Calculul determinanților de ordin n. Determinant de ordin al N-lea

14.04.2019 Sfat

matrice unitară ortogonală multiliniară

Calculul determinanților de ordinul 2 și 3.

Să obținem formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Prin definiție, pentru

Atunci când ștergem primul rând și o coloană, obținem o matrice care conține un element, prin urmare

Înlocuind aceste valori în partea dreaptă, obținem formula pentru calcularea determinantului de ordinul doi

Determinantul de ordinul doi este egal cu diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala laterală (Figura 2.1).

Pentru un determinant de ordinul al treilea, avem

Când ștergem primul rând și o coloană, obținem determinanții matricilor pătrate de ordinul doi:

Scriem acești determinanți de ordinul doi prin formula (2.2) și obținem formula de calcul a determinantului de ordinul trei

Determinantul (2.3) este suma a șase termeni, fiecare dintre care este produsul a trei elemente ale determinantului situate pe rânduri și coloane diferite. Mai mult, trei termeni sunt luați cu semnul plus, iar ceilalți trei - cu semnul minus.

Pentru a memora formula (2.3), se folosește regula triunghiurilor: trebuie să adăugați trei produse a trei elemente pe diagonala principală și la vârfurile a două triunghiuri cu o latură paralelă cu diagonala principală (Fig. 2.2, a), și scădeți trei produse ale elementelor pe diagonalele laterale și la vârfurile a două triunghiuri cu o latură paralelă cu diagonala laterală (Fig. 2.2.6).

De asemenea, puteți utiliza schema de calcul prezentată în Fig. 2.3 (regula Sarrus): atribuiți prima și a doua coloană matricei din dreapta, calculați produsele elementelor de pe fiecare dintre cele șase linii indicate și apoi găsiți suma algebrică a acestor produse, în timp ce produsul elementelor de pe liniile paralele cu diagonala principală se iau cu semnul plus , iar produsul elementelor pe drepte paralele cu diagonala laterală este cu semnul minus (conform notației din fig. 2.3).

Calculul determinanților de ordin N> 3.

Deci, am obținut formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Puteți continua calculele folosind formula (2.1) pentru și puteți obține formule pentru calcularea determinanților celui de-al patrulea, al cincilea etc. Comenzi. Prin urmare, definiția inductivă permite să se calculeze un determinant de orice ordine. Un alt lucru este că formulele vor fi greoaie și incomode pentru calcule practice. Prin urmare, determinanții de ordin superior (al patrulea și mai mult), de regulă, sunt calculați pe baza proprietăților determinanților.

Exemplul 2.1. Calculați determinanții

Soluţie. Prin formulele (2.2) și (2.3) găsim;

Formula pentru extinderea determinantului cu elementele unui rând (coloană)

Să fie dată o matrice pătrată de ordin.

Un element minor suplimentar se numește determinantul matricei de ordine obținute din matrice prin ștergere i-a linie iar coloana j-a.

Complementul algebric al unui element al unei matrice este minorul suplimentar al acestui element, înmulțit cu

Teorema 2.1 este o formulă pentru expansiunea unui determinant în termeni de elemente de rând (coloană). Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor șir arbitrar(coloană) pe lor complemente algebrice:

(descompunerea pe al-lea rând);

(descompunerea în coloana j-a).

Observații 2.1.

1. Demonstrarea formulei se realizează prin metoda inducției matematice.

2. În definiția inductivă (2.1), de fapt, se folosește formula de extindere a determinantului în ceea ce privește elementele primului rând.

Exemplul 2.2. Aflați determinantul unei matrice

Soluţie. Să extindem determinantul de-a lungul liniei a treia:

Acum extindem determinantul celui de-al treilea ordin din ultima coloană:

Determinantul de ordinul doi se calculează prin formula (2.2):

Determinant al unei matrice triunghiulare

Aplicăm formula de expansiune pentru a găsi determinantul matricei triunghiulare superioare

Să extindem determinantul cu ultima linie (linia a n-a):

unde este minorul suplimentar al elementului. Să notăm. Atunci. Rețineți că la ștergerea ultimului rând și a ultimei coloane a determinantului, obținem determinantul matricei triunghiulare superioare de aceeași formă ca, dar de ordinul (n-1) --lea. Extinderea determinantului de-a lungul ultimei linii ((n-1)-a linie), obținem. Continuând în același mod si avand in vedere asta, ajungem la formula. determinantul matricei triunghiulare superioare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

Observații 2.2

1. Determinantul matricei triunghiulare inferioare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

2. Determinantul matricei identitare este 1.

3. Determinantul unei matrice de formă triunghiulară se va numi determinant de formă triunghiulară. După cum se arată mai sus, determinantul unei forme triunghiulare (determinantul unei matrici triunghiulare superioare sau inferioare, în special una diagonală) este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

Proprietățile de bază ale determinanților (determinanților)

1. Pentru orice matrice pătrată, i.e. atunci când este transpus, determinantul nu se modifică. Din această proprietate rezultă că coloanele și rândurile calificatorului sunt „egale”: orice proprietate care este adevărată pentru coloane va fi adevărată pentru rânduri.

