Колебательный контур называется идеальным, если он состоит из катушки и емкости и в нем нет сопротивления потерь.
Рассмотрим физические процессы в следующей цепи:
1 Ключ стоит в положении 1. Конденсатор начинает заряжаться, от источника напряжения и в нем накапливается энергия электрического поля,
т.е.конденсатор становится источником электрической энергии.
2. Ключ в положении 2. Конденсатор начнет разряжаться. Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе переходит в энергию магнитного поля катушки.
Ток в цепи достигает максимального значения(точка 1). Напряжение на обкладках конденсатора уменьшается до нуля.
В период от точки 1 до точки 2 ток в контуре уменьшается до нуля, но как только он начинает уменьшатся, то уменьшается магнитное поле катушки и в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, который противодействует уменьшению тока, поэтому он уменьшается до нуля не скачкообразно, а плавно. Так как возникает ЭДС самоиндукции, то катушка становится источником энергии. От этой ЭДС конденсатор начинает заряжаться, но с обратной полярностью (напряжение конденсатора отрицательное) (в точке 2 конденсатор вновь заряжается).
Вывод: в цепи LC происходит непрерывное колебание энергии между электрическим и магнитным полями, поэтому такая цепь называется колебательным контуром.
Получившиеся колебания называются свободными илисобственными , поскольку они происходят без помощи постороннего источника электрической энергии, внесенной ранее в контур (в электрическое поле конденсатора). Так как емкость и индуктивность идеальны (нет сопротивления потерь) и энергия из цепи не уходит, амплитуда колебаний с течением времени не меняется и колебания будут незатухающими .
Определим угловую частоту свободных колебаний:
Используем равенство энергий электрического и магнитного полей
Где ώ угловая частота свободных колебаний.
[ ώ ]=1/с
f 0= ώ /2π [Гц].
Период свободных колебаний Т0=1/f .
Частоту свободных колебаний называют частотой собственных колебаний контура.
Из выражения: ώ²LC=1 получимώL=1/Cώ , следовательно, при токе в контуре с частотой свободных колебаний индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению.
Характеристические сопротивления.
Индуктивное или емкостное сопротивление в колебательном контуре при частоте свободных колебаний называется характеристическим сопротивлением.
Характеристическое сопротивление вычисляется по формулам:
5.2 Реальный колебательный контур
Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, поэтому при воздействии в контуре свободных колебаний энергия предварительно заряженного конденсатора постепенно тратится, преобразуясь в тепловую.
Свободные колебания в контуре являются затухающими, так как в каждый период энергия уменьшается и амплитуда колебаний в каждый период будет уменьшаться.
Рисунок - реальный колебательный контур.
Угловая частота свободных колебаний в реальном колебательном контуре:
Если R=2… , то угловая частота равна нулю, следовательно свободные колебания в контуре не возникнут.
Таким образом колебательным контуром называется электрическая цепь состоящая из индуктивности и емкости и обладающая малым активным сопротивлением, меньшим удвоенного характеристического сопротивления, что обеспечивает обмен энергией между индуктивностью и емкостью.
В реальном колебательном контуре свободные колебания затухают тем быстрее, чем больше активное сопротивление.
Для характеристики интенсивности затухания свободных колебаний используется понятие «затухание контура» - отношение активного сопротивления к характеристическому.
На практике используют величину, обратную затуханию – добротность контура.
Для получения незатухающих колебаний в реальном колебательном контуре необходимо в течение каждого периода колебаний пополнять электрическую энергию на активном сопротивлении контура в такт с частотой собственных колебаний. Это осуществляется с помощью генератора.
Если подключить колебательный контур к генератору переменного тока, частота которого отличается от частоты свободных колебаний контура, то в цепи протекает ток с частотой равной частоте напряжения генератора. Эти колебания называют вынужденным.
Если частота генератора отличается от собственной частоты контура, то такой колебательный контур является ненастроенным относительно частоты внешнего воздействия, если же частоты совпадают, то настроенным.
Задача: Определить индуктивность, угловую частоту контура, характеристическое сопротивление, если емкость колебательного контура 100 пФ, частота свободных колебаний 1,59 МГц.
Решение:
Тестовые задания:
Тема занятия 8: РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Резонанс напряжений – явление возрастания напряжений на реактивных элементах, превышающих напряжение на зажимах цепи при максимальном токе в цепи, которое совпадает по фазе с входным напряжением.
Условия возникновения резонанса:
Последовательное соединение LиCс генератором переменного тока;
Частота генератора должна быть равна частоте собственных колебаний контура, при этом характеристические сопротивления равны;
Сопротивление должно быть меньше, чем 2ρ, так как только в этом случае в цепи возникнут свободные колебания, поддерживаемые внешним источником.
