DEFINIȚIA UNEI MATRICE. TIPURI DE MATRICE

Dimensiunea matricei m× n se numeste totalitate m n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel:

Pentru concizie, matricea poate fi notată cu o singură literă majusculă, de exemplu, DAR sau LA.

În general, o matrice de dimensiune m× n scrie asa

.

Se numesc numerele care alcătuiesc o matrice elemente de matrice. Este convenabil să furnizați elemente de matrice cu doi indici aij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, un 23– elementul se află în rândul 2, coloana a 3-a.

Dacă numărul de rânduri dintr-o matrice este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit pentru a matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice - ordinea sa este 1.

Se numește o matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia.

Există, de asemenea, matrice care au un singur rând sau o coloană.

Se numește o matrice cu un singur rând matrice - rând(sau șir) și o matrice care are o singură coloană, matrice - coloană.

Se numește o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu,

.

diagonala principală O matrice pătrată este diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice.

.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau.

Se numește o matrice diagonală în care toate intrările diagonale sunt egale cu una singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma .

ACȚIUNI PE MATRICE

Egalitatea matricei. Două matrice Ași B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale aij = b ij. Astfel, dacă și , apoi A=B, dacă a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21și a 22 = b 22.

Transpunerea. Luați în considerare o matrice arbitrară A din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, unde fiecare rând este o coloană a matricei A cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei A cu același număr). Astfel, dacă , apoi .

Această matrice B numit transpus matrice A, și trecerea de la A la B transpunere.

Astfel, transpunerea este o inversare a rolurilor rândurilor și coloanelor unei matrice. Matrice transpusă în matrice A, de obicei notat A T.

Comunicarea între matrice A iar transpunerea lui poate fi scrisă ca .

De exemplu. Găsiți matricea transpusă în cea dată.

Adăugarea matricei. Lasă matrice Ași B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică avea aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matricele Ași B necesitatea de a matriza elementele A adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice Ași B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu,

Exemple. Aflați suma matricelor:

Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=A+(B+C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a multiplica o matrice A pe număr k nevoie de fiecare element al matricei Aînmulțiți cu acel număr. Deci produsul matricei A pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă sau .

Pentru orice numere Ași bși matrice Ași B egalitățile sunt îndeplinite:

Exemple.

Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că mărimile factorilor matrici trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrice al căror număr de coloane din prima matrice se potrivește cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). muncă matrici A nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează:

Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică, în matrice C) elementul din primul rând și a treia coloană de la 13, trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rând cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Și alte elemente ale matricei de produs sunt obținute folosind un produs similar al rândurilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua matrice.

În general, dacă înmulțim matricea A = (aij) mărimea m× n la matrice B = (bij) mărimea n× p, apoi obținem matricea C mărimea m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei A asupra elementelor relevante j-a coloană a matricei Bși însumarea lor.

Din această regulă rezultă că oricând puteți înmulți două matrice pătrate de același ordin, ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică pătrat.

Un alt caz important este înmulțirea unui rând-matrice cu o coloană-matrice, iar lățimea primului trebuie să fie egală cu înălțimea celui de-al doilea, ca urmare obținem o matrice de ordinul întâi (adică un element). Într-adevăr,

.

Exemple.

Astfel, aceste exemple simple arată că matricele, în general, nu fac naveta între ele, i.e. A∙B ≠ B∙A . Prin urmare, atunci când înmulțiți matrice, trebuie să monitorizați cu atenție ordinea factorilor.

Se poate verifica că înmulțirea matriceală respectă legile asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)și (A+B)C=AC+BC.

De asemenea, este ușor să verificați acest lucru atunci când înmulțiți o matrice pătrată A la matricea identitară E de aceeași ordine, obținem din nou matricea A, în plus AE=EA=A.

Următorul fapt curios poate fi remarcat. După cum se știe, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrici, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule poate fi egal cu matricea zero.

de exemplu, dacă , apoi

.

CONCEPTUL DE DETERMINATORI

Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane .

Determinant de ordinul doi corespunzător acestei matrice este numărul obținut după cum urmează: a 11 la 22 – a 12 la 21.

Determinantul este notat prin simbol .

Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale.

Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi.

În mod similar, putem considera o matrice de ordinul al treilea și determinantul corespunzător.

Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate date de ordinul al treilea, este un număr notat și obținut după cum urmează:

.

Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând un 11, un 12, un 13și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi.

Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei.

În mod similar, se pot introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin extindere peste elementele din primul rând, în timp ce semnele „+” și „-” pentru termeni se alternează.

Deci, spre deosebire de matrice, care este un tabel de numere, determinantul este un număr care este atribuit într-un anumit fel matricei.

Matrice dimensiunea se numește un tabel de numere care conține rânduri și coloane. Numerele sunt numite elemente ale acestei matrice, unde este numărul rândului, este numărul coloanei la intersecția căreia se află acest element. O matrice care conține rânduri și coloane arată astfel: .

Tipuri de matrice:

1) la - pătrat , și ei sună ordinea matricei ;

2) o matrice pătrată în care toate elementele în afara diagonalei sunt egale cu zero

– diagonală ;

3) o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale

unitate - singur și se notează cu ;

4) la - dreptunghiular ;

5) at - matrice-rând (vector-rând);

6) la - matrice-coloană (vector-coloană);

7) pentru toți este o matrice zero.

Rețineți că principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate este determinantul acesteia. Determinantul corespunzător matricei de ordinul al treilea are și ordinul al treilea.

Determinant matricei de ordinul I se numește număr.

Determinant matricei de ordinul 2 numit un număr . (1.1)

determinant matricei de ordinul 3 numit un număr . (1.2)

Să dăm definițiile necesare pentru expunerea ulterioară.

Minor M ij element A ij matrici n- ordinul A se numește determinantul matricei ( n-1)- ordinea obtinuta din matricea A prin stergere i-a linia și j-a coloană.

Complementul algebric A ij element A ij matrici n- de ordinul A se numește minorul acestui element, luat cu semnul .

Să formulăm principalele proprietăți ale determinanților care sunt inerente determinanților tuturor ordinelor și să simplificăm calculul acestora.

1. La transpunerea unei matrice, determinantul acesteia nu se modifică.

2. Când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt schimbate, determinantul acesteia își schimbă semnul.

3. Un determinant care are două rânduri (coloane) proporționale (egale) este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Dacă elementele oricărui rând (coloană) a determinantului sunt suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi descompus în suma a doi determinanți corespunzători.

6. Determinantul nu se va modifica dacă elementele oricăruia dintre rândurile (coloana) ale acestuia sunt adăugate elementelor corespunzătoare ale celuilalt rând (coloana) a acestuia, înmulțite anterior cu orice număr.

7. Determinantul unei matrice este egal cu suma produselor elementelor oricăruia dintre rândurile (coloanelor) ale acesteia și a complementelor algebrice ale acestor elemente.

Să explicăm această proprietate folosind exemplul unui determinant de ordinul 3. În acest caz, proprietatea 7 înseamnă că – extinderea determinantului de către elementele rândului 1. Rețineți că rândul (coloana) în care există zero elemente este ales pentru expansiune, deoarece termenii corespunzători acestora în expansiune dispar.

Proprietatea 7 este teorema lui Laplace privind descompunerea determinantului.

8. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a determinantului și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale celuilalt rând (coloană) a acestuia este egală cu zero.

Ultima proprietate este adesea denumită pseudodescompunerea determinantului.

Întrebări pentru autoexaminare.

