Determinant al unei matrice simetrice de ordinul n. Permutări și substituții

28.04.2019 Televizoare (Smart TV)

Pentru mai precise și definiție complexă iar pentru a vorbi despre determinanții de ordine mai mari decât al treilea, trebuie să vă amintiți altceva. Ne interesează termenul de substituție, nu atât definiția cât și modul de calcul al acestuia.

Următoarea intrare este acceptată pentru înlocuire:
, adică perechi de numere scrise într-o coloană și astfel încât numerele superioare să meargă secvenţial (în general, coloanele pot fi schimbate).

Înlocuirile pot fi pare și impare. A afla este înlocuire dată impar sau par, trebuie să acordați atenție celei de-a doua rânduri sau, mai degrabă, ordinii numerelor din ea. Este necesar să numărați numărul de perechi de numere din a doua linie, astfel încât numărul din stânga să fie mai mare decât numărul din dreapta (). Dacă numărul de astfel de perechi este impar, atunci substituția se mai numește și impar și, în consecință, dacă numărul de astfel de perechi este par, atunci substituția se mai numește și par.

Exemplu:
1)

4 stă la stânga lui 3, la stânga lui 1, la stânga lui 2 - acestea sunt deja trei perechi „incorecte”.
3 este la stânga lui 1 și 2 - încă două perechi.
Sunt 5 perechi în total, adică aceasta este o înlocuire ciudată.
2)

Rețineți că numerele de pe prima linie sunt în ordine. Vom efectua o permutare a coloanelor.

Luați în considerare numerele din al doilea rând.
3 este la stânga lui 2 și 1 - două perechi,
2 este la stânga lui 1 - o pereche,
5 este la stânga lui 4 și 1 - două perechi,
4 este la stânga lui 1 - o pereche.
Sunt 6 perechi în total - înlocuirea este egală.

Definiția 2(pentru studenții specialităților matematice, dezvăluind întreaga esență a conceptului în curs de definire):

Determinantul de ordin al n-lea corespunzător matricei
,
se numește suma algebrică a termenilor, compusă astfel: termenii sunt tot felul de produse ale elementelor matriceale luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, iar termenul este luat cu semnul plus dacă indicii săi alcătuiesc o substituție pară, și cu semnul minus în cazul opus.
Cometariu: Să explicăm această definiție folosind exemplul unui determinant de ordinul trei, pentru care formula de calcul este deja cunoscută.
.
1) „suma algebrică a termenilor” -. Și da, într-adevăr, există șase termeni aici.
2) „termenii sunt tot felul de produse ale elementelor matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană” - luați în considerare, de exemplu, un termen. Primul său factor este luat din al doilea rând, al doilea din primul și al treilea din al treilea. La fel este și cu coloanele - primul este factorul din prima coloană, al doilea din a treia și ultimul din a doua.
3) „și termenul este luat cu un semn plus dacă indicii săi alcătuiesc o substituție pară, iar cu un semn minus - în cazul opus” - luați în considerare, de exemplu, termenii (cu semnul plus) și (cu un semn semnul minus).

Să compunem permutările astfel încât prima linie să conțină numerele de rând ale factorilor, iar a doua - numerele coloanei.
Pentru un termen: (prima coloană este indexul primului factor etc.)
Pentru termenul:.
Să determinăm paritatea acestor permutări:
a) - elementele din prima linie sunt în ordine. A doua linie conține perechi în afara ordinii:
2 la stânga lui 1 - o pereche,
3 la stânga lui 1 - o pereche.
Sunt două perechi în total, adică numărul de perechi este par, ceea ce înseamnă că permutarea este pară, ceea ce înseamnă că termenul trebuie inclus în sumă cu semnul plus (cum este în realitate).
b) - elementele din prima linie sunt în ordine. A doua linie conține perechi în afara ordinii:
2 la stânga lui 1 - o pereche.
În total, numărul de perechi de numere care stau în așa fel încât cel mai mare să fie în stânga celui mai mic este de 1 buc., i.e. este impar, ceea ce înseamnă că permutarea se numește impar, iar termenul corespunzător trebuie inclus în sumă cu semnul minus (da, este).
Exemplu(„Colecție de probleme în algebră” editată de AI Kostrikin, nr. 1001):

Aflați care dintre următoarele lucrări sunt incluse în expresia extinsă a determinanților ordinelor corespunzătoare și cu ce semne.
A)
Să acordăm atenție părții din definiție „unul din fiecare rând și fiecare coloană”. Toți primii indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Toți cei doi indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Concluzie - acest produs este inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 6.

