5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий. Теория электрических цепей

5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий

5.1. Негармонические периодические сигналы

При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют негармонические колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде – амплитудная модуляция (AM), частоте – частотная модуляция (ЧМ) или фазе – фазовая модуляция (ФМ), либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде – амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), ширине – широтно-импульсная модуляция (ШИМ), временному положению – время-импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Несинусоидальный вид имеют токи и напряжения, формируемые в различных импульсных и цифровых устройствах (19. Дискретные сигналы и цепи), несинусоидальный характер приобретают гармонические сигналы, проходящие через различные нелинейные устройства (11. Нелинейные электрические цепи при гармонических воздействиях) и т. д. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений. В основе этих методов лежат спектральные представления несинусоидальных воздействий, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.

Из математического анализа известно, что периодическая негармоническая функция f(t) , удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:
(5.1)
где a k , b k - коэффициенты разложения, определяемые уравнениями
(5.2)

Величина представляет среднее за период значение функции f(t) и называется постоянной составляющей.

В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (5.1) используют другую, основанную на замене независимой переменной :
(5.3)
где
(5.4)

Уравнение (5.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье. При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (5.3) с помощью формул Эйлера:
(5.5)

Подставив (5.5) в уравнение (5.3), после несложных преобразований получим комплексную форму ряда Фурье:
(5.6)
где A k - комплексная амплитуда k -й гармоники:
(5.7)
где – амплитуда; – начальная фаза k -й гармоники.

Подставив значения a k и b k из (5.4) в (5.7), получим:
(5.8)

Совокупность амплитуд 0,5А k = 0,5А –k в разложении (5.6), отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси координат (вследствие четности коэффициентов а k ) линейчатый амплитудный спектр .

Совокупность ординат k = – –k из (5.7), входящих в разложение (5.6) и отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов b k ) линейчатый фазовый спектр .

Разложение (5.3) можно представить и в другой форме. Если учесть, что а k = А k cos k и b k = А k sin k , то после подстановки в (5.3) получим:
(5.9)

Если рассматривать постоянную составляющую a 0 /2 как нулевую гармонику с начальной фазой 0 = 0, то разложение (5.9) примет вид
(5.10)

В частном случае, когда функция f (a) симметрична относительно оси ординат (рис. 5.1, а ), в разложении (5.3) окажутся только четные (косинусоидальные) гармоники:

(5.11)

а при симметричности f (a) относительно начала координат (рис. 5.1, б ) нечетные гармоники
(5.12)

При сдвиге начала отсчета функции f (a) ее амплитудный спектр не изменяется, а меняется только фазовый спектр. Действительно, сдвинем функцию f (a) по оси времени влево на t 0 и обозначим .

Тогда разложение (5.9) примет вид
(5.13)

Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольные колебания (рис. 5.1, б ). Учитывая, что f (a) симметрична относительно начала координат в разложении (5.3) останутся только синусоидальные гармоники (5.12), где b k определится согласно (5.4):

Подставив b k в (5.12), получим разложение в ряд Фурье:
(5.14)

Далее сдвинем f (a) на p/2 влево (см. рис. 5.1, а ). Тогда согласно (5.13) получим

(5.15)

Т. е. получили разложение по косинусоидальным составляющим как и должно быть для симметричного относительно оси ординат сигнала.

В ряде случаев, когда периодичная функция f (a) задана графически и имеет сложную форму, ее разложение в ряд Фурье можно осуществить графо-аналитическим способом. Его суть заключается в том, что период сигнала Т (рис. 5.2) разбивают на m интервалов, равных , причем точки разрыва f (a) не должны попадать на середину участков разбиения; определяют значение сигнала f (a n ) в середине каждого участка разбиения.

Находят коэффициенты разложения а k и b k путем замены интеграла в (5.2) конечной суммой
(5.16)

Уравнение (5.16) легко программируется и при вычислении а k и b k , может использоваться ЭВМ.

5.2. Действующее, среднее значение и мощность периодического негармонического сигнала

Для определенности положим, что f (t ) имеет смысл тока i (t ). Тогда действующее значение периодического негармонического тока определяется согласно (3.5), где i (t ) определяется уравнением (5.10):
(5.17)

Подставив это значение тока в (3.5), после интегрирования получим
(5.18)

т. е. действующее значение периодического негармонического тока I полностью определяется действующими значениями его гармоник I k и не зависит от их начальных фаз k .

