Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval (i ndaluar ose i hapur), atëherë kjo, siç e dimë tashmë, do të thotë se për çdo pikë në këtë interval për një e> 0 të paracaktuar ekziston një e> 0 e tillë që nga pabarazia
x 0 - x< д
pason pabarazia
f(x 0) - f(x)<
kështu që vetëm pikat x janë gjithashtu në këtë interval.
Pra, është e qartë se q varet nga e. Përveç kësaj, për pika të ndryshme të intervalit dhe i njëjtë është, edhe numri q mund të rezultojë i ndryshëm, d.m.th. d varet jo vetëm nga e, por edhe nga x0. Pastaj fakti që ndër vlerat për pika të ndryshme interval dhe në të njëjtën kohë është vlera më e vogël e d, nuk ka një gjë të tillë. Në rastin e parë, për një e > 0 të dhënë, mund të gjendet vlera q e përbashkët për të gjitha pikat e intervalit, dhe më pas thonë se funksioni në intervalin që po shqyrtohet është njëtrajtësisht i vazhdueshëm.
Përkufizimi. Një funksion quhet njëtrajtësisht i vazhdueshëm në një interval të caktuar nëse, së pari, ai përcaktohet në të gjitha pikat e këtij intervali, dhe së dyti, nëse kushti i mëposhtëm është i vërtetë: për çdo e> 0 arbitrarisht të vogël, ne mund të shoqërojmë një e> 0, nga pabarazia x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Përkufizimi i vazhdimësisë uniforme të një funksioni nënkupton që funksioni është uniformisht i vazhdueshëm në një interval dhe i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali. Pohimi i kundërt, siç tregohet nga shembulli i një funksioni në pivinterval (0, 1], nuk është gjithmonë i vërtetë.
Teorema e Kantorit (mbi vazhdimësinë uniforme të një funksioni). Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një segment [a, b], atëherë ai është uniformisht i vazhdueshëm në këtë segment.
Dëshmi. Le të kemi një numër arbitrarisht të vogël e > 0. Le ta ndajmë segmentin [a, b] në një numër të kufizuar m pjesësh në mënyrë që lëkundjet e funksionit të vazhdueshëm të dhënë në (a, b] në secilën nga pjesët e fituara të segmentet
[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], ……., [a, b],
ishte më pak se. Meqenëse ekziston një numër i kufizuar segmentesh të pjesshme, atëherë gjatësitë e tyre janë numra të fundëm, dhe për këtë arsye midis tyre është më i vogli, të cilin e shënojmë me d. Tani merrni çdo dy pika x 1 dhe x 2 në segmentin [a, b] në mënyrë që distanca ndërmjet tyre të jetë më e vogël:
x 2 - x 1< д (95)
Dy pika të tilla mund të jenë ose në të njëjtin segment privat ose në segmente private ngjitur. Në rastin e parë
f(x 2) - f(x 1)< , (96)
Në rastin e dytë, nëse shënojmë skajin e përbashkët të segmenteve private ngjitur me c i, marrim:
f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(me i)+ f(me i) - f(x 1)|?,
f(x 2) - f(x 1)< (97)
Pra, në rastin e parë, pabarazia (96) vjen nga pabarazia (95), dhe në rastin e dytë, pabarazia (97) rrjedh nga pabarazia (95). Teorema është vërtetuar.
(Kjo veti është e vërtetë vetëm për segmentet, dhe jo për intervalet dhe gjysmëintervalet.)
Funksioni është i vazhdueshëm në intervalin (0, a), por nuk është i vazhdueshëm në të, sepse ekziston një numër >0 i tillë që ka vlera x 1 dhe x 2 të tilla që f(x 1) - f(x 2)>, - çdo numër me kusht që x 1 dhe x 2 të jenë afër zeros.
Një funksion $%f(x)$% thuhet se është i vazhdueshëm në pikën $%x_0$% nëse $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
Dhe cili është ndryshimi nga vazhdimësia e rregullt?>
Vazhdimësia e zakonshme (në drejtim të pikës) është pronë lokale funksione. Kjo do të thotë se kryhet në një pikë të caktuar. Vini re se përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni është dhënë saktësisht në një pikë. Për më tepër, ne e dimë se ka funksione që janë të vazhdueshme jo vetëm në një pikë, por edhe në një grup (për shembull, $%f(x)=\sin x$% është e vazhdueshme në $%\mathbb(R )$% ). Kjo nuk anulon natyrën lokale të vazhdimësisë, domethënë thjesht do të thotë se nëse kontrollojmë $%\sin x$% për vazhdimësi në çdo pikë individuale $%\mathbb(R)$%, atëherë funksioni do ta kënaqë atë në këtë pikë specifike. Meqenëse në çdo pikë $%x_0$% të grupit $%\mathbb(R)$% plotësohet kushti për vazhdimësinë e funksionit $%\sin x$% në pikën $%x_0$%, funksioni është i quajtur i vazhdueshëm në këtë grup. Për më tepër, kur kemi studiuar vazhdimësinë e funksionit në secilin pikë e veçantë, ne (duke dhënë $%\varepsilon$%) për këtë pikë morëm $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. Kjo do të thotë, për pika të ndryshme të grupit (në përgjithësi) do të merren delta të ndryshme. Kështu, ekziston një pabarazi në vetinë e funksionit "të qënit i vazhdueshëm" në lidhje me deltën: përafërsisht, në pikën $%x_1$% funksioni është i vazhdueshëm me një delta, dhe në pikën $%x_2$% - me një deltë tjetër.
