Kur analizoni kalimin e sinjaleve nëpër qarqe lineare, mund të përdorni metoda të njohura nga kursi "Bazat e teorisë së qarkut".
Zgjedhja e metodës më të përshtatshme të analizës varet nga struktura e qarkut, lloji i sinjalit që vepron në të, si dhe nga forma në të cilën duhet të paraqitet sinjali i daljes (frekuenca ose koha).
Për shembull, analiza e pasazhit në lidhje me sinjale të thjeshta(ndërrimi i pulseve, dridhjet harmonike etj.) përmes zinxhirëve që përshkruhen nga ekuacione diferenciale lineare jo më të larta se renditja e dytë, ajo përmbushet thjesht metodë klasike ekuacionet diferenciale. Në rastet kur zgjidhja e ekuacioneve diferenciale bëhet e vështirë (ndikimi sinjale komplekse në një qark me një strukturë komplekse), këshillohet të përdoren metoda të tilla si spektrale (operatori) ose metoda integrale e mbivendosjes, bazuar në parimin e mbivendosjes.
Gjatë analizimit të kalimit të sinjaleve nëpër sisteme me brez të ngushtë, përveç metodave të listuara të analizës që japin një zgjidhje të saktë, përdoren metoda të përafërta që bëjnë të mundur që një sërë problemesh të marrin zgjidhje mjaft afër atyre të sakta. Figura më poshtë tregon në mënyrë skematike klasifikimin e metodave të analizës të diskutuara në këtë kapitull. Do të merren parasysh metodat e përafërta të analizës (metodat e mbështjelljes, frekuenca "e çastit", metoda e përafërt spektrale) dhe shembuj të përdorimit të tyre.
Metodat për zgjidhjen e problemeve në sistemet stacionare lineare me parametra të grumbulluar
Metodat e sakta për zgjidhjen e problemeve në sistemet stacionare lineare me parametra të grumbulluar
Metoda spektrale
Le të veprojë një sinjal arbitrar x(t) që ka një densitet spektral në hyrjen e një rrjeti linear me dy porte me një funksion të caktuar transferimi:
Sipas metodës spektrale të analizës, dendësia spektrale e sinjalit y (t) në daljen e katërpolit është e barabartë me produktin e densitetit spektral të sinjalit hyrës dhe funksionit të transferimit të qarkut, d.m.th.
Duke aplikuar konvertim i anasjelltë Furier, ne përcaktojmë sinjalin e daljes si funksion të kohës
Metoda spektrale
Nga një krahasim i (5.16) me (5.14) rezulton se sinjali në daljen e një rrjeti linear me dy porta mund të merret duke përmbledhur komponentët elementare spektrale të sinjalit hyrës
me amplituda komplekse të shumëzuara me funksionin.
Funksioni i transferimit të qarkut, duke përcaktuar kontributin relativ
komponentët e spektrit të sinjalit hyrës në sinjalin y (t), ka kuptim
funksioni i peshës.
Sinjali kalon qark linear pa shtrembërim, nëse forma e tij nuk ndryshon, por ndodh vetëm një ndryshim në shkallë dhe një zhvendosje në kohë.
Kur një sinjal x (t) kalon nëpër një rrjet linear me dy porte, dendësia spektrale e sinjalit të daljes y (t) është e barabartë me
Shtrembërimet e shkaktuara nga varësia nga frekuenca e funksionit të transferimit të një rrjeti linear me dy porte quhen lineare (ose frekuencë)
shtrembërimet. Natyra dhe madhësia e këtyre shtrembërimeve mund të gjykohet nga amplituda dhe karakteristikat e frekuencës fazore të qarkut, d.m.th., nga moduli dhe argumenti i funksionit.
Kur një sinjal x(t) kalon përmes një rrjeti me dy porta pa shtrembërim, reagimi (t) mund të shkruhet në formën
ku = konst - koeficienti i proporcionalitetit, t 3 - koha e vonesës.