Полное сопротивление цепи:
так как равны характеристические сопротивления. Следовательно, при резонансе цепь носит чисто активный характер, значит, входное напряжение, и ток в момент резонанса совпадают по фазе. Ток принимает максимальное значение.
При максимальном значении тока напряжение на участках L и C будут большими и равными между собой.
Напряжение на зажимах цепи:
Рассмотрим следующие соотношения:
,
следовательно
Q – добротность контура –при резонансе напряжения показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного напряжения генератора, питающего цепь. При резонансе коэффициент передачи последовательного колебательного контура
резонанса.
Пример:
Uc=Ul=QU =100В,
то есть напряжение на зажимах меньше напряжений на емкости и индуктивности. Это явление называется резонансом напряжений
При резонансе, коэффициент передачи равен добротности.
Построим векторную диаграмму напряжения
Напряжение на емкости равно напряжению на индуктивности, следовательно напряжение на сопротивлении равно напряжению на зажимах и совпадает по фазе с током.
Рассмотрим энергетический процесс в колебательном контуре:
В цепи имеется обмен энергии между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. К генератору энергия катушки не возвращается. От генератора в цепь поступает такое количество энергии, которое тратится на резисторе. Это необходимо для того, чтобы в контуре наблюдались незатухающие колебания. Мощность в цепи только активная.
Докажем это математически:
,
полная мощность цепи, которая равна
активной мощности.
Реактивная мощность.
8.1 Резонансная частота. Расстройка.
Lώ=l/ώC , следовательно
,
угловая резонансная частота.
Из формулы видно, что резонанс наступает, если частота питающего генератора равна собственным колебаниям контура.
При работе с колебательным контуром необходимо знать, совпадает ли частота генератора и частота собственных колебаний контура. Если частоты совпадают, то контур остается настроенным в резонанс, если не совпадает – то в контуреприсутствует расстройка.
Настроить колебательный контур в резонанс можно тремя способами:
1 Изменять частоту генератора, при значениях емкости и индуктивности const, то есть изменяя частоту генератора мы подстраиваем эту частоту под частоту колебательного контура
2 Изменять индуктивность катушки, при частоте питания и емкости const;
3 Изменять емкость конденсатора, при частоте питания и индуктивности const.
Во втором и третьем способе изменяя частоту собственных колебаний контура, подстраиваем ее под частоту генератора.
При ненастроенном контуре частота генератора и контура не равны, то есть присутствует расстройка.
Расстройка – отклонение частоты от резонансной частоты.
Существует три вида расстройки :
Абсолютная – разность между данной частотой и резонансной
Обобщенная – отношение реактивного сопротивления к активному:
Относительная – отношение абсолютной расстройки к резонансной частоте:
При резонансе все расстройки равны нулю , если частота генератора меньше частоты контура, то расстройка считается отрицательной,
Если больше – положительной.
Таким образом добротность характеризует качество контура, а обобщенная расстройка- удаленность от резонансной частоты.
8.2 Построение зависимостейX , X L , X C отf .
Задачи:
Сопротивление контура 15 Ом, индуктивность 636 мкГн, Емкость 600 пФ, напряжение питающей сети 1,8 В. Найти собственную частоту контура, затухание контура, характеристическое сопротивление, ток, активную мощность, добротность, напряжение на зажимах контура.
Решение:
Напряжение на зажимах генератора 1 В, частота питающей сети 1 МГц, добротность 100, емкость 100 пФ. Найти: затухание, характеристическое сопротивление, активное сопротивление, индуктивность, частоту контура, ток, мощность, напряжения на емкости и индуктивности.
Решение:
Тестовые задания:
Тема занятия 9 : Входные и передаточные АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура.
9.1 Входные АЧХ и ФЧХ.
В последовательном колебательном контуре:
R – активное сопротивление;
X – реактивное сопротивление.
Под электрическими колебаниями понимают периодические изменения заряда, силы тока и напряжения. Простейшая система, в которой возможны свободные электрические колебания, - это так называемый колебательный контур. Это устройство, состоящее из соединенных между собой конденсатора и катушки. Будем полагать, что активное сопротивление катушки отсутствует, в этом случае контур называют идеальным. При сообщении этой системе энергии в ней будут происходить незатухающие гармонические колебания заряда на конденсаторе, напряжения и тока.
Сообщить колебательному контуру энергию можно разными способами. Например, зарядив конденсатор от источника постоянного тока или возбудив ток в катушке индуктивности. В первом случае энергией обладает электрическое поле между обкладками конденсатора. Во втором, энергия заключена в магнитном поле тока, текущего по цепи.
§1 Уравнение колебаний в контуре
Докажем, что при сообщении контуру энергии в нем будут происходить незатухающие гармонические колебания. Для этого необходимо получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида .
Допустим, конденсатор зарядили и замкнули на катушку. Конденсатор начнет разряжаться, по катушке потечет ток. Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС в этом контуре 
.
В нашем случае падение напряжения поскольку контур идеальный. Конденсатор в цепи ведет себя как источник тока, в качестве ЭДС выступает разность потенциалов между обкладками конденсатора , где - заряд на конденсаторе, - электроемкость конденсатора. Кроме того, при протекании через катушку изменяющегося тока в ней возникает ЭДС самоиндукции , где - индуктивность катушки, - скорость изменения тока в катушке. Поскольку ЭДС самоиндукции препятствует процессу разрядки конденсатора второй закон Кирхгофа принимает вид
Но ток в контуре – это ток разрядки или зарядки конденсатора, следовательно . Тогда
Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
Введя обозначение , получим известное нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний .
Это означает, что заряд на конденсаторе в колебательном контуре будет изменяться по гармоническому закону
где - максимальное значение заряда на конденсаторе, - циклическая частота, - начальная фаза колебаний.
Период колебаний заряда 
. Это выражение носит название формулы Томпсона.
Напряжение на конденсаторе
Ток в цепи
Видим, что кроме заряда на конденсаторе по гармоническому закону будут изменять еще ток в контуре и напряжение на конденсаторе. Напряжение колеблется в одной фазе с зарядом, а сила тока опережает заряд по
фазе на .
Энергия электрического поля конденсатора
Энергия магнитного поля тока
Таким образом, энергии электрического и магнитного полей тоже изменяются по гармоническому закону, но с удвоенной частотой.
Подведем итог
Под электрическими колебаниями следует понимать периодические изменения заряда, напряжения, силы тока, энергии электрического поля, энергии магнитного поля. Эти колебания, как и механические, могут быть как свободными, так и вынужденными, гармоническим и негармоническим. Свободные гармонические электрические колебания возможны в идеальном колебательном контуре.
§2 Процессы, происходящие в колебательном контуре
Мы математически доказали факт существования свободных гармонических колебаний в колебательном контуре. Однако, остается неясным, почему такой процесс возможен. Что является причиной возникновения колебаний в контуре?
В случае свободных механических колебаний такая причина была найдена – это внутренняя сила, возникающая при выведении системы из по- ложения равновесия. Эта сила в любой момент направлена к положению равновесия и пропорциональна координате тела (со знаком «минус»). Попробуем найти аналогичную причину возникновения колебаний в колебательном контуре.
Пусть колебания в контуре возбуждают, зарядив конденсатор и замкнув его на катушку.
В начальный момент времени заряд на конденсаторе максимален. Следовательно, напряжение и энергия электрического поля конденсатора тоже максимальны.
Ток в контуре отсутствует, энергия магнитного поля тока равна нулю.
Первая четверть периода – разрядка конденсатора.
Обкладки конденсатора, имеющие разные потенциалы, соединили проводником, поэтому конденсатор начинает разряжаться через катушку. Заряд, напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля убывают.
Ток, появившийся в цепи, нарастает, однако, его нарастанию препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке. Энергия магнитного поля тока увеличивается.
Прошла четверть периода - конденсатор разрядился.
Конденсатор разрядился, напряжение на нем стало равным нулю. Энергия электрического поля в этот момент тоже равна нулю. По закону сохранения энергии исчезнуть она не могла. Энергия поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки, которая в этот момент достигает своего максимального значения. Максимален ток в цепи.
Казалось бы, в этот момент ток в цепи должен прекратиться, ибо исчезла причина возникновения тока – электрическое поле. Однако, исчезновению тока опять таки препятствует ЭДС самоиндукции в катушке. Теперь она будет поддерживать убывающий ток, и он будет продолжать течь в прежнем направлении, заряжая конденсатор. Начинается вторая четверть периода.
Вторая четверть периода
– перезарядка конденсатора.
Ток, поддерживаемый ЭДС самоиндукции, продолжает течь в прежнем направлении, постепенно уменьшаясь. Этот ток заряжает конденсатор в противоположной полярности. Заряд и напряжение на конденсаторе увеличиваются.
Энергия магнитного поля тока, убывая, переходит в энергию электрического поля конденсатора.
Прошла вторая четверть периода – конденсатор перезарядился.
Конденсатор перезаряжается до тех пор, пока существует ток. Поэтому в тот момент, когда ток прекращается, заряд и напряжение на конденсаторе принимают максимальное значение.
Энергия магнитного поля в этот момент полностью перешла в энергию электрического поля конденсатора.
Ситуация в контуре в этот момент, эквивалентна исходной. Процессы в контуре повторятся, но в обратном направлении. Одно полное колебание в контуре, длящееся в течение периода, закончится, когда система вернется в исходное состояние, то есть когда конденсатор перезарядится в первоначальной полярности.