Аналогичным образом находим действующее значение периодического несинусоидального напряжения:
(5.19)

Среднее значение тока определяется согласно общему выражению (3.9). Причем обычно берут среднее значение i (t ) по абсолютной величине
(5.20)

Аналогично определяется U ср(2) .

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.

Средняя активная мощность периодического несинусоидального сигнала
(5.21)
где
(5.22)

k - фазовый сдвиг между током и напряжением k -й гармоники.

Подставляя значения i (t ) и u (t ) из (5.22) в уравнение (5.21), после интегрирования получаем:
(5.23)
т, е. средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник. Формула (5.23) является одной из форм широко известного равенства Парсеваля .

Аналогично находим реактивную мощность
(5.24)
и полную мощность
(5.25)

Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов для негармонических сигналов
(5.26)

Величина P иcк = носит название мощности искажений и характеризует степень различия в формах тока i (t ) и напряжения u (t ).

Кроме мощности искажений периодические негармонические сигналы характеризуются еще рядом коэффициентов : мощности, k м = P/S; формы K ф = U/U ср(2) ; амплитуды K a = U m /U; искажений k и = U 1 /U; гармоник k г = и др.

Для синусоидального сигнала k ф = /21,11; k a = 1,41; k и = 1; k г = 0.

5.3. Спектры периодических негармонических сигналов

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5.3, а . Сигналы подобной формы находят очень широкое применение в радиотехнике и электросвязи: телеграфия, цифровые системы передачи, системы многоканальной связи с временным разделением каналов, различные импульсные и цифровые устройства и др. (см. гл. 19). Импульсная последовательность характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой импульса A и и может иметь смысл как напряжения, так и тока."> , его длительностью t и и периодом следования Т . Отношение периода Т к длительности t и называется скважностью импульсов и обозначается через q = T/t и . Обычно значения скважности импульсов лежат в пределах от нескольких единиц (в измерительной технике, устройствах дискретной передачи и обработки информации), до нескольких сотен или тысяч (в радиолокации).

Для нахождения спектра последовательности прямоугольных импульсов воспользуемся рядом Фурье в комплексной форме (5.6). Комплексная амплитуда k -й гармоники равна согласно (5.8) после возвращения к исходной переменной t .

(5.27)

Подставив значение A k в уравнение (5.6), получим разложение в ряд Фурье:
(5.28)

На рис. 5.4 изображен спектр комплексных амплитуд для q = 2 и q = 4. Как видно из рисунка, спектр последовательности прямоугольных импульсов представляет собой дискретный спектр с огибающей (штриховая линия на рис. 5.4), которая описывается функцией
(5.29)
носящей название функции отсчетов (см. гл. 19). Число спектральных линий между началом отсчета по оси частот и первым нулем огибающей равно q- 1. Постоянная составляющая сигнала (среднее значение) , а действующее значение A = , т.е. чем больше скважность, тем меньше уровень постоянной составляющей и действующее значение сигнала. С увеличением скважности q число дискретных составляющих увеличивается - спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б ), и амплитуда гармоник убывает медленнее. Следует подчеркнуть, что в соответствии с (5.27) спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов вещественный.

Из спектра комплексных амплитуд (5.27) можно выделить амплитудный A k = |A k | и фазовый спектр k = argA k , изображенный на рис. 5.5 для случая q = 4. Из рисунков видно, что амплитудный спектр является четной, а фазовый - нечетной функцией частоты. Причем, фазы отдельных гармоник принимают либо нулевое значение между узлами, где синус положительный, либо ±, где синус отрицательный (рис. 5.5, б )

На основании формулы (5.28) получим тригонометрическую форму разложения в ряд Фурье по четным гармоникам (сравни с (5.15)):
(5.30)

При сдвиге импульсной последовательности по оси времени (рис. 5.2, б ) в соответствии с (5.13) ее амплитудный спектр останется прежним, а фазовый спектр изменится:
(5.31)

В случае, когда периодическая последовательность имеет разнополярную форму (см. рис. 5.1), в спектре будет отсутствовать постоянная составляющая (сравните (5.30) и (5.31) с (5.14) и (5.15)).