Kushtet për transmetimin e sinjalit të pashtrembëruar nga një katërpolësh linear
Duke marrë parasysh vetinë e linearitetit dhe zhvendosjes kohore, dendësia spektrale e reaksionit zinxhir mund të shkruhet si
Rrjedhimisht, një rrjet me katër porta pa shtrembërim duhet të ketë një funksion transferimi të formës
i krijuar nga një qark i tillë përcaktohet nga pjerrësia e karakteristikës së tij fazore
Karakteristikat e frekuencës së katërpoleve reale mund t'i afrohen karakteristikave të një katërpoli jo shtrembërues vetëm në një gamë të kufizuar frekuence.
Ashtu si në rastin e një qarku, një qark mund të përdoret për të kryer transformimet e sinjalit që korrespondojnë me diferencimin dhe integrimin e përafërt. Figura 3.6a,b tregon dy diagrame qarku . Ne fillim tensioni i daljes hiqet nga induktiviteti, dhe në të dytën - nga rezistenca aktive.
Koeficienti i transmetimit të qarkut të parë (Fig. 3.6a) ka shprehjen
,
ku është konstanta kohore e qarkut. Shprehja për koeficientin e transmetimit të këtij qarku reduktohet në formën e shprehjes (3.10) Pra, koeficienti i transmetimit të një qarku të tillë është identik në vetitë e tij me koeficientin e transmetimit të qarkut nëse në këtë të fundit hiqet tensioni në dalje. nga rezistenca aktive. Rrjedhimisht, transformimet e impulseve në qarkun në shqyrtim do të jenë të njëjta si në qarkun e përmendur, dhe në veçanti, do të kryhet diferencimi i përafërt nëse plotësohet kushti.
Për qarkun e dytë (Fig.3.6b), koeficienti i transmetimit ka shprehjen
,
e cila reduktohet në formën që i përgjigjet shprehjes (3.15). Rrjedhimisht, në një qark të tillë është e mundur të kryhet konvertimi i sinjalit i ngjashëm me atë të konsideruar për qarkun , nëse në këtë të fundit tensioni i daljes hiqet nga kondensatori. Në veçanti, qarku në shqyrtim mund të quhet përafërsisht integrues nëse ka një pabarazi midis konstantës kohore të qarkut dhe kohëzgjatjes së pulsit të hyrjes.
Kohëzgjatja e pjesës së përparme përcaktohet në të njëjtën mënyrë si në kapitullin 1 është përcaktuar koha e vendosjes së procesit kalimtar në qarqe. Kohëzgjatja e përparme, ku , ku dhe janë momentet kohore në të cilat impulsi i daljes arrin respektivisht 10% dhe 90% të vlerës së amplitudës . Meqenëse ngritja e pjesës së përparme të pulsit ndodh në daljen e qarkut integrues sipas ligjit eksponencial (termi i parë i shprehjes 3.18), ne mund të shkruajmë barazitë
nga i cili përcaktohet kohëzgjatja e ballit.
Kushtet për transmetimin e sinjalit të pa shtrembëruar
Në pajisje të ndryshme inxhinierike radio, ekziston nevoja për të siguruar transmetimin e një impulsi ose sinjali tjetër kompleks përmes një qarku të caktuar linear pa shtrembëruar formën e tij. Kjo do të thotë, nëse një impuls vepron në hyrjen e qarkut, atëherë në dalje është e dëshirueshme të merret një impuls i tensionit që ka të njëjtën formë, por ndoshta një amplitudë të ndryshme.
Bazuar në përbërjen spektrale të tensionit jo-harmonik, është e mundur të vendosen kushtet për transmetimin e tij të padeformuar nga një objektiv linear. Për ta bërë këtë, është e nevojshme që raporti i amplitudave dhe fazave të komponentëve harmonikë të tensionit në dalje të jetë përkatësisht i njëjtë me atë të tensionit në hyrje. Kjo do të thotë se ndryshimet në amplituda dhe vonesa kohore e të gjithë komponentëve harmonikë nuk duhet të varen nga frekuenca.