Si të kuptojmë δ>0, nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo epsilon duhet të ketë një delta.>
Ju e keni vërejtur saktë atë Nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo epsilon ekziston një delta. Megjithatë, në praktikë situata është shpesh e tillë - ju jepet një funksion (për shembull, $%y=3+x$%) dhe një pikë (për shembull, $%x_0=2$%). Pyetja është, a do të jetë funksioni $%f$% i vazhdueshëm në pikën $%x_0$%? Si të zbuloni? Shumica metodë bazë- kjo është për të kontrolluar nëse përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë është i kënaqur. Domethënë, unë do t'ju jap epsilon të ndryshëm ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% e kështu me radhë), dhe ju do të zgjidhni për mua një delta të tillë në varësi të nga ky epsilon dhe pika x janë zero, që përkufizimi është përmbushur. Nëse, pasi të rendis të gjithë epsilonet pozitive për ju (kjo nuk do të jetë e lehtë, por megjithatë), rezulton se keni gjetur një deltë të tillë për çdo epsilon, atëherë do të biem dakord që funksioni në këtë pikë është i vazhdueshëm. Nëse në një moment ju them një epsilon të tillë (për shembull, $%\varepsilon=1/1000$%), për të cilin nuk mund të gjeni një delta të tillë që përkufizimi të jetë i kënaqur, atëherë funksioni nuk mund të jetë i vazhdueshëm në këtë pikë ( nuk e plotëson përkufizimin e vazhdimësisë).
Kur kushti |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
Në këtë citat tuajin e zëvendësova vazhdimësi uniforme tek ajo e zakonshme (ndihet sikur ju duhet të merreni me të së pari). Vini re se për të njohur një funksion si të ndërprerë (jo të vazhdueshëm), është e nevojshme që përkufizimi i vazhdimësisë(që është në fillim të mesazhit) nuk u ekzekutua. Dhe jo vetëm një pjesë e këtij përkufizimi, por e gjithë gjëja. Në vend të përcaktimit në këtë rast duhet të ekzekutohet mohim logjik. Rregulli mnemonik për kompozimin e një mohimi është ky: ju duhet të zëvendësoni të gjithë matësit "ekziston" (ikona $%\ekziston$%) dhe "për cilindo" (ikona $%\forall$%) me të kundërtat e tyre (d.m.th. $%\exists$% duhet të zëvendësohet me $ %\forall$%, dhe të zëvendësohet $%\forall$% me $%\exists$%). Ju gjithashtu duhet të ndryshoni shenjën e pabarazisë së fundit në atë të kundërt (në në këtë rast$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funksioni $%f(x)$% është i ndërprerë (d.m.th., jo i vazhdueshëm) në pikën $%x_0$% nëse $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Nga kjo shohim se kriteri juaj për mungesë vazhdimësie (kushti $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Për ta kuptuar më mirë këtë, është e dobishme që në mënyrë të pavarur të analizohen disa shembuj bazë për këtë temë (për shembull, shqyrtoni një funksion shumë të thjeshtë për vazhdimësinë në pikën $%x_0$% dhe nëse është i vazhdueshëm atje, atëherë tregoni në mënyrë eksplicite $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, dhe nëse është e ndërprerë, atëherë tregoni $%\varepsilon$% për të cilën kryhet mohimi, etj.). Pasi të njiheni me përkufizimin e vazhdimësisë dhe mohimin e tij (në përgjithësi dhe në gjuhën $%\varepsilon$%-$%\delta$% në veçanti), kalimi në vazhdimësi uniforme do të jetë shumë më i lehtë. Dhe, sigurisht, ju duhet të lexoni për vazhdimësinë dhe vazhdimësinë uniforme në një tekst shkollor analizash. Lidhja që keni dhënë përmban disa materiale që të kujtojnë më shumë një nxitje për një provim, ku vazhdimësia uniforme shpjegohet në një rresht. Si mund ta zotëroni këtë (dhe koncepte të tjera) në matematikë në këtë format, është plotësisht e paqartë për mua.