2. Dacă în determinant una dintre coloane este zero (toate elementele coloanei sunt egale cu zero), atunci determinantul este zero:.

3. La permutarea a două coloane, determinantul își schimbă semnul în opus (proprietatea antisimetriei):

4. Dacă determinantul are două coloane identice, atunci este egal cu zero:

5. Dacă determinantul are două coloane proporționale, atunci este egal cu zero:

6. Când toate elementele unei coloane a determinantului sunt înmulțite cu un număr, determinantul este înmulțit cu acest număr:

7. Dacă j-a coloană al determinantului este reprezentat ca suma a două coloane, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în care coloanele j-a sunt și, respectiv, iar celelalte coloane sunt aceleași:

8. Determinantul este liniar în orice coloană:

9. Determinantul nu se va modifica dacă la elementele unei coloane adunăm elementele corespunzătoare celeilalte coloane, înmulțite cu același număr:

10. Suma produselor elementelor oricărei coloane a determinantului prin complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare unei alte coloane este egală cu zero:

Observații 2.3

1. Prima proprietate a determinantului se dovedeste prin inductie. Demonstrațiile celorlalte proprietăți sunt efectuate folosind formula de expansiune a determinantului în ceea ce privește elementele coloanei. De exemplu, pentru a demonstra a doua proprietate, este suficient să extindeți determinantul în ceea ce privește elementele coloanei zero (presupuneți că coloana j-a este zero, adică):

Pentru a demonstra proprietatea 10, trebuie să citiți formula pentru extinderea determinantului de la dreapta la stânga, și anume, suma produselor elementelor coloanei i-a prin complementele algebrice ale elementelor j-a. coloana este reprezentată ca o expansiune în a j-a coloană a determinantului

în care elementele coloanei j-ro sunt înlocuite cu elementele corespunzătoare ale coloanei i-a. Conform celei de-a patra proprietăți, acest determinant este egal cu zero.

2. Din prima proprietate rezultă că toate proprietățile 2-10, formulate pentru coloanele determinantului, vor fi valabile și pentru rândurile acestuia.

3. Folosind formulele de extindere a determinantului în termeni de elemente de rând (coloană) și de proprietatea 10, concluzionăm că

4. Fie o matrice pătrată. O matrice pătrată de același ordin ca este numită adjunctă în raport cu dacă fiecare dintre elementele sale este egal cu complementul algebric al unui element al matricei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi matricea adjunctă, ar trebui:

a) înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric, în acest caz obținem o matrice;

b) găsiți matricea asociată prin transpunerea matricei.

Din formulele (2.4) rezultă că, unde este matricea unitară de același ordin ca.

Exemplul 2.5. Găsiți determinantul unei matrice bloc-diagonale, unde este o matrice pătrată arbitrară, este matricea de identitate și este matricea zero de ordinul corespunzător, este transpusă.

Soluţie. Să extindem determinantul de-a lungul ultimei coloane. Întrucât în această coloană toate elementele sunt zero, cu excepția ultimului, care este egal cu 1, obținem un determinant de același tip cu cel inițial, dar de ordin inferior. Extinderea determinantului rezultat peste ultima coloană, îi reducem ordinea. Continuând în același mod, obținem determinantul matricei. Prin urmare,

Metode de calculare a determinanților de ordinul n.

Lăsați un set comandat n elemente. Orice locație n elemente într-o anumită ordine se numește rearanjare dintre aceste articole.

Deoarece fiecare element este determinat de numărul său, vom spune că dat n numere naturale.

Numărul de permutări diferite de la n numerele sunt egale cu n!

Dacă într-o oarecare permutare din n numere număr i stă înainte j, dar i > j, adică numărul mai mare este înaintea celui mai mic, atunci ei spun că perechea i, j este inversiune.

Exemplul 1. Determinați numărul de inversiuni în permutare (1, 5, 4, 3, 2)

Soluţie.