Nga kjo rrjedh se koeficienti i transmetimit të një qarku të tillë duhet të plotësojë kushtet
Këtu është koha e vonesës së fazës (vonesa e fazës). Nëse plotësohen kushtet (3.20), mund të shkruajmë:
Figura 3.7 tregon karakteristikat e frekuencës dhe fazës së një qarku që plotëson kushtin (3.20). Një qark i tillë duhet të ketë një gjerësi bande pafundësisht të gjerë dhe një përgjigje fazore lineare të ndryshueshme, pjerrësia e së cilës është e barabartë me kohën e vonesës. Le ta shpjegojmë këtë duke përdorur Fig. 3.8, e cila tregon grafikët e tensionit të hyrjes dhe të tensionit në dalje. 
Këtu fazat fillestare të të dy komponentëve harmonikë të sinjalit hyrës janë të barabarta me zero, dhe . Nëse moduli i koeficientit të transmetimit, atëherë amplituda e komponentëve harmonikë në hyrje dhe dalje të qarkut janë përkatësisht të barabarta. Më tej, nëse karakteristika e fazës është lineare, atëherë, duke supozuar që zhvendosja fazore e komponentit harmonik të frekuencës në daljen e qarkut të jetë e barabartë, gjejmë zhvendosjen e fazës për komponentin harmonik të frekuencës në daljen e qarkut. : 
Kështu, voltazhi i daljes ka të njëjtën formë si tensioni në hyrje të qarkut, por "ngec" në kohë me një sasi. Është e lehtë të kuptohet se çdo sinjal i vërtetë do të transmetohet nga një qark i tillë pa shtrembëruar formën e tij.
Vlefshmëria e kushtit (3.20) mund të tregohet edhe në mënyrë analitike duke përdorur transformimin Fourier. Le të aplikohet një tension që ka një funksion spektral në hyrjen e qarkut. Le ta shprehim këtë tension duke përdorur integralin Fourier:
,
ose, duke përdorur shënimin e integralit Furier në formë trigonometrike, marrim:
.
Në daljen e një qarku që ka një koeficient transmetimi
fitojmë tensionin e përcaktuar me shprehjen
Duke përdorur shënimin trigonometrik, marrim:
Në të vërtetë, voltazhi i daljes ka të njëjtën formë si në hyrje, por ndryshon në madhësi me një faktor dhe mbetet pas tensionit të hyrjes për një kohë.
Çdo qark real nuk i plotëson kushtet (3.20); gjerësia e brezit të tij zakonisht kufizohet nga një frekuencë e caktuar, ku moduli i koeficientit të transmetimit fillon të ulet me rritjen e frekuencës.
Për të sqaruar disa veti të një qarku me gjerësi bande të kufizuar, merrni parasysh të ashtuquajturin filtër ideal me kalim të ulët. Karakteristikat e frekuencës dhe fazës së një filtri të tillë janë paraqitur në Fig. 3.9a, b. Ndryshe nga një ideal, një filtër real me kalim të ulët ka një përgjigje frekuence në frekuencën e ndërprerjes që nuk ka një rënie të mprehtë, dhe përgjigja e fazës ndryshon nga ajo lineare.
Për një filtër ideal në brezin e tij të kalimit ne vendosim ,, ku dhe këtu zgjidhet në mënyrë arbitrare. Le të aplikohet një rënie e tensionit me madhësi në filtrin e momentit , për të cilën, sipas (2.14), mund të shkruajmë shprehjen
.
Pastaj voltazhi në daljen e filtrit përcaktohet nga shprehja
ku është sinusi integral, vlerat e të cilit për kuptime të ndryshme argumentet gjenden në tabela.