3 la stânga lui 2, 1 - două perechi,
2 la stânga lui 1 - o pereche,
6 la stânga lui 5, 4 - două perechi,
5 la stânga lui 4 - o pereche.
Sunt 6 perechi în total, adică permutarea este pară și termenul este inclus în înregistrarea extinsă a determinantului cu semnul plus.

b)
Toți primii indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 5 (3, 1, 5, 4, 2). Toți cei doi indici ai factorilor sunt diferiți de la 1 la 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Concluzie - acest produs este inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 5.
Să determinăm semnul acestui termen, pentru aceasta compunem o permutare a indicilor factorilor:

Să rearanjam coloanele astfel încât numerele din primul rând să meargă în ordine de la cel mai mic la cel mai mare.

3 la stânga lui 1, 2 - două perechi.
4 la stânga lui 1, 2 - două perechi,
5 la stânga lui 2 - o pereche.
Sunt 5 perechi în total, adică permutarea este impară și termenul este inclus în înregistrarea extinsă a determinantului cu semnul minus.
v) - să fim atenţi la primul şi al şaselea factor: şi. Ambele sunt preluate din coloana a 4-a, ceea ce înseamnă că acest produs nu poate fi inclus în expresia extinsă a determinantului de ordinul 7.

Considerăm o matrice pătrată de ordinul doi

Definiție... Determinant matrice pătrată de ordinul doi se numește număr egal cu a 11 la 22 -a 12 la 21și notează printr-un simbol, adică

Determinantul unei matrice este de asemenea numit determinant... Notarea determinantului matriceal A: |A|, Δ, det A, det (a ij).

Acum luați în considerare matricea pătrată de ordinul trei

La calcularea determinantului de ordinul al treilea, este util să cunoaștem regula triunghiului: cu semnul plus există produse de triplete de numere situate pe diagonala principală a matricei, iar la vârfurile triunghiurilor cu o bază paralelă cu această diagonală. și un vârf în colțul opus al matricei. Cu semnul minus există triple din a doua diagonală și din triunghiuri construite față de această diagonală. Următoarea diagramă demonstrează această regulă. În diagramă, albastru (în stânga) marchează elementele ale căror lucrări vin cu semnul plus, iar în roșu (în dreapta) - cu semnul minus.

Acum să dăm o definiție.

Definiție... Determinantul unei matrici pătrate de ordinul trei este numărul

Definiție... Minorul oricărui element al determinantului este determinantul obținut din cel dat prin ștergerea acelui rând și a acelei coloane căreia îi aparține element dat... Element minor un ik denota M ik.

Definiție... Element minor un 21 determinantul ordinului al treilea al matricei este determinantul ordinului al doilea

Definiție un ik determinant se numește minorul său, luat cu un semn (-1) i + k.

Complement algebric al unui element un ik denota A ik... Prin definitie

Regula pentru determinarea semnului unui complement algebric (folosind exemplul unui determinant de ordinul trei):

Exemplu... Complement algebric al unui element un 21 este o

Teorema de descompunere... Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) după acestea complemente algebrice.

Proprietăți determinante

Determinantul nu se va schimba dacă toate rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare.
Când două coloane (rânduri) sunt rearanjate, determinantul își schimbă semnul.
Determinant cu doi coloane identice(în șiruri) este zero.
Factorul comun elementelor unei anumite coloane (rând) poate fi mutat în afara semnului determinant.
Determinantul cu două coloane (rânduri) proporționale este zero.
Determinantul este egal cu zero dacă toate elementele unei coloane (rânduri) sunt egale cu zero.
Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare unei alte coloane (rând) sunt adăugate elementelor unei anumite coloane (rând), înmulțite anterior cu același factor.

cometariu... Dacă într-un determinant toate elementele unei anumite coloane (rânduri) sunt egale cu sumele a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți corespunzători.