1. Ce se numește matrice?

2. Ce matrice se numește pătrat? Ce se înțelege prin ordinul său?

3. Ce matrice se numește diagonală, identitate?

4. Ce matrice se numește matrice de rând și matrice de coloană?

5. Care este principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate?

6. Ce număr se numește determinantul ordinului 1, 2 și 3?

7. Ce se numește complement minor și algebric al unui element de matrice?

8. Care sunt principalele proprietăți ale determinanților?

9. Ce proprietate poate fi folosită pentru a calcula determinantul oricărei ordine?

Acțiuni Matrice(schema 2)

Pe setul de matrici sunt definite un număr de operații, principalele fiind următoarele:

1) transpunere – înlocuirea rândurilor matricei cu coloane, iar coloanelor cu rânduri;

2) înmulțirea unei matrice cu un număr se realizează element cu element, adică , Unde , ;

3) adunarea matricei, definită numai pentru matrice de aceeași dimensiune;

4) înmulțirea a două matrice, definită doar pentru matrice consistentă.

Suma (diferența) a două matrici se numește o astfel de matrice rezultată, fiecare element al cărei element este egal cu suma (diferența) elementelor corespunzătoare termenilor matricei.

Cele două matrici sunt numite de acord dacă numărul de coloane al primei este egal cu numărul de rânduri al celuilalt. Produsul a două matrici consistente și o astfel de matrice rezultată se numește , ce , (1.4)

Unde , . Rezultă că elementul --lea rând și --a coloană a matricei este egal cu suma produselor perechi ale elementelor din --lea rând al matricei și elementele din --a coloană a matricei. matrice .

Produsul matricelor nu este comutativ, adică A . B B . A. O excepție este, de exemplu, produsul matricelor pătrate prin identitatea A . E = E . DAR.

Exemplul 1.1.Înmulțiți matricele A și B dacă:

.

Decizie. Deoarece matricele sunt consistente (numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri ale matricei), folosim formula (1.4):

Întrebări pentru autoexaminare.

1. Ce acțiuni se efectuează pe matrice?

2. Cum se numește suma (diferența) a două matrici?

3. Cum se numește produsul a două matrici?

Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor pătrate de ecuații algebrice liniare(schema 3)

Să dăm o serie de definiții necesare.

Sistemul de ecuații liniare se numește eterogen , dacă cel puțin unul dintre termenii săi liberi este diferit de zero și omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Rezolvarea sistemului de ecuații se numește o mulțime ordonată de numere, care, fiind înlocuită cu variabilele dintr-un sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate.

Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutii.

Sistemul comun de ecuații se numește anumit dacă are o soluție unică și incert daca are mai multe solutii.

Să considerăm un sistem pătratic neomogen de ecuații algebrice liniare, care are următoarea formă generală:

. (1.5) Matricea principală a sistemului ecuațiile algebrice liniare se numesc o matrice compusă din coeficienți în necunoscute: .

Determinantul matricei principale a sistemului se numește determinant principal si se noteaza.

Determinantul auxiliar se obține din determinantul principal prin înlocuirea coloanei i-a cu coloana termenilor liberi.

Teorema 1.1 (teorema lui Cramer). Dacă determinantul principal al unui sistem patratic de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică calculată prin formulele:

Dacă determinantul principal , atunci sistemul fie are un set infinit de soluții (pentru toți determinanții auxiliari zero), fie nu are nicio soluție (dacă cel puțin unul dintre determinanții auxiliari diferă de zero)

În lumina definițiilor de mai sus, teorema lui Cramer poate fi formulată diferit: dacă determinantul principal al unui sistem de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul este definit în comun și, în plus, ; dacă determinantul principal este zero, atunci sistemul este fie compatibil nedefinit (pentru toate) fie inconsecvent (dacă cel puțin unul dintre este diferit de zero).

După aceea, soluția rezultată trebuie verificată.

Exemplul 1.2. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Decizie. Deoarece principalul determinant al sistemului

este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică. Calculați determinanții auxiliari

Folosim formulele lui Cramer (1.6): , ,

Întrebări pentru autoexaminare.

1. Ce se numește soluția unui sistem de ecuații?

2. Ce sistem de ecuații se numește compatibil, incompatibil?

3. Ce sistem de ecuații se numește definit, nedefinit?

4. Ce matrice a sistemului de ecuații se numește principală?

5. Cum se calculează determinanții auxiliari ai unui sistem de ecuații algebrice liniare?

6. Care este esența metodei lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare?

7. Ce poate fi un sistem de ecuații algebrice liniare dacă principalul său determinant este egal cu zero?

Rezolvarea sistemelor pătrate de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei inverse(schema 4)

Se numește o matrice care are un determinant diferit de zero nedegenerat ; având un determinant egal cu zero - degenerat .