Аналогичным образом можно исследовать спектральный состав периодических негармонических сигналов другой формы. В табл.5.1 приведено разложение в ряд Фурье некоторых наиболее распространенных сигналов.

Таблица 5.1

	Типы сигнала	Разложение в ряд Фурье
1
2
3
4
5
6

5.4. Расчет цепей при периодических негармонических воздействиях

В основе расчета линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям заключается в разложении негармонического периодического сигнала в одну из форм ряда Фурье (см. 5.1. Негармонические периодические сигналы. Разложение в ряд Фурье) и определении реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится путем суперпозиции (наложения) полученных частичных реакций. Таким образом, расчет цепей при периодических негармонических воздействиях включает в себя задачу анализа спектрального состава сигнала (разложение его в ряд Фурье), расчет цепи от каждой гармонической составляющей и задачу синтеза, в результате которого определяется результирующий выходной сигнал как функция времени (частоты) или его действующее (амплитудное значение).

При решении задачи анализа обычно пользуются тригонометрической (5.3) или комплексной (5.6) формой ряда Фурье с ограниченным числом членов разложения, что приводит к некоторой погрешности аппроксимации истинного сигнала. Коэффициенты разложения a k и b k в (5.3) или A k и k в (5.6) определяются с помощью уравнений (5.4), (5.7) и (5.8). При этом входной сигнал f (a) должен быть задан аналитически. В случае, если сигнал задается графически, например в виде осциллограммы, то для нахождения коэффициентов разложения a k и b k можно использовать графоаналитический метод (см. (5.16)).

Расчет цепи от отдельных гармоник ведется обычно символическим методом. При этом необходимо иметь в виду, что на k -й гармонике индуктивное сопротивление X L (k ) = kL , а емкостное сопротивление X C (k ) = 1/(kС ), т. е. на k -й гармонике индуктивное сопротивление в k раз больше, а емкостное в k раз меньше, чем на первой гармонике. Этим в частности объясняется то обстоятельство, что высокие гармоники в емкости выражены сильнее, а в индуктивности слабее, чем в приложенном к ним напряжении. Активное сопротивление R на низких и средних частотах можно считать не зависящим от частоты.

После определения искомых токов и напряжений от отдельных гармоник методом наложения находят результирующую реакцию цепи на негармоническое периодическое воздействие. При этом либо определяют мгновенное значение результирующего сигнала на основании расчета амплитуд и фаз отдельных гармоник, либо его амплитудные или действующие значения согласно уравнениям (5.18), (5.19). При определении результирующей реакции необходимо помнить, что в соответствии с представлением периодических негармонических колебаний на комплексной плоскости векторы различных гармоник вращаются с различной угловой частотой.

Пример. К цепи, изображенной на рис. 5.6, приложено напряжение u (t ) в форме прямоугольных импульсов с периодом повторения T = 2t и и амплитудой A и = 1В (см. рис. 5.3, б ). Определить мгновенное и действующее значения напряжения на емкости.

Разложение данного напряжения в ряд Фурье определяется по формуле (5.31). Ограничимся первыми тремя членами разложения (5.31):k -й гармонике называется такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением k -x гармоник равен нулю. Явление резонанса может быть использовано для выделения отдельных гармоник из периодического несинусоидального сигнала. Следует подчеркнуть, что в цепи может одновременно быть достигнут резонанс токовна одной частоте и резонанс напряжений на другой.

Пример. Для цепи, изображенной на рис. 5.7, при заданной 1 , L 1 найти значение C 1 и C 2 , при которых одновременно возникает резонанс напряжений на 1-й и резонанс токов на 5-й гармонике.

Из условия резонанса напряжений находим, что входное реактивное сопротивление цепи на первой гармонике должно равняться нулю:
(5.32)

а на пятой - бесконечности (входная реактивная проводимость на пятой гармонике должна быть равна нулю):
(5.33)

Из условий (5.32) и (5.33) находим искомое значение емкостей:

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например: и строят суммы векторов - в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе.

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций, либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того, чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

1. Не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции).

2. Число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным.

Число экстремумов должно быть конечным.

Ряд Фурье может быть применён для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчёта коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Методы Фурье используются для анализа линейных схем или систем: для предсказания реакции (отклика) системы; для определения передаточной функции; для оценки результатов тестов.

