Периодические колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:
Здесь
- циклическая частота колебаний,A
– максимальное отклонение колеблющейся
величины от положения равновесия
(амплитуда
колебаний
),
φ(t
)
= ωt
+
φ 0
– фаза
колебаний
,
φ 0
– начальная
фаза
.
График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 – График гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:
.
Гармонически колеблющаяся величина s (t ) подчиняется дифференциальному уравнению:
,
(1)
которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Период кодебаний
Физический маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.
При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
|
|
|
|
Решение
этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или
.
Из
этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.
Пружинный маятник
Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
Пока пружина не деформирована, сила упругостина тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Вопрос 36 Энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна.
На рисунке 1 изображены векторы скорости и ускорения мяча. Какое направление, показанное на рис. 2 , имеет вектор равнодействующей всех сил, приложенных к мячу? B) 2
На рисунке дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы. О чем свидетельствует значение плотности вероятности в точке А ()? C) частица не может быть обнаружена в середине потенциальной ямы
На рисунке даны графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур. Какая из кривых соответствует наименьшей температуре? E) 5
На рисунке изображен профиль волны в определенный момент времени. Чему равна его длина волны?B) 0,4м
На рисунке изображены силовые линии электростатического поля. Напряженность поля наибольшая в точке:E) 1
На рисунке показан график колебаний материальной точки, уравнение которых имеет вид: . Чему равна начальная фаза?B)
На рисунке показано сечение проводника с током I. Электрический ток в проводнике направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Какое из указанных на рисунке направлений в точке А соответствует направлению вектора магнитной индукции? С) 3
На сколько изменится длина волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии на угол 90 0 ? Принять длину волны Комптона 2,4 пм.E) не изменится
На сколько изменится длина волны рентгеновских лучей при комптоновсом рассеянии на угол 60 0 ? Принять длину волны Комптона 2,4 пм.B) 1,2 пм
На сколько изменится оптическая длина пути, если на пути светового луча, идущего в вакууме, поставить стеклянную пластинку толщиной 2,5 мкм? Показатель преломления стекла 1,5.A) 1,25 мкм
На сколько изменится период колебаний математического маятника при увеличении его длины в 4 раза?A) увеличивается в 2 раза
На сколько изменится период колебания физического маятника при увеличении его массы в 4 раза? не изменится
На сколько изменится фаза за время одного полного колебания?
На сколько отличаются фазы колебаний заряда на обкладках конденсатора и силы тока в колебательном контуре?А) p/2 рад
На собирающую линзу падает пучок параллельных лучей, как показано на рисунке. Каким номером на рисунке обозначен фокус линзы?D) 4
На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5 падает луч света. Найти угол падения луча, если угол отражения равен 30 0 .C) 45 0
На стержне длиной 10 см находится заряд 1 мкКл. Чему равна линейная плотность заряда на стержне?E) 10 -5 Кл/м
На тело действует постоянный вращающий момент. Какие из перечисленных величин изменяются со временем по линейному закону?B) угловая скорость
На тело массой 1кг действует сила 10Н. Найти ускорение тела: Е) 10м/с 2
На тело массой 1кг действует сила F=3H в течении 2 секунд. Найдите кинетическую энергию тела после действия силы. V 0 =0м/с. 18Дж
На тонкую линзу падает луч свет. Выбрать ход луча после преломления его линзой.A) 1
На цинковую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны 220 нм. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна: (работа выхода А=6,4·10 -19 Дж, m е =9,1·10 -31 кг.)С) 2,63·10-19 Дж.