Numerele 5 și 4, 5 și 3, 5 și 2, 4 și 3, 4 și 2, 3 și 2 formează inversiuni. Numărul total inversiunile în această permutare este 6.

Permutația se numește chiar, dacă numărul total de inversiuni din acesta este par, în caz contrar se numește ciudat... În exemplul de mai sus, este dată o permutare uniformă.

Să se dea o permutare..., i, …, j, … (*) ... Conversie în care numere iși j schimbă locurile, iar restul rămân la locurile lor, chemați transpunere... După transpunerea numerelor iși jîn permutare (*) primești o permutare..., j, …, i, ..., unde toate elementele cu excepția iși j au rămas la locurile lor.

Din orice permutare din n numere, puteți merge la orice altă permutare a acestor numere folosind mai multe transpoziții.

Orice transpunere modifică paritatea permutării.

La n ≥ 2 numărul de permutări pare și impare din n numerele sunt aceleași și egale.

Lăsa M Este un set ordonat de n elemente. Orice transformare bijectivă a unei mulțimi M numit substituţien- gradul.

Înlocuirile sunt scrise după cum urmează: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif "width =" 27 "height =" 19 "> si tot ik sunt diferite.

Substituţie numit chiar dacă ambele linii (permutările) au aceeași paritate, adică fie ambele sunt pare, fie ambele sunt impare. In caz contrar substituţie numit ciudat.

La n ≥ 2 numărul de substituții pare și impare nal gradul este același și egal.

Determinantul unei matrici pătrate A de ordinul doi A = este un număr egal cu = a11a22-a12a21.

Determinantul unei matrice este de asemenea numit determinant... Pentru determinantul matricei A se folosește următoarea notație: det A, ΔA.

Determinant pătrat matrici A = ordinul al treilea se numește număr egal cu │А│ = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11

Fiecare termen al sumei algebrice din partea dreaptă a ultimei formule este produsul elementelor matricei luate unul și numai unul din fiecare coloană și fiecare rând. Pentru a determina semnul produsului, este util să cunoașteți regula (se numește regula triunghiului), prezentată schematic în Fig. 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif "width =" 73 "height =" 75 src = ">.

Soluţie.

Fie A o matrice de ordin n cu elemente complexe:

А = https: //pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif "width =" 112 "height =" 27 src = "> (1) ..gif "lățime =" 111 "înălțime =" 51 "> (2) .

Determinantul de ordinul al n-lea, sau determinantul matricei pătrate A = (aij) pentru n> 1, este suma algebrică a tuturor produselor posibile de forma (1) , și munca (1) se ia cu semnul „+” dacă înlocuirea corespunzătoare (2) par și cu semnul „-” dacă înlocuirea este impară.

Minor Mij element aij determinant este determinantul obținut din original prin ștergere i a linia și j- a coloana.

Complement algebric Aij element aij determinant este numărul Aij=(–1) i+ jMij, Unde Mij – element minor aij.

Proprietăți determinante

1. Determinantul nu se modifică la înlocuirea tuturor rândurilor cu coloanele corespunzătoare (determinantul nu se va modifica la transpunere).

2. La permutarea a două rânduri (coloane), determinantul își schimbă semnul.

3. Determinant cu două rânduri (coloane) identice (proporționale) este egal cu zero.

4. Factorul comun pentru toate elementele unui rând (coloană) poate fi scos dincolo de semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) sunt adăugate elementelor unui anumit rând (coloană), înmulțite cu același număr diferit de zero.

6. Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci este egal cu zero.

7. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice (proprietatea de descompunere a determinantului într-un rând (coloană)).

Luați în considerare câteva metode de calcul al determinanților de ordine n .

1. Dacă cel puțin un rând (sau coloană) dintr-un determinant de ordinul n este format din zerouri, atunci determinantul este egal cu zero.

2. Fie ca un șir din determinantul de ordinul al n-lea să conțină elemente diferite de zero. Calculul determinantului de ordinul n-a se poate reduce în acest caz la calculul determinantului de ordinul n-1. Într-adevăr, folosind proprietățile determinantului, puteți face toate elementele unui șir, cu excepția unuia, zero, apoi puteți extinde determinantul de-a lungul șirului specificat. De exemplu, să rearanjam rândurile și coloanele determinantului astfel încât să fie în loc a11 a existat un element diferit de zero.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif "width =" 32 height = 37 "height =" 37 ">. gif" width = "307" height = "101 src =">

Rețineți că nu este necesar să rearanjați rândurile (sau coloanele). Puteți obține zerouri în orice rând (sau coloană) a calificatorului.

