherë duke përdorur formulën (51.6) mund të llogarisim densitetin e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme. Po kështu,

Ne marrim vërtetimin e (51.6) bazuar në barazinë

Le të përfaqësojmë përmes densitetit sipas (51.4), dhe përmes, pastaj nga (51.8) vijon

Diferencimi (51.9) në lidhje me çon në barazi (51.6), i cili plotëson vërtetimin.

5. Ndryshoret e rastësishme dhe quhen të pavarura nëse ngjarjet e rastësishme janë të pavarura dhe për çdo numër dhe. Për variablat e pavarur të rastësishëm dhe:

Prova rrjedh nga përkufizimet e funksioneve dhe, . Meqenëse dhe janë variabla të rastësishme të pavarura, atëherë ngjarjet e formës: dhe janë të pavarura për çdo dhe. Kjo është arsyeja pse

Barazia (51.10) është e vërtetë. Le të dallojmë (51.10) në lidhje me dhe, më pas sipas (51.1) marrim një përfundim për dendësinë:

6. Le të jetë një zonë arbitrare në aeroplan, atëherë

Probabiliteti që një vektor të marrë ndonjë vlerë nga rajoni përcaktohet nga integrali mbi densitetin e probabilitetit.

Le të shqyrtojmë një shembull të një vektori të rastësishëm me një shpërndarje probabiliteti uniform, i cili ka një densitet probabiliteti në një drejtkëndësh dhe jashtë këtij drejtkëndëshi. Numri përcaktohet nga gjendja e normalizimit:

Kontributi i B.V. Gnedenko në zhvillimin e teorisë së probabilitetit

Në vitet 1930, vëmendja e Boris Vladimirovich u tërhoq nga problemet që lidhen me përmbledhjen e ndryshoreve të pavarura të rastësishme. Interesi për probleme të tilla u shfaq në matematikë në shekullin e 17-të ...

Statistikat e matematikës

Përdorimi i vlerësimeve pikësore të parametrave të ligjit të shpërndarjes normale dhe shkruani densitetin e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes...

Variabla të rastësishme të vazhdueshme. Ligji i shpërndarjes normale

Le të përcaktohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga dendësia e shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të X i përkasin segmentit [a, b]. Le ta ndajmë këtë segment në n segmente të pjesshme të gjatësisë......

Vektor i rastësishëm

Në problemet me një rezultat të rastësishëm, zakonisht është e nevojshme të merret parasysh ndërveprimi i disa variablave të rastësishëm. Kjo natyrshëm çon në konceptin e ndryshoreve të rastësishme shumëdimensionale (vektoriale) ose një koleksion të disa ndryshoreve të rastësishme...

Vektor i rastësishëm

Shpërndarja e densitetit të probabilitetit të kushtëzuar të një ndryshoreje të rastësishme nën një kusht quhet funksioni: . (53.1) Ne e zëvendësojmë relacionin (52.5) ​​në (53.1), pastaj. (53.2) Kjo vijon. (53.3) - formula e shumëzimit për dendësinë...

Vektor i rastësishëm

Për variabla të rastësishme të pavarura dhe kovariancë. Në të kundërt, le të shqyrtojmë një rast tjetër ekstrem, kur variablat e rastësishëm dhe lidhen me një varësi funksionale: , (56.1) ku janë numrat. Le të llogarisim kovariancën e ndryshoreve të rastit dhe: . (56...

Vektor i rastësishëm

Le të ketë një vektor të rastësishëm një funksion të shpërndarjes së probabilitetit dhe të ketë një derivat të pjesshëm, (61.1) atëherë funksioni quhet densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të vektorit të rastit ose densiteti i probabilitetit dimensional...

Vektor i rastësishëm

Le të jenë variabla të rastësishëm që kanë një densitet të përbashkët dhe një funksion të përbashkët të shpërndarjes së probabilitetit. Le të jepen edhe funksionet dhe variablat. Në vend të argumenteve të funksionit, ne zëvendësojmë ndryshoret e rastësishme, më pas (64...

Vektor i rastësishëm

66.1. Lidhja (65.11), e cila përcakton densitetin e probabilitetit të ndryshores së transformuar përmes densitetit të ndryshores së rastësishme origjinale, mund të përgjithësohet në rastin e transformimit të ndryshoreve të rastit...

Proceset e rastësishme

Nëse ka një derivat, (71.1) atëherë ky derivat quhet shpërndarja -dimensionale e densitetit të probabilitetit të procesit të rastësishëm. Vetitë themelore të densitetit (71...

Teoria e probabilitetit

Një ndryshore e rastësishme është një sasi vlera numerike e së cilës mund të ndryshojë në varësi të rezultatit të një eksperimenti stokastik. Le të quajmë një ndryshore të rastësishme diskrete, vlerat e mundshme të së cilës formojnë një grup të fundëm...

Teoria e probabilitetit

Një ndryshore e rastësishme është një sasi vlera numerike e së cilës mund të ndryshojë në varësi të rezultatit të një eksperimenti stokastik. E vazhdueshme është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i caktuar...