Figura 3.10 tregon grafikun e funksionit. Lëkundja e vërejtur këtu, e cila shtrihet në, është pasojë e idealizimit të përgjigjes së frekuencës së filtrit. Frekuenca e lëkundjes përkon me frekuencën e ndërprerjes së filtrit. Në një qark real, sinjali në daljen e tij nuk mund të paraprijë momentin kur sinjali aplikohet në hyrjen e tij. Sidoqoftë, zëvendësimi i përgjigjes së frekuencës reale të filtrit me një përgjigje ideale na lejon të vendosim një marrëdhënie të thjeshtë midis gjerësisë së brezit të filtrit dhe pjerrësisë së tensionit të daljes. 
Në atë të mëparshme, ne shqyrtuam çështjet që lidhen me kodimin dhe transmetimin e informacionit përmes një kanali komunikimi në rastin ideal, kur procesi i transmetimit të informacionit kryhet pa gabime. Në realitet ky proces shoqërohet në mënyrë të pashmangshme me gabime (shtrembërime). Një kanal transmetimi në të cilin është i mundur shtrembërimi quhet kanal interferencë (ose zhurmë). Në një rast të veçantë, gabimet lindin gjatë vetë procesit të kodimit, dhe më pas pajisja e kodimit mund të konsiderohet si një kanal i zhurmshëm.
Është mjaft e qartë se prania e ndërhyrjeve çon në humbjen e informacionit. Për të marrë sasinë e kërkuar të informacionit nga marrësi në prani të ndërhyrjeve, është e nevojshme të merren masa të veçanta. Një masë e tillë është futja e të ashtuquajturit “tepricë” në mesazhet e transmetuara; në këtë rast, burimi i informacionit padyshim prodhon më shumë simbole sesa do të ishte e nevojshme në mungesë të ndërhyrjes. Një formë e prezantimit të tepricës është thjesht përsëritja e mesazhit. Kjo teknikë përdoret, për shembull, kur dëgjim i dobët përmes telefonit, duke përsëritur çdo mesazh dy herë. Një mënyrë tjetër e njohur për të rritur besueshmërinë e transmetimit është transmetimi i një fjale "me shkronjë" - kur, në vend të secilës shkronjë, transmetohet një fjalë (emër) e njohur që fillon me atë shkronjë.
Vini re se të gjitha gjuhët e gjalla kanë natyrshëm një tepricë. Kjo tepricë shpesh ndihmon në rivendosjen teksti i saktë"brenda kuptimit" të mesazhit. Kjo është arsyeja pse shtrembërimet e shkronjave individuale në telegrame, të cilat shpesh ndodhin në përgjithësi, rrallë çojnë në humbje faktike të informacionit: zakonisht është e mundur të korrigjoni një fjalë të shtrembëruar duke përdorur vetëm vetitë e gjuhës. Kjo nuk do të ndodhte në mungesë të tepricës. Një masë e tepricës së gjuhës është vlera
ku është mesatarja e entropisë aktuale për karakter të transmetuar (shkronjë), e llogaritur për pasazhe mjaftueshëm të gjata të tekstit, duke marrë parasysh varësinë midis karaktereve, është numri i karaktereve (shkronjave) të përdorura, është entropia maksimale e mundshme për karakter të transmetuar në bazë të dhënë kushte, të cilat do të ishin nëse të gjitha simbolet do të ishin njësoj të mundshme dhe të pavarura.
Llogaritjet e kryera në bazë të gjuhëve më të zakonshme evropiane tregojnë se teprica e tyre arrin 50% ose më shumë (d.m.th., thënë përafërsisht, 50% personazhet e transmetuar janë të tepërta dhe mund të mos ishin transmetuar nëse jo për rrezikun e shtrembërimit).
Megjithatë, për transmetimin pa gabime të informacionit, teprica natyrore e gjuhës mund të jetë ose e tepërt ose e pamjaftueshme: gjithçka varet nga sa i madh është rreziku i shtrembërimit (“niveli i ndërhyrjes”) në kanalin e komunikimit.
