Căutați un complement algebric. Complement algebric

determinant prin elemente de rând sau coloană

Alte proprietăți sunt legate de conceptele de complement minor și algebric

Definiție. Minor elementul se numește determinant compus din elemente rămase după ștergerei-al-lea scurgere șija-a coloană, la intersecția căreia se află acest element. Minor al elementului determinant n-a ordinea este de ordin ( n- unu). O vom nota prin.

Exemplul 1. Lăsa , atunci .

Acest minor se obține de la A ștergând al doilea rând și a treia coloană.

Definiție. Complement algebric elementul se numește minorul corespunzător înmulțit cu nat. , Undei–Numărul rândului șij-coloana la intersectia careia se afla acest element.

VІІІ. (Descompunerea determinantului de elementele unei anumite șiruri). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând prin complementele algebrice corespunzătoare.

.

Exemplul 2. Lasă, atunci

.

Exemplul 3. Să găsim determinantul matricei extinzându-l în elementele primului rând.

Formal, această teoremă și alte proprietăți ale determinanților sunt aplicabile până acum numai pentru determinanții matricilor nu mai mari decât ordinul al treilea, deoarece nu am luat în considerare alți determinanți. Următoarea definiție va extinde aceste proprietăți la determinanți de orice ordine.

Definiție. Determinant matrici A de ordinul n este un număr calculat prin aplicarea succesivă a teoremei de descompunere și a altor proprietăți ale determinanților.

Puteți verifica că rezultatul calculelor nu depinde de succesiunea în care și pentru ce rânduri și coloane sunt aplicate proprietățile de mai sus. Determinantul este găsit fără ambiguitate cu ajutorul acestei definiții.

Deși această definiție nu conține o formulă explicită pentru găsirea determinantului, vă permite să-l găsiți reducându-l la determinanți ai matricelor de ordin inferior. Astfel de definiții sunt numite recurent.

Exemplul 4. Calculați determinantul:.

Deși teorema de descompunere poate fi aplicată oricărui rând sau coloană dintr-o matrice dată, există mai puține calcule implicate în descompunerea unei coloane care conține cât mai multe zerouri.

Deoarece matricea nu are elemente zero, le obținem folosind proprietatea 7). Înmulțiți primul rând succesiv cu numerele (–5), (–3) și (–2) și adăugați-l la rândurile 2, 3 și 4 și obțineți:

Extindem determinantul rezultat în prima coloană și obținem:

(scoatem din prima linie (–4), din a 2-a - (–2), din a 3-a - (–1) conform proprietății 4)

(deoarece determinantul conține două coloane proporționale).

§ 1.3. Unele tipuri de matrice și determinanții lor

Definiție. m pătrat matrice cu zero elemente sub sau deasupra diagonalei principale(= 0 pentru i j, sau = 0 pentru i j) numittriunghiular .

Continuăm să vorbim despre acțiuni cu matrice. Și anume - în cursul studierii acestei prelegeri, veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este strânsă.

Ce este o matrice inversă? Aici puteți trage o analogie cu numerele reciproce: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și inversul său. Produsul acestor numere este egal cu unu:. Cu matrice, totul este similar! Produsul unei matrice prin matricea sa inversă este - matrice de identitate, care este analogul matriceal al unei unități numerice. Cu toate acestea, în primul rând, vom rezolva o problemă practică importantă, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide determinanți... Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi inversul unei matrice:
prin intermediul complemente algebriceși folosind transformări elementare.

Astăzi vom explora primul mod, mai ușor.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Considera pătrat matrice. Matricea inversă poate fi găsită prin următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există doar pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Denumiri: După cum probabil ați observat deja, inversul matricei este indicat printr-un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, „trei cu trei” este necesar, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a stăpâni principiul general al soluției.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Noi decidem. Secvența de acțiuni poate fi împărțită convenabil în puncte.

1) Mai întâi, găsiți determinantul matricei.

Dacă înțelegerea dvs. despre această acțiune nu este suficient de bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important!În cazul în care determinantul matricei este ZERO- matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, așa cum sa dovedit, ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea, adică în în acest caz.
Chestia este mică, rămâne să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Înapoi la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați cu Gândire rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor al acestui element, pe care le scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimitem mental rândul și coloana în care se află acest element:

Ceea ce a mai rămas este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din a doua linie și găsim minorii acestora:


Gata.

E simplu. În matricea minorilor, ai nevoie SCHIMBARE SEMNE doua numere:

Acestea sunt numerele pe care le-am încercuit!

- o matrice de complemente algebrice ale elementelor corespondente ale matricei.