De exemplu,

Determinanți n-a comanda

Luați în considerare o matrice pătrată n-a comanda

Conceptul de determinant al acestei matrice sau determinant n ordinea este introdusă inductiv, presupunând că noțiunea de determinant de ordine a fost deja introdusă n-1 corespunzătoare matricei pătrate (n-1) comanda.

Definiția minorului unui element de matrice și complementul său algebric sunt valabile pentru determinanții de orice ordin.

Definiție... Determinant al ordinii n corespunzătoare matricei A n-al-lea, se numește număr egal cu (M 1k- element minor o 1k) și notate cu unul dintre simboluri

Deci prin definiție

Această formulă exprimă regula de alcătuire a determinantului de ordine n de elementele primului rând al matricei corespunzătoare și de complementele algebrice ale acestor elemente, care este determinantul ordinii n-1 luate cu semne adecvate.

Pentru un determinant de orice ordin, toate proprietățile și teoremele obținute și demonstrate pentru un determinant de ordinul trei sunt adevărate.

Să formulăm teorema principală:

Teorema [Teorema substituției]... Oricare ar fi numărul liniei i (i = 1,2, ..., n), pentru determinant n Ordinul, următoarea formulă este valabilă

numită expansiunea acestui determinant în i a linia.

Deoarece proprietatea 1 a determinanților este adevărată, determinantul poate fi extins și pe coloana:

Exemple de

Calculăm următorul determinant:

Scădeți al doilea rând din primul și al treilea. După aceea adăugăm primul la al treilea și scoatem din al treilea factor comun:

Acum la a doua linie adăugăm a treia, înmulțită cu 7, iar la a patra adăugăm a treia, înmulțită cu 2. Apoi scoatem factorul comun din al patrulea rând:

Să extindem determinantul din a doua coloană (semnele indică valoarea (-1) i + j cu o cheie minoră). Rețineți că există un singur element diferit de zero în coloană; prin urmare, doar un determinant de ordinul trei va rămâne în expansiune. În cele din urmă, tragem răspunsul folosind formula pentru determinantul de ordinul trei.

Să mai dăm câteva exemple pentru determinanții de ordine diferite.

Luați în considerare un tabel pătrat A.

Definiție. Determinantul de ordinul n este numărul obținut din elementele acestui tabel conform următoarei reguli:

1 Determinantul de ordinul n este egal cu suma algebrică n! membrii.

Fiecare membru este produsul dintre n-elemente luate pe rând din fiecare rând și fiecare coloană a tabelului.

2 Termenul se ia cu semnul plus dacă permutările formate din primul și al doilea indice al elementelor incluse în produse de aceeași paritate (fie ambele pare, fie impare) și cu semnul minus în cazul opus.

Determinantul este indicat prin simbolul:

sau pe scurt det A =. (determinant A)

Conform definiţiei = -.

Regula pentru calcularea determinantului de ordinul al treilea:

Minori și complemente algebrice

Să fie dat un determinant de ordinul al n-lea (n> 1)

Definiția 1. Minorul unui element de ordinul n-lea determinant este determinantul ordinului (n-1)-lea obținut din A prin ștergerea rândului i și a coloanei j, la intersecția cărora se află elementul dat. .

De exemplu:

Definiția 2... Complementul algebric al unui element este numărul

Proprietățile de bază ale determinanților de ordin n

1. Despre echivalența rândurilor și coloanelor.

Valoarea determinantului de ordinul al n-lea nu se modifică dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare.

2. Dacă două rânduri (coloane) ale determinanților sunt schimbate, atunci determinantul va schimba semnul în opus.

= k

Dacă toate elementele oricărui rând (sau coloană) a determinantului au un factor comun, atunci acest factor comun poate fi scos din semnul determinantului.

4. Valoarea determinantului este egală cu zero dacă toate elementele oricăruia dintre rândurile sale sunt zero (sau coloană).

5. Determinantul cu două șiruri proporționale este 0.

De exemplu:

6. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă la elementele sale de pe oricare linie adăugăm elementele corespunzătoare unei alte linii, înmulțite cu același număr.