Duke përdorur metodat e teorisë së informacionit, është e mundur të gjendet shkalla e kërkuar e tepricës së burimit të informacionit për çdo nivel të ndërhyrjes. Të njëjtat metoda ndihmojnë në zhvillimin e kodeve speciale rezistente ndaj gabimeve (në veçanti, të ashtuquajturat kode "vetë-korrigjuese"). Për të zgjidhur këto probleme, duhet të jeni në gjendje të merrni parasysh humbjen e informacionit në kanal që lidhet me praninë e ndërhyrjeve.
Le të shqyrtojmë një sistem kompleks të përbërë nga një burim informacioni, një kanal komunikimi dhe një marrës (Fig. 18.9.1).
Burimi i informacionit është sistemi fizik, e cila ka gjendje të mundshme
me probabilitete
Ne do t'i konsiderojmë këto gjendje si simbole elementare që një burim mund t'i transmetojë përmes një kanali në një marrës. Sasia e informacionit për karakter që ofron burimi do të jetë e barabartë me entropinë për karakter:
.
Nëse transmetimi i mesazhit nuk shoqërohej me gabime, atëherë sasia e informacionit që përmban sistemi në raport me , do të ishte e barabartë me entropinë e vetë sistemit. Nëse ka gabime, do të jetë më pak:
Është e natyrshme të konsiderohet entropia e kushtëzuar si humbja e informacionit për simbolin elementar të lidhur me praninë e ndërhyrjes.
Duke qenë në gjendje të përcaktoni humbjen e informacionit në kanal për një simbol elementar të transmetuar nga burimi i informacionit, është e mundur të përcaktohet xhiroja e kanalit me zhurmë, d.m.th. shuma maksimale informacion që një kanal është në gjendje të transmetojë për njësi të kohës.
Le të supozojmë se kanali mund të transmetojë simbole elementare për njësi të kohës. Në mungesë të ndërhyrjeve xhiros kanali do të ishte i barabartë
meqenëse sasia maksimale e informacionit që mund të përmbajë një simbol është , dhe sasia maksimale e informacionit që mund të përmbajnë simbolet është , dhe arrihet kur simbolet shfaqen në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri.
Tani le të shohim një kanal të zhurmshëm. Kapaciteti i tij përcaktohet si
, (18.9.3)
ku është informacioni maksimal për simbol që kanali mund të transmetojë në prani të interferencave.
Përcaktimi i këtij informacioni maksimal në rast i përgjithshëm- çështja është mjaft e ndërlikuar, pasi varet se si dhe me çfarë probabiliteti janë shtrembëruar simbolet; nëse janë të përziera, apo nëse disa simbole thjesht bien jashtë; a ndodhin shtrembërimet e simboleve të pavarura nga njëra-tjetra, etj.
Megjithatë, për rastet më të thjeshta, kapaciteti i kanalit mund të llogaritet relativisht lehtë.
Konsideroni, për shembull, problemin e mëposhtëm. Kanali i komunikimit transmeton simbolet elementare 0 dhe 1 nga burimi i informacionit te marrësi në numrin e simboleve për njësi të kohës. Gjatë procesit të transmetimit, çdo simbol, pavarësisht nga të tjerët, ka të ngjarë të shtrembërohet (d.m.th., të zëvendësohet nga i kundërti). Duhet të gjejmë kapacitetin e kanalit.
Le të përcaktojmë së pari informacionin maksimal për simbol që kanali mund të transmetojë. Le të prodhojë burimi simbolet 0 dhe 1 me probabilitete dhe .
Atëherë entropia e burimit do të jetë
Le të përcaktojmë informacionin për një simbol elementar:
.
