Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval (i ndaluar ose i hapur), atëherë kjo, siç e dimë tashmë, do të thotë se për çdo pikë të këtij intervali, për një e > 0 të paracaktuar, ekziston q > 0 e tillë që nga pabarazia
x 0 - x< д
pason pabarazia
f(x0) - f(x)<
në mënyrë që vetëm pikat x të jenë edhe në intervalin e dhënë.
Kështu, është e qartë se q varet nga e. q varet jo vetëm nga e, por edhe nga x 0. Pastaj fakti që ndër vlerat e dfor pika të ndryshme interval dhe në të njëjtën kohë është vlera më e vogël e q, nuk ekziston një gjë e tillë. Në rastin e parë, për një e > 0 të dhënë, mund të gjendet vlera e q e përbashkët për të gjitha pikat e intervalit, dhe më pas thuhet se funksioni në intervalin që merret parasysh është njëtrajtësisht i vazhdueshëm.
Përkufizimi. Një funksion quhet uniformisht i vazhdueshëm në një interval të caktuar nëse, së pari, ai përcaktohet në të gjitha pikat e këtij intervali, dhe së dyti, nëse kushti i mëposhtëm është i vërtetë: çdo e> 0 në mënyrë arbitrare e vogël mund të shoqërohet me një q> 0 të tillë, nga pabarazia x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Me përcaktimin e vazhdimësisë uniforme të një funksioni, rrjedh se funksioni është uniformisht i vazhdueshëm në një interval, dhe i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali. Pohimi i kundërt, siç tregon shembulli i një funksioni në piinterval (0, 1), nuk është gjithmonë i vërtetë.
Teorema e Kantorit (mbi vazhdimësinë uniforme të një funksioni). Nëse një funksion është i vazhdueshëm në segmentin [a, b], atëherë ai është uniformisht i vazhdueshëm në këtë segment.
Dëshmi. Le të kemi një numër arbitrarisht të vogël e > 0. Le ta ndajmë segmentin [a, b] në një numër të kufizuar m pjesësh në mënyrë që luhatjet e funksionit të dhënë të jenë të vazhdueshme në (a, b] në secilën nga pjesët e përftuara kështu të segmenteve
[a, s 1], [s 1, s 2], [s 2, s 3],…….., [s i, s i+1], ……., [a, b],
ishte më pak se. Meqenëse ka një numër të kufizuar segmentesh të pjesshme, gjatësitë e tyre janë gjithashtu numra të fundëm, prandaj midis tyre është më i vogli, të cilin e shënojmë me q. Tani marrim segmentin [a, b] çdo dy pika x 1 dhe x 2 në mënyrë që distanca ndërmjet tyre të jetë më e vogël:
x 2 - x 1< д (95)
Këto dy pika mund të jenë ose në të njëjtin segment privat ose në segmente private ngjitur. Në rastin e parë
f(x2) - f(x1)< , (96)
Në rastin e dytë, nëse shënojmë skajin e përbashkët të segmenteve private ngjitur përmes c i, marrim:
f (x 2) - f (x 1) \u003d | f (x 2) - f (me i) + f (me i) - f (x 1) |?,
f(x2) - f(x1)< (97)
Pra, në rastin e parë pabarazia (95) nënkupton pabarazi (96), dhe në rastin e dytë pabarazia (95) nënkupton pabarazi (97). Teorema është vërtetuar.
(Kjo veti është e vlefshme vetëm për segmente, jo për intervale dhe gjysmë-intervale.)
Funksioni është i vazhdueshëm në intervalin (0, a), por nuk është i vazhdueshëm në të, sepse ka një numër të tillë> 0 të tillë që të ketë vlera x 1 dhe x 2 të tilla që f (x 1) - f (x 2)>, - çdo numër, me kusht që x 1 dhe x 2 të jenë afër zeros.
Një funksion $%f(x)$% quhet i vazhdueshëm në $%x_0$% nëse $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
Dhe si ndryshon nga vazhdimësia normale?>
Vazhdimësia e zakonshme (në drejtim të pikës) është pronë lokale funksione. Kjo do të thotë se ekzekutohet në një pikë të caktuar. Vini re se përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni është dhënë pikërisht në një pikë. Në të njëjtën kohë, ne e dimë se ka funksione që janë të vazhdueshme jo vetëm në një pikë, por edhe në një grup (për shembull, $%f(x)=\sin x$% është e vazhdueshme në $%\mathbb( R)$%). Kjo nuk anulon natyrën lokale të vazhdimësisë, domethënë thjesht do të thotë që nëse kontrollojmë $%\sin x$% për vazhdimësi në çdo pikë individuale prej $%\mathbb(R)$%, atëherë funksioni do ta kënaqë atë në këtë pikë të veçantë. Meqenëse në çdo pikë $%x_0$% të grupit $%\mathbb(R)$% gjendja e vazhdimësisë për funksionin $%\sin x$% plotësohet në pikën $%x_0$%, funksioni thuhet se të jetë i vazhdueshëm në këtë grup. Për më tepër, kur kemi studiuar vazhdimësinë e një funksioni në secilin pikë e veçantë, ne (për një $%\varepsilon$%) të caktuar për këtë pikë morëm $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. Kjo do të thotë, për pika të ndryshme të grupit, (në përgjithësi) do të përftohen delta të ndryshme. Kështu, vërehet vetia jo uniforme e funksionit "të jetë e vazhdueshme" në lidhje me deltën: përafërsisht, në pikën $%x_1$% funksioni është i vazhdueshëm me një delta, dhe në pikën $%x_2$% - me një deltë tjetër.