Și este doar...

4) Aflați matricea transpusă a complementelor algebrice.

- matrice transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

5) Răspuns.

Amintindu-ne formula
Totul este găsit!

Deci inversul matricei este:

Răspunsul este cel mai bine lăsat așa cum este. NU ESTE NEVOIEÎmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece obțineți numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Operații cu matrice.

Cum pot verifica soluția?

Este necesar să se efectueze înmulțirea matriceală sau

Examinare:

Cele deja menționate matrice de identitate Este o matrice cu unele activate diagonala principalăși zerouri în altă parte.

Astfel, inversul este corect.

Dacă efectuați o acțiune, atunci rezultatul va fi și matricea de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai multe informații găsiți în articol Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Expresii matriceale... De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o tehnică standard.

Să trecem la un caz mai frecvent în practică - matricea „trei cu trei”:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul doi câte doi.

Găsim matricea inversă prin formula:, unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are o dimensiune „trei cu trei” și trebuie să găsim nouă numere.

Voi intra în detaliu câteva detalii minore:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Tăiați cu Gândiș rândul și coloana în care se află acest element:

Cele patru numere rămase sunt scrise în determinantul „două câte doi”

Acest calificativ este „două câte doi” și este minorul acestui element... Trebuie calculat:


Asta e, minorul este găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, există nouă determinanți doi câte doi care trebuie calculați. Procesul, desigur, este trist, dar cazul nu este cel mai dificil, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida - găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri restul minorilor.

Rezultat final:
- matricea minorilor elementelor corespondente ale matricei.

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pură coincidență.

3) Aflați matricea complementelor algebrice.

În matricea minorilor este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Găsirea matricei inverse pentru matricea „patru cu patru” nu este luată în considerare, deoarece o astfel de sarcină poate fi dată doar de un profesor sadic (astfel încât elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei” ”). În practica mea, am întâlnit un singur astfel de caz, iar clientul testului mi-a plătit chinul destul de scump =).

Într-o serie de manuale, manuale, puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, cu toate acestea, vă recomand să utilizați algoritmul de soluție de mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Minor M ij element a ij determinant n -a ordinea se numește determinantul ordinii ( n-1 ), obținut din determinantul dat prin ștergerea rândului și coloanei în care se află acest element ( i -a linia și j a coloana).

Complement algebric element a ij dat de expresia:

Determinanți ai ordinii n>3 sunt calculate folosind teorema expansiunii determinantului în termeni de elemente de rând sau coloană:

Teorema. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând sau al oricărei coloane prin complementele algebrice corespunzătoare acestor elemente, i.e.

Exemplu.

Calculați determinantul extinzându-l pe elemente de rând sau coloană:

Soluţie

1. Dacă într-un rând sau într-o coloană există un singur element diferit de zero, atunci nu este nevoie să transformați determinantul. În caz contrar, înainte de a aplica teorema de descompunere a determinantului, o transformăm folosind următoarea proprietate: dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite cu un factor arbitrar, se adaugă elementelor unui rând (coloană), atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Scădeți elementele corespunzătoare din rândul 2 din elementele din rândul 3.

Din elementele din coloana 4, scădeți elementele corespunzătoare din coloana 3, înmulțite cu 2.

Extinderea determinantului în ceea ce privește elementele celei de-a treia linii

2. Determinantul obţinut de ordinul trei poate fi calculat după regula triunghiurilor sau după regula lui Sarrus (vezi mai sus). Cu toate acestea, elementele determinantului sunt numere destul de mari, așa că să extindem determinantul, transformându-l anterior:

Din elementele celui de-al doilea rând, scădeți elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu 3.

Scădeți elementele corespunzătoare din al treilea rând din elementele primei linii.

La elementele liniei 1, adăugați elementele corespunzătoare ale liniei 2

Determinantul șirului nul este 0.

Deci determinanții de ordine n>3 calculat:

· Transformarea determinantului într-o formă triunghiulară folosind proprietățile determinanților;

· Descompunerea determinantului în termeni sau elemente de coloană, scăzând astfel ordinea acestuia.

Rangul matricei.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare.

Să luăm o matrice A Ordin p X n ... Lăsa k - un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numere p și n , acesta este,

Minor de ordinul k matrici A se numește determinantul unei matrici pătrate de ordine k X k compus din elemente de matrice A care sunt în preselectate k linii şi k coloane și aranjarea elementelor matricei A persistă.

Luați în considerare matricea:

Să scriem mai multe minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă selectăm al treilea rând și a doua coloană a matricei A , atunci alegerea noastră corespunde det minorului de ordinul întâi (-4) = - 4. Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matrice A , iar din elementul rămas sa făcut un determinant.