Për të gjetur entropinë totale të kushtëzuar, fillimisht gjejmë entropitë e kushtëzuara të pjesshme: (entropia e sistemit, me kusht që sistemi të ketë pranuar gjendjen) dhe (entropia e sistemit, me kusht që sistemi të ketë pranuar gjendjen). Le të llogarisim, për këtë supozojmë se transmetohet një simbol elementar 0. Le të gjejmë probabilitetet e kushtëzuara që sistemi të jetë në gjendje dhe në gjendje. E para prej tyre është e barabartë me probabilitetin që sinjali të mos ngatërrohet:
;
e dyta është probabiliteti që sinjali të përzihet:
Entropia e kushtëzuar do të jetë:
Le të gjejmë tani entropinë e kushtëzuar të sistemit, me kusht që (transmetohet një sinjal i një):
;
,
Kështu,
Entropia totale e kushtëzuar fitohet duke mesatarizuar entropitë e kushtëzuara dhe duke marrë parasysh probabilitetet dhe vlerat. Meqenëse entropitë e pjesshme të kushtëzuara janë të barabarta, atëherë
Ne morëm përfundimin e mëposhtëm: entropia e kushtëzuar nuk varet fare nga probabilitetet me të cilat ndodhin simbolet 0; 1 në mesazhin e transmetuar, por varet vetëm nga probabiliteti i gabimit.
Le të llogarisim informacionin e plotë të transmetuar nga një simbol:
ku është probabiliteti që në dalje të shfaqet një simbol 0. Natyrisht, për vetitë e dhëna të kanalit, informacioni për simbol arrin një maksimum kur është maksimal. Ne e dimë se një funksion i tillë arrin maksimumin e tij në , d.m.th., kur të dy sinjalet janë njësoj të mundshme në marrës. Është e lehtë të verifikohet se kjo arrihet kur burimi transmeton të dy simbolet me probabilitet të barabartë. Me të njëjtën vlerë, informacioni për karakter gjithashtu arrin maksimumin e tij. Vlera maksimale barazohet
Informacioni i humbur për karakter është 0,0808 (dy njësi). Kapaciteti i kanalit është
njësi binare për njësi të kohës.
Duke përdorur llogaritje të ngjashme, kapaciteti i kanalit mund të përcaktohet në raste më komplekse: kur numri i simboleve elementare është më shumë se dy dhe kur shtrembërimet e simboleve individuale janë të varura. Duke ditur kapacitetin e kanalit, është e mundur të përcaktohet kufiri i sipërm i shpejtësisë së transmetimit të informacionit mbi një kanal të zhurmshëm. Le të formulojmë (pa prova) teoremën e dytë të Shannon-it në lidhje me këtë rast.
Teorema e dytë e Shannon-it
Le të ketë një burim informacioni entropia e të cilit për njësi të kohës është e barabartë me , dhe një kanal me kapacitet . Atëherë nëse
atëherë me çdo kodim, transmetimi i mesazheve pa vonesa dhe shtrembërime është i pamundur. Nëse
atëherë është gjithmonë e mundur të kodohet një mesazh mjaft i gjatë në mënyrë që ai të transmetohet pa vonesa dhe shtrembërime me një probabilitet arbitrar afër një.
Shembulli 2. Ekziston një burim informacioni me entropi për njësi të kohës (dy njësi) dhe dy kanale komunikimi; secila prej tyre mund të transmetojë 70 karaktere binare (0 ose 1) për njësi të kohës; çdo shenjë binare zëvendësohet nga e kundërta e saj me probabilitet . Është e nevojshme të zbulohet: a është kapaciteti i këtyre kanaleve të mjaftueshme për të transmetuar informacionin e dhënë nga burimi?
Zgjidhje. Ne përcaktojmë humbjen e informacionit për karakter:
Sasia maksimale e informacionit të transmetuar në një kanal për njësi të kohës:
Sasia maksimale e informacionit që mund të transmetohet në dy kanale për njësi të kohës:
që nuk mjafton për të siguruar transferimin e informacionit nga burimi.
