В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой бесконечно большее сопротивление: постоянный ток не проходит через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора. Цепи переменного тока конденсатор не разрывает: попеременно заряжаясь и разряжаясь, он обеспечивает движение электрических зарядов, т. е. поддерживает переменный ток во внешней цепи. Исходя из электромагнитной теории Максвелла (см. § 105), можно сказать, что переменный ток проводимости замыкается внутри конденсатора током смещения. Таким образом, для переменного тока конденсатор представляет собой конечное сопротивление, называемое емкостным сопротивлением.
Опыт и теория показывают, что сила переменного тока в проводе существенно зависит от формы, которая придана этому проводу. Сила тока будет, наибольшей в случае прямого провода. Если же провод свернут в виде катушки с большим числом витков, то сила тока в нем значительно уменьшится: особенно резкое снижение тока происходит при введении в эту катушку ферромагнитного сердечника. Это означает, что для переменного тока проводник помимо омического сопротивления имеет еще дополнительное сопротивление, зависящее от индуктивности проводника и потому называемое индуктивным сопротивлением. Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в следующем. Под влиянием изменений тока в проводнике, обладающем индуктивностью, возникает электродвижущая сила самоиндукции, препятствующая этим изменениям, т. е. уменьшающая амплитуду тока а следовательно, и эффективный ток Уменьшение эффективного тока в проводнике равносильно увеличению сопротивления проводника, т. е. равносильно появлению дополнительного (индуктивного) сопротивления.
Получим теперь выражения для емкостного и индуктивного сопротивлений.
1. Емкостное сопротивление. Пусть к конденсатору емкостью С (рис. 258) приложено переменное синусоидальное напряжение
Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов, будем считать, что напряжение на обкладках конденсатора равно приложенному напряжению:
В любой момент времени заряд конденсатора равен произведению емкости конденсатора С на напряжение (см. § 83):
Если за малый промежуток времени заряд конденсатора изменяется на величину то это означает, что в подводящих проводах идет ток равный
Так как амплитуда этого тока
то окончательно получим
Запишем формулу (37) в виде
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина играющая роль сопротивления, представляет собой сопротивление конденсатора для переменного тока, т. е. емкостное сопротивление
Таким образом, емкостное сопротивление обратно пропорционально круговой частоте тока и величине емкости. Физический смысл этой зависимости нетрудно понять. Чем больше емкость конденсатора и чем чаще изменяется направление тока (т. е. чем больше круговая частота тем больший заряд проходит за единицу времени через поперечное сечение подводящих проводов. Следовательно, ). Но сила тока и сопротивление обратно пропорциональны друг другу.
Следовательно, сопротивление
Рассчитаем емкостное сопротивление конденсатора емкостью включенного в цепь переменного тока частотой Гц:
При частоте Гц емкостное сопротивление того же самого конденсатора снизится приблизительно до 3 Ом.
Из сопоставления формул (36) и (38) видно, что изменения тока и напряжения совершаются в различных фазах: фаза тока на больше фазы напряжения. Это означает, что максимум тока наступает на четверть периода раньше, чем максимум напряжения (рис. 259).
Итак, на емксстном сопротивлении ток опережает напряжение на четверть периода (по времени) или на 90° (по фазе).
Физический смысл этого важного явления можно пояснить следующим образом, В начальный момент времени конденсатор еще не заряжен Поэтому даже очень малое внешнее напряжение легко перемещает заряды к пластинам конденсатора, создавая ток (см. рис. 258). По мере зарядки конденсатора напряжение на его обкладках растет, препятствуя дальнейшему притоку зарядов. В связи с этим ток в цепи уменьшается, несмотря на продолжающееся увеличение внешнего напряжения
Следовательно, в начальный момент времени ток имел максимальное значение ( Когда а вместе с ним и достигнут максимума (что произойдет через четверть периода), конденсатор полностью зарядится и ток в цепи прекратится Итак, в начальный момент времени ток в цепи максимален, а напряжение минимально и только еще начинает нарастать; через четверть периода напряжение достигает максимума, а ток уже успевает уменьшиться до нуля. Таким образом, действительно ток опережает напряжение на четверть периода.