Si të kuptojmë δ>0, nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo për çdo epsilon duhet të ketë një delta.>
Ju e keni vënë re atë saktë nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo epsilon ka një delta. Megjithatë, në praktikë situata është shpesh e tillë - ju jepet një funksion (për shembull, $%y=3+x$%) dhe një pikë (për shembull, $%x_0=2$%). Pyetja është, a do të jetë funksioni $%f$% i vazhdueshëm në pikën $%x_0$%? Si të zbuloni? Shumica mënyrë bazëështë të kontrolloni nëse përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë është përmbushur. Domethënë, unë do t'ju jap epsilone të ndryshëm ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% e kështu me radhë), dhe ju do të zgjidhni një delta të tillë në varësi të këtë epsilon dhe pikën x zero që bëhet përcaktimi. Nëse pasi të listoj të gjithë epsilonet pozitive (nuk do të jetë e lehtë, por megjithatë), rezulton se keni gjetur një deltë të tillë për çdo epsilon, atëherë do të biem dakord që funksioni është i vazhdueshëm në këtë pikë. Nëse në një moment ju them një epsilon të tillë (për shembull, $%\varepsilon=1/1000$%) për të cilin nuk mund të gjeni një delta të tillë që të përmbushet përkufizimi, atëherë funksioni nuk mund të jetë i vazhdueshëm në këtë pikë (ai nuk e plotëson përkufizimin e vazhdimësisë).
Kur kushti |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
E zëvendësova në këtë citat tuajin vazhdimësi uniforme tek e zakonshme (duket se së pari duhet të merreni me të). Vini re se për të njohur një funksion si jo të vazhdueshëm (jo i vazhdueshëm), është e nevojshme që përkufizimi i vazhdimësisë(i cili është në fillim të mesazhit) nuk u ekzekutua. Dhe jo një pjesë e këtij përkufizimi, por ai në tërësi. Në këtë rast, në vend të përkufizimit, duhet të jetë mohim logjik. Rregulli mnemonik për mohimin është si më poshtë: ju duhet të zëvendësoni të gjithë matësit "ekziston" (shenja $%\ekziston$%) dhe "për cilindo" (shenjë $%\forall$%) me të kundërtat e tyre (d.m.th., zëvendësoni $%\ekziston$% me $ %\forall$% dhe zëvendëso $%\forall$% me $%\ekziston$%). Ju gjithashtu duhet të ndryshoni shenjën e pabarazisë së fundit në të kundërtën (në këtë rast$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funksioni $%f(x)$% është i ndërprerë (d.m.th. jo i vazhdueshëm) në $%x_0$% nëse $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x-x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Nga kjo shohim se kriteri juaj për mungesën e vazhdimësisë (kushti $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Për ta kuptuar më mirë këtë, është e dobishme që në mënyrë të pavarur të analizohen disa shembuj bazë për këtë temë (për shembull, për të hetuar një funksion shumë të thjeshtë për vazhdimësinë në pikën $%x_0$% dhe nëse është i vazhdueshëm në të, atëherë tregoni qartë $%\delta (x_0,\varepsilon)$%, dhe nëse është i ndërprerë, atëherë specifikoni $%\varepsilon$%, për të cilin kryhet mohimi, etj.). Pasi të bëheni "mbi ju" me përkufizimin e vazhdimësisë dhe mohimit të saj (në përgjithësi dhe në gjuhën $%\varepsilon$%-$%\delta$% në veçanti), do të jetë shumë më e lehtë të kaloni në vazhdimësi uniforme. Dhe, sigurisht, duhet të lexoni për vazhdimësinë dhe vazhdimësinë uniforme në tekstin e analizës. Lidhja që dhatë përmban disa materiale që janë më shumë si një nxitje për një provim, ku vazhdimësia uniforme shpjegohet në një rresht. Se si është e mundur të zotërosh këtë (dhe koncepte të tjera) në matematikë në një format të tillë është plotësisht e paqartë për mua.