Произвольный периодический сигнал выражается через бесконечное число гармоник с возрастающими частотами:

			основные члены;
			гармонические члены (при n > 1, n – целое число);
			коэффициенты гармоник;
			постоянный член или составляющая постоянного тока.

Период функции
должен равняться2π или кратной величине; кроме того функция
должна быть однозначной.Ряд Фурье можно рассматривать как «рецепт приготовления» любого периодического сигнала из синусоидальных составляющих. Чтобы данный ряд имел практическое значение, он должен сходиться, т.е. частичные суммы ряда должны иметь предел.

Процесс создания произвольного периодического сигнала из коэффициентов, описывающих смешивание гармоник, называется синтезом. Обратный процесс вычисления коэффициентов именуется анализом. Вычисление коэффициентов облегчается тем, что среднее от перекрёстных произведений синусоиды на косинусоиду (и наоборот) равно 0.

Введём в пространство Гильберта базис:
Для упрощения будем полагать, что он ортонормированный.

Тогда любую функцию
из пространства Гильберта можно представить через проекции вектора х на оси базиса обобщённым рядом Фурье:

Ряды Фурье особенно полезны при описании произвольных периодических сигналов с конечной энергией каждого периода. Кроме того, они могут использоваться для описания непериодических сигналов, имеющих конечную энергию за конечный интервал. На практике для описания таких сигналов используют интеграл Фурье.

Выводы

1. Для описания периодических сигналов широко применяется ряд Фурье. Для описания непериодических сигналов используют интеграл Фурье.

Заключение

1. Сообщения, сигналы и помехи как векторы (точки) в линейном пространстве можно описать через набор координат в заданном базисе.

2. Для ТЭС наибольший интерес при отображении сигналов представляет n-мерное пространство Евклида
, бесконечное пространство Гильберта
и дискретное пространство Хэмминга2 n . В этих пространствах вводится понятие скалярного произведения двух векторов (x , y ) .

3. Любую непрерывную функцию времени как элемент можно представить обобщенным рядом Фурье по заданному ортонормированному базису.

Литература

Основная:

Теория электрической связи: Учеб. Для вузов / А.Г. Зюко, Д. Д. Кловский, В.И. Коржик, М. В. Назаров; Под ред. Д. Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998. – 433 с.

Дополнительная:

Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.

Бернард Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 1104 с.

Сухоруков А.С. Теория электрической связи: Конспект лекций. Часть 1. – М.:МТУСИ, ЦЕНТР ДО, 2002. – 65 с.

Сухоруков А.С. Теория цифровой связи: Учебное пособие. Часть 2. – М.:МТУСИ, 2008. – 53 с.

Вводные замечания

В данном разделе будет рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Ряды Фурье являются основой теории спектрального анализа, потому что, как мы увидим позже, преобразование Фурье непериодического сигнала можно получить как предельный переход ряда Фурье при бесконечном периоде повторения. В результате свойства ряда Фурье также справедливы и для преобразования Фурье непериодических сигналов.

Мы рассмотрим выражения ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также уделим внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье. Кроме того, мы подробно остановимся на пояснении такого понятия как отрицательная частота спектра сигнала, которое часто вызывает сложность при знакомстве с теорией спектрального анализа.

Периодический сигнал. Тригонометрический ряд Фурье

Пусть имеется периодический сигнал непрерывного времени , который повторяется с периодом с, т.е. , где — произвольное целое число.

В качестве примера на рисунке 1 показана последовательность прямоугольных импульсов длительности c, повторяющиеся с периодом с.

Рисунок 1. Периодическая последовательность

Прямоугольных импульсов

Из курса математического анализа известно , что система тригонометрических функций

с кратными частотами , где рад/с, — целое число, образует ортонормированный базис для разложения периодических сигналов с периодом , удовлетворяющих условиям Дирихле .

Условия Дирихле сходимости ряда Фурье требуют, чтобы периодический сигнал был задан на сегменте , при этом удовлетворял следующим условиям:

Например, периодическая функция не удовлетворяет условиям Дирихле, потому что функция имеет разрывы второго рода и принимает бесконечные значения при , где — произвольное целое. Таким образом, функция не может быть представлена рядом Фурье. Также можно привести пример функции , которая является ограниченной, но также не удовлетворяет условиям Дирихле, поскольку имеет бесконечное число точек экстремума при приближении к нулю. График функции показан на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции :

А — два периода повторения; б — в окрестности

На рисунке 2а показано два периода повторения функции , а на рисунке 2б — область в окрестности . Можно видеть, что при приближении к нулю, частота колебаний бесконечно возрастает, и такая функция не может быть представлена рядом Фурье, потому что она не является кусочно-монотонной.