Нетрудно видеть, что причиной возникновения колебаний в контуре служит явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока: она не дает ему мгновенно нарастать и мгновенно исчезать.
Кстати, будет не лишним сопоставить выражения для расчета квазиупругой силы в механической колебательной системе и ЭДС самоиндукции в контуре:
Ранее были получены дифференциальные уравнения для механической и электрической колебательной систем:
Несмотря на принципиальные отличия физических процессов к механических и электрических колебательных системах, явно просматривается математическая тождественность уравнений, описывающих процессы в этих системах. Об этом следует поговорить подробнее.
§3 Аналогия между электрическими и механическими колебаниями
Внимательный анализ дифференциальных уравнений для пружинного маятника и колебательного контура, а так же формул, связывающих величины, характеризующих процессы в этих системах, позволяет выявить, какие величины ведут себя одинаково (таблица 2).
| Пружинный маятник | Колебательный контур |
| Координата тела () | Заряд на конденсаторе () |
| Скорость тела | Сила тока в контуре |
| Потенциальная энергия упруго деформированной пружины | Энергия электрического поля конденсатора |
| Кинетическая энергия груза | Энергия магнитного поля катушки с током |
| Величина, обратная жесткости пружины | Емкость конденсатора |
| Масса груза | Индуктивность катушки |
Сила упругости
 | ЭДС самоиндукции, равная напряжению на конденсаторе
 |
Таблица 2
Важно не просто формальное сходство между величинами, описывающими процессы колебания маятника и процессы в контуре. Тождественны сами процессы!
Крайние положения маятника эквивалентны состоянию контура, когда заряд на конденсаторе максимален.
Положение равновесия маятника эквивалентно состоянию контура, когда конденсатор разряжен. В этот момент сила упругости обращается в ноль, а в контуре отсутствует напряжение на конденсаторе. Скорость маятника и сила тока в контуре максимальны. Потенциальная энергия упругой деформации пружины и энергия электрического поля конденсатора равны нулю. Энергия системы состоит из кинетической энергии груза или из энергии магнитного поля тока.
Разрядка конденсатора протекает аналогично движению маятника из крайнего положения в положение равновесия. Процесс перезарядки конденсатора тождественен процессу удаления груза из положения равновесия в крайнее положение.
Полная энергия колебательной системы 
или 
остается неизменной с течением времени.
Подобная аналогия может быть прослежена не только между пружинным маятником и колебательным контуром. Всеобщи закономерности свободных колебаний любой природы! Эти закономерности, проиллюстрированные на примере двух колебательных систем (пружинном маятнике и колебательном контуре) не просто можно, а нужно видеть в колебаниях любой системы.
В принципе, можно решить задачу о любом колебательном процессе, заменив его колебаниями мятника. Для этого достаточно грамотно построить эквивалентную механическую систему, решить механическую задачу и провести замену величин в окончательном результате. Например, нужно найти период колебаний в контуре, содержащем конденсатор и две катушки, соединенные параллельно.
Колебательный контур содержит один конденсатор и две катушки. Поскольку катушка ведет себя как груз пружинного маятника, а конденсатор как пружина, то эквивалентная механическая система должна содержать одну пружину и два груза. Вся проблема в том, как грузы прикреплены к пружине. Возможны два случая: один конец пружины закреплен, а к свободному концу прикреплен один груз, второй находится на первом или грузы прикреплены к разным концам пружины.
При параллельном соединении катушек разной индуктивности токи по ним текут разные. Следовательно, скорости грузов в тождественной механической системе тоже должны быть разными. Очевидно, это возможно лишь во втором случае.
Период этой колебательной системы нами уже найден. Он равен 
. Заменяя массы грузов на индуктивности катушек, а величину, обратную жесткости пружины, на емкость конденсатора, получаем 
.
§4 Колебательный контур с источником постоянного тока
Рассмотрим колебательный контур, содержащий источник постоянного тока. Пусть конденсатор первоначально не заряжен. Что будет происходить в системе после замыкания ключа К? Будут ли в этом случае наблюдаться колебания и какова их частота и амплитуда?
Очевидно, после замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Записываем второй закон Кирхгофа:
Ток в контуре – это ток зарядки конденсатора, следовательно . Тогда . Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
*Решаем уравнение заменой переменных.
Обозначим . Дифференцируем дважды и с учетом того, что , получаем . Дифференциальное уравнение приобретает вид
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решением является функция
где - циклическая частота, константы интегрирования и находятся из начальных условий.
Заряд на конденсаторе меняется по закону
Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе равен нулю и ток в контуре отсутствует 
. С учетом начальных условий получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем и . После замыкания ключа заряд на конденсаторе изменяется по закону .