2. Индуктивное сопротивление. Пусть через катушку самоиндукции с индуктивностью идет переменный синусоидальный ток
обусловленный переменным напряжением приложенным к катушке
Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов и самой катушки (что вполне допустимо, если катушка изготовлена, например, из толстой медной проволоки), сбудем считать, что приложенное напряжение уравновешивается электродвижущей силой самоиндукции (равно ей по величине и противоположно по направлению):
Тогда, учитывая формулы (40) и (41), можем написать:
Так как амплитуда приложенного напряжения
то окончательно получим
Запишем формулу (42) в виде
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина играющая роль сопротивления, представляет собой индуктивное сопротивление катушки самоиндукции:
Таким образом, индуктивное сопротивление пропорционально круговой частоте тока и величине индуктивности. Такого рода зависимость объясняется тем, что, как уже отмечалось в предыдущем параграфе, индуктивное сопротивление обусловлено действием электродвижущей силы самоиндукции, уменьшающей эффективный ток и, следовательно, увеличивающей сопротивление.
Величина же этой электродвижущей силы (и, следовательно, сопротивления) пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения тока, т. е. круговой частоте
Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки с индуктивностью включенной в цепь переменного тока с частотой Гц:
При частоте Гц индуктивное сопротивление той же самой катушки возрастает до 31 400 Ом.
Подчеркнем, что омическое сопротивление катушки (с железным сердечником), имеющей индуктивность составляет обычно лишь несколько Ом.
Из сопоставления формул (40) и (43) видно, что изменения тока и напряжения совершаются в различных фазах, причем фаза тока на меньше фазы напряжения. Это означает, что максимум тока наступает на четверть периода (774) позже, чем максимум напряжения (рис. 261).
Итак, на индуктивном сопротивлении ток отстает от напряжения на четверть периода (по времени), или на 90° (по фазе). Сдвиг фаз обусловлен тормозящим действием электродвижущей силы самоиндукции: она препятствует как нарастанию, так и убыванию тока в цепи, поэтому максимум тока наступает позднее, чем максимум напряжения.
Если в цепь переменного тока последовательно включены индуктивное и емкостное сопротивления, то напряжение на индуктивном сопротивлении будет, очевидно, опережать напряжение на емкостном сопротивлении на полпериода (по времени), или на 180° (по фазе).
Как уже упоминалось, и емкостное и индуктивное сопротивления носят общее название реактивного сопротивления. На реактивном сопротивлении электроэнергия не расходуется; этим оно существенно отличается от активного сопротивления. Дело в том, что энергия, периодически потребляемая на создание электрического поля в конденсаторе (во время его зарядки), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь при ликвидации этого поля (во время разрядки конденсатора). Точно так же энергия, периодически потребляемая на создание магнитного поля катушки самоиндукции (во время возрастания тока), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь при ликвидации этого поля (во время убывания тока).
В технике переменного тока вместо реостатов (омического сопротивления), которые всегда нагреваются и бесполезно расходуют энергию, часто применяются дроссели (индуктивное сопротивление). Дроссель представляет собой катушку самоиндукции с железным сердечником. Оказывая значительное сопротивление переменному току, дроссель практически не нагревается и не расходует электроэнергию.
В цепь переменного тока, под действием непрерывно изменяющегося напряжения происходят изменения этого тока. В свою очередь, эти изменения вызывают генерацию магнитного поля, которое периодический возрастает или убывает. Под его влиянием в катушке индуцируется встречное напряжение, препятствующее изменениям тока. Таким образом, протекание тока происходит под непрерывным противодействием, получившим название индуктивного сопротивления.
Данная величина связана напрямую с частотой приложенного напряжения (f) и значением индуктивности (L). Формула индуктивного сопротивления будет выглядеть следующим образом: XL = 2πfL . Прямая пропорциональная зависимость, в случае необходимости, позволяет путем преобразования основной формулы вычислить частоту или значение индуктивности.
От чего зависит индуктивное сопротивление
Под действием переменного тока, проходящего по проводнику, вокруг этого проводника образуется переменное магнитное поле. Действие этого поля приводит к наведению в проводнике электродвижущей силы обратного направления, известной еще как ЭДС самоиндукции. Противодействие или сопротивление ЭДС переменному току получило название реактивного индуктивного сопротивления.
Данная величина зависит от многих факторов. В первую очередь на нее оказывает влияние как значение тока не только в собственном проводнике, но и в соседних проводах. То есть увеличение сопротивления и потока рассеяния происходит по мере увеличения расстояния между фазными проводами. Одновременно снижается воздействие соседних проводов.