Matricea se numește inversă pentru o matrice pătrată dată, dacă la înmulțirea matricei cu inversul ei atât la dreapta cât și la stânga, se obține matricea de identitate, adică . (1.7)

Rețineți că în acest caz produsul matricelor și este comutativ.

Teorema 1.2. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse pentru o matrice pătrată dată este diferența față de zero a determinantului matricei date

Dacă matricea principală a sistemului sa dovedit a fi degenerată în timpul verificării, atunci nu există invers pentru aceasta și metoda luată în considerare nu poate fi aplicată.

Dacă matricea principală este nesingulară, adică determinantul este 0, atunci pentru aceasta puteți găsi matricea inversă folosind următorul algoritm.

1. Calculați complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei .

2. Scrieți adunările algebrice găsite la matricea transpusă.

3. Compilați matricea inversă după formula: (1.8)

4. Verificați corectitudinea matricei găsite A-1 conform formulei (1.7). Rețineți că această verificare poate fi inclusă în verificarea finală a soluției de sistem în sine.

Sistemul (1.5) de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat ca o ecuație matriceală: , unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Înmulțim această ecuație din stânga cu matricea inversă, obținem:

Deoarece prin definiția matricei inverse, ecuația ia forma sau . (1.9)

Astfel, pentru a rezolva un sistem pătrat de ecuații algebrice liniare, trebuie să înmulțiți coloana de termeni liberi din stânga cu inversul matricei pentru matricea principală a sistemului. După aceea, ar trebui să verificați soluția obținută.

Exemplul 1.3. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei inverse

Decizie. Calculați principalul determinant al sistemului

. Prin urmare, matricea este nesingulară și matricea sa inversă există.

Găsiți complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei principale:

Scriem adunările algebrice transpuse în matrice

. Folosim formulele (1.8) și (1.9) pentru a găsi o soluție la sistem

Întrebări pentru autoexaminare.

1. Ce matrice se numește degenerată, nedegenerată?

2. Ce matrice se numește inversă pentru una dată? Care este condiția existenței sale?

3. Care este algoritmul pentru găsirea matricei inverse pentru una dată?

4. Cu ce ​​ecuație matriceală este echivalent sistemul de ecuații algebrice liniare?

5. Cum se rezolvă un sistem de ecuații algebrice liniare folosind matricea inversă pentru matricea principală a sistemului?

Studiul sistemelor neomogene de ecuații algebrice liniare(schema 5)

Studiul oricărui sistem de ecuații algebrice liniare începe cu transformarea matricei sale extinse prin metoda Gaussiană. Fie dimensiunea matricei principale a sistemului .

Matrice numit extins matricea sistemului , dacă, împreună cu coeficienții necunoscutelor, conține o coloană de termeni liberi. Prin urmare, dimensiunea este .

Metoda Gauss se bazează pe transformări elementare , care include:

– permutarea rândurilor matricei;

– înmulțirea rândurilor matricei cu un număr diferit de volan;

– adăugarea pe elemente a rândurilor matricei;

- stergerea liniei zero;

– transpunerea matricei (în acest caz, transformările se fac pe coloane).

Transformările elementare aduc sistemul original la un sistem echivalent cu acesta. Sisteme sunt numite echivalente dacă au același set de soluții.

Rangul matricei este cel mai înalt nivel dintre minorii săi diferit de zero. Transformările elementare nu schimbă rangul unei matrice.

Următoarea teoremă răspunde la întrebarea dacă un sistem neomogen de ecuații liniare are soluții.

Teorema 1.3 (teorema Kronecker-Capelli). Un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei sale principale, i.e.

Să notăm numărul de rânduri rămase în matrice după metoda Gaussiană ca (respectiv, sistemul rămâne ecuații). Aceste linii se numesc matrice de bază .