Astfel, minorii de ordinul întâi ale matricei sunt elementele matricei în sine.

Arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, să luăm primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere, avem un minor de ordinul doi
.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este minor

Minorii de ordinul al treilea al matricei pot fi găsiți în mod similar A ... Deoarece în matrice A doar trei linii, apoi selectați-le pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane pentru aceste rânduri, obținem un minor de ordinul al treilea:

Un alt minor de ordinul trei este:

Pentru o matrice dată A minori de ordin mai mare decât al treilea nu există, întrucât

Câți minori sunt k -Wow ordinea matricei A Ordin p X n ? Mult!

Numărul de minori de ordine k se poate calcula cu formula:

După rangul matricei se numește ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Rangul matricei A notat ca a sunat (A). Din definițiile rangului unei matrice și a unui minor al unei matrice, putem concluziona că rangul unei matrice zero este zero, iar rangul unei matrice nenule este cel puțin unul.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda forței brute ... Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul matricei A Ordin p X n .

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, repetăm ​​minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi diferit de zero, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei, iar rangul matricei este de cel puțin doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem peste minorii de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numere p și n .

Exemplu.

Aflați rangul matricei
.

Soluţie.

1. Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său este de cel puțin unu.

2. Unul dintre minorii de ordinul doi
este diferit de zero, deci rangul matricei A cel putin doua.

3. Minorii de ordinul al treilea

Toți minorii de ordinul trei sunt zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

sunat (A) = 2.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda minoră limită ... Cu această metodă, calculele sunt oarecum reduse și, totuși, sunt destul de greoaie.

Există o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare (metoda Gauss).

Următoarele transformări matrice sunt numite elementar :

· Permutarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;

Înmulțirea tuturor elementelor din orice rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k diferit de zero;

Adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă V obtinut de la A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbol « ~ » , adică este scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări matrice elementare se bazează pe afirmația: dacă matricea V obtinut din matrice A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci r ang (A) = sunat (B) , adică rangurile matricelor echivalente sunt .

Esența metodei transformărilor elementare este reducerea matricei, al cărei rang trebuie să-l găsim, la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

Rangul matricelor de acest fel este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și întrucât rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți rangul matricei

.

Soluţie.

1. Să schimbăm primul și al doilea rând al matricei A întrucât elementul a 11 = 0și element un 21 diferit de zero:

~

În matricea rezultată, elementul este egal cu unu. În caz contrar, a fost necesar să se înmulțească elementele primului rând cu. Să facem ca toate elementele primei coloane, cu excepția primei, zero. A doua linie conține deja zero și adăugați primul înmulțit cu 2 la a treia linie:

Elementul din matricea rezultată este diferit de zero. Să înmulțim elementele celui de-al doilea rând cu

A doua coloană a matricei rezultate are forma dorită, deoarece elementul este deja egal cu zero.

pentru că , A , apoi vom schimba a treia și a patra coloană și vom înmulți al treilea rând al matricei rezultate cu:

Matricea originală este redusă la una trapezoidală, rangul său este egal cu numărul de rânduri care conțin cel puțin un element diferit de zero. Există trei astfel de rânduri, prin urmare rangul matricei originale este de trei. r ang (A) = 3.

Matrice inversă.

Să avem o matrice A .

Prin matricea inversă matricei A se numește matrice A -1 astfel încât A -1 A = A A -1 = E .

O matrice inversă poate exista doar pentru o matrice pătrată. Mai mult, este în sine aceeași dimensiune ca matricea originală.

Pentru ca o matrice pătrată să aibă o inversă, aceasta trebuie să fie nedegenerată (adică Δ ≠0 ). Această condiție este suficientă și pentru existență A -1 la matrice A ... Deci, orice matrice nedegenerată are o inversă și, în plus, una unică.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind exemplul unei matrice A :

1. Aflați determinantul matricei. Dacă Δ ≠0 , apoi matricea A -1 există.

2. Să compunem matricea В a complementelor algebrice ale elementelor matricei originale A ... Acestea. în matrice V element i - oh linie și j - coloana-a va fi complementul algebric A ij element a ij matricea originală.

3. Transpuneți matricea V si ia B t .

4. Aflați matricea inversă înmulțind matricea rezultată B t după număr .

Exemplu.

Pentru o matrice dată, găsiți inversul și verificați:

Soluţie

Să folosim algoritmul descris anterior pentru a găsi matricea inversă.