Нетрудно видеть, что в контуре происходят гармонические колебания. Наличие в контуре источника постоянного тока не повлияло на частоту колебаний, она осталась равной . Изменилось «положение равновесия» - в тот момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор заряжен. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе равна Cε.
Этот же результат можно получить проще, используя аналогию между колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника. Источник постоянного тока эквивалентен постоянному силовому полю, в которое помещен пружинный маятник, например, полю тяготения. Отсутствие заряда на конденсаторе в момент замыкания цепи тождественно отсутствию деформации пружины в момент приведения маятника в колебательное движение.
В постоянном силовом поле период колебаний пружинного маятника не изменяется. Период колебаний в контуре ведет себя так же – он остается неизменным при введении в контур источника постоянного тока .
В положении равновесия, когда скорость груза максимальна, пружина деформирована:
Когда ток в колебательном контуре максимален 
. Второй закон Кирхгофа запишется следующим образом
В этот момент заряд на конденсаторе равен Этот же результат можно было получить на основании выражения (*), выполнив замену
§5 Примеры решения задач
Задача 1 Закон сохранения энергии
L = 0,5 мкГн и конденсатора емкостью С = 20 пФ происходят электрические колебания. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе, если амплитуда тока в контуре 1 мА? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
(1)
2 В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально (максимален заряд на конденсаторе), ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
(2)
3 В момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор полностью разряжен. Полная энергия системы состоит только из энергии магнитного поля катушки
(3)
4 На основании выражений (1), (2), (3) получаем равенство 
. Максимальное напряжение на конденсаторе равно
Задача 2 Закон сохранения энергии
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L
и конденсатора емкостью С,
происходят электрические колебания с периодом Т = 1 мкс. Максимальное значение заряда 
. Чему равен ток в контуре в тот момент, когда заряд на конденсаторе равен ? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
1 Поскольку активным сопротивлением катушки можно пренебречь, полная энергия системы, состоящая из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, остается неизменной с течением времени:
(1)
2 В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
(2)
3 На основании (1) и (2) получаем равенство 
. Ток в контуре равен 
.
4 Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона . Отсюда . Тогда для тока в контуре получаем
Задача 3 Колебательный контур с двумя параллельно соединенными конденсаторами
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L
и конденсатора емкостью С,
происходят электрические колебания с амплитудой заряда . В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, замыкают ключ К. Каким станет период колебаний в контуре после замыкания ключа? Чему равна амплитуда тока в контуре после замыкания ключ? Омическим сопротивлением контура пренебречь.
Решение:
1 Замыкание ключа приводит к появлению в контуре еще одного конденсатора, подключенного параллельно первому. Общая емкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна .
Период колебаний в контуре зависит только от его параметров и не зависит от того, как в системе возбудили колебания и какую энергию сооб- щили системе для этого. Согласно формуле Томсона .
2 Для нахождения амплитуды тока выясним, какие процессы происходят в контуре после замыкания ключа.
Второй конденсатор подключили в тот момент, когда заряд на первом конденсаторе был максимален, следовательно, ток в контуре отсутствовал.
Контурный конденсатор должен начать разряжаться. Ток разрядки, дойдя до узла, должен бы разделиться на две части. Однако, в ветви с катушкой, возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая нарастанию тока разрядки. По этой причине весь ток разрядки потечет в ветвь с конденсатором, омическое сопротивление которой равно нулю. Ток прекратится, как только сравняются напряжения на конденсаторах, при этом первоначальный заряд конденсатора перераспределится между двумя конденсаторами. Время перераспределения заряда между двумя конденсаторами ничтожно мало вследствие отсутствия омического сопротивления в ветвях с конденсаторами. За это время ток в ветви с катушкой возникнуть не успеет. Колебания в новой системе продолжатся уже после перераспределения заряда между конденсаторами.
Важно понять, что в процессе перераспределения заряда между двумя конденсаторами энергия системы не сохраняется! До замыкания ключа энергией обладал один конденсатор, контурный:
После перераспределения заряда энергией обладает батарея конденсаторов:
Нетрудно видеть, что энергия системы уменьшилась!
3 Новую амплитуду тока найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии. В процессе колебаний энергия батареи конденсаторов переходит в энергию магнитного поля тока:
Обратите внимание, закон сохранения энергии начинает «работать» только после завершения перераспределения заряда между конденсаторами.
Задача 4
Колебательный контур с двумя последовательно соединенными конденсаторами
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и двух последовательно соединенных конденсаторов С и 4С. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения , конденсатор емкостью 4С не заряжен. После замыкания ключа в контуре начинаются колебания. Чему равен период этих колебаний? Определите амплитуду тока, максимальное и минимальное значения напряжения на каждом конденсаторе.