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică (este definită în comun), matricea sa este redusă la o formă triunghiulară prin transformări elementare. Un astfel de sistem poate fi rezolvat prin metoda Cramer, folosind matricea inversă, sau metoda universală Gauss.

Dacă (numărul de variabile din sistem este mai mult decât ecuații), matricea este redusă la o formă în trepte prin transformări elementare. Un astfel de sistem are multe soluții și este împreună nedefinit. În acest caz, pentru a găsi soluții la sistem, este necesar să se efectueze o serie de operațiuni.

1. Lăsați în părțile din stânga ecuațiilor sistemului de necunoscute ( variabile de bază ), mutați necunoscutele rămase în partea dreaptă ( variabile libere ). După împărțirea variabilelor în de bază și libere, sistemul ia forma:

. (1.10)

2. Din coeficienții la variabilele de bază, faceți un minor ( minor de bază ), care trebuie să fie diferit de zero.

3. Dacă minorul de bază al sistemului (1.10) este egal cu zero, atunci una dintre variabilele de bază este înlocuită cu una liberă; verificați baza obținută minoră pentru non-zero.

4. Aplicând formulele (1.6) ale metodei lui Cramer, considerând părțile drepte ale ecuațiilor drept membri liberi ai acestora, găsiți expresia variabilelor de bază în termenii celor libere într-o formă generală. Setul ordonat rezultat de variabile de sistem este acesta solutie comuna .

5. Acordând valori arbitrare variabilelor libere din (1.10), calculați valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Setul ordonat rezultat de valori ale tuturor variabilelor este numit decizie privată sisteme corespunzătoare unor valori date ale variabilelor libere. Sistemul are un număr infinit de soluții particulare.

6. Ia solutie de baza sistemul este o soluție particulară obținută la valori zero ale variabilelor libere.

Rețineți că numărul de seturi de bază de variabile ale sistemului (1.10) este egal cu numărul de combinații de elemente pe elemente. Deoarece fiecare set de bază de variabile are propria soluție de bază, sistemul are și soluții de bază.

Un sistem omogen de ecuații este întotdeauna compatibil, deoarece are cel puțin o soluție - zero (trivială). Pentru ca un sistem omogen de ecuații liniare cu variabile să aibă soluții diferite de zero, este necesar și suficient ca determinantul său principal să fie egal cu zero. Aceasta înseamnă că rangul matricei sale principale este mai mic decât numărul de necunoscute. În acest caz, studiul unui sistem omogen de ecuații pentru soluții generale și particulare se realizează în mod similar cu studiul unui sistem neomogen. Soluțiile unui sistem omogen de ecuații au o proprietate importantă: dacă sunt cunoscute două soluții diferite ale unui sistem omogen de ecuații liniare, atunci combinația lor liniară este de asemenea o soluție pentru acest sistem. Este ușor de verificat validitatea următoarei teoreme.

Teorema 1.4. Soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații este suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător și o soluție particulară a sistemului neomogen de ecuații

Exemplul 1.4.

Explorați sistemul dat și găsiți o soluție specială:

Decizie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să îi aplicăm transformări elementare:

. Deoarece și , atunci prin teorema 1.3 (Kronecker-Capelli) sistemul dat de ecuații algebrice liniare este consistent. Numărul de variabile, adică înseamnă că sistemul este nedefinit. Numărul de seturi de bază de variabile de sistem este egal cu

. Prin urmare, 6 seturi de variabile pot fi de bază: . Să luăm în considerare una dintre ele. Apoi sistemul obtinut ca urmare a metodei Gauss poate fi rescris sub forma

. Principalul determinant . Folosind metoda lui Cramer, căutăm soluția generală a sistemului. Determinanți auxiliari

Prin formulele (1.6) avem

. Această expresie a variabilelor de bază în termenii celor libere este soluția generală a sistemului:

Pentru valori specifice ale variabilelor libere, din soluția generală obținem o soluție particulară a sistemului. De exemplu, o anumită soluție corespunde valorilor variabilelor libere . Pentru , obținem soluția de bază a sistemului

Întrebări pentru autoexaminare.