Необходимо заметить, что на практике не бывает сигналов с бесконечными значениями тока или напряжения. Функции с бесконечным числом экстремумов типа также в прикладных задачах не встречаются. Все реальные периодические сигналы удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены бесконечным тригонометрическим рядом Фурье вида:

В выражении (2) коэффициент задает постоянную составляющую периодического сигнала .

Во всех точках, где сигнал непрерывен, ряд Фурье (2) сходится к значениям данного сигнала, а в точках разрыва первого рода — к среднему значению , где и — пределы слева и справа от точки разрыва соответственно.

Также из курса математического анализа известно , что использование усеченного ряда Фурье, содержащего только первых членов вместо бесконечной суммы, приводит к приближенному представлению сигнала :

при котором обеспечивается минимум среднего квадрата ошибки. Рисунок 3 иллюстрирует приближение периодической последовательности прямоугольных импульсов и периодического пилообразного сигнала при использовании различного количества членов ряда Фурье .

Рисунок 3. Приближение сигналов усеченным рядом Фурье:

А — прямоугольных импульсов; б — пилообразного сигнала

Ряд Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы рассмотрели тригонометрический ряд Фурье для разложения произвольного периодического сигнала , удовлетворяющего условиям Дирихле. Применив формулу Эйлера, можно показать:
Тогда тригонометрический ряд Фурье (2) с учетом (4):

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и комплексных экспонент, вращающихся с частотами с коэффициентами для положительных частот , и для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами .

Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :

Выражения (6) и (7) совпадают, кроме того постоянную составляющую также можно записать через комплексную экспоненту на нулевой частоте:

Таким образом, (5) с учетом (6)-(8) можно представить как единую сумму при индексации от минус бесконечности до бесконечности:

Выражение (9) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме связаны с коэффициентами и ряда в тригонометрической форме, и определяются как для положительных, так и для отрицательных частот . Индекс в обозначении частоты указывает номер дискретной гармоники, причем отрицательные индексы соответствуют отрицательным частотам .

Из выражения (2) следует, что для вещественного сигнала коэффициенты и ряда (2) также являются вещественными. Однако (9) ставит в соответствие вещественному сигналу , набор комплексно-сопряженных коэффициентов , относящихся как положительным, так и к отрицательным частотам .

Некоторые пояснения к ряду Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы осуществили переход от тригонометрического ряда Фурье (2) к ряду Фурье в комплексной форме (9). В результате, вместо разложения периодических сигналов в базисе вещественных тригонометрических функций, мы получили разложение в базисе комплексных экспонент, с комплексными коэффициентами , да еще и появились отрицательные частоты в разложении! Поскольку данный вопрос часто встречает непонимание, то необходимо дать некоторые пояснения.

Во-первых, работать с комплексными экспонентами в большинстве случаев проще, чем с тригонометрическими функциями. Например, при умножении и делении комплексных экспонент достаточно лишь сложить (вычесть) показатели, в то время как формулы умножения и деления тригонометрических функций более громоздкие.

Дифференцировать и интегрировать экспоненты, пусть даже комплексные, также проще, чем тригонометрические функции, которые постоянно меняются при дифференцировании и интегрировании (синус превращается в косинус и наоборот).

Если сигнал периодический и вещественный, то тригонометрический ряд Фурье (2) кажется более наглядным, потому что все коэффициенты разложения , и остаются вещественными. Однако, часто приходится иметь дело с комплексными периодическими сигналами (например, при модуляции и демодуляции используют квадратурное представление комплексной огибающей). В этом случае при использовании тригонометрического ряда Фурье все коэффициенты , и разложения (2) станут комплексными, в то время как при использовании ряда Фурье в комплексной форме (9) будет использованы одни и те же коэффициенты разложения как для вещественных, так и для комплексных входных сигналов.