Существует такое понятие, как погонное индуктивное сопротивление, которое вычисляется по формуле: X0 = ω x (4,61g x (Dср/Rпр) + 0,5μ) x 10-4 = X0’ + X0’’, в которой ω является угловой частотой, μ - магнитной проницаемостью, Dср - среднегеометрическим расстоянием между фазами ЛЭП, а Rпр - радиусом провода.
Величины X0’ и X0’’ представляют собой две составные части погонного индуктивного сопротивления. Первая из них X0’ представляет собой внешнее индуктивное сопротивление, зависящее только от внешнего магнитного поля и размеров ЛЭП. Другая величина - X0’’ является внутренним сопротивлением, зависящим от внутреннего магнитного поля и магнитной проницаемости μ.
На линиях электропередачи высокого напряжения от 330 кВ и более, проходящие фазы расщепляются на несколько отдельных проводов. Например, при напряжении 330 кВ фаза разделяется на два провода, что позволяет снизить индуктивное сопротивление примерно на 19%. Три провода используются при напряжении 500 кВ - индуктивное сопротивление удается снизить на 28%. Напряжение 750 кВ допускает разделение фаз на 4-6 проводников, что способствует снижению сопротивления примерно на 33%.
Погонное индуктивное сопротивление имеет величину в зависимости от радиуса провода и совершенно не зависит от сечения. Если радиус проводника будет увеличиваться, то значение погонного индуктивного сопротивления будет соответственно уменьшаться. Существенное влияние оказывают проводники, расположенные рядом.
Индуктивное сопротивление в цепи переменного тока
Одной из основных характеристик электрических цепей является сопротивление, которое может быть активным и реактивным. Типичными представителями активного сопротивления считаются обычные потребители - лампы, накаливания, резисторы, нагревательные спирали и другие элементы, в которых электрический .
К реактивному относятся индуктивное и емкостное сопротивления, находящиеся в промежуточных преобразователях электроэнергии - индуктивных катушках и конденсаторах. Эти параметры в обязательном порядке учитываются при выполнении различных расчетов. Например, для определения общего сопротивления участка цепи, . Сложение осуществляется геометрическим, то есть, векторным способом, путем построения прямоугольного треугольника. В нем оба катета являются обоими сопротивлениями, а гипотенуза - полным. Длина каждого катета соответствует действующему значению того или иного сопротивления.
В качестве примера можно рассмотреть характер индуктивного сопротивления в простейшей цепи переменного тока. В нее входит источник питания, обладающий ЭДС (Е), резистор, как активная составляющая (R) и катушка, обладающая индуктивностью (L). Возникновение индуктивного сопротивления происходит под действием ЭДС самоиндукции (Еси) в катушечных витках. Индуктивное сопротивление увеличивается в соответствии с ростом индуктивности цепи и значения тока, протекающего по контуру.
Таким образом, закон Ома для такой цепи переменного тока будет выглядеть в виде формулы: Е + Еси = I x R. Далее с помощью этой же формулы можно определить значение самоиндукции: Еси = -L x Iпр, где Iпр является производной тока от времени. Знак «минус» означает противоположное направление Еси по отношению к изменяющемуся значению тока. Поскольку в цепи переменного тока подобные изменения происходят постоянно, наблюдается существенное противодействие или сопротивление со стороны Еси. При постоянном токе данная зависимость отсутствует и все попытки подключения катушки в такую цепь привели бы к обычному короткому замыканию.
Для преодоления ЭДС самоиндукции, на выводах катушки источником питания должна создаваться такая разность потенциалов, чтобы она могла хотя-бы минимально компенсировать сопротивление Еси (Uкат = -Еси). Поскольку увеличение переменного тока в цепи приводит к возрастанию магнитного поля, происходит генерация вихревого поля, которое и вызывает рост противоположного тока в индуктивности. В результате, между током и напряжением происходит смещение фаз.
Индуктивное сопротивление катушки
Катушка индуктивности относится к категории пассивных компонентов, используемых в электронных схемах. Она способна сохранять электроэнергию, превращая ее в магнитное поле. В этом и состоит ее основная функция. Катушка индуктивности по своим характеристиками и свойствам напоминает конденсатор, сохраняющий энергию в виде электрического поля.
Индуктивность, измеряемая в Генри, заключается в появлении вокруг проводника с током магнитного поля. В свою очередь, связано с электродвижущей силой, которая противодействует приложенному переменному напряжению и силе тока в катушке. Данное свойство и есть индуктивное сопротивление, находящееся в противофазе с емкостным сопротивлением конденсатора. Индуктивность катушки возможно повысить за счет увеличения количества витков.