Решение:
1 В момент, когда ток в цепи максимален, ЭДС самоиндукции в катушке отсутствует 
. Записываем для этого момента второй закон Кирхгофа
Видим, что в тот момент, когда ток в контуре максимален, конденсаторы заряжены до одинакового напряжения, но в противоположной полярности:
2 До замыкания ключа полная энергия системы состояла только из энергии электрического поля конденсатора С:
В момент, когда ток в цепи максимален, энергия системы складывается из энергии магнитного поля тока и энергии двух заряженных до одинакового напряжения конденсаторов:
Согласно закону сохранения энергии
Для нахождения напряжения на конденсаторах воспользуемся законом сохранения заряда – заряд нижней обкладки конденсатора С частично перешел на верхнюю обкладку конденсатора 4С:
Подставляем найденное значение напряжения в закон сохранения энергии и находим амплитуду тока в контуре:
3 Найдем, в каких пределах изменяется напряжение на конденсаторах в процессе колебаний.
Понятно, что в момент замыкания цепи на конденсаторе С было максимальное напряжение . Конденсатор 4С был не заряжен, следовательно, .
После замыкания ключа конденсатор С начинает разряжаться, а конденсатор емкостью 4С – заряжаться. Процесс разрядки первого и зарядки второго конденсаторов заканчивается, как только прекращается ток в цепи. Это произойдет через половину периода. Согласно законам сохранения энергии и электрического заряда:
Решая систему, находим:
.
Знак «минус» означает, что через полпериода конденсатор емкости С заряжен в полярности, обратной первоначальной.
Задача 5 Колебательный контур с двумя последовательно соединенным катушками
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С и двух катушек индуктивностью L 1
и L 2
. В тот момент, когда ток в контуре принял максимальное значение , в первую катушку быстро (по сравнению с периодом колебаний) вносят железный сердечник, что приводи к увеличению ее индуктивности в μ раз. Чему равна амплитуда напряжения в процессе дальнейших колебаний в контуре?
Решение:
1 При быстром внесении сердечника в катушку должен сохраниться магнитный поток (явление электромагнитной индукции). Поэтому быстрое изменение индуктивности одной из катушек приведет к быстрому изменению тока в контуре.
2 За время внесения сердечника в катушку заряд на конденсаторе измениться не успел, он остался незаряженным (сердечник вносили в тот момент, когда ток в цепи был максимален). Через четверть периода энергия магнитного поля тока перейдет в энергию заряженного конденсатора:
Подставляем в полученное выражение значение тока I и находим амплитуду напряжения на конденсаторе:
Задача 6 Колебательный контур с двумя параллельно соединенным катушками
Катушки индуктивности L 1 и L 2 подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкостью С. В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов . Сначала замыкают ключ К1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.
Решение:
1 При разомкнутом ключе К2 в контуре, состоящем из конденсатора и первой катушки, происходят колебания. К моменту замыкания К2 энергия конденсатора перешла в энергию магнитного поля тока в первой катушке :
2 После замыкания К2 в колебательном контуре оказываются две катушки, соединенные параллельно.
Ток в первой катушке не может прекратиться вследствие явления самоиндукции. В узле он делится: одна часть тока идет во вторую катушку, а другая заряжает конденсатор .
3 Напряжение на конденсаторе станет максимальным, когда прекратится ток I , заряжающий конденсатор. Очевидно, что в этот момент токи в катушках сравняются .
:Маятник двигается поступательно со скоростью центра масс 
и совершает колебания относительно центра масс.
Сила упругости максимальна в момент максимальной деформации пружины. Очевидно, в этот момент относительная скорость грузов становится равной нулю, а относительно стола грузы двигаются со скоростью центра масс. Записываем закон сохранения энергии:
Решая систему, находим
Производим замену
и получаем для максимального напряжения найденное ранее значение 
§6 Задания для самостоятельного решения
Упражнение1 Расчет периода и частоты собственных колебаний
1 В колебательный контур входят катушка переменной индуктивности, изменяющаяся в пределах L 1 = 0,5 мкГн до L 2 = 10 мкГн, и конденсатор, емкость которого может изменяться в пределах от С 1 = 10 пФ до
С 2 =500 пФ. Какой диапазон частот можно охватить настройкой этого контура?
2 Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если его индуктивность увеличить в 10 раз, а емкость уменьшить в 2,5 раза?
3 Колебательный контур с конденсатором емкость 1 мкФ настроен на частоту 400 Гц. Если подключить к нему параллельно второй конденсатор, то частота колебаний в контуре становится равной 200 Гц. Определите емкость второго конденсатора.
4 Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если в контур последовательно включить второй конденсатор, емкость которого в 3 раза меньше емкости первого?