1. Pentru a afla existența matricei inverse este necesar să se calculeze determinantul matricei date. Să folosim regula triunghiului:

Matricea este nedegenerată, prin urmare, este reversibilă.

Să găsim complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei:

Din adunările algebrice găsite, se compilează o matrice:

și transpus

Împărțind fiecare element al matricei rezultate la determinant, obținem matricea inversă față de cea originală:

Verificarea se efectuează prin înmulțirea matricei rezultate cu cea inițială. Dacă inversul este găsit corect, înmulțirea are ca rezultat matricea de identitate.

Pentru a găsi matricea inversă pentru una dată, puteți utiliza metoda Gauss (desigur, trebuie să vă asigurați mai întâi că matricea este reversibilă), a cărei considerație o las pentru lucru independent.

© 2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-10-12

Complement algebric- conceptul de algebră matriceală; aplicat elementului aij al matricei pătrate A, se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1) i + j; se notează cu Аij: Aij = (1) i + jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A =, adică. identificator ...... Dicţionar de economie şi matematică

complement algebric- Conceptul de algebră matriceală; aplicat elementului aij al matricei pătrate A, se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1) i + j; se notează cu Аij: Aij = (1) i + jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A =, adică. determinant al matricei, ...... Ghidul tehnic al traducătorului

Complement algebric- vezi art. determinant... Marea Enciclopedie Sovietică

SUPLIMENT ALGEBRIC- pentru un M minor, un număr egal cu unde M este un minor de ordinul k, situat în rânduri cu numere și coloane cu numere ale unei matrice pătrate de ordin n; determinant al matricei de ordin n k obținut din matricea A prin tăierea rândurilor și coloanelor minorului M; ... ... Enciclopedia de matematică

Plus- Wikționarul conține un articol „adăugare”. Adăugarea poate însemna... Wikipedia

PLUS- operatia, de altfel, pune in corespondenta unei submultimi M a multimii date X o alta submultime astfel incat daca se cunosc Mi N, atunci multimea X poate fi restabilita intr-un fel sau altul.In functie de ce structura multimea X este dotat cu, ...... Enciclopedia de matematică

DETERMINANT- sau determinant, la matematică, înregistrarea numerelor sub formă de tabel pătrat, în conformitate cu care se pune un alt număr (valoarea determinantului). Foarte des, conceptul de determinant înseamnă atât sensul determinantului, cât și forma înregistrării acestuia. ...... Enciclopedia lui Collier

teorema lui Laplace- Pentru o teoremă din teoria probabilităților, vezi articolul Teorema locală a lui Moivre Laplace. Teorema lui Laplace este una dintre teoremele algebrei liniare. Numit după matematicianul francez Pierre Simon Laplace (1749 1827), căruia i se atribuie formularea ... ... Wikipedia

matricea Kirchhoff- (matricea laplaciană) una dintre reprezentările grafice folosind o matrice. Matricea Kirchhoff este folosită pentru a număra arborii care se întind ai unui graf dat (teorema arborelui matricei) și este folosită și în teoria grafurilor spectrale. Cuprins 1 ... ... Wikipedia

ECUATII- O ecuație este o relație matematică care exprimă egalitatea a două expresii algebrice. Dacă egalitatea este adevărată pentru orice valori admisibile ale necunoscutelor incluse în ea, atunci se numește identitate; de exemplu, un raport al formei ...... Enciclopedia lui Collier

Cărți

• Matematică discretă, A.V. Chashkin. 352 pagini.Manualul este format din 17 capitole despre principalele secțiuni ale matematicii discrete: analiza combinatorie, teoria grafurilor, funcțiile booleene, complexitatea computațională și teoria codificării. Contine...

Definiție. Dacă în determinantul de ordinul a n-a alegem în mod arbitrar k rânduri și k coloane, atunci elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor indicate formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul unei astfel de matrice pătrate se numește ordinul k-lea minor .

Este notat cu M k. Dacă k = 1, atunci minorul de ordinul întâi este un element al determinantului.

Elementele de la intersecția (n-k) rânduri și (n-k) coloane rămase formează o matrice pătrată de ordin (n-k). Determinantul unei astfel de matrice se numește minor, adiţional la minorul M k. Se notează cu M n-k.

Complementul algebric al minorului M kîl vom numi minor suplimentar luat cu semnul „+” sau „-” în funcție de faptul dacă suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor în care se află minorul M k este pară sau impară.

Dacă k = 1, atunci complementul algebric al elementului un ik calculate prin formula

A ik = (- 1) i + k M ik, unde M ik- ordin minor (n-1).