Для того чтобы выяснить, чему равно индуктивное сопротивление катушки, следует помнить, что оно, в первую очередь, противодействует переменному току. Как показывает практика, каждая индуктивная катушка сама по себе имеет определенное сопротивление.
Прохождение переменного синусоидального тока через катушку, приводит к возникновению переменного синусоидального напряжения или ЭДС. В результате, возникает индуктивное сопротивление, определяемое формулой: XL = ωL = 2πFL, в которой ω является угловой частотой, F - частотой в герцах, L - индуктивностью в генри.
Переменный ток, проходя по проводу, образует вокруг него переменное магнитное поле, которое наводит в проводнике ЭДС обратного направления (ЭДС самоиндукции). Сопротивление току , обусловленное противодействием ЭДС самоиндукции, называетсяреактивным индуктивным сопротивлением .
Величина реактивного индуктивного сопротивления зависит как от значения тока в собственном проводе, так и от величины токов в соседних проводах. Чем дальше расположены фазные провода линии, тем меньше влияние соседних проводов – поток рассеяния и индуктивное сопротивление увеличиваются.
На величину индуктивного сопротивления оказывает влияние диаметр провода, магнитная проницаемость ( ) и частота переменного тока. Величина погонного индуктивного сопротивления рассчитывается по формуле:
где – угловая частота;
– магнитная проницаемость;
среднегеометрическое расстояние между фазами ЛЭП;
радиус провода.
Погонное индуктивное сопротивление состоит из двух составляющих и. Величинаназывается внешним индуктивным сопротивлением. Обусловлено внешним магнитным полем и зависит только от геометрических размеров ЛЭП. Величинаназывается внутренним индуктивным сопротивлением. Обусловлено внутренним магнитным полем и зависит только от , то есть от тока проходящего по проводнику.
Среднегеометрическое расстояние между фазными проводами рассчитывается по формуле:
.
На рис. 1.3 показано возможное расположение проводов на опоре.
При расположении проводов в одной плоскости (рис. 4.3 а, б) формула для расчета D ср упрощается:
Если же провода расположены в вершинах равностороннего треугольника, то D ср =D .
Для ВЛЭП напряжением 6-10 кВ расстояние между проводами составляет 1-1,5 м; напряжением 35 кВ – 2-4 м; напряжением 110 кВ – 4-7 м; напряжением 220 кВ – 7-9м.
При f = 50Гц значение=2f = 3,14 1/с. Тогда формула (4.1) записывается следующим образом:
Для проводников выполненных из цветного металла (медь, алюминий) = 1.
На ЛЭП высокого напряжения (330 кВ и выше) применяют расщепление фазы на несколько проводов. На напряжении 330 кВ обычно используют 2 провода в фазе (индуктивное сопротивление снижается приблизительно на 19%). На напряжении 500 кВ обычно используют 3 провода в фазе (индуктивное сопротивление снижается приблизительно на 28%). На напряжении 750 кВ используют 4-6 проводов в фазе (индуктивное сопротивление снижается приблизительно на 33%).
Величина погонного индуктивного сопротивления при расщепленной конструкции фазы рассчитывается как:
где n – количество проводов в фазе;
R пр экв – эквивалентный радиус провода.
При n = 2, 3
где а – шаг расщепления (среднегеометрическое расстояние между проводами в фазе);
R пр – радиус провода.
При большем количестве проводов в фазе их располагают по окружности (см. рис. 4.4). В этом случае величина эквивалентного радиуса провода равна:
где p – радиус расщепления.
Величина погонного индуктивного сопротивления зависит от радиуса провода, и практически не зависит от сечения (рис. 4.5).
Величинаx 0 уменьшается при увеличении радиуса провода. Чем меньше средний диаметр провода, тем большеx 0 , так как в меньшей степени влияют соседние провода, уменьшается ЭДС самоиндукции. Влияние второй цепи для двухцепных ЛЭП проявляется мало, поэтому им пренебрегают.
Индуктивное сопротивление кабеля намного меньше чем у воздушных ЛЭП из-за меньших расстояний между фазами. В ряде случаев им можно пренебречь. Сравним погонное индуктивное кабельных и воздушных линий разных напряжений:
Величина реактивного сопротивления участка сети рассчитывается:
Х = х 0 l .