5 Определите период колебаний контура, в состав которого входит катушка (без сердечника) длины в = 50 см м площади поперечного сечения
S = 3 cм 2 , имеющая N = 1000 витков, и конденсатора емкости С = 0,5 мкФ.
6 В состав колебательного контура входит катушка индуктивности L = 1,0 мкГн и воздушный конденсатор, площади пластин которого S = 100 cм 2 . Контур настроен на частоту 30 МГц. Определите расстояние между пластинами. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Чтобы понять причину возникновения резонанса необходимо разобраться как течёт ток через конденсатор и катушку индуктивности.
При протекании тока через катушку индуктивности напряжение опережает ток. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее, когда напряжение на концах катушки максимально, ток через катушку не течет, по мере уменьшения напряжения, ток увеличивается и когда напряжение на концах катушки равно нулю, ток через катушку максимален. Далее, напряжение уменьшается и достигает минимума, ток при этом равен нулю. Из этого можно сделать вывод, что ток через катушку максимален, когда напряжение на её концах равно нулю и ток равен нулю, когда напряжение на её концах максимально. Таким образом, если сопоставить графики изменения напряжения и тока, создаётся впечатление, что напряжение опережает ток на 90 градусов. Это можно увидеть на рисунке ниже.
Совсем противоположно катушке индуктивности ведет себя конденсатор. Когда напряжение на концах конденсатора равно нулю, ток через него максимален, по мере зарядки конденсатора ток через него уменьшается, это связано с тем, что разность потенциалов между конденсатором и источником напряжения уменьшается, а чем меньше разность потенциалов, тем меньше ток. Когда конденсатор полностью заряжен ток через него не течет так, как нет разности потенциалов. Напряжение начинает уменьшаться и становится равно нулю, при этом ток максимален только течет в другом направлении, далее напряжение достигает минимума и ток через конденсатор снова не течет. Делаем вывод, что ток через конденсатор максимальный когда напряжение на его обкладках равно нулю и ток равен нулю когда напряжение на конденсаторе минимально. Если сопоставить графики изменения тока и напряжение, создается впечатление, что ток опережает напряжение на 90 градусов. Это можно увидеть на рисунке ниже.
На резонансной частоте для контура, состоящего из конденсатора и катушки индуктивности, неважно параллельный он или последовательный, их сопротивления равны и сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю. Ведь действительно если подумать, то в конденсаторе ток опережает напряжение на 90 градусов, то есть +90 градусов, а в катушке индуктивности ток отстает от напряжения на 90 градусов, то есть -90 градусов и если сложить их получится нуль. Для пары, конденсатор и катушка индуктивности параллельный и последовательный резонанс возникают на одной и той же частоте.
Давайте рассмотрим резонанс в последовательном колебательном контуре.
На верхнем графике изображена зависимость тока от времени, протекающего через контур, ниже два графика это напряжения, на конденсаторе и катушке, самый нижний это сумма напряжений на катушке и конденсаторе. Видно, что суммарное напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности равно нулю, также говорят, что сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте стремится к нулю.
Давайте соберем простую схему, изображенную на рисунке.
Сопротивление резистора должно быть больше выходного сопротивления генератора, то есть больше 50 Ohm, я взял первый попавшийся.
Расчетная резонансная частота такого контура 270 KHz, но так как номиналы имеют определенный допуск, который обычно указывается в процентах, придется ее подобрать. Подбирать будем исходя из того, что сопротивления катушки индуктивности и конденсатора на резонансной частоте равны, а так как они соединены последовательно, то равны и падения напряжений. Первый канал показывает напряжение на контуре, второй канал напряжение на катушке, канал Math показывает разность между первым и вторым каналом, а по сути напряжение на конденсаторе. Причина по которой, я не подключил щуп осциллографа параллельно конденсатору, будет подробно описана в следующей статье. Если кратко, то есть правило подключать земляной крокодил только к земле, если осциллограф и исследуемая схема питаются от бытовой сети и имеют заземление. Делается это, для того чтобы не спалить исследуемую схему и осциллограф.
На осциллограммах видно, что на резонансной частоте падение напряжения на катушке и конденсаторе равны и противоположны по знаку, а суммарное падение напряжения на контуре стремится к нулю. В последовательном колебательном контуре на резонансной частоте напряжение на катушке и конденсаторе выше чем на генераторе. Давайте увеличим частоту и посмотри что изменится.
Видим, что напряжение на катушке увеличилось потому, что увеличилось её сопротивление, так как оно прямо пропорционально зависит от частоты. Напряжение на конденсаторе уменьшилось потому, что его сопротивление с ростом частоты уменьшается. Теперь уменьшим частоту.