Teoria e probabilitetit dhe variablat e rastit

Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme i përkasin segmentit. Përkufizimi. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X...

Çfarë është një ndryshore e rastësishme

Ekzistojnë dy lloje të variablave të rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme. Diskrete janë ato variabla të rastësishme grupi i vlerave të të cilave është i kufizuar ose fiks. Një shembull i një ndryshoreje të rastësishme diskrete...

Elementet e teorisë së probabilitetit

Pritshmëria matematikore: Vlera (6) quhet pritshmëri matematikore. Në thelb, është vlera mesatare duke marrë parasysh peshën e zbatimit të vlerës aktuale. Për të sqaruar konceptin e peshës, le të supozojmë këtu se është një sasi diskrete ...

Midis rrjedhave të rezultateve të ngjarjes X dhe ngjarjes Y është zero. Prandaj, nëse do të ndodhte pavarësia stokastike, atëherë do të prisnim që probabiliteti i X = 0 dhe Y = 3 të ishte i barabartë me (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Në vend të kësaj, ky probabilitet është i barabartë me zero, duke konfirmuar kështu të pranuarin teorema e probabilitetit të kushtëzuar se nga dendësia e pakushtëzuar e përbërësve nuk mund të fitohen dendësi nyjesh.

Dihej si të përcaktohej koeficienti i korrelacionit në prani të vetëm densitetit të nyjeve dhe densiteteve të pakushtëzuara, por për një kohë të gjatë besohej se ishte e pamundur të përcaktohej dendësia e nyjeve duke pasur vetëm dendësi të pakushtëzuara dhe koeficienti i korrelacionit përrenj. Dhe kjo është pikërisht ajo që më duhej.

FUNKSIONI I DENSITËS SË SHPËRNDARJES SË PËRBASHKËT

Le të shqyrtojmë sistemin e ekuacioneve të njëkohshme (2.1), për të cilin kushtet e normalitetit(kushti 1) dhe renditja (kushti 2). Pastaj, (i) dendësia e bashkimit (g/1,..., g/n) varet nga (Bo, Go, Ho) vetëm përmes parametrave të formës së reduktuar (Po, o) 5 (n) Po dhe 1 janë globalisht të identifikueshme.

Në të vërtetë, le

vektor i kufizimit të rastësishëm b. Dendësia e shpërndarjes komponentët 6, të barabartë me

Le të shënojmë me f dendësinë e shpërndarjes së përbashkët të përbërësve të vektorit b(w).

Duke përdorur këtë formulë, ju mund të përcaktoni probabilitetin e përbashkët (densitetin e probabilitetit të përbashkët) të këtyre SV-ve

Probabilitet i përbashkët, i përbashkët funksioni i shpërndarjes, densiteti i probabilitetit të përbashkët nuk jep një ide të qartë të sjelljes së secilit prej përbërësve të SV të konsideruar dhe marrëdhëniet e tyre me njëri-tjetrin. Në këtë rast, ato mund të ndërtohen ligjet e shpërndarjes secilin nga komponentët e SV shumëdimensionale. Për më tepër, secila prej tyre merr të njëjtat vlera, por me probabilitetet margjinale përkatëse ose margjinale funksionet e shpërndarjes, llogaritur duke përdorur formulat (1.23), (1.24). Për shembull, një SV diskrete dy-dimensionale (X, Y) mund të specifikohet në formë tabelare

Çfarë është probabiliteti i përbashkët, i përbashkët funksioni i shpërndarjes, dendësia e probabilitetit të përbashkët

Jepni një shembull të densitetit të nyjeve shpërndarjet e probabilitetit dy variablat e rastësishëm dhe vizatoni linjat e tyre të nivelit për vlera të ndryshme koeficienti i korrelacionit këto sasi.

Ky supozim mund të rishkruhet në mënyrë analitike si më poshtë: aktivi/at e korporatës gjenerojnë rrjedha e të ardhurave X, (1), X, (2),..., X, (T). Elementet e kësaj rrjedhe janë variablat e rastësishëm, që ka një densitet të përbashkët të shpërndarjes të formës xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Rentabiliteti i kor-

Ne do të konsiderojmë kryesisht seritë kohore, të cilët kanë një nyje shpërndarja e variablave të rastit X,. .., X ka një densitet të përbashkët të shpërndarjes p(x, x,..., x).