На что расходуется энергия фотона при внешнем фотоэффекте?D) на работу выхода электрона и сообщение ему кинетической энергии
На щель падает нормально монохроматический свет. Вторая темная дифракционная полоса наблюдается под углом =0,01. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?B) 200
На щель шириной падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны . Под каким углом будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?D) 30 0
На щель шириной 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника с длиной 0,6 мкм. Ширина центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L =1м, равна:С) 1,2 см
На щель шириной 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм. Определите синус угла, соответствующего второму максимуму. D) 0,012
На щель шириной 2 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 500 нм. Под каким углом будет наблюдаться второй дифракционный минимум света?А) 30 0
На щель шириной а=0,005 мм падает нормально монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующих пятой темной дифракционной линии,j=300. Определить длину волны падающего света.C) 0,5 мкм
На щель шириной а= 2 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света ( =500 нм). Над каким углом будет наблюдаться дифракционный минимум света второго порядка?C) 30 0
На щель шириной падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны . Под каким углом будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?D) 30 0
На экране получена интерференционная картина от двух когерентных источников, излучающих свет с длиной волны 0,65 мкм. Расстояние между четвертым и пятым интерференционными максимумами на экране равно 1 см. Чему равно расстояние от источников до экрана, если расстояние между источниками 0,13 мм?A) 2 м
наблюдателя проехал автомобиль со включенной сиреной. При приближении автомобиля наблюдатель слышал более высокий тон звука, а при удалении более низкий тон звука. Какой эффект будет наблюдаться, если сирена будет неподвижной, а мимо нее проедет наблюдатель? D) при приближении тон повысится, при удалении понизится
Назовите термодинамические параметры.B) температура, давление, объем
Найдите скорость тела в момент времени t=1c.С) 4 м/с
Колебательное движение - периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.
Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.
Смещение х - отклонение тела от положения равновесия.
Амплитуда А - модуль максимального смещения тела.
Период колебания Т - время одного колебания:
Частота колебания
Число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.
ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:
где x(t) - смещение системы в момент t, A - амплитуда, ω - циклическая частота колебаний.
Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной - время, то получится график колебания х = x(t) - зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях - это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.
Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.
ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:
В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.
При этом полная энергия равна потенциальной энергии:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия. Следовательно:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:
При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:
Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна
Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.
2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.
Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:
Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника
получаем формулу для периода математического маятника:
Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.
Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.
Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.
Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.
Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:
Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:
Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .
Задачи и тесты по теме "Тема 4. "Механика. Колебания и волны"."
- Поперечные и продольные волны. Длина волны
Уроков: 3 Заданий: 9 Тестов: 1
- Звуковые волны. Скорость звука - Механические колебания и волны. Звук 9 класс
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:
где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;
Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.
Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:
Если за время t тело совершает N полных колебаний, то
Величину 
, показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой
.
Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:
Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).
На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .
Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:
где - амплитуда проекции скорости на ось х.
Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).
Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:
где - амплитуда проекции ускорения на ось х.
При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).
Тест по физике Гармонические колебания для учащихся 9 класса с ответами. Тест включает в себя 10 заданий с выбором ответа.
1. Выберите верное(-ые) утверждение(-я).
А. колебания называются гармоническими, если они происходят по закону синуса
Б. колебания называются гармоническими, если они происходят по закону косинуса
1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б
2. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Амплитуда колебаний равна
1) 10 см
2) 20 см
3) -10 см
4) -20 см
3. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, амплитуда колебаний равна
1) 1 · 10 -3 м
2) 2 · 10 -3 м
3) 3 · 10 -3 м
4) 4 · 10 -3 м
4. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Период колебаний равен
1) 2 с
2) 4 с
3) 6 с
4) 10 с
5. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, период этих колебаний равен
1) 1 · 10 -3 с
2) 2 · 10 -3 с
3) 3 · 10 -3 с
4) 4 · 10 -3 с
6. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Частота колебаний равна
1) 0,25 Гц
2) 0,5 Гц
3) 2 Гц
4) 4 Гц
7. На рисунке показан график х , см колебаний одной из точек струны. Согласно графику, частота этих колебаний равна
1) 1000 Гц
2) 750 Гц
3) 500 Гц
4) 250 Гц
8. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Какой путь пройдет шар за два полных колебания?
1) 10 см
2) 20 см
3) 40 см
4) 80 см
9. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Эта зависимость является