Видим, что напряжение на конденсаторе увеличилось, а на катушке уменьшилось, также надо отметить, что разность фаз между сигналами равна 180 градусам.
Давайте теперь рассмотрим резонанс в параллельном контуре, ситуация аналогичная с последовательным контуром, только в последовательном мы рассматривали напряжения, а в параллельном будем рассматривать токи.
Видим, что токи сдвинуты относительно друг друга на 180 градусов, а их сумма равна нулю, то есть ток через контур не течет, а его сопротивление стремится к бесконечности. Параллельный колебательный контур используют как полосно-заграждающий фильтр, радиолюбители называют его фильтр- пробка. Он не пропускает напряжение частота которого равна его резонансной частоте. Давайте соберем простую схему, изображенную на картинке ниже и посмотрим как будет изменяться напряжение на концах контура в зависимости от частоты.
Так как конденсатор и индуктивность те же, что и в прошлом эксперименте резонансная частота контура та же.
На резонансной частоте сопротивление контура стремится к бесконечности, следовательно и напряжение будет максимально. Давайте уменьшим частоту.
Видим, что напряжение на контуре уменьшилось, произошло это потому, что сопротивление катушки уменьшилось и она зашунтировала конденсатор.
Теперь давайте увеличим частоту.
С ростом частоты сопротивление конденсатора уменьшилось и он зашунтировал катушку.
Пожалуй, это всё, что хотелось рассказать про резонанс.
Последовательный колебательный контур — это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно. На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:
Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:
R — это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора
L — собственно сама индуктивность катушки
С — собственно сама емкость конденсатора
Колебательный контур и генератор частоты
Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:
Генератор у нас будет выдавать синус.
Для того, чтобы снять осциллограмму через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.
А вот и сама схема в реальности:
Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R — это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно «прячется» внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.
Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу , и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U ш , а также снимая осциллограмму с самого генератора U ГЕН .
С шунта мы будем снимать напряжение , которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.
Влияние частоты на сопротивление колебательного контура
Итак, погнали. В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.
Красная осциллограмма — это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма — отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.
Частота 200 Герц с копейками:
Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый
Добавляем частоту. 600 Герц с копейками
Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает конденсатора.
Добавляем частоту. 2 Килогерца
Сила тока стала еще больше.
3 Килогерца
Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.
4,25 Килогерц
Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.
И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.
Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.
Увеличиваем частоту еще больше
Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.
22 Килогерца
74 Килогерца
Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.
Резонанс
Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:
Это явление носит название резонанса .
Как вы помните, если у нас сопротивление становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома : I=U/R
. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.
Формула Томсона
Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора X L =X C , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:
Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:
Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F :
В данном случае мы получили формулу резонансной частоты . Это формула по другому называется формулой Томсона , как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.
Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр .
Замеряем индуктивность катушки:
И замеряем нашу емкость:
Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:
У меня получилось 5, 09 Килогерц.
С помощью регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)
Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.
Резонанс напряжений
Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:
и конденсатор в 1000 пФ
Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять . Поступлю более хитрее.
Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор — это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!
Ну что же, приступим;-). Давайте сначала посчитаем резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.
Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:
Размах амплитуды 4 Вольта
Хотя на генераторе частоты размах более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.
Теперь небольшой прикол;-)
Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:
Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.
Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:
Смотрим напряжение на конденсаторе:
Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!
Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:
Народ! Халява!!! Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию или с конденсатора или с катушки!
Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как среднеквадратичное напряжение будет где-то Вольт 14, и цепляю поочередно к ним лампочку:
Как видите — полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока — увы! Поэтому последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения , а не мощности!
Давайте обобщим, что у нас получилось в этих опытах.
При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.
При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение U L = IX L , а на конденсаторе U C = IX C . А так как при резонансе у нас X L = X C , то получаем что U L = U C , ток ведь в цепи один и тот же;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений , так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе .
Добротность
Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:
Давайте посчитаем добротность в нашем случае.
Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала генератора частоты 2 Вольта.
А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.
Считаем по формуле добротности:
Q=20/2=10 . В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.
Есть также вторая формула для вычисления добротности.
где
R — сопротивление потерь в контуре, Ом
L — индуктивность, Генри
С — емкость, Фарад
Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.
Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура — это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.
Резюме
Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.
На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс .
При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.
При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.
При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.
Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.
На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса — индуктивную составляющую тока.
Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).
Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией
где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.
После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора
(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции
 |
 |
| Рис.1 | Рис.2 |
Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна
Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.
Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.
 |
 |
| Рис.3 | Рис.4 |
Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.
В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:
1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;
2) потери в диэлектрике конденсатора;
3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;
4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.
Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.
В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:
где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как
Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона
Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид
. (9)
На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.
В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.
 |
 |
| Рис.5 | Рис.6 |
Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.