Teorema... Produsul unui minor de ordin k prin complementul său algebric este egal cu suma unui anumit număr de termeni din determinantul D n.

Dovada

1. Luați în considerare un caz particular. Fie că minorul M k ocupă colțul din stânga sus al determinantului, adică este situat în linii numerotate 1, 2, ..., k, atunci minorul M nk va ocupa linii k + 1, k + 2, . .., n.

Să calculăm complementul algebric la minorul M k. Prin definitie,

A n-k = (- 1) s M n-k, unde s = (1 + 2 + ... + k) + (1 + 2 + ... + k) = 2 (1 + 2 + ... + k), atunci

(-1) s= 1 și A n-k = M n-k... Primim

M k A n-k = M k M n-k. (*)

Luăm un termen minor arbitrar M k

, (1)

unde s este numărul de inversiuni în substituție

și un termen minor arbitrar M n-k

unde s * este numărul de inversiuni în substituție

(4)

Înmulțind (1) și (3), obținem

Produsul este format din n elemente situate în diferite rânduri și coloane ale determinantului D. Prin urmare, acest produs este membru al determinantului D. Semnul produsului (5) este determinat de suma inversiilor din substituțiile (2) și (4), iar semnul produsului similar în determinantul D se determină numărul de inversiuni sk în substituție

Evident, s k = s + s *.

Astfel, revenind la egalitate (*), obținem că produsul M k A n-k este format numai din membrii determinantului.

2. Fie minorul M k situat pe liniile numerotate i 1, i 2, ..., i k iar în coloanele cu numere j 1, j 2, ..., j k,în plus eu 1< i 2 < ...< i k și j 1< j 2 < ...< j k .

Folosind proprietățile determinanților, cu ajutorul transpozițiilor, deplasați minorul în colțul din stânga sus. Obținem un determinant D ¢ în care minorul M k ocupă colțul din stânga sus și un M ¢ minor suplimentar n-k este colțul din dreapta jos, apoi, așa cum s-a dovedit la punctul 1, obținem că produsul M k M ¢ n-k este suma unui anumit număr de elemente ale determinantului D ¢ luate cu semnul propriu. Dar D ¢ se obține din D folosind ( i 1 -1) + (i 2 -2) + ... + (i k -k) = (i 1 + i 2 + ... + i k) - (1 + 2 + ... + k) transpuneri de șiruri și ( j 1 -1) + (j 2 -2) + ... + (j k -k) = (j 1 + j 2 + ... + j k) - (1 + 2 + ... + k) transpuneri de coloane. Adică totul a fost făcut

(i 1 + i 2 + ... + ik) - (1 + 2 + ... + k) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - (1 + 2 + ... + k ) = (i 1 + i 2 + ... + ik) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - 2 (1 + 2 + ... + k) = s-2 (1 + 2 + ... + k). Prin urmare, termenii determinanților D și D ¢ diferă în semnul (-1) s-2 (1 + 2 + ... + k) = (- 1) s, prin urmare, produsul (-1) s M k M ¢ n-k va consta dintr-un anumit număr de membri ai determinantului D, luați cu aceleași semne pe care le au în acest determinant.

teorema lui Laplace... Dacă, în determinantul de ordinul al n-lea, alegem în mod arbitrar k rânduri (sau k coloane) 1 £ k £ n-1, atunci suma produselor tuturor minorilor de ordinul k conținute în rândurile selectate prin complementele lor algebrice este egală cu determinant D.

Dovada

Să alegem în mod arbitrar liniile i 1, i 2, ..., i k si dovedeste asta

Mai devreme s-a demonstrat că toate elementele din partea stângă a egalității sunt conținute ca termeni în determinantul D. Să arătăm că fiecare termen al determinantului D se încadrează doar într-unul dintre termeni. Într-adevăr, orice t s are forma t s =... dacă în acest produs notăm factorii cu primii indici i 1, i 2, ..., i k, și compuneți produsul lor, apoi puteți observa că produsul rezultat aparține ordinului k-lea minor. În consecință, termenii rămași prelevați din n-k rânduri și n-k coloane rămase formează un element aparținând minorului suplimentar, și ținând cont de semn, complementului algebric, deci, orice t s se încadrează doar într-unul dintre produse, ceea ce demonstrează teorema.

Consecinţă(teorema expansiunii unui determinant pe rând) . Suma produselor elementelor unui anumit rând al determinantului prin complementele algebrice corespunzătoare este egală cu determinantul.

(Dovada ca exercițiu.)

Teorema... Suma produselor elementelor din rândul i al determinantului prin complementele algebrice corespunzătoare elementelor din rândul j (i¹j) este egală cu 0.