Мы знаем, что на встречу нарастающему току генератора идет ток самоиндукции катушки. Вот это противодействие тока самоиндукции катушки нарастающему току генератора и называется индуктивным сопротивлением.
На преодоление этого противодействия затрачивается часть энергии переменного тока генератора. Вся эта часть энергии полностью превращается в энергию магнитного поля катушки. Когда ток генератора будет убывать, магнитное поле катушки также будет убывать, пресекая катушку и индуктируя в цепи ток самоиндукции. Теперь ток самоиндукции будет идти в одном направлении с убывающим током генератора.
Таким образом вся энергия затраченная током генератора на преодоление противодействия тока самоиндукции катушки полностью вернулась в цепь в виде энергии электрического тока. Поэтому индуктивное сопротивление является реактивным, т. е. не вызывающим безвозвратных потерь энергии.
Единицей измерения индуктивного сопротивления является Ом
Индуктивное сопротивление обозначается X L .
Буква X- означает реактивное сопротивление, а L означает что это реактивное сопротивление является индуктивным.
f- частота Гц, L- индуктивность катушки Гн, X L- индуктивное сопротивление Ом
Соотношение между фазами U и I на X L
Так как активное сопротивление катушки по условию равно нулю (чисто индуктивное сопротивление), то все напряжение приложенное генератором к катушке идет на преодоление э. д. с. самоиндукции катушки. Это значит что график напряжения приложенного генератором к катушке равен по амплитуде графику э. д. с. самоиндукции катушки и находится с ним в противофазе.
Напряжение приложенное генератором к чисто индуктивному сопротивлению и ток идущий от генератора по чисто индуктивному сопротивлению сдвинуты по фазе на 90 0 ,т. е. напряжение опережает ток на 90 0.
Реальная катушка кроме индуктивного сопротивления имеет еще и активное сопротивление. Эти сопротивления следует считать соединенными последовательно.
На активном сопротивлении катушки напряжение приложенное генератором и ток идущий от генератора совпадают по фазе.
На чисто индуктивном сопротивлении напряжение приложенное генератором и ток идущий от генератора сдвинуты по фазе на 90 0 . Напряжение опережает ток на 90 0 . Результирующее напряжение приложенное генератором к катушке определяется по правилу параллелограмма.
кликните по картинке чтобы увеличить
Результирующее напряжение приложенное генератором к катушке всегда опережает ток на на угол меньший 90 0 .
Величина угла φ зависит от величин активного и индуктивного сопротивлений катушки.
О результирующем сопротивлении катушки
Результирующее сопротивление катушки нельзя находить суммированием величин её активного и реактивного сопротивлений .
Результирующее сопротивление катушки Z равно
Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи переменного тока.
Изменения силы тока, напряжения и э. д. с. в цепи переменного тока происходят с одинаковой частотой, но фазы этих изменений, вообще говоря, различны. Поэтому если начальную фазу силы тока условно принять за нуль, то начальная фаза напряжения будет иметь некоторое значение φ. При таком условии мгновенные значения силы тока и напряжения и будут выражаться следующими формулами:
i = I m sinωt
u = U m sin(ωt + φ)
a) Активное сопротивление в цепи переменного тока. Сопротивление цепи, которое обусловливает безвозвратные потери электрической энергии на тепловое действие тока, называют активным . Это сопротивление для тока низкой частоты можно считать равным сопротивлению R этого же проводника постоянному току.
В цепи переменного тока, имеющей только активное сопротивление, например, в лампах накаливания, нагревательных приборах и т. п., сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю, т. е. φ = 0. Это означает, что ток и напряжение в такой цепи изменяются в одинаковых фазах, а электрическая энергия полностью расходуется на тепловое действие тока.
Будем считать, что напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону: и = U т cos ωt.
Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому для нахождения мгновенного значения силы тока можно применить закон Ома:
по фазе с колебаниями напряжения.
b) Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Включение в цепь переменного тока катушки с индуктивностью L проявляется как увеличение сопротивления цепи. Объясняется это тем, что при переменном токе в катушке все время действует э. д. с. самоиндукции, ослабляющая ток. Сопротивление X L , которое обусловливается явлением самоиндукции, называют индуктивным сопротивлением. Так как э. д. с. самоиндукции тем больше, чем больше индуктивность цепи и чем быстрее изменяется ток, то индуктивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности цепи L и круговой частоте переменного тока ω: X L = ωL.
Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Для этого предварительно найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней. Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна быть равна нулю. Иначе сила тока, согласно закону Ома, была бы бесконечно большой.
Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля E i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля Е к, создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.
Из равенства E i = -Е к следует, что удельная работа вихревого поля (т. е. ЭДС самоиндукции e i) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля . Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжению на концах катушки, можно записать: e i = -и.
При изменении силы тока по гармоническому закону i = I m sin соsωt, ЭДС самоиндукции равна: е i = -Li" = -LωI m cos ωt. Так как e i = -и, то напряжение на концах катушки оказывается равным
и = LωI m cos ωt = LωI m sin (ωt + π/2) = U m sin (ωt + π/2)
гдеU m = LωI m - амплитуда напряжения.
Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2.
Если ввести обозначение X L = ωL, то получим . Величину X L , равную произведению циклической частоты на индуктивность, называют индуктивным сопротивлением. Согласно формуле , значение силы тока связано с значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока.
Индуктивное сопротивление зависит от частоты ω. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю. Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС самоиндукции и тем меньше амплитуда силы тока. Следует отметить, что напряжение на индуктивном сопротивлении опережает по фазе ток .
c) Конденсатор в цепи переменного тока. Постоянный ток не проходит через конденсатор, так как между его обкладками находится диэлектрик. Если конденсатор включить в цепь постоянного тока, то после зарядки конденсатора ток в цепи прекратится.
Пусть конденсатор включен в цепь переменного тока. Заряд конденсатора (q=CU) вследствие изменения напряжения непрерывно изменяется, поэтому в цепи течет переменный ток. Сила тока будет тем больше, чем больше емкость конденсатора и чем чаще происходит его перезарядка, т. е. чем больше частота переменного тока.
Сопротивление, обусловленное наличием электроемкости в цепи переменного тока, называют емкостным сопротивлением Х с . Оно обратно пропорционально емкости С и круговой частоте ω: Х с =1/ωС.
Установим, как меняется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь.
Напряжение на конденсаторе u = q/C равно напряжению на концах цепи u = U m cosωt.
Следовательно, q/C = U m cosωt. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:
q = CU m cosωt.
Сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, равна:
i = q" = -U m Cω sin ωt =U m ωC cos(ωt + π/2).
Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе на π/2.
Величину Х с , обратную произведению ωС циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома. Значение силы тока связано с значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение для участка цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Х с как сопротивление конденсатора переменному току (емкостное сопротивление).
Чем больше емкость конденсатора, тем больше ток перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Х с. С увеличением емкости оно уменьшается. Уменьшается оно и с увеличением частоты ω.
В заключение отметим, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода, при разрядке конденсатора, эта энергия возвращается в сеть.
Из сравнения формул X L = ωL и Х с =1/ωС видно, что катушки индуктивности. представляют собой очень большое сопротивление для тока высокой частоты и небольшое для тока низкой частоты, а конденсаторы - наоборот. Индуктивное Х L и емкостное Х C сопротивления называют реактивными.
d) Закон ома для электрической цепи переменного тока.
Рассмотрим теперь более общий случай электрической цепи, в которой последовательно соединены проводник с активным сопротивлением R и малой индуктивностью, катушка с большой индуктивностью L и малым активным сопротивлением и конденсатор емкостью С
Мы видели, что при включении по отдельности в цепь активного сопротивления R, конденсатора емкостью С или катушки с индуктивностью L амплитуда силы тока определяется соответственно формулами:
; ; I m = U m ωC .
Амплитуды же напряжений на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе связаны с амплитудой силы тока так: U m = I m R; U m = I m ωL;
В цепях постоянного тока напряжение на концах цепи равно сумме напряжений на отдельных последовательно соединенных участках цепи. Однако, если измерить результирующее напряжение на контуре и напряжения на отдельных элементах цепи, окажется, что напряжение на контуре (действующее значение) не равно сумме напряжений на отдельных элементах. Почему это так? Дело в том, что гармонические колебания напряжения на различных участках цепи сдвинуты по фазе друг относительно друга.