Nu există o metodă generală pentru calcularea determinanților de ordin n, cu excepția calculării determinanților unui ordin dat direct prin definiție. La determinantul cutare sau cutare un fel special aplica metode diferite calcule care conduc la determinanți mai simpli.

3. Să-l aducem într-o formă triunghiulară. Folosind proprietățile determinantului, îl aducem la așa-numita formă triunghiulară, când toate elementele de pe o parte a diagonalei principale sunt egale cu zero. Determinantul triunghiular rezultat este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Dacă este mai convenabil să obțineți zerouri pe o parte a diagonalei laterale, atunci va fi egal cu produsul elementelor diagonalei laterale, luate cu semnul https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif "width =" 49 "height = "37">.

Exemplul 3. Calculați determinantul prin expansiunea șirurilor

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif "width =" 612 "height =" 72 ">

Exemplul 4. Calculați determinantul de ordinul al patrulea

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif "width =" 373 "height =" 96 src = ">.

a 2-a cale(calcularea determinantului prin extinderea acestuia de-a lungul șirului):

Să calculăm acest determinant prin extinderea de-a lungul liniei, transformându-l anterior astfel încât în unele dintre liniile sale toate elementele, cu excepția unuia, dispar. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie a determinantului la a treia. Apoi înmulțiți a treia coloană cu (-5) și adăugați la a patra coloană. Extindem determinantul transformat de-a lungul celei de-a treia linii. Minorul de ordinul trei este redus la o formă triunghiulară în raport cu diagonala principală.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif "width =" 202 "height =" 121 src = ">

Soluţie.

Să scădem pe a doua din prima linie, pe a treia din a doua etc., în final, din penultima (ultima linie rămâne neschimbată).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif "width =" 445 "height =" 126 src = ">

Primul determinant din sumă este triunghiular față de diagonala principală, deci este egal cu produsul elementelor diagonale, adică (n – 1) n. Transformăm al doilea determinant în sumă adăugând ultimul rând la toate rândurile anterioare determinant. Determinantul obținut cu această transformare va fi triunghiular față de diagonala principală, deci va fi egal cu produsul elementelor diagonale, adică nn-1:

= (n – 1) n + (n – 1) n + nn-1.

4. Calculul determinantului folosind teorema lui Laplace. Dacă selectăm k rânduri (sau coloane) (1 £ k £ n-1) în determinant, atunci determinantul este egal cu suma produselor tuturor minorilor de ordinul k situate în k rânduri (sau coloane) selectate. prin complementele lor algebrice.

Exemplul 6. Calculați determinantul

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif "width =" 538 "height =" 209 src = ">

MUNCĂ INDIVIDUALĂ # 2

„CALCULUL DEFINITORILOR N-ORDINE”

Opțiunea 1

Calculați determinanții

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif "width =" 114 "height =" 94 src = ">

Opțiunea 2

Calculați determinanții

Pentru mai precise și definiție complexă iar pentru a vorbi despre determinanții de ordine mai mari decât al treilea, trebuie să vă amintiți altceva. Ne interesează termenul de substituție, nu atât definiția cât și modul de calcul al acestuia.

Următoarea intrare este acceptată pentru înlocuire:
, adică perechi de numere scrise într-o coloană și astfel încât numerele superioare să meargă secvenţial (în general, coloanele pot fi schimbate).

Înlocuirile pot fi pare și impare. A afla este înlocuire dată impar sau par, trebuie să acordați atenție celei de-a doua rânduri sau, mai degrabă, ordinii numerelor din ea. Este necesar să numărați numărul de perechi de numere din a doua linie, astfel încât numărul din stânga să fie mai multe numere La dreapta (). Dacă numărul de astfel de perechi este impar, atunci substituția se mai numește și impar și, în consecință, dacă numărul de astfel de perechi este par, atunci substituția se mai numește și par.

Exemplu:
1)

4 stă la stânga lui 3, la stânga lui 1, la stânga lui 2 - acestea sunt deja trei perechi „incorecte”.
3 este la stânga lui 1 și 2 - încă două perechi.
Sunt 5 perechi în total, adică aceasta este o înlocuire ciudată.
2)

Rețineți că numerele de pe prima linie sunt în ordine. Vom efectua o permutare a coloanelor.