1. Ce sistem de ecuații se numește omogen, neomogen?

2. Ce matrice se numește extinsă?

3. Enumeraţi transformările elementare de bază ale matricelor. Ce metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aceste transformări?

4. Ce se numește rangul unei matrice? În ce fel se poate calcula?

5. Ce spune teorema Kronecker-Capelli?

6. La ce formă poate fi redus sistemul de ecuații algebrice liniare ca rezultat al soluționării sale prin metoda Gauss? Ce inseamna asta?

7. Ce rânduri ale matricei se numesc de bază?

8. Care variabile ale sistemului se numesc de bază, care sunt libere?

9. Ce soluție a unui sistem neomogen se numește privat?

10. Ce soluție se numește de bază? Câte soluții de bază are un sistem neomogen de ecuații liniare?

11. Ce soluție a unui sistem neomogen de ecuații algebrice liniare se numește generală? Formulați o teoremă asupra soluției generale a unui sistem neomogen de ecuații.

12. Care sunt principalele proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare?

Atribuirea serviciului. Calculator matrice conceput pentru a rezolva expresii matriceale precum 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instruire. Pentru o soluție online, trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunile matricelor.

Acțiuni Matrice

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1) , exponențiere (A^2 , B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1) , exponențiere (A^2 , B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați separatorul punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
va trebui scris astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular cu m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) se numește matrice, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero și denotă 0.
matrice de identitate se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare lor sunt egale.
Matrice singulară se numește matrice al cărei determinant este egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrice.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice de aceeași dimensiune este o matrice de aceleași dimensiuni, ale cărei elemente se găsesc prin formula . Notat C = A+B.

Exemplul 6 . .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident, A+0=A.
Subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; pentru matrice de dimensiuni diferite, operația de adunare nu este definită.

Scăderea matricei

Definiție . Diferența B-A a matricelor B și A de aceeași dimensiune este o matrice C astfel încât A + C = B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul unei matrice cu un număr α este matricea obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, .
Definiție . Să fie date două matrice și , iar numărul de coloane A este egal cu numărul de rânduri B. Produsul lui A cu B este o matrice ale cărei elemente se găsesc prin formula .
Notat C = A B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane ale primului factor este egal cu numărul de rânduri ale celui de-al doilea, iar în acest caz se obține o matrice în produs, numărul de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii printr-un calculator special online.

Exemplul 7 . Date matrice și . Aflați matricele C = A·B și D = B·A.
Decizie. În primul rând, rețineți că produsul A B există deoarece numărul de coloane din A este egal cu numărul de rânduri din B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A , adică. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8 . Dată o matrice . Găsiți 3A 2 - 2A.
Decizie.

.
; .
.
Remarcăm următorul fapt curios.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, o astfel de circumstanță poate să nu aibă loc, adică produsul matricelor nenule se poate dovedi a fi egal cu matricea zero.

>> Matrici

4.1 Matrici. Operații cu matrice

O matrice dreptunghiulară de dimensiunea mxn este o colecție de numere mxn aranjate într-un tabel dreptunghiular care conține m rânduri și n coloane. O vom scrie în formular

sau prescurtat ca A = (a i j) (i = ; j = ), numerele a i j , se numesc elementele sale; primul index indică numărul rândului, al doilea index către numărul coloanei. A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune se numesc egale dacă elementele lor din aceleași locuri sunt egale pe perechi, adică A = B dacă a i j = b i j .

O matrice formată dintr-un rând sau o coloană se numește vector -rând sau, respectiv, coloană. Vectorii coloană și vectorii rând sunt numiți pur și simplu vectori.

O matrice formată dintr-un număr este identificată cu acest număr. A de dimensiunea mxn, ale cărui elemente sunt egale cu zero, se numește zero și se notează cu 0. Elementele cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale. Dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane, adică m = n, atunci se spune că matricea este pătrată de ordinul n. Matricele pătrate în care doar elementele diagonalei principale sunt nenule se numesc matrici diagonale și se scriu după cum urmează:

Dacă toate elementele a i i ale diagonalei sunt egale cu 1, atunci se numește unitate și se notează cu litera E:

.