P.S. Kërkojmë nga pjesëmarrësit e tjerë që ta kontrollojnë këtë përgjigje (për të parë nëse i kam thënë të gjitha saktë), pasi është e natyrës metodologjike.
Koment
Zgjedhja e δ në përcaktimin e vazhdimësisë uniforme varet nga ε, por jo nga x 1 ,x 2 .
Vetitë
- Funksiononi në mënyrë uniforme të vazhdueshme në grup M, të vazhdueshme Mbi te. E kundërta, në përgjithësi, nuk është e vërtetë. Për shembull, funksioni
është e vazhdueshme në të gjithë domenin e përkufizimit, por nuk është uniformisht e vazhdueshme, pasi për çdo src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> mund të specifikoni segmenti i linjës e vogël sa të duash gjatësia e tillë që në skajet e tij vlerat e funksionit do të ndryshojnë më shumë se në një shembull tjetër: funksioni
është e vazhdueshme në të gjithë vijën numerike, por nuk është e vazhdueshme, pasi
Për çdo src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> ju mund të zgjidhni një segment me gjatësi arbitrare të vogël të tillë që ndryshimi në vlerat e funksionit f(x) = x 2 në skajet e segmentit do të ketë më shumë. Në veçanti, në segment diferenca në vlerat e funksionit priret në
Shiko gjithashtu
Fondacioni Wikimedia. 2010.
- Shkallë e zbutur njësoj
- Shkallë e zbutur njësoj
Shihni se çfarë është "funksioni i vazhdueshëm i njëtrajtshëm" në fjalorë të tjerë:
Funksioni i vazhdueshëm- Ky artikull ka të bëjë me një funksion numerik të vazhdueshëm. Për paraqitjet e vazhdueshme në degë të ndryshme të matematikës, shihni hartën e vazhdueshme. Funksioni i vazhdueshëm është një funksion pa “kërcime”, domethënë ai që ka ndryshime të vogla... ... Wikipedia
FUNKSIONI I VAZHDUESHËM- një nga konceptet kryesore analiza matematikore. Le të përcaktohet funksioni real f në një nënbashkësi të caktuar të numrave realë E, d.m.th. Funksioni f quhet e vazhdueshme në një pikë (ose, më në detaje, e vazhdueshme në një pikë mbi bashkësinë E), nëse për... ... Enciklopedia Matematikore
Funksion absolutisht i vazhdueshëm- Një funksion quhet një funksion absolutisht i vazhdueshëm në një interval të fundëm ose të pafund, nëse është i tillë që për çdo grup të fundmë intervalesh të disjoint domeni i përkufizimit të funksionit ... Wikipedia
FUNKSIONI REKURENT- një funksion që është një pikë e përsëritur e zhvendosjeve dinamike. sistemeve. Përkufizimi ekuivalent: funksioni ku S është metrikë. hapësirë, e quajtur i përsëritur nëse ka një grup vlerash parakompakt, është uniformisht i vazhdueshëm dhe për çdo... ... Enciklopedia Matematikore
Funksion pothuajse periodik- një funksion, vlerat e të cilit, kur numrat konstante të zgjedhur siç duhet (pothuajse periodat) i shtohen argumentit, përsëriten afërsisht. Më saktë: funksion të vazhdueshëm f (x), e përcaktuar për të gjithë vlerat reale X,…… Enciklopedia e Madhe Sovjetike
FUNKSIONI SELEKTIVE- funksioni i argumentit t, që korrespondon në mënyrë unike me çdo vëzhgim të një procesi të rastësishëm; këtu ka shumë ngjarje elementare. Shpesh përdoren V. f. ekuivalente. terma zbatimi, trajektorja. Procesi i rastësishëm karakteri po kruhet... ... Enciklopedia Matematikore
FUNKSIONI I SHPËRNDARJES- çdo ndryshore e rastësishme X është një funksion i një ndryshoreje reale x, duke marrë për secilën x një vlerë të barabartë me probabilitetin e pabarazisë X
FUNKSIONI ANALITIK I PËRGJITHSHËM- një funksion që plotëson një sistem me koeficientë realë që janë funksione të ndryshoreve reale x y Në shënim, sistemi origjinal shkruhet në formën Nëse koeficientët A dhe B të sistemit (1) në të gjithë rrafshin Ekompleks... ... Enciklopedia Matematikore
FUNKSIONI HARMONIK- një funksion real i përcaktuar në domenin e hapësirës Euklidiane që ka derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit 1 dhe 2 në D dhe është zgjidhje e ekuacionit të Laplasit ku janë koordinatat drejtkëndore karteziane të pikës x. Ndonjëherë ky përkufizim... ... Enciklopedia Matematikore
Funksioni plurisubharmonik- Funksioni Plurisubharmononic është një funksion me vlerë reale të ndryshoreve komplekse në domenin e hapësirës komplekse, që plotëson kushtet e mëposhtme... Wikipedia