7. Dacă elementele oricărui rând i al determinantului sunt prezentate ca o sumă a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în care toate rândurile cu excepția celui i-lea sunt aceleași ca în determinantul dat. , iar al-lea rând al unui determinant este format din primii termeni, iar al doilea din al doilea.

8. Determinantul este egal cu suma produselor tuturor elementelor oricăreia dintre liniile sale prin complementele lor algebrice.

9. Suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând al determinantului prin complementele algebrice ale elementelor corespondente dintr-un alt rând este egală cu zero.

De exemplu:

teorema lui Laplace

Teorema. Să presupunem că k rânduri (sau k coloane) sunt alese în mod arbitrar într-un determinant d de ordinul n, 1. Atunci suma produselor tuturor minorilor de ordinul k conținute în rândurile selectate prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul d .

Consecinţă... Un caz special al teoremei lui Laplace este expansiunea determinantului în termeni de rând sau coloană. Vă permite să reprezentați determinantul unei matrice pătrate ca suma produselor elementelor oricăreia dintre rândurile sau coloanele sale prin complementele lor algebrice.

Fie o matrice pătrată de dimensiune. Să fie dat și un număr de rând i sau numărul de coloană j al matricei A. Atunci determinantul A poate fi calculat prin următoarele formule:

Descompunerea pe al-lea rând:

Descompunerea pe linia j:

unde este complementul algebric al minorului situat în rândul i și coloana j.

Afirmația este un caz special al teoremei lui Laplace. Este suficient să puneți k egal cu 1 în el și să alegeți al treilea rând, apoi elementele în sine vor fi minorii situate în acest rând.

Exemple pentru soluții independente.

1. Găsiți x din ecuații și verificați înlocuind rădăcina în determinant.

A); b)

Metode de calculare a determinanților de ordinul n.

Lăsați un set comandat n elemente. Orice locație n elemente într-o anumită ordine se numește rearanjare dintre aceste articole.

Deoarece fiecare element este determinat de numărul său, vom spune că dat n numere naturale.

Numărul de permutări diferite de la n numerele sunt egale cu n!

Dacă într-o oarecare permutare din n numere număr i stă înainte j, dar i > j, adică Mai mult costă mai devreme decât cel mai mic, apoi se spune că perechea i, j este inversiune.

Exemplul 1. Determinați numărul de inversiuni în permutare (1, 5, 4, 3, 2)

Soluţie.

Numerele 5 și 4, 5 și 3, 5 și 2, 4 și 3, 4 și 2, 3 și 2 formează inversiuni. Numărul total de inversiuni în această permutare este 6.

Permutația se numește chiar, dacă numărul total inversiuni în ea este pare, altfel se numește ciudat... În exemplul de mai sus, este dată o permutare uniformă.

Să se dea o permutare..., i, …, j, … (*) ... Conversie în care numere iși j schimbă locurile, iar restul rămân la locurile lor, chemați transpunere... După transpunerea numerelor iși jîn permutare (*) primești o permutare..., j, …, i, ..., unde toate elementele cu excepția iși j au rămas la locurile lor.

Din orice permutare din n numere, puteți merge la orice altă permutare a acestor numere folosind mai multe transpoziții.

Orice transpunere modifică paritatea permutării.

La n ≥ 2 numărul de permutări pare și impare din n numerele sunt aceleași și egale.

Lăsa M Este un set ordonat de n elemente. Orice transformare bijectivă a unei mulțimi M numit substituţien- gradul.

Înlocuirile sunt scrise după cum urmează: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif "width =" 27 "height =" 19 "> si tot ik sunt diferite.

Substituţie numit chiar dacă ambele linii (permutările) au aceeași paritate, adică fie ambele sunt pare, fie ambele sunt impare. In caz contrar substituţie numit ciudat.

La n ≥ 2 numărul de substituții pare și impare nal gradul este același și egal.

Determinantul unei matrici pătrate A de ordinul doi A = este un număr egal cu = a11a22-a12a21.

Determinantul unei matrice este de asemenea numit determinant... Pentru determinantul matricei A se folosește următoarea notație: det A, ΔA.