O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele de deasupra (sau dedesubt) diagonalei principale sunt egale cu zero. O transpunere este o transformare în care rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrându-și numărul. Transpunerea este indicată de un T în partea de sus.

Dacă în (4.1) rearanjam rândurile cu coloane, atunci obținem

,

care va fi transpus în raport cu A. În special, transpunerea unui vector coloană are ca rezultat un vector rând și invers.

Produsul lui A cu numărul b este o matrice ale cărei elemente se obțin din elementele corespunzătoare lui A prin înmulțirea cu numărul b: b A = (b a i j).

Suma lui A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune este C = (c i j) de aceeași dimensiune, ale căror elemente sunt determinate de formula c i j = a i j + b i j .

Produsul AB este definit din ipoteza că numărul de coloane din A este egal cu numărul de rânduri din B.

Produsul lui AB, unde A = (a i j) și B = (b j k), unde i = , j= , k= , dat într-o anumită ordine AB, este C = (c i k), ale cărui elemente sunt determinate de urmatoarea regula:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4,2)

Cu alte cuvinte, elementul produsului AB este definit astfel: elementul al-lea rând și k-a coloană C este egal cu suma produselor elementelor din i-lea rând A prin elementele corespunzătoare ale coloanei k-a B.

Exemplul 2.1. Aflați produsul lui AB și .

Decizie. Avem: A de dimensiunea 2x3, B de dimensiunea 3x3, atunci produsul AB = C există și elementele lui C sunt egale

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, iar produsul BA nu există.

Exemplul 2.2. Tabelul arată numărul de unități de produse expediate zilnic din fabricile de lactate 1 și 2 către magazinele M 1 , M 2 și M 3 , iar livrarea unei unități de producție din fiecare fabrică de lactate la magazinul M 1 costă 50 de den. unități, în magazinul M 2 - 70 și în M ​​3 - 130 den. unitati Calculați costurile zilnice de transport ale fiecărei fabrici.

lactat

Decizie. Notăm cu A matricea dată nouă în condiția, și prin
B - o matrice care caracterizează costul livrării unei unități de producție către magazine, adică

,

Apoi matricea costurilor de transport va arăta astfel:

.

Așadar, prima fabrică cheltuiește zilnic 4750 de den pentru transport. unitati, al doilea - 3680 den.un.

Exemplul 2.3. Întreprinderea de cusut produce paltoane de iarnă, paltoane demi-sezon și haine de ploaie. Ieșirea planificată pentru un deceniu este caracterizată de vectorul X = (10, 15, 23). Se folosesc patru tipuri de țesături: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabelul prezintă ratele de consum de țesături (în metri) pentru fiecare produs. Vectorul C = (40, 35, 24, 16) specifică costul unui metru de țesătură de fiecare tip, iar vectorul P = (5, 3, 2, 2) - costul transportului unui metru de țesătură din fiecare tip.

	Consumul de țesături
Palton de iarnă
Haina demi

1. Câți metri din fiecare tip de țesătură vor fi necesari pentru a finaliza planul?

2. Găsiți costul țesăturii folosite pentru croirea fiecărui tip de produs.

3. Determinați costul întregii țesături necesare pentru a finaliza planul.

Decizie. Să notăm cu A matricea dată nouă în condiția, adică,

apoi, pentru a afla numărul de metri de țesătură necesari pentru a finaliza planul, trebuie să înmulțiți vectorul X cu matricea A:

Costul țesăturii cheltuit pentru croirea unui produs de fiecare tip se află prin înmulțirea matricei A și a vectorului C T:

.

Costul întregii țesături necesare pentru a finaliza planul va fi determinat de formula:

În cele din urmă, ținând cont de costurile de transport, întreaga sumă va fi egală cu costul țesăturii, adică 9472 den. unități, plus valoare

X A P T =
.

Deci, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (unități den.).