Действительно, ток в любой момент времени одинаков во всех участках цепи. Это значит, что одинаковы амплитуды и фазы токов, протекающих по участкам с емкостным, индуктивным и активным сопротивлениями. Однако только на активном сопротивлении колебания напряжения и тока совпадают по фазе. На конденсаторе колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока на π/2, а на катушке индуктивности колебания напряжения опережают колебания тока на π/2. Если учесть сдвиг фаз между складываемыми напряжениями, то окажется, что
Для получения этого равенства нужно уметь складывать колебания напряжений, сдвинутые по фазе друг относительно друга. Проще всего выполнить сложение нескольких гармонических колебаний с помощью векторных диаграмм. Идея метода основана на двух довольно простых положениях.
Во-первых, проекция вектора с модулем х m вращающегося с постоянной угловой скоростью совершает гармонические колебания: х = х m cosωt
Во-вторых, при сложении двух векторов проекция суммарного вектора равна сумме проекций складываемых векторов.
Векторная диаграмма электрических колебаний в цепи, изображенной на рисунке, позволит нам получить соотношение между амплитудой силы тока в этой цепи и амплитудой напряжения. Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построение векторной диаграммы удобно начать с вектора силы тока I m . Этот вектор изобразим в виде горизонтальной стрелки. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор U mR , должен совпадать по направлению с вектором I m . Его модуль равен U mR = I m R
Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опережают колебания силы тока на π/2, и соответствующий вектор U m L должен быть повернут относительно вектора I m на π/2. Его модуль равен U m L = I m ωL. Если считать, что положительному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор U m L следует повернуть налево. (Можно было бы, конечно, поступить и наоборот.)
Его модуль равен U mC =I m /ωC . Для нахождения вектора суммарного напряжения U m нужно сложить три вектора: 1) U mR 2) U m L 3) U mC
Вначале удобнее сложить два вектора: U m L и U mC
Модуль этой суммы равен , если ωL > 1/ωС. Именно такой случай изображен на рисунке. После этого, сложив вектор (U m L + U mC) с вектором U mR получим вектор U m , изображающий колебания напряжения в сети. По теореме Пифагора:
Из последнего равенства можно легко найти амплитуду силы тока в цепи:
Таким образом, благодаря сдвигу фаз между напряжениями на различных участках цепи полное сопротивление Z цепи, изображенной на рисунке, выражается так:
От амплитуд силы тока и напряжения можно перейти к действующим значениям этих величин:
Это и есть закон Ома для переменного тока в цепи, изображенной на рисунке 43. Мгновенное значение силы тока меняется со временем гармонически:
i = I m cos (ωt+ φ), где φ - разность фаз между силой тока и напряжением в сети. Она зависит от частоты ω и параметров цепи R, L, С.
e) Резонанс в электрической цепи. При изучении вынужденных механических колебаний мы познакомились с важным явлением - резонансом. Резонанс наблюдается в том случае, когда собственная частота колебаний системы совпадает с частотой внешней силы. При малом трении происходит резкое увеличение амплитуды установившихся вынужденных колебаний. Совпадение законов механических и электромагнитных колебаний сразу же позволяет сделать заключение о возможности резонанса в электрической цепи, если эта цепь представляет, собой колебательный контур, обладающий определенной собственной частотой колебаний.
Амплитуда тока при вынужденных колебаниях в контуре, совершающихся под действием внешнего гармонически изменяющегося напряжения, определяется формулой:
При фиксированном напряжении и заданных значениях R, L и С, сила тока достигает максимума при частоте ω, удовлетворяющей соотношению
Эта амплитуда особенно велика при малом R. Из этого уравнения можно определить значение циклической частоты переменного тока, при которой сила тока максимальна:
Эта частота совпадает с частотой свободных колебаний в контуре с малым активным сопротивлением.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением происходит при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. В этом состоит явление резонанса в электрическом колебательном контуре.
Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз превосходят внешнее напряжение.
Действительно,
U м, С,рез =
U м, L ,рез =
Внешнее напряжение связано с резонансным током так:
U м = . Если тоU m , C ,рез = U m , L ,рез >> U m
При резонансе сдвиг фаз между током и напряжением становится равным нулю.
Действительно, колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. Резонансные амплитуды этих напряжений одинаковы. В результате напряжения на катушке и конденсаторе полностью компенсируют друг друга, и падение напряжения происходит только на активном сопротивлении.
Равенство нулю сдвига фаз между напряжением и током при резонансе обеспечивает оптимальные условия для поступления энергии от источника переменного напряжения в цепь. Здесь полная аналогия с механическими колебаниями: при резонансе внешняя сила (аналог напряжения в цепи) совпадает по фазе со скоростью (аналог силы тока).