Sipas këtyre supozimeve, dendësia e shpërndarjes së përbashkët vektorë të rastësishëm ul,...,un ka formën

Meqenëse u = y,T - xtB, atëherë duke kaluar nga ndryshoret u,...,ipk te ndryshoret y1,...,yn, marrim një shprehje për densitetin e përbashkët të vlerave të vektorëve y1, ...,y në formë

Dihet se për f (x) - f(x,y)dy dhe ftj(y) - f(x,y)dx, dendësia e bashkimit

Të gjitha këto dendësi të kushtëzuara shprehen lehtësisht përmes densitetit të bashkimit

Për shkak të ndikimit të kombinuar të rastit dhe sistematik faktorët teknologjikë parametrat dhe parametrat e produkteve janë variablat e rastësishëm. Ato zakonisht shpërndahen sipas një ligji normal normal ose të cunguar me një densitet shpërndarjeje f(x) (-)]

Mbi treqind vjet punë të përbashkët aktive të shumë gjeneratave të fizikantëve dhe matematikanëve, ata arritën të ndërtojnë një ndërtesë harmonike - një sistem modele matematikore proceset fizike. Kjo ndërtesë përbëhet nga shumë kate. Ai bazohet në parimet që shërbejnë si bazë modele fizike dukuritë. Këto parime janë produkt i zhvillimit të gjatë të shkencës; ato mishërojnë përvojën e ndikimit të njeriut në natyrën rreth tij, pra praktikë (në kuptimin filozofik të fjalës), në të cilën zë një vend të rëndësishëm në shkencat natyrore. eksperiment në shkallë të plotë. Të formuluara tre parime të mekanikës Isak Njuton, shërbejnë si bazë e mjaftueshme për ndërtimi i modeleve matematikore në mekanikë në rastin kur objektet me interes për ne mund të përshkruhen me një shkallë të mjaftueshme saktësie në formën e pikave materiale dhe shpejtësitë e tyre janë larg shpejtësisë së dritës. Objektet e këtij lloji përfshijnë një klasë të gjerë fenomenesh që studiohen, duke filluar nga lëkundjet e një lavjerrës deri tek fluturimi i kontrolluar i një anije kozmike. Duke iu shtuar tre Njutonit parimet parimet duke përshkruar deformimin e një trupi të ngurtë, do të jemi në gjendje të përshkruajmë bashkëveprimin e trupave të ngurtë me dimensione të fundme. Duke i shtuar parimeve të Njutonit parimin e konsiderimit të një lëngu si një mjedis të vazhdueshëm e të vazhdueshëm (d.m.th., duke neglizhuar strukturën e tij molekulare), parimi i përshkrimit Komunikimi ndërmjet dendësia dhe presioni, si dhe parimi i ruajtjes së masës, i cili ka formën e ekuacionit të vazhdimësisë së mediumit, marrim modeli matematik lëngjeve.

Ky shembull tregon se shuma e probabiliteteve në kolonën e parë duhet të jetë e barabartë me densitetin e pakushtëzuar të lidhur me kolonën Rezultatet e mira (0.4). Kjo do të thotë, shuma e probabiliteteve të përbashkëta të luftës, krizës, stagnimit, paqes dhe prosperitetit, nga njëra anë, dhe rezultateve të mira, nga ana tjetër, duhet të jetë rreptësisht e barabartë me 0.4.

Vini re se nëse kërkoni që probabilitetet e përbashkëta në çdo rresht dhe çdo kolonë të shtohen në densitetin e pakushtëzuar të lidhur me çdo rresht dhe secilën kolonë (siç duhet), atëherë nuk keni më nevojë të shqetësoheni nëse ndonjë probabilitet i përbashkët do të tejkalojë atë të sipërm i lidhur (dhe për sa kohë që të gjitha probabilitetet tuaja të përbashkëta janë më të mëdha ose të barabarta me 0, siç duhet të jenë, nuk keni pse të shqetësoheni nëse ato kalojnë kufirin e poshtëm). Për më tepër, nëse probabilitetet e përbashkëta në çdo rresht dhe çdo kolonë janë të barabarta me dendësinë e pakushtëzuar të lidhur me secilën rresht dhe secilën kolonë, atëherë

Ajo që më shkaktoi vuajtje të vërtetë ishte teorema e njohur rreth probabilitete të kushtëzuara, i cili argumentoi se dendësia e probabilitetit të përbashkët nuk mund të merret nga e pakushtëzuara densitet probabiliteti komponent. Sipas këndvështrimi tradicional besohej se në mungesë të stokastikes funksioni i pavarësisë Dendësia e probabilitetit të përbashkët është unike, plotësisht e pavarur, e cila duket si nga askund, domethënë nuk shprehet përmes funksioneve të densitetit të pakushtëzuar të përbërësve, por është e re, e pavarur. funksioni i densitetit të probabilitetit, të cilat nuk mund të rikuperohen nga funksionet e dendësisë së pakushtëzuar të përbërësve. Për ta parë këtë, merrni parasysh tabelën e mëposhtme, të huazuar nga Feller, të cilën e kemi ilustruar grafikisht në Fig. 3.1.

Shoqëria moderne shqiptare është ende më pak e prekur nga industrializimi se çdo vend tjetër evropian nga rritja urbane. migrimi i popullsisë nga fshatrat në qytete, nga një qytet në tjetrin, zhvendosja e njerëzve që punojnë në një ndërmarrje në pjesë të ndryshme të qytetit, copëzimi (nuklearizimi) i familjeve në këtë vend nuk ka shkuar aq larg sa, të themi, në Rusi. Jo vetëm në fshatra, por edhe në qytetet e Shqipërisë fqinjët e dinë që në fëmijëri