Ну и наконец, необходимо остановится на пояснении отрицательных частот, которые появились в (9). Этот вопрос часто вызывает непонимание. В повседневной жизни мы не сталкиваемся с отрицательными частотами. Например, мы никогда не настраиваем свой радиоприемник на отрицательную частоту. Давайте рассмотрим следующую аналогию из механики. Пусть имеется механический пружинный маятник, который совершает свободные колебания с некоторой частотой . Может ли маятник колебаться с отрицательной частотой ? Конечно нет. Как не бывает радиостанций, выходящих в эфир на отрицательных частотах, так и частота колебаний маятника не может быть отрицательной. Но пружинный маятник — одномерный объект (маятник совершает колебания вдоль одной прямой).

Мы можем также привести еще одну аналогию из механики: колесо, вращающееся с частотой . Колесо, в отличие от маятника вращается, т.е. точка на поверхности колеса перемещается в плоскости, а не просто совершает колебания вдоль одной прямой. Поэтому для однозначного задания вращения колеса, задать частоту вращения недостаточно, потому что необходимо задать также направление вращения. Вот именно для этого мы и можем использовать знак частоты.

Так, если колесо вращается с частотой рад/с против часовой стрелки, то считаем, что колесо вращается с положительной частотой, а если по направлению часовой стрелки, то частота вращения будет отрицательной. Таким образом, для задания вращения отрицательная частота перестает быть бессмыслицей и указывает направление вращения.

А теперь самое главное, что мы должны понять. Колебание одномерного объекта (например, пружинного маятника) может быть представлено как сумма вращений двух векторов, показанных на рисунке 4.

Рисунок 4. Колебание пружинного маятника

Как сумма вращений двух векторов

на комплексной плоскости

Маятник совершает колебания вдоль вещественной оси комплексной плоскости с частотой по гармоническому закону . Движение маятника показано горизонтальным вектором. Верхний вектор совершает вращения на комплексной плоскости с положительной частотой (против часовой стрелки), а нижний вектор вращается с отрицательной частотой (по направлению часовой стрелки). Рисунок 4 наглядно иллюстрирует хорошо известное из курса тригонометрии соотношение:

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме (9) представляет периодические одномерные сигналы как сумму векторов на комплексной плоскости, вращающихся с положительными и отрицательными частотами. При этом обратим внимание, что в случае вещественного сигнала согласно (9) коэффициенты разложения для отрицательных частот являются комплексно-сопряженными соответствующим коэффициентам для положительных частот . В случае комплексного сигнала это свойство коэффициентов не выполняется ввиду того, что и также являются комплексными.

Спектр периодических сигналов

Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой разложение периодического сигнала в сумму комплексных экспонент, вращающихся с положительными и отрицательными частотами кратными рад/c с соответствующими комплексными коэффициентами , которые определяют спектр сигнала . Комплексные коэффициенты могут быть представлены по формуле Эйлера как , где — амплитудный спектр, a — фазовый спектр.

Поскольку периодические сигналы раскладываются в ряд только на фиксированной сетке частот , то спектр периодических сигналов является линейчатым (дискретным).

Рисунок 5. Спектр периодической последовательности

Прямоугольных импульсов:

А — амплитудный спектр; б — фазовый спектр

На рисунке 5 приведен пример амплитудного и фазового спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рисунок 1) при с, длительности импульса c и амплитуде импульсов В.

Амплитудный спектр исходного вещественного сигнала является симметричным относительно нулевой частоты, а фазовый спектр — антисимметричным. При этом заметим, что значения фазового спектра и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости .

Можно сделать вывод, что все коэффициенты разложения приведенного сигнала являются чисто вещественными, и фазовый спектр соответствует отрицательным коэффициентам .

Обратим внимание, что размерность амплитудного спектра совпадает с размерностью сигнала . Если описывает изменение напряжения во времени, измеряемое в вольт, то амплитуды гармоник спектра также будут иметь размерность вольт.

Выводы

В данном разделе рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной формах. Мы уделили особое внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье и были приведены примеры функций, для которых ряд Фурье расходится.

Мы подробно остановились на выражении ряда Фурье в комплексной форме и показали, что периодические сигналы как вещественные, так и комплексные представляются рядом комплексных экспонент с положительными и отрицательными частотами. При этом коэффициенты разложения являются также комплексными и характеризуют амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала.

В следующем разделе мы более детально рассмотрим свойства спектров периодических сигналов.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.