P.S. Një kërkesë për pjesëmarrësit e tjerë që të kontrollojnë këtë përgjigje (për të parë nëse i kam thënë gjithçka saktë), pasi është e një natyre metodike.
Koment
Zgjedhja e δ në përkufizimin e vazhdimësisë uniforme varet nga ε, por jo nga x 1 ,x 2 .
Vetitë
- Një funksion uniformisht i vazhdueshëm në një grup M, është e vazhdueshme mbi të. E kundërta në përgjithësi nuk është e vërtetë. Për shembull, funksioni
është e vazhdueshme në të gjithë domenin e përkufizimit, por nuk është njëtrajtësisht e vazhdueshme, pasi për çdo src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0">, mund të specifikoni një segment me gjatësi arbitrare të vogël të tillë që në skajet e tij vlerat e funksionit do të ndryshojnë më shumë se në skajin tjetër. Një shembull tjetër: funksioni
është e vazhdueshme përgjatë vijës së plotë numerike, por nuk është njëtrajtësisht e vazhdueshme, pasi
Për çdo src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> ju mund të zgjidhni një segment me gjatësi arbitrare të vogël të tillë që diferenca midis vlerave të funksionit f(x) = x 2 do të jetë më i madh në skajet e segmentit. Në veçanti, në segment, diferenca në vlerat e funksionit tenton të
Shiko gjithashtu
Fondacioni Wikimedia. 2010 .
- Shkallë e barabartë e temperamentit
- Shkallë e barabartë e temperamentit
Shihni se çfarë është "Funksioni i vazhdueshëm i njëtrajtshëm" në fjalorë të tjerë:
funksion të vazhdueshëm- Ky artikull ka të bëjë me një funksion numerik të vazhdueshëm. Për paraqitjet e vazhdueshme në degë të ndryshme të matematikës, shihni hartën e vazhdueshme. Një funksion i vazhdueshëm është një funksion pa "kërcime", domethënë ai që ka ndryshime të vogla ... ... Wikipedia
FUNKSIONI I VAZHDUESHËM një nga konceptet bazë analiza matematikore. Le të përcaktohet një funksion real f në një nënbashkësi E të numrave realë, d.m.th., . Funksioni f thirret. e vazhdueshme në një pikë (ose, më saktë, e vazhdueshme në një pikë në lidhje me grupin E), nëse për ... ... Enciklopedia Matematikore
Funksion absolutisht i vazhdueshëm- Një funksion quhet një funksion absolutisht i vazhdueshëm në një interval të fundëm ose të pafund, nëse, i tillë që për çdo grup të fundëm të intervaleve jo të mbivendosura të domenit të funksionit ... Wikipedia
FUNKSIONI REKURENT- një funksion që është një pikë e përsëritur e zhvendosjeve dinamike. sistemeve. Përkufizimi ekuivalent: funksion, ku S është metrikë. hapësirë, e quajtur i përsëritur nëse ka një grup vlerash parakompakt, është uniformisht i vazhdueshëm dhe për çdo ... ... Enciklopedia Matematikore
Funksion pothuajse periodik- një funksion, vlerat e të cilit, kur numrat konstante të zgjedhur siç duhet (pothuajse pikat) i shtohen argumentit, përsëriten afërsisht. Më saktë: funksion të vazhdueshëm f (x) e përcaktuar për të gjithë vlerat reale X,…… Enciklopedia e Madhe Sovjetike
FUNKSION OPTIONAL- funksioni i argumentit t, që korrespondon në mënyrë unike me çdo vëzhgim të procesit të rastit; ka shumë ngjarje elementare. Shpesh D ekuivalenti V. f. termat zbatimi, trajektorja. proces i rastësishëm personazhi po kruhet ... ... Enciklopedia Matematikore
FUNKSIONI I SHPËRNDARJES- çdo ndryshore e rastësishme X është funksion i ndryshores reale x, e cila për çdo x merr një vlerë të barabartë me probabilitetin e pabarazisë X
FUNKSIONI ANALITIK I PËRGJITHSHËM- një funksion që plotëson sistemin me koeficientë realë që janë funksione të ndryshoreve reale chi y Në shënim, sistemi origjinal shkruhet si Nëse koeficientët A dhe B të sistemit (1) në të gjithë rrafshin E të kompleksit ... ... Enciklopedia Matematikore
FUNKSIONI HARMONIK- një funksion real i dhënë në zonën e hapësirës D-Euklidiane, që ka derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit 1 dhe 2 në D dhe është zgjidhja Laplace e ekuacionit ku janë koordinatat drejtkëndore karteziane të pikës x. Ndonjëherë ky përkufizim ... ... Enciklopedia Matematikore
funksion plurisubharmonik- Një funksion plurisubharmonik është një funksion me vlerë reale, i variablave komplekse në një domen të hapësirës komplekse, që plotëson kushtet e mëposhtme ... Wikipedia