Determinant pătrat matrici A = ordinul al treilea se numește număr egal cu │А│ = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11

Fiecare termen al sumei algebrice din partea dreaptă a ultimei formule este produsul elementelor matricei luate unul și numai unul din fiecare coloană și fiecare rând. Pentru a determina semnul produsului, este util să cunoașteți regula (se numește regula triunghiului), prezentată schematic în Fig. 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif "width =" 73 "height =" 75 src = ">.

Soluţie.

Fie A o matrice de ordin n cu elemente complexe:

А = https: //pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif "width =" 112 "height =" 27 src = "> (1) ..gif "lățime =" 111 "înălțime =" 51 "> (2) .

Determinantul de ordinul al n-lea, sau determinantul matricei pătrate A = (aij) pentru n> 1, este suma algebrică a tuturor produselor posibile de forma (1) , și munca (1) se ia cu semnul „+” dacă înlocuirea corespunzătoare (2) par și cu semnul „-” dacă înlocuirea este impară.

Minor Mij element aij determinant este determinantul obținut din original prin ștergere i a linia și j- a coloana.

Complement algebric Aij element aij determinant este numărul Aij=(–1) i+ jMij, Unde Mij – element minor aij.

Proprietăți determinante

1. Determinantul nu se modifică la înlocuirea tuturor rândurilor cu coloanele corespunzătoare (determinantul nu se va modifica la transpunere).

2. La permutarea a două rânduri (coloane), determinantul își schimbă semnul.

3. Determinant cu două rânduri (coloane) identice (proporționale) este egal cu zero.

4. Factorul comun pentru toate elementele unui rând (coloană) poate fi scos dincolo de semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) sunt adăugate elementelor unui anumit rând (coloană), înmulțite cu același număr diferit de zero.

6. Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci este egal cu zero.

7. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice (proprietatea de descompunere a determinantului într-un rând (coloană)).

Luați în considerare câteva metode de calcul al determinanților de ordine n .

1. Dacă cel puțin un rând (sau coloană) dintr-un determinant de ordinul n este format din zerouri, atunci determinantul este egal cu zero.

2. Fie ca un șir din determinantul de ordinul al n-lea să conțină elemente diferite de zero. Calculul determinantului de ordinul n-a se poate reduce în acest caz la calculul determinantului de ordinul n-1. Într-adevăr, folosind proprietățile determinantului, puteți face toate elementele unui șir, cu excepția unuia, zero, apoi puteți extinde determinantul de-a lungul șirului specificat. De exemplu, să rearanjam rândurile și coloanele determinantului astfel încât să fie în loc a11 a existat un element diferit de zero.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif "width =" 32 height = 37 "height =" 37 ">. gif" width = "307" height = "101 src =">

Rețineți că nu este necesar să rearanjați rândurile (sau coloanele). Puteți obține zerouri în orice rând (sau coloană) a calificatorului.

Nu există o metodă generală pentru calcularea determinanților de ordin n, cu excepția calculării determinanților unui ordin dat direct prin definiție. La determinantul cutare sau cutare un fel special aplica metode diferite calcule care conduc la determinanți mai simpli.

3. Să-l aducem într-o formă triunghiulară. Folosind proprietățile determinantului, îl aducem la așa-numita formă triunghiulară, când toate elementele de pe o parte a diagonalei principale sunt egale cu zero. Determinantul triunghiular rezultat este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Dacă este mai convenabil să obțineți zerouri pe o parte a diagonalei laterale, atunci va fi egal cu produsul elementelor diagonalei laterale, luate cu semnul https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif "width =" 49 "height = "37">.

Exemplul 3. Calculați determinantul prin expansiunea șirurilor

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif "width =" 612 "height =" 72 ">

Exemplul 4. Calculați determinantul de ordinul al patrulea

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif "width =" 373 "height =" 96 src = ">.

a 2-a cale(calcularea determinantului prin extinderea acestuia de-a lungul șirului):

Să calculăm acest determinant prin extinderea de-a lungul liniei, transformându-l anterior astfel încât în unele dintre liniile sale toate elementele, cu excepția unuia, dispar. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie a determinantului la a treia. Apoi înmulțiți a treia coloană cu (-5) și adăugați la a patra coloană. Extindem determinantul transformat de-a lungul celei de-a treia linii. Minorul de ordinul trei este redus la o formă triunghiulară în raport cu diagonala principală.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif "width =" 202 "height =" 121 src = ">

Soluţie.