Luați în considerare numerele din al doilea rând.
3 este la stânga lui 2 și 1 - două perechi,
2 este la stânga lui 1 - o pereche,
5 este la stânga lui 4 și 1 - două perechi,
4 este la stânga lui 1 - o pereche.
Sunt 6 perechi în total - înlocuirea este egală.

Definiția 2(pentru studenții specialităților matematice, dezvăluind întreaga esență a conceptului în curs de definire):

Determinantul de ordin al n-lea corespunzător matricei
,
se numește suma algebrică a termenilor, compusă astfel: termenii sunt tot felul de produse ale elementelor matriceale luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, iar termenul este luat cu semnul plus dacă indicii săi alcătuiesc o substituție pară, și cu semnul minus în cazul opus.
Cometariu: Să explicăm această definiție folosind exemplul unui determinant de ordinul trei, pentru care formula de calcul este deja cunoscută.
.
1) „suma algebrică a termenilor” -. Și da, într-adevăr, există șase termeni aici.
2) „termenii sunt tot felul de produse ale elementelor matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană” - luați în considerare, de exemplu, un termen. Primul său factor este luat din al doilea rând, al doilea din primul și al treilea din al treilea. La fel este și cu coloanele - primul este factorul din prima coloană, al doilea din a treia și ultimul din a doua.
3) „și termenul este luat cu un semn plus dacă indicii săi alcătuiesc o substituție pară, iar cu un semn minus - în cazul opus” - luați în considerare, de exemplu, termenii (cu semnul plus) și (cu un semn semnul minus).

Să compunem permutările astfel încât prima linie să conțină numerele de rând ale factorilor, iar a doua - numerele coloanei.
Pentru un termen: (prima coloană este indexul primului factor etc.)
Pentru termenul:.
Să determinăm paritatea acestor permutări:
a) - elementele din prima linie sunt în ordine. A doua linie conține perechi în afara ordinii:
2 la stânga lui 1 - o pereche,
3 la stânga lui 1 - o pereche.
Sunt două perechi în total, adică numărul de perechi este par, ceea ce înseamnă că permutarea este pară, ceea ce înseamnă că termenul trebuie inclus în sumă cu semnul plus (cum este în realitate).
b) - elementele din prima linie sunt în ordine. A doua linie conține perechi în afara ordinii:
2 la stânga lui 1 - o pereche.
În total, numărul de perechi de numere care stau în așa fel încât cel mai mare să fie în stânga celui mai mic este de 1 buc., i.e. este impar, ceea ce înseamnă că permutarea se numește impar, iar termenul corespunzător trebuie inclus în sumă cu semnul minus (da, este).
Exemplu(„Colecție de probleme în algebră” editată de AI Kostrikin, nr. 1001):

Aflați care dintre următoarele lucrări sunt incluse în expresia extinsă a determinanților ordinelor corespunzătoare și cu ce semne.
A)
Să acordăm atenție părții din definiție „unul din fiecare rând și fiecare coloană”. Toți primii indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Toți cei doi indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Concluzie - acest produs este inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 6.

3 la stânga lui 2, 1 - două perechi,
2 la stânga lui 1 - o pereche,
6 la stânga lui 5, 4 - două perechi,
5 la stânga lui 4 - o pereche.
Sunt 6 perechi în total, adică permutarea este pară și termenul este inclus în înregistrarea extinsă a determinantului cu semnul plus.

b)
Toți primii indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 5 (3, 1, 5, 4, 2). Toți cei doi indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Concluzie - acest produs este inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 5.
Să determinăm semnul acestui termen, pentru aceasta compunem o permutare a indicilor factorilor:

Să rearanjam coloanele astfel încât numerele din primul rând să meargă în ordine de la cel mai mic la cel mai mare.

3 la stânga lui 1, 2 - două perechi.
4 la stânga lui 1, 2 - două perechi,
5 la stânga lui 2 - o pereche.
Sunt 5 perechi în total, adică permutarea este impară și termenul este inclus în înregistrarea extinsă a determinantului cu semnul minus.
v) - să fim atenţi la primul şi al şaselea factor: şi. Ambele sunt preluate din coloana a 4-a, ceea ce înseamnă că acest produs nu poate fi inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 7.

Lăsa A = o matrice pătrată de ordinul n arbitrară cu elemente reale (sau complexe).

Definiția 7. Determinantul matricei A (determinantul Ordinul a N-a) Suma algebrică n! termeni, fiecare dintre care este produsul a n elemente ale matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană. În acest caz, produsul se ia cu semnul „+” dacă înlocuirea din indici a elementelor incluse în el este pară, iar cu semnul „-” în caz contrar.

Denumirea de identificare: | A| = .

De exemplu, pentru n = 6 produsul А21а13а62а34а46а55 este membru al calificatorului, deoarece conține exact un element din fiecare rând și din fiecare coloană. O substituție formată din indicii săi ar fi ... Are 4 inversiuni in linia de sus iar a doua inversare este în partea de jos. Numărul total de inversiuni este 6, adică substituția este pară. În consecință, acest produs este inclus în extinderea determinantului cu semnul „+”.

Muncă А21а13а62а34а46а15 nu este membru al calificatorului deoarece conține două elemente din primul rând.

Proprietăți determinante.

10. Atunci când este transpus, determinantul nu se modifică (amintim că transpunerea unei matrice și a unui determinant înseamnă schimbarea rândurilor și coloanelor).

Într-adevăr, dacă (-1) k este un membru al determinantului, atunci toate a1, a2,..., an sunt diferite și k este numărul de inversiuni în permutare (a1, a2,..., an). Când sunt transpuse, numerele de rând devin numere de coloană și invers. În consecință, în produs Toți factorii vor fi din diferite coloane și rânduri, adică acest produs va fi inclus în determinantul transpus. Semnul acestuia va fi determinat de numărul de inversiuni în înlocuire ... Dar acest număr este în mod evident egal cu k. Deci, (-1) k va fi membru al determinantului transpus. Deoarece am luat orice membru al determinantului dat și numărul de termeni din determinanții dați și transpuși este același, de aceea urmează egalitatea lor. Din proprietatea dovedită rezultă că tot ceea ce va fi dovedit pentru rândurile determinantului va fi adevărat și pentru coloanele acestuia.

20. Dacă toate elementele unui rând (sau coloanei) a determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

Aceasta rezultă din faptul că un element din rândul (sau coloana) specificat va fi inclus în fiecare membru al determinantului.

30. Dacă toate elementele unui rând al determinantului au factor comun, atunci poate fi scos dincolo de semnul determinantului.

Într-adevăr, dacă toate elementele k-lea rând au un factor comun l, atunci ele pot fi scrise ca. Orice membru al determinantului va avea forma (-1) s ... În consecință, factorul l poate fi scos din toți termenii determinantului.

40. Dacă două linii ale identificatorului sunt schimbate, atunci identificatorul va schimba semnul.

Într-adevăr, dacă (-1) k este orice membru al determinantului dat, atunci în noul determinant numerele de rând p și q se vor schimba locurile, iar numerele coloanei rămân aceleași. Prin urmare, în noul determinant, același produs va apărea sub forma (-1) s. Deoarece a avut loc o transpunere în numerele liniilor și numerele coloanei nu s-au schimbat, k și s au parități opuse. Deci, toți membrii acestui determinant și-au schimbat semnul, prin urmare, determinantul însuși și-a schimbat semnul.

50. Dacă două drepte ale determinantului sunt proporționale, atunci determinantul este zero.

Într-adevăr, fie toate elementele rândului k să fie egale cu elementele corespunzătoare ale rândului p înmulțite cu l, adică | A| = = = 0.

60. Dacă în determinant toate elementele rândului k sunt sumele a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în care toate rândurile, cu excepția k-lea, sunt aceleași ca în acest determinant. În locul elementelor din k-lea rând al unuia dintre ele, există primii termeni ai elementelor k-lea rând al determinantului dat și în locul elementelor k-lea rând al celui de-al doilea - al doilea lor mandat.

Fie elementele liniei k-a fie + CK1,+ Ck2, …. , + Scn... Atunci orice membru al determinantului va avea forma

(-1) s = (-1) s + (-1) s .

Culegând toți primii termeni, obținem un determinant care diferă de cel dat doar în rândul k. În locul liniei k-a va exista , ,…. ,. Culegând toți cei doi termeni, obținem determinantul care diferă și el de cel dat doar în rândul k. Linia k-a va conține Ck1, ck2, …. , Scn.

70. Dacă unei linii a determinantului adăugăm o alta dintre liniile sale, ale cărei elemente sunt înmulțite cu același număr, atunci determinantul nu se va modifica.

Această proprietate este o consecință a celor două anterioare.

Dacă determinantul | A| ștergeți rândul k și coloana p, apoi rămâne determinantul ordinului (n – 1). Se numeste Minor complementar la element și notat Mcr... Numărul (-1) k + p × M Cr Chemat Complement algebric pentru element și notat Acru.

80. Complementul minor și algebric suplimentar nu depinde de elementul care se află în rândul k și coloana p a determinantului.

Lema 1 D = . (8)

Dovada. Dacă A11= 0, atunci egalitatea (8) este evidentă. Lăsa A11¹ 0. Deoarece fiecare membru al determinantului conține exact un element din primul rând, numai cei care includ A11... Toate au forma , unde gk și k variază de la 2 la N... Semnul acestui termen în determinantul D este determinat de paritatea substituției s = Astfel, D este o sumă algebrică a termenilor de forma Cu caractere specificate de substituția s. Dacă această sumă este scoasă din paranteză A11, atunci obținem că D = A11× S, Unde S Există o sumă algebrică a termenilor de formă, al cărei semn este determinat de substituția s. Acești termeni, evident, ( N- unu)!. Dar substituția s și substituția au aceeași paritate. Prin urmare, S = M 11. Din moment ce A11 =(-1) 1 + 1 × M 11 = M 11, atunci D = A11× А11.

Lema 2. D = (9)

Dovada.În determinantul D, rearanjam al-lea rând secvenţial cu fiecare precedent. În acest caz, linia p va lua locul primei linii, dar complementara minoră cu elementul Ark Nu se va schimba. Totalul se va face ( R- 1) permutarea liniilor. Dacă noul determinant este notat cu D1, atunci D1 = (-1) p-1 × D. În determinantul D1, rearanjam LA-a coloană secvenţial cu fiecare coloană anterioară, în timp ce faceţi ( LA- 1) permutarea coloanelor și complementare minore la Ark, Nu se va schimba. Primești un determinant

D2 = ... Evident, D2 = (-1) k-1 × D1 = (-1) p + k-2 × D = (-1) p + k × D. După lema 1, D2 = Ark× M Rk. Prin urmare, D = Ark× (-1) p + k × M Pk = Ark× Arca.

Teorema 3. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând prin complementele lor algebrice, adică D = Ak1Ak1 + ak2× Ak2 + ... + aKn× AKn (10).

Dovada. Fie D =. Scriem elementele liniei k-a sub forma Ak1 = al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A... Folosind proprietatea 60, obținem că D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + AA(am folosit Lema 2).

Teorema 4. Suma produselor elementelor unui rând al determinantului prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale celuilalt rând este egală cu zero.

Dovada. Fie D = ... Prin teorema anterioară

D =. Dacă luăm, atunci în determinantul D vor fi doi linii identice, adică D va fi egal cu zero. Prin urmare, 0 = dacă p ¹ k.

Cometariu. Teoremele 3 și 4 vor fi adevărate dacă în formulările lor cuvântul „rând” este înlocuit cu cuvântul „coloană”.

Metoda de calcul a determinantuluiOrdinul a N-a.

Pentru a calcula determinantul N-a ordinul, este suficient să obțineți cât mai multe zerouri în orice rând (sau coloană) folosind proprietatea 70 și apoi folosiți Teorema 3. În acest caz, calculul determinantului de ordinul n-lea se va reduce la calcul a determinantului ( N- 1) ordinul.

Exemplu. Calculați determinantul D = .

. Să obținem zerouri în a doua linie. Pentru asta A doua coloană 1) înmulțiți cu (-2) și adăugați la prima coloană; 2) adăugați la a treia coloană; 3) înmulțiți cu (-4) și adăugați la a patra coloană. Obținem că D = ... Să extindem determinantul rezultat cu elementele celei de-a doua linii. Mai mult, produsele tuturor elementelor acestui rând prin complementele lor algebrice, cu excepția elementului 1, sunt egale cu zero. Pentru a obține complementul algebric pentru elementul 1, trebuie să tăiați rândul și coloana în care se află acest element, adică al doilea rând și a doua coloană. Semnul complement algebric definește (-1) 2 + 2 = (-1) 4 = +1. Deci D = +. A primit determinantul ordinului al treilea. Acest determinant poate fi calculat folosind diagonale și triunghiuri, dar poate fi redus la un determinant de ordinul doi. Multiplica Prima coloană 1) cu (-4) și adăugați la a doua coloană, 2) înmulțiți-l cu 2 și adăugați la a treia coloană. Înțelegem asta

Considerăm o matrice pătrată de ordinul doi

Definiție... Determinantul unei matrici pătrate de ordinul doi este un număr egal cu a 11 la 22 -a 12 la 21și notează printr-un simbol, adică

Determinantul unei matrice este de asemenea numit determinant... Notarea determinantului matriceal A: |A|, Δ, det A, det (a ij).

Acum luați în considerare matricea pătrată de ordinul trei

La calcularea determinantului de ordinul al treilea, este util să cunoaștem regula triunghiului: cu semnul plus există produse de triplete de numere situate pe diagonala principală a matricei, iar la vârfurile triunghiurilor cu o bază paralelă cu această diagonală. și un vârf în colțul opus al matricei. Cu semnul minus există triple din a doua diagonală și din triunghiuri construite față de această diagonală. Următoarea diagramă demonstrează această regulă. În diagramă, albastru (în stânga) marchează elementele ale căror lucrări vin cu semnul plus, iar în roșu (în dreapta) - cu semnul minus.

Acum să dăm o definiție.

Definiție... Determinantul unei matrici pătrate de ordinul trei este numărul

Definiție... Minorul oricărui element al determinantului este determinantul obținut din cel dat prin ștergerea acelui rând și a acelei coloane căreia îi aparține element dat... Element minor un ik denota M ik.

Definiție... Element minor un 21 determinantul ordinului al treilea al matricei este determinantul ordinului al doilea

Definiție un ik determinant se numește minorul său, luat cu un semn (-1) i + k.

Complement algebric al unui element un ik denota A ik... Prin definitie

Regula pentru determinarea semnului unui complement algebric (folosind exemplul unui determinant de ordinul trei):

Exemplu... Complement algebric al unui element un 21 este o

Teorema de descompunere... Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice.

Proprietăți determinante

Determinantul nu se va schimba dacă toate rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare.
Când două coloane (rânduri) sunt rearanjate, determinantul își schimbă semnul.
Determinant cu doi coloane identice(linii) este egal cu zero.
Factorul comun elementelor unei anumite coloane (rând) poate fi mutat în afara semnului determinant.
Determinantul cu două coloane (rânduri) proporționale este zero.
Determinantul este egal cu zero dacă toate elementele unei coloane (rânduri) sunt egale cu zero.
Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare unei alte coloane (rând) sunt adăugate elementelor unei anumite coloane (rând), înmulțite anterior cu același factor.

cometariu... Dacă într-un determinant toate elementele unei anumite coloane (rânduri) sunt egale cu sumele a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți corespunzători.

De exemplu,

Determinanți n-a comanda

Luați în considerare o matrice pătrată n-a comanda

Conceptul de determinant al acestei matrice sau determinant n ordinea este introdusă inductiv, presupunând că noțiunea de determinant de ordine a fost deja introdusă n-1 corespunzător matrice pătrată (n-1) comanda.

Definiția minorului unui element de matrice și complementul său algebric sunt valabile pentru determinanții de orice ordin.

Definiție... Determinant al ordinii n corespunzătoare matricei A n-al-lea, se numește număr egal cu (M 1k- element minor o 1k) și notate cu unul dintre simboluri

Deci prin definiție

Această formulă exprimă regula de alcătuire a determinantului de ordine n de elementele primului rând al matricei corespunzătoare și de complementele algebrice ale acestor elemente, care este determinantul ordinii n-1 luate cu semne adecvate.

Pentru un determinant de orice ordin, toate proprietățile și teoremele obținute și demonstrate pentru un determinant de ordinul trei sunt adevărate.

Să formulăm teorema principală:

Teorema [Teorema substituției]... Oricare ar fi numărul liniei i (i = 1,2, ..., n), pentru determinant n Ordinul, următoarea formulă este valabilă

numită expansiunea acestui determinant în i a linia.

Deoarece proprietatea 1 a determinanților este adevărată, determinantul poate fi extins și pe coloana:

Exemple de

Calculăm următorul determinant:

Scădeți al doilea rând din primul și al treilea. Apoi adăugăm primul la al treilea și scoatem factorul comun din al treilea:

Acum la a doua linie adăugăm a treia, înmulțită cu 7, iar la a patra adăugăm a treia, înmulțită cu 2. Apoi scoatem factorul comun din al patrulea rând:

Să extindem determinantul din a doua coloană (semnele indică valoarea (-1) i + j cu o cheie minoră). Rețineți că există un singur element diferit de zero în coloană; prin urmare, doar un determinant de ordinul trei va rămâne în expansiune. În cele din urmă, tragem răspunsul folosind formula pentru determinantul de ordinul trei.

Să mai dăm câteva exemple pentru determinanții de ordine diferite.