Să scădem pe a doua din prima linie, pe a treia din a doua etc., în final, din penultima (ultima linie rămâne neschimbată).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif "width =" 445 "height =" 126 src = ">

Primul determinant din sumă este triunghiular față de diagonala principală, deci este egal cu produsul elementelor diagonale, adică (n – 1) n. Transformăm al doilea determinant în sumă adăugând ultimul rând la toate rândurile anterioare determinant. Determinantul obținut cu această transformare va fi triunghiular față de diagonala principală, deci va fi egal cu produsul elementelor diagonale, adică nn-1:

= (n – 1) n + (n – 1) n + nn-1.

4. Calculul determinantului folosind teorema lui Laplace. Dacă selectăm k rânduri (sau coloane) (1 £ k £ n-1) în determinant, atunci determinantul este egal cu suma produselor tuturor minorilor de ordinul k situate în k rânduri (sau coloane) selectate. prin complementele lor algebrice.

Exemplul 6. Calculați determinantul

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif "width =" 538 "height =" 209 src = ">

MUNCĂ INDIVIDUALĂ # 2

„CALCULUL DEFINITORILOR N-ORDINE”

Opțiunea 1

Calculați determinanții

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif "width =" 114 "height =" 94 src = ">

Pe baza conceptelor de determinanți de ordinul doi și trei, se poate introduce în mod similar conceptul de determinant de ordine n. Determinanții de ordine mai mari decât al treilea se calculează, de regulă, folosind proprietățile determinanților formulate în secțiunea 1.3., care sunt valabile pentru determinanții de orice ordine.

Folosind proprietatea determinanților numărul 9 0, introducem definiția unui determinant de ordinul al 4-lea:

Exemplul 2. Calculați folosind o descompunere adecvată.

În mod similar este introdus conceptul de determinant al 5-lea, al 6-lea etc. Ordin. De aici determinantul ordinului n:

Toate proprietățile determinanților de ordinul 2 și 3, considerate mai devreme, sunt valabile și pentru determinanții de ordinul al n-lea.

Luați în considerare principalele metode de calculare a determinanților n comanda.

Cometariu:Înainte de a aplica această metodă, este util, folosind proprietățile de bază ale determinanților, să zeroi toate elementele, cu excepția unuia, a unui rând sau coloană. (Metoda eficientă de reducere a comenzii)

Metoda reducerii triunghiulare constă într-o astfel de transformare a determinantului, când toate elementele sale situate pe o parte a diagonalei principale devin egale cu zero. În acest caz, determinantul este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.

Exemplul 3. Calculați prin reducere triunghiulară.

Exemplul 4. Evaluați folosind metoda eficientă de reducere a comenzilor

Rezolvare: prin proprietatea 4 0 a determinanților din primul rând scoatem factorul 10, iar apoi vom înmulți secvențial al doilea rând cu 2, 2, cu 1 și vom adăuga, respectiv, cu primul, al treilea și al patrulea rând ( proprietatea 8 0).

Determinantul rezultat poate fi descompus în elementele primei coloane. Se va reduce la un determinant de ordinul trei, care se calculează conform regulii Sarrus (triunghi).

Exemplul 5. Calculați determinantul prin reducere triunghiulară.

Exemplul 3. Calculați folosind relații de recurență.

Curs 4. Matrice inversă. Rangul matricei.

1. Conceptul de matrice inversă

Definiția 1. Pătrat se numeste o matrice A de ordinul n nedegenerat, dacă determinantul ei | A| ≠ 0. În cazul în care | A| = 0, se numește matricea A degenerat.

Numai pentru matricele pătrate nedegenerate A este introdus conceptul de matrice inversă A -1.

Definiția 2 . Se numește matricea A -1 verso pentru o matrice pătrată nedegenerată A, dacă A -1 A = AA -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordin n.

Definiția 3 . Matrice numit atașat, elementele sale sunt complemente algebrice matrice